Resúmenes de pósters - Departamento de Matemáticas

RESÚMENES DE PÓSTERS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
Día 1
Martes 24 de Noviembre.
Piso 4 - Edificio H
5:00 - 6:30 p.m
Donde emerge el triángulo de Sierpinski
Jonathan A. Trejos
Universidad del Valle
El matemático W. Sierpinski introdujo su famoso triángulo en el año de 1916 como un ejemplo de una
curva que era a la vez cantoriana (un continuo plano con interior vacío) jordaniana (la imagen continua de
r0, 1s en el plano) que además cumplía varias propiedades anómalas, particularmente que su longitud era
infinita y que todos sus puntos eran de ramificación r2s. Desde su introducción ha ayudado a la comprensión
de la geometría fractal, al ser un ejemplo sencillo e interesante a la vez dentro de la teoría.
El póster mostrará distintas propiedades del tríangulo de Sierpinski y cómo éste puede aparecer en
contextos inesperados: Mencionaremos que el triángulo de Pascal módulo 2 (borrando los pares y los impares) obtiene una estructura autosemejante, la cual es visualmente parecida al triángulo de Sierpinski. La
autosemejanza se prueba con el teorema de Lucas (1878) que nos permite conocer un coeficiente binomial,
módulo la potencia de un primo. Al triángulo de Pascal lo podemos dotar de estructura de grafo y tomando
subconjuntos finitos apropiados podemos hallar epimorfismos entre estos y los grafos asociados al triángulo
de Sierpinski en la construcción usual.
El triángulo de Sierpinski también aparece como un grafo en el juego de la torres de Hanoi o ciertas
representaciones en lógica r3s.
Finalmente se discutirán algunas propiedades geométricas del triángulo de Sierpinski debidas a su comportamiento autosemejante, en qué sentido es un atractor de un sistema iterado de funciones y cómo este
comportamiento puede expresarse tanto determinista como estocásticamente por medio de un cierto tipo
especial de sucesiones r1s.
r 1s
G. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, 2007.
R. Lowen, Handbook of the History of General Topology, 2103.
r3s I. Stewart, Four Encounters with Sierpinski Gasket, Math. Intelligencer (17) 1995.
r 2s
La magia de los reflejos: Uso de software de geometría dinámica para estudiantes de quinto
grado
Daniel Vásquez & Marcos Chacón
Universidad Industrial de Santander
Desde que nacemos hasta que morimos los seres humanos usamos la visión para reconocer nuestro
entorno y poder interactuar con él, pero podemos observar que hay ciertas particularidades que podemos
observar. Un espejo es capaz de reflejar una copia exacta de todo lo que se presente ante él, para explicar
este efecto hay una teoría y es una rama muy fuerte de la Geometría; ésta es la Simetría Axial. Mediante
actividades didácticas que el docente propone a estudiantes de quinto primaria se logrará caracterizar la
construcción del concepto de simetría axial.
Palabras claves: Simetría axial, Cabri II plus, Geometría, Geometría euclídea.
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RESÚMENES DE PÓSTERS MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
Simulaciones con problemas de N -cuerpos
Julián Jiménez
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Tomando como punto de partida la solución al problema de Kepler, así como la solución al problema de
dos cuerpos y la solución al problema restringido de tres cuerpos; se mostrarán los resultados de algunas
simulaciones para comparar la fiabilidad de estas soluciones en la descripción de las órbitas de los planetas
del sistema solar. Para esto compararemos los diferentes parámetros asociados a dichas órbitas en las
tres soluciones mencionadas, con los parámetros reales obtenidos por observación. Los algoritmos que
nos permitirán analizar numéricamente algunos casos particulares del problema de n- cuerpos, así como
la visualización de las soluciones explicitas, serán realizados en Python. Un versión preliminar de estos
códigos se encuentra en el repositorio del autor en la web.
Ese trabajo hace parte del estudio e investigación llevado a cabo en el semillero en sistemas dinámicos y
mecánica celeste de la facultad de matemáticas e ingenierías de la Fundación Universitaria Konrad Lorenz,
dirigido por el profesor Alexander Arredondo.
[1] V. Arnold, V. Kozlov, and A. Neishtadt. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.
