x - SMIE

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
PRESENTACION DE UN NUEVO MODELO MATEMATICO PARA EL ANALISIS SISMICO
DINAMICO DE ESTRUCTURAS DE RESPUESTA NO LINEAL CONSIDERANDO EL EFECTO P- Δ
Ing. José Alejandro Gómez Hernández *
RESUMEN
El objetivo del presente estudio es presentar un modelo matemático para deducir la función de períodos de
vibración “ T(x,μ) ” (Ec.- 5) y la carga critica de pandeo dinámica “ Pcn(xu,μ) ” (Ec.- 4) para estructuras de
respuesta no lineal para edificios de un nivel en función de su desplazamiento y su ductilidad con base en los
métodos de la Dinámica Estructural no lineal (Fig.-1).
SUMMARY
This paper presents a new mathematical model for the function of vibration periods “ T(x,μ) ” (Ec.- 5) for
building structures with nonlinear behavior. This model is based on the advanced theory of structural
dynamics, considering a SDOF system (Fig.-1). Also this paper presents a formula for calculation of
dynamical critical load “ Pcn(xu,μ) ” (Ec.- 4).
INTRODUCCIÓN
El problema de calcular el período de vibración de una estructura no lineal de un edificio es de gran
importancia para el diseño sísmico de las estructuras ya que de no hacerlo se corre el riesgo de que el sistema
suelo-estructura se encuentre dentro del rango en el cual ocurre el fenómeno de amplificación de respuestas
no lineales, propiciando efectos destructivos en la estructura, como resultado de la amplificación de acciones
que se pueden generar. Este parámetro es determinante en el comportamiento dinámico de las estructuras, por
estas razones es importante calcular su magnitud y rango de variación, con la mejor precisión posible.
También es muy importante calcular la carga critica de pandeo dinámica “ Pcn(xu,μ) ” para estructuras de
respuesta no lineal con el fin de evitar este tipo de falla que se propicia con el efecto “ P - Δ ”.
ANTECEDENTES
Este importante problema ya ha sido estudiado por varios investigadores, los cuales han propuesto diversos
modelos de diferentes tipos como lo son los analíticos, los empíricos y los semiempíricos. En este estudio se
presenta un modelo de tipo analítico, considerando comportamiento elástico no lineal en el modelo de la
estructura y todas las hipótesis pertenecientes a la mecánica de sólidos no lineal, las cuales se dan por
conocidas. Los modelos existentes los hay desde los simplistas hasta los complicados y sus resultados
presentan dispersiones importantes.
Los modelos analíticos basados en comportamiento elástico no lineal tienen una dispersión mucho menor
entre los de su mismo tipo. Los modelos que aquí se presentan se han comparado contra varios modelos de su
tipo con aceptación internacional, como lo son los métodos de Rosenblueth, Newmark, el de Duffing, el de
Elemento finito elástico no lineal y el numérico de diferencias finitas obteniendo resultados y conclusiones
que dan sustento al modelo propuesto. Este modelo da resultados satisfactorios para las estructuras de
concreto reforzado y en general para las estructuras de respuesta no lineal.
---------------------------------------------------(XVI – CNIE – SMIE, A.C. – VERACRUZ, VER. MEX. - NOV/2008)
* Director General de AGH Ingenieros, A. C. (Consultor en Ingeniería Estructural y Geotécnica – UNAM)
MEXICO, D. F. / TEL.-55-24-72-22 / CEL.- 044-55-27199018 / e-mail: [email protected]
1
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
Es importante comentar y enfatizar que los resultados experimentales obtenidos de la instrumentación de más
de 350 edificios ubicados en México y E.U.A. reflejan de forma general las siguientes tendencias de
respuesta ante vibraciones ambientales y sísmicas :
- El período real “ T(x,μ),⏐x⏐> 0 ” ( no lineal) de las estructuras medido en pruebas de vibración ambiental
es mayor que el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,μ) ”.
- El período real “ T(x,μ),⏐x⏐> 0 ” ( no lineal) de las estructuras medido en pruebas de vibración sísmica de
intensidad media es mayor que el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,μ) ” y que el período
fundamental medido en pruebas de vibración ambiental.
- El período real “ T(x,μ),⏐x⏐> 0 ” ( no lineal) de una estructura particular medido en pruebas de vibración
ambiental y sísmica cumple con la siguiente relación “ T(b,μ) > T(a,μ), ⏐b⏐ > ⏐a⏐, x∈R ”.
El modelo elástico lineal modela la respuesta dinámica máxima de forma aproximada si en este modelo se
usan los parámetros dinámicos experimentales tales como el período dominante real no lineal, el
amortiguamiento y la forma modal dominante, obtenidos de un edificio instrumentado sujeto a acción
sísmica al cual se desea modelar matemáticamente para ese mismo movimiento sísmico en particular y
reproducir matemáticamente su respuesta experimental ya obtenida.
Los resultados experimentales medidos en pruebas de vibración sísmica de intensidad baja, media y mayor
registran fuertes incrementos en el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,μ) ” que no se pueden
justificar con argumentos simplistas como se ha intentado hacerlo hasta la fecha por muchos investigadores
que aún confían en las capacidades del modelo elástico lineal el cual es el paradigma de diseño dominante.
Actualmente existe un conjunto de investigadores que ya han detectado las limitaciones del modelo elástico
lineal y están trabajando en otras líneas de investigación entre ellas las de respuesta no lineal.
Los desastres sísmicos recientes en el mundo y muy especialmente en E.U.A., México y Japón, que son
países líderes en ingeniería sísmica ponen en evidencia que el paradigma de diseño actual debe de ser
cuestionado, revisado y corregido esto es que se debe de cambiar el actual paradigma de diseño por otro que
dé resultados satisfactorios para la sociedad a la que servimos.
Se propone estudiar, experimentar, revisar y aplicar el paradigma de diseño basado en el análisis no lineal.
Los resultados experimentales indican y demuestran que la respuesta dinámica de la gran mayoría de las
estructuras de edificios reales es de tipo no lineal y por lo tanto los actuales criterios de análisis elástico lineal
no modelan adecuadamente la respuesta dinámica de las estructuras reales de concreto y acero ante sismos.
La naturaleza del problema de diseño sísmico es muy compleja y su estudio requiere un tratado completo por
lo que en este estudio sólo daremos un paso adelante aplicando el análisis elástico no lineal que es más
adecuado para modelar la respuesta dinámica de las estructuras de edificios reales de comportamiento no
lineal. Este modelo es especialmente acertado para estructuras de marcos rígidos de concreto reforzado.
PRESENTACION DEL MODELO MATEMÁTICO
Este modelo de 1D desarrolla una solución cerrada que tiene por objeto obtener la función “ T(x,μ) ” de los
períodos de vibración libre de una estructura simétrica de comportamiento elástico no lineal de un edificio con
un nivel horizontal con propiedades de rigidez no lineal en su entrepiso y considera el efecto “ P - Δ ” (Fig.-1).
También es muy importante la deducción de la carga critica de pandeo dinámica “ Pcn(xu,μ) ” para
estructuras de respuesta no lineal con el fin de evitar este tipo de falla que se propicia con el efecto “ P - Δ ”.
2
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis teóricas: el comportamiento de la estructura es
aproximadamente de tipo elástico no lineal en un rango de sus desplazamientos relativos y cumple con las
hipótesis simplificadoras de la Dinámica Estructural no lineal, el modelo es unidimensional y considera la
ductilidad estructural “μ” como se define en este artículo (Fig.-2) y (Ec.-1).
El modelo acepta que una viga de cortante en cantilever discretizada (Péndulo invertido) (Fig.-1)es capaz de
representar a la estructura como usualmente se considera en la práctica de la ingeniería sísmica.
La solución es aproximada, considerando que las premisas antes citadas son aproximadamente isomorfas al
sistema real en una etapa de su comportamiento, como la experiencia lo indica.
Además el análisis dinámico tiene su propio rango de aproximación. En resumen el modelo cumple su
objetivo satisfactoriamente, dentro de los rangos usuales en ingeniería sísmica.
Cabe aclarar que el modelo que se presenta aquí para 1D y 1 grado de libertad se puede generalizar para el
caso de 1D y n grados de libertad.
Dentro del ámbito del análisis elástico no lineal la solución teóricamente exacta sería la que se obtiene de la
relación fuerza deformación obtenida experimentalmente del sistema estructural estudiado de forma
numérica y gráfica pero este criterio no permite una solución general analítica del problema por lo que es
conveniente para poner la información en términos analíticos usar una función polinomial que represente de
forma aproximada a la relación fuerza deformación no lineal “ F = F(x,μ) ” en la que responde la estructura
real. Esta relación se puede modelar de forma adecuada por el método del polinomio de Lagrange o de forma
más simple con un ajuste de curvas por el método de los mínimos cuadrados o por otro método de
aproximación similar a los mencionados que consideren la condición: “ F’(xu,μ) = 0 y Fu = F(xu,μ) ”.
Observando que la condición de falla de la estructura ocurre cuando la rigidez efectiva del sistema estructural
vale cero al alcanzar la deformación de falla en el punto en donde se localiza la fuerza máxima que puede
tomar la estructura entonces se puede plantear a partir de esta condición la ecuación de donde se obtiene la
carga critica de pandeo dinámico no lineal por sismo, esto es posible al considerar de forma explicita el efecto
“ P - Δ ” en la ecuación diferencial del modelo sísmico dentro del ámbito de la teoría de deformaciones
pequeñas.
Es importante mencionar que el modelo elastoplástico perfecto que se usa actualmente de forma
indiscriminada en el ámbito internacional no modela adecuadamente en la mayoría de los casos reales ya que
ese tipo de respuesta no se presenta en las estructuras que soportan carga vertical importante y/ó tienen un
mecanismo de falla del tipo de columna débil y vigas fuertes, situación que es muy común en las estructuras
de edificios reales (Fig.-1).
Considerando lo antes dicho para simplificar el problema y obtener resultados analíticos generales se
determinó que el conjunto de polinomios más sencillo que se aproxima de forma adecuada a la relación
fuerza deformación no lineal “F = F(x,μ) donde F’(xu,μ) = 0 ” (Ec.-2) de las estructuras reales es un
conjunto de polinomios del tipo de AGH-Duffing con ablandamiento por deformación como se presenta a
continuación (Fig.-2). Este modelo de análisis es una aportación original del autor a la dinámica no lineal.
Cabe aclarar que el desarrollo de estos modelos mediante ecuaciones diferenciales (Ec.-3.1 y 3.2) se ha
efectuado dentro del ámbito de la teoría de deformaciones pequeñas para comportamiento lineal y no lineal.
Para estos modelos en el ámbito lineal y no lineal se presenta su análisis de respuestas ante vibración libre,
vibración libre amortiguada y vibración forzada amortiguada en los Anexos – 2, 3 y 4, de este articulo.
3
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO MATEMÁTICO GRAFICO
DEFINICION DE VARIABLES, PARAMETROS Y FORMULAS QUE LOS RELACIONAN:
u:
(desplazamiento del terreno “+” en el sentido “x”)
xy :
(desplazamiento de fluencia “+” en el sentido “x”)
xu :
(desplazamiento de falla ó ultimo “+” en el sentido “x”)
xu
xy
μ=
(factor de ductilidad )
x:
(desplazamiento de trabajo en el sentido “x”)
F = F ( x, μ ) :
(fuerza cortante en la base)
K ( x, μ ) =
ko =
F
x
(rigidez no lineal de entrepiso a fuerza cortante)
F
xo
(rigidez lineal de entrepiso a cortante)
F ( x, μ ) = ko x(1 − β x
n=
μ
)
(fuerza elástica no lineal tipo AGH-Duffing)
(exponente de la función de fuerza elástica no lineal)
μ −1
β =
n−1
1
nx
n −1
u
(modulo – β - de la función de fuerza elástica no lineal)
m
(masa del nivel “1”)
g = 9.81 (m/seg2)
(aceleración de la gravedad)
w = mg
(peso del nivel “1”)
ko
m
ωo =
To =
fo =
2π
ωo
1
To
(frecuencia circular - elástica lineal en rad/seg.)
(período fundamental elástico lineal en seg.)
(frecuencia fundamental elástica lineal en Hz.)
4
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
VIGA DE CORTANTE DISCRETIZADA
(Fig.-1)
RELACION FUERZA DEFORMACION
Factor de ductilidad :
μ =
Fuerza elástica no lineal :
xu
xy
(Ec.-1) ;
n=
μ
μ −1
F ( x , μ ) = k o x (1 − β x
;
d
dx
F ( xu , μ ) = 0
1
μ −1
)
(Ec.-2) ;
x∈R
(Fig.-2)
5
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL
DEFINICION DE LAS FUERZAS QUE ACTUAN EN CONDICION DINAMICA POR SISMO Y FORMULAS
QUE LAS RELACIONAN:
F1 = − k o x (1 − β x
F 2 = − c x&
F3 =
mg
x
H
1
μ −1
)
(fuerza elástica no lineal tipo AGH-Duffing) (Ec.-2)
(fuerza de amortiguamiento viscoso equivalente) (Ec.-2.1)
(fuerza equivalente por efecto “ P - Δ ”) (Ec.-2.2)
APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON A LA DEDUCCIÓN DE LA
ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL DE LA INGENIERIA SÍSMICA
CONSIDERANDO EL EFECTO P- Δ EN LA ESTRUCTURA
d2
m
(s) =
dt 2
3
∑
Fi
(Ec.-3)
1
s = u+ x
d2
m
(u + x ) =
dt 2
3
∑
Fi
1
6
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA INGENIERIA SÍSMICA EN NOTACIÓN DE LEIBNIZ
1
d2
dx
μ −1
m 2 (u + x ) = − c
− k o x (1 − β x ) +
dt
dt
mg
H
x
2
1
d 2x
dx
d
u
+ k o x (1 − β x μ −1 ) − mg
=
−
m 2 +c
x
m
H
dt
dt
dt 2
(Ec.-3.1)
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA INGENIERIA SÍSMICA EN NOTACIÓN DE NEWTON
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
mg
H
x = − m u&&
(Ec.-3.2)
DEDUCCIÓN DE LA CARGA CRITICA DINAMICA POR SISMO
Observando que la condición de falla ocurre cuando la rigidez efectiva vale cero entonces se puede plantear la
siguiente ecuación de donde se obtiene la carga critica de pandeo dinámico no lineal por sismo.
