j - MC Manuel Amarante

Caso Resuelto 4
Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel
Para realizar un análisis completo en el dominio de la frecuencia se necesita construir las
gráficas: Polar de Nyquist, Diagramas de Bode de Lazo Abierto, Diagramas de Bode de Lazo
Cerrado, y de ahí obtener Margen de Fase (MF), Margen de Ganancia (MG), la Frecuencia de
Cruce (ωC), la Frecuencia (ω-180), Ancho de Banda (ω1 - ω2), Frecuencia de Resonancia (ωR), y
Magnitud Máxima (Mmax).
Como un ejemplo de cómo realizar este procedimiento tomemos la función de transferencia
de lazo abierto GH(s) Ec. (1), que se presenta enseguida, y realicemos un Análisis en el Dominio de
la Frecuencia completo.
GH (s ) =
24
s (s + 2 )(s + 6 )
(1)
1. Diagrama Polar de Nyquist
Para poder iniciar la construcción de la Gráfica Polar de Nyquist se necesita normalizar la
función de transferencia en cuestión, Ec. (2), como se muestra enseguida:
GH ( jω ) =
jω
(
jω
2
2
+1
)(
jω
6
)
(2)
+1
y luego desarrollar las Fórmulas para Magnitud, GH ( jω ) , Ec. (3) y Ángulo de Fase
(4), como se muestra enseguida:
2
GH ( jω ) =
12
12
2
2
ω (ω2 ) + 1 (ω6 ) + 1
[
φ ( jω ) = 0º −90º −tg
GH
] [
−1
φ ( jω ) , Ec.
GH
]
(3 y 4)
ω 2 − tg ω 6
−1
La tabulación para construir la Gráfica Polar de Nyquist se calcula a partir de la Fórmulas
anteriores y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad del polo o cero
menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.5 á ω =10. La obtención de la
tabulación, TABLA 1, y la misma construcción de la Gráfica Polar de Nyquist, GRÁFICA 1, se
facilita mucho haciendo uso del Excel. Las Fórmulas para realizar las tabulaciones y gráficas en Excel
son:
•
La columna A es la Frecuencia ω
•
La columna B es la Magnitud |GH(jω)| posicionado en B2 con la Ec. (5)
=2/(A2*(RAIZ((A2/2)^2+1))*(RAIZ((A2/6)^2+1)))
•
La columna C es el Ángulo de Fase φGH(jω) posicionado en C2 con la Ec. (6)
=0-90-(ATAN(A2/2))*180/PI()-(ATAN(A2/6))*180/PI()
(5)
=
(6)
Casos Resueltos de Ingeniería de Control
•
La columna D muestra el Margen de Fase y el Margen de Ganancia MF y MG con las
Ec. (7) y Ec. (8)
=C13+180
(7)
=1/B17
(8)
•
Las columnas E y F son la parte Real y la parte Imaginaria de |GH(jω)|
respectivamente, necesarias para que Excel realice la GRÁFICA ya que solo GRAFICA
en coordenadas rectangulares con las Ec. (9) y Ec. (10)
=B2*COS(C2*PI()/180)
(9)
=B2*SENO(C2*PI()/180)
(10)
TABLA 1:Tabulación en Excel para construir el Diagrama Polar de Nyquist Caso Resuelto 4
Frecuencia ω Magnitud |GH(jω)|
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
3,8672
3,1769
2,6786
2,3008
2,0041
1,7645
1,5670
1,4014
1,2607
1,1397
1,0348
-108,7999
-112,4098
-115,9445
-119,3961
-122,7585
-126,0274
-129,1997
-132,2737
-135,2490
-138,1260
-140,9061
1,0060
0,6708
0,4613
0,3308
-141,7215
-153,4349
-163,9601
-172,8750
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
0,2499
0,1861
0,1444
0,1141
0,0916
0,0745
0,0614
0,0511
0,0429
0,0364
0,0311
0,0267
0,0232
-180,0129
-187,1250
-192,9074
-198,0042
-202,5273
-206,5651
-210,1879
-213,4533
-216,4088
-219,0939
-221,5419
-223,7811
-225,8357
10
0,0202
-227,7263
ωC = 1,53
2
2,5
3
ω-180 = 3,465
2
Ángulo φGH(jω)
MF y MG
Real
Imaginario
-1,2462
-1,2111
-1,1719
-1,1293
-1,0844
-1,0378
-0,9904
-0,9427
-0,8953
-0,8487
-0,8031
-3,6609
-2,9370
-2,4086
-2,0046
-1,6853
-1,4270
-1,2143
-1,0370
-0,8875
-0,7608
-0,6525
MF = 38,2785
-0,7897
-0,6000
-0,4434
-0,3282
-0,6232
-0,3000
-0,1275
-0,0410
MG = 4,0021
-0,2499
-0,1846
-0,1408
-0,1085
-0,0846
-0,0667
-0,0531
-0,0426
-0,0345
-0,0282
-0,0233
-0,0193
-0,0161
0,0001
0,0231
0,0323
0,0353
0,0351
0,0333
0,0309
0,0282
0,0255
0,0229
0,0206
0,0185
0,0166
-0,0136
0,0149
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
Caso Resuelto 4:
Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel
El Diagrama Polar de Nyquist se obtiene con la GRÁFICACIÓN automática de Excel
GRÁFICANDO en Dispersión de Puntos las Columnas E Real y F Imaginario FIGURA 1.