Springer, 2006
[2] Curtis, H. Orbital Mechanics for Engineering Students. United States Of America: Elsevier Ltda.
2009
[3] H. Poincaré. Les methods nouvelles de la mécanique celeste. Gauthier-Villars. 1982-1989
Análisis numérico de algunas perturbaciones en el problama de Kepler
Alejandra Torres Manotas
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Podemos decir, que el problema de los n-cuerpos fue establecido por Issac Newton en su libro “Principia Matemática de la Filosofía Natural” en 1687, para modelar el comportamiento del sistema solar. Su
estudio, ha ocupado a algunos de los mejores matemáticos y físicos, y es un problema que sigue siendo
un tema de investigación con gran actividad hoy día, además de ser el punto de encuentro entre varias
disciplinas, como sistemas dinámicos y geometría entre otras. El objetivo de esta propuesta, es mostrar uno
de los resultados del Semillero de Mecánica Celeste de la Fundación Universitaria Konrad Lorenz, sobre
el análisis de un caso particular de este problema, conocido como el problema de fuerza central, cuyo caso
más reconocido y estudiado es el problema de Kepler. Mostraremos evidencia numérica de la forma en que
cambian las trayectorias de los cuerpos cuando se perturba la función de potencial que rige su interacción,
partiendo del caso en que dicha función es la del caso kepleriano.
[1] H.D Curtis, Orbital mechanics for Engineering Students, Elsevier, Second Edition, Dytona Beach,
Florida, USA. 2009
[2] J.G Portilla, Elementos de Astronomía de Posición, Universidad Nacional de Colombia, Observatorio
Astronómico Nacional Bogotá, Colombia. 2009
[3] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon and W. R. Parry, Hyperbolic Geometry, MSRI Publications,
Vol. 31. 1997
[4] F. Manfio, Fundamentos da Geometría, ICMC-USP, Sao Pablo, Basil.
El problema de tres cuerpos
Juan S. Ordoñez Soto
Universidad Nacional de Colombia
A partir del estudio realizado de la solución del Problema de Kepler y del Problema de dos cuerpos,
se procede a estudiar el Problema de los tres cuerpos, para el que es sabido, no existe solución explicita,
siendo este uno de los problemas abiertos de la física-matemática. Sin embargo, a falta de una solución
general, si se han logrado encontrar soluciones particulares, de gran interés matemático y práctico, como
son los puntos de Euler-Lagrange, puntos en los cuales un tercer cuerpo puede incorporarse a un sistema
de dos cuerpos, llamados primarios, sin que el movimiento inicial de estos se vea alterado.
RESÚMENES DE PÓSTERS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
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Nuestro objetivo es presentar el planteamiento y solución de este problema, así como realizar un mapa
de los puntos de Euler-Lagrange en el sistema solar, considerando los diferentes grupos de tres cuerpos:
planetas, sol, lunas, etc, que hagan parte nuestro sistema solar, y poder hacer una estimación de las
distancias astronómicas entre estos puntos en el espacio.
Ese proyecto, hace parte del estudio e investigación llevada a cabo en el Semillero en Sistemas dinámicos
de la facultad de matemáticas e ingenierías de la Fundación Universitaria Konrad Lorenz, dirigido por el
profesor Alexander Arredondo.
[1] V. Arnold, V. Kozlov, and A. Neishtadt. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.
Springer, 2006
[2] Curtis, H. Orbital Mechanics for Engineering Students. United States Of America: Elsevier Ltda.
2009
[3] H. Poincaré. Les methods nouvelles de la mécanique celeste. Gauthier-Villars. 1982-1989
Hiperbolicidad de un modelo de sedimentación polidispersa e información característica
para la implementación del método WENO espectral con multirresolución adaptativa
Francisco de Jesus Arias Domínguez
Universidad Tecnológica De Bolívar
En este trabajo, se describe la implementación del esquema WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory)
de quinto orden [1], incorporando información característica y combinando con la técnica adaptativa de
multirresolución para calcular de manera eficiente, la solución numérica de un modelo de sedimentación de
suspensiones polidispersas, a saber, modelo Höfler y Schwarzer (“modelo HS”) con varias especies descrito
matemáticamente por un sistema no lineal de leyes de conservación. En la referencia [2] se estudia el mismo
problema, pero sin incluir información característica. Más recientemente, en la referencia [3] se desarrollan
experimentos numéricos usando esquemas que incorporan información característica combinados con una
técnica de refinamiento de mallas adaptativas (AMR).