(1 − β x u
P cn ( x u , μ ) =
Pc
1
μ −1
−
mg
ko H
)=0
Pc
μ
(carga critica no lineal dinámica) (Ec.-4)
(carga critica lineal dinámica).
7
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO PROPUESTO
RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING
El modelo de ley constitutiva de tipo Duffing se basa en la teoría de la dinámica no lineal y a partir de la
ecuación diferencial no lineal se determina la función de períodos de vibración no lineal de un sistema masa –
resorte elástico no lineal que es un problema clásico de los pocos que tienen una solución analítica
aproximada pues como es bien sabido la gran mayoría de los modelos dinámicos no lineales no tienen una
solución analítica. Este modelo estudia una familia completa de respuestas que incluyen desde el caso lineal y
hasta el caso elastoplástico pasando por los casos intermedios de respuesta no lineal.
En este caso se ha generalizado la propuesta de Duffing para su aplicación a una viga de cortante de masa
discretizada. El modelo se presenta con la ecuación (Ec.-2). Este modelo de forma aproximada representa la
fuerza de respuesta dinámica de un sistema estructural no lineal por causa del comportamiento de su material
y por el efecto de no linealidad geométrica ya que considera la acción “ P - Δ ” (Fig.-1), lo cual puede
incrementar los desplazamientos y esfuerzos dinámicos actuantes en la estructura.
RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING
F ( x , μ ) = k o x (1 − β x
1
μ −1
)
(Ec.-2)
GRAFICAS DE LA RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING
(Fig.-3)
8
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ECUACION DIFERENCIAL NO LINEAL DE VIBRACIONES LIBRES
De la dinámica estructural no lineal se puede establecer la ecuación diferencial de vibración libre (Ec.-3.3) de
una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing como
sigue (ver ANEXO-1 y ANEXO-2):
m &x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)=0
(Ec.-3.3)
FUNCION DE PERIODOS DE VIBRACION DE ESTRUCTURAS DE RESPUESTA NO LINEAL
De la ecuación diferencial de vibración libre de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta
elástica no lineal del tipo AGH-Duffing se obtiene la función de períodos no lineales (Ec.-5) como sigue:
T ( x, μ ) =
1− (
To
)
μ −1 1 .2
μ
⋅
1
x
xu
μ −1
(Ec.-5)
Esta ecuación integra el modelo matemático propuesto para el cálculo de la función de períodos de vibración
no lineal de una estructura considerando los efectos de amplificación o atenuación dinámica y fue deducida
por el método numérico de diferencias finitas de L.Euler y por el método aproximado de AGH para calcular
las funciones de períodos de sistemas dinámicos no lineales con un exponente de ajuste de 1.2 para cerrar el
rango de la función de forma aproximada con el valor del límite teórico de la función cuando “ x = xu ”.
Esta función cumple de forma compatible con los límites teóricos del análisis dinámico no lineal:
__
“ T(x,1) = To ”, “ T(0,μ) = To ” y “ T(xu ,μ) ≈ To (0.9) √μ ”.
Este modelo puede considerarse como cuasi exacto, por el rango de aproximación de sus resultados al
compararse con los modelos más complejos, elaborados con el método de elemento finito no lineal en dos y
tres dimensiones.
También se efectuó la comparación entre los resultados del modelo y algunos resultados experimentales,
observando que sus diferencias fueron inferiores al 10 %.
Cabe decir aquí que el efecto del comportamiento no lineal de la estructura genera un incremento al valor del
período fundamental lineal, el cual varía en la mayoría de los casos prácticos entre el 10 % para vibración
ligera y el 300 % para vibración extrema próxima a la condición de falla de la estructura, como lo consigna la
literatura técnica especializada en ingeniería sísmica.
Es importante efectuar un trabajo más amplio en esta línea de investigación de tipo experimental y
documental que permita identificar la precisión del modelo y su correcta calibración.
(ver la deducción de la fórmula (Ec.-5) por el método aproximado de AGH en el ANEXO-1)
9
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
GRAFICAS NORMALIZADAS DE LA RELACION DE LA FUNCION DE PERIODOS
NO LINEALES AL PERIODO LINEAL PARA ESTRUCTURAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
T(x,μ) / To
(Fig.- 4)
10
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Los resultados de la Fig.-4 nos muestran con precisión las tendencias del modelo, las cuales son del mismo
tipo que las experimentales comentadas en los antecedentes de este articulo. En especial es importante resaltar
que este modelo coincide y explica el resultado de muchas pruebas de vibración ambiental en que se ha
medido un incremento del período lineal de hasta un 60 % sin encontrar daño estructural aparentemente.
En las graficas de la Fig.-4 se presenta una área de color amarillo la cual representa la zona de valores de
“ T(x ,μ) / To y x / xu ” en donde no hay daño estructural ya que el desplazamiento relativo es inferior o
igual que el de fluencia “0 ≤ x ≤ xy ” y si el desplazamiento relativo está en el rango de “ xy ≤ x ≤ xu ”
entonces existe un grado de daño que puede ser de ligero a mayor pero sin llegar al colapso en el caso de que
el desplazamiento relativo “ x > xu ” entonces se llega al rango donde existe el riesgo de colapso.
El modelo aquí propuesto para un grado de libertad se puede generalizar para el caso de “n” grados de
libertad. y es de tipo asimétrico ya que considera el efecto inducido por el orden de los niveles en la estructura
no lineal analizada. El modelo generalizado es analítico y se sustenta en la dinámica estructural.
AMORTIGUAMIENTO EN LA ESTRUCTURA
El porcentaje de amortiguamiento del valor crítico considerando comportamiento viscoso equivalente en la
estructura depende de muchas variables y de cada tipo de material lo cual requiere de un estudio especial.
En este estudio sólo se indica que el valor que alcanza este parámetro, está entre un 2 % y 10 % del valor
crítico para la mayoría de los tipos de estructuras, para diseño se recomienda considerar un valor de 5 %.
En estructuras con dispositivos de amortiguamiento se pueden alcanzar valores mayores para este importante
parámetro que puede atenuar los efectos nocivos de las vibraciones siempre y cuando el diseño sea el
adecuado para cada caso. Para tomar en cuenta este parámetro en el cálculo del período no lineal se propone
como una primera aproximación usar en la ecuación “5” el valor de “Toa” (Ec.-6.1) en lugar de “To”.
FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO PARA ESTRUCTURAS
η=
1
1−ζ 2
(Ec.-6)
donde
0.02 ≤ ζ ≤ 0.1
PARAMETROS DINAMICOS DE LA ESTRUCTURA PARA DISEÑO SISMICO
Período amortiguado:
Frecuencia lineal amortiguada:
frecuencia circular amortiguada:
Período de vibración libre:
⎛ 1
Toa = Toη = To ⎜
⎜ 1− ζ 2
⎝
1
f oa =
Toa
2π
ω oa =
Toa
To
⎞
⎟ (Ec.-6.1)
⎟
⎠
(Ec.-6.2)
(Ec.-6.3)
Es importante mencionar que el efecto que genera el amortiguamiento en el período fundamental es un
incremento en su valor. El incremento en el valor del período fundamental generado por el amortiguamiento
que varía del 0.01 % al 0.5 %, aproximadamente.
