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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE
INGENIEROS DE MINAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y
MÉTODOS INFORMÁTICOS
TITULACIÓN: INGENIERÍA DE MINAS
ASIGNATURA:
PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS
NUMÉRICOS
PRÁCTICA Nº 3: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA
MATRICIAL. ESTRUCTURAS DE BIFURCACIÓN Y
BUCLES CONDICIONALES
CURSO 2006-07
PRÁCTICA ELABORADA POR:
Prof. Carlos Conde Lázaro
Prof. Arturo Hidalgo López
Prof. Alfredo López Benito
Depto. de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas
Universidad Politécnica de Madrid
Mayo 2007
Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
C. Conde, A. Hidalgo y A. López
ETSI Minas de la Univ. Politécnica de Madrid
OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1º. Conocer y utilizar las instrucciones de MAPLE que permiten determinar si una
matriz es definida positiva, así como el calcular normas vectoriales o matriciales y
el condicionamiento de la matriz de un sistema lineal de ecuaciones.
2º. Conocer, diseñar
y programar estructuras algorítmicas condicionales
realizando procesos de bifurcación
2º. Conocer, diseñar y programar estructuras algorítmicas repetitivas realizando
bucles condicionales.
3º. Programar en MAPLE algunos métodos iterativos estudiados en cursos
anteriores
FORMA DE DESARROLLAR ESTA PRÁCTICA.
El desarrollo de la práctica consistirá en la realización de ejemplos resueltos
(epígrafe de EJEMPLOS) y tras ello se propone al alumno el desarrollo de algunos
ejercicios (epígrafe de EJERCICIOS PROPUESTOS) que deberá desarrollar
individualmente.
DURACIÓN ESTIMADA DE ESTA PRÁCTICA
El tiempo estimado para la realización de esta práctica es de 2 horas.
BIBLIOGRAFÍA
Algunos de los ejercicios de esta práctica están basados en los recogidos en los
libros:
C. Conde Lázaro y G. Winter Althaus (1990) Métodos y Algoritmos Básicos
del Álgebra Numérica. Ed. Reverté, S.A.
P. L. Lascaux & R. Theodor (1998) Analyse Numérique Matricielle Apliquée à
l'Art de l'Ingénieur. Vol 2: Méthodes Itératives. Ed. Dunod.
1
Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
C. Conde, A. Hidalgo y A. López
ETSI Minas de la Univ. Politécnica de Madrid
EJEMPLOS
Primer
ejemplo:
Preliminares
(Normas,
condicionamientos y verificación de que una
matriz es definida positiva).
> restart:
Los métodos básicos de resolución de sistemas lineales de ecuaciones mediante técnicas
de optimización sólo son aplicables a sistemas con matriz del sistema definida positiva.
Además en ellos juegan un papel importante los conceptos de normas (vectoriales y
matriciales) y condicionamiento del sistema. En este ejemplo introduciremos los
comandos y procesos que pueden seguirse en MAPLE para verificar si una matriz es
definida positiva o para evaluar normas vectoriales o matriciales o para realizar el cálculo
del condicionamiento de un sistema.
Comencemos definiendo una matriz (simétrica) de orden 5:
> n:= 5:
> A:=matrix(n,n,[]):
Al ser simétrica podemos dar valores sólo a los elementos que están en la diagonal o por
debajo de ella:
> A[1,1]:=1.:
A[2,1]:=-2.: A[2,2]:= 7:
A[3,1]:= 0: A[3,2]:= 1: A[3,3]:= 5.:
A[4,1]:=-1: A[4,2]:= 0: A[4,3]:=-1: A[4,4]:= 6:
A[5,1]:= 0: A[5,2]:=-1: A[5,3]:= 2.: A[5,4]:= 1: A[5,5]:=9:
evalm(A);
⎡ 1. A1, 2 A1, 3 A1, 4 A1, 5⎤
⎥
⎢
⎢-2.
7
A2, 3 A2, 4 A2, 5⎥⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢0
1
5.
A
A
3, 4
3, 5⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ -1
0
-1
6
A4, 5⎥⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢0
-1
2.