Palabras claves: Multirresolución Adaptativa, modelo cinemático de sedimentación de suspensiones
polidispersas de Höfler - Schwarzer, hiperbolicidad, esquema WENO, leyes de conservación.
[1] A. Harten, Multiresolution algorithms for the numerical solution of hyperbolic conserva- tion laws,
Comm. Pure Appl. Math. Vol. 48 (1995), 1305-1342.
[2]On the implementation of WENO schemes for a class of polydisperse sedimentation models, journal
of Computational physics (2011), 230; 2322–2344.
[3] R. Bürger, R. Donat, P. Mulet and C. A. Vega, Hyperbolicity analysis of polydisperse sedimentation
models via a secular equation for the flux Jacobian, SIAM J. Appl. Math., 70 (2010), 2186–2213.
[4] X.-D. Liu, S. Osher and T. Chan, Weighted essentially non-oscillatory schemes, J. Comput. Phys.,
115 (1994), 200–212.
Esquema óptimo para solución de la ecuación diferencial parcial que modela la propagación
de una onda en un medio visco-acústico
Miguel Angel Ospina Pabón
Universidad de Antioquia
En 1996, Churl-Hyun Jo introdujo una nueva técnica usando Diferencias Finitas para la solución de
la Ecuación de Helmholtz homogénea en un medio acústico, combinando mallas usuales y mallas rotadas,
mostrando que esta solución es mucho más optima que Diferencias Finitas Usuales mediante Análisis de
Dispersión. En poster pretendemos mostrar una solución numérica de la ecuación de Helmholtz Homogénea
para un medio acústico con atenuación, es decir, donde el número de onda es complejo, usando la misma
técnica propuesta por Jo y aplicando esta técnica a la solución de la ecuación diferencial parcial que modela
la propagación de una onda en un medio visco-acustico.
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RESÚMENES DE PÓSTERS MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
Una introducción a las álgebras de Hopf
Lady Estefania Murcia Lozano
Universidad Distrital
Se presentan algunas nociones preliminares importantes, como el concepto de álgebra, coálgebra y
biálgebra, necesarias para una comprensión acertada de un álgebra de Hopf, además se apoya este concepto
con variados ejemplos. También se presentan brevemente las acciones y coacciones de las Álgebras de Hopf
sobre otras álgebras, con el fin de mencionar su papel en la extensión Hopf-Galois.
Día 2
Miércoles 25 de Noviembre.
Piso 4 - Edificio H
5:00 - 6:30 p.m
Teorías Cuánticas Topológicas de Campos bidimensionales
Milton Manuel Aguirre Valencia
Universidad del Valle
Una Teoría Cuántica Topológica de Campos (TCTC), es una teoría cuántica de campos que permite
calcular invariantes topológicos. Estas fueron introducidas por M. Atiyah en 1988 inspirado en parte por
los axiomas de la teoría de campos conformes de G. Segal y las ideas de E. Witten sobre el significado
geometrico de la supersimetría. Aunque las TCTC’s están definidas para cualquier dimension, en esta
presentacion nos limitaremos a tratar únicamente el caso en el que la dimension es igual a dos. Para
ser mas precisos, una TCTC bidimensional cerrada es un functor monoidal simétrico de la categoría de
cobordismos Bord2 a la categoría de espacios vectoriales complejos VectC , donde los objetos de la categoría
Bord2 son uniones disjuntas de círculos orientados y los morfismos son cobordismos cerrados entre dichas
uniones. De manera similar, una TCTC bidimensional cerrada/abierta es un functor monoidal simétrico
c|o
de la categoría de cobordismos cerrados/abiertos Bord2 a la categoría de espacios vectoriales complejos
c|o
c|o
VectC , donde los objetos de la categoría Bord2 son uniones disjuntas de círculos orientados e intervalos
abiertos y los morfismos son cobordismos cerrados/abiertos entre dichas uniones. Tanto Bord2 como
c|o
Bord2 tienen estructura de categoría monoidal simétrica al igual que la categoría VectC . Así pues, a
c|o
grandes rasgos, una TCTC bidimensional permite asociarle a cada objeto geométrico de Bord2 o Bord2
un objeto algebraico en VectC , y a cada cobordismo cerrado o cerrado/abierto, una transformación lineal
de forma tal que las uniones disjuntas se convierten en productos tensoriales, tanto al nivel de objetos
como al nivel de morfismos. El propósito principal de este poster es hacer una pequeña introducción a
las TCTC’s bidimensionales cerradas y cerradas/abiertas y mostrar que estas admiten una descripcion
algebraica en términos de álgebras de Frobenius conmutativas y categorías de Calabi-Yau.
Importancia de la Teoría de grafos en las ciencias básicas
Arvey Sebastián Velandia Rodríguez & Joao Antonio Alfonso Pinilla
Universidad Industrial de Santander
Las matemáticas discretas han visto un gran número de problemas difíciles de resolver. En teoría de
grafos, mucha de la investigación realizada en sus inicios fue motivada por intentos para probar el teorema
de los 4 colores, el cual fue probado más de cien años después de su inicial descripción. El problema de los
puentes de konigsberg, un problema clásico del prolífico Leonhard Euler.
La teoría de grafos es una rama de la matemática discreta y de las aplicadas, y es un tratado que
usa diferentes conceptos de diversas áreas como análisis combinatorio, álgebra abstracta, probabilidad,
geometría de polígonos, aritméticas y topología.
Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación, telecomunicaciones y ciencias básicas esta última base de nuestra investigación ya que el Grafo
juega un papel importante en la fundamentación matemática de las Ciencias. Los grafos constituyen una
herramienta básica para modelar fenómenos discretos y son fundamentales para la comprensión de las
estructuras de datos y el análisis de algoritmos. En matemáticas y en las demás ciencias, la teoría de grafos
RESÚMENES DE PÓSTERS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
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estudia las propiedades de los grafos, que son colecciones de objetos llamados vértices (o nodos) conectados
por líneas llamadas aristas (o arcos) que pueden tener orientación (dirección asignada). Típicamente, un
grafo está diseñado por una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).
El centro de esta investigación la cual nos lleva críticamente el impacto que ha generado los grafos en
las ciencias básicas ya dadas como la química, física, biología, y la construcción de mapas conceptuales.
¿El quinto postulado de Euclides es la causa de las geometrías no Euclidianas?
Cristian Horacio Saavedra Traslaviña & Liliana Marcela Sarmiento Zúñiga
Universidad Industrial de Santander
A lo largo de la historia de la matemática se han desarrollado diferentes corrientes y objetos de estudio,
estos a su vez generan ramas de investigación interesante que en muchas ocasiones contradicen otras o las
profundizan, este es el caso que encontramos en la geometría euclidiana, como durante muchos siglos se
hablaba de una construcción matemática basada en los planteamientos de Euclides.
Euclides, en su libro “Los elementos” formalizo el primer concepto de geometría universal que se construía a partir de 5 postulados, los cuales generaban un tipo de geometría con fácil acceso y comprensibilidad. Ahora bien, el quinto postulado fue objeto de grandes cuestionamientos, pues en la naturaleza
se encontraban elementos que no eran descritos en la geometría Euclidea, ocasionando así, el interés de
algunos filósofos y matemáticos que vieron esto como un objeto de estudio. Este es el caso de Immanuel
Kant, Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard que en los siglos XVIII y XIX
de manera independientes desarrollaron y teorizaron acerca de descripciones geométricas visibles en la
naturaleza
Este poster intentara mostrar como a lo largo de la historia se desarrolló la conceptualización de la
geometría y la descripción de los fenómenos naturales por medio de esta. Aun así estos fenómenos naturales
no son descritos en su mayoría por los postulados de Euclides lo que ocasiona que diversos autores se
cuestionen como formalizar y generalizar esto. Ahora bien el 5 postulado de Euclides se convierte en un
punto clave de estas nuevas teorías en la construcción de una geometría que explique a cabalidad el universo
y su comportamiento. Gracias a ello se han producido avances muy importantes en la ciencia y hoy en día
son objeto de estudio de estos, de modo que se han posicionado como bases y herramientas teóricas para
explicar el comportamiento del universo.
