mat. fin. ii bloque iii amortizaciones - Alumnos

COLEGIO DE BACHILLERES DEL
ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
SUR
PAQUETE ECONÓMICO
ADMINISTRATIVO
ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS
FINANCIERAS II
BLOQUE III:
APLICAS AMORTIZACIONES DE
CRÉDITO
COMPILACIÓN DE TEXTOS ELABORADA
POR:
M. EN C. EDGAR FRANCISCO
CERVANTES MARTÍNEZ
Índice
Introducción ........................................................................................................................................... 3
1.1 Amortizaciones................................................................................................................................. 4
Concepto
Elementos que intervienen en las amortizaciones
1.2 Fondos de amortización ................................................................................................................... 9
Bibliografía ............................................................................................................................................. 11
2
Introducción
La información para la presente compilación de textos para el bloque III Aplicas amortización de
créditos, de la asignatura de Matemáticas Financieras II, fue obtenida de libro: Matemáticas
Financieras, del autor Guillermo Pastor Jiménez.
Con las lecturas y análisis de la información de la compilación, el alumno podrá obtener información
para lograr los desempeños:
Identifica los elementos que intervienen en las amortizaciones.
Utiliza los elementos de las amortizaciones para dar solución a problemas de: amortización de deudas
y de fondos de amortización, planteados en panoramas reales o hipotéticos.
Aplica los diferentes tipos de tablas y gráficas para presentar la distribución de las amortizaciones.
3
1.1 AMORTIZACIÓN.
Se dice que un documento que causa intereses está amortizado cuando todas las obligacionescontraídas (tanto capital como interés) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente
iguales), hechos en intervalos de tiempos iguales.
También se amortiza una deuda cuando ésta es saldada gradualmente mediante pagos periódicos
que, usualmente son iguales.
Ejemplo 1
Consideremos el caso de una empresa que adquiere equipo de cómputo por un valor de $180,000 y
acuerda con el distribuidor del equipo pagar esta deuda en seis abonos mensuales iguales, el primero
con vencimiento un mes después de la firma del convenio de compraventa. ¿Cuál es el monto de los
pagos si la tasa de interés que cobra el distribuidor de computadoras es del 2% mensual.
La fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria se utiliza para determinar el monto de los
pagos.
Datos
Fórmula
P= 180,000
𝑃=𝑅
i=2-%
2
100
Desarrollo
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
180,000 = 𝑅
1−(1+0.02)−6
0.02
= 0.02
n=6 meses
R=¿?
180,000 = 𝑅
1−(1.02)−6
0.02
180,000 = 𝑅
1−(0.8879713822 )
180,000 = 𝑅
0.1120286178
0.02
0.02
180,000 = 𝑅 (5.60143089)
180,000
𝑅 = 5.60143089 = $32,134.65
Cada pago que se realizará es por la cantidad de $32,134.53.
Como sabemos que al inicio del primer mes la deuda es de $180,000.00; el interés que se debe cubrir
por ese mes es resultado de la operación de 180,000 × 0.02 = 3,600. El primer pago de $32,134.65
se destina al pago de los $3600.00 de intereses generados el primer mes y el resto de 32,134.65 –
3600= $28,534.65 (o descontar) el capital que se adeuda. Así al inicio del segundo mes, el saldo o el
4
capital que se adeuda es ahora de 180,000 – 28,534.65 = $151,465.35 A este saldo se le llama
regularmente saldo insoluto.
De la operación de 151,465.35 x 0.02= 3,029.31 da como resultado el interés generado por la deuda
durante el segundo mes. La cantidad de interés es menor debido a que el saldo de la deuda al inicio
de este segundo mes es menor al monto original de la deuda. El segundo pago es ahora de 32,134.65
– 3,029.31 = $29,105.34 para amortizar el pago de la deuda. Así, una vez realizado el segundo pago
final mensual del segundo mes, el saldo de la deuda es de 151,465.35 – 29,105.34 = 122,360.01. Así
cada periodo los intereses se aplican sobre los saldos insolutos.
Tabla de amortización
FECHA
CONVENIO
FIN DEL MES 1
FIN DEL MES 2
FIN DEL MES 3
FIN DEL MES 4
FIN DEL MES 5
FIN DEL MES 6
PAGO
INTERES
AMORTIZACION
32,134.65
32,134.65
32,134.65
32,134.65
32,134.65
32,134.65
3,600.00
3,029.31
2,447.20
1,853.45
1,247.83
630.09
28,534.65
29,105.34
29,687.45
30,281.20
30,886.82
31,504.56
TOTAL
192,807.90
12,807.88
180,000.02
SALDO
180,000
151,465.35
122,360.01
92,672.56
62,391.36
31,504.54
-0.02
Si nos vamos al sexto pago en el último renglón de la tabla podemos observar que una vez realizado
este pago, el saldo de la deuda es de -2 centavos, la empresa a pagado dos centavos de más. Esta
diferencia se debe a que al determinar la cantidad a pagar cada mes el redondeo se realizó a dos
decimales (centavos) como lo permite la moneda en México. Es necesario modificar la cantidad en el
último pago para que el saldo de la deuda quede exactamente en ceros. Realizada esta modificación
para que los dos últimos renglones de la tabla queden de la forma siguiente:
FIN DEL MES 6
TOTAL
32,134.63
192,807.88
630.09
12,807.88
31,504.54
180,000.00
0.00
Los resultados que están en el último renglón de la tabla son el total de los pagos, el total de los
intereses y el total que debe de coincidir con el adeudo original. La suma de $12,807.88 de intereses
pagados más los $180,000.00 del saldo original da el total de pagos $192,807.88
Ejemplo 2
Es frecuente que al negociar el pago de una deuda en pagos periódicos se acuerde el monto de los
pagos y se deba de determinar entonces el número de pagos. Supongamos por ejemplo, que la
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empresa y el distribuidor de computadoras del ejemplo anterior acuerdan que la deuda sea saldada
en pagos mensuales vencidos de $40,000.00 ¿Cuántos pagos se deben de hacer y cuál es el monto del
último pago?
Empleamos de nuevo la fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria tenemos:
Datos
Fórmula
P= 180,000
n=
R=40,000
𝑃=𝑅
i=2-%
2
100
Desarrollo
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
180,000 = 40000
180,000 x 0.02
40000
1−(1+0.02)−𝑛
0.02
= 1 − (1 + 0.02)−𝑛
= 0.02
0.09 = 1 − (1 + 0.02)−𝑛
(1.02)−𝑛 = 1 − 0.09
(1.02)−𝑛 = 0.91
Aplicamos logaritmo en ambos lados para poder determinar el número de pagos:
−𝑛 =
log 0.91
−0.04096
=
= 4.763
log 1.02
0.00860
Así, n= 4.763, se deben hacer cuatro pagos de $4000.00 el valor presente de estos cuatro pagos a la
fecha del convenio es de:
Datos
Fórmula
P= ¿?
n= 4 pagos
𝑃=𝑅
i=2-%
100
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
P = 40000
P = 40000
R=40,000
2
Desarrollo
1−(1+0.02)−4
0.02
1−(1.02)−4
0.02
= 0.02
P = 40000
1−(0.923845426026 )
0.02
P = 152,309.15
Si x denota el monto del quinto pago, se debe desarrollar la siguiente ecuación de valores
equivalentes:
6
𝑥
(1.02)5
El último término de la ecuación representa el valor presente del quinto pago. Al despejar x de esta
ecuación vemos que el monto del último pago debe ser de:
180,000 = 152,309.15 +
𝑥 = (1.02)5 180,000 − 152,309.15 = $30,572.94
Se presenta la tabla de amortización para este ejercicio:
FECHA
Convenio
Fin del mes 1
FIN DEL MES 2
FIN DEL MES 3
FIN DEL MES 4
FIN DEL MES 5
TOTALES
PAGO
40,000
40,000
40,000
40,000
30,572.94
190,572.94
INTERÉS
AMORTIZACIÓN
3,600.00
2,872.00
2,129.44
1,372.03
599.47
10,572.94
36,400.00
37,128.00
37,870.56
38,627.97
29,973.47
180,000.00
SALDO
180,000.00
143,600.00
106,472.00
68,601.44
29,973.47
0.00
En una operación de compraventa como la de este ejemplo al ir realizando sus pagos periódicos, el
deudor (comprador) va adquiriendo derechos sobre el bien. En el ejemplo que se está analizando, al
realizar el comprador el tercer pago de $40,000.00 el saldo del adeudo es por $ 68,601.44 que son los
derechos de acreedor y la diferencia de 180,000.00 - 68,601.44= $111,398.56 son los derechos del deudor.