1
9
⎦
⎣
y asignar valores a los elementos que están por encima de la diagonal por simetría:
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
C. Conde, A. Hidalgo y A. López
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> for i from 1 by 1 to n-1 do:
for j from i+1 by 1 to n do:
A[i,j]:= A[j,i]:
od:
od:
Con ello la matriz A es:
> print(A);
⎡ 1.
⎢
⎢-2.
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢ -1
⎢
⎢
⎢0
⎣
-2.
7
1
0
-1
0
1
5.
-1
2.
-1
0
-1
6
1
0⎤
⎥
-1⎥⎥
⎥
2. ⎥⎥
1 ⎥⎥
⎥
9 ⎥⎦
Una forma de comprobar que la matriz es definida positiva consiste en verificar que sus
valores propios son todos ellos estrictamente positivos. Para ello puede utilizarse el
comando eigenvalues( ) que fue introducido en la primera práctica. Recuerda que
este comando está en la librería linalg y que para usarlo debemos cargar previamente
dicha librería:
> with(linalg):
> VP:=eigenvalues(A);
VP := 0.2279726322 , 3.124017014 , 6.718150983 , 7.889042837 , 10.04081653
En este caso, al ser todos los valores propios positivos puede afirmarse que la matriz es
definida positiva.
Otra forma más breve de verificar si una matriz es definida positiva consiste en utilizar el
comando
definite( )
de la librería linalg de MAPLE. En concreto, para saber si la matriz del ejemplo anterior
es definida positiva, podría realizarse la operación:
> definite(A,positive_def);
true
MAPLE nos informa de que es cierto ("true") el que, en este caso la matriz A es definida
positiva.
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
NOTA
1ª:
El
comando
definite
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nos
permite
otras
opciones
(sustituyendo
positive_def por la opción correspondiente) como son:
positive_semidef --> Matriz simétrica con todos sus valores propios no negativos
negative_def
--> Matriz con todos sus valores propios estrictamente negativos
negative_semidef --> Matriz con todos sus valores propios no positivos.
NOTA 2ª: Recuerda también que siendo [A] una matriz real simétrica dada , de n filas y
columnas, se verifica:
si [A] es definida positiva
x T Ax > 0
∀x ∈ \ n − 0
si [A] es semi-definida positiva x T Ax ≥ 0
si [A] es definida negativa x T Ax < 0
∀x ∈ \ n − 0
∀x ∈ \ n − 0
si [A] es semi-definida negativa x T Ax ≤ 0
∀x ∈ \ n − 0
En el estudio de métodos iterativos de resolución de sistemas lineales se calculan a
menudo las normas de un vector o de una matriz. En la bibliografía señalada al comienzo
de la práctica puede consultarse la definición genérica de NORMA VECTORIAL y de
NORMA MATRICIAL así como la definición concreta de las más usuales: la norma-1, la
norma-2 y la norma-infinito. Examinemos cómo se calculan estas normas con MAPLE.
Para ello, definamos otra matriz A (distinta de la antes definida para que no sea simétrica
y así darle mayor generalidad a la exposición) e introduzcamos un vector, también de 5
elementos, con el que practicar.
> A:=matrix(n,n,[[1.25,-2.,4.35,9.97,11.],[-2.51, sqrt(2.),
exp(0.35), 7.9,1.1],[5.,-3.,-4.,sqrt(7.),-1.],[3.,-exp(2.),
sqrt(35),8.,4.],[5.,1.,3.5,9,-0.7]]);
v:=vector(n,[1,-5.,3.,-4,2]);
-2.
4.35
9.97
11. ⎤
⎡ 1.25
⎢
⎥
⎢-2.51 1.414213562 1.419067549
7.9
1.1 ⎥⎥
⎢
⎢
⎥
-3.
-4.
2.645751311 -1. ⎥⎥
A := ⎢⎢ 5.
⎢
⎥
⎢ 3.
35
8.
4. ⎥⎥
-7.389056099
⎢
⎢ 5.
1.
3.5
9
-0.7⎥⎦
⎣
v := [ 1, -5., 3., -4, 2 ]
La norma-1 del vector puede obtenerse sumando los valores absolutos de sus
componentes:
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Práctica3: Estructuras condicionales
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> norma1v:=0.:
for i from 1 to n by 1 do
norma1v:=norma1v+abs(v[i]):
od:
print(norma1v);
15.