Sucesión Thue-Morse
Jackson Guevara
Universidad Industrial de Santander
La sucesión de Prouhet-Thue-Morse mejor conocida como la sucesión de Thue-Morse, es una sucesión
binaria descubierta por Eugéne Prouhet en 1851 y aplicada en la teoría de números, sin embargo éste,
no la menciona explícitamente en sus estudios. Por otro lado quienes sí lo hicieron de forma explícita,
fueron Axel Thue en 1906, la cual aplicó en un estudio de combinatoria lingüística y Marston Morse quien
la redescubre en 1921 y la aplica en la geometría diferencial. Pero no solamente ha estado presente en
estudios matemáticos, también ha sido utilizada en la teoría del ajedrez en 1929 por Max Euwe, y en la
música. Por lo tanto esta sucesión cuenta con diferentes formas de definirla y con múltiples propiedades
que se dan en diversas ramas de las matemáticas, definir la sucesión en otras bases es algo que se hace
posible mostrar, y observar de que manera se comportan algunas de las propiedades de la sucesión en otras
bases.
Lógicas Extendidas y divergentes
Laura Karina Luis Acuña & Leidy Johanna Parra Hende
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Se presenta la clasificación de los diferentes tipos de lógicas no clásicas, y las diferencias entre las
lógicas donde se extienden a la clásica “extendidas” y las llamadas “divergentes” donde se rompen la
estructura clásica. Mostraremos ejemplos de enunciados en algunas de las lógicas más conocidas dentro de
las distintas aplicaciones. Seleccionamos oraciones en la lógica modal, epistémica, temporal, “borrosas o
fusi” y polivalentes.
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RESÚMENES DE PÓSTERS MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
El sistema S2 de la lógica Modal
Felipe Vanegas Quiñones & Juan Sebastian Martinez Conejo
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
El sistema S2 es una extensión de la lógica modal K, que se extiende adicionando el axioma p está
fue presentada por Alban en 1943. Dicha lógica modal no normal S2, tiene un algoritmo por el método
de Tableaux, a partir del cual presentaremos ejemplos de dicha lógica modal. Las lógicas no normales
se caracterizan semánticamente por admitir mundos no normales en sus modelos, esto es, mundos en los
que no valen las condiciones semánticas usuales para los operadores modales. Se mostraran los marcos de
Saul Kripke como la caracterización de los mundos tanto normales como, no normales, y ejemplos de su
aparición dentro del método del tableaux.
Lógica trivalente
Luisa Fernanda Rodríguez Martínez & Julian David Bolagay Correa
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
La lógica trivalente se caracteriza por contemplar tres valores de verdad, lo verdadero lo falso y lo que
no es ni verdadero ni falso, por desconocimiento o incertidumbre. En dicha lógica se rompe el principio de
bivalencia de la lógica clásica, es decir no satisface la propiedad estructural para los enunciados de ser solo
verdaderos o falsos. También difiere de la clásica en la validez de los silogismos como el modus ponens,
modus tollens entre otros. Presentaremos tablas de verdad para las lógicas trivalentes propuestas por los
autores: Lukasiewicz, Bochvar, Kleene.
El sistema K de la lógica Modal
Laura Milena Gaona Rativa & Anderson Stiven Quintero Español
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Se presentara el algoritmo por el método del tableaux para la lógica modal K. El método de tableaux
para la lógica modal que usaremos se basa fundamentalmente en la idea de Fitting, desarrollada también
por Gore, Masacci, Priest y otros, de usar índices en las fórmulas, los cuales informalmente denotan un
mundo posible de un modelo kripkeano que se pretende construir.
Lógica Epistémica
Elkin Triana Mora & Luz Amparo Carranza G
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
La lógica epistémica expresa razonamientos donde es importante el conocimiento que tiene un “agente”
o varios de ellos en una determinada situación. Se presentarán formulas en esta lógica donde se incluyen el
operador de conocimiento K para un determinado agente. El método del tableaux es en esencia un algoritmo
con el cual se puede comprobar de forma automática la veracidad de algún teorema determinado. Para la
lógica epistémica se analiza si satisface una formula A, en cierta clase de modelo C previamente fijado.
Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes, Carrera 1 N. 18A - 10, Bogotá, COLOMBIA. Tel: +571
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