11
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
INTERACCION DINAMICA SUELO – ESTRUCTURA (IDSE)
Los efectos de la interacción dinámica suelo–estructura como bien se sabe son de gran importancia en suelos
blandos como las arcillas de la zona del lago en la ciudad de México, pero también pueden ser de importancia
en suelos de mediana rigidez como los de la zona de transición y se deben de considerar en el diseño.
El tipo de cimentación es una variable fundamental en el fenómeno de IDSE, siendo las cimentaciones
superficiales las más sensibles al fenómeno de amplificación de período derivado de la IDSE.
El efecto fundamental de la IDSE es que genera un sistema estructural más flexible con respecto al de base
rígida, produciendo consecuentemente un incremento en el valor del período de la estructura este incremento
puede ser muy importante y se debe de considerar en el diseño sísmico ya que de no hacerlo el período del
sistema estructural podría igualarse al período dominante del suelo y propiciar el fenómeno de resonancia con
sus efectos nocivos para la estructura tales como un posible incremento en la fuerza cortante basal,
desplazamientos mayores a los de base rígida y un incremento en la magnitud del efecto “ P - Δ ” .
El tema de la IDSE actualmente está abierto a la investigación y existen varios métodos para evaluar sus
efectos, éstos van desde los muy simplificados hasta el análisis explícito y extensivo de la estructura por el
método de elemento finito en 3-D, considerando comportamiento no lineal del suelo y de la estructura.
El reglamento de construcciones del D.F. en sus NTCS-2004, propone la siguiente ecuación para valuar el
efecto de IDSE para el caso elástico lineal:
Toise
⎡ ⎛T
= To ⎢1 + ⎜⎜ x
⎢⎣ ⎝ To
1
2
⎞ ⎛ Tr ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎠ ⎝ To ⎠
2
⎤2
⎥
⎥⎦
(Ec.-7)
EFECTO P- Δ EN ESTRUCTURAS DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
El efecto “ P - Δ ” en estructuras de comportamiento no lineal por la respuesta de los materiales, en sí es un
efecto no lineal de tipo geométrico que se agrega al sistema estructural y genera un incremento adicional al
valor del período fundamental “To” (ver Ec.-9 y10), el cual varía en la mayoría de los casos prácticos entre
el 1 % y el 10 %, para las estructuras de concreto reforzado a base de marcos continuos y es función de la
relación de la carga axial de compresión “P” a la carga critica de pandeo “Pc”.
EFECTO DE LA DEGRADACION DE RIGIDEZ EN ESTRUCTURAS
DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
El efecto de degradación de rigidez de elementos estructurales y de elementos no estructurales por daño en
estructuras de comportamiento no lineal también genera un incremento adicional al valor del período
fundamental “To” (ver Ec.-8, 9 y 10), el cual varía en la mayoría de los casos prácticos en función de la
magnitud del daño estructural por sismo que depende del numero de ciclos “N” de carga y de la amplitud de la
deformación relativa “x / xu” de la estructura en cada ciclo, este efecto se conoce con el nombre de fatiga de
bajo ciclaje y puede conducir a las estructuras y en especial a las de concreto reforzado a base de marcos
continuos al colapso, como lo registra la literatura técnica especializada en ingeniería sísmica.
Se propone una función de degradación de rigidez por cada ciclo de carga del tipo de la ecuación (8):
⎛ x ⎞
φ i = φ i ⎜⎜ i ⎟⎟ = 1 −
⎝ xu ⎠
i
∑
1
x
δi i
xu
α
donde:
1
xi
≥
⇒ daño estructural.
xu
μ
(Ec.-8)
Los valores de “ δi y α ” se determinan con datos experimentales y criterios de probabilidad y estadística.
12
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ECUACION DIFERENCIAL NO LINEAL DE VIBRACION AMORTIGUADA Y FORZADA
CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN
De la dinámica estructural no lineal se puede establecer la ecuación diferencial de vibración amortiguada y
forzada (Ec.-9) de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo
AGH-Duffing, donde “A(t )” es el acelerograma del sismo y también se considera el efecto “ P - Δ ”, el
efecto “ φi ” de degradación de rigidez por daño estructural como sigue (ver ANEXO-4):
1
m&x& + cx& + ko x(1 − β x )φi − HP x = −mA(t )
μ −1
(Ec.-9)
Esta ecuación diferencial no lineal de vibración amortiguada y forzada no se puede resolver de forma analítica
exacta para el caso general por lo que su solución para obtener el período se efectúa por un método
aproximado, aquí se uso el método de AGH y se presenta el resultado en la ecuación (10) para el caso de
vibración libre amortiguada considerando efectos de segundo orden, esto es cuando: A(t )= 0 y xo > 0.
FUNCION DE PERIODOS DE VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA DE ESTRUCTURAS DE
RESPUESTA NO LINEAL CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN
De la ecuación diferencial de vibración amortiguada y forzada de una estructura de un grado de libertad con
fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing se obtiene la función de períodos no lineales para
el ciclo “ i ” considerando los efectos de segundo orden siguientes: interacción suelo estructura,
amortiguamiento, efecto “ P - Δ ” y el efecto “ φi ” de degradación de rigidez por daño mediante la (Ec.-10)
como sigue (ver Fig.-5):
Ti ( x, μ ) =
[
(1 − ζ
2
2
]
μ − 1 1 .2
μ
⋅
( ) +( )
)⋅ ⎛⎜⎝ 1 − − ( )
To 1 +
TX
To
P
Pc
2
Tr
To
1
2
1
x
xu
μ −1
⎞φ
⎟ i
⎠
(Ec.-10)
Esta ecuación integra el modelo matemático propuesto para la función de períodos de vibración no lineal de
una estructura considerando los efectos de segundo orden y fue deducida por el método aproximado de AGH
para determinar las funciones de períodos de sistemas dinámicos no lineales (ver ANEXO-1).
13
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
FUNCION DE PERIODOS NO LINEALES CONSIDERANDO EFECTOS SECUNDARIOS
To := 1
DATOS :
ko := 10
Tx := 0.4
μ := 4
H := 400
Tr := 0.2
xu := 8
n :=
P := 20
ξ := 0.05
μ
φi := 0.96
β :=
μ−1
1
n− 1
n ⋅ xu
n = 1.333
β = 0.375
FUNCION DE PERIODOS NO LINEALES
2.2
2.1
2
1.9
T(x,4) - (seg)
1.8
T ( x, 4)
1.7
Ti( x, 4) 1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
DESPLAZAMIENTO - x (cm)
COMPARACION DE PERIODOS SIN EFECTOS Y CON EFECTOS SECUNDARIOS
T(X, μ ) - SIN EFECTOS SECUNDARIOS
Ti(X, μ ) - CON EFECTOS SECUNDARIOS
T( 0 , μ ) = 1
Ti( 0 , μ ) = 1.123
T( xu, μ ) = 1.851
Ti( xu, μ ) = 2.096
Ti( 0 , μ )
Ti( xu, μ )
T( 0 , μ )
= 1.123
T( xu, μ )
= 1.132
(Fig.- 5)
14
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
OTROS ESTUDIOS DEL PERIODO DE ESTRUCTURAS DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
Cabe decir aquí que el efecto del comportamiento no lineal de la estructura también genera un incremento
adicional al valor del período fundamental “To” (ver Fig.-4), el cual varía en la mayoría de los casos prácticos
entre el 1 % y el 200 %, para estructuras de concreto reforzado de marcos continuos sin daño mayor ó daño
próximo al criterio de falla como lo consigna la literatura técnica especializada en ingeniería sísmica.