Ota forma de realizar esta suma consiste en utilizar el comando add( ) como sigue:
> norma1v:=add(abs(v[i]),i=1..5);
norma1v := 15.
No obstante, la forma más cómoda de calcular la norma-1 de un vector consiste en utilizar
el comando
norm( )
de la librería linalg como sigue:
> norma1v:=norm(v,1);
norma1v := 15.
La norma-1 de la matriz A puede obtenerse hallando el superior de los valores que se
obtienen al sumar los valores absolutos de las columnas de la matriz. Puede diseñarse un
procedimiento para ello pero la forma más cómoda de hacer esta operación con MAPLE
vuelve a ser el utilizar el comando norm( ) de la librería linalg :
> norma1A:=norm(A,1);
norma1A := 37.51575131
Para otras normas vectoriales basta con modificar en el comando norm( ) el segundo
parámetro utilizando el índice de la norma que se desea utilizar. Para el caso de normas
matriciales se opera de la misma manera, si bien en este caso el segundo parámetro sólo
puede ser 1, 2, infinity o frobenius. Por ejemplo, para calcular la norma-2 del vector v (raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes) y de la matriz A (raíz
cuadrada del radio espectral de la matriz que se obtiene al multiplicar A por su adjunta) se
escribiría:
> norma2v:=norm(v,2); norma2A:=norm(A,2);
norma2v := 7.416198487
norma2A := 22.01158691
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
C. Conde, A. Hidalgo y A. López
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y para calcular la norma-infinito del vector v (valor absoluto del elemento de mayor
valor absoluto) y de la matriz A (valor superior de lo que suman los valores
absolutos de las filas de la matriz) se escribe:
> normainfv:=norm(v,infinity);normainfA:=norm(A,infinity);
normainfv := 5.
normainfA := 28.57
En el caso de las matrices también puede calcularse la norma de Frobenius (la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos de la matriz). Para los vectores
la norma de Frobenius coincide con la norma-2.
> normfrv:=norm(v,frobenius);normafrA:=norm(A,frobenius);
normfrv := 7.416198487
normafrA := 25.98380077
También debe calcularse en muchas ocasiones el CONDICIONAMIENTO de (la matriz
de) un sistema lineal. En la bibliografía señalada puede encontrar que se denomina
condicionamiento de un sistema, en el sentido de la norma con la que se esté trabajando,
al producto de la norma de la matriz del sistema por la norma de su inversa. Los
condicionamientos siempre son números reales positivos superiores o iguales a 1. Cuanto
más próximos a 1 estén mejor funcionarán los métodos de resolución sobre ellos.
Sabiendo calcular normas matriciales e inversas de matrices, es fácil evaluar los
condicionamientos. Por ejemplo, para calcular el condicionamiento de la matriz A en el
sentido de la norma - 2 podemos realizar el proceso siguiente:
> A1:=inverse(A):
> norma2A1:=norm(A1,2);
norma2A1 := 0.2655724831
> cond2A:=norma2A*norma2A1;
cond2A := 5.845671793
Nuevamente debe señalarse que MAPLE ya tiene un comando en el que se realiza todo
este proceso de una vez. Es el comando cond( ) de la librería linalg y que se
utilizaría de la forma:
> cond2A:=cond(A,2);
cond2A := 5.845671793
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
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Para calcular condicionamientos en el sentido de otras normas basta con sustituir el
segundo parámetro por el correspondiente a la norma que se desee utilizar:
> cond1A:=cond(A,1);
cond1A := 37.51575131
2513.709895 + 371.3062126 35
20788.23056 + 1990.086320 35
−1005.684069 + 343.4636455 35
20788.23056 + 1990.086320 35
87614.74765
+
20788.23056 + 1990.086320 35
+ 37.51575131
226.8750000
20788.23056
225.8852978
+ 37.51575131
20788.23056
+ 37.51575131
35 + 2149.705867
+ 1990.086320 35
35 + 556.3653099
+ 1990.086320 35
> evalf(%,25);
15.50404303923924581145170
> condinfinityA:=cond(A,infinity);
349713.9606
condinfinityA :=
20788.23056 + 1990.086320 35
> evalf(%,17);
10.740026809163490
> fin;
fin
Segundo ejemplo: Bucles
estructuras de bifurcación.
condicionales
y
> restart:
MAPLE permite comparar los valores de constantes y variables mediante los
denominados operadores de relación que son:
> Mayor que
<= Menor o igual que
>= Mayor o igual que
= Igual que
7
< Menor que
<> Distinto que
Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
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El resultado de comparar dos variables o constantes mediante un operador de relación es
"TRUE" o "FALSE", es decir es un resultado lógico. Si deseas que MAPLE te informe de
ese resultado debes utilizar el comando is( ). Por ejemplo:
> is(5>7);
false
> a:=sqrt(17.35*12):b:=11:
> is(a>=b);
true
Los resultados de comparaciones pueden combinarse a su vez mediante operadores
lógicos. En MAPLE los operadores lógicos son and y or. El primero, and, produce
como resultado "TRUE" cuando los operandos lógicos que se combinan con and son
ambos "TRUE". En el caso de que alguno sea "FALSE" el resultado es "FALSE".
El operador lógico or sólo produce resultado "FALSE" cuando ambos operandos lógicos
son "FALSE". En caso contrario el resultado es "TRUE". Por ejemplo:
> a:=5:b:=-2:c:=4:d:=-2:
> is((a>b) and (d<=c));
true
> is ((a*b > c*d) or (a<=d));
false
> is ((a*b > c*d) or (a>=d));
true
Una de las aplicaciones que tienen las expresiones de relación y las expresiones lógicas
es la construcción de bucles condicionales. Estos se realizan con el comando de MAPLE
while( )siendo lo que está encerrado entre paréntesis una expresión de relación o
lógica. Más concretamente la estructura más elemental de un bucle condicional es la
siguiente:
while( expresión de relación o lógica) do
Instrucciones a realizar
od; (u od:)
Las instrucciones a las que se refiere el bucle serán realizadas mientras la expresión de
relación o lógica sea "TRUE" y dejarán de ralizarse cuando su valor sea "FALSE".
Obviamente, entre las instrucciones a realizar debe haber alguna que modifique el
resultado de la expresión de relación o lógica pues en caso contrario el bucle se realizaría
eternamente o ninguna vez.
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
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Ilustrémoslo con un ejemplo:
> iter:=0:
maxit:=100:
eps:=1.1*10^(-4):
tol:=2.*eps:
> while((iter<100) and (tol>eps)) do
iter:=iter+1:
a:=(iter*iter+2):
tol:=1./a:
print(iter,tol);
od:
1, 0.3333333333
2, 0.1666666667
3, 0.09090909091
4, 0.05555555556
5, 0.03703703704
6, 0.02631578947
7, 0.01960784314
8, 0.01515151515
9, 0.01204819277
10, 0.009803921569
11, 0.008130081301
………….
…………..
……………
93, 0.0001155935730
94, 0.0001131477710
95, 0.0001107787748
96, 0.0001084834020
La forma general de los bucles condicionales es la siguiente:
for vcontr from vinic to vfin by paso while (condición) do
Instrucciones
od;
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Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
donde: vcontr
vinic
vfin
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es la variable de control del bucle
es el valor inicial que toma esa variable
es el valor final que se permite tomar a la variable de control
condición es la condición que exigimos que se verifique para que se continúe
realizando el bucle
paso
es el incremento que se le da a la variable de control
El bucle anterior también podría haberse realizado:
> eps:=1.1*10^(-4.):tol:=2.*eps:
for iter from 1 to 100 by 1 while (tol>eps) do
a:=(iter*iter+2):
tol:=1./a:
print(iter,tol);
od:
1, 0.3333333333
2, 0.1666666667
3, 0.09090909091
4, 0.05555555556
5, 0.03703703704
6, 0.02631578947
7, 0.01960784314
8, 0.01515151515
9, 0.01204819277
10, 0.009803921569
11, 0.008130081301
………….
…………..
……………
93, 0.0001155935730
94, 0.0001131477710
95, 0.0001107787748
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En esta y sucesivas prácticas podrás encontrar ejemplos de bucles condicionales.
Otra utilidad de las expresiones de relación y lógicas (de las condiciones) consiste en la
realización de estructuras de bifurcación en las que, en función de que se verifiquen unas
u otras condiciones se realizan unas u otras instrucciones. La forma más simple de una
estructura condicional en MAPLE es:
if (Condición) then
Proceso
fi;
En ella el "Proceso" se realizará tan sólo si la "Condición" es "TRUE". Ilustrémoslo
con un ejemplo:
> a:=7:; b:=10: c:='a_es_mayor_que_b':
> if (a<=b) then
c:='a_es_menor_o_igual_que_b': #Se realiza el proceso
fi:
> print(c):
a_es_menor_o_igual_que_b
> a:=9:; b:=3: c:='a_es_mayor_que_b':
> if (a<=b) then
c:='a_es_menor_o_igual_que_b': # NO se realiza el proceso
fi:
> print(c):
a_es_mayor_que_b
La estructura de bicfurcación puede completarse como sigue:
if Condición then
Proceso 1
else
Proceso 2
fi;
En esta estructura si se verifica "Condición" se realiza el "Proceso 1", pero si no se
verifica "Condición", en lugar de no hacer nada como antes, se realiza el "Proceso 2".
Ilustrémoslo con un ejemplo:
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> a:=9:; b:=3:
> if (a<=b) then
mensaje:='a_es_menor_o_igual_que_b':
else
mensaje:='a_es_mayor_que_b':
fi:
> print(mensaje):
a_es_mayor_que_b
Más completa es la estructura de bifurcación (o condicional) siguiente:
if Condición 1 then
Proceso 1
elif Condición 2 then
Proceso 2
else
Proceso 3
fi;
En ella si se verifica la "Condición 1", se realiza el "Proceso 1";
si no es cierta la "Condición 1" pero sí se verifica la "Condición 2" se realiza el
"Proceso 2";
si no se verifican ni la "Condición 1" ni la "Condición 2" se realiza el "Proceso 3".
Nótese que las tres partes de la estructura son excluyentes, de tal manera que sólo se
realizará uno de los Procesos.
Ilustremos esta estructura con un ejemplo. En él vamos a ir acumulando las sumas de los
25 primeros números naturales. Mientras la suma sea inferior a 25 escribiremos el valor
del último número sumado,el valor de la suma y el mensaje "Inferior a 25". Mientras el
valor de la suma sea mayor o igual que 25 pero inferior a 175 escribiremos el valor del
último número sumado, el valor de la suma y el mensaje "Entre 25 y 175". Por último,
cuando el valor de la suma sea superior o igual a 175 escriberemos el valor del último
número sumado, el valor de la suma y el mensaje "Esto se dispara"
> suma:=0:
for i from 1 to 25 by 1 do
suma:= suma+i:
if (suma < 25) then
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Práctica3: Estructuras condicionales
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print(i, suma, "Inferior a 25");
elif (suma < 175) then
print(i, suma, "Entre 25 y 175");
else
print(i, suma, "Esto se dispara");
fi:
od:
1, 1, "Inferior a 25"
2, 3, "Inferior a 25"
3, 6, "Inferior a 25"
4, 10, "Inferior a 25"
5, 15, "Inferior a 25"
6, 21, "Inferior a 25"
7, 28, "Entre 25 y 175"
8, 36, "Entre 25 y 175"
9, 45, "Entre 25 y 175"
10, 55, "Entre 25 y 175"
11, 66, "Entre 25 y 175"
12, 78, "Entre 25 y 175"
13, 91, "Entre 25 y 175"
14, 105, "Entre 25 y 175"
15, 120, "Entre 25 y 175"
16, 136, "Entre 25 y 175"
17, 153, "Entre 25 y 175"
18, 171, "Entre 25 y 175"
19, 190, "Esto se dispara"
20, 210, "Esto se dispara"
21, 231, "Esto se dispara"
22, 253, "Esto se dispara"
23, 276, "Esto se dispara"
24, 300, "Esto se dispara"
25, 325, "Esto se dispara"
13
Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
C. Conde, A. Hidalgo y A. López
ETSI Minas de la Univ. Politécnica de Madrid
Es posible incluir tantas sentencias del tipo elif .... then como sea necesario, si
bien sólo puede haber una del tipo if
.... then (que, además, es obligatoria) y
una del tipo else (que no es obligatoria).
Lo que sí es obligatorio es acabar con fi . De esta forma una estructura de bifurcación
genérica puede escribirse en la forma:
if Condición 1 then
Proceso 1
elif Condición 2 then
Proceso 2
elif Condición 3 then
Proceso 3
elif Condición 4 then
Proceso 4
...............................................
...............................................
elif Condición n then
Proceso n
else
Proceso n+1
fi;
> fin;
fin
Tercer ejemplo: Método de Gauss-Seidel
> restart;
El método de Gauss-Seidel para sistemas [A].{x} = {b}, puede obtenerse minimizando la
funcional:
J({ x}) =
1
{ x}T [ A] {x} − { x}T {b}
2
Utilizando en cada iteración direcciones de descenso paralelas a los ejes (es decir
vectores con todas sus componentes menos una iguales a 0 y con la que no es nula con
valor 1; la componente no nula va ocupando sucesivamente posiciones consecutivas en el
vector de dirección de descenso y, una vez recorridas todas las posiciones vuelve a
comenzarse por la primera). Eso conduce a que, partiendo de un vector inicial
las componentes de los sucesivos vectores se evalúan mediante la expresión:
14
{x } ,
(0)
Programación y Métodos Numéricos.
Práctica3: Estructuras condicionales
xk(i + 1) = (b −
k −1
∑ ak,j·xj(i + 1) −
j=1
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n
∑
j= k +1
ak,j·xj(i) ) / ak,k
(k = 1,2,..., n)
donde n es el número de ecuaciones del sistema y los sumatorios con índice superior
inferior al índice inferior, o con índice inferior mayor que el superior, no se realizan.
Programemos el MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL aplicándolo al sistema de matriz simétrica
utilizada en el primero de los ejemplos de esta práctica:
Datos:
Número de ecuaciones:
> n:=5:
Matriz del sistema:
> A:= matrix(n,n,[]):
> A[1,1]:= 1.:
A[2,1]:=-2.: A[2,2]:= 7.:
A[3,1]:= 0: A[3,2]:= 1: A[3,3]:= 5.:
A[4,1]:=-1.: A[4,2]:= 0: A[4,3]:=-1.: A[4,4]:= 6.:
A[5,1]:= 0.: A[5,2]:=-1.: A[5,3]:= 2.: A[5,4]:= 1.:
A[5,5]:=9.:
for i from 1 by 1 to n-1 do:
for j from i+1 by 1 to n do:
A[i,j]:= A[j,i]:
od:
od:
> evalm(A);
⎡ 1. -2. 0 -1. 0. ⎤
⎥
⎢
⎢-2. 7. 1
0 -1.⎥⎥
⎢
⎥
⎢
⎢0
1 5. -1. 2. ⎥⎥
⎢
⎢-1. 0 -1. 6. 1. ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ 0. -1. 2. 1. 9. ⎥
⎦
⎣
Y con el vector de segundos terminos siguiente:
> b:=vector(n,[]):
b[1] := 3: b[2] := 2: b[3] := 1: b[4] := 4: b[5] := 0:
> evalm(b);
[ 3, 2, 1, 4, 0 ]
Usaremos como vector inicial (vector semilla):
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> x:=vector(n,[1.,1.,1.,1.,1.]);
x := [ 1., 1., 1., 1., 1. ]
Y emplearemos una tolerancia de error admisible:
> eps:=1.*10^(-4);
eps := 0.0001000000000
Permitiremos realizar un
máximo número de iteraciones:
> maxit:=100:
Proceso de cálculo
En el proceso de cálculo es necesario repetir un conjunto de operaciones hasta que, o
bien se hayan realizado todas las iteraciones permitidas o bien se obtengan dos
soluciones suficientemente parecidas. En resumen hay que realizar un bucle
condicionado a que se satisfagan ambas condiciones.
> iter:=0:
tol:=2.*eps:
while ((iter<maxit) and (tol>eps)) do
iter:= iter + 1:
tol:= 0.:
for i from 1 to n by 1 do
suma:= b[i]:
for j from 1 to n by 1 do
if (j <> i) then
suma:= suma - A[i,j]*x[j]:
fi:
od:
aux:=suma/A[i,i]:
tol:=tol + (x[i]-aux)^2:
toldib[iter]:=tol:
x[i]:=aux:
od:
tol:= sqrt(tol):
od:
Presentación de Resultados
> if (tol > eps) then
print("Error... No pudo verificarse el test de
convergencia");
else
print("Solución: ...");
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evalm(x);
fi;
"Solución: ..."
[ 16.40347409 , 5.042151429 , -0.2427377540 , 3.319226692 , 0.2453778050 ]
Representación de la evolucion del indicador de error:
> with(plots):
> dibtol:=[seq([ k, toldib[k] ],k=1..iter)]:
> pointplot(dibtol, color=red, symbol=CIRCLE,
font=[TIMES, BOLD,12]);
NOTA: En la práctica de esta asignatura dedicada a los métodos de tipo gradiente se
programará este método de forma matricial.
> fin;
fin
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EJERCICIO
Ejercicio: La fórmula de Cardano-Tartaglia- del
Ferro - Bombelli.
> restart;
En 1545 Gerolamo CARDANO publicó su obra Artis magnae sive de regulis algebricis
(Del Gran Arte o de las reglas algebraicas). En dicha obra demuestra que las soluciones
de la ecuación cúbica:
a.x3 + b.x2 + c.x = d
están relacionadas con las soluciones de la ecuación cúbica reducida:
y3 + p.y = q
donde:
1 ⎛
b2 ⎞
p = .⎜ c −
⎟
a ⎝
3.a ⎠
1 ⎛
c.b 2.b3 ⎞
−
q = ⋅⎜d +
⎟
a ⎝
3.a 27.a 2 ⎠
y
La relación encontrada por Cardano entre las soluciones de ambas ecuaciones es:
x = y−
b
3.a
Junto a esta relación Cardano publicó la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas
reducidas. Dicha fórmula le había sido revelada años antes por Niccolo Fontana (más
conocido como Niccolo TARTAGLIA debido a la tartamudez que le provocaron de
pequeño las heridas causadas por soldados franceses). Con ello, aparte de originarse una
agria disputa entre Tartaglia y Cardano , se dio un enorme impulso al problema de
calcular las raíces de los polinomios de tercer grado que venía ocupando a numerosos
matemáticos desde muchos siglos antes. La fórmula en cuestión
es conocida
habitualmente con el nombre de fórmula de Cardano, aunque al haberle sido revelada por
Tartaglia se cita en algunos textos como fórmula de Tartaglia. Aun tiene un tercer nombre
ya que ni Cardano ni Tartaglia fueron los primeros en dar con ella pues fue el profesor
boloñés Scipione DEL FERRO el primer matemático del que se tiene constancia que la
utilizara, motivo por cual también es citada en ocasiones como fórmula de del Ferro. La
fórmula de del Ferro - Tartaglia - Cardano (que denotaremos como fórmula FTC) para
resolver la ecuación y3 + p.y = q es:
18
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2
y=
3
3
2
q
−q
⎛q⎞ ⎛p⎞
⎛q⎞ ⎛p⎞
+ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ − 3
+ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝3⎠
⎝2⎠ ⎝3⎠
Conocida mediante el procedimiento anterior una raíz real
3
x* = y −
b
3.a
de la
ecuación cúbica (a.x3 + b.x2 + c = d), las otras dos raíces son la solución de la ecuación
donde:
de segundo grado: α.x 2 + β.x + γ = 0
α = a , β = b + α.x*, γ = c + β.x*
El problema, sin embargo, aún no estaba cerrado. En efecto, en muchos casos la
raíz cuadrada que aparece dentro de las raíces cúbicas de la fórmula FTC se referían a
valores negativos. Considerando que en esa época aun no se habían introducido los
números complejos la fórmula servía de poco en estos casos. Es por ello que Rafael
BOMBELLI en el Libro I de su obra Algebra (aparecida en 1572) introduce unos nuevos
entes a los que llama números imaginarios que le sirven para resolver definitivamente el
caso irreducible de la ecuación de tercer grado. En síntesis, con la terminología actual, el
procedimiento descrito por Bombelli se puede esquematizar como sigue:
Dada la ecuación cúbica a.x3 + b.x2 + c.x = d
1º) Se forman los números:
1 ⎛
b2 ⎞
p = .⎜ c −
⎟
a ⎝
3.a ⎠
1 ⎛
c.b 2.b3 ⎞
q = ⋅⎜d +
−
⎟
a ⎝
3.a 27.a 2 ⎠
y
2º) Con ellos, a su vez, se calcula el número:
2
⎛q⎞ ⎛p⎞
r =⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝3⎠
3
y:
2-a) Si (r > 0) se calcula una raíz real de la ecuación cúbica reducida mediante
la fórmula FTC:
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⎛q⎞
⎛ −q ⎞
y= 3⎜ ⎟+ r − 3⎜
⎟+ r
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠
2º - b) Si (r < 0) se calcula una raíz real de la ecuación cúbica reducida mediante el
procedimiento siguiente:
En primer lugar se evalúan s =
Con ellos se calcula ρ =
q
2
y
t = −r
s2 + t 2 y un parámetro θ evaluado como
sigue:
Si ( s > 0) : θ =
2º- b - I)
2º - b – II) Si (s < 0): θ =
1
⎛t⎞
.arctg ⎜ ⎟
3
⎝ s⎠
1 ⎡
⎤
⎛t⎞
. ⎢ arctg ⎜ ⎟ + π ⎥
3 ⎣
⎝s⎠
⎦
2º - b – III) Si (s = 0):
π
6
−π
2º-b-III-2) Si ( t < 0): θ =
6
3
Finalmente, en este caso: y = 2. ρ .cos(θ)
2º-b-III-1) Si (t > 0): θ =
2º - c) Si (r = 0) se calcula una raíz real de la ecuación cúbica reducida
mediante la expresión: y = 2. 3
q
2
3º) Una vez calculada la raíz real de la ecuación cúbica reducida, y, se calcula una
raíz real de la ecuación dada mediante:
x1 = y −
y se evalúan los coeficientes: α = a ,
b
3.a
β = b + α.x1 , γ = c + β.x1 . Con ellos se
determina el valor:
v = β2 – 4.α.γ
20
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4º )
4º- A) Si (v > 0) la ecuación cúbica tiene tres raíces reales distintas que son,
además de x1, las siguientes:
x2 =
−β + v
2.α
y
x3 =
−β − v
2.α
4º - B) Si (v < 0) la ecuación cúbica tiene la raíz real, x1, y otras dos complejas
conjugadas cuya parte real e imaginaria están dadas por:
Partereal =
−β
,
2.α
Parteimaginaria =
−v
2.α
4º - C) Si (v = 0) la ecuación tiene la raíz real simple, x1, y una raíz real doble
dada por:
x2 =
−β
2.α
Se pide que escribas un programa en MAPLE que resuelva ecuaciones cúbicas
mediante el procedimiento descrito por BOMBELLI, escribiendo las tres raíces de la
ecuación cuando estas sean reales simples, la raíz real simple y la parte real y compleja
de las otras dos raíces complejas conjugadas cuando este sea el tipo de raíces o bien la
raíz real simple y la raíz real doble cuando sólo haya dos raíces distintas de la ecuación
cúbica. En todos los casos deberá escribirse el tipo de raíces (tres simples y reales, una
simple y dos complejas conjugadas o una real simple y otra real doble) que tiene la
ecuación.
Comprueba el programa aplicándolo a las ecuaciones:
Ec. 1ª: 3.x3 + 5.x2 – 3.x =
y:
3
1
2
Ec. 2ª:
x - 10.x – 4.x = - 40
Ec. 3ª:
x3 + 6.x2 + 20.x = 100
Ec. 4ª: - 3.x3 + 5.x2 – 3.x =
> restart:
>
>
21
1