marco teórico - Instituto Politécnico Nacional

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO
“PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL ESTUDIO
DEL FENÓMENO DE RESONANCIA
PRODUCIDO POR DESBALANCEO
ROTATORIO”
T
E
S
I
S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO
MECÁNICO Y ROBÓTICA INDUSTRIAL
P R E S E N T A N:
ALBERTO LEÓN ISLAS
GRACIELA MONSERRAT RUBIO MORENO
México, D. F. 2009
ÍNDICE
PÁG
OBJETIVO
INTRODUCCIÓN
ANTECEDENTES
JUSTIFICACIÓN
i
ii
iv
v
CAPÍTULO 1
MARCO TEÓRICO
1.1
1.1.1
1.2
1.3
1.4
Generalidades
Definiciones y Unidades.
Elementos de un Sistema Vibratorio
Clasificación de Vibraciones.
Sistema vibratorio lineal, libre no amortiguado de un grado de libertad en
traslación
1.5 Vibración forzada excitada armónicamente
1.5.1 Ecuación diferencial de movimiento
1.5.2 Vibración forzada no amortiguada
1.5.3 Vibración forzada con amortiguamiento viscoso
1.6 Fuerza transmitida a la base
1.7 Sistemas de dos grados de libertad
1.8 Vibración libre no amortiguada
1.8.1 Solución en forma matricial
02
04
06
07
09
14
14
15
20
23
25
27
32
CAPÍTULO 2
DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE
VIBRACIONES
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.3
Desbalance Rotatorio
Introducción
Demostración y fundamentos teórico matemáticos
Fuerza transmitida
Control mecánico de vibraciones
Aislamiento de vibraciones
Control de frecuencias naturales
Amortiguador dinámico de vibraciones
36
36
38
41
45
48
49
49
CAPÍTULO 3
SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL
ELECTRÓNICO
3.1 Microcontrolador
3.2 La pila
56
62
3.3 Software para PIC´S
66
CAPÍTULO 4
CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL
SISTEMA ELECTROMECÁNICO
4.1 Diseño del sistema mecánico de vibración
4.2 Diseño del amortiguador de vibraciones
67
73
CAPÍTULO 5
CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL
SISTEMA ELECTRÓNICO COMPUTACIONAL
5.1 Material
5.2 Implementación de circuitos
78
81
CONCLUSIONES
92
BIBLIOGRAFÍA
93
OBJETIVO
DISEÑAR Y CONSTRUIR UN PROTOTIPO DIDÁCTICO PARA EL
ESTUDIO
DEL
FENÓMENO
DE
RESONANCIA
PRODUCIDO
POR
DESBALANCEO ROTATORIO DE UN MOTOR ELÉCTRICO, MONTADO
EN UN VIGA EN VOLADIZO.
i
INTRODUCCIÓN
Los fenómenos de vibraciones mecánicas son muy comunes, por ejemplo,
permiten la comunicación, ya que los sonidos que escuchamos son el
resultado de la vibración de altas frecuencia de membranas que forman
nuestros oídos, estímulos que procesa el cerebro separando las diversas
frecuencias, con lo que se distinguen las palabras y da significado y así se
logra la comunicación. Como ejemplos de vibraciones de baja frecuencia en
el cuerpo humano están la de los pulmones y el corazón.
Un
gran
cantidad
de
equipo
y
maquinaria,
que
requieran
para
su
funcionamiento movimiento rotatorios presentan una vibración, prácticamente
inevitable (pero controlable) y es debida a desbalanceo de la masa de los
componentes del sistema.
Esto puede deberse a la falta de homogeneidad
propia de todos los materiales usados en ingeniería, así como de defectos de
manufactura normalmente inevitables dada la naturaleza propia de los
procesos.
La comprensión del fenómeno de desbalanceo ayuda a la
reducción y control de esta situación que normalmente es indeseable, a
menos que se induzcan vibraciones intencionalmente para mejorar ciertos
procesos, pero aun en estos casos se debe tener un control del movimiento
vibratorio, para un correcto diseño mecánico que permita una vida útil
adecuada del equipo o máquina por producir.
Visualizar y entender el fenómeno de resonancia mecánica, no es tan simple,
debido a que en desbalanceo rotatorio dicho fenómeno se presenta a una
frecuencia
de
excitación
relativamente
baja,
en
comparación
con
las
velocidades de operación normal de la maquinaria rotativa; en principio se
pudiera
pensar
que
a
mayor
velocidad
de
rotación
mayor
respuesta
desagradable o indeseable, pero no es así.
Una vibración por desbalanceo no controlada produce esfuerzos excesivos en
los componentes mecánicos lo que a su vez produce fallas prematuras,
ii
catastróficas e impredecibles, aparte de ser muy desagradables por la
producción de ruido y malestar físico al estar expuesto a dicha situación.
