segunda parte

Cambio en el precio
Cambio en el precio
p1
preguntamos: “Dado el
precio del bien 1, ¿cual es la
cantidad demandada del bien 1?”
‹ También podemos preguntar “Dada
una cantidad del bien 1, ¿a qué
precio del bien 1 es tal cantidad
exactamente la demanda del bien 1?”
Dado p1’, cual es la cantidad
demandada del bien 1?
‹ Normalmente
p1 ’
x1*
Cambio en el precio
p1
Dado p1’, cual es la cantidad
demandada del bien 1?
Cambio en el precio
p1
Dada x1’ , cual es el precio tal que
la demanda del bien 1 es x1’ ?
Respuesta : x1’
p1 ’
Respuesta : p1’
p1 ’
x 1’
x1*
Demanda inversa
Un ejemplo Cobb-Douglas:
am
x1* =
(a+b)p1
es la función de demanda y
am
p1 =
(a+b)x1*
es la función de la demanda inversa.
x1*
x 1’
Demanda inversa
Un ejemplo de complementarios perfectos:
x1* =
m
p1 + p2
es la función de la demanda y
p1 =
m
− p2
x1*
es la función de demanda inversa.
1
Bien ordinario
‹ Un
bien es ordinario si la cantidad
demandada siempre aumenta
cuando su precio disminuye.
Bien ordinario
x2
x1
Bien ordinario
x2
Bien ordinario
Demanda decreciente
p1
x2
Curva
oferta
precio
⇔
Curva
oferta
precio
Bien 1 es
ordinario
x1*
‹ Si,
x1
x1
Bien Giffen
Bien Giffen
para algúnos valores de su
propio precio, la cantidad
demandada aumenta cuando su
precio es incrementado, el bien se
llama un bien Giffen.
x2
x1
2
Bien Giffen
x2
Bien Giffen
x2
Curva
oferta
precio
⇔
Curva
oferta
precio
La curva de demanda tiene
una parte creciente
p1
Bien 1 es
Giffen
x1*
x1
x1
Cambio en el otro precio
Cambio en el otro precio
‹ Si
un aumento de p2
– incrementa la demanda para el bien
1, el bien 1 es un sustituto bruto para
el bien 2.
– reduce la demanda para el bien 1, el
bien 1 es un complementario bruto
para el bien 2.
Un ejemplo de complementarios perfectos:
asi que
x1* =
m
p1 + p2
m
∂ x1*
= −
< 0.
∂ p2
( p1 + p2 )2
El bien 1 es un complementario bruto
para el bien 2.
Cambio en el otro precio
p1
p1’’’
Incremento del precio
el bien 2 de p2’ a p2’’
Cambio en el otro precio
p1
p1’’’
p1’’
p1’’
p1’
p1’
m
p’2
x1*
Incremento del precio
el bien 2 de p2’ a p2’’
y la curva de demanda
del bien 1 se desplaza
hacía dentro -- bien 1 es
un complementario bruto
para el bien 2.
m
p '2'
x1*
3
Cambio en el otro precio
Un ejemplo Cobb-Douglas:
Asi que
am
x1* =
(a +b) p1
Cambio en la renta
‹ ¿Cómo
cambia la demanda
x1*(p1,p2,m) cuando la renta m,
manteniendo p1 y p2 constantes?
∂ x 1*
= 0.
∂ p2
Bien 1 ni es un complementario bruto,
ni un sustituto bruto para el bien 2.
Cambio en la renta
x2
Cambio en la renta
Fijos p1 y p2.
x2
m’ < m’’ < m’’’
Fijos p1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
Curva de
oferta-renta
x2’’’
x2’’
x 2’
x1
Cambio en la renta
‹ Un
plot de la cantidad demandada
como función de la renta se llama
curva de Engel.
x1’ x1’’’
x1’’
Cambio en la renta
x2
x2’’’
x2’’
x 2’
x1
m
Fijos p1 y p2.
Curva
Engel
bien 2
m’’
m’ < m’’ < m’’’
m’
Curva de
oferta-renta m x2’ x2’’’
x2’’
m’’
m’
x1’ x1’’’
x1’’
x1
x 2*
Curva
Engel
bien 1
x1’ x1’’’ x1*
x1’’
4
Cambio en la renta
preferencias Cobb-Douglas
Cambio en la renta
preferencias Cobb-Douglas
x1* =
‹ Un
ejemplo calculando curvas de
Engel; caso Cobb-Douglas.
Separando m:
U( x1 , x 2 ) = x1a xb2 .
‹ La
( a + b ) p1 *
x1
a
(a + b) p2 *
x2
m=
b
m=
demanda
x1* =
am * bm
; x2 =
.