Fig. 1: Diagrama Polar de Nyquist construido con Excel Caso Resuelto 4
Para calcular el Margen de Fase (MF) y el Margen de Ganancia (MG) se facilita con la
tabulación en Excel, TABLA 1, que se utiliza para construir la Gráfica Polar de Nyquist. El Margen de
Fase (MF) se obtiene buscando, en la tabulación hecha en Excel, la frecuencia en la que la Magnitud
|GH(jω)| toma el valor de 1, Ec. (11), y al Ángulo de Fase φGH(jω) encontrado para esa misma
frecuencia se le suma 180º obteniéndose como resultado el Margen de Fase (MF), Ec. (12). Para
obtener el Margen de Ganancia (MG) se busca la frecuencia para la cual el Ángulo de Fase φGH(jω)
toma el valor de -180º, Ec. (13), y el inverso del valor de la Magnitud |GH(jω)| encontrada para esa
frecuencia viene siendo el Margen de Ganancia (MG), Ec. (14).
ωC = A13 = 1.53 rad./seg.
(11)
MF = D13+180 = 38.27º
(12)
ω-180 = A17 = 3.46 rad./seg.
(13)
MG = 1/C17 = 4.002
(14)
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
3
Casos Resueltos de Ingeniería de Control
2. Diagrama de Bode de Lazo Abierto
Para poder iniciar la construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Abierto se necesita
normalizar la función de transferencia en cuestión como se muestra en la Ec. (15):
GH ( jω ) =
jω
(
2
jω
2
)(
+1
jω
6
)
(15)
+1
y luego desarrollar las Fórmulas para Magnitud en decibeles 20log|GH(jω)|, Ec. (14), y Ángulo de
Fase φGH(jω), Ec. (15), como se muestra enseguida:
[
]
20 log GH ( jω ) = 20 log 2 − 20 log ω − 20 log (ω2 ) + 1
φ ( jω ) = 0º −90º −tg
2
12
[
]
− 20 log (ω6 ) + 1
2
12
(16 y 17)
−1
GH
ω 2 − tg −1 ω 6
La tabulación para construir los diagramas de Bode de Lazo Abierto se calcula a partir de la Ec.
(16) y Ec. (17) y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad del polo o cero
menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.1 á ω = 10. La obtención de la
tabulación; TABLA 2, y la misma construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Abierto se facilita
mucho haciendo uso del Excel FIGURA 2; 2A Diagrama de Magnitud y 2B Diagrama de Ángulo de
Fase.
•
La columna A es la Frecuencia ω
•
La columna B es el Logaritmo base 10 de la Frecuencia Logω posicionado en B2 se
calcula con la Ec. (18)
=LOG(A2)
(18)
•
La columna C es la Magnitud en dB 20log|GH(jω)| posicionado en C2 se calcula con la
Ec. (19)
=20*LOG(2)-20*LOG(A2)-20*LOG(RAIZ((A2/2)^2+1))-20*LOG(RAIZ((A2/6)^2+1))
(19)
•
La columna D es el Ángulo de Fase φGH(jω) posicionado en D2 se calcula con la Ec.
(20)
=0-90-(ATAN(A2/2))*180/PI()-(ATAN(A2/6))*180/PI()
•
La columna E muestra el Margen de Fase y el Margen de Ganancia MF y MG se
calculan con las Ec. (21) y Ec. (22) respectivamente.
=D14+180
=-C20
4
(20)
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
(21)
(22)
Caso Resuelto 4:
Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel
TABLA 2: Tabulación para los Diagramas de Bode de Lazo Abierto y Cerrado Caso Resuelto 4
ω
logω
20log|GH(jω)|
φGH(jω)
0,1
0,2
ω1 = 0,235
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,5
ωC = 1,53
ωR = 1,65
2
ω2 = 2,3
2,5
3
ω-180 = 3,465
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
-1,0000
-0,6990
-0,6289
-0,5229
-0,3979
-0,3010
-0,2218
-0,1549
-0,0969
-0,0458
0,0000
0,1761
0,1847
0,2175
0,3010
0,3617
0,3979
0,4771
0,5397
0,5441
0,6021
0,6532
0,6990
0,7404
0,7782
0,8129
0,8451
0,8751
0,9031
0,9294
0,9542
0,9777
26,0085
19,9520
18,5330
16,3707
13,7898
11,7479
10,0401
8,5581
7,2377
6,0383
4,9325
0,2973
0,0523
-0,9004
-3,4679
-5,4689
-6,7201
-9,6098
-12,0457
-12,2206
-14,6073
-16,8084
-18,8525
-20,7615
-22,5527
-24,2400
-25,8347
-27,3462
-28,7827
-30,1508
-31,4567
-32,7054
-93,8172
-97,6197
-98,9445
-101,3932
-105,1240
-108,7999
-112,4098
-115,9445
-119,3961
-122,7585
-126,0274
-140,9061
-141,7215
-144,8989
-153,4349
-159,9644
-163,9601
-172,8750
-180,0129
-180,5116
-187,1250
-192,9074
-198,0042
-202,5273
-206,5651
-210,1879
-213,4533
-216,4088
-219,0939
-221,5419
-223,7811
-225,8357
10
1,0000
-33,9015
-227,7263
MF y MG
MF = 38,2785
MG = 12,0457
|GH(jω)|
M dB
N°
19,9723
9,9448
8,4460
6,5847
4,8920
3,8672
3,1769
2,6786
2,3008
2,0041
1,7645
1,0348
1,0060
0,9015
0,6708
0,5328
0,4613
0,3308
0,2499
0,2449
0,1861
0,1444
0,1141
0,0916
0,0745
0,0614
0,0511
0,0429
0,0364
0,0311
0,0267
0,0232
0,0181
0,0725
0,1002
0,1634
0,2913
0,4566
0,6597
0,9006
1,1791
1,4936
1,8408
3,6267
3,6913
3,8155
2,5527
0,0166
-1,8536
-6,1707
-9,5484
-9,7810
-12,8380
-15,4968
-17,8613
-19,9999
-21,9590
-23,7711
-25,4601
-27,0439
-28,5363
-29,9483
-31,2889
-32,5653
-2,8696
-5,7681
-6,7949
-8,7256
-11,7747
-14,9517
-18,2981
-21,8629
-25,7041
-29,8915
-34,5085
-67,6938
-70,3641
-81,7483
-116,5651
-139,8888
-151,0625
-169,3803
-180,0172
-180,6775
-188,7462
-195,0573
-200,2701
-204,7230
-208,6105
-212,0546
-215,1380
-217,9203
-220,4462
-222,7507
-224,8619
-226,8031
0,0202
-33,7838
-228,5936
Para calcular el Margen de Fase (MF) y el Margen de Ganancia (MG) se facilita con la
tabulación en Excel que se utiliza para construir los Diagramas de Bode de Lazo Abierto. El Margen
de Fase (MF) se obtiene buscando, en la tabulación hecha en Excel, la frecuencia en la que la
Magnitud 20log|GH(jω)| toma el valor de 0, Ec. (23) y al Ángulo de Fase φGH(jω) encontrado para esa
misma frecuencia se le suma 180º obteniéndose como resultado el Margen de Fase (MF), Ec. (24).
Para obtener el Margen de Ganancia (MG) se busca la frecuencia para la cual el Ángulo de
FaseφGH(jω) toma el valor de -180º, Ec. (25), y el negativo del valor de la Magnitud en decibeles
20log|GH(jω)| encontrada para esa frecuencia viene siendo el Margen de Ganancia (MG), Ec. (26).
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
5
Casos Resueltos de Ingeniería de Control
ωC = A14 = 1.53 rad./seg.
(23)
MF = D14+180 = 38.27
(24)
ω-180 = A20 = 3.465 rad./seg.
(25)
MG = 1/C20 = 12.046 dB
(26)
Los Diagramas de Bode de Lazo Abierto, FIGURA 2, se obtiene GRÁFICANDO como
dispersión de puntos las Columnas B LOG W y C 20log|GH(jω)| 2A Diagrama de Magnitud; y las
columnas B LOG W y D φGH(jω) 2B Diagrama de Ángulo de Fase.
GRÁFICA 2A (Gráfica de Magnitud)
GRÁFICA 2B (Gráfica de Ángulo de Fase)
Fig. 2: Diagrama de Bode de Lazo Abierto construido con Excel Caso Resuelto 4
6
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
Caso Resuelto 4:
Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel
3. Diagrama de Bode de Lazo Cerrado
Para poder iniciar la construcción de los diagramas de Bode de Lazo Cerrado se necesita
haber construido los diagramas de Bode de Lazo Abierto y con los valores en la tabulación aplicar
las Ec. (27), Ec. (28) y Ec. (29) como se muestra enseguida:
G ( jω ) = 10
M dB = 20 log
N º = tg −1
20 log GH ( jω )
20
G ( jω )
(27)
2
1 + 2 cos φ G ( jω ) + G ( jω )
2
(28)
2
(29)
G ( jω ) senφ G ( jω )
G ( jω ) cos φ G ( jω ) + G ( jω )
La tabulación para construir los diagramas de Bode de Lazo Cerrado se calcula a partir de la
Ec. (27), Ec. (28) y Ec. (29) y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad
del polo o cero menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.1 á ω = 10. La obtención
de la tabulación; TABLA 2, y la misma construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Cerrado se
facilita mucho haciendo uso del Excel FIGURA 3 Gráfica 3A Diagrama de Magnitud y Gráfica 3B
Diagrama de Ángulo.
•
La columna A es la Frecuencia ω
•
La columna B es el Logaritmo base 10 de la Frecuencia Logω posicionado en B2 se
calcula con la Ec. (18)
=LOG(A2)
(18)
•
La columna C es la Magnitud en dB 20log|GH(jω)| posicionado en C2 se calcula con la
Ec. (19)
=20*LOG(2)-20*LOG(A2)-20*LOG(RAIZ((A2/2)^2+1))-20*LOG(RAIZ((A2/6)^2+1))
(19)
•
La columna D es el Ángulo de Fase φGH(jω) posicionado en D2 se calcula con la Ec.
(20)
=0-90-(ATAN(A2/2))*180/PI()-(ATAN(A2/6))*180/PI()
(20)
•
La columna E muestra el Margen de Fase y el Margen de Ganancia MF y MG E15 y
E25 se calculan con las Ec. (21) y Ec. (22) respectivamente.
=D14+180
(21)
=-C20
(22)
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
7
Casos Resueltos de Ingeniería de Control
•
La columna F es la Magnitud de Lazo Abierto suponiendo H(s)=1 |GH(jω)|
posicionado en F2 se calcula con la Ec. (30)
=10^(C2/20)
(30)
•
La columna G es la Magnitud de Lazo Cerrado en Decibeles suponiendo H(s)=1 M dB
posicionado en G2 se calcula con la Ec. (31)
=20*LOG(RAIZ((F2^2)/(1+2*F2*COS(D2*PI()/180)+F2^2)))
(31)
•
La columna H es el Ángulo de Fase de Lazo Cerrado en Grados suponiendo H(s)=1
Nº posicionado en H2 se calcula con la Ec. (32), posicionado en H16 se calcula con la
Ec. (33) debido a correcciones de cálculo
=ATAN((F2*SENO(D2*PI()/180))/(F2*COS(D2*PI()/180)+F2^2))*180/PI()
(32)
=ATAN((F16*SENO(D16*PI()/180))/(F16*COS(D16*PI()/180)+F16^2))*180/PI()-180 (33)
Para calcular a partir de la TABLA 2 de Excel el Ancho de Banda ω1 - ω2, ω1 es la frecuencia
donde la Magnitud de Lazo Cerrado en dB M dB = 0.1 y ω2 es la frecuencia cuando la Magnitud de
Lazo Cerrado en dB M dB vuelve a pasar por 0 dB después de haber llegado a su valor máximo. La
Frecuencia de Resonancia ωR se obtiene de la TABLA 2 de Excel buscando la Frecuencia en la que
la Magnitud de Lazo Cerrado en Decibeles M dB es mayor. La Mmax es el valor de la Magnitud de
Lazo Cerrado en dB mayor.
Las Diagramas de Bode de Lazo Cerrado, FIGURA 3 Gráfica 3A Diagrama de Magnitud y
Gráfica 3B Diagrama de Ángulo, se obtienen en forma automática de Excel tomando la opción
GRÁFICA de dispersión de puntos para las columnas B (Log w) y G (M dB) Gráfica 3A y las
columnas B (Log w) y H (Nº) Gráfica 3B.
GRÁFICA 3A (Gráfica de Magnitud M dB)
8
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
Caso Resuelto 4:
Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel
GRÁFICA 3B (Gráfica de Ángulo de Fase Nº)
Fig. 3: Diagrama de Bode de Lazo Cerrado construido con Excel Caso Resuelto 4
ω1 = A4 = 0.235 rad./seg.
(34)
ω2 = A17 = 2.35 rad./seg.
(35)
ωR = A15 = 1.65 rad./seg.
(36)
Mmax = 3.815 dB
(37)
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
13 de Diciembre del 2011
9