Por todo lo antes mencionado resulta indispensable un estudio adecuado del
fenómeno de desbalanceo rotatorio; por tal motivo se propone el desarrollo
de un dispositivo que muestre los altos valores de desplazamiento que se
alcanzan durante la resonancia de un sistema mecánico.
Para ello se pensó
en uno sencillo, que consiste de un motor eléctrico con velocidad controlada,
que aumente desde cero a valores necesarios para alcanzar y luego rebasar
los valores de giro donde se presenta la resonancia.
Ese motor será
sostenido mediante una viga en voladizo que es el elemento elástico que
facilitará la oscilación de la masa del motor junto con su abrazadera.
Posteriormente para proponer una forma de reducción de la amplitud de
vibración se colocará un sistema masa-resorte adicional a sistema masaresorte antes descrito, con lo que se observará una reducción importante en
la amplitud de vibración para la frecuencia en donde se presenta la
resonancia.
iii
ANTECEDENTES
Desgraciadamente cuando cursamos la asignatura de vibraciones mecánicas,
tanto en la carrera de robótica como en la de mecánica, no tuvimos la
oportunidad de asistir a un laboratorio donde pudiéramos ver el fenómeno de
resonancia mecánica, a pesar de ser una situación muy común en la vida
cotidiana, por ejemplo sin percatarnos nos damos cuenta que al encender un
automóvil
en
su
fase
inicial
el
motor
presenta
una
sacudida
brusca
momentánea, debido precisamente a la resonancia; también cuando se
golpea fuertemente una llanta del automóvil se siente molestia en el volante
cuando se alcanza cierta velocidad.
No siempre estamos consientes de que
es lo que sucede y mucho menos del porqué de esa situación. En una de la
diversas
visitas
industriales
durante
nuestros
estudios
profesionales,
notamos que en cierta empresa que contaba con una grúa viajera, esta se
balanceaba ligeramente cundo soltaba el material que transportaba. Con
estos antecedentes se pensó en un sistema simple que nos indique dos de
los elementos de un sistema vibratorio que son la elasticidad y la masa, así
como del agente
balanceada.
excitador que es debido a una pequeña masa des
Partiendo de los novedosos controles de velocidad de los
motores eléctricos se pensó en adaptarlo a nuestro sistema, añadiendo una
pantalla que indique las revoluciones por minuto que se alcanzan al aumentar
el voltaje suministrado al motor.
Todo lo anterior montado en una base que
sostiene una pequeña viga en voladizo, empotrada en un extremo y en el otro
sosteniendo el motor de velocidad variable controlada.
iv
JUSTIFICACIÓN
Este prototipo está diseñado para la demostración y comprensión del
fenómeno de resonancia para un programa de estudios como material
didáctico
dedicado
al
diseño
de sistemas
presentar este tipo de fenómeno
mecánicos
donde
se
puede
regularmente, y así mediante la teoría
elaborar practicas demostrativas que nos ayuden a
analizar y razonar el
fenómeno que se presenta en sistemas vibratorios, ya que en la actualidad
no se cuenta con este tipo de apoyo didáctico
Considerando
este
demostrativas
encaminado
Mecánica
de
prototipo
Vibraciones
al
un
material
programa
podemos
de
didáctico
estudios
comprender
mejor
para
prácticas
profesionales
de
el
de
fenómeno
resonancia y comprobar el comportamiento mediante el marco teórico y
modelos
matemáticos
para
su
resolución
donde
este
se
presenta
cotidianamente. Tomando en cuenta que en nuestra formación profesional no
contamos con
prototipos que ayuden a visualizar este tipo de fenómenos
y
así considerar esto como una aportación para mejorar y facilitar un estudio
tan
complejo
y
favorecer
el
desempeño
del
estudiante
de
ingeniería
mecánica.
v
MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
MARCO TEÓRICO
Este Capítulo Trata Acerca De Los Conceptos Básicos De
Vibración Mecánica Y Programación Que Nos Ayudarán Al
Desarrollo De Nuestro Prototipo.
1
ALBERTO LEON ISLAS
MONSERRAT RUBIO MORENO
MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
1.1 GENERALIDADES
Vibraciones Mecánicas es el estudio del movimiento repetitivo de objetos relativo a un marco
estacionario de referencia o posición nominal (usualmente la de equilibrio). Este movimiento
puede ser de manera regular y repetirse continuamente o bien de manera irregular o de
naturaleza aleatoria. Aunque el término vibración usualmente implica oscilación mecánica,
condiciones similares prevalen en otras áreas, tales como circuitos eléctricos alternantes,
ondas electromagnética y acústica. Sin embargo, sólo se tratará con vibración de sistemas
mecánicos; ejemplos típicos de estos casos son el movimiento de una cuerda de guitarra,
de un vehículo al transitar por caminos ondulados, o de edificios en un sismo.
La explicación del fenómeno de vibraciones involucra el intercambio entre energía potencial
y energía cinