Tercer Lugar Seguros 2015

Valoración del Riesgo en los Seguros Flexibles con
Garantía de Tasa.
Trabajo presentado para el XXII Premio de Investigación sobre
Seguros y Fianzas 2015
“Antonio Minzoni Consorti”
Lic. Omar Said López Tronco
“RULGAT”
XXII
Premio de Investigación
sobre Seguros y Fianzas 2015
“Antonio Minzoni Consorti”
Tercer Lugar
Categoría de Seguros
Tabla de contenido
Introducción........................................................................................................................................................ 3
1.- Antecedentes ................................................................................................................................................. 5
2.1 Antecedente Internacional ....................................................................................................................... 5
2.2 Antecedente en México ............................................................................................................................ 7
2.3 Características de los seguros flexibles con garantía de tasa ................................................................. 10
2.- Instrumentos Financieros Derivados ........................................................................................................... 13
3.1 Valuación de Opciones sobre Acciones ................................................................................................... 14
Árboles binomiales ................................................................................................................................... 14
Modelo Black-Scholes ............................................................................................................................... 16
Simulación Monte Carlo ........................................................................................................................... 18
3.2 Valuación de Opciones sobre Tasas de Interés ....................................................................................... 19
Pisos y techos de tasas de interés (Caps y Floors) .................................................................................... 21
Opciones sobre contratos de intercambio (Swaptions) ............................................................................ 23
3.3 Garantías de Tasa en Flexibles como Instrumento Financiero Derivado ................................................ 23
¿Por qué la garantía de tasa no es una opción americana? ..................................................................... 23
¿Por qué la garantía de tasa no es un piso de tasa de interés o floor? .................................................... 24
¿Por qué la garantía de tasa no es un contrato de intercambio de tasa o swap?.................................... 25
¿Por qué la garantía de tasa no es una opción de intercambio o swaption? ........................................... 25
3.- Valoración del Riesgo .................................................................................................................................. 26
4.1 Antecedentes de Valoración en el Contexto Internacional ..................................................................... 28
4.2 Antecedentes de Valoración en la Regulación Mexicana ....................................................................... 31
Valuación de reservas técnicas ................................................................................................................. 31
Cálculo de requerimiento de capital de solvencia .................................................................................... 33
4.3 Acreditación a Vencimiento .................................................................................................................... 34
Influencia del comportamiento del asegurado en la tasa acreditada a vencimiento............................... 39
4.4 Descalce por Tasa Acreditada al Fondo de Reserva ............................................................................... 43
4.5 Modelos de Valuación ............................................................................................................................ 46
Modelos teóricos de valuación ................................................................................................................. 46
Modelos estocásticos................................................................................................................................ 52
Modelos estocásticos con comportamiento dinámico ............................................................................. 57
4.- Conclusiones ................................................................................................................................................ 63
Bibliografía ....................................................................................................................................................... 66
2
Introducción
Los productos flexibles han tenido un gran éxito y por ende crecimiento importante desde su aparición hace
ya más de 30 años. Existe una gran diversidad de este tipo de productos, pero en general se pueden clasificar
como los de vida universal, vida universal con garantías secundarias, vida universal variable, y aquellos
ligados a un índice. Cada uno de ellos tiene sus particularidades, y cada uno ha encontrado un nicho de
mercado en la población.
Por otro lado los cambios recientes en la regulación han generado impactos en toda la industria que han
hecho replantear la práctica cotidiana de la industria. Entre estos cambios se encuentra la valuación de
reservas mediante mejor estimador más un margen de riesgo y la determinación del requerimiento de
capital de solvencia mediante una fórmula general que se calcula con base en los principales factores de
riesgo de manera agregada para la aseguradora.
Sin embargo y a pesar de que los productos flexibles conforman una buena parte de las carteras de las
aseguradoras de vida, quedan muchas áreas de oportunidad para una valoración apropiada del riesgo en
estos productos. Sobretodo es el caso de los productos en los que el riesgo del desempeño financiero de las
inversiones no es transferido por completo a los asegurados, lo cual es el caso en los productos flexibles con
garantías secundarias. Dentro de este conjunto de productos, aquellos cuya garantía secundaria es la
garantía de tasa son los más populares.
La garantía de tasa presente en dichos productos representa un beneficio para el asegurado y una obligación
para la aseguradora. A esto en el mercado financiero de derivados se le conoce como una opción. En
particular la garantía de tasa puede ser vista como un instrumento equivalente a una serie de opciones de
venta europeas (conocidos como “puts”) con distintos vencimientos, lo cual bajo ciertas circunstancias se
asemeja a un piso de tasa de interés conocido como “floor”.
A pesar de que existen modelos teóricos para la valuación de las opciones europeas, la flexibilidad que brinda
este tipo de productos hace que su complejidad no logre ser capturada adecuadamente por ellos. Por otro
lado, estos modelos se basan en el valor esperado, lo cual resulta útil para la valuación de reservas bajo
mejor estimador, pero nos dejan desamparados en el cálculo de los escenarios extremos que nos pueden
servir para la determinación del requerimiento de capital.
El contexto internacional ha tendido hacia la modelización de estos productos mediante modelos
estocásticos, que permiten capturar el efecto de diversas variables y nos permiten analizar los escenarios
extremos para determinar no solo el VaR, sino otras medidas como el CVaR. Adicionalmente, debido a que
los productos flexibles presentan un gran riesgo de comportamiento del asegurado (aportaciones
adicionales, rescates parciales y totales y caducidad), los modelos estocásticos con comportamiento
dinámico representan una herramienta más poderos para modelizar los principales factores en este tipo de
productos. La reciente regulación mexicana sugiere implícitamente el uso de estos modelos, los cuales a
pesar de ser muy útiles, aun no son muy populares en la industria mexicana.
Si bien los productos flexibles no son nuevos, los cambios en la regulación crean retos adicionales para su
operación al crear un descalce entre activos y pasivos que impacta directamente los fondos propios de las
3
instituciones. Esto presenta oportunidades para una mejor valoración del riesgo así como para un rediseño
de los productos que atiendan a las necesidades de la demanda a la vez que protejan la solvencia de la
aseguradora.
El presente documento trata de abordar algunos de los principales problemas para el caso de los seguros
flexibles con garantías de tasa. En el capítulo 1 se abordan los antecedentes que se tienen tanto en el
mercado nacional como en el internacional, mostrando la evolución de las prácticas relacionadas con este
tipo de productos. En el capítulo 2 se describen a grandes rasgos los instrumentos financieros derivados y la
medida en que estos resultan útiles para la valoración del riesgo en los seguros flexibles con garantía de
tasa, así como una descripción de la semejanza de estos productos. En el capítulo 3 se abordan más a detalle
las razones por las que la acreditación tradicional a vencimiento resulta inapropiada en algunas ocasiones, el
problema de descalce generado por el cambio en la regulación y algunos métodos que pueden ser usados
para la valoración del riesgo para estos producto, como modelos teóricos o modelos estocásticos. Asimismo
en esta sección se propone una ecuación diferencial estocástica para modelizar de manera dinámica la tasa
de aportaciones al fondo de reserva de los asegurados. Por último el capítulo 4 presenta las conclusiones al
presente trabajo, seguidas de la Bibliografía correspondiente.
Por último y sólo a manera de aclaración, me gustaría menciona que cuando en el presente documento hago
referencia a un “asegurado” me refiero de manera indistinta tanto a un asegurado de género masculino
como de género femenino, de tal manera que no se interprete de ninguna manera que el presente
documento resulte excluyente a pesar de que se hable solo de “asegurado” a lo largo de todo el trabajo.
4
1.- Antecedentes
Los seguros flexibles, cuya principal característica es la combinación de un producto de seguro de vida y un
fondo de inversión, han tenido un gran éxito desde su aparición en el mercado. Esto fue posiblemente debido
1
a sus características de inversión, su flexibilidad para realizar aportaciones con base en la voluntad y
capacidad de los asegurados para realizarlas, su transparencia frente a otros productos de seguros y en
alguna ocasiones por los beneficios fiscales que ofrecen frente a otras alternativas de inversión tradicionales.
2.1 Antecedente Internacional
2
El origen de estos productos se puede rastrear a la invención del término “Vida Universal” (UL por sus siglas
3
en inglés) en 1962 por parte de G.R. Dinney, funcionario entonces de la aseguradora canadiense “GreatWest Life Assurance Company”. Según él mismo, la única clave para simplificar todo lo relacionado con los
seguros de vida, era un producto simple y flexible (Dinney G. R., 1987). Él mismo escribió:
“En su forma más simple, Vida Universal es un fondo, en el que se depositan primas de forma
regular o irregular y contra el cual los costos de un seguro temporal y los gastos de póliza son
cargados, dejando un residual que puede ser usado para comprar ahorros o anualidades
saldadas o seguros de vida saldados, bajo términos contractuales. Debido a que un fondo de
depósito o cuenta transitoria tiene muchos usos potenciales, puede ser usado para fondear
diversos productos y servicios financieros, hasta incluso seguros de vida estereotipo como
Ordinario de Vida o Dotal a 20 años. Permite variaciones ilimitadas, con o sin garantías de
interés, mortalidad y gastos.”
Los primeros productos flexibles sin embargo surgieron presumiblemente en los Estados Unidos De América
(EUA) a medidos de los años 70, en respuesta al entorno económico de altas tasas de interés. A finales de
esta década y principios de los 80, las tasas de interés de corto plazo excedieron 15 por ciento en aquel país
mientras que las tasas de interés de largo plazo excedieron 10 por ciento, reflejando una curva invertida de
tasas de interés (Klugman, Beckley, Scahill, Varitek, & White, 2012).
Por el lado de la demanda, las personas de aquel entonces que buscaban la protección de un seguro de vida
tenían un par de opciones. Podían adquirir un seguro ordinario de vida o bien adquirir un seguro temporal de
corto plazo e invertir la diferencia. En el contexto de altas tasas de interés de aquel momento hacían mucho
más atractiva la segunda opción, poniendo a las aseguradoras de vida en riesgo de perder una buena parte
de su participación en el mercado de las inversiones. Más aún, aquellos asegurados que mantuvieron sus
1
Se prefiere el término de “contribuciones” al de “primas” en estos productos debido a la amplia flexibilidad
para realizarlas, así como debido a que cada contribución se puede desagregar y sus componentes ser
clasificados como prima básica, prima de inversión planeada y aportaciones adicionales, por lo que el
término contribuciones es más amplio.
2
No confundir con “Unit-Linked”, nombre que se le da en Europa y Asia a los productos de vida universal
variables que se describe más adelante.
3
El autor del presente documento no pudo rastrear la veracidad de este hecho, pues el dato de “la invención
del término en 1962” es brindado por el mismo Dinney en diversos documentos posteriores, durante los años
80. La primera mención oficial que pude rastrear fue en 1971 en un mensaje escrito por Dinney dirigido al
Instituto Canadiense de Actuarios como presidente de éste, la cual se tituló “Un Descenso hacia el Violento
Torbellino del Futuro de los Seguros” (traducción propia para “A Descent into the Maelstrom of the Insurance
Future”) en la cual advierte sobre problemas en el horizonte de la industria de los seguros y describe un
producto llamado “Plan de Vida Universal” (Doll).
5
pólizas de vida de largo plazo ejercían su beneficio de préstamo sobre póliza de forma más frecuente,
creando problemas de flujo y forzando a las compañías invertir estos préstamos de tasa baja en lugar de
inversiones de alto rendimiento disponibles entonces (Doll).
Por otro lado, en el de la oferta, las aseguradoras de vida, las cuales deseaban reflejar dichos altos niveles de
tasa en sus primas, no querían comprometerse a garantizar estas primas a largo plazo con base en este
entorno. De esa forma y para contrarrestar la situación de la demanda desarrollaron una prima vigente
basada en dicho entorno pero fijaron una prima garantizada con base en tasas de interés más bajas con las
que consideraban que podrían ser sostenibles durante la vida de la póliza.
Las primeras versiones de pólizas UL fueron estructuradas entre 1977 y 1978 como una combinación de una
póliza de seguro de vida temporal y una anualidad diferida. Sin embargo el beneficio por fallecimiento que
pagaba el contrato de anualidad ocasionó problemas federales de ingreso sobre la renta para el beneficiario,
4
por lo que no tuvieron éxito. En 1979 “Life Insurance Company of California” combinó ambos elementos en
un solo contrato originalmente llamado “Vida Total” y posteriormente “Vida Completa”. Solo unas cuantas
compañías pequeñas siguieron la delantera de Hutton en 1980, y el año 1981 vio la entrada de compañías
más grandes al mercado de UL. Para finales de 1983 casi todas las aseguradoras más importantes habían
introducido al menos un producto UL y muchas ofrecían más de una versión. Adicionalmente la aprobación
de las leyes de 1982 y 1984 sirvieron para resolver unos cuantos aspectos pendientes que empañaban el
futuro de los UL, volviéndolos un producto establecido (Doll).
Sin embargo muchos de estos productos fueron comercializados con prácticas agresivas en aquellos tiempos
de tasas elevadas, en las que el funcionamiento del seguro era ejemplificado a los prospectos de clientes con
cifras calculadas con tasas de 8%-10%, con las cuales ellos visualizaban un ahorro promisorio con
aportaciones accesibles. Asimismo se les hablaba de que estos productos contaban con una garantía de tasa,
pero en ocasiones se minimizaba el hecho de que las tasas con las que se hacía el cálculo ilustrativo no eran
las mismas que la aseguradora garantizaría. Por otro lado, no se transmitió adecuadamente a muchos de
5
ellos que las aportaciones que tendrían que hacer para alcanzar sus objetivos de ahorro no eran ciertas , sino
que dependerían de los niveles de tasas prevalecientes en el mercado, aunado a que en la mayoría de las
ocasiones las aseguradoras tienen la facultad de incrementar los cargos que se deducen del fondo de los
asegurados. Actualmente en el entorno reciente de tasas bajas (a mediados de 2012 los bonos del tesoro de
los EUA a diez años alcanzaron un mínimo nivel de 1.404% y desde entonces sólo en una ocasión ha logrado
rebasar ligeramente 3.0%), están llevando a las aseguradoras con contratos con vigencias de cerca de 30
años a incrementar los cargos para compensar la era de tasas bajas, aunque muchas de ellas tienen
garantías de tope de dichos cargos (Scism, 2015).
El seguro UL es un producto muy importante, particularmente en EUA (Dickson, Hardy, & Waters, 2013).
Durante la década de 1980, cuando estos productos a penas surgían, ya conformaban alrededor del 25% del
total de ventas de seguros de vida individual (Scism, 2015). El crecimiento espectacular de los productos UL
para 1985 fue el resultado de diversos factores, siendo el más importante el que las tasas de interés
acreditadas a estos productos eran significativamente más altos que aquellos implícitos en productos
tradicionales y que aquellos implícitos en los productos de vida con dividendos. Para entonces las ventas de
4
Después se llamaría “E.F. Hutton Life” y posteriormente “First Capital Life”.
En el presente documento se utilizará este término en el sentido de “desconocido, no sabido, ignorado” y no
en el de “no cierto o no verdadero”.
5
6
los UL ya habían desplazado casi por completo a los tradicionales, salvo aquellos vendidos con sumas
aseguradas pequeñas y una situación de mercado de nicho (Doll). Para el cierre de 2010 la participación de
mercado de estos productos era de más del 40% del total de los seguros de vida, creciendo en primas a una
tasa de 10% e incrementando el número de asegurados en 21% durante ese año (Graham, 2011).
Como se puede ver, los seguros flexibles han tenido un gran éxito comercial desde su surgimiento debido a
que presentan una alternativa atractiva a la inversión directa, brindando rendimiento de mercado a la vez de
una protección por fallecimiento que permite a los asegurados garantizar el patrimonio de sus beneficiarios
en caso de que llegaran a faltar incluso sin haber logrado su objetivo de inversión. Esto aunado a que debido
a que las aseguradoras, al considerar que podían ser menos cautelosas en sus supuestos de tarificación
debido a que el riesgo de inversión está siendo transferido en gran medida al asegurado, han incentivado la
suscripción de este tipo de contratos mediante altas comisiones a los agentes de seguros, propiciando así
una importante penetración de en el mercado asegurado. Sin embargo esta consideración fue hecha en un
contexto en el que las tasas de interés eran altas, y las tasas garantizadas por las aseguradoras eran lo
suficientemente bajas como para no considerarlo un riesgo relevante.
Es interesante sin embargo analizar algunos estudios (Cherin & Hutchins, 1987) que muestran
empíricamente que en la mayoría de los casos, a diferencia de comprar un seguro de vida universal, la
estrategia de comprar un seguro temporal tradicional (que resulta más económico) e invertir la diferencia en
el mercado financiero tradicional, resulta en una estrategia superior o más rentable, debido a los recargos y
gastos cobrados al asegurado en el caso del seguro de vida universal. Valdría la pena actualizar la validez de
dicho estudio en tiempos recientes, pues es posible que los avances tecnológicos y administrativos que han
tenido lugar de forma acelerada en los últimos años, así como la especialización de las instituciones en la
comercialización de estos productos, hayan disminuido significativamente dichos recargos.
2.2 Antecedente en México
De forma similar al desarrollo en los EUA y con el antecedente de este país, un entorno económico de alta
inflación en México y por ende altas tasas de interés registrados a finales de los años 70 (ver gráfico 1),
aunado a la nacionalización en 1982 de la banca mexicana (evidenciando la descapitalización que el seguro
de inversión provocaba a las aseguradoras) y a algunas modificaciones de ley, propiciaron el surgimiento en
México de los seguros de vida capitalizables, entre los cuales se encuentran los seguros flexibles (Mejía
Tapia, 1994).
Por otro lado, el componente de ahorro de estos productos permite en nuestro país tener algunas ventajas
fiscales sobre productos similares ofrecidos por otros participantes del mercado financiero. El artículo 133 de
la Ley del Impuesto Sobre la Renta (LISR) otorga la posibilidad a las instituciones de seguros, para que en
lugar de efectuar la retención en los términos de este artículo puedan efectuarla hasta el momento de
realizar un retiro de su inversión (ya sea para parcial, total o para pago de prima) aplicando una tasa del 20
6
% sobre los intereses reales . Esto permite un mayor rendimiento para el asegurado por el efecto del
diferimiento fiscal.
6
Cabe destacar que lo dispuesto por el Reglamento de la Ley para estos efectos, si bien se refiere al artículo
158 de la anterior Ley del Impuesto Sobre la Renta vigente hasta el 31 de diciembre de 2013, no menos cierto
es que dicha disposición normativa continua vigente aun y cuando exista una distorsión de referencia a la
7
Gráfico 1 - Inflación anual en México
200%
150%
100%
50%
2014
2009
2004
1999
1994
1989
1984
1979
1974
1969
0%
Fuente: Elaboración propia con información del Banco de Información Económica del INEGI (Precios e inflación -> índice nacional de
precios al consumidor -> mensual -> índice general)
En este sentido, la autoridad fiscal entiende en este caso como intereses a:
Los pagos efectuados por las instituciones de seguros a los asegurados o a sus beneficiarios, por los retiros
parciales o totales que realicen dichas personas de las primas pagadas, o de los rendimientos de éstas, antes
de que ocurra el riesgo o el evento amparado en la póliza, y
Los pagos que efectúen a los asegurados o a sus beneficiarios en el caso de seguros cuyo riesgo amparado
sea la supervivencia del asegurado cuando en este último caso no se cumplan los requisitos de la fracción XXI
7
del artículo 93 de la LISR y siempre que la prima haya sido pagada directamente por el asegurado
Con relación a la evolución de este tipo de productos en nuestro país, en realidad se cuenta con muy poca
información pública con el nivel de segmentación necesario para poder realizar un estudio de los seguros
flexibles, o bien para analizar la proporción que representa del total de las carteras de vida de las
8
aseguradoras la operación de seguros flexibles. De lo poco que se puede encontrar, actualmente de las 5
compañías en México con mayor participación de mercado en la operación de vida, entre las cuales
concentran el 68.7% del total de la prima directa (CNSF, 2015), 4 de ellas operan al menos tres seguros
flexibles (ver tabla 1).
Durante muchos años, las altas tasas de interés en el mercado (ver gráfico 2) propiciaron un ambiente muy
atractivo para la proliferación de los productos flexibles con garantía de tasas, ya que a diferencia de los
productos tradicionales, los asegurados se beneficiaban de las elevadas tasas, y para las aseguradoras no
representaba un riesgo relevante las garantías de tasas, pues éstas estaban en niveles lo suficientemente
bajos para considerar que no se alcanzaría dichos niveles. Sin embargo el entorno económico nacional e
ley, la Comisión Fiscal 2013-2015 del Instituto Mexicano de Contadores Públicos considera que el texto es el
aplicable por identidad de razón, a más de que no es contrario a la norma (IMCP, 2015).
7
Estos requisitos son que el asegurado haya cumplido sesenta años y además hubieran transcurrido al
menos cinco años desde la fecha de contratación del seguro y el momento en el que se pague la
indemnización
8
Con información a marzo del 2015.
8
internacional de principios de siglo impulsaron las tasas a la baja, alcanzando sus niveles mínimos en los
últimos 3 años (ver tabla 2). Esto ha ocasionado una mayor preocupación por el valor intrínseco de las
garantías de tasa presentes en estos productos, que si bien no ha sido tan relevante debido a que las tasas
acreditadas no son tan sensibles a las fluctuaciones de las tasas de mercado como se verá más adelante, es
importante considerar el valor de dichas garantías y su impacto en el requerimiento de capital de las
mismas.
Tabla 1
Aseguradora
Producto Flexible
MetaLife (UL*)
FlexiLife Inversión (UL)
FlexiLife Protección (UL)
FlexiLife Sueños (VUL)
Plan Personal de Retiro Banamex (VUL)
Plan Patrimonial Banamex (VUL)
Portafolio Vida Banamex Fiscal (VUL)
Elige (UL*)
Privilegio Universal (UL)
Platino Universal (UL)
Capitaliza (VUL)
Vida Inversión (VUL)
Imagina Ser (UL*)
Imagina Ser MAS (UL*)
Objetivo Vida (UL*)
Realiza (VUL)
MetLife
Banamex
BBVA Bancomer
GNP
Seguros Monterrey
* Productos flexibles con garantía de tasa
Fuente: Elaboración propia con información de las páginas web de las aseguradoras en cuestión
Gráfico 2
Tasa de Rendimiento Promedio Mensual
50
40
30
20
10
Cetes 364
Bonos tasa fija (3 años)
Bonos tasa fija (10 años)
Udibonos (3 años)
Udibonos (10 años)
Udibonos (30 años)
Nov 2014
Nov 2013
Nov 2012
Nov 2011
Nov 2010
Nov 2009
Nov 2008
Nov 2007
Nov 2006
Nov 2005
Nov 2004
Nov 2003
Nov 2002
Nov 2001
Nov 2000
Nov 1999
Nov 1998
Nov 1997
Nov 1996
Nov 1995
Nov 1994
Nov 1993
Nov 1992
Nov 1991
0
Nov 1990
Por ciento anual
60
Bonos tasa fija (30 años)2
Fuente: Elaboración propia con información del Banco de México
9
Tabla 2
Instrumento
Cetes 364
Udibono 3 años
Udibono 10 años
Udibono 30 años
Nivel mínimo
3.01%
0.40%
1.10%
2.29%
Fecha
Agosto 2014
Octubre 2013
Abril 2013
Julio 2012
Instrumento
Nivel mínimo
Fecha
Bono tasa fija (3 años)
Bono tasa fija (10 años)
Bono tasa fija (30 años)
4.00%
4.14%
4.64%
Mayo 2013
Mayo 2013
Mayo 2013
Fuente: Elaboración propia con información del Banco de México
Existen diversos productos flexibles en nuestro país, entre los cuales se encuentran aquellos en diversas
monedas (pesos dólares, UDIs), con diversos tratamientos fiscales (deducibles o no deducibles) con diversos
niveles de garantía, con distintas frecuencias de acreditación de la garantía, con garantía sobre el total de
las aportaciones o solo sobre la prima básica, con características de seguros temporales o dotales, con
mecanismos de devolución de primas, con penalización por retiro anticipado, etc. Al momento de la
elaboración del presente documento, no se encontró información pública relativa a los costos de
administración de estos productos en nuestro país, pero se tiene la referencia que en la década de los 90, los
seguros flexibles representaban un alto costo administrativo por la necesidad de mantener actualizado en
forma mensual el fondo (Mejía Tapia, 1994).
2.3 Características de los seguros flexibles con garantía de tasa
Los seguros flexibles son seguros de vida de largo plazo que se caracterizan por brindar al asegurado una
gran flexibilidad con respecto al momento y monto de las aportaciones que puede realizar sin autorización
de la aseguradora. A estos productos también se les conoce como seguros de vida universal (UL por sus
siglas en inglés). Los seguros flexibles cuentan con algunos aspectos básicos que los caracterizan, resaltando
tres fundamentales, que son (a) amplia flexibilidad para el asegurado, (b) participación del asegurado en el
riesgo de tasas de interés, y (c) elementos de garantías secundarias en la cobertura (Cunningham, Herzog, &
London, 2012).
9
Generalmente se emite como un contrato temporal u ordinario de vida , pero con valores de rescate
transparentes, permitiendo al asegurado la flexibilidad de utilizarlo más bien como un seguro dotal, en cuyo
caso a la suma asegurada se le conoce como el objetivo de inversión. La flexibilidad para el asegurado se
encuentra en que éste puede variar el monto de las primas, el momento en que las realiza e incluso puede
realizar retiros parciales o totales. En ocasiones existen algunas restricciones para ello, como limites,
recargos, castigo por rescate anticipado, etc. De manera similar a los seguros tradicionales, las aportaciones
de los seguros flexibles se depositan en la cuenta general de la aseguradora. Por otro lado, se define una
10
cuenta nocional también denominada fondo de reserva, la cual se usa para determinar los beneficios ya
sea por fallecimiento o por supervivencia. Este fondo de reserva varía periódicamente debido a (1) el monto
de las aportaciones netas que realice el asegurado (o retiros, en su caso), (2) por la tasa de interés
acreditada a dicho fondo, la cual es calculada por la aseguradora y acreditada al asegurado de manera
periódica (generalmente de forma mensual), (3) el costo del seguro, el cual es calculado por la aseguradora y
descontado del saldo del fondo, y (4) los gastos administrativos, los cuales son determinados por la
9
También existen productos flexibles emitidos como dotales. Sin embargo para el presente documento se
consideran éstos como seguros flexibles con garantía secundaria de acumulación de beneficio, debido a la
naturaleza distinta de su tratamiento en el cálculo de reservas.
10
Se le denomina nocional debido a que los activos no se encuentran realmente segregados de la cuenta
general de la aseguradora.
10
aseguradora y descontados del saldo del fondo. A la suma del costo del seguro y los gastos administrativos
se le denomina la deducción del fondo y se realiza típicamente al inicio de cada mes. Existen algunos
esquemas en los que la aseguradora acredita al fondo de reserva del asegurado una tasa fija garantizada, en
cuyo caso el asegurado no tiene participación en el riesgo de tasas de interés. En otros esquemas la
aseguradora comparte las ganancias con el asegurado a través de la tasa acreditada a su fondo de reserva
(Dickson, Hardy, & Waters, 2013).
La participación del asegurado en el riesgo de tasa de interés se debe a que el rendimiento que se acredita al
fondo del asegurado es incierto, ya que depende de las tasas de interés que se obtengan en el mercado. Esta
participación se manifiesta de dos maneras, las cuales corresponden a dos tipos de productos flexibles, las
cuales se describen a continuación.
En el caso en el que la tasa de interés acreditada al asegurado en su fondo cuente con alguna garantía
mínima, la aseguradora asume el riesgo de que la tasa de inversión de los activos asociados a este producto
pueda no alcanzar la tasa de interés garantizada. En estos productos en ocasiones, la tasa de interés
11
acreditada llega a tener un margen para gastos , el cual se deduce de la tasa de inversión de los activos, en
cuyo caso el asegurado participa parcialmente de la tasa de inversión de los activos.
12
En el caso en el que las contribuciones netas sean invertidas en una cuenta de inversión separada, y que las
tasas obtenidas en estas cuentas sean utilizadas para acreditar la tasa en el fondo, el riesgo de tasas de
interés es asumido por completo por el asegurado. A este tipo de productos se les conoce en América como
seguro de vida universal variable (VUL por sus siglas en inglés) o como “Unit-Linked” en Europa y Asia, y
generalmente es el asegurado quien elige, de entre un conjunto de opciones, cada una de ellas con diferentes
perfiles de inversión, la proporción de sus aportaciones netas que serán invertidas en cada una de estas
opciones, llamados fondos de inversión. En estos casos para su operación, la aseguradora no establece una
cuenta de inversión por separado para cada contrato VUL, sino que establece una cuenta de inversión para
cada tipo de fondo de inversión, en la cual conjunta la totalidad de las contribuciones correspondiente a la
proporción elegida para este fondo de la contribución neta de cada asegurado. Por su parte cada contrato
individual será poseedor de un número de unidades o acciones de cada fondo de inversión, y el valor de su
fondo por lo tanto será entonces el producto del valor de cada de una de estas unidades y del número de
unidades que posea (Cunningham, Herzog, & London, 2012).
Adicionalmente existen dos tipos principales de beneficio por fallecimiento (o supervivencia en el caso de los
dotales) en los productos flexibles. El primero de ellos tiene un beneficio por fallecimiento nivelado, es decir,
la cantidad que se les paga a el(los) beneficiario(s) en el caso del fallecimiento del asegurado no varía
13
durante la vigencia de la póliza. Esto es debido a que la aseguradora calcula el valor en riesgo , que es la
diferencia entre la suma asegurada y el valor del fondo de reserva, y es la cantidad que le corresponde
asumir en caso de fallecimiento del asegurado, y que por lo tanto, sumada al monto del fondo de reserva,
suman el total de la suma asegurada (ver gráfico 3-a). El otro tipo de producto tiene un beneficio por
fallecimiento creciente, en el cual el valor en riesgo es siempre el total de la suma asegurada, de tal manera
11
Traducción propia para “spread”
Las contribuciones menos las deducciones o cargos al fondo de reserva
13
No confundir con el valor en riesgo (VaR por sus siglas en inglés), que una medida de riesgo muy usada en
la industria financiera y que corresponde a un percentil, normalmente muy alto, de la distribución de pérdida
del valor en cuestión.
12
11
que en caso de fallecimiento, el(los) beneficiario(s) reciben el total de la suma asegurada más el valor del
14
fondo (ver gráfico 3-b). Por otro lado existen algunas variantes de productos flexibles, como la opción de
devolución de primas por fallecimiento o la garantía de no caducidad. A pesar de la popularidad en algunos
casos de estas variantes, el presente documento se acotará al estudio de los productos flexibles con
garantías de tasa.
Gráfico 3 – Tipos de beneficio por fallecimiento en los seguros flexibles
(a) Beneficio nivelado
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(b) Beneficio creciente
0
1
2
3
Fondo de Reserva
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valor en Riesgo
Fuente: Elaboración propia
14
A este tipo de productos se le conoce como de beneficio creciente, a pesar de que si el asegurado deja de
realizar aportaciones adicionales, el fondo de reserva se irá consumiendo por los costos del seguro y los
gastos de administración, pudiendo llegar a ser incluso decreciente en caso de no aportar ni siquiera la prima
básica.
12
2.- Instrumentos Financieros Derivados
Los instrumentos derivados son instrumentos financieros que derivan su valor de desempeño de un activo
subyacente. Sin embargo esta definición puede ser problemática debido a que también puede describir a los
15
fondos de inversión y a los fondos negociables en el mercado , los cuales jamás serían considerados como
derivados a pesad de que su valor deriva del valor de los activos subyacentes que contienen (Chance, 2014).
Probablemente la distinción que mejor caracteriza a los derivados es que normalmente transforman el
desempeño del subyacente antes de pagarlo en el derivado, a diferencia de los otros dos instrumentos
mencionados, los cuales a excepción de algunas deducciones para gastos, transfieren directamente el
rendimiento de sus activos subyacentes.
Existen diversos instrumentos financieros derivados en el mercado tanto bursátil como extra-bursátil, entre
16
los cuales los más comunes son los contratos de futuros, los contratos adelantados , los contratos de
17
opciones y los contratos de intercambio . El presente análisis se concentra en los contratos de opciones,
debido a que las garantías que ofrecen las aseguradoras a sus clientes en los productos flexibles con garantía
de tasas pueden ser vistas como una serie de contratos de opciones con el asegurado.
Existen diversas razones por las que es muy útil para una aseguradora el entender la valuación de opciones
así como las técnicas de ingeniería financiera. La aseguradora podría comprar opciones de un tercero, como
un banco o reasegurador para compensar las opciones implícitas contenidas en sus pasivos, en cuyo caso un
buen conocimiento de la valuación de opciones sería valioso en las negociaciones, o bien podría tomar
decisiones de administración de riesgos cubriendo internamente estos riesgos (Dickson, Hardy, & Waters,
2013).
Las opciones son contratos que brindan al comprador, la parte larga, el derecho, más no la obligación, de
18
comprar o vender un activo subyacente, ya sea físico o financiero en una fecha futura (opción Europea) o
en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento (opción Americana) a un precio determinado (precio
del ejercicio). Este derecho se adquiere mediante el pago de una prima que el comprador efectúa al
vendedor, la parte corta, adquiriendo éste una obligación en caso de que la parte larga decida ejercer su
derecho a comprar o vender el activo. La prima teórica es determinada por seis factores:

El precio o valor del activo subyacente (𝑆0 );

El precio del ejercicio (𝐾);

La tasa de interés, que normalmente se referencia a la TIIE (𝑟);

Los flujos intermedios (o gastos) que generará el activo subyacente, entre la fecha de la
comercialización de la opción y la fecha de vencimiento de la misma, que por ejemplo en el caso de
que el subyacente sea una acción, los flujos intermedios son los dividendos decretados o bien
estimados;

El tiempo al vencimiento de la opción (𝑇), y

La volatilidad futura del precio o nivel del activo subyacente (𝜎).
15
Traducciones propias para “mutual fund” y “Exchange-traded fund” o ETF respectivamente.
Mejor conocidos como “forwards”.
17
Mejor conocidos como “swaps”.
18
Las opciones de compra son conocidas como “Calls” mientras que las de venta son conocidas como “Puts”.
16
13
Todos estos parámetros, excepto la volatilidad futura, pueden ser determinados con bastante objetividad
con anterioridad al cierre del contrato. Ahora bien, la prima en realidad es materia de negociación en el
mercado entre los compradores y vendedores, por lo que se puede decir que las variaciones en los precios
están dadas por las percepciones de la volatilidad en los participantes del mercado. Es por esto que al
conocer los precios públicos de las opciones en el mercado regulado se puede deducir la volatilidad futura
que el mercado le está dando de manera implícita a dicho subyacente.
A pesar de que el tema que nos ocupa corresponde a opciones sobre tasas, primero analizaremos
brevemente los componentes esenciales de la valuación de opciones para acciones y divisas, para
posteriormente analizar las opciones sobre tasas de interés. Esto es debido a que las opciones sobre tasas
presentan un grado de complejidad mayor.
3.1 Valuación de Opciones sobre Acciones
Existen diversos métodos de valuación para opciones sobre acciones, entre los cuales destacan la valuación
por árboles binomiales, la fórmula de Black-Scholes y la valuación Monte Carlo. A continuación describiremos
brevemente los supuestos y resultados de cada una de estas técnicas sin entrar a la derivación de los
mismos, pues la literatura al respecto es abundante.
Árboles binomiales19
La técnica de valuación de opciones mediante árboles binomiales, a pesar de no ser muy realista, es muy útil
y también muy popular debido a que se puede extender a modelos más complejos de valuación de acciones.
20
Es una técnica basada en un principio de no arbitraje . Un árbol binomial es un diagrama que representa
distintos posibles caminos que puede seguir el subyacente durante la vida de la opción. Los supuestos en los
que se basa el modelo son los siguientes:

Se tiene un mercado financiero sin fricción en el que existe un activo libre de riesgo y un activo
riesgoso, que se asume en este caso que es una acción;

El mercado financiero se modeliza en tiempo discreto, es decir, las transacciones ocurren solo en
momentos específicos y los precios de los activos y la fecha de vencimiento de la opción pueden
ocurrir sólo en esos momentos;

El precio de la acción sigue un patrón conocido como caminata aleatoria. En cada paso (que
corresponde a un periodo de tiempo), tiene determinada probabilidad de incrementar su valor en un
porcentaje, y determinada probabilidad de disminuirlo en otro;

La compra-venta de acciones no tiene impacto alguno en el precio de la acción, y

Los accionistas pueden vender activos en corto , de tal manera que pueden tener una posición
negativa en los activos.
21
22
19
(Hull, 2006)
Este principio es la base de los métodos modernos de valuación en matemáticas financieras. Establece que
cualquier par de activos o combinación de activos que tengan exactamente los mismos flujos debe tener el
mismo precio. A pesar de ser un principio simple es muy poderoso, ya que permite calcular el precio de
instrumentos financieros complejos al “replicar” la serie de flujos del activo en cuestión con un conjunto de
activos de los cuales conocemos su precio.
21
Concepto teórico de finanzas bursátiles en el que se asume que no existen costos (comisiones, impuestos,
etc.) ni restricciones asociados a las transacciones (los activos son perfectamente divisibles).
20
14
Un aspecto interesante y quizás contra-intuitivo de este modelo, es que las probabilidades de incrementar o
disminuir el valor del subyacente son irrelevantes para la valuación de la opción. La razón es que ésta se
realiza no en términos absolutos sino en términos del precio del subyacente, el cual ya incorpora estas
probabilidades.
La fórmula resultante de este proceso para árboles de un solo paso es la siguiente:
𝑓 = 𝑒 −𝑟𝑇 [
(𝑒 −𝑟𝑇 − 𝑑)𝑓𝑢 + (𝑢 − 𝑒 −𝑟𝑇 )𝑓𝑑
]
𝑢−𝑑
En donde:
𝑓
𝑑
𝑢
𝑓𝑑
𝑓𝑢
es el precio de la opción al tiempo cero
es uno menos la disminución porcentual en el precio del subyacente
es uno más el incremento porcentual en el precio del subyacente
es el pago que realiza la opción en caso de que el precio del subyacente disminuya
es el pago que realiza la opción en caso de que el precio del subyacente se incremente
La fórmula anterior se puede expresar también de tal manera que se le pudiera dar una interpretación de
23
probabilidad , aunque como ya se mencionó, la probabilidad no resulta relevante para el cálculo:
𝑓 = 𝑒 −𝑟𝑇 [𝑝𝑓𝑢 + (1 − 𝑝)𝑓𝑑 ]
En donde 𝑝 =
𝑒 −𝑟𝑇 −𝑑
𝑢−𝑑
Esta última expresión podría interpretarse entonces como el valor presente del valor esperado del pago
futuro del derivado, descontando a valor presente a la tasa libre de riesgo. Esto es un ejemplo de un principio
general importante en la valuación de opciones conocido como valuación neutral al riesgo, el cual establece
24
que podemos asumir que el mundo es neutral al riesgo al valuar opciones. Lo interesante es que los precios
resultantes son correctos no solo en el mundo neutral al riesgo, sino también en otros mundos.
La idea de valuación neutral al riesgo mediante árboles binomiales se puede generalizar a más de un paso,
siendo la fórmula para dos pasos la siguiente:
𝑓 = 𝑒 −2𝑟∆𝑇 [𝑝2 𝑓𝑢𝑢 + 2𝑝(1 − 𝑝)𝑓𝑢𝑑 + (1 − 𝑝)2 𝑓𝑑𝑑 ]
En donde:
22
Cuando un inversionista toma prestado un activo que no posee para venderlo, de tal manera que se lo
debe a quien se lo prestó. Los recursos de la venta los usa el inversionista para los fines que considere
convenientes. Al final del plazo de la venta en corto, el inversionista debe devolver el activo al prestamista,
junto con los flujos intermedios que haya generado el activo durante el plazo del préstamo. Esta transacción
es normalmente de corto plazo, por lo que en ocasiones se omiten los intereses sobre los flujos intermedios.
23
En teoría de probabilidad a la probabilidad real de un cambio en el precio se le llama medida-P mientras
que a la probabilidad artificial expresada aquí como probabilidad neutral al riesgo se le conoce como
medida-Q.
24
Un mundo neutral al riesgo significa que todos los individuos son indiferentes al riesgo. En tal mundo los
inversionistas no requieren compensación por el riesgo, y el retorno esperado de todos los activos es la tasa
de interés libre de riesgo.
15
∆𝑇
es el tamaño del intervalo de tiempo de cada paso
𝑓𝑢𝑢
es el pago que realiza la opción en caso de que el precio del subyacente suba en ambos pasos
𝑓𝑢𝑑
es el pago que realiza la opción en caso de que el precio del subyacente suba en un paso y baje en el
otro, siendo el orden indistinto
𝑓𝑑𝑑
es el pago que realiza la opción en caso de que el precio del subyacente baje en ambos pasos
Es importante mencionar que en el límite, cuando el intervalo de tiempo que trascurre en cada paso tiene a
cero, este modelo nos lleva al supuesto de log-normalidad para el precio de la acción que subyace en el
modelo Black-Scholes que se describirá más adelante.
La herramienta de árboles binomiales resulta muy útil para la valuación de opciones americanas y a aquellas
opciones cuyo pago depende no sólo del valor con el finalice el precio del subyacente, sino también del
camino que haya tomado éste antes de llegar a su valor final.
Modelo Black-Scholes25
A principios de la década de 1970, Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton hicieron un gran avance en la
valuación de opciones de acciones, que involucró el desarrollo de lo ahora se conoce como el modelo Black26
Scholes . Este modelo ha tenido una gran influencia en la manera en la que los operadores valúan y cubren
opciones. También ha sido fundamental para el crecimiento y éxito de la ingeniería financiera de los últimos
20 años. En 1997, la importancia de este modelo fue reconocida cuando Merton y Scholes recibieron el
27
premio Nobel de Economía .

El modelo Black-Scholes es también un modelo de no arbitraje y se basa en los siguientes supuestos:

Se tiene un mercado financiero sin fricción en el que existe un activo libre de riesgo y un activo
riesgoso, que se asume en este caso que es una acción;

El mercado financiero se modeliza en tiempo continuo, es decir las transacciones ocurren en
cualquier momento en el tiempo;

El precio de la acción sigue un proceso conocido como movimiento Browniano geométrico, que es
equivalente a que siga una distribución Log-normal con parámetros 𝜇 y 𝜎 constantes;

Los accionistas pueden vender activos en corto, de tal manera que pueden tener una posición
negativa en los activos, y

La tasa de interés libre de riesgo compuesta continuamente es constante y es la misma para todos
los plazos (curva de tasas horizontal y fija).
28
A pesar de que algunos de estos supuestos se pueden relajar , no entraremos en el detalle de dichas
fórmulas en el presente trabajo. La fórmula para la valuación de opciones de compra europeas se presenta a
continuación:
𝑐 = 𝑆0 𝑒 −𝑞𝑇 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2 )
25
(Hull, 2006)
En alguna literatura se le encuentra como modelo “Black-Scholes-Merton”.
27
Fisher había fallecido en 1995.
28
Por ejemplo 𝜇 y 𝜎 pueden ser funciones conocidas de 𝑡, o incluso se puede permitir que las tasas de interés
sean estocásticas, siempre y cuando la distribución del precio de la acción al vencimiento de la opción siga
siendo log-normal.
26
16
En donde:
𝑆
𝜎2
𝑙𝑛 ( 0 ) + (𝑟 − 𝑞 + ) 𝑇
𝐾
2
𝑑1 =
𝜎√𝑇
𝑆
𝜎2
𝑙𝑛 ( 0 ) + (𝑟 − 𝑞 − ) 𝑇
𝐾
2
𝑑2 =
𝜎√𝑇
𝑞
𝑁(𝑥)
29
es la tasa de dividendos relacionada con la acción subyacente
es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar evaluada en 𝑥
De forma similar la fórmula para las opciones de venta europeas es la siguiente:
𝑝 = 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2 ) − 𝑆0 𝑒 −𝑞𝑇 𝑁(−𝑑1 )
Uno de los aspectos interesantes del modelo Black-Scholes es que todo el desarrollo de sus bases teóricas
permitió el estudio más detallado de la valuación de opciones, entre lo que se encuentra como el análisis de
las Griegas de la opción, cada una de las cuales mide una dimensión distinta del riesgo de una opción.
Matemáticamente éstas son derivadas de la fórmula del precio de la opción, por lo que se pueden interpretar
como fórmulas que expresan el cambio en el precio de la opción cuando algún elemento de la fórmula
30
cambia, dejando todos los demás elementos constantes .
Para opciones europeas las definiciones de las Griegas así como sus fórmulas son las siguientes (McDonald,
2006):
Delta (∆) de una opción mide el cambio en su precio cuando el precio de la acción sube una unidad.
𝛥𝑐𝑎𝑙𝑙 = 𝑒 −𝑞𝑇 𝑁(𝑑1 ), 𝛥𝑝𝑢𝑡 = 𝑒 −𝑞𝑇 [𝑁(𝑑1 ) − 1]
Gamma (𝜞) de una opción mide el cambio en Delta cuando el precio de la acción sube una unidad.
𝛤=
𝑁′ (𝑑1 )𝑒 −𝑞𝑇
𝑆0 𝜎√𝑇
31
Vega de una opción mide el cambio en su precio cuando hay un incremento en la volatilidad de una unidad.
𝑉𝑒𝑔𝑎 = 𝑆0 √𝑇𝑁 ′ (𝑑1 )𝑒 −𝑞𝑇
Theta (𝜽) de una opción mide el cambio en su precio cuando hay una disminución en el tiempo al
vencimiento de una unidad. 𝜃𝑐𝑎𝑙𝑙 = −
𝑆0 𝑁′ (𝑑1 )𝜎𝑒 −𝑞𝑇
2√𝑇
+ 𝑞𝑆0 𝑁(𝑑1 )𝑒 −𝑞𝑇 − 𝑟𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2 ),
29
Se asume que los dividendos son otorgados de manera continua e invertidos inmediatamente en la misma
acción. Por otro lado, esta tasa de dividendos también puede ser interpretada como la tasa de flujos que
arroja/consume el subyacente. En el caso de las divisas, sería la tasa libre de riesgo para esa divisa, en el
caso de las materias primas o “commodities” sería el costo de almacenar y/o transportar dicho activo, etc.
En este último caso llevaría signo contrario.
30
En la vida real, las principales variables no son independientes, por lo que se esperarían movimientos
conjuntos.
31
Vega no es una letra griega. En ocasiones se usa en su lugar “Kappa” y “lambda”. Sin embargo Vega es
popular debido a la mnemotécnica de comenzar con la misma letra que volatilidad.
17
𝜃𝑝𝑢𝑡 = −
𝑆0 𝑁 ′ (𝑑1 )𝜎𝑒 −𝑞𝑇
2√𝑇
− 𝑞𝑆0 𝑁(−𝑑1 )𝑒 −𝑞𝑇 − 𝑟𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2 )
Rho (𝝆) de una opción mide el cambio en su precio cuando hay un incremento en la tasa de interés de una
unidad. 𝜌𝑐𝑎𝑙𝑙 = 𝐾𝑇𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2 ), 𝜌𝑝𝑢𝑡 = −𝐾𝑇𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2 )
Psi (𝜳) de una opción mide el cambio en su precio cuando hay un incremento en la tasa continua de
dividendo de una unidad.
La valuación mediante la fórmula de Black-Scholes es muy utilizada como valor de referencia. Sin embargo,
se basa en diversos supuestos que comúnmente son violados, además de que no se puede usar para opciones
americanas.
Simulación Monte Carlo
La simulación es una técnica utilizada frecuentemente para resolver problemas complejos en donde muchas
variables así como sus distribuciones y parámetros representan una alta complejidad para el análisis teórico.
Con la evolución del cálculo computacional y el poder de procesamiento de las computadoras, estos métodos
de simulación han resultado cada vez más usados debido a que las computadoras procesan gran cantidad de
información en unos cuantos segundos.
Cuando se usa la simulación Monte Carlo para valuar una opción, se asume los resultados de valuación
neutral al riesgo. Lo que se hace es efectuar mediante simulación un muestreo de posibles trayectorias que
puede tomar el precio del subyacente para obtener esperado de la opción en un mundo neutral al riesgo,
para posteriormente descontar estos pagos a la tasa libre de riesgo. Consideremos un derivado que depende
de una única variable de mercado 𝑆 que determina el pago al tiempo 𝑇. Asumiendo que las tasas de interés
son constantes, se puede valuar el derivado de la siguiente manera:
1) Muestrear una trayectoria aleatoria para 𝑆 en un mundo neutral al riesgo.
2) Calcular el pago del derivado.
3) Repetir los pasos (1) y (2) para obtener muchos valores muestrales del pago del derivado en un
mundo neutral al riesgo.
4) Calcular la media de las muestras del pago para obtener un estimado del pago esperado en un
mundo neutral al riesgo.
5) Descontar el pago esperado a la tasa libre de riesgo para obtener un estimado del valor del
derivado.
La ventaja importante de la simulación Monte Carlo es que el método puede ser usado cuando el pago
depende del camino seguido por la variable subyacente 𝑆, así como cuando el pago depende solamente de
su valor final. Los pagos pueden suceder varias veces durante la vida del derivado en lugar de sólo al final.
Asimismo, el procedimiento puede ser extendido también para modelizar situaciones en las que el pago dl
derivado depende de varias variables de mercado subyacentes. Una de sus desventajas es que no puede
manejar de forma sencilla los casos en donde el derivado se puede ejercer de forma anticipada, como las
opciones americanas. Sin embargo como veremos más adelante, las opciones con garantía de tasa se
pueden modelizar como opciones europeas, por lo que esta desventaja no resulta relevante.
18
Por otro lado, el procedimiento de simulación también puede ser usado no sólo para estimar el valor del
derivado, que es su valor esperado, sino también se puede usar para estimar otros estadísticos, como el
32
33
VaR(α) o el TVaR(α) , con algunas modificaciones al procedimiento. Debido a que una parte del cálculo del
RCS mediante la fórmula general se determina mediante el VaR(α) mediante simulación Monte Carlo, a
continuación mencionamos brevemente el procedimiento modificado que podría ser usado para el cálculo
del VaR(α) para las opciones y garantías de los productos flexibles:
1) Muestrear una trayectoria aleatoria para 𝑆 en un mundo neutral al riesgo.
2) Calcular el pago del derivado.
3) Repetir los pasos (1) y (2) para obtener muchos valores muestrales del pago del derivado en un
mundo neutral al riesgo.
4) Descontar el pago esperado a la tasa libre de riesgo para obtener el valor presente del pago del
derivado
5) Calcular el percentil 100 ∗ 𝛼 de las muestras del valor presente del pago para obtener un estimado
del VaR(α) en un mundo neutral al riesgo.
El número de simulaciones requerido para llevar a cabo la metodología es similar a los procedimientos para
la determinación de los intervalos de confianza: se requiere determinar un nivel de exactitud para el
estimador, un nivel de confianza para alcanzar dicha exactitud, y la varianza del pago del derivado. Debido a
que esta último es desconocida para la mayoría de las aplicaciones, ésta se estima con base en la simulación
que se va obteniendo, por lo que el número de simulaciones no se sabe con anticipación, sino que se requiere
un procedimiento iterativo descrito a continuación:
1)
2)
3)
4)
34
Simular una muestra mínima .
35
Realizar la simulación de un número adicional de muestras .
Calcular la varianza muestral de la variable simulada.
Verificar si el número de simulaciones es adecuado para alcanzar la confianza y exactitud deseadas.
Si no es así, repetir el proceso desde el paso (2).
Vale la pena mencionar que el número de simulaciones necesarias para estimar el VaR(α) resulta
significativamente mayor al que se requiere para el cálculo del valor esperado.
3.2 Valuación de Opciones sobre Tasas de Interés36
32
Valor en Riesgo por sus siglas en inglés. Representa el percentil 1 − 𝛼 de la distribución. Es una medida
muy popular para medir el riesgo (normalmente financiero). Lo que determina es la pérdida potencial con
una probabilidad 𝛼 en un determinado horizonte de tiempo. La regulación mexicana utiliza esta medida para
el cálculo del RCS en la fórmula general. En ocasiones se interpreta como la pérdida máxima que puede sufrir
la institución. Sin embargo la interpretación es incorrecta, pues con una probabilidad 𝛼 la institución puede
sufrir pérdidas mayores al VaR(𝛼).
33
Valor en Riesgo Condicional por sus siglas en inglés. Es el valor esperado de la pérdida condicionado a que
ha alcanzado una pérdida de al menos el VaR(𝛼). Esta medida resulta complementaria al VaR(𝛼), pues
atiende justamente la desventaja mencionada en la nota anterior.
34
En ocasiones para optimizar el proceso, es conveniente comenzar por una muestra grande, como puede
ser 10,000.
35
Puede ser tan solo una muestra adicional. Sin embargo en ocasiones esto no es conveniente para
optimizar el proceso.
36
(Hull, 2006)
19
Los derivados sobre tasas de interés son instrumentos cuyo pago depende de alguna manera del nivel de las
tasas de interés. Un reto importante para quienes operan derivados de tasa es el encontrar buenos modelos
y procedimientos robustos para ser valuados y en su caso diseñar estrategias de cobertura. Sin embargo, los
derivados sobre tasas de interés son más difíciles de valuar que los derivados sobre otros subyacentes como
divisas o acciones debido a varias razones (Hull, 2006):

El comportamiento de determinada tasa de interés es más complicado que el de una acción o una
tasa de interés.

Para la valuación de muchos productos, es necesario desarrollar un modelo que describa el
comportamiento dela curva completa de tasa cupón cero.

Las volatilidades de los diversos nodos de la curva de tasas de interés son diferentes.

Las tasas de interés son utilizadas tanto para determinar el pago del derivado como para descontar
a valor presente.
Las opciones sobre tasa más populares que se comercializan en el mercado extrabursátil son las opciones
sobre bonos, floors y caps de interés y opciones sobre contratos de intercambio. El modelo más conocido
para valuar estos instrumentos es el modelo de Black, llamado así debido a que es estructuralmente similar
al sugerido por Fisher Black para valuar opciones sobre futuros de materias primas. Este modelo se puede ver
como una extensión del supuesto de log-normalidad usado en el modelo Black-Scholes.
Consideremos una opción europea sobre una variable cuyo valor es 𝑉. La variable 𝑉 no tiene que ser el precio
de un instrumento bursátil. Definimos:
𝑇
𝐹
𝐹0
𝐾
𝑃(𝑡, 𝑇)
𝑉𝑇
Tiempo al vencimiento de la opción
Precio adelantado de 𝑉 para un contrato con vencimiento 𝑇
Valor de 𝐹 al tiempo cero
Precio del ejercicio de la opción
Precio al tiempo 𝑡 de un bono cupón cero que paga $1 al tiempo 𝑇
Valor de 𝑉 al tiempo 𝑇
𝜎
Volatilidad de 𝐹
La opción se valúa:

Asumiendo que 𝑙𝑛(𝑉𝑇 ) es normal con media 𝐹0 y desviación estándar 𝜎√𝑇

Descontando el pago esperado a la tasa a 𝑇 años, lo cual es qeuivalente a multiplicar el valor
esperado del pago por 𝑃(0, 𝑇).
De esta forma el valor de una opción de compra es:
𝑐 = 𝑃(0, 𝑇)[𝐹0 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑁(𝑑2 )]
En donde
𝑑1 =
𝑙𝑛 [
𝐸(𝑉𝑇 )
𝜎 2𝑇
]+
𝐾
2
𝜎√𝑇
20
𝑑2 =
𝑙𝑛 [
𝐸(𝑉𝑇 )
𝜎 2𝑇
]−
𝐾
2
𝜎√𝑇
Mientras que el valor de una opción de venta es:
𝑝 = 𝑃(0, 𝑇)[𝐾𝑁(−𝑑2 ) − 𝐹0 𝑁(−𝑑1 )]
Un componente importante del modelo de Black es que no se requiere asumir movimiento Browniano
geométrico para la evolución ni de 𝑉 ni de 𝐹. Lo único que se requiere es que 𝑉𝑇 sea log-normal al tiempo 𝑇.
El modelo de Black es apropiado no solo cuando las tasas de interés se asumen deterministas sino también
cuando se asumen estocásticas.
Estas fórmulas pueden ser aplicadas a la valuación de opciones sobre bonos, floors y caps de tasas de interés
y opciones sobre contratos de intercambio. A continuación analizaremos los últimos dos casos, debido a su
potencial aplicación en la materia que nos ocupa.
Pisos y techos de tasas de interés (Caps y Floors)
Existen innumerables ejemplos de instrumentos de deuda que pagan cupones con base en una tasa variable,
es decir, que están referenciados a una tasa conocida. En México existen muchos de estos instrumentos, que
37
pagan intereses con base en la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE) . De esta forma, los
emisores de este tipo de instrumentos de deuda, en la fecha de restablecimiento de la tasa que
generalmente coincide con el inicio de cada periodo cupón, conocen el interés con el cual se calculará el
cupón que realizarán al final del periodo cupón que inicia en ese momento. Así, al realizar la emisión saben
de antemano el monto del cupón que pagarán en la primera fecha cupón, pero no saben cuánto pagarán en
el resto de las fechas, ya que este monto se irá determinando periodo con periodo en cada fecha de
restablecimiento de la tasa conforme pase el tiempo. En estos casos, los emisores corren el riesgo de que las
tasas TIIE suban demasiado y que por lo tanto el monto de los cupones futuros que están obligados a pagar
se vuelvan incosteables. Por esta razón es natural entender no solo la existencia de un instrumento
financiero derivado que brinde protección a los emisores de deuda, de tal forma que tengan la confianza de
que pase lo que pase con las tasa TIIE, los cupones que deben de pagar están topados a cierto techo, sino
también su popularidad. Estos instrumentos derivados son conocidos como techos de tasas de interés o
“caps”.
Por otro lado y de forma similar, los acreedores de este tipo de contratos, así como las instituciones
financieras que ofrecen préstamos a tasa revisable, están expuestos que las tasas de referencia bajen
significativamente, lo cual las deje expuestas a ingresos menores a lo esperado. Los pisos de tasas de interés
o “floors” son instrumentos financieros derivados que brindan este tipo de protección a los prestamistas.
Ahora bien, habiendo entendido el porqué de la existencia de estos instrumentos, vale la pena analizar una
diferencia importante con relación a otro tipo de derivados. En el caso de los derivados sobre opciones, por
ejemplo, el pago del derivado se realiza en la misma fecha que el vencimiento de la opción, y no es sino hasta
este momento que se determina el monto del mismo. Sin embargo en el caso de los caps y floors se tiene una
situación ligeramente diferente.
37
Esta tasa es calculada diariamente para plazos de 28, 91 y 182 días por el Banco de México.
21
Como ya se mencionó, el primer flujo o cupón se hará en la primera fecha cupón, pero este flujo no es
incierto, sino que se conoce desde la fecha de la emisión. El flujo que se hará durante la segunda fecha cupón
es desconocido al inicio de la emisión, y se conocerá en la siguiente fecha de restablecimiento de la tasa, al
momento del inicio del segundo periodo cupón. Es decir, la incertidumbre sobre la tasa que determinará el
pago del segundo cupón existe sólo durante el primer periodo cupón, o dicho de otra manera existe solo
antes de la fecha de restablecimiento, momento en el que se conocerá la tasa que regirá durante el segundo
periodo. Entonces la tasa (el subyacente) se determina en la fecha de restablecimiento, pero el flujo no se
realiza sino hasta la siguiente fecha cupón. En general, la fecha de restablecimiento en la que se determina la
tasa y por consiguiente el pago, es un periodo cupón anterior a la fecha en la que se realiza el pago.
Los caps y floors de tasas de interés no son entonces una opción como tal, sino que consisten en una serie de
opciones europeas de compra (en el caso de los caps) o de venta (en el caso de los floors), cada una de ellas
con fecha de vencimiento correspondiente a cada una de las fechas de restablecimiento de la tasa, pero
concretándose el flujo un periodo cupón posterior a cada vencimiento. A cada una de las opciones de compra
del cap se le denomina caplet y a cada una de las opciones de venta del floor se le denomina floorlet.
Por ejemplo, supongamos el caso de un floor de tasa con vida total de 𝑇, monto de principal de 𝐿, y un piso
de 𝑅𝐾 . Supongamos que las fechas de restablecimiento de tasa son 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 y definimos 𝑡𝑛+1 = 𝑇.
Definimos 𝑅𝑘 como la tasa de interés para el periodo entre los tiempos 𝑡𝑘 y 𝑡𝑘+1 observable al tiempo
𝑡𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛). Tanto 𝑅𝐾 como 𝑅𝑘 se expresan en una periodicidad de composición igual a la frecuencia de
los restablecimientos. El floor proporciona un pago al tiempo 𝑡𝑘+1 (𝑘 = 1, 2, … , 𝑛) de
𝐿 ∙ 𝛿𝑘 ∙ 𝑚𝑎𝑥(𝑅𝐾 − 𝑅𝑘 , 0)
En donde 𝛿𝑘 = 𝑡𝑘+𝑎 − 𝑡𝑘 . De esta forma podemos ver al floor como un portafolio de floorlets, es decir
opciones de venta sobre las tasas de interés.
Para valuar estos instrumentos podemos hacer uso del modelo de Black, pero antes de hacerlo debemos
realizar un ajuste correspondiente al periodo de diferimiento del pago que se mencionó anteriormente
(cuando la fecha de restablecimiento es 𝑡𝑘 pero el pago es en 𝑡𝑘+1 ). Usando la notación de 𝑇 para el tiempo
en el que se determina el pago con base en el valor de la variable 𝑉 y a la fecha posterior en la que el pago
se realiza efectivamente como 𝑇 ∗ , las fórmulas anteriores se pueden expresar de la siguiente manera:
𝑐 = 𝑃(0, 𝑇 ∗ )[𝐹0 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑁(𝑑2 )]
𝑝 = 𝑃(0, 𝑇 ∗ )[𝐾𝑁(−𝑑2 ) − 𝐹0 𝑁(−𝑑1 )]
Sin cambios en las fórmulas de 𝑑1 y 𝑑2 , es decir, calculadas con base en 𝑇.
En este caso asumimos que 𝑅𝑘 tiene distribución log-normal con volatilidad 𝜎𝑘 . Así tenemos que el valor de
cada floorlet es:
𝑝𝑘 = 𝐿 ∙ 𝛿𝑘 𝑃(0, 𝑡𝑘+1 )[𝑅𝐾 𝑁(−𝑑2 ) − 𝐹𝑘 𝑁(−𝑑1 )]
En donde
22
𝐹
𝜎 2𝑡
𝑙𝑛 [ 𝑘 ] + 𝑘 𝑘
𝑅𝐾
2
𝑑1 =
𝜎𝑘 √𝑡𝑘
𝐹
𝜎 2𝑡
𝑙𝑛 [ 𝑘 ] − 𝑘 𝑘
𝑅𝐾
2
𝑑2 =
𝜎𝑘 √𝑡𝑘
Y 𝐹𝑘 es la tasa forward para el periodo entre 𝑡𝑘 y 𝑡𝑘+1 .
Opciones sobre contratos de intercambio (Swaptions)
A continuación se describe un instrumento derivado, que a pesar de que no tiene mayor aplicación en el
contexto que nos ocupa, es conveniente mencionarlo debido a una confusión popular acerca de lo que es.
Una opción sobre contratos de intercambio, mejor conocida como “Swaption” por la contracción del término
“swap option”, es una opción sobre un contrato de intercambio de tasas de interés. Esta opción le brinda a su
poseedor el derecho de entrar en un contrato de intercambio de tasas de interés específico en determinada
fecha futura (opción europea). Un contrato de intercambio de tasas de interés consiste en la obligación por
parte de ambos contratantes, de entregar cada uno en determinadas fechas futuras un pago que dependerá
38
de un monto nocional y una tasa. Normalmente el pago que realiza una de las partes se determina con
base en una tasa de interés fija (en cuyo caso sus pagos son fijos), y el pago que realiza la contraparte se
determina con base en una tasa de interés variable, normalmente TIIE (en cuyo caso sus pagos son
variables). A la parte descrita en el primer caso se le denomina pagador de tasa fija y a la contraparte
pagador de tasa flotante.
3.3 Garantías de Tasa en Flexibles como Instrumento Financiero Derivado
A continuación analizaremos la garantía de tasa acreditada como un instrumento financiero derivado. En
primer lugar, hay que tomar en cuenta que en este tipo de contratos, la aseguradora tiene la obligación de
acreditar al asegurado una tasa mínima garantizada. Por otra parte, se puede decir que el asegurado tiene
entonces el beneficio de esta garantía, es decir la opción de recibir la tasa mínima garantizada. De esta
forma en el lenguaje de derivados, se dice que el asegurado es la parte larga (comprador) del contrato
mientras que la aseguradora es la parte corta (vendedor). En segundo lugar hay que notar que no existe una
única fecha para ejercer la opción, sino que la opción será ejercida cada vez que la tasa subyacente sea
inferior a la tasa mínima garantizada. Estas dos características hacen ver que se trata de una serie de
opciones de venta sobre tasas de interés.
A continuación se describirán algunas confusiones comunes con relación al tipo de instrumento derivado que
esta garantía representa.
¿Por qué la garantía de tasa no es una opción americana?
Las opciones americanas son opciones de compra o venta de un instrumento subyacente, con un plazo a
vencimiento determinado, pero en donde se le da a la parte larga del contrato la opcionalidad adicional de
elegir cualquier momento anterior al vencimiento para ejercer su opción de compra o de venta. En ocasiones
no se puede realizar en cualquier momento, sino solamente en ocasiones determinadas antes de la fecha de
vencimiento.
38
A este tipo de contratos se le denomina contrato de intercambio de tasas “plain vanilla”.
23
Por esta razón, podría pensarse que la garantía de tasa es una opción de venta de tasas de interés que tiene
el asegurado, la cual puede ejercer anticipadamente en cada periodo de acreditación. Sin embargo una
característica de las opciones americanas, es que terminan al ser ejercidas de manera anticipada. De esta
forma, si el asegurado ejerciera su derecho durante el primer mes, ya no podría ejercerlo nunca más. Esto
nos lleva entonces a concluir que el derecho del asegurado no es una opción americana, sino una serie de
opciones europeas, cada una con fecha de vencimiento igual a cada periodo de acreditación.
Podría decirse, sin embargo, que el asegurado puede rescatar su inversión en cualquier momento, y no sólo
al final de cada periodo de acreditación. De esta forma podría decirse entonces que el derecho del asegurado
es equivalente a una serie de opciones americanas, cada una con fecha de vencimiento igual a cada fecha de
acreditación, pero con el derecho a ser ejercidas anticipadamente, pero solo durante una ventana de tiempo
igual al tiempo que transcurre entre una acreditación y otra, que comúnmente es mensual. Sin embargo el
valor agregado del derecho de ejercer anticipadamente en una ventana de tiempo tan corta es tan pequeño,
que podría ser omitido, pues valuar opciones americanas es un ejercicio bastante más complejo que el
hacerlo para opciones europeas.
¿Por qué la garantía de tasa no es un piso de tasa de interés o floor?
Existen diversas razones por las que (en general) la garantía de tasa en un seguro flexible no es equivalente a
un floor, cada una de las cuales será analizada a continuación.
Como se mencionó un floor es un portafolio de opciones europeas de venta vinculadas todas ellas a un
mismo monto de principal. Lo que esto significa es que el pago de cada opción depende de una sola variable:
la tasa de interés subyacente. La característica principal de los seguros flexibles es que el asegurado puede
realizar tanto aportaciones como retiros sin requerir la autorización de la aseguradora, por lo que en el caso
de los seguros flexibles la determinación del pago de cada opción depende de dos variables: la tasa de
interés subyacente y el monto del fondo de reserva al inicio de cada periodo. Esto es debido al riesgo de
comportamiento del asegurado.
Similar al punto anterior, las opciones europeas se caracterizan por depender solamente del valor final del
subyacente y no de la trayectoria que haya tomado antes de llegar a él. En el caso de los seguros flexibles, la
tasa acreditada determina el valor del fondo, por lo que la trayectoria sí influye en el pago que se realiza el
vencimiento de cada opción. Es decir, supongamos que la garantía se ejerce al mes 60, cuando la tasa
subyacente resultó menor que la tasa garantizada en un 0.2%. El pago que tendría que hacer esta opción
depende del fondo de reserva, el cual depende de la trayectoria que haya tomado la tasa subyacente. Por
ejemplo, si la trayectoria que tomó tuvo niveles muy altos antes del mes 60, entonces el fondo habría crecido
mucho para ese entonces por lo que al pago sería más alto que si la trayectoria que tomó se mantuvo
siempre muy cercana a la garantía.
En el caso de los floors, la determinación del pago se determina en cada fecha de restablecimiento de la tasa,
y el pago se realiza en una fecha futura. En el caso de los seguros flexibles, la tasa acreditada se determina
con base en la experiencia del periodo y la acreditación se realiza de forma inmediata.
Se pueden cumplir ciertas condiciones para que la garantía sea equivalente a un floor, las cuales tienen que
cumplir que al inicio de cada periodo el valor del fondo sobre el cual se realiza la garantía sea constante. Esto
se puede lograr al no garantizar el total de las aportaciones, sino garantizando solamente un fondo base,
posiblemente definiendo un esquema de garantía de tasa solo sobre la prima básica y calculando la prima
24
básica de tal manera que el valor del fondo permanezca constante, es decir, siendo la prima básica igual al
monto de las deducciones de cada periodo. En este caso se podría valuar la garantía como un floor. Si las
aportaciones del asegurado no son suficientes para cubrir la prima básica y por ende el fondo resulta menor
al monto del principal con el cual se calculó el floor, la aseguradora puede considerar el flujo no realizado
como utilidad.
¿Por qué la garantía de tasa no es un contrato de intercambio de tasa o swap?
En un contrato de intercambio de tasas, ambas partes contratantes de obligan a entregar una serie de flujos
En el caso de los seguros flexibles con garantías de tasa la única parte que tiene una obligación es la
aseguradora, obligación que se manifiesta solo en caso de que la tasa subyacente sea menor a la tasa
garantizada y no en cada periodo.
Por otro lado, en el caso de los seguros tradicionales sin dividendos en donde se la tarificación y reservas se
realiza con base en una tasa técnica, existe una garantía implícita para el asegurado de recibir dicha tasa.
Para la aseguradora esto podría considerarse como un contrato de intercambio en donde la aseguradora
sería el pagador fijo y recibiría una tasa variable, que sería la tasa de inversión de los activos. Sin embargo
este ejemplo parece rebuscado, pues para ser equivalente a un contrato de intercambio, tendría que haber
un monto nocional constante, sobre el cual se calculara en cada periodo el pago correspondiente con base en
la tasa.
¿Por qué la garantía de tasa no es una opción de intercambio o swaption?
Como ya se mencionó, este derivado es una opción para entrar en una fecha futura determinada en un
contrato de intercambio de tasas. Por las mismas razones por las que un seguro flexible no puede ser visto
como un contrato de intercambio, tampoco puede ser visto como una opción para entrar en un swap futuro
de tasas, es decir un swaption.
25
3.- Valoración del Riesgo
Los productos flexibles con garantías de tasa, se encuentran expuestos a diversos riesgos, algunos de los
cuales se encuentran presentes también en los productos de vida tradicionales. Debemos considerar que no
existe una única clasificación de riesgos y que bajo cualquier clasificación de riesgos puede llegar a existir
una correlación importante entre los mismos. Entre las propiedades que se pueden buscar en determinada
clasificación se podrían mencionar que ésta sea clara, exhaustiva (que abarque la totalidad de los riesgos) y
mutuamente excluyente (que cualquier riesgo pertenezco a una y solo a una categoría). Una clasificación que
sirvió de referencia para el presente trabajo, fue la clasificación sugerida por la Asociación Internacional de
Actuarios (IAA, 2004).
A continuación se describen algunos de los riesgos a los que se encuentran expuestos los productos flexibles
con garantía:

39
Riesgo de seguros
o Riesgo de tarificación – ya sea la posibilidad de que los supuestos utilizados para la
tarificación del producto no reflejen de manera adecuada la realidad de las variables
utilizadas el proceso de tarificación, o bien la posibilidad de que los modelos utilizados en el
proceso no sean los adecuados.
o Riesgo de siniestralidad – la posibilidad de que la siniestralidad experimentada por la
cartera de pólizas sea mayor a aquella considerada en los supuestos de tarificación,
asumiendo que éstos hayan sido los adecuados. Esto incluye mortalidad, longevidad,
discapacidad, enfermedad, morbilidad y los eventos extremos, pero no aquellos beneficios
que se generen por decisión del asegurado, como los caducidad, conservación y rescate de
pólizas.
o Riesgo de comportamiento del asegurado – este riesgo incluye tanto los riesgos de
caducidad, conservación y rescate de pólizas, como el riesgo de arbitraje. Los primeros se
refieren al comportamiento del asegurado con relación a su decisión de mantener vigente
la póliza, mientras que el último se refiere a que el asegurado se dé cuenta que puede
obtener sin riesgo mejores rendimientos que en el mercado de valores haciendo uso de las
40
opciones y flexibilidad que le brinda la póliza .
39
La CUSF considera como riesgos de suscripción de seguros los siguientes: mortalidad, longevidad,
discapacidad, enfermedad, morbilidad, de gastos de administración, caducidad, conservación, rescate de
pólizas y de eventos extremos en los seguros de vida. Algunos de los riesgos mencionados en este documento
no son considerados en la clasificación de la CUSF, pero son incluidos aquí debido a que son riesgos
relevantes para la operación de seguros flexibles con garantías.
40
Algunas definiciones de arbitraje consideran la acción de comprar y vender simultáneamente un activo
para obtener una ganancia por su diferencia de precio. Sin embargo en este caso me refiero a la definición de
arbitraje como la posibilidad de realizar ganancias mayores a la tasa libre de riesgo sin incurrir en riesgo
alguno. Algunas definiciones de arbitraje en este sentido requieren que esto se haga sin inversión de por
medio por parte de quien intenta realizar el arbitraje. En este caso, el asegurado tendría que realizar una
inversión para poder obtener beneficios sin riesgo (el único riesgo sería de contraparte, considerando la
capacidad de solvencia de la aseguradora), por lo que podría no ser considerado como arbitraje. Sin
embargo, si la tasa garantizada es mayor a la tasa libre de riesgo y asumiendo un mercado sin fricciones (sin
diferencia entre tasa activa y pasiva, impuestos, márgenes ni comisiones), se podría asumir que el asegurado
pide prestado a la tasa libre de riesgo para invertir dicho monto en la aseguradora. Evidentemente estos
26
o
o
o
Riesgo de suscripción – la posibilidad de que las condiciones de aceptación de riesgos
41
resulte inadecuada .
Riesgo de gastos – la posibilidad de que los gastos de administración de la aseguradora
resulten mayores a lo esperado, asumiendo que los supuestos utilizados eran correctos al
momento de la tarificación.
Riesgo de anti-selección – la posibilidad de que los asegurados en buenas condiciones de
salud (mortalidad baja) rescaten sus pólizas en una mayor proporción que aquellos que se
encuentran en malas condiciones de salud (mortalidad alta), en cuyo caso la aseguradora
se quedaría con un grupo de asegurados con condiciones de salud desfavorables, a pesar
de que su proceso de suscripción haya sido adecuado.

Riesgos financieros
42
o Riesgo de mercado – la pérdida potencial por cambios en el nivel o volatilidad de los
precios de mercado de los activos. Con la finalidad de tratar de que la presente clasificación
resulte mutuamente excluyente, haré referencia al riesgo de mercado como al riesgo
residual asumiendo un adecuado calce entre activos y pasivos. En esta categoría es
importante destacar que se encuentran tanto el riesgo de tasas de interés y el riesgo de
reinversión. Más adelante se detallará más al respecto.
o Riesgo de crédito – es el riesgo de incumplimiento y del cambio en la calidad crediticia de
los emisores de instrumentos (en el portafolio de inversión de la aseguradora),
contrapartes (como contratos de reaseguro, derivados o depósitos) e intermediarios con
los que la aseguradora tenga exposición.
o Riesgo de liquidez – es la posibilidad de que la aseguradora no cuente con los recursos
líquidos suficientes para hacer frente a sus obligaciones, por lo que tenga que incurrir en
pérdidas al tener que vender activos ilíquidos a precios significativamente inferior a su
valor de mercado.
o Riesgo de descalce entre activos y pasivos – es el riesgo de que la mejor estimación de
flujos que resultan de los activos que cubren los pasivos, no coincidan la mejor estimación
de los flujos de los pasivos, lo cual resulta en reinversión requerida o desinversiones para
satisfacer necesidades de liquidez.

Riesgo operativo – definido como el riesgo de incurrir en pérdidas como resultado de fallas o un
diseño inadecuado de procesos internos, personas, sistemas o eventos externos.
Los riesgos de tarificación y de gastos pueden resultar irrelevantes en el caso en el que la aseguradora tenga
la facultad de incrementar el costo del seguro y los gastos de administración a conveniencia sin ninguna
garantía secundaria que la limite. Los riesgos que podrían considerarse más relevantes en los seguros
flexibles con garantía de tasa que en los tradicionales, son los relativos al comportamiento del asegurado, de
mercado y descalce. Para entender mejor por qué es que estos riesgos son relevantes en estos productos, hay
que analizar algunos aspectos adicionales.
supuestos son poco realistas, por lo que me refiero a arbitraje en el sentido menos estricto del término, que
no incluye el realizar la ganancia sin inversión alguna.
41
Este riesgo también podría considerarse como riesgo operativo.
42
La CUSF define como riesgos de mercado a “la pérdida potencial por cambios en los factores de riesgo que
influyan en el valor de los activos y pasivos, tales como tasas de interés, tipos de cambio, índices de precios,
entre otros”. No hago referencia en riesgo de mercado a los pasivos, debido a que considero como riesgo de
mercado a aquel que queda una vez que se ha realizado un calce adecuado entre activos y pasivos.
27
Como ya se mencionó, la flexibilidad que tiene el asegurado de aportar fondos adicionales y beneficiarse de
la garantía de tasa está presente en prácticamente todos los productos UL con garantía de tasa. Algunas
formas de mitigar este riesgo es limitando el número o monto de las aportaciones adicionales o bien
ofreciendo la garantía solo sobre la prima básica. Sin embargo estos aspectos hacen de estos productos
menos atractivos y poco competitivos.
4.1 Antecedentes de Valoración en el Contexto Internacional
Una de las primeras referencias regulatorias alusivas al cálculo de reservas para los seguros UL fue un
modelo de regulación publicado en 1983 por la Asociación Nacional de Comisionados de Seguros (NAIC por
sus siglas en inglés) . Este modelo define un estándar mínimo para el cálculo de reservas de los productos UL,
el cual supone una prima hipotética e incorpora el desempeño real de la póliza. El proceso se resume a
continuación (Cunningham, Herzog, & London, 2012):
1) A la emisión de la póliza, una prima de vencimiento garantizado (GMP por sus siglas en inglés) se
calcula como la prima bruta nivelada suficiente para dotar la póliza a su fecha de vencimiento. La
GMP se basa en las garantías de la póliza de aportaciones de prima, tasas de interés, y cargos de
mortalidad y de gastos.
2) También a la emisión de la póliza, una secuencia de fondos de vencimiento garantizado (GMF por
sus siglas en inglés) se calcula con base en la prospección de la GMP y las garantías de póliza.
3) A la fecha de valuación, el fondo de reserva real se determina mediante el proceso de prospección
del fondo de reserva.
4) A la fecha de valuación, el ratio de fondo de reserva real sobre el GMF se calcula como
𝐴𝑉𝑡
𝑟𝑡 =
,
𝐺𝑀𝐹𝑡
sujeto a un valor máximo de 1.00.
5) A la fecha de valuación, el máximo entre el fondo de reserva y el GMF se proyecta a futuro con base
en la GMP y las garantías de la póliza, produciendo una secuencia de beneficios por fallecimiento
garantizados y una secuencia de beneficios por vencimiento garantizados.
6) A la fecha de valuación, el valor presente de los beneficios futuros proyectados (𝑃𝑉𝐹𝐵𝑡 por sus
siglas en inglés) y el valor presente de la corriente futura de GMP (𝑃𝑉𝐹𝑃𝑡 por sus siglas en inglés)
43
son calculados usando supuestos de valuación. Entonces el piso previo de la reserva CRVM se
define como:
𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑜 𝐶𝑅𝑉𝑀
= 𝑟𝑡 ∙ [𝑃𝑉𝐹𝐵𝑡 − 𝑃𝑉𝐹𝑃𝑡 ].
7) El piso de la reserva CRVM se define como el máximo entre (a) la reserva temporal a mitad de mes
basada en mínimos de valuación de mortalidad e interés, y (b) el valor de rescate en efectivo al
tiempo t.
8) Por último, la reserva CRVM final es el máximo entre el piso previo de la reserva CRVM definido en
el paso (6) y el piso de la reserva CRVM definido en el paso (7).
𝑡𝑉
Posteriormente, en septiembre de 1984 se publicó en los EUA el memorando de discusión llamado
Contabilidad para Seguros Universales por la Academia Americana de Actuarios. Sin embargo una referencia
importante hasta la actualidad en esta materia es la Declaración para los Estándares de Contabilidad
43
Siglas en inglés para método de valuación de reservas de los comisionados.
28
44
45
Financiera No. 97 (SFAS 97 por sus siglas en inglés) publicados en diciembre de 1987 por el Consejo de
46
Estándares de Contabilidad Financiera (FASB por sus siglas en inglés), organización estadounidense
designada en el sector privado para establecer los estándares de contabilidad financiera que rigen la
preparación de reportes financieros de organizaciones no gubernamentales. Esta declaración hace referencia
47
a los productos UL que no eran considerados por la declaración anterior y establece lineamientos para la
valuación de reservas para este tipo de productos, los cuales son citados a continuación:
“17. El pasivo para beneficios por póliza para contratos de vida universal debe ser igual a la
suma de:

El balance que se devenga en beneficio de los asegurados a la fecha de los estados de
estados financieros

Cualesquiera cantidades que hayan sido valoradas para compensar al asegurado por
servicios que serán llevados a cabo en periodos futuros

Cualesquiera cantidades que hayan sido valoradas a cargo de los asegurados que
sean rembolsables al término del contrato

Cualquier pérdida probable (deficiencia de prima) como se describió en los párrafos
35-37 de la Declaración 60.”
Como se puede observar, estos lineamientos no contienen una mención explícita para la valoración de la
opcionalidad que tiene el asegurado en el caso de los flexibles con garantías secundarias. Hay dos métodos
de tarificación utilizados para determinar garantías secundarias, de los cuales dependerá el cálculo de las
reservas (Cunningham, Herzog, & London, 2012).
El método de prima estipulada determina que una prima definida, si es pagada de manera regular,
garantizará el beneficio por fallecimiento durante la duración del contrato. Más aún, si el asegurado paga
menos de lo requerido para mantener la garantía durante un periodo temporal, una provisión para ponerse
al corriente con la prima le da al asegurado el derecho de pagar los déficits en primas pasadas, en cuyo caso
se reinstala la garantía. Vale la pena aclarar que siendo seguros flexibles, en caso de que el asegurado no
pague la prima estipulada, esto no rescinde el contrato, simplemente se pierde la garantía secundaria, con la
posibilidad como ya se mencionó de ser reinstalada.
El método de fondo sombra se ha vuelto un diseño más popular en años recientes. En este método se
mantiene un fondo de reserva “sombra” con base en tasas de interés acreditadas mayores que la mínima
garantizada por el contrato, y tasas de costos del seguro inferiores a las máximas garantizadas por el
contrato. Mientras el fondo sombra se mantenga positivo, la garantía secundaria de beneficio por
fallecimiento se mantiene en pie. Se le conoce como fondo sombra debido a que éste no está disponible para
el asegurado, sino que su único propósito es el de mantener el beneficio por fallecimiento.
Los productos flexibles con garantías secundarias han ganado popularidad con relación a los seguros de vida
tradicionales. Los UL ofrecen las mismas garantías de nivel de prima y beneficio por fallecimiento que los
44
Traducción propia para “Statement of Financial Accounting Standards No. 97”.
La SFAS 97 sufrió modificaciones en 2010 sin cambiar su nombre, por lo que vale la pena aclarar que en el
presente texto nos referiremos a las SFAS 97 enmendadas y no a las emitidas originalmente.
46
Traducción propia para “Financial Accounting Standards Board”
47
SFAS 60 publicada en junio de 1982.
45
29
productos tradicionales, pero a un costo mucho menor. A cambio, el valor de rescate garantizado es
probablemente inferior para los UL con garantías secundarias, pero muchos consumidores están dispuestos a
aceptar un valor de rescate inferior a cambio de una menor prima que está permanentemente garantizada
(Cunningham, Herzog, & London, 2012). Debido al menor valor de rescate los reguladores y gente de la
industria han expresado su preocupación con relación a que las reservas sean adecuadas en el caso de las
garantías secundarias en los UL. En respuesta a ello en la NAIC promulgó en 2003 los Lineamientos
Actuariales 38 (AG 38 por sus siglas en inglés) para atender el cálculo de tales reservas. Las reservas AG 38 se
calculan en 9 pasos:
1) La prima bruta mínima requerida para satisfacer las garantías secundarias se obtiene a la emisión
de la póliza; el valor de esta prima dependerá del método de determinación de garantías
secundarias usado (prima estipulada o fondo sombra). Su cálculo utiliza los gastos de
administración y tasas acreditadas garantizados en el contrato.
2) Se calculan las reservas básicas y de deficiencia para las garantías secundarias usando la prima
bruta mínima descrita en el paso anterior.
3) Se determina el monto de las contribuciones reales hechas en exceso de la prima bruta mínima,
también con base en el proceso dependiente del método de determinación de garantías secundarias
utilizado.
4) A la fecha de valuación se toma una determinación con relación a las cantidades requeridas para
fondear completamente la garantía secundaria.
Para el método de fondo sombra, esto sería el monto del fondo sombra requerido para fondear
completamente la garantía.
Para contratos que no usen el método de fondo sombra, esto será la cantidad de la prima
acumulada pagada en exceso del nivel requerido tal que no se requieran primas futuras para
fondear completamente la garantía.
Aplican reglas especiales para pólizas para las cuales las garantías secundarias no puedan ser
fondeadas por completo por adelantado. Aquí se calcula un ratio de pre-fondeo, 𝑟, que no puede
exceder de 1.00, el cual mide el nivel de pre-fondeo para la garantía secundaria, y se usa
eventualmente en el cálculo de las reservas. Se define como
𝑃𝑎𝑔𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑟=
.
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡í𝑎
5) A la fecha de valuación se calcula la prima neta única para cubrir la garantía secundaria durante el
su periodo restante.
6) Se determina una cantidad neta de prima adicional multiplicando el ratio de pre-fondeo por la
diferencia entre la prima neta única del paso (5) y la suma de las reservas básica y de deficiencia (si
hubiera) del paso (2).
7) Se determina una reserva de deficiencia reducida multiplicando la reserva de deficiencia (si hubiera)
por el complemento del rato de pre-fondeo del paso (4).
8) Entonces la reserva real el mínimo entre (a) la prima neta única del paso (5), o (b) la cantidad del
paso (6) más las reservas básica y de deficiencia (si hubiera) del paso (2). Este resultado podría
reducirse por cargos por rescate aplicables a la póliza.
9) Se calcula una reserva básica incrementada al restar la reserva de deficiencia reducida del paso (7)
de la reserva calculada en el paso (8), convirtiéndose entonces en la reserva básica.
30
Por otro lado y con relación al cálculo de valor de una compañía y ya no con relación a la valuación de
48
reservas, en 2004 con la publicación de los Principios para el Valor Intrínseco Europeo (EEV por sus siglas en
inglés) publicados por el CFO Forum (CFO Forum, 2004) se incorpora una reflexión específica sobre el valor de
las opciones y garantías implícitas en los seguros de vida. Sin embargo debido a que estos principios
permitían la elección de supuestos específicos para cada compañía, esto no permitía la comparación entre
éstas. No fue sino hasta junio del 2008 cuando el CFO Forum publicó los Principios para el Valor Intrínseco
Consistente a Mercado (MCEV por sus siglas en inglés) (CFO Forum, 2009) en donde a diferencia del EEV el
cálculo se lleva a cabo usando supuestos económicos neutrales al riesgo consistentes a mercado, lo cual
brindó los medios para calcular el valor de opciones y garantías implícitas en los contratos de seguros de
49
largo plazo consistente con los métodos usados para calcular el valor razonable de instrumentos derivados
comercializados (AAA, 2011).
En estos principios se establece lo siguiente:
“Se debe hacer una asignación en el MCEV para el potencial impacto, sobre los flujos de
efectivo futuros para los accionistas, de todas las opciones y garantías financieras contenidas
en el vigor del negocio en cuestión. La asignación para el valor temporal de las opciones y
garantías financieras se debe basar en técnicas estocásticas usando métodos y supuestos
consistentes con el valor intrínseco subyacente. Todos los flujos de efectivo proyectados deben
ser valuados utilizando supuestos económicos tales que sean valuados en línea con el precio
de flujos de efectivo similares que sean comercializados en el mercado de capitales.”
Como se puede ver es importante la consideración de las garantías en los productos flexibles, ya sea en la
valuación de las reservas, en el cómputo de valor de una compañía de seguros o bien en el capital
comprometido con la operación de este tipo de productos. A continuación veremos el contexto de la
regulación mexicana, para posteriormente profundizar en algunas consideraciones de valoración de estos
riesgos.
4.2 Antecedentes de Valoración en la Regulación Mexicana
Valuación de reservas técnicas
La Ley de Instituciones de Seguros y de Fianzas (LISF) en el capítulo tercero relativo a las reservas técnicas,
contiene en su artículo 218 fracción I contiene diversos aspectos que ayudan de cierta manera a la valuación
de las garantías de tasa en el cálculo de las reservas. Asimismo, la Circular Única de Seguros y Fianzas (CUSF)
publicada en diciembre del 2014 incluye en el título 5 estos mismos aspectos de la LISF. A continuación
mostramos dichos aspectos de la LISF que resultan relevantes para la valuación de reservas de seguros
flexibles con garantía de tasa:
(Inciso d).- Las reservas técnicas deben ser valuadas a valor razonable o consistente con el mercado,
es decir manteniendo “coherencia con el importe por el cual éstas podrían transferirse o liquidarse,
48
Usaré la traducción de “intrínseco” para el término inglés de “embedded” cuando se haga referencia al
“embedded value” y la traducción de “implícito” cuando se haga referencia a las opciones y garantías
contenidas de manera implícita en algunos productos de seguro.
49
Traducción propia para “fair value”.
31
entre partes interesadas y debidamente informadas que realicen una transacción en condiciones de
independencia mutua y bajo parámetros de mercado”;
(Inciso e).- “El monto de las reservas técnicas será igual a la suma de la mejor estimación y de un
margen de riesgo”. En este caso la CNSF puede determinar cuando los flujos futuros de las
obligaciones se pueden replicar con un instrumento(s) observable(s) en el mercado, en cuyo caso no se
requiere mejor estimación sino valor de mercado del instrumento o portafolio réplica;
(Inciso f).- La mejor estimación se define como el valor presente neto actuarial, calculado con la curva
de la tasa de interés libre de riesgo. En este inciso se establece además que “la proyección de flujos
futuros utilizada en el cálculo de la mejor estimación, considerará la totalidad de los ingresos y
egresos en términos brutos, necesarios para hacer frente a las obligaciones de los contratos de seguro
y reaseguro durante todo su período de vigencia, así como otras obligaciones que la Institución de
Seguros asuma con relación a los mismos”;
(Inciso h).- La valuación de reservas debe considerar “todos los demás pagos a los asegurados y
beneficiarios, así como los gastos en que las Instituciones de Seguros incurrirán para hacer frente a las
obligaciones de los contratos de seguro y de reaseguro”, y
(Inciso i).- La valuación de reservas debe considerar “el monto de los valores garantizados, así como el
de las posibles opciones para el asegurado o beneficiario, incluidas en los contratos de seguro”,
usando supuestos realistas de probabilidad, considerando de manera explícita o implícita “las
consecuencias que futuros cambios en las condiciones financieras y de otro tipo puedan tener sobre el
ejercicio de tales opciones”.
A continuación algunos comentarios al respecto. Con relación al inciso (d) se puede interpretar para el caso
de los seguros flexibles con garantía de tasa que el valor mínimo o piso de la reserva es su valor de rescate, el
cual no puede ser negativo. Esto es debido a que en caso de liquidación de una cartera de cualquier tipo de
seguro, se tendría que pagar a todos los asegurados su valor de rescate, además de incurrir en los gasto de
liquidación que correspondan (notificaciones a los asegurados y a la autoridad, gastos administrativos
50
incurridos por atención al cliente, demandas, liquidación de empleados, etc.) .
Con relación al inciso (e), más adelante hablaremos sobre la dificultad de replicar con instrumentos
observables en el mercado los flujos generados por la opción debido a las particularidades del cálculo de la
acreditación de tasa al fondo de reserva.
El inciso (f) es un poco más complicado de interpretar para los seguros que nos ocupan. Esto es debido a que
el valor presente actuarial de los flujos futuros puede resultar menor o mayor que el valor del fondo de
reserva, o incluso menor que el valor de rescate. Esto depende de varios factores, como el nivel de la tasa
garantizada y el de la tasa libre de riesgo, los cargos por rescate, las aportaciones que se asuman. Por
50
Existe la posibilidad de que la reserva sea menor al valor de rescate en caso de que en una transferencia o
cesión de cartera la tomadora de la cartera tenga la capacidad de incurrir en gastos significativamente
menores a los que se deducen mensualmente del fondo de reserva, por lo que el tomar la cartera con sus
condiciones vigentes le resulte en una utilidad potencial relevante. Sin embargo, debido a que para
determinar este valor es necesario determinar variables y supuestos altamente inciertos, asumimos que el
valor mínimo de transferencia coincide con el valor de rescate.
32
ejemplo, asumiendo brevemente por simplicidad que las aportaciones del asegurado son exactamente
iguales en tiempo y forma a las deducciones que se realizan del fondo y que el valor de rescate es el mismo
valor del fondo de reserva, si la obligación del beneficio por fallecimiento o por rescate se proyecta con la
tasa garantizada y ésta es menor a la curva de la tasa libre de riesgo con la que se descuentan los flujos,
entonces se tendría una valor presente neto actuarial menor al fondo. Considerando entonces los incisos (d) y
(f) una interpretación conjunta de ambos lineamientos podría ser que el valor de la reserva es el máximo
entre (1) el valor presente neto actuarial de los flujos, y (2) el valor de rescate de la póliza. Por otro lado, el
considerar todos de los ingresos y egresos necesarios para hacer frente a las obligaciones durante todo su
período de vigencia, supone el modelizar mediante mejor estimación el comportamiento del asegurado en
materia de las aportaciones, retiros y caducidades, en el caso más común en el que la garantía de tasa se
presente sobre cualquier aportación que realice el asegurado. De esta forma en tal caso no resulta suficiente
el asumir que el asegurado aporta solamente la prima básica durante toda la vida de la póliza.
Con relación al inciso (h), éste podría cubrir el caso de los intereses acreditados a las aportaciones
adicionales en caso de que éstas no hayan sido consideradas en la interpretación del inciso (f).
Por último, con relación al inciso (i), se considera explícitamente la valoración de la opcionalidad del
asegurado (su flexibilidad para realizar aportaciones así como la opción implícita contenida en la garantía de
tasa). Por otro lado, el último enunciado del inciso (i) sugiere el uso de modelos dinámicos que modelicen el
comportamiento del asegurado en materia de aportaciones con base en las condiciones financieras. En
particular, el explotar el beneficio de su opcionalidad en caso de que las condiciones financieras hagan muy
atractiva la garantía de tasa en cuyo caso el asegurado decida realizar aportaciones adicionales mayores a
las que hubiera hecho en condiciones normales.
Recordemos que en los productos flexibles la aseguradora es la encargada de realizar el cálculo de la
acreditación de tasa que se realiza al fondo de reserva, además de tener la facultad de deducir del fondo de
reserva el costo del seguro y los gastos administrativos. Recordemos además que estas deducciones son
variables en la mayoría de los casos, ya que por ejemplo el costo del seguro va cambiando año con año con
base en la edad del asegurado. Por esta razón, en ausencia de garantías secundarias, las reservas por
mortalidad y para gastos deberían de ser cercanas a cero, pues solo cubren el riesgo de un mes. En algunos
51
casos existen garantías secundarias, como un monto máximo de costo de seguro , garantía de monto
máximo de gasto de administración, garantía de no caducidad, garantía de devolución de primas al
vencimiento, etc. Si consideramos todos estos aspectos en la valuación de las opciones y garantías, como lo
indican los incisos (f), (h) e (i), entonces podemos encontrar una cota superior al cálculo de la reserva, que es
la suma del valor del fondo de reserva más el mejor estimador de las opciones y garantías, es decir:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎𝑡𝑒 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡í𝑎 ≤ 𝑅𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 ≤ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡í𝑎𝑠
De esta forma, al realizar la valuación de la reserva como el valor presente actuarial de todos los flujos
considerando opciones, garantías y todos los supuestos bajo mejor estimación, el margen de maniobra que
tienen las aseguradoras para la determinación de su reserva para el caso de los seguros flexibles sería muy
pequeño: la diferencia entre el valor del fondo y el valor de rescate.
Cálculo de requerimiento de capital de solvencia
51
Los productos inusuales en los que el costo del seguro se cobra de manera nivelada se pueden considerar
como un caso particular de esta garantía.
33
La CUSF también incluye algunos temas alusivos a los seguros flexibles de manera explícita en el título 6
relativo al requerimiento de capital. En particular en lo alusivo a la fórmula general para el cálculo del
requerimiento de capital de solvencia (RCS). En las disposiciones 6.3.7 y 6.3.8 se menciona que la variable de
pérdidas de los seguros de vida debe considerar a los seguros flexibles o de inversión. Para el caso de los
productos flexibles de vida de largo plazo, la disposición 6.3.8 indica que se debe introducir al cálculo de la
fórmula general tanto las características del fondo de administración como el nivel de la tasa garantizada.
Esto en adición a todas las demás características requeridas por la fórmula general para el resto de los
pasivos de vida largo plazo.
Por otro lado en el anexo 6.3.8 se establece que los seguros de vida flexibles tienen beneficio por migración
de decremento cuya naturaleza es de corto plazo, por lo que se deben modelizar como seguros de vida de
corto plazo con base en lo establecido en el anexo 6.3.7. Sin embargo su diferencia radica en los riesgos
financieros que afecta a los beneficios de suma asegurada por permanencia en algún decremento siempre
que estos decrementos no hagan que el seguro deje de tener validez. Asimismo define que los beneficios de
permanencia en un decremento para este tipo de seguros están ligados al valor de un fondo de inversión. La
forma como están ligados es mediante el máximo entre el valor del fondo, modelizado por medio de un
proceso Browniano Geométrico, y el valor de una función determinista creciente a la tasa garantizada.
El mecanismo de modelización mencionado en el párrafo anterior y correspondiente a la metodología técnica
establecida en el anexo 6.3.8 deja fuera la valoración de otro tipo de garantías secundarias, como las que se
han comentado anteriormente. Esto podría no ser tan relevante debido a que la mayoría de los productos
flexibles ofrecidos en nuestro país cuentan principalmente con la garantía de tasa. Sin embargo es
importante que las notas técnicas de reservas de las aseguradoras contengan de manera explícita la
valuación de este tipo de garantías secundarias en los productos flexibles que así lo requieran, similares a las
descritas por la literatura internacional.
4.3 Acreditación a Vencimiento
El desempeño del fondo de reserva determina el valor en riesgo en los productos flexibles con beneficio por
fallecimiento nivelado, así como el en gran medida el valor del pasivo. El valor del fondo de reserva depende
a su vez de la tasa que se le acredite. Por esta razón resulta relevante realizar una pausa para analizar la
forma de acreditación de tasa más común en nuestro país, que es la tasa a vencimiento.
Se denomina tasa a vencimiento (YTM por sus siglas en inglés) de un instrumento de inversión de tasa fija a
la tasa interna de retorno (TIR) que obtendría un inversionista al comprar dicho instrumento a precio de
mercado en caso de mantener el instrumento a vencimiento y asumiendo que todos los flujos de ese
instrumento son pagados en tiempo y forma. De esta forma, un activo que se invierte a una tasa
determinada, se dice que al mantenerse a vencimiento obtendrá un retorno equivalente a la tasa a la cual
fue adquirido, sin importar las condiciones del mercado. Esta afirmación no solo es inexacta sino incorrecta,
ya que de hecho solamente en casos muy específicos y poco factibles es que el retorno obtenido por dicho
instrumento será igual a la tasa a la cual fue adquirido. La razón de esto es que los instrumentos de largo
plazo disponibles en el mercado ofrecen cupones, amortizaciones y/o prepagos previos a la fecha de
vencimiento del mismo, originándose así un riesgo de reinversión para los flujos intermedios que tendrán que
ser usados para adquirir otros instrumentos bajo las condiciones que rijan en el mercado en el momento en
que se realicen. De esta manera, una forma de que el retorno final de la inversión sea equivalente a la tasa a
34
52
las que fue adquirido originalmente , es en el caso poco probable de que al momento de cada reinversión de
flujos, se puede hallar instrumentos de inversión disponibles en el mercado que ofrezcan exactamente la
misma tasa.
Por otro lado, definimos como tasa acreditada a vencimiento al promedio ponderado de las tasas a
vencimientos de cada uno de los instrumentos en un portafolio de inversión, ponderando por el monto
invertido en cada instrumento. Más adelante analizaremos un ejemplo de cómo a pesar de tener un sólo
instrumento de inversión, éste se transforma en un portafolios al recibir flujos intermedios en forma de
cupones, ocasionando así el efecto mencionado de riesgo de reinversión.
El contexto regulatorio que ha regido a las aseguradoras durante los últimos años, permitía bajo ciertas
circunstancias el registro contable de los activos a su valor a vencimiento. Esto es que cuando un instrumento
53
de deuda sea adquirido con la intención de conservarse hasta su vencimiento, su registro contable se
realice a costo amortizado en los estados financieros de la compañía. Esto permitía evitar que las
fluctuaciones del valor de mercado de dicho instrumento fluyan a través del estado de resultados de la
compañía, lo que ocasionaría efectos fiscales por pérdidas o ganancias a pesar de que éstas no hayan sido
realizadas. Los flujos por intereses que se van generando sí se registran en el estado de resultados. Esta
práctica contable resulta conveniente para las industrias que buscan calzar lo más posible sus pasivos, como
lo es la industria aseguradora.
Para ejemplificar este efecto, supongamos un portafolio de un solo activo que contemple la compra de 1,000
títulos del bono gubernamental a seis años con tasa fija (BONOS 210610) cuya tasa cupón es de 6.50% y que
al 7 de agosto del 2015 se comercializaba a una tasa a vencimiento de 5.6%. Su precio limpio era de $104.48
y su precio sucio de $105.03.Tomemos adicionalmente como referencia la curva de tasas nominales de
valores gubernamentales al 7 de agosto del 2015 (ver gráfico 3). Se observa una curva con una inclinación
elevada para las tasas de 0 a 5 años, una inclinación moderada para las tasas de 5 a 20 años y una
inclinación muy leve para las tasas de 20 a 30 años.
Gráfico 4 - Tasas nominales de valores gubernamentales
Tasas nominales - por ciento
anual
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
-
5
10
15
20
Años al vencimiento
25
30
35
Fuente: Elaboración propia con información de Banamex-Accival (La Semana – Deuda Gubernamental – del 3 al 7 de agosto, 2015)
52
No es la única, y de hecho podría decirse que las opciones son infinitas, pero éstas son coincidencias
numéricas que resultan en que a pesar de que existan variaciones en las tasas de mercado, el retorno final
del instrumento coincida con la tasa original del mismo.
53
Algunas legislaciones permiten el registro contable bajo esta clasificación también para los instrumentos
de capital, cuando éstos tengan un periodo definido de vencimiento, lo cual excluye a las acciones.
35
Analicemos a continuación dos variantes del ejercicio, en las cuales asumiremos inicialmente que la curva
inter-temporal de tasas de interés se mantiene constante durante el tiempo:

Todos los cupones se invierten en Bonos M de 6 años , es decir siempre al mismo plazo que el
instrumento original.

Todos los cupones se invierten en Bonos M con la misma fecha de vencimiento (junio 2021), es decir
el plazo de cada bono será cada vez más corto.
54
Caso 1
Para el primer caso, supongamos inicialmente que la curva de tasas se mantienen sin movimientos en el
tiempo, por lo que siempre que se requiera invertir un cupón, encontraremos un instrumento con
exactamente el mismo precio. De esta forma obtendríamos una tasa realmente de 5.6% durante el tiempo,
aunque esta estrategia no tendría una fecha de vencimiento pues siempre estaríamos adquiriendo
instrumentos con vencimientos a seis años. Sin embargo la estrategia de acreditación a vencimiento
parecería adecuada. En este caso la tasa acreditada resulta de 5.6% pues a pesar de que la tasa acreditada
es la tasa ponderada de todos los instrumentos del portafolio, en este caso todos ellos tienen la misma tasa a
vencimiento de 5,6%.
Este ejemplo es poco realista, pues la curva de tasas de interés se mueve día con día. Sin embargo nos ayuda
a ejemplificar lo que pasaría al momento de tener que liquidar la inversión (debido al pago de algún
beneficio de la póliza, ya sea fallecimiento o rescate parcial o total) y por lo cual la acreditación de 5.6% sería
inexacta. Al momento de vender liquidar la posición habría que vender los instrumentos del portafolio, el
cual podría estar conformado por instrumentos con plazos desde un día hasta 6 años. A pesar de continuar
con el supuesto de que la curva de tasas no se ha movido con el tiempo, la venta quedaría expuesta a
variaciones en el precio, pues a pesar de que todos los instrumentos están acreditando una tasa de 5.6%, el
mercado compraría los instrumentos de menos de seis años a la tasa que corresponda a su plazo, lo cual
depende de la pendiente de la curva, que como se mostró en la gráfica es elevada para plazos cortos (ver
gráfico 3).
De esta forma, asumiendo que se liquida la inversión 6 años después, el día 7 de agosto del 2021, el
instrumento más próximo seria el que vence en diciembre del 2021 y el más lejano al vencimiento sería aquel
que vence en junio del 2017 (ver tabla 3).
Tabla 3
Fecha de compra (reinversión del cupón)
10-dic-15
10-jun-16
10-dic-16
10-jun-17
10-dic-17
10-jun-18
10-dic-18
10-jun-19
10-dic-19
10-jun-20
10-dic-20
10-jun-21
54
Fecha de vencimiento del instrumento
10-dic-21
10-jun-22
10-dic-22
10-jun-23
10-dic-23
10-jun-24
10-dic-24
10-jun-25
10-dic-25
10-jun-26
10-dic-26
10-jun-27
O el instrumento disponible cuyo vencimiento sea el más cercano a 6 años.
36
Asumiendo que se pueden comprar y vender fracciones de instrumentos, que no hay margen de precios
compra-venta y que no hay costos de transacción, a continuación se muestra el número de instrumentos que
se pueden adquirir con cada cupón o vencimiento recibidos, así como el monto por la liquidación de cada uno
de ellos el día 7 de agosto del 2021:
Tabla 4
Fecha de vencimiento
del instrumento
10-dic-21
10-jun-22
10-dic-22
10-jun-23
10-dic-23
10-jun-24
10-dic-24
10-jun-25
10-dic-25
10-jun-26
10-dic-26
10-jun-27
Cantidad de títulos
55
adquiridos
30.94
31.90
32.89
33.91
34.96
36.04
37.15
38.30
39.49
40.71
41.97
983.07
Monto de liquidación
3,199.96
3,328.24
3,449.51
3,563.54
3,672.63
3,779.56
3,888.22
4,000.88
4,121.92
4,252.90
4,396.53
100,293.30
Total: 141,947.21
Fuente: Elaboración propia
De esta forma el monto total de la liquidación del portafolio sería de $141,947.21. Este valor de venta refleja
una tasa de retorno de 5.01% sobre la inversión de $105,030.00 original. Esta tasa es anualizada convertible
semestralmente, es decir, es directamente comparable con la tasa acreditada de 5.6%. Como se puede ver,
aun asumiendo que la curva de tasas se mantiene constante, el retorno de inversión que habría obtenido el
inversionista sería distinto al 5.6% que captura la tasa acreditada.
Ahora bien, si tomamos en cuenta además que la curva de tasas se mueve día con día, entonces tenemos la
manifestación del riesgo de reinversión, cuyo efecto se vuelve relevante mientras más se muevan las tasas, y
entonces la tasa acreditada difiere en mayor medida de la tasa de retorno obtenida por el inversionista.
Caso 2
Para el caso en el que todos los cupones se invierten en BONOS 210610, asumamos primero que la curva
inter-temporal de tasas se mantiene fija durante el tiempo. De esta forma, en la fecha de vencimiento de
cada cupón, la tasa a vencimiento a la que podremos adquirir el mismo instrumento se irá reduciendo (ver
gráfico 3) conforme nos acercamos al 10 de junio del 2021.
Sin considerar aun la reinversión de los cupones tenemos el esquema que se observa en la tabla 3. La tasa a
la que se invierte el cupón es la que se observa en la gráfica 3 para los distintos plazos a vencimiento. Debido
a que no tenemos la curva completa para todos los plazos, se realizó una aproximación a la curva para los
55
Por ejemplo, en diciembre del 2015 recibiremos le primer cupón de $3.25 por título. Como se tienen 1,000
títulos
37
56
plazos de 1 día a 10 años . De esta forma se obtuvieron los precios del instrumento en las fechas
correspondientes.
Tabla 5
Fecha de recepción de
cupón
10 de dic del 2015
10 de jun del 2016
10 de dic del 2016
10 de jun del 2017
10 de dic del 2017
10 de jun del 2018
10 de dic del 2018
10 de jun del 2019
10 de dic del 2019
10 de jun del 2020
10 de dic del 2020
10 de jun del 2021
Monto a reinvertir
(cupón)
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$3,250
$103,250
Plazo a vencimiento
(años)
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Tasa a la que se invierte el
cupón
5.66%
5.63%
5.55%
5.41%
5.22%
4.97%
4.68%
4.35%
4.00%
3.65%
3.33%
Precio del
Bono
$103.51
$103.37
$103.41
$103.57
$103.80
$104.00
$104.09
$103.95
$103.52
$102.72
$101.54
Fuente: Elaboración propia.
Ahora bien, para considerar los flujos de las reinversiones, realizamos el siguiente ejercicio (ver tabla 4). El
primer cupón que recibimos en diciembre del 2015 por un monto de $3,250 (primera columna y tercer
renglón de la tabla), lo reinvertimos en el número de instrumentos para los que nos alcance. En este caso,
57
debido a que el bono tiene un precio en esa fecha de $103.51, podemos adquirir 31 títulos (segunda
columna y primer renglón), invirtiendo un total de $3,218.15 (tercer renglón y segunda columna). Para junio
del 2016 (cuarto renglón) no solo recibiremos los $3,250 del primer instrumento (primera columna y cuarto
renglón), sino que también recibiremos los 3.25 por cada uno de los 31 títulos adquiridos en diciembre,
sumando $100.75 (segunda columna y cuarto renglón), teniendo un flujo total de $3,350.75. Este flujo nos
alcanza para 32 títulos (primer renglón y tercera columna) teniendo que invertir un total de $3,312.55
(cuarto renglón tercera columna).
Tabla 6
1,000.00
-105,028.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
103,250.00
31.00
32.00
-3,218.15
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
100.75
3,201.00
-3,312.55
104.00
104.00
104.00
104.00
104.00
104.00
104.00
104.00
104.00
3,304.00
33.00
-3,406.08
107.25
107.25
107.25
107.25
107.25
107.25
107.25
107.25
3,407.00
35.00
-3,498.17
110.50
110.50
110.50
110.50
110.50
110.50
110.50
3,511.00
36.00
-3,589.84
113.75
113.75
113.75
113.75
113.75
113.75
3,614.00
37.00
-3,782.18
120.25
120.25
120.25
120.25
120.25
3,820.00
38.00
-3,871.50
123.50
123.50
123.50
123.50
3,924.00
40.00
-3,959.14
126.75
126.75
126.75
4,027.00
41.00
-4,147.43
133.25
133.25
4,233.00
43.00
-4,233.06
136.50
4,337.00
44.00
-4,417.90
4,543.00
Sobrante
31.85
38.20
48.67
63.83
82.66
4.07
35.00
70.86
9.32
56.94
8.60
145,170.00
Fuente: Elaboración propia
56
Se aproximó mediante un polinomio de grado 4 con los 6 datos correspondientes a Cetes a 1, 180 y 360
días y Bono M a 3, 5 y 10 años. La ecuación resultante fue:
𝑦 = 0.0028𝑥^4 − 0.0465𝑥^3 + 0.1738𝑥^2 + 0.4567𝑥^ + 3.0663
57
En este punto asumimos que no se pueden comprar títulos fraccionados, y que el efectivo sobrante no se
invierte. El efectivo sobrante de $31,85 aparece en el cuarto renglón de la última columna de la tabla.
38
De esta forma podemos observar que al final del plazo, recibiremos un total de $145,170.00 resultante del
total de los 100 de valor de redención y 3.25 de cupón por cada uno de los 1,400 títulos que tenemos del
bono. Esto aunado al efectivo que no se invirtió suma un total $145,039.71.
Ahora bien, a pesar de que no sea realista, eliminaremos el supuesto de que no se pueden invertir fracciones
de título, para ver el valor exacto que nos daría la estrategia y no sufrir confusión por el redondeo
ocasionado por la compra de títulos enteros. De esta forma se obtiene un gran total de $145,120.79 (ver
tabla 7) a ser recibidos en junio del 2012. Este monto corresponde a una tasa nominal de 5.53%, ligeramente
distinta a la tasa de 5.60% a la que se invirtió originalmente. Esta diferencia se debe al riesgo de reinversión,
ya que los flujos se invirtieron a tasas menores.
Tabla 7
1,000.00
-105.03
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
3,250.00
103,250.00
31.40
32.43
-3,250.00
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
102.04
3,241.69
-3,352.04
105.39
105.39
105.39
105.39
105.39
105.39
105.39
105.39
105.39
3,348.04
33.43
-3,457.42
108.66
108.66
108.66
108.66
108.66
108.66
108.66
108.66
3,452.06
34.43
-3,566.09
111.91
111.91
111.91
111.91
111.91
111.91
111.91
3,555.20
35.43
-3,677.99
115.16
115.16
115.16
115.16
115.16
115.16
3,658.44
36.47
-3,793.15
118.54
118.54
118.54
118.54
118.54
3,765.81
37.58
-3,911.69
122.13
122.13
122.13
122.13
3,880.09
38.81
-4,033.82
126.12
126.12
126.12
4,006.68
40.19
-4,159.94
130.60
130.60
4,149.22
41.77
-4,290.54
135.75
4,312.69
43.59
-4,426.29
4,500.87
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
145,120.79
145,120.79
Fuente: Elaboración propia
A pesar de que todos los instrumento en el portafolio son exactamente los mismos, cada bloque se adquirió a
una tasa a vencimiento diferente. Esto debido a que se adquirieron a diferentes plazos y a diferentes precios.
En este caso, la tasa acreditada irá cambiando en el tiempo, conforme se vayan realizando distintas
adquisiciones. De esta forma, durante el periodo que transcurre entre el inicio de la inversión y el primer
cupón, la tasa acreditada será de 5.60%. En cuanto se reciba el primer cupón, éste se reinvertirá en un cupón
cuya tasa a vencimiento será distinta.
Parecería que la tasa acreditada a vencimiento resulta más adecuada para reflejar el desempeño real de una
estrategia como la analizada en este caso. Sin embargo debido a que las aportaciones netas se encuentran
en el fondo general junto con las aportaciones de muchos otros asegurados, no es posible definir una
estrategia como esta, en la que los recursos de una sola aportación se invierten todos en el mismo
instrumento. Esta estrategia tendría un muy alto costo de administración y sería difícil de determinar siendo
que los recursos están mezclados en la cuenta general. Por otro lado recordemos que este cálculo se realizó
con el supuesto improbable de que la curva inter-temporal de tasas de interés no cambiaría durante el
tiempo. Al adicionar la volatilidad en las tasas, dependiendo del escenario se puede llegar a que la tasa de
retorno al final del plazo sea muy diferente a las tasas acreditadas durante el periodo de inversión.
Influencia del comportamiento del asegurado en la tasa acreditada a vencimiento
Otro elemento a considerar es el efecto de las aportaciones adicionales que realizan los asegurados (que
definiremos como dinero nuevo), así como los rescates que realiza. Como ya se mencionó, la tasa acreditada
a vencimiento es la tasa ponderada de las tasas a vencimiento de cada uno de los instrumentos que contiene
el portafolio. Estas tasas van cambiando en el tiempo conforme se realizan nuevas inversiones dependiendo
de las tasas de mercado. En caso de realizar aportaciones adicionales, éstas cambiaran la ponderación del
portafolio, agregando peso a la tasa obtenida en las nuevas inversiones y disminuyendo proporcionalmente
39
el peso de las inversiones realizadas con anterioridad. El peso que se agrega a la tasa a la que se invierte el
nuevo dinero dependerá de la cantidad de nuevo dinero que sea invertido, con base en su peso relativo con
relación al resto del portafolio.
De esta manera analizaremos este efecto en algunos casos.
Aportaciones Constantes de Dinero Nuevo
A continuación analizaremos la tasa acreditada a vencimiento cuando las aportaciones que se realizan cada
58
año son constantes. Supongamos que se invierte solamente en instrumentos cupón cero a 𝑇 años y que
cada periodo 𝑛 se invierte un monto 𝑋 en nuevos instrumentos de este tipo. Notar que el monto 𝑋 no varía
con el tiempo. Supongamos también que la tasa a vencimiento de un instrumento adquirido al tiempo 𝑛 es
𝑇𝑉𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, … y que la tasa acreditada del portafolio en cualquier momento en el tiempo 𝑡 se denota
como 𝑇𝐴𝑡 . Al inicio del primer año se invierte una cantidad 𝑋 en instrumentos con 𝑇𝑉0 . Durante el primer
año debido a que solo hay un instrumento en el portafolio, la tasa acreditada es 100% ∗ 𝑇𝑉0 . Al inicio del
segundo año, cuando se realiza la segunda aportación, se tiene dinero nuevo por una cantidad 𝑋 que se
invierte a una tasa 𝑇𝑉1 . El portafolio contiene ahora inversiones por $2,000, por lo que la ponderación de
cada tasa será del 50%, de tal forma que se tiene:
𝑇𝐴𝑡 = {
100% ∙ 𝑇𝑉0
50% ∙ 𝑇𝑉0 + 50% ∙ 𝑇𝑉1
𝑡<1
1≤𝑡<2
De forma similar podemos continuar el ejemplo hasta el año 5, año en el que se tiene lo siguiente:
100% ∙ 𝑇𝑉0
50% ∙ 𝑇𝑉0 + 50% ∙ 𝑇𝑉1
𝑇𝐴𝑡 = 33.3% ∙ 𝑇𝑉0 + 33.3% ∙ 𝑇𝑉1 + 33.3% ∙ 𝑇𝑉2
25% ∙ 𝑇𝑉0 + 25% ∙ 𝑇𝑉1 + 25% ∙ 𝑇𝑉2 + 25% ∙ 𝑇𝑉3
{ 20% ∙ 𝑇𝑉0 + 20% ∙ 𝑇𝑉1 + 20% ∙ 𝑇𝑉2 + 20% ∙ 𝑇𝑉3 + 20% ∙ 𝑇𝑉4
𝑡<1
1≤𝑡<2
2≤𝑡<3
3≤𝑡<4
4≤𝑡<5
A partir de este punto comenzarán a vencer los instrumentos adquiridos inicialmente, por lo que siempre
tendremos una estructura similar pero que va eliminando los primeros instrumentos. Esto se puede reflejar
en la siguiente ecuación:
𝑇𝐴𝑡 = 20% ∙ 𝑇𝑉𝑛−5 + 20% ∙ 𝑇𝑉𝑛−4 + 20% ∙ 𝑇𝑉𝑛−3 + 20% ∙ 𝑇𝑉𝑛−2 + 20% ∙ 𝑇𝑉𝑛−1
𝑡>4
Con:
𝑛 = ⌈𝑡⌉ en donde ⌈𝑡⌉ representa la función techo (redondear hacia arriba).
Esto se puede ver como un promedio móvil simple de 5 años, que por sus siglas en inglés se conoce como
SMA(5). Ahora bien, en el caso más realista de tener instrumentos con cupones y suponiendo que estos
59
cupones son reinvertidos a la tasa que corresponda en el mercado en ese momento, la duración de los
activos comienza a diferir de su plazo, siendo menor la duración que el plazo al vencimiento. En este caso un
instrumento adquirido al inicio del primer año, arroja su primer cupón al tiempo 𝑐1 de tal manera que este
cupón se reinvierte a en ese momento a la tasa a vencimiento que haya en el mercado en ese momento,
58
Todos los instrumentos del mercado pagan cupones, por lo que este supuesto es poco realista.
Interpretada como duración de Macaulay, que es el promedio ponderado del tiempo, ponderando con los
flujos que arroja el instrumento en cada momento.
59
40
𝑇𝑉𝑐1 . De esta forma los cupones del instrumento van ponderando la tasa a vencimiento de periodos más
recientes, por lo que tiene sentido que el promedio móvil sea de un periodo más corto. A pesar de que esta
relación no es exacta, basta simular algunos ejemplos para observar cómo el 𝑆𝑀𝐴(𝐷𝑝 ), en donde 𝐷𝑝 es la
duración del portafolio, resulta en una buena aproximación a la tasa acreditada.
Esta aproximación de la tasa acreditada, nos permite observar cómo la velocidad a la que la tasa acreditada
responda a los movimientos en las tasas del mercado dependerá en gran medida de la duración promedio de
los instrumentos en el portafolio.
De esta forma podemos ver que un portafolio cuyas aportaciones de dinero nuevo sean constantes en el
tiempo, su tasa acreditada se puede aproximar mediante un 𝑆𝑀𝐴(𝐷𝑝 ). Así, cuando las tasas en el mercado
van a la alza, no existen incentivos para realizar aportaciones adicionales, pues éstas tendrían una
acreditación de tasa menor en lo a la tasa que se podría obtener de invertir directamente en el mercado,
fenómeno que se acentúa mientras mayor duración tenga el portafolio (esto sucede cuando el producto es
de larga duración, como lo son los productos para el retiro). De manera similar, cuando las tasas van a la
baja, existen incentivos para realizar aportaciones adicionales, pues las tasas a las que se podría invertir en
el mercado son menores a la tasa que se acreditaría en el fondo de reserva. Esto tiene el potencial de influir
en el comportamiento de aportaciones o retiros del asegurado, por lo que a continuación analizaremos otro
caso en el que las aportaciones no sean constantes.
Aportaciones Crecientes de Dinero Nuevo
Cuando una aseguradora tiene un producto flexible exitoso ya sea por crecimiento orgánico o por una
estrategia agresiva de colocación de pólizas, se observa un crecimiento en el nuevo dinero ocasionado por las
nuevas pólizas. Es efecto que esto tiene en la tasa acreditada es un ponderador más grande para las tasas a
vencimiento de los instrumentos adquiridos en el presente, a tasas de mercado. En este caso la aproximación
de 𝑆𝑀𝐴(𝐷𝑝 ) resulta inadecuada, pues el ponderador de cada periodo ya no resulta constante.
En el caso en el que las aportaciones de nuevo dinero crezcan a tasa constante, podemos aproximar la tasa
acreditada con un promedio móvil exponencial conocido como 𝐸𝑀𝐴(𝛼) por sus siglas en inglés, también
conocido como promedio móvil ponderado exponencialmente 𝐸𝑊𝑀𝐴(𝛼). El parámetro α determina el peso
que se le da al dato más reciente, y resulta suficiente para asignarle pesos a todos los datos de la serie.
𝐸𝑀𝐴𝑗 (𝛼) = 𝛼 ∙ 𝑋𝑗 + (1 − 𝛼) ∙ 𝐸𝑀𝐴𝑗−1 (𝛼)
El 𝐸𝑀𝐴(𝛼), a diferencia del 𝑆𝑀𝐴(𝑋), considera todos los datos existentes en la serie y no sólo los últimos 𝑋.
Otra diferencia es que mientras que el 𝑆𝑀𝐴(𝑋) le da el mismo peso a todos los 𝑋 datos más recientes, el
𝐸𝑀𝐴(𝛼) le da mayor peso a los datos más recientes y cada vez menor peso mientras el tiempo de cada dato
se va alejando. El 𝐸𝑀𝐴(𝛼) aplicado a la tasa acreditada como aproximación a la tasa a vencimiento vigente
en el mercado se puede calcular de forma recursiva de la siguiente manera:
𝑇𝑉
𝑇𝐴𝑛 = { 0
𝛼 ∙ 𝑇𝑉𝑛 + (1 − 𝛼) ∙ 𝑇𝐴𝑛−1
𝑛=0
𝑛>0
Mientras más grande sea el parámetro 𝛼 (el cual debe estar entre cero y uno), la ponderación que se le
asigna a las observaciones más antiguas disminuye más rápido. De esta forma el parámetro 𝛼 define el peso
que se le asigna a la observación más reciente. Veamos a continuación un ejemplo (ver gráfico 5). Podemos
41
observar que la tasa vigente tiene una tendencia claramente alcista entre los periodos 2 y 6. El 𝑆𝑀𝐴(5)
reacciona muy lentamente a esta alza, alcanzando a la tasa vigente hasta el periodo 9, cuando ésta ya va a
la baja. Por otro lado el 𝐸𝑀𝐴(0.75), que le da mucho peso a las observaciones más recientes reacciona muy
rápidamente, yendo prácticamente a la par que a tasa vigente. Al disminuir el parámetro 𝛼, observamos que
la velocidad de reacción del 𝐸𝑀𝐴(0.25) es mucho más lenta, reaccionando de forma similar al 𝑆𝑀𝐴(5).
Gráfico 5
3.75%
3.70%
3.65%
Tasa vigente
SMA (5)
3.60%
EMA(0.25)
EMA(0.75)
3.55%
3.50%
3.45%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
De esta forma, podemos relacionar directamente la tasa de crecimiento constante de las aportaciones, con el
parámetro 𝛼. A mayor tasa de aportaciones de dinero nuevo, más peso se le debe de asignar a las
observaciones más recientes. Supongamos ahora que se tienen dos portafolios con la misma tasa de
crecimiento de aportaciones. El primero de ellos tiene una duración 𝐷𝑝1 mientras que el segundo tiene una
duración 𝐷𝑝2 > 𝐷𝑝1 . En este caso, debido a que el portafolio 2 debe reaccionar más lentamente que el
portafolio 1, entonces el parámetro 𝛼 del portafolio 2 debe ser menor al parámetro 𝛼 del portafolio 1. Es
decir,
𝐷𝑝2 > 𝐷𝑝1 → 𝛼2 < 𝛼1 .
Ahora bien, si la tasa creciente de aportaciones no es constante, es difícil aproximar mediante una formula el
comportamiento de la tasa acreditada como función de las tasas vigentes de mercado.
Aportaciones Decrecientes de Dinero Nuevo
Este caso se presenta comúnmente cuando se analiza una cartera de pólizas en vigor, pues el
comportamiento tradicional de los asegurados es el de realizar aportaciones al inicio de la vigencia de la
póliza y posteriormente dejar de realizarlas, en ocasiones sin aportar incluso la prima básica, dejando que el
producto caduque con el tiempo. En este escenario y de forma contraria al 𝐸𝑀𝐴(𝛼), se le tendría que
asignar mayor ponderación a las tasas viejas y una menor ponderación a las tasas vigentes. Sin embargo,
debido a que este escenario llevaría a la extinción del producto en el mediano plazo, no resulta relevante su
estudio práctico.
42
Cuando incorporamos el efecto de los nuevos negocios, debemos asumir que las aportaciones de los nuevos
negocios compensan (o más que compensan) la disminución en las aportaciones de los negocios en vigor, de
tal manera que el efecto completo sea el de aportaciones ya sea constantes o crecientes. De otra manera
estaríamos analizando un producto en extinción gradual.
Por estas razones, no analizaremos a mayor detalle el caso de las aportaciones decrecientes de nuevo dinero.
4.4 Descalce por Tasa Acreditada al Fondo de Reserva
Como se mencionó anteriormente, para los productos flexibles UL, los recursos de las aportaciones netas de
los asegurados se invierten en la cuenta general. Esto significa que los recursos están mezclados con los de
otros productos, incluidos los tradicionales. Por esta razón resulta importante hacer una breve pausa para
entender mejor cómo es que se acreditan los intereses a cada una de las cuentas nominales que representan
el fondo de reserva de cada propietario de un contrato UL, lo que nos permitirá analizar más a detalle la
valoración del riesgo en la garantía de tasas.
Supongamos que una aseguradora ofrece al mercado solamente dos productos de vida individual a largo
plazo: uno temporal a 10 años tradicional y otro temporal a 10 años flexible. Supongamos que el 7 de agosto
del 2015 suscribe el tradicional a Tania y el flexible a Fernanda, dos aseguradas diferentes e
60
independientes . La prima pagada por Tania, neta de comisiones, es de $33,820 mientras que las
contribuciones netas de Fernanda son por $71,210. La aseguradora con la totalidad de estos recursos busca
61
entre los activos disponibles en el mercado aquel que más le convenga y encuentra en el mercado los Bonos
M a 6 años (BONOS 210610) cuya tasa cupón es de 6.50% y que al 7 de agosto del 2015 se comercializaba a
una tasa a vencimiento de 5.6%. Su precio limpio era de $104.48 y su precio sucio de $105.03.
De esta forma, la aseguradora decide invertir los $105,030 en 1,000 títulos. A cambio, por cada uno de estos
títulos obtendrá 12 cupones a lo largo de la vida del bono, de manera semestral (los días 10 de diciembre y
junio de cada año) por un monto de $3.25 cada uno y un valor de redención de $100.00 el 10 de junio del
2021. Vale la pena notar que los $71,210 no fueron utilizados para adquirir 676.25 títulos, sino que los títulos
fueron adquiridos por la cuenta general, sin atribuir títulos a las cuentas individuales. Por esta razón es que
al fondo de reserva de cada asegurado se le denomina cuenta nocional.
Supongamos que pasa un mes y tanto Tania como Fernanda siguen con vida y con la póliza vigente. Llega el
62
día 7 de septiembre del 2015 y el precio sucio del bono es de $105.10116 (una disminución de las tasas de
mercado). De esta forma, el valor a mercado de los activos es de $105,101.16, un incremento de ~$0.07 por
título o $71.16 para los 1,000 con los que cuenta la aseguradora. Se puede calcular que este incremento
resulta en una tasa anualizada de ~0.81%. ¿Cuánto es atribuible a Tania y cuánto a Fernanda? ¿6.5% de la
tasa cupón? ¿5.6% de tasa a vencimiento cuando se adquirió? ¿0.81% que es la tasa anualizada de la
ganancia obtenida en el mes?
60
Este ejemplo es solo ilustrativo para ejemplificar la forma de acreditación de la cuenta general, pero no es
representativo de la práctica aseguradora, pues un principio básico para la teoría del seguro es el contar con
un gran número de asegurados de tal forma que se cumpla con el principio de los grandes números.
61
Buscando maximizar el rendimiento sujeto a un mínimo descalce en duración/flujos.
62
Un día antes de que se cumpla el mes y se realicen las deducciones a los fondos.
43
Debido a que la estrategia de inversión se hizo a vencimiento, en caso de mantener el activo durante toda la
63
vigencia de la inversión se obtendrá una tasa aproximada de 5.6%. De esta forma, al saldo del fondo al
inicio de cada periodo, una vez efectuadas las deducciones correspondientes, se le acredita la tasa
correspondiente, que en este caso sería de 5.6%. Cabe mencionar que esta práctica, a pesar de que hablemos
de productos flexibles no garantizados, conlleva una garantía implícita de protección de principal, pues la
tasa a vencimiento nunca será negativa.
Pueden existir diversas formas de acreditar esta tasa a cada fondo, dependiendo de la convención que se
tome: una doceava parte de la tasa (también se le conoce como 30/360), multiplicar la tasa por lo días
efectivamente transcurridos y dividir entre 365 (días/365), multiplicar la tasa por lo días efectivamente
transcurridos y dividir entre 360 (días/360), etc. En un contexto más realista es difícil que la tasa acreditada
sea matemáticamente correcta, pues el portafolio de activos contiene una gran cantidad de instrumentos
cuyas amortizaciones o pagos de cupón tienen distintas periodicidades (semestral, trimestral, mensual, etc.),
de tal forma de que a pesar de que todas las tasas a vencimiento estén expresadas en términos nominales
convertibles, existe un inconveniente algebraico para obtener la tasa efectiva del periodo.
Para este ejemplo, debido a que tenemos un solo instrumento y éste es gubernamental, sabemos que la
forma correcta de acumulación de intereses es convirtiendo la tasa a efectiva semestral con la convención de
días/360, sumar uno y por último elevar a la fracción del número de días efectivamente transcurridos con
respecto a los días entre cupones, es decir: (1 + 5.6% ∙
183 31/183
360
)
. En este caso, debido a que el saldo de
$71,210 del seguro flexible al inicio del periodo era neto de deducciones, al final del periodo se tendría:
31
183 183
71,210 ∙ (1 + 5.6% ∙
)
= 71,549.40
360
Este cálculo corresponde a una tasa acreditada efectiva en el periodo de ~0.4766%, que anualizada
(multiplicando por 360/31) corresponde a ~5.5349%. La razón por la que esta tasa es menor al 5.60% de la
tasa a vencimiento es porque es nominal convertible mensualmente mientras que la tasa a vencimiento es
nominal convertible semestralmente, resultando una capitalización más frecuente en el primer caso.
Ahora bien, con base en la regulación reciente (LISF y CUSF) tanto los activos como los pasivos deben ser
contabilizados a valor de mercado. Esto es sencillo para el caso de los activos de inversión con base en la
información proporcionada por el proveedor de precios. Sin embargo para el caso de los pasivos resulta de la
mejor estimación de su valor razonable. Como ya se mencionó, esto es al menos el valor de rescate más el
valor de las garantías. Antes de pasar a eso, analicemos el descalce que se genera en estos productos por la
valuación a mercado de activos y la acreditación de tasa como se describió en los párrafos anteriores.
Los activos valuados a mercado pueden tener variaciones tanto a la alza como a la baja. En el caso de los
instrumentos de deuda si las tasas bajan sus precios suben y viceversa. Esto significa que con la contabilidad
de los activos a mercado estén fluctuando con alzas y bajas en cada periodo. Por otro lado, los pasivos están
en función del valor del fondo de reserva, el cual con la fórmula de acreditación que se describió
anteriormente solo pueden sufrir variaciones a la alza. La participación que tiene el asegurado en la tasa de
acreditación es meramente de en cuánto incrementa el saldo de su fondo y no de si incrementa o disminuye,
63
Es aproximada es debido a que existe riesgo de reinversión, que se origina al existir la posibilidad de no
poder invertir en su momento los cupones intermedios a la misma tasa de 5.6%.
44
lo que habíamos mencionado como garantía implícita de protección de principal. Así, el activo tiene
fluctuaciones mes con mes mientras que el valor del fondo se incrementa en cada periodo, generando
pérdidas en el capital o afectando el margen de solvencia de las aseguradoras.
Para visualizar este efecto en el ejemplo, supongamos que el precio de mercado del instrumento en cuestión
(BONOS 210610) dos meses después de la aportación y la compra del activo (7 de octubre del 2015) es de
$105.0248 (un alza en las tasas de mercado), es decir, una disminución de ~$0.08 por título o $76.37 por el
total de los 1,000 títulos. Asumamos adicionalmente que no hubo aportaciones adicionales y que la
deducción que se le realizó al fondo de Fernanda es de $800.00 al inicio del periodo. De esta forma, al inicio
del periodo su fondo de reserva contaba con $70,749.40 ($71,549.40 - $800.00) y la tasa efectiva que se le
64
acredita durante ese periodo es de ~0.4612% o expresada de forma anualizada de ~5.5345% , resultando en
un fondo al final del periodo de $71,075.70. Como se puede ver, mientras que el portafolio tuvo una
disminución de $76.37 por título, el fondo de Fernanda se incrementó en $326.30, generando una pérdida de
$402.67.
Estas pérdidas son sin embargo pérdidas no realizadas, que se materializarán solamente en caso de que se
venda el activo y por lo tanto se materialice su valor de mercado y no se obtenga la tasa a vencimiento que
se utilizó para el cálculo de la acreditación del fondo. En el ejemplo anterior, solo en caso de que se tuviera
65
que vender los títulos en ese momento es que se materializaría la pérdida de $402.67 . Este efecto es
capturado por la fórmula general del cálculo del RCS. Sin embargo la pérdida que captura es la
correspondiente a la pérdida no realizada, asumiendo un escenario de liquidación total del portafolio de
activos.
Vale la pena mencionar que como se mencionó anteriormente, el cálculo de RCS bajo la fórmula general
permite tres tipos de seguros flexibles:

Aquellos que no tienen tasa garantizada;

Aquellos que garantizan el principal, y

Aquellos que tienen tasa garantizada.
En el caso de los seguros flexibles sin garantía de tasa, la fórmula general considerará entonces la posibilidad
de que los beneficios de permanencia por fallecimiento disminuyan junto con el proceso Browniano
geométrico que modeliza al activo. De esta forma, en el caso de que una seguradora tenga productos
flexibles sin garantía de tasa, pero realice la acreditación con tasas ponderadas a vencimiento como se
mencionó en los párrafos anteriores (teniendo una garantía implícita de protección de principal), la fórmula
general resultaría inexacta. En estos casos el descalce real que tendría dicha aseguradora sería
completamente omitido por la formula general. Teniendo la industria una práctica generalizada de
acreditación a vencimiento, no existe entonces sino dos categorías de productos flexibles:
64
La razón por la que no da exactamente la misma tasa acreditada a pesar de utilizarse la misma tasa a
vencimiento del instrumento de 5.60% es debido a los días efectivamente transcurridos, que en este caso son
30 en lugar de 31.
65
En realidad una pequeña parte de esta pérdida se realiza en cada fecha de pago de cupón, pues el cupón
se tiene que reinvertir a la tasa que esté vigente en el mercado, materializando el riesgo de reinversión.
Cuando tenemos un portafolio de diversos activos con distintas fechas de vencimiento, este efecto se vuelve
más grande, pues se materializa con los pagos correspondientes al vencimiento de cada contrato.
45

Aquellos que garantizan el principal, y

Aquellos que tienen tasa garantizada.
Ahora bien, la aseguradora tiene la facultad de determinar la fórmula de acreditación de tasa al fondo de
reserva del asegurado. Si esta acreditación fuera “a mercado” y permitiera tasas acreditadas tanto positivas
como negativas, transfiriendo entonces todo el riesgo de mercado al asegurado, entonces no se tendría este
descalce entre activos y pasivos y la forma como está diseñada la fórmula general capturaría
adecuadamente la naturaleza de este producto. Esto permite suponer que el diseño de la fórmula general se
realizó con base en una acreditación a mercado y no con una acreditación a vencimiento como se lleva a
cabo por la mayoría de la industria aseguradora mexicana. La razón principal por la que se genera este
descalce, es que la regulación anterior permitía la contabilidad a vencimiento de los instrumentos de largo
plazo con los cuales se calzaban los portafolios de productos flexibles, por lo que una acreditación a
vencimiento resultaba conveniente.
La posibilidad de cambiar la acreditación a mercado posiblemente quede permitida dentro del marco
contractual de los productos vigentes (lo cual tendría que ser analizado caso por caso y a detalle dentro de la
regulación), sin embargo la acreditación a mercado ocasionaría que por primera vez los asegurados vean
caer el valor de su fondo de garantía, generando un potencial impacto de reputación para aquellas
compañías que lleven a cabo dicho cambio o bien para la industria en su conjunto si este cambio fuera
generalizado, pudiendo ocasionar que los asegurados analizaran el cambiar su esquema de ahorro a
alternativas más tradicionales y posiblemente más económicas como los certificados de depósito.
4.5 Modelos de Valuación
Con todos los elementos analizados hasta el momento, procederemos con algunas técnicas de modelización
para los productos flexibles con garantías de tasa. Asimismo se buscará que los modelos propuestos puedan
ser utilizados tanto para el cálculo de mejor estimador que se requiere en la valuación de las reservas, como
para la determinación del requerimiento de capital mediante modelos internos, que capturen de mejor
manera el riesgo a como lo hace la fórmula general.
En general asumiremos en todos los modelos que la tasa subyacente depende de algún nodo de la curva de
tasas de mercado. En realidad el portafolio de activos contiene instrumentos con muy diversos plazos, por lo
que la tasa acreditada depende de las tasa a vencimiento que rijan en el mercado para cada nodo de la
curva. Sin embargo se puede analizar el portafolio de activos de una aseguradora y calcular el coeficiente de
correlación lineal entre la tasa acreditada y cada nodo del histórico de la curva de tasas, para encontrar
aquel nodo que sea el más significativo.
Modelos teóricos de valuación
La garantía de tasa presente en los seguros flexibles, ya sea de manera implícita (protección de principal) en
la fórmula de acreditación a vencimiento, o de manera explícita como tasa garantizada, en algunos casos
puede ser evaluada mediante modelos teóricos.
Como se comentó anteriormente, la garantía de tasa podría llegar a ser considerada como un derivado de
piso de tasa o floor, bajo circunstancias muy específicas. Si estas circunstancias no se cumplen, entonces la
garantía depende en gran medida de las aportaciones o rescates que realice el asegurado.
46
El comportamiento de los asegurados (aportaciones y rescates) es un riesgo que se puede diversificar
parcialmente con un portafolio grande y homogéneo de asegurados, aunque no al nivel del riesgo de
mortalidad, pues el impacto del entorno económico nacional e internacional es un riesgo sistémico que tiene
el potencial de impactar al portafolio entero al mismo tiempo (Dickson, Hardy, & Waters, 2013). Los rescates
por otro lado son muy difíciles de predecir y la historia no siempre proporciona un buen modelo, pues las
condiciones económicas y variaciones de la póliza tienen un impacto importante en el comportamiento del
asegurado.
Afortunadamente, el que exista el riesgo de comportamiento del asegurado y por tanto no se pueda hacer la
garantía equivalente a un floor de tasa, no nos impide directamente usar los modelos teóricos para la
valuación de la garantía de tasa. Esto es debido a que el modelo de Black de valuación de derivados de tasas
indica que en el caso de los floors de tasas el valor del derivado es la suma del valor de cada una de las
opciones europeas de venta. Por esta razón no es necesario que el valor del fondo de reserva sobre el cual se
acredita la tasa sea constante. Podemos modelizar el comportamiento del fondo de reserva y asumir que
cada opción tiene un nocional diferente. Esto resuelve parcialmente el problema, pues el otro inconveniente
mencionado es que la valuación está diseñada para opciones europeas, cuyo pago no depende de la
trayectoria que toman las tasas, y en este caso la trayectoria de las tasas determina en parte el valor del
fondo.
A pesar de la relevancia de estos inconvenientes, a continuación realizaremos una valuación teórica para un
tipo particular de producto. Tomemos como ejemplo un seguro flexible con vencimiento de 2 años con
garantía de tasa del 1.0%, con suma asegurada y primas en pesos y con periodicidad de acreditación y
deducciones cada 3 meses.
Se toma un histórico del mercado secundario de los Bonos M a 3 meses, de tal forma que podemos obtener
estas tasas de manera diaria.
Gráfico 6 – Bonos M a 3 meses
Tasas spot diarias (en porcentaje)
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
Fuente: Elaboración propia con información de Bloomberg
47
A continuación obtenemos distintas series de los cambios de un periodo a otro, siendo estos periodos los
correspondientes a 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 24 meses, es decir 𝑟𝑘 = 𝑙𝑛 [
𝑅𝑡
𝑅𝑡−20∙𝑘
]. En la fórmula anterior el número
20 representa los 20 días de información diaria con la que se cuenta en un mes (los días hábiles) y la 𝑘
representa los periodos mensuales, es decir, 𝑘 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24. De esta forma se obtiene una serie
distinta para cada 𝑘. Mientras mayor es la 𝑘 menor es el número de datos que contiene la serie (ver gráfico
7).
Gráfico 7 – 𝒓𝒌
1.0000
0.8000
0.6000
0.4000
0.2000
6M
-
12M
-0.2000
18M
-0.4000
24M
-0.6000
-0.8000
-1.0000
Fuente: Elaboración propia
Recordemos que el supuesto base para el modelo de Black es la log-normalidad de los rendimientos. Sería
objeto de un estudio diferente el verificar los supuestos de log-normalidad de estas series de ratios de tasas
de interés periódicas, pues tendrían que verificarse cuatro supuestos implícitos en esta distribución para las
series 𝑟𝑘 (Becker, 1991):

La serie es estocásticamente independiente;

La serie tiene distribución Normal;

La serie tiene varianza constante, y

La serie tiene media igual a cero.
El presente estudio sin embargo, no busca demostrar que estos supuestos son válidos para la valuación de
las opciones de venta contenidas en la garantía de tasa, sino lo que busca es mostrar los beneficios y
limitantes de los distintos modelos. Lo que esto significa es que es necesario realizar el estudio adecuado
sobre las series en cuestión para poder concluir la validez de los modelos. Otra razón por la que no nos
detenemos en este punto, es porque como se hablará más adelante, en realidad la serie que nos interesa no
es la de las tasas observadas en el mercado, sino que el subyacente es las tasas con las que se realiza el
cálculo de las tasas acreditadas, que como ya se mencionó en un capítulo anterior, se pueden aproximar
48
como un promedio móvil (ya sea simple o exponencial) de las tasas observadas en el mercado. Supongamos
pues (sin conceder) que se cumplen los supuestos de log-normalidad y procedamos a la valuación de los
activos.
A continuación obtenemos la media y la varianza muestrales de estas series, resultando en la siguiente tabla:
Tabla 8
k
µ
σ
0.25
-0.0177
0.1037
0.5
-0.0389
0.1663
0.75
-0.0565
0.2155
1
-0.0692
0.2506
1.25
-0.0787
0.2699
1.5
-0.0888
0.2853
1.75
-0.1031
0.2944
2
-0.1190
0.2936
Fuente: Elaboración propia con información Bloomberg de tasa spot de Bonos M a tres meses del 30 de septiembre del 2002 al 8 de
mayo del 2015.
Asumiremos (sin conceder) a continuación, que 𝑅𝑘 tiene distribución log-normal, por lo que los parámetros
obtenidos son los parámetros correspondientes a la esta distribución. Notemos en la tabla anterior que el
valor de las 𝜇 es negativo en todos los casos. Esto significaría que el valor esperado del rendimiento es
negativo, lo cual significa que la tasa de interés, a la larga, mostrará un comportamiento decreciente. Lo que
no significa es que este modelo represente la posibilidad de tasas de interés negativas 𝜇𝑘 . Este resultado es
natural pues como se puede observar en la gráfica la tendencia durante la muestra es claramente a la baja.
Supongamos que la garantía de tasa aplica solamente sobre el la prima básica, de tal manera que el fondo
de reserva en cada periodo sea constante, el cual expresaremos en términos de $1,000 para obtener el valor
de esta garantía de tasa expresada al millar. El único dato que hace falta es el de las tasas libres de riesgo a
cada plazo. Para este dato tomaremos las tasas spot de Bonos M como se muestra a continuación:
Tabla 9
Plazo
Bonos M (spot)
3M
3.2590
6M
3.3840
9M*
3.5000
12M
3.6160
15M*
3.7553
18M*
3.8945
21M*
4.0338
24M
4.1730
* Estimado mediante interpolación lineal
Fuente: Elaboración propia con información de Bloomberg.
66
De esta forma se determina usando el modelo de Black el valor de cada una de las opciones, considerando
que el nivel de la tasa a la fecha de valuación (8 de mayo del 2015) fue de 3.2590%.
Tabla 10
d1
d2
Fondo
p (al millar)
3M
22.46
22.41
1,000.00
0.00000
6M
9M
9.77
9.66
1,000.00
0.00000
6.12
5.93
1,000.00
0.00000
12M
4.56
4.31
1,000.00
0.00000
15M
3.81
3.50
1,000.00
0.00004
18M
3.30
2.95
1,000.00
0.00034
21M
2.96
2.57
1,000.00
0.00130
24M
2.77
2.35
1,000.00
0.00267
Fuente: Elaboración propia.
66
El modelo de Black para floors de tasa asume que como ya se mencionó que el pago está diferido, por lo
que se propone un ajuste a la fórmula para considerar esta característica. Sin embargo usaremos el modelo
sin el ajuste, pues en los seguros flexibles la acreditación sobre el fondo se realiza de inmediato al conocerse
la tasa subyacente.
49
De esta forma podemos ver que la suma de todas las opciones de venta es de $0.00435, de tal manera que si
el valor del fondo es de $100,000, el costo de la garantía es de $0.435. Es interesante notar cómo el valor de
la las opciones de venta se incrementa exponencialmente conforme se incrementa el plazo, teniendo la
opción con vencimiento de dos años un valor de $0.00267 representando el 61% del total de la garantía. De
hecho, si incorporamos un periodo más, es decir una opción o floorlet con fecha de vencimiento de 27 meses,
tal sólo dicho floorlet tendría un costo de $0.00418, monto similar al valor del floor completo. Al extender la
garantía un año adicional, es decir por tres años se tiene que el valor de ésta es de $0.0269 al millar.
Tabla 11
d1
d2
Fondo
p (al millar)
3M
22.46
22.41
1,000.00
0.00000
6M
9M
9.77
9.66
1,000.00
0.00000
6.12
5.93
1,000.00
0.00000
12M
4.56
4.31
1,000.00
0.00000
15M
3.81
3.50
1,000.00
0.00004
18M
3.30
2.95
1,000.00
0.00034
21M
2.96
2.57
1,000.00
0.00130
24M
2.77
2.35
1,000.00
0.00267
27M
2.63
2.20
1,000.00
0.00418
30M
2.56
2.13
1,000.00
0.00515
33M
2.51
2.07
1,000.00
0.00585
36M
2.43
1.99
1,000.00
0.00736
Fuente: Elaboración propia
Recordemos que este cálculo ignora el hecho de que las tasas que se obtienen influyen en el saldo del fondo
de reserva. Esto resultaría válido en el caso en el que tanto las aportaciones adicionales como los intereses
que se generen sobre el fondo básico se contabilicen en un fondo separado que no cuente con la garantía de
tasa.
A continuación realizamos un ejercicio en el que se garantiza la tasa sobre un saldo inicial del fondo de
$1,000, pero la tasa va garantizando sobre el fondo incrementado en una proporción 𝑦. Esto es, que el fondo
en el segundo periodo tiene un valor de 1,000 ∗ 1.01 = 1,010, en el tercero de 1,010 ∗ 1.01 = 1,020.1 y así
sucesivamente, es decir 𝐹𝑜𝑛𝑑𝑜𝑡 = 𝐹𝑜𝑛𝑑𝑜𝑡−1 ∗ (1 + 𝑦). A continuación, fijando 𝑦 igual a la tasa garantizada
(𝑦 = 𝑅𝐾 ) mostramos la tabla en la que se muestra el valor de capa floorlet para el ejemplo de la garantía a
2 años.
Tabla 12
d1
d2
Fondo
p (al millar)
3M
22.46
22.41
1,000.00
0.00000
6M
9.77
9.66
1,010.00
0.00000
9M
12M
15M
6.12
4.56
3.81
5.93
4.31
3.50
1,020.10
1,030.30
1,040.60
0.00000
0.00000
0.00004
Fuente: Elaboración propia
18M
3.30
2.95
1,051.01
0.00036
21M
2.96
2.57
1,061.52
0.00138
24M
2.77
2.35
1,072.14
0.00286
De esta manera el valor total de la garantía resulta de $0.00464 al millar, un incremento de alrededor del
6.6%. De forma similar, el incremento que genera esta modalidad sobre la garantía a 3 años es de alrededor
de 9.6%, incrementándose a $0.02949 al millar.
A continuación analizaremos si la característica de la periodicidad tiene algún efecto en el valor de la
garantía. En primer lugar notemos que éste es la suma de todas las opciones de venta que existen en el
periodo completo, por lo que a mayor frecuencia de acreditación mayor es el número de opciones que
contiene la garantía. Sin embargo recordemos que en el cálculo de cada opción la fórmula contiene un
componente 𝛿𝑘 , el cual considera el tiempo que transcurre en cada periodo de acreditación, por lo que no
podría decirse que si multiplicamos el número de periodos por tres (en este caso pasar de acreditación
trimestral a mensual) el costo vaya a incrementarse en la misma proporción, es decir, tres veces. Veamos
primero qué es lo que sucede al realizar un cambio y posteriormente comentaremos los resultados.
50
Tomemos como base el caso en el que se tiene una garantía por dos años con periodicidad trimestral de
acreditación sobre un fondo base constante. Recordemos que el valor de esta garantía bajo el modelo de
Black es de $0.00435. Si valuamos ahora la garantía realizando el único cambio de que la periodicidad sea
semestral (ver tabla). En este caso, el valor de la garantía resulta de $0.00602, es decir se encarece.
Tabla 13
6M
d1
d2
Fondo
p (al millar)
9.77
9.66
1,000.00
0.00000
12M
4.56
4.31
1,000.00
0.00000
18M
3.30
2.95
1,000.00
0.00068
24M
2.77
2.35
1,000.00
0.00534
Fuente: Elaboración propia
Para comprender mejor lo que está pasando, vale la pena analizar el costo de cada floorlet. En el caso
trimestral se calcula el valor de 8 floorlets en donde cada uno tiene vencimientos de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 y
24 meses, mientras que en el caso semestral se calcula el valor de 4 floorlets en donde cada uno tiene
vencimientos de 6, 12, 18 y 24 meses. Comparemos el valor del floorlet con vencimiento de 24 meses para
cada uno de los casos. El correspondiente a la periodicidad trimestral tiene un costo de $0.00267 (ver tabla
10) mientras que el correspondiente a la periodicidad semestral tiene un costo de $0.00534 (ver tabla 13).
¿Por qué dos opciones con los mismos supuestos y con la misma fechas de vencimiento tienen valores
diferentes? La razón es porque en caso de ejercerse la garantía en el primer caso, ésta se acreditaría sobre
un periodo de tres meses, mientras que la segunda lo haría sobre un periodo de 6 meses. Recordemos
también que en la práctica la tasa acreditada se aplica sobre el periodo anterior, por lo que la opción de
venta con periodicidad semestral con vencimiento de 24 meses aplicaría sobre el saldo del fondo al periodo
18. Por ende, para compararla con su contraparte trimestral hay que tomar en cuenta que su comparable
sería en realidad la suma de las dos opciones retroactivas, de 21 y 24 meses, es decir tendríamos que
comparar $0.00534 con $0.00138 + $0.00286 = $0.00424. Así, el incremento exponencial que se observa
en los floorlets junto con la ventana de tiempo retroactiva sobre la que aplica la tasa, provocan que
conforme se incrementa su fecha de vencimiento, para la acreditación semestral la opción “cara” aplique
sobre los meses 18-24, mientras que para la acreditación trimestral aplica una opción “cara” durante los
meses 21-24 y una opción “más barata” durante los meses 18-21.
Sin embargo el análisis anterior nos ayuda a comprender mejor la valuación de estas opciones, pero en
realidad tendríamos que ajustar el modelo a las condiciones del contrato, por lo que tendría que hacerse con
una periodicidad mensual, como sucede en la práctica.
Por último, asumiremos que algunos cambios en la tasa garantizada, para observar cómo se encarece
significativamente el valor de ésta conforme las opciones están más “dentro del dinero”. En este caso
tenemos una garantía por dos años con periodicidad trimestral de acreditación sobre un fondo base
constante. En el caso de incrementar la garantía a 1.5% tenemos un valor de $1.10205 al millar y al
incrementarla a 2.0% se obtiene un valor de $0.64706 al millar. Recordemos como referencia que el valor de
una garantía de 1.0% era de $0.00435.
Así, si se modeliza la reserva para este tipo de productos mediante la proyección de flujos, se requiere la
proyección del fondo, en cuyo caso podemos aplicar esta técnica de valuación para aproximar el valor de la
garantía. Sin embargo hay que tomar en cuenta que hay rescates por parte de los asegurados, aunque como
51
se mencionó, este comportamiento resulta muy heterogéneo y difícil de modelizar. Ahora bien, los rescates
suceden también en los productos tradicionales, en cuyo caso en du valuación se considera que este riesgo es
tan diversificable como el riesgo de mortalidad, por lo que el cálculo de mejor estimador considera los
valores promedio de las cancelaciones. En el caso de los seguros flexibles la tasa de cancelación depende no
sólo de la antigüedad de la póliza, sino también puede variar con la edad del asegurado, por el factor de
contribuciones, tamaño de la póliza, tipo de producto, o la cantidad de cobertura del seguro (Cunningham,
Herzog, & London, 2012). Por esta razón los modelos teóricos y todos los supuestos que requieren para
modelizar de manera adecuada todas las características del contrato, en ocasiones se quedan cortos con
respecto a otras herramientas disponibles, como los modelos estocásticos, ya sea con comportamiento
estático o dinámico como se analizará más adelante.
Con respecto a la valoración del impacto de estas opciones en el requerimiento de capital, no se cuenta por
el momento con una fórmula cerrada para la determinación del percentil, por lo que no nos resulta útil para
el cálculo del RCS determinado como VaR. Por último, cabe mencionar que una de las ventajas de este
método teórico es que nos permite analizar sus Griegas, de tal forma que podamos darnos una idea sobre la
sensibilidad que tiene este valor ante cada una de las variables que lo componen.
Este método, a pesar de ser muy sencillo para el cálculo del valor de la reserva, está basado en una gran
cantidad de supuestos que lo hacen poco útil, por lo cual exploraremos alternativas a continuación.
Modelos estocásticos
Habiendo presentado las limitantes de los modelos teóricos para la valuación de las opciones contenidas en
una garantía de tasas, consideraremos ahora la simulación Monte Carlo para analizar sus bondades y
limitantes.
Como ya se mencionó, estas herramientas nos permiten analizar no sólo una variable subyacente de
mercado, sino varias, así como la dependencia que pudiera existir entre ellas. Recordemos también que los
principios para el cálculo de MCEV requieren la modelización estocástica (AAA, 2011), al mencionar
explícitamente que “La asignación para el valor temporal de las opciones y garantías financieras se debe
basar en técnicas estocásticas usando métodos y supuestos consistentes con el valor intrínseco subyacente”.
Para comenzar a usar estos métodos, debemos primero analizar todas las variables que serán consideradas
como estocásticas en el modelo. Evidentemente, siendo el origen de todo el riesgo financiero a analizar, es
indispensable considerar como estocástica a la tasa subyacente. Asimismo, como ya se comentó, el
comportamiento del asegurado influye de manera significativa en el valor de la garantía, por lo que esta será
otra variable. Con estos elementos podemos comenzar, para posteriormente analizar la incorporación de
otras variables en la modelización.
Comenzaremos analizando la tasa subyacente. Tomemos como referencia la modelización que contiene la
fórmula general para el cálculo del RCS, en donde como se menciona en el anexo 6.3.3 el valor al tiempo 𝑡
del fondo de inversión que respalda a los instrumentos flexibles 𝐹𝑡 se puede modelizar de forma similar a
como se hace para los instrumentos de renta variable, es decir, con un proceso Browniano geométrico con
coeficiente de deriva instantáneo 𝜇𝐹 y volatilidad 𝜎𝐹 . De esta forma, el precio de tal fondo de inversión toma
la siguiente expresión:
𝜎𝐹
𝐹(𝑡) = 𝐹(0)𝑒 {(𝜇𝐹− 2 )∙𝑡+𝜎𝐹 𝑊(𝑡)}
52
67
En donde 𝑊(𝑡) es un movimiento Browniano estándar .
Otra opción es la de modelizar directamente al nodo de la tasa de interés más representativa con un proceso
estocástico, para con base en ella usar la aproximación propuesta para la tasa acreditada asumiendo una
tasa constante de crecimiento de dinero nuevo. Existen varios modelos populares para modelizar estos
procesos, como el Browniano Geométrico, el modelo Rendelman-Bartter, el modelo Vasicek y el modelo CoxIngersoll-Ross (CIR), cada uno de los cuales presenta distintas características, como se muestra a
continuación (McDonald, 2006):
Tabla 14
Modelos de tasas de interés
Browniano aritmético
Rendelman-Bartter
(Browniano geométrico)
Vasicek
CIR
Características
Las tasas pueden ser negativas
Tendencia constante (no presenta reversión a la media)
Volatilidad constante, tanto si las tasas son altas o bajas)
Tanto media como varianza son proporcionales al nivel de la tasa
Las tasas no pueden ser negativas
Las tasas pueden ser arbitrariamente altas
No presenta reversión a la media
Reversión a la media
La varianza es constante
Las tasas pueden ser negativas
Reversión a la media
La varianza es proporcional a la raíz cuadrada de la tasa
Las tasas no pueden ser negativas
Fuente: Elaboración propia
Debido a que una propiedad importante de las tasas de interés es que muestran reversión a la media,
consideraremos como más adecuados los modelos Vasicek y CIR. Ambos modelos ofrecen una metodología
de representación afín de la estructura temporal de tasas.
La propiedad que presenta el modelo de Vasicek de permitir tasas negativas podría parecer una desventaja
frente al modelo CIR. Sin embargo, el entorno de bajas tasas de interés que se ha vivido en los años recientes
68
ha mostrado algunos casos de tasas negativas . En el presente documento no ahondaremos sobre qué
modelo resulta más conveniente para modelizar el proceso estocástico de tasas de interés, sino que
usaremos el modelo que usa la fórmula general para el cálculo del RCS, que es el modelo Vasicek. Cabe
mencionar que la fórmula general usa un modelo Vasicek de tres factores, pues su finalidad es capturar de
mejor manera las formas que las curvas de tasas de interés llegan a tomar. Sin embargo para fines de
simplicidad y entender la utilidad de estos modelos usaremos un modelo Vasicek simple. De esta forma la
tasa a vencimiento del nodo al tiempo 𝑖, 𝑇𝑉𝑖 , que mejor represente el portafolio de activo se puede expresar
con la ecuación diferencial estocástica
67
Omitimos aquí la dependencia que existe entre los movimientos Brownianos de diferentes instrumentos.
Esto se ha observado en diversos países de la Eurozona. JP Morgan estimó que alrededor de €1.5 billones
(en EUA serían trillones) de deuda en la Eurozona se comercializa a tasas negativas en un número creciente
de países, incluyendo Alemania, Austria, Dinamarca, Finlandia, Holanda y Suiza, no solo en el mercado
secundario, sino que también en las emisiones primarias (El-Erian, 2015). El primer caso que se dio fue el de
68
Alemania. En febrero del 2015 vendió €3.281 millardos de bonos gubernamentales a cinco años a una tasa
promedio de -0.08%.
68
53
𝑑𝑇𝑉𝑖 (𝑡) = 𝛼𝑖 (𝛽𝑖 − 𝑇𝑉𝑖 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑖 𝑑𝑊(𝑡),
en donde
𝑇𝑉𝑖 (0)
𝛼𝑖
𝛽𝑖
𝜎𝑖
𝑊(𝑡)
es la tasa observada más recientemente en el mercado para el nodo 𝑖
es un parámetro que refleja la velocidad de reversión a la media
es un parámetro la media a la cual revierte el proceso
es un parámetro de volatilidad del proceso
69
es un movimiento Browniano estándar
A continuación mostramos el proceso de simulación mediante este proceso. La estimación de parámetros se
hizo mediante máxima verosimilitud.
Gráfico 8 – Histórico y simulación de Bonos M a 3 meses
12%
10%
8%
6%
4%
2%
01-dic-03
01-may-04
01-oct-04
01-mar-05
01-ago-05
01-ene-06
01-jun-06
01-nov-06
01-abr-07
01-sep-07
01-feb-08
01-jul-08
01-dic-08
01-may-09
01-oct-09
01-mar-10
01-ago-10
01-ene-11
01-jun-11
01-nov-11
01-abr-12
01-sep-12
01-feb-13
01-jul-13
01-dic-13
01-may-14
01-oct-14
01-mar-15
01-ago-15
01-ene-16
01-jun-16
01-nov-16
01-abr-17
0%
Fuente: Histórico con información de Bloomberg. Simulación, elaboración propia con modelo Vasicek usando los parámetros
alpha=0.512, beta=4.231%, sigma=0.0143, 𝑇𝑉0 =3.26%
De esta forma podemos simular un proceso de tasas de interés, y obtener así como función de la trayectoria
de éste, la aproximación propuesta para la tasa acreditada asumiendo una tasa constante de crecimiento de
dinero nuevo. A continuación presentamos la gráfica de una trayectoria simulada y sus correspondientes
SMA(4) y 𝐸𝑀𝐴(.25).
69
Omitimos, de nuevo, la dependencia que existe entre los movimientos Brownianos de diferentes
instrumentos.
54
Gráfico 9 – Relación entre la tasa a vencimiento simulada y sus promedios móviles
(a) Muestra 1
(b) Muestra 2
Fuente: Elaboración propia
De esta forma podemos ver cómo el promedio móvil simple tiene una reacción mucho más lenta que el
subyacente, mientras que el promedio móvil exponencial reacciona un poco más rápido a estos movimientos.
A continuación vamos valuar la opción. En este caso no se requiere valuar cada uno de los caplets por
separado, sino que podemos valuar la opción completa. Seguiremos los pasos mencionados en la sección de
Simulación Monte Carlo:
1) Muestrear una trayectoria aleatoria para 𝑇𝑉3𝑀 en un mundo neutral al riesgo.
2) Posteriormente determinar la tasa acreditada como función de esta trayectoria mediante una
aproximación 𝐸𝑀𝐴(𝛼). Este valor es el subyacente.
3) Calcular el pago del derivado. Cada mes se determina si la tasa subyacente es menor a la tasa
garantizada. De ser así se calcula el pago cuyo valor es igual al monto nocional por la diferencia de
la tasa. El pago se asume que se realiza en ese momento.
4) Repetir los pasos (1) y (2) para obtener muchos valores muestrales del pago del derivado en un
mundo neutral al riesgo. En este caso estamos muestreando 100,000 escenarios.
5) Descontar el pago esperado a la tasa libre de riesgo para obtener el valor presente del pago del
derivado.
6) Calcular el promedio de las muestras del valor presente del pago para obtener un estimado del valor
de la garantía en un mundo neutral al riesgo.
En primer lugar y para fines comparativos, haremos este procedimiento con una tasa garantizada de 1.0% y
con 𝛼 = 1.0. Este valor de 𝛼 lo usamos para que el promedio móvil exponencial sólo considere el valor más
reciente, de tal manera que podamos comparar este ejemplo con el resultado obtenido mediante la fórmula
de Black. El resto de los supuestos es el mismo, es decir, se asume una garantía de tasa por dos años con
periodicidad trimestral y que el valor del fondo permanece constante.
Es importante notar que al correr cada simulación arroja un resultado distinto. Mientras más grande es el
número de muestras, el resultado se vuelve más estable. En este caso se calcularon 100,000 muestras en
cada simulación. El resultado de esta simulación arroja que el valor de la garantía es de $0.00841. A
continuación mostramos una tabla de resultados en donde se comparan éstos con los obtenidos mediante el
modelo de Black:
55
Tabla 15 – Precios de la garantía (al millar)
Tasa Garantizada
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
3.5%
4.0%
Modelo de Black
0.00435
0.10205
0.64706
2.23800
5.60128
11.80325
19.98241
Simulación Monte Carlo
0.07
0.22
0.59
1.48
3.47
6.93
12.31
Margen de error
7.4%
4.7%
3.0%
2.1%
1.5%
1.0%
0.8%
70
Fuente: Elaboración propia
A continuación algunos comentarios. En primer lugar, los modelos no son los mismos, por lo que los
resultados no pueden ser directamente comparables. Esto es debido a que el modelo de Black asumió lognormalidad y usamos un par de parámetros de media y desviación para cada nodo, es decir, usamos 16
parámetros (2 por cada nodo, y 8 nodos por dos años con periodos trimestrales). Esto no necesariamente se
compara con el modelo Vasicek con los parámetros propuestos, en el que usamos 3 parámetros, pues éstos
no fueron estimados para resultar en un modelo similar al de Black.
Habiendo hecho esa aclaración, podemos comparar los resultados solo con la finalidad de analizar las
sensibilidades de un modelo y de otro, y no con la finalidad de comparar directamente los precios obtenidos.
Como se puede ver, el modelo de Black ofreció precios que van desde $0.004 hasta los $20, mientras que la
simulación arrojó un rango menor de precios, desde $0.07 hasta $12.31. Asimismo podemos observar cómo
el margen de error se va reduciendo conforme la opción está más dentro del dinero.
Ahora bien, incorporemos la aproximación 𝐸𝑀𝐴(0.15) para modelizar mejor el comportamiento de la tasa
acreditada, que no responde directamente de la misma manera que las tasas de mercado. A continuación
observamos los precios seguidos del margen de error cambiando la garantía y los parámetros de 𝛼:
Tabla 16
Garantía
2.0%
2.5%
3.0
𝜶 = 𝟎. 𝟓𝟎
Precio Margen
0.46
0.8%
1.24
2.3%
2.98
1.6%
𝜶 = 𝟎. 𝟐𝟓
Precio Margen
0.29
4.3%
0.85
2.7%
2.32
1.8%
𝜶 = 𝟎. 𝟏𝟎
Precio Margen
0.07
6.7%
0.34
3.6%
1.36
2.0%
Fuente: Elaboración propia
Como es de esperarse, debido a que un menor parámetro 𝛼 provoca que la tasa acreditada reaccione más
lentamente, esto disipa el efecto de la volatilidad, “abaratando” la garantía.
Una de las grandes ventajas de usar la simulación de Monte Carlo, como se mencionó anteriormente, es que
permite modelizar situaciones más complejas. En este caso vamos a modelizar el crecimiento del fondo con
base en la tasa acreditada, es decir, el fondo de reserva irá creciendo con base en:
70
Debido a que el estimador de la media es la media muestral, que tiene distribución Normal, se puede
calcular con facilidad el intervalo de confianza al 95% para el valor de la garantía. Para calcular el margen de
𝜎̅
[1.96( 𝑋 )]
𝜎̅
𝑁
error se usa la siguiente fórmula: 2 ∙
. En donde 𝑋 es el error estándar del estimador, 𝑁 es el
𝑋̅
𝑁
tamaño de la muestra, 1.96 es el factor de confianza de una distribución normal a dos colas al 95%, y el dos
debido a que el intervalo de confianza es equidistante.
56
𝑇𝐴𝑛 = 𝑚𝑎𝑥[𝐸𝑀𝐴(𝛼), 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎]
Usaremos en este caso el parámetro 𝛼 = 0.25 y mostraremos el precio y el margen de error al cambiar la
tasa garantizada, y compararemos los resultados con su versión pasada, de en donde el fondo permanecía
constante:
Tabla 17
Garantía
2.0%
2.5%
3.0%
Fondo Constante
Precio Margen
0.29
4.3%
0.87
2.7%
2.35
1.8%
Fondo Creciente
Precio Margen
0.33
4.7%
0.97
3.0%
2.58
1.9%
Fuente: Elaboración propia
Como era de esperarse, el hecho de que el fondo no sea constante encarece la garantía, pues ésta aplica
cada vez sobre una base más alta. Recordemos que el supuesto de fondo constante se introdujo con la
finalidad de que la garantía se asemejara más a un floor, en el que todos los floorlets aplican sobre el mismo
valor nocional. Las ventajas de los modelos estocásticos nos permiten eliminar este supuesto y alejarnos de
un derivado tradicional.
Adicionalmente, este tipo de modelos permiten estimar no sólo el valor esperado, sino también el valor en
riesgo. A continuación se puede observar el VaR al 99.5% de confianza para el ejemplo que hemos venido
siguiendo, con 𝐸𝑀𝐴(0.25), el cual es indispensable para la determinación del capital requerido:
Tabla 18
Garantía
Fondo Constante
2.0%
2.5%
3.0%
VaR
10.27
16.88
24.43
Margen
7.9%
6.4%
4.3%
71
Fondo Creciente
VaR
11.33
18.43
26.95
Margen
8.3%
6.8%
3.9%
Fuente: Elaboración propia
Como se puede ver, para el caso del fondo creciente con garantía de 2.5%, mientras que el valor esperado es
de $0.97 por cada mil pesos, el valor en riesgo es de 18.43. El margen de error resulta en este caso mayor,
debido a que como se había comentado la estimación del VaR es más inestable por lo que requiere un
número mayor de muestras. En este caso se mantuvo fijo el tamaño de la simulación, pero si se busca un
margen de error objetivo, se puede incrementar el número de muestras hasta alcanzarlo.
Por último, recordemos que existe el riesgo nada despreciable de que el asegurado realice aportaciones
adicionales o bien rescate parcial o totalmente su póliza. Pasemos a la siguiente sección, en la cual
modelizamos de manera dinámica el comportamiento de los asegurados con relación a las tasas de interés
disponibles en el mercado.
Modelos estocásticos con comportamiento dinámico
71
El cálculo del margen de error es distinto en este caso debido a que la distribución del VaR no es Normal
como lo es la de 𝑋̅. Hay diversas maneras de determinarlo. En este caso nos basamos en la metodología
usada por (Klugman, Panjer, & Willmot, Loss Models, 2012), la cual no replicamos aquí.
57
Como ya se ha mencionado, uno de los factores más importantes en la valoración del riesgo en los productos
flexibles con garantías de tasa, además de la tasa de interés subyacente, es el comportamiento de los
asegurados. En la sección anterior modelizamos una pequeña parte del comportamiento de los asegurados
de manera indirecta mediante la tasa de crecimiento de dinero nuevo. Esto es, que si asumimos que las
aportaciones en cada periodo son constantes, podemos modelizar la tasa acreditada con un 𝑆𝑀𝐴(𝐷𝑝 )
mientras que si asumimos que la tasa de crecimiento es constante, podemos modelizar la tasa acreditada
con un 𝐸𝑀𝐴(𝛼). Sin embargo esto depende más de las estrategias comerciales de la compañía y no tanto de
las decisiones de inversión del asegurado. Es de gran importancia considerar que el comportamiento de los
asegurados es dinámico, lo que significa que el comportamiento no es el mismo con el tiempo, sino que
depende de otros factores. Entre ellos, la misma tasa de interés.
Recordemos que la regulación mexicana reciente a través de la LISF dicta en su artículo 218 fracción I inciso
(i) que la valuación de reservas debe considerar “el monto de los valores garantizados, así como el de las
posibles opciones para el asegurado o beneficiario, incluidas en los contratos de seguro”, usando supuestos
realistas de probabilidad, considerando de manera explícita o implícita “las consecuencias que futuros
cambios en las condiciones financieras y de otro tipo puedan tener sobre el ejercicio de tales opciones”.
Este punto en particular sugiere el uso de los modelos con comportamiento dinámico, de los cuales
ahondaremos más adelante.
En una encuesta realizada por la Sociedad de Actuarios de los EUA, muestra que la gran mayoría de las
aseguradoras usan caducidad dinámica para los beneficios de supervivencia, habiendo crecido el porcentaje
83% en 2005 a 90% en 2009 (SOA, 2009). El fenómeno de caducidad dinámica refleja el fenómeno de que los
asegurados tienden a no cancelar sus pólizas cuando las garantías implícitas en sus contratos están “dentro
del dinero” (Xue, 2010), que en el caso de la garantía de tasa significa que el valor de la garantía excede el
valor de la tasa subyacente. Sin embargo, debido a que las aseguradoras tienen la facultad de calcular la
tasa acreditada, el asegurado no puede observar directamente el subyacente, por lo que no es tan fácil para
él el tomar una decisión de este tipo. Sin embargo, lo que sí es observable para el asegurado es la tasa que se
le ha acreditado en su estado de cuenta más reciente, y puede observar en el mercado las tasas a las que
podría invertir su dinero, ya sea rescatando su póliza o bien, si los cargos por rescate son altos dejando de
invertir para invertir en otros productos con mayor tasa.
De esta forma tenemos que el comportamiento del asegurado, ya sea mediante aportaciones adicionales o
mediante la caducidad o cancelación de la póliza, depende en gran medida de la tasa a la que pueda invertir
su dinero en otras alternativas de inversión. Se presentan mayores oportunidades de arbitraje cuando el
cálculo de la tasa acreditada es a vencimiento, ya que como se mencionó, la reacción de la tasa acreditada
ante las tasas del mercado es lenta, brindando al asegurado la oportunidad de buscar alternativas cuando
las tasas van a la alza, o beneficiarse de la tasa acreditada cuando las tasas van a la baja.
Modelos para capturar la relación que existe entre las tasas de interés y la caducidad han sido propuestos en
el contexto de anualidades. Un ejemplo concreto propone la siguiente relación (Xue, 2010):
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 ∙ 𝑒
𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜
2[𝑚𝑖𝑛(
,1)−1]
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜
El valor garantizado en el contexto de anualidades se puede ampliar al contexto que nos ocupa. Lo que nos
interesa modelizar en realidad es el saldo del fondo de reserva. Este se ve afectado por las deducciones
58
(mortalidad y gastos), por los intereses acreditados y por las aportaciones o rescates. El efecto de los
intereses acreditados al fondo ya fue atendido en la sección anterior. El tema que nos ocupa ahora es el
comportamiento del asegurado. En primer lugar, entendamos las relaciones básicas. Como ya se mencionó,
la acreditación de tasa a vencimiento presenta oportunidades de arbitraje para el asegurado, de tal manera
que en un contexto de racionalidad financiera, se esperaría que un incremento en la tasa de interés conlleve
a rescates mientras que un decremento en las tasas de interés conlleva a aportaciones adicionales. Es
importante mencionar que un nivel alto y sostenido de tasas no ocasiona más rescates, debido a que el
arbitraje se presenta cuando las tasas se mueven y la tasa acreditada no lo hace a la misma velocidad. En el
caso de niveles altos y sostenidos, se esperaría que la tasa acreditada sea similar a la tasa de mercado. Por
otro lado, el caso de las tasas bajas es distinto, pues al haber tasas bajas se puede estar cerca del dinero o
incluso dentro del dinero, en cuyo caso existen incentivos importantes para mantener la póliza y las
garantías que contiene.
Propuesta de modelo para la tasa de aportaciones
Definamos al fondo de reserva al tiempo 𝑡 como 𝐹𝑅(𝑡). Por otro lado, asumamos por simplicidad que este
fondo recibe aportaciones y retiros de manera continua y que no tiene afectaciones por ninguna otra causa
(incluidos los intereses). De esta forma se puede definir la fuerza de aportación al tiempo 𝑡, 𝐴𝑡 de manera
equivalente a la fuerza de interés:
𝐴(𝑡) =
𝑑
𝐹𝑅′ (𝑡)
𝑙𝑛 𝐹𝑅(𝑡) =
𝑑𝑡
𝐹𝑅(𝑡)
En este contexto, la tasa de aportaciones puede ser negativa (en caso de rescates) o positiva (en caso de
aportaciones). De esta forma,
𝑡
𝐹𝑅(𝑡) = 𝐹𝑅(𝑠) ∙ 𝑒 ∫𝑠 𝐴(𝑢)𝑑𝑢
con 𝑠 < 𝑡.
Resulta sin embargo inverosímil asumir que tanto los rescates como las aportaciones se dan a una tasa
continua. Sin embargo asumiremos que nos referimos a una cartera grande de asegurados de tal forma que
72
el supuesto resulta más adecuado . Definimos a la ecuación diferencial estocástica de 𝐴 de la siguiente
manera:
𝑑𝐴 = {𝛾 + 𝜃(𝛿 − 𝐴)}𝑑𝑡 + 𝜎𝐴 𝑑𝑊(𝑡)
con
𝛾 = 𝑐[𝐸𝑀𝐴 𝑇𝑉𝑡 (𝛼) − 𝑇𝑉𝑡 ]
en donde similar al modelo de Vasicek:
𝜃
es un parámetro de velocidad de reversión a la fuerza de aportación base
72
En caso de suponer que las portaciones se dan en tiempo discreto, podemos ver este ejemplo similar a los
estudiados por la teoría de ruina o de forma más general el proceso Lévy, con la adecuación de que los
reclamos pueden ser negativos (aportaciones) y los rescates están entre 0 y 100%.
59
𝛿
𝜎𝐴
es el parámetro de la fuerza de aportación base
es el parámetro de volatilidad de la fuerza de aportación
Pero incorporamos un factor de arbitraje 𝛾, el cual depende de la diferencia entre la tasa acreditada
(aproximada por un promedio móvil exponencial) y la tasa a vencimiento más disponible en el mercado, así
como una constante que representa la fuerza de reacción al arbitraje, 𝑐. Se propone un modelo similar al de
Vasicek debido a la conveniencia en este caso de las tasas negativas (rescates). De hecho, la fuerza de
aportación podría ser cero o incluso negativa. Con la finalidad de disminuir el número de parámetros en el
modelo, resulta razonable fijar el parámetro 𝛿 = 0 de tal forma que se asume que en ausencia de arbitraje el
estado natural de los asegurados es el de no realizar aportaciones ni rescates. De esta forma la ecuación se
reduce a
𝑑𝐴 = {𝛾 − 𝜃𝐴}𝑑𝑡 + 𝜎𝐴 𝑑𝑊(𝑡)
y los parámetros a estimar serían solo 𝑐, 𝜃 y 𝜎𝐴 .
Una vez definida esta ecuación, se puede determinar el saldo del fondo considerando la tasa acreditada de la
siguiente manera:
𝑡
𝐹𝑅(𝑡) = 𝐹𝑅(𝑠) ∙ 𝑒 ∫𝑠 [𝑇𝐴(𝑢)+𝐴(𝑢)]𝑑𝑢
en donde 𝑇𝐴(𝑡) es la tasa instantánea de acreditación de interés al fondo.
Como se ha mencionado con anterioridad, la acreditación de la tasa se hace de manera periódica. De esta
forma podemos definir al proceso 𝑇𝐴(𝑡) de la siguiente manera:
𝑇𝐴(𝑡) = 𝑇𝐴𝑛
𝑛−1 ≤𝑡 < 𝑛
Usaremos esta ecuación diferencial estocástica para por medio de simulación determinar tanto el valor
esperado de la garantía como su valor en riesgo. Primero usaremos los parámetros
Tasa de rendimiento anual
Gráfico 10 – Modelización estocástica con comportamiento dinámico de las aportaciones
6.0%
15.0%
5.0%
10.0%
4.0%
5.0%
3.0%
0.0%
2.0%
-5.0%
1.0%
-10.0%
0.0%
-15.0%
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Tasa mercado
EMA(0.25)
A(t)
1,100
1,090
1,080
1,070
1,060
1,050
1,040
1,030
1,020
1,010
1,000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Fondo sin garantía
Fondo con garantía
(a) Muestra de la fuerza de aportaciones con arbitraje
(b) Valor del fondo con y sin garantía
Fuente: Elaboración propia. Los parámetros Vasicek son alpha=0.512, beta=4.231%, sigma=0.0143, 𝑇𝑉0 =3.26%. Los parámetros de la
ecuación diferencial estocástica son 𝑐 = 100, 𝜃 = 0.5, 𝜎𝐴 = 0.05
60
La gráfica anterior se realizó con una garantía de 3.0% para mostrar el comportamiento en una sola
realización del proceso estocástico. En éste, en el panel (a) podemos ver lo siguiente:

Periodo 1: La tasa de mercado es más baja que la tasa acreditada, ocasionando un ligero
incremento en las aportaciones.

Periodo 2: La tasa de mercado continúa más baja que la tasa acreditada, sin embargo hay una
ligera reducción en las aportaciones, evidenciando el comportamiento estocástico del proceso

Periodos 3 y 4: La diferencia entre la tasa de mercado y la acreditada se acentúa, ocasionando un
ligero incremento de las aportaciones. Adicionalmente en el periodo 4 se activa la garantía, aunque
debido a que la diferencia es pequeña el efecto es imperceptible en el panel (b)

Periodo 5 al 7: La tasa de mercado se incrementa bruscamente, desactivando la garantía y
ocasionando aportaciones negativas (rescates)

Periodos 8 al 22: La tasa de mercado comienza una notable tendencia a la baja. Debido a que la
lentitud con la que se mueve la tasa acreditada aunado a la activación de la garantía, se generan
oportunidades de arbitraje, ocasionando aportaciones al fondo que alcanzan la tasa de 5% anual.
Esto provoca que poco a poco a partir de este periodo el fondo con garantía se distancie del fondo
sin garantía, lo cual se aprecia en el panel (b)

Periodos 23 y 24: Se cierra la diferencia entre la tasa de mercado y la tasa acreditada, llevando la
tasa de aportaciones a su valor base, que es cero.
A continuación mostramos otra muestra del proceso, en la que se puede apreciar cómo las tasas de rescate
son tan grandes que el fondo llega a disminuir en algunos casos:
Gráfico 11 – Modelización estocástica con comportamiento dinámico de las aportaciones
8.0%
15.0%
7.0%
10.0%
6.0%
5.0%
5.0%
4.0%
Fondo
1,100
1,050
0.0%
1,000
3.0%
-5.0%
2.0%
-10.0%
1.0%
0.0%
-15.0%
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Tasa mercado
EMA(0.25)
950
900
1
A(t)
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
Fondo
(a) Muestra de la fuerza de aportaciones con arbitraje
(b) Valor del fondo con garantía
Fuente: Elaboración propia. Los parámetros Vasicek son alpha=0.512, beta=4.231%, sigma=0.0143, 𝑇𝑉0 =3.26%. Los parámetros de la
ecuación diferencial estocástica son 𝑐 = 100, 𝜃 = 0.5, 𝜎𝐴 = 0.05
En la gráfica anterior se puede observar cómo el incremento brusco en las tasas que se da en los primeros 6
periodos ocasiona una tasa de rescates importante, alcanzando los niveles de casi 15% (al ser rescates
aparecen con signo negativo) y ocasionando que el fondo llegue a su nivel mínimo en el panel (b).
Posteriormente entre los periodos 9 y 16 se aprecia cómo el cierre de la brecha disminuye consigo los
incentivos para invertir en otras alternativas, llevando la fuerza de aportaciones a cero. Por último, a partir
61
del periodo 17 la tendencia a la baja de las tasas genera incentivos para aprovecharse de las tasas
acreditadas, generando aportaciones adicionales que alcanzan casi el 10% en algunos periodos.
Ahora bien, habiendo entendido lo que sucede con algunos de los escenarios y como es que la ecuación
diferencial estocástica propuesta para la fuerza de aportaciones definida, analicemos qué es lo que sucede
con el valor promedio de la garantía así como con el VaR. A continuación podemos apreciar las diferencias
entre los precios de la garantía considerando el comportamiento dinámico de las aportaciones.
Tabla 19
Garantía
Modelo estocástico
Modelo estocástico/dinámico
2.0%
2.5%
3.0%
Precio
0.33
0.97
2.58
Precio
0.33
0.99
2.63
VaR 99.5%
11.33
18.43
26.95
VaR 99.5
11.60
19.33
27.68
Fuente: Elaboración propia
Como se puede apreciar la diferencia a pesar de ser pequeña puede ser significativa. La diferencia en el
precio de la garantía de 2.5% es de tan sólo 2.1%. Si tomamos en cuenta que las aseguradoras tienen un
capital bastante pequeño con relación a sus reservas, un incremento en la reserva de 2% puede representar
una disminución importante en el margen de solvencia. Más aún, si adicionamos el hecho que el VaR
también se incrementa en 4.8%, esto puede incrementar el efecto negativo en la solvencia de la compañía.
La propuesta anterior permite modelizar sólo uno de los comportamientos dinámicos que se requiere
analizar. Sin embargo resulta ilustrativo para enfatizar el hecho de que estos modelos deben ser usados para
tener una valoración más completa de los riesgos a los que están expuestas las aseguradoras de vida en sus
productos de largo plazo.
Resulta de interés el analizar a mayor detalle las propiedades de la ecuación diferencial propuesta. Por un
lado, a diferencia de los modelos de Vasicek y CIR, no requieren de una representación afín cerrada, pues no
están relacionados directamente a la determinación de precios de bonos por lo que no tiene sentido pensar
en una curva de no arbitraje. Sin embargo podría haber propiedades atractivas que se escapan al análisis del
presente trabajo.
62
4.- Conclusiones
El presente trabajo se concentró en los productos flexibles con garantías de tasa. Si bien estos productos son
muy populares, es necesario revisarlos con detenimiento para ver si la rentabilidad compensa el riesgo que
conllevan. Se mostró cómo la garantía de tasa de los productos flexibles se puede ver como un instrumento
financiero derivado, que consiste en una serie de puts europeos, pero cuyo nocional es dependiente de la
trayectoria que tome el subyacente y los niveles de aportaciones o rescates que realicen los asegurados, y
por lo tanto, desconocido.
Se analizó con detenimiento los inconvenientes que puede presentar el cálculo de la tasa acreditada como un
promedio ponderado de las tasas a vencimiento, siendo ésta la práctica más común de la industria. Sin
embargo las diferencias de tasa no son tan significativas, pero este método conlleva a un problema de
descalce originado por la contabilidad a mercado de los activos, el cual puede resultar delicado debido a que
ocasiona pérdidas o ganancias no realizadas, es decir virtuales, pero que afectan directamente en las
fluctuaciones de los fondos propios de la compañía. Una práctica prudencial adecuada para las
aseguradoras, es la de mantener un margen adicional en su capital que amortigüe las fluctuaciones del
margen de solvencia, de tal manera que la probabilidad de insolvencia sea muy baja, aun con las
fluctuaciones mencionadas. De esta forma, el descalce virtual que se genera con la reciente regulación obliga
a las aseguradoras a revalorar los riesgos inherentes en estos productos.
La reciente regulación por otro lado menciona explícitamente que las opciones y garantías deben ser
consideradas en el cálculo de mejor estimador que se utiliza para las reservas. Para el caso de los productos
flexibles esto puede significar el valor del fondo de reserva (o bien el valor de rescate) más el valor esperado
de las garantías. Esto nos lleva a plantear mecanismos de valuación de dichas garantías. Un lugar natural
para buscar herramientas para hacer esto es la literatura financiera enfocada en los instrumentos derivados.
Sin embargo este trabajo mostró las limitantes que estas teorías tienen para la valuación de las garantías en
los productos de seguros.
Durante el desarrollo del contenido no se ahondó en ciertos aspectos que resultan muy relevantes para llevar
a cabo el proceso de valoración formal de estas obligaciones, como la verificación estadística de los
supuestos de normalidad, así como la estimación y calibración de los parámetros usados en los modelos.
Afortunadamente los modelos estocásticos resultan útiles en este contexto, ya que nos permiten circundar
varias de las limitantes que presentan los modelos teóricos. En este contexto es que se valuó las garantías
relajando varios supuestos que se habían hecho al hacer la valuación mediante métodos teóricos, como el
asumir que el fondo permanece constante durante el tiempo, supuesto requerido para valuar la garantía
como un floor.
Adicionalmente, los modelos estocásticos permiten también ser utilizados para el cálculo del VaR, el cual es
una pieza fundamental en el cálculo del RCS con base en la fórmula general. Sin embargo, para llevar a cabo
una valuación confiable, es indispensable detenerse detenidamente en la estimación y calibración de los
parámetros utilizados en los modelos. En este trabajo se utilizó el modelo de Vasicek para simular la
evolución de la tasa de cierto nodo de la curva de tasas. A pesar de que el autor tenga preferencia por el
modelo CIR, se optó por utilizar el modelo Vasicek debido a que éste es utilizado por la fórmula general para
el cálculo del RCS. Al utilizar este modelo en su versión de un solo factor se requiere la estimación de 3
parámetros, tarea que puede resultar compleja dependiendo de la tasa a estimar y la cantidad de
información con la que se cuente.
63
En el caso que nos ocupó, la tasa subyacente es la tasa calculada por la aseguradora con base en
acreditación a vencimiento, la cual no es observable en el mercado y depende de varias variables, como la
composición (y evolución) del portafolio de activos, la estrategia de inversión y la tasa de nuevo dinero, entre
otras. Por esta razón se optó por sugerir el calcular la correlación lineal de la tasa acreditada con los distintos
nodos de una curva observable en el mercado, siempre y cuando esta relación tenga sentido (causalidad),
para así ajustar los parámetros del modelo Vasicek a esta curva observable. Este procedimiento requiere el
determinar una relación entre la tasa observable y la tasa acreditada. Por esta razón se sugirió el usar un
promedio móvil exponencial para los casos en los que se asuma una tasa creciente de dinero nuevo que
ocasione que las inversiones más recientes tengan un mayor peso en el promedio móvil. En este punto
tampoco nos detuvimos para la determinación del parámetro 𝛼, pero esto es debido a que para hacerlo se
requiere la base de datos específica de inversiones de una compañía. Cada aseguradora en el caso de optar
por este método, debe detenerse en este punto para calibrar el parámetro 𝛼.
Con estos elementos se evaluaron los precios de las garantías con distintas características, así como el VaR.
El objetivo del presente trabajo era el de mostrar las bases de estas técnicas, mas no el de realizar el análisis
a profundidad. Por esta razón se quedó pendiente, entre otras cosas, el realizar el número suficiente de
muestras para lograr una precisión adecuada en cada caso.
Se comentó también sobre un punto específico de la regulación, que se presta a la interpretación del uso de
modelos con comportamiento dinámico, por lo que se extendió la modelización estocástica para incorporar
el comportamiento de las aportaciones de los asegurados. En este punto se planteó una ecuación diferencial
estocástica inspirada en el modelo de Vasicek para la modelización de la tasa instantánea de aportaciones al
fondo de reserva y se implementó en el proceso de simulación para obtener el valor esperado de las
garantías, así como su VaR. Si ben los efectos en el precio y en el VaR de esta adición resultaron marginales,
son solo una propuesta para ser analizada y complementada en futuros estudios, lo cual en el mediano plazo
conlleve a una mejor modelización de los fenómenos que rigen el desempeño de una aseguradora de vida de
largo plazo.
Se reflexionó también sobre cómo el proceso estocástico planteado en la fórmula estándar para el cálculo del
RCS funciona adecuadamente para las aseguradoras que calculen la acreditación de la tasa a mercado en
lugar de a vencimiento. Sin embargo el cálculo resulta inexacto para las aseguradoras que realizan el cálculo
a vencimiento, como lo hace la mayoría, y que usen la opción que brinda la fórmula estándar de dar de alta
productos flexibles garantía, pues la acreditación a vencimiento genera una garantía implícita de protección
de capital que no captura la mencionada fórmula.
Las bases planteadas en este trabajo permiten ver también que en caso de que se considere cambiar la
acreditación y realizarla a mercado, se resuelve el problema de descalce originado por la valuación a
mercado de los activos, pero el transferir todo el riesgo de mercado al asegurado, además de incrementar
significativamente la volatilidad del subyacente y por ende encarecer de manera muy importante las
garantías, pudiera ocasionar un riesgo de reputación para la aseguradora en cuanto los asegurados
comiencen a ver sus fondos mermados por las fluctuaciones de las tasas. El cambiar la acreditación a
mercado ocasiona también la materialización periódica de las pérdidas y ganancias que de otra forma serían
virtuales y solo se materializarían en caso de tener que liquidar los activos a su precio de mercado.
Por último, el presente trabajo busca solo mostrar el espectro de posibilidades que se presentan para valorar
los riesgos en los seguros flexibles con garantías. Pero el análisis debe ser más profundo y ad hoc para el caso
64
de cada compañía de seguros con base en sus situación particular y los productos que ofrece. Asimismo la
gama de situaciones es muy amplia cuando consideramos que existen otras garantías secundarias presentes
en los productos que hay en el mercado. Todas estas consideraciones pueden hacerse no sólo en la valuación
de reservas, sino su uso se puede ampliar al diseño de productos, análisis de rentabilidad y tarificación.
65
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