Emilio Rosenblueth y N. M. Newmark proponen para el cálculo del período de estructuras con
deformación ultima y con comportamiento no lineal de tipo elastoplástico perfecto en función de la ductilidad
las siguientes fórmulas:
Solución teórica para el caso elastoplástico perfecto
3
⎞
T ( xu , μ ) 1 ⎛
⎜1 + 2μ 2 ⎟ para 4 ≤ μ ≤ 12 ⇒
=
⎟
To
3μ ⎜⎝
⎠
T ( xu , μ )
≈ 0.70 μ
To
(Ec.-11)
Solución aproximada criterio energetico
T ( xu , μ )
=
To
μ
2μ − 1
para
4 ≤ μ ≤ 12 ⇒
T ( xu , μ )
≈ 0.71 μ
To
(Ec.-12)
Otros investigadores proponen para el calculo del período de estructuras con comportamiento no lineal de
tipo elastoplástico perfecto en función de la ductilidad la siguiente formula:
Solución aproximada criterio de la rigidez secante
T ( xu , μ )
= μ
To
para
4 ≤ μ ≤ 12 ⇒
T ( xu , μ )
≈ 1.0 μ
To
(Ec.-13)
Los valores presentados representan de forma aproximada el valor de la relación “T(x,μ) / To” cuando la
deformación del sistema alcanza el valor de “xu = μ xy” a la falla. El modelo propuesto para esta condición
es:
T ( xu , μ )
≈ 0 .9 μ
To
(Ec.-14)
LEY DE RESONANCIA PARA SISTEMAS DINAMICOS LINEALES Y NO LINEALES
DEL TIPO AGH-DUFFING
El modelo propuesto permite establecer las siguientes leyes de resonancia lineal(μ =1) y no lineal(μ >1):
Para que se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que:
“ T(x,1) = To = Ts”.
Para que no se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que: “ T(x,1) = To ≠ Ts”.
Para que se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,μ) = To < Ts”.
Para que no se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,μ) = To > Ts”.
Donde “Ts” es el período dominante del sismo y A(t) es armónico (arcilla de la Cd. de Mex.).
15
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
1.-En la ingeniería práctica existen modelos matemáticos deducidos con base en hipótesis
simplificadoras las cuales generan modelos convencionales ya que no son una fiel representación
matemática del sistema que pretenden modelar; sin embargo, los resultados obtenidos y
frecuentemente calibrados con la experimentación son lo suficientemente buenos para fines de las
aplicaciones prácticas de la ingeniería. Este es el caso de los modelos matemáticos sustentados en la
mecánica de sólidos no lineal y aplicados a la dinámica de las estructuras como el que aquí se presenta.
2.-La experiencia indica que el período fundamental de vibración lineal y el período dominante de
vibración no lineal de las estructuras depende de sus propiedades geométricas, dinámicas, del
amortiguamiento, del desplazamiento relativo, de la ductilidad, de la degradación del material y de la
interacción suelo estructura entre otras características del sistema. El valor de este parámetro es muy
sensible a las variaciones de las propiedades y características del sistema no lineal citadas.
3.-Del inciso “2” se deriva la necesidad de conocer con precisión el valor del período dominante del
suelo y de la estructura ya que de esto depende en parte importante el comportamiento dinámico del
sistema ya que si los períodos están en su intervalo de acoplamiento puede ocurrir el fenómeno de
amplificación de efectos en la estructura, el cual también se le puede llamar resonancia no lineal.
4.-El modelo propuesto estima el efecto de amplificación o de atenuación de efectos generado por la
variación de la rigidez de la estructura en función del desplazamiento y la ductilidad. Cabe decir que
este modelo también se puede aplicar a otro tipo de estructuras como: puentes, tanques elevados, etc.
5.-El modelo propuesto (Ec.-5) se resolvió de forma cerrada con el método de AGH para calculo de
períodos de sistemas mecánicos no lineales y se verificó el resultado obtenido por el método de
Duffing - Timoshenko. La solución teóricamente exacta no se puede obtener de forma general para
todos los casos posibles con una fórmula algebraica sencilla en estructuras no lineales ya que éstas se
modelan con ecuaciones diferenciales no lineales las cuales no tienen solución analítica conocida.
6.-El amortiguamiento aparente y el efecto “P-Δ” de la estructura se deben de considerar
explícitamente para la calibración del modelo. Para diseño se debe de considerar el período con una
corrección adicional por efecto de interacción suelo estructura si este es importante.
7.-El modelo propuesto permite establecer las siguientes leyes de resonancia lineal y no lineal (μ >1):
Para que se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que (μ =1): “ T(x,1) = To = Ts”.
Para que no se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que:
“ T(x,1) = To ≠ Ts”.
Para que se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que:
“ T(0,μ) = To < Ts”.
Para que no se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,μ) = To > Ts”.
Donde “Ts” es el período dominante del sismo y A(t) es armónico (arcilla de la Cd. de Mex.).
8.-El cálculo del valor del período dominante de la estructura no lineal es fundamental para el diseño
sísmico por el método dinámico de análisis paso a paso de respuesta a un temblor específico con objeto
de evitar que la estructura entre en resonancia no lineal.
9.-El modelo propuesto se ha verificado con resultados empíricos y con resultados de modelos,
elaborados por el método de elemento finito no lineal obteniendo resultados muy similares, lo que
confirma la buena capacidad del modelo propuesto. También se ha propuesto una nueva definición del
factor de ductilidad “μ ” (ver Fig.-2), para reducir ó evitar el riesgo de colapso de las estructuras.
10.-Se presenta la deducción de la carga critica de pandeo dinámica “Pcn(xu,μ)”(Ec.-4) para estructuras
de respuesta no lineal con el fin de evitar este tipo de falla que se propicia con el efecto “P-Δ”.
11.-Se propone revisar y corregir el actual modelo sísmico que es ingenuo para estructuras no lineales.
16
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ANEXO – 1
DEDUCCION DE LA FUNCION DE PERIODOS DE VIBRACION LIBRE DE ESTRUCTURAS DE
COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE UN GRADO DE LIBERTAD POR EL METODO DE AGH
Modelo para viga de cortante con masa discretizada:
(Fig.-A1-1)
Método aproximado de AGH
Ecuación diferencial no lineal de vibraciones libres:
m&x& + kxf ( x , μ ) = 0
Para valores pequeños de “ x << xu ”:
ω ( x, μ ) ≈ ω o
Considerando de forma aproximada:
ω 2 ( x , μ ) ⋅ x ≈ ω o2 xf ( x , μ )
Se obtiene la frecuencia circular no lineal:
ω ( x, μ ) ≈ ω o
Se obtiene la función de períodos no lineales:
T ( x, μ ) ≈
f ( x, μ )
To
f ( x, μ )
(Ec.-A1-1)
Aplicando el método de AGH se obtiene una buena aproximación para valores pequeños de “x << xu”.
Aplicando un factor de ajuste a la formula basado en datos certeros, entonces la formula es cuasi exacta.
__
El error en el cálculo de “ T(0,μ) = To ” es cero y para “ T(xu, μ) = √ μ ” el error es del orden del +10 %.
Este método de análisis aproximado para obtener la función de períodos no lineales es una aportación del
autor: Ing. J. Alejandro Gómez H., a la dinámica de sistemas no lineales en el ámbito internacional.
17
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
ANEXO – 2
ANALISIS PASO A PASO DE 4 MODELOS MATEMATICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y
NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING EXITADOS POR VIBRACIÓN LIBRE
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES DE VIBRACION LIBRE
De la dinámica estructural lineal y no lineal se pueden establecer las ecuaciones diferenciales de vibración
libre no amortiguada (Ec.-A2-1 a A2-4) para estructuras de un grado de libertad con fuerza de respuesta
elástica lineal y no lineal del tipo AGH-Duffing como sigue:
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x = 0
(Ec.-A2-1)
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x −
P
H
x=0
(Ec.-A2-2)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)=0
(Ec.-A2-3)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
P
H
x=0
(Ec.-A2-4)
Estas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de vibración libre con y sin efecto P- ∆ se pueden
resolver usando algún método numérico, aquí se uso el método de Runge Kutta y se presentan algunos
resultados para mostrar las diferencias de respuesta entre las estructuras que responden a los modelos aquí
presentados.
18
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
DATOS DE LA ESTRUCTURA LINEAL Y NO LINEAL PARA ANÁLISIS PASO A PASO
P = w = mg = 227.0 ton. , ko = 10.0 ton./cm. , x = 10.0 cm., xu = 10.0 cm., μ = 2 , H
= 400 cm.
To = 0.96 seg. (PERIODO LINEAL )
T(0.0, 2.0) = 0.96 seg. (PERIODO INICIAL NO LINEAL)
RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS DE LOS MODELOS DE ESTRUCTURAS
LINEALES Y NO LINEALES CON Y SIN EFECTO P- ∆
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x = 0
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS LINEAL SIN P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
2
U s
0
2
4
6
8
10
12
10
0.961.92
( )
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U s
( )
TIEMPO - t (seg.)
(Fig.-A2-1)
To := 0.96
x := 10 xu := 10
μ := 1.001
To
T :=
1
1.2
⎛ μ − 1 ⎞ ⋅⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ ⎝ xu ⎠
μ −1
1−⎜
T = 0.96
19
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x −
P
H
x=0
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS LINEAL CON P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
U s 2
0
2
4
6
8
10
12
10
0.991.98
( )
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U s
( )
TIEMPO - t (seg.)
(Fig.-A2-2)
To := 0.96
x := 10
xu := 10
μ := 1
To
T :=
1
1.2
⎛ μ − 1 ⎞ ⋅⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ ⎝ xu ⎠
1−⎜
μ −1
−
w
K⋅ H
T = 0.99
20
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x (1 − β x
)=0
ANALISIS NO LINEAL SIN P-D
12.0
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
1
μ −1
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
( U⟨1⟩ ) s
− 12.0
10
1.28 2.56
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
0.00
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
30
U
( )s
TIEMPO - t (seg.)
(Fig.-A2-3)
To := 0.96 x := 10
xu := 10
μ := 2
To
T :=
1
1.2
⎛ μ − 1 ⎞ ⋅⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ ⎝ xu ⎠
μ −1
1−⎜
T = 1.28
21
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN LIBRE
m &x& + k o x (1 − β x
)−
P
H
x=0
ANALISIS NO LINEAL CON P-D
12.0
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
1
μ −1
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
( U⟨1⟩ ) s
− 12.0
10
1.35 2.70
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.00
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
30
U
( )s
TIEMPO - t (seg.)
(Fig.-A2-4)
To := 0.96
x := 10
xu := 10
μ := 2
To
T :=
1
1.2
⎛ μ − 1 ⎞ ⋅⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ ⎝ xu ⎠
1−⎜
μ −1
−
w
K⋅ H
T = 1.35
Se concluye que la formula para el calculo del periodo no lineal modela con la suficiente
precisión para los casos teóricos y prácticos que se presentan en las aplicaciones de
ingeniería sísmica. El efecto P- ∆ disminuye la rigidez efectiva del sistema y por lo tanto
alarga el valor del periodo en todos los casos, siendo mas significativo este efecto en las
estructuras de comportamiento no lineal con degradación de rigidez por deformación.
22
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ANEXO – 3
ANALISIS PASO A PASO DE 4 MODELOS MATEMATICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y
NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING EXITADOS POR VIBRACIÓN LIBRE - AMORTIGUADA
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES DE VIBRACION LIBRE- AMORTIGUADA
De la dinámica estructural lineal y no lineal se pueden establecer las ecuaciones diferenciales de vibración
libre amortiguada (Ec.-A3-1 a A3-4) para estructuras de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica
lineal y no lineal del tipo AGH-Duffing como sigue:
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x = 0
(Ec.-A3-1)
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x −
P
H
x=0
(Ec.-A3-2)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)=0
(Ec.-A3-3)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
P
H
x=0
(Ec.-A3-4)
Estas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de vibración libre amortiguada con y sin efecto P- ∆ se
pueden resolver usando algún método numérico, aquí se uso el método de Runge Kutta y se presentan
algunos resultados para mostrar las diferencias de respuesta entre las estructuras que responden a los modelos
aquí presentados.
23
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
DATOS DE LA ESTRUCTURA LINEAL Y NO LINEAL PARA ANÁLISIS PASO A PASO
P = mg = 227.0 ton. , ko = 10.0 ton./cm. , c = 0.05 cc, x = 10.0 cm., xu = 10.0 cm., μ = 2 , H = 400 cm.
To = 0.96 seg. (PERIODO LINEAL )
T(0.0, 2.0) = 0.96 seg. (PERIODO INICIAL NO LINEAL)
RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS DE LOS MODELOS DE ESTRUCTURAS
LINEALES Y NO LINEALES CON Y SIN EFECTO P- ∆
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x = 0
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS LINEAL SIN P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
2
U
s 0
2
4
6
8
10
12
10
0.961.92
( )
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
(Fig.-A3-1)
COMPORTAMIENTO DEL PERIODO EN ESTE MODELO
“ T(x = 0,μ =1) = To = 0.96 ”
T(10.0 ,1) = To = 0.96
T( 7.0 ,1) = To = 0.96
EL PERIODO EN ESTE MODELO LINEAL SE MANTIENE CONSTANTE E INDEPENDIENTE DEL DESPLAZAMIENTO.
24
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x −
P
H
x=0
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS LINEAL CON P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
2
U s
0
2
4
6
8
10
12
10
0.991.98
( )
− 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U
( )s
TIEMPO - t (seg.)
(Fig.-A3-2)
COMPORTAMIENTO DEL PERIODO EN ESTE MODELO
“ T(x = 0,μ =1) = To = 0.96 ”
T(10.0 ,1) = To = 0.99
T( 7.0 ,1) = To = 0.99
EL PERIODO EN ESTE MODELO LINEAL SE MANTIENE CONSTANTE E INDEPENDIENTE DEL DESPLAZAMIENTO.
25
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)=0
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS NO LINEAL SIN P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
U s 2
0
2
4
6
8
10
12
10
1.282.40
( )
− 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
(Fig.-A3-3)
COMPORTAMIENTO DEL PERIODO EN ESTE MODELO
“ T(x = 0,μ =2) = To = 0.96 ”
T(10.0 ,2) = 1.28
T( 6.0 ,2) = 1.12
EL PERIODO EN ESTE MODELO NO LINEAL ES VARIABLE Y DEPENDE DEL DESPLAZAMIENTO Y LA DUCTILIDAD.
26
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆
EN VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
P
H
x=0
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
.
ANALISIS NO LINEAL CON P-D
10
12
10
8
1.35 2.51
6
4
⟨1⟩
2
U
s 0
2
4
6
− 10
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
⟨0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
( )
(Fig.-A3-4)
COMPORTAMIENTO DEL PERIODO EN ESTE MODELO
“ T(x = 0,μ =2) = To = 0.96 ”
T(10.0 ,2) = 1.35
T( 6.0 ,2) = 1.16
EL PERIODO EN ESTE MODELO NO LINEAL ES VARIABLE Y DEPENDE DEL DESPLAZAMIENTO Y LA DUCTILIDAD.
27
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
ANEXO – 4
ANALISIS PASO A PASO DE 4 MODELOS MATEMATICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y
NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING EXITADOS POR ACCION DE UN SISMO EN SU BASE
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES DE VIBRACION FORZADA
De la dinámica estructural lineal y no lineal se pueden establecer las ecuaciones diferenciales de vibración
amortiguada y forzada (Ec.-A4-1 a A4-4) para estructuras de un grado de libertad con fuerza de respuesta
elástica lineal y no lineal del tipo AGH-Duffing como sigue:
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x = − mA (t )
(Ec.-A4-1)
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x −
P
H
x = − mA (t )
(Ec.-A4-2)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
) = − mA (t )
(Ec.-A4-3)
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
P
H
x = − mA (t )
(Ec.-A4-4)
Estas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de vibración amortiguada y forzada con y sin efecto P- ∆
se pueden resolver usando algún método numérico, aquí se uso el método de Runge Kutta y se presentan
algunos resultados para mostrar las diferencias de respuesta entre las estructuras que responden a los modelos
aquí presentados.
28
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ACELEROGRAMA DE ANALISIS - SISMO DEL 19/SEP/1985 EN SCT-- E-W -- MEX. D.F.
A(t): acelerograma del sismo de 1985 – S.C.T. componente E-W.
.
ACELERACION EN GALS.
ACELEROGRAMA-SISMO-19/SEP/1985 - S.C.T.
200
150
100
50
A(t)
0
50
100
150
0.0
200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
t
TIEMPO EN SEGUNDOS
(Fig.-A4-1)
PERIODO DOMINANTE DE LA ACCION SISMICA Ts = 2.00 seg.
Aceleración máxima del suelo:
A(t=40) = 169 Gals.
DATOS DE LA ESTRUCTURA LINEAL Y NO LINEAL PARA ANÁLISIS PASO A PASO
*
P = w = mg = 227.0 ton. , c = 0.05 cc , ko = 10.0 ton./cm. , xu = 10.0 cm., μ = 2 , H
= 400 cm.
To = 0.96 seg. (PERIODO LINEAL )
T(0.0, 2.0) = 0.96 seg. (PERIODO INICIAL NO LINEAL)
A(t): acelerograma de análisis del sismo de 19/ septiembre /1985 – S.C.T.- E-W – Méx., D.F.
29
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
RELACION FUERZA DEFORMACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
LINEALES Y NO LINEALES ANALIZADAS
.
RELACION FUERZA DEFORMACION LINEAL
100
0
80
10
60
FUERZA - ton.
40
20
F( x)
0
0
20
40
60
80
100
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
DESPLAZAMIENTO - cm.
(Fig.-A4-2)
.
FUERZA - ton.
RELACION FUERZA DEFORMACION NO LINEAL
100
90
80
70
60
50
40
30
20
F( x) 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
50
0
15 14 13 12 11 10 9
8
7
6
5
4
3
2
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
x
DESPLAZAMIENTO - cm.
(Fig.-A4-3)
30
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS DE LOS MODELOS DE ESTRUCTURAS
LINEALES Y NO LINEALES CON Y SIN EFECTO P- ∆
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x = − mA (t )
.
ANALISIS LINEAL SIN P-D
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
10
8
4
6
4
( U⟨1⟩ ) s
2
0
−4
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
⟨ 0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
T(x,μ=1) =Ts = 2 seg.
(Fig.-A4-4)
.
FUERZA SISMICA LINEAL SIN P-D
100
75
40
FUERZA--- f (ton)
50
25
fi
0
− 40
25
50
75
100
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
ti
TIEMPO--- t (seg)
(Fig.-A4-5)
coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.1762
31
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x −
P
H
x = − mA (t )
.
ANALISIS LINEAL CON P-D
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
10
8
4.2
6
4
( U⟨1⟩ ) s
2
0
− 4.2
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
⟨0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
T(x,μ=1) =Ts = 2 seg.
(Fig.-A4-6)
.
FUERZA SISMICA LINEAL CON P-D
100
75
42
FUERZA--- f (ton)
50
25
fi
0
− 42
25
50
75
100
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
ti
TIEMPO--- t (seg)
(Fig.-A4-7)
coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.1850
32
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL SIN EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
) = − mA (t )
.
ANALISIS NO LINEAL SIN P-D
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
10
5.8
8
6
4
( U⟨1⟩ ) s
2
0
2
− 5.8
4
6
8
10
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
⟨0⟩
U
( )s
TIEMPO - t (seg.)
T(x,μ=2) =Ts = 2 seg.
(Fig.-A4-8)
.
FUERZA SISMICA NO LINEAL SIN P-D
100
75
41
FUERZA--- f (ton)
50
25
fi
0
− 41
25
50
75
100
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
ti
TIEMPO--- t (seg)
(Fig.-A4-9)
coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.1806
33
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- ∆ EN VIBRACIÓN FORZADA
m &x& + c x& + k o x (1 − β x
1
μ −1
)−
P
H
x = − mA (t )
.
DESPLAZAMIENTO - x (cm.)
ANALISIS NO LINEAL CON P-D
12
10
8
6
4
⟨1⟩
2
U s
0
2
4
6
8
10
12
10
( )
− 10
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
⟨0⟩
U s
TIEMPO - t (seg.)
( )
T(x,μ=2) =Ts = 2 seg.
(Fig.-A4-10)
.
