Ejercicio1

EJERCICIO 1 (realizar los cálculos con una precisión de 5 cifras significativas)
1) En el circuito de la figura 1 se aplica a la entrada una tensión Vi = 20 V y originalmente el interruptor A está cerrado y el B está
abierto. Los resistores R1 y R2 tienen las mismas dimensiones (figura 2) pero están fabricados con diferentes materiales.
A
B
R1
R1 y R2
r
Vi
C
R2
L
Figura 1
Figura 2
α = 40000 ppm/ºK
DATOS: Resistor R1 => ρ1(295ºK) = 25 Ω.cm
Resistor R2 => ρ2(295ºK) = 1500 Ω.cm R2(295ºK) = 10 K
Circuito figura 1 => Vi = 20 V C = 20 µF
Pn = 5 W Rigidez dieléctrica = 75 V
Pn = 10 W Rigidez dieléctrica = 75 V
(0’5) a) Calcular el valor de la resistencia del resistor R1 a temperatura ambiente (T=300 ºK)
L
. ρ = ρ 0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ T ) => ρ 1 ( 300º K ) = ρ 1 ( 295º K ) ⋅ (1 + α ⋅ ( 300º K − 295º K ) )
S
40000 −1
⎛
⎞
ρ 1 ( 300º K ) = 25Ω ⋅ cm⎜ 1 +
⋅ 5º K ⎟ = 30Ω ⋅ cm
6 ºK
⎝
⎠
10
L R2 ( 295º K )
10.000Ω
L
R2 (295º K ) = ρ 2 ( 295º K ) =>
=
=
= 6,66cm−1
S
S ρ 2 ( 295º K ) 1500
. Ω ⋅ cm
R1 (300º K ) = ρ 1 ( 300º K )
R1 (300º K ) = ρ 1 ( 300º K )
L
= 30Ω ⋅ cm ⋅ 6,66cm−1 = 199,8Ω
S
R1(300 ºK) = 199,8 Ω
(A partir de aquí suponer que R1 = 100 Ω y R2 = 1 KΩ para realizar los cálculos de los siguientes apartados)
(0’5) b) ¿Cuál es la tensión máxima de trabajo de R1? ¿y la tensión máxima de trabajo de R2?
Para R1: Tensión máxima debido a la disipación térmica:
V2
=> V =
Pn=5W; P =
R
P ⋅ R => Vn =
Pn ⋅ R -> Vn es la tensión nominal (tensión máxima)
Vn = 5W ⋅ 100Ω = 500V 2 = 22,36V
Tensión máxima debido a la rigidez dieléctrica: Vrd= 75V
Vn < Vrd => VMAX= 22,36 V
VMAX= 22,36 V
Para R2: Tensión máxima debido a la disipación térmica
V2
=> V =
Pn=10W; P =
R
P ⋅ R => Vn =
Pn ⋅ R -> Vn es la tensión nominal (tensión máxima)
Vn = 10W ⋅ 1000Ω = 10000V 2 = 100V
Tensión máxima debido a la rigidez dieléctrica: Vrd= 75V
Vrd < Vn => VMAX= 75 V
VMAX= 75 V
(0,5)
c) Si el interruptor A se abre 1 milisegundo después de aplicar la tensión Vi al circuito de la figura 1, y en ese mismo
instante se cierra el interruptor B, calcular la tensión en el condensador 5 milisegundos después de aplicar la
tensión Vi al circuito (el condensador está inicialmente descargado).
Periodo 1 (entre t= 0 s y t= 1 ms) -> en este periodo el interruptor A está cerrado y el B abierto.
El circuito equivalente en este periodo será el siguiente
R1
A
+
+
Vi
C
VC
_
_
En este periodo el condensador que esta descargado (VC= 0V) se empieza a cargar según la ecuación general de carga y
descarga del condensador VC (t ) =
Vinicial= 0 V
(
)
V final + Vinicial − V final ⋅ e
−
t
τ
Vfinal= 20 V
τ = R1 ⋅ C = 100Ω ⋅ 20 µF = 2000 ⋅ 10 −6 s = 2ms
Se aplica la ecuación general pata t= 1ms:
VC (t = 1ms ) = 20V + (0 − 20V ) ⋅ e
−
1ms
2 ms
= 20V (1 − 0,6065) = 7,87V
Periodo 2 (entre t = 1 ms y t= 5 ms) -> El circuito equivalente en este periodo será el siguiente
B
+
VC
_
C
R2
Vinicial= 7,87 V (tensión a la que se cargo en el primer periodo)
Vfinal= 0 V (el condensador tiende a descargarse completamente)
τ = R 2 ⋅ C = 1000Ω ⋅ 20 µF = 20000 ⋅ 10 −6 s = 20ms
Se aplica la ecuación general pata t= 4 ms:
VC (t = 4ms ) = 0V + (7,87V − 0V ) ⋅ e
−
4 ms
20 ms
= 7,87V ⋅ 0,818 = 6,43V
VC= 6,43V
(0’5) d) Si el dieléctrico del condensador tiene una resistencia de 10 MΩ, calcular el factor de pérdidas del condensador
para una frecuencia de 1 KHz. ¿Cuál sería el factor de pérdidas de un condensador ideal?
C
RP
El factor de pérdidas para este circuito equivalente paralelo tiene la siguiente expresión:
D = tgδ =
1
2 ⋅ π ⋅ f ⋅ RP ⋅ C
Lo único que se tiene que hacer es sustituir valores en esta fórmula:
f= 1 KHz (frecuencia); RP= 10 MΩ (resistencia de aislamiento); C= 20 µF (capacidad del condensador)
D = tgδ =
1
= 7,95 ⋅ 10 −7
7
−6
2 ⋅ π ⋅ 1000s ⋅ 10 Ω ⋅ 20 ⋅ 10 F
−1
D=7,95⋅10-7
Un condensador ideal tendría una resistencia de aislamiento infinita, por lo que si se aplica la anterior formula con
RP= ∞ se obtiene que D = tgδ = 0.
Para un condensador ideal =>
D = tgδ = 0