(a+b)p1
(a+b)p2
Cambio en la renta
preferencias Cobb-Douglas
y
x1* =
am
(a+b)p1
am
bm
; x2* =
.
(a+b)p1
(a+b)p2
Curva de Engel
bien 1
Curva de Engel bien 2
Cambio en la renta
Complementarios perfectos
‹ Otro
ejemplo
U( x1 , x 2 ) = min{x1 , x 2 }.
x 1*
y
bm
. Curva de Engel
x=
(a+b)p2 bien 2
*
2
‹ Las
demandas son
x1* = x2* =
x 2*
Cambio en la renta
Complementarios perfectos
m
.
p1 + p2
Cambio en la renta
Complementarios perfectos
Fijos p1 y p2.
x2
Curva de Engel bien 1
m’ < m’’ < m’’’
x2
m’ < m’’ < m’’’
x2’’’
x2’’
x 2’
x1
x1’ x1’’’
x1’’
m
m’’’
m’’
m’
Curva
Engel;
bien 2
x 2*
m x2’ x2’’’
x2’’
m’’’
Curva
m’’
Engel
m’
bien 1
x
’’’
’
x
x 1*
1
1
x1
x1’’
5
‹ Otro
Cambio en la renta
sustitutivos perfectos
Cambio en la renta
sustitutivos perfectos
ejemplo
si p1 > p2
⎧0,
x1*( p1, p2, m) = ⎨
⎩m/ p1, si p1 < p2
U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 .
‹ Las
demandas son
si p1 < p2
⎧0,
x2*( p1, p2, m) = ⎨
⎩m/ p2, si p1 > p2.
Cambio en la renta
sustitutivos perfectos
Cambio en la renta
sustitutivos perfectos (p1 < p2 )
si p1 > p2
⎧0,
x1*( p1, p2, m) = ⎨
⎩m/ p1, si p1 < p2
y
x 1* =
si p1 < p2
⎧0,
x2*( p1, p2, m) = ⎨
⎩m/ p2, si p1 > p2.
Supón p1 < p2. Entonces x 1* =
m
p1
x*2 = 0
x 1*
Curva Engel
bien 1
Cambio en la renta
‹ En
todos los ejemplos hasta ahora
las curvas de Engel son líneas
rectas. (m x 27 -> xi x 27 )
‹ P: ¿Siempre es así?
‹ A: No. Las curvas de Engel son
líneas rectas solo si las preferencias
son homotéticas.
m
p1
y
x*2 = 0 .
x 2*
0
Curva Engel
bien 2
Preferencias Homotéticas
‹ Preferencias
son homotéticas si y
solo si
(x1,x2)
p (y1,y2) ⇔ (kx1,kx2) p (ky1,ky2)
para todo k > 0.
‹ Es decir, la RMS es un constante en
cualquier línea recta a traves del
origine.
6
Cambio de renta – un ejemplo no
homotética
Preferencias Homotéticas
‹ Preferencias
cuasilineales no son
homotéticas.
U( x 1 , x 2 ) = f ( x1 ) + x 2 .
‹ Por
ejemploe,
U( x 1 , x 2 ) =
Preferencias Cuasilineales
x1 + x 2 .
Preferencias Cuasilineales
x2
x2
~
x1
x1
Preferencias Cuasilineales
x1
Preferencias Cuasilineales
x2
Curva
Engel
Bien 1
y
~
x1
x1
~
x1
x 1*
Curva
Engel
bien 2
m
x2
x 2*
Curva
Engel
Bien 1
m
~
x1
x1
~
x1
x 1*
7
Cambios en la renta
Cambios en la renta
‹ Si
la demanda de un bien aumenta
cuando aumenta la renta, el bien es
normal.
‹ Por tanto, la curva de Engel de un
bien normal es creciente.
Cambios en la renta
‹ Si
la demanda de un bien aumenta
mas rápido que la renta, el bien es
bien de lujo.
‹ Si la demanda de un bien aumenta
mas lento que la renta, el bien es
bien necesario.
Bienes normales
x2
‹ Si
la demanda de un bien disminuye
cuando aumenta la renta es un bien
inferior.
‹ Asi que la curva de Engel es
decreciente.
x2’’’
x2’’
x 2’
Curva de
oferta
renta
x1’ x1’’’
x1’’
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
x2
m
y’’’
y’’
y’
Curva
Engel
bien 2
x 2*
m x2’ x2’’’
x2’’
y’’’
Curva
y’’
Engel
y’
bien 1
x1
x1’ x1’’’ x1*
x1’’
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
x2
x1
x1
8
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
x2
x2
x1
x1
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
x2
x2
Curva oferta
renta
x1
x1
Bien 2 es normal, bien 1 se
convierte en inferior
x2
m
Curva Engel
del bien 2
m
x 2*
Curva Engel
del bien 1
x1
x 1*
9