FUERZA SISMICA NO LINEAL CON P-D
100
75
50
FUERZA--- f (ton)
50
25
fi
0
− 50
25
50
75
100
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
ti
TIEMPO--- t (seg)
(Fig.-A4-11)
coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.2202
34
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS DE LOS MODELOS DE
ESTRUCTURAS LINEALES Y NO LINEALES CON Y SIN EFECTO P- ∆
RESPUESTAS DINAMICAS PICO DE LAS ESTRUCTURAS
Desplazamiento pico de la estructura a la falla (xu = 10.0 cm.):
Desplazamiento pico de la estructura lineal sin efecto P- ∆
≈ 4.00 (cm)
Desplazamiento pico de la estructura lineal con efecto P- ∆
≈ 4.20 (cm)
Desplazamiento pico de la estructura no lineal sin efecto P- ∆ ≈ 5.80 (cm)
Desplazamiento pico de la estructura no lineal con efecto P- ∆ ≈ 12.0 >10.0 (cm) , * FALLA.
12.00 / 4.00 = 3.00
Fuerza sísmica pico de la estructura a la falla (Fu = 50.0 ton.):
Fuerza sísmica pico de la estructura lineal sin efecto P- ∆
≈ 40.00 (ton)
Fuerza sísmica pico de la estructura lineal con efecto P- ∆
≈ 42.00 (ton)
Fuerza sísmica pico de la estructura no lineal sin efecto P- ∆ ≈ 41.00 (ton)
Fuerza sísmica pico de la estructura no lineal con efecto P- ∆ ≈ 50.00 (ton) , * FALLA.
50.00 / 40.00 = 1.25
Aceleración pico de la estructura a la falla (Au = 0.22 cm/seg2.):
Aceleración pico de la estructura lineal sin efecto P- ∆
≈ 0.1762 g
(cm/seg2)
≈ 0.1850 g
(cm/seg2)
Aceleración pico de la estructura no lineal sin efecto P- ∆ ≈ 0.1806 g
(cm/seg2)
Aceleración pico de la estructura lineal con efecto P- ∆
Aceleración pico de la estructura no lineal con efecto P- ∆ ≈ 0.2202 g
(cm/seg2), * FALLA.
0.2202 / 0.1762 = 1.25
Estos efectos se incrementan al considerar la interacción - suelo estructura y la degradación de la rigidez por
daño estructural y/ó agrietamiento de muros no estructurales y elementos que aporten rigidez a la estructura.
Cabe aclarar que la estructura analizada es la misma lo que se ha variado es el modelo que la representa y en
este caso se ha demostrado que los modelos mas simplificados subestiman la condición de falla que se
presenta al efectuar una modelación mas completa y representativa de la estructura, por lo tanto los modelos
de diseño sísmico sobre-simplificados que actualmente están en el RCDF y otros reglamentos nacionales y
extranjeros pueden propiciar fallas estructurales como se ha demostrado en este estudio.
Es importante que se investigue de forma explicita el comportamiento no lineal de las estructuras y se
desarrollen modelos completos y confiables para su aplicación al diseño estructural, en un lapso de tiempo
breve ya que es obvio que el actual paradigma de diseño sísmico no modela correctamente en muchos casos.
35
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Veracruz, Ver. 2008.
COMENTARIOS FINALES AL ANÁLISIS SISMICO CONFORME EL R.C.D.F. Y SUS N.T.C.
Recordando el sismo del 19 de septiembre de 1985 en la Ciudad de México, se pueden efectuar las siguientes
observaciones como ejemplo si se consideran los colapsos totales en la colonia Roma y resaltando que en la
colonia Narvarte en S.C.T. es donde se obtuvo el registro del acelerograma de mayor magnitud con Ts = 2.0
segundos, la mayoría de estos colapsos ocurrieron en las áreas con periodos dominantes del suelo entre 1.80
y 2.20 segundos, es importante notar que el 80% de los edificios colapsados en estas zonas tenían de 2 a 8
pisos por lo tanto prácticamente ninguno de estos edificios tenían un periodo fundamental To = 2.00
segundos, por lo que dentro del paradigma de comportamiento lineal no pudieron entrar en resonancia lineal
ya que para que se de esta condición se requiere “T(x,μ) = To = Ts” y μ = 1. Sin embargo estos hechos se
pueden explicar satisfactoriamente dentro del paradigma de comportamiento no lineal considerando todos los
efectos adicionales que incrementan el periodo como son el amortiguamiento, el efecto “P-Δ”, la interacción
suelo-estructura y la degradación de rigidez por daños en la estructura y en elementos no estructurales pero
que aportan rigidez al sistema, lo antes dicho se justifica con los resultados obtenidos en este estudio que
como ya se dijo el fenómeno de resonancia no lineal puede ocurrir cuando “T(0,μ) = To < Ts” y μ >1, Con
los efectos destructivos ya bien conocidos.
Cabe aclarar que existen algunas razones de otros tipos para la falla de algunos de estos edificios colapsados
como lo son obras antiguas ya dañadas, fallas en el suelo y/ó en la cimentación, diseños defectuosos, mala
calidad en las obras y en los materiales, coeficientes sísmicos muy bajos en los RCDF del 1942, 1966 y de
1976, vicios ocultos en los proyectos y/ó en las construcciones, etc.
Pero observando los resultados de la instrumentación de edificios y los daños ocurridos en San Fernando
(1971), México(1985), Northridge (1994) y Kobe(1995), entre otros se puede concluir con certeza que de
forma urgente se requiere una revisión y corrección del actual paradigma de diseño sísmico en México y en
otros países que también usan el mismo paradigma de diseño sísmico con variantes menores como son
E.U.A., Japón, Italia, Colombia, etc.
BIBLIOGRFIA
Timoshenko, S. P. , Young, D. H. - (1974) - Vibration Problems in Engineering, John Wiley & Sons.
Thomson, W. T. – (1981) – Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall.
Clough, R. W. , Penzien, J. – (1975) – Dynamics of Structures, McGraw – Hill.
Newmark, N. M. , Rosenblueth, E. – (1971) – Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall.
Donald E. Hudson – (1971) – Dynamic properties of full-scale structures determined from natural excitations.
Stanford University, California.
Gómez Hernández José Alejandro - (2007-XVI-CNIS-SMIS) - Presentación de un nuevo modelo matemático de
la función de periodos de vibración de estructuras de edificios de respuesta no lineal.
AGRADECIMIENTOS
Se le agradece y reconoce su actitud abierta, imparcial y profesional al Comité de Ingeniería Sísmica del I.I.
de la U.N.A.M. para la elaboración de las N.T.C. para diseño por Sismo del R.C.D.F. – 2004, por su apoyo
en beneficio de la Ingeniería Sísmica Mexicana y de la Sociedad en General al incorporar oportunamente los
avances técnicos de vanguardia a las Normas Técnicas Complementarias del R.C.D.F.
En especial a los Doctores: Roberto Meli, Luis Esteva Maraboto, Mario Ordaz y Javier Avilés.
También se agradece el apoyo y valiosos comentarios de los ingenieros:
M.I. Carlos Javier Mendoza E., Dr. David Muriá V. y del Ing. Santiago Loera Pizarro. Del II – UNAM.
Dr. Alberto López López. Del IIE., Dr. Fernando Monrroy. De la F.I.-UNAM.
Finalmente se le agradecen sus valiosos comentarios al Ing. Manuel Moran Garza. (DRO y CSE).
AGH.
36
1