Al final del tercer mes el deudor (comprador) ha adquirido el
111,398.56
180,000.00
= 0.6188 = 61.8% de los derechos
del equipo de cómputo, mientras que los derechos que aún mantiene el acreedor (vendedor) sobre el equipo
68,601.44
son solo el 180,000.00 = 0.381 = 38.2%
Ejemplo 3
Considerando ahora el caso del comprador de una apartamento en condominio con un valor de
contado de $350,000.00. Para adquirir el apartamento, el comprador pago un enganche de
$100,000.00 y los $250,000.00 restantes se financiaron con una hipoteca a 10 años a con un interés
del 21.6% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el monto de los pagos mensuales? ¿Cuál es el
saldo insoluto al final del séptimo año?
i=21.6% anual
21.6
12
= 1.8%,
Datos
P= 250,000
n= 120 años
1.8
100
=0.018
Fórmula
𝑃=𝑅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
n=10 años 10 x 12=120
Desarrollo
250,000= 𝑅
1−(1+0.018)−120
0.018
7
R=¿?
250,000 = 𝑅
i= 0.018
250,000 = 𝑅
250,000 = 𝑅
250,000 = 𝑅
1−(1.018)−120
0.018
1−(0.11756191177999 )
0.18
1−(0.11756191177999 )
0.18
0.88243808822001
0.018
250,000 = 𝑅 49.024338
250,000
𝑅 = 49.024338 = $5,099.51
Los pagos a realizar son por la cantidad de $5,099.51 por el tiempo de 120 meses.
Tabla de amortización.
FECHA
FIN DEL MES 0
FIN DEL MES 1
FIN DEL MES 2
FIN DEL MES 3
FIN DEL MES 4
FIN DEL MES 5
FIN DEL MES 6
FIN DEL MES 7
FIN DEL MES 8
FIN DEL MES 9
FIN DEL MES 10
FIN DEL MES 11
…
FIN DEL MES 84
…
FIN DEL MES 119
FIN DEL MES 120
TOTALES
PAGO
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
5,099.51
…
5,099.51
…
5,099.51
5,098.63
611,940.32
INTERES
AMORTIZACIÓN
4500
4489.21
4478.22
4467.04
4455.66
4444.07
4432.27
4420.26
4408.03
4395.58
4382.91
…
599.51
610.30
621.29
632.47
643.85
655.44
667.24
679.25
691.48
703.93
716.60
…
2,464.02
…
178.73
90.15
361,940.32
2,635.49
…
4,920.78
5.008.48
250,000
SALDO
250,000.00
249,400.49
248,790.19
248,168.90
247,536.43
246,892.58
246,237.13
245,569.89
244,890.64
244,199.16
243,495.24
242,778.64
…
134,254.29
…
5,008.48
0.00
Hay varias situaciones que es importante comentar respecto al ejercicio anterior:
8




Cuando el plazo del crédito es largo los intereses que genera el adeudo los primeros meses
son casi iguales al monto del pago, de manera que la amortización en los primeros meses
resulta muy pequeña.
La amortización va creciendo periodo a periodo y solo hacia el final hacia el final del plazo
resulta ser elevada.
Cuando el plazo del crédito es largo el total de los intereses puede sobrepasar al monto del
adeudo original.
Se ha hecho un ajuste de $0.88 en el último pago para compensar las diferencias por haber
redondeado los pagos a dos decimales.
1.2 FONDOS DE AMORTIZACIÓN
Son utilizados para hacer frente a obligaciones de pagos a futuro, para lo que se establece un fondo
de inversión en el cual se realizan depósitos periódicos, generalmente iguales, con el propósito de
acumular el importe de la obligación, a estos fondos de inversión se les conoce como fondos de
amortización. Recordemos que la amortización de una deuda se refiere a saldar gradualmente un
deuda contraída con anterioridad, mientras que en un fondo de amortización se va acumulando
gradualmente la cantidad necesaria para liquidar una deuda futura.
Ejemplo 1
El pago del aguinaldo en diciembre representa para las empresas una erogación cuantiosa.
Supongamos que el gerente de la conocida cadena hotelera mexicana desea establecer a partir de
fines de junio un fondo donde acumule los $185,200.00 necesarios para pagar el aguinaldo de todos
los empleados a principios de diciembre. Si la cuenta en que realice los depósitos mensuales paga el
16.8% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál debe ser el importe de los depósitos?
Datos
Fórmula
S=185,200
n= 6 meses
R=
S= 𝑅
i= 16.8%
16.8
12
= 1.4%
1.4
100
Desarrollo
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
185,200= 𝑅
(1.014)6 −1
0.014
185,200= 𝑅
(1.0869954594 ) −1
185,200= 𝑅
(0.0869954594 )
0.014
= 0.014
0.014
185,200= 𝑅 (6.21396)
185,200
𝑅 = 6.21396 = $29,803.86
9
Con la información de la cantidad de $29,803.86 que corresponde a los pagos a realizar a fin de mes y
el interés generado periodo a periodo se reúnen en una tabla como la siguiente:
FECHA
FIN DEL MES 1
FIN DEL MES 2
FIN DEL MES 3
FIN DEL MES 4
FIN DEL MES 5
FIN DEL MES 6
TOTALES
DEPÓSITO INTERÉS
29,803.86
29,803.86
29,803.86
29,803.86
29,803.86
29,803.82
178,823.12
417.25
840.35
1269.37
1704.39
2145.51
6376.88
INCREMENTO
29,803.86
30,221.11
30,644.21
31,073.23
31,508.25
31,949.33
185,200.00
SALDO
29,803.86
60,024.97
90,669.18
121,742.41
153,250.67
185,200.00
El análisis de la tabla a partir del segundo renglón, en la segunda columna aparece el importe del
depósito, en la tercer columna muestra el interés devengado en el segundo mes que es el saldo
acumulado al final del periodo anterior por la tasa de interés mensual 29,803.86 x 0.014= 417.25. Los
$30,221.10 que aparecen en la columna de incrementos se obtienen sumando el depósito más los intereses,
29,803.86 + 417.25= 30,221.11 y corresponde a la cantidad en que va a aumentar el saldo del fondo. Al sumar
este incremento de $30,221.11 y corresponden a la cantidad en que va a aumentar el saldo al fondo. Al sumar
este incremento de 30,221.11 al saldo anterior de 29,803.86 obtenemos un nuevo saldo de 60,024.97.
Se realizó un ajuste en el último depósito se disminuyó en cuatro centavos para ajustar los errores de
redondeo causados por emplear dos decimales en todos los cálculos.
En el último renglón de la tabla aparecen el total de los depósitos, el total de los intereses generados
a lo largo del plazo de la anualidad, así como el total acumulado.
Un aspecto que salta a la vista es que los intereses ganados van aumentando conforme avanza el
plazo de la anualidad.
10
Bibliografía.
Ayres; Frank, Jr. Matemáticas Financieras, 1era. Edición, Editorial Mc Graw Hill, México 1995.
Pastor Jiménez; Guillermo; Matemáticas financieras, Editorial Limusa Noriega Editores, México 2004.
Rodríguez Caballero, Carlos Vladimir; Espín García, Osvaldo; Matemáticas Financieras II, 1era. Edición,
GAFRA editores, México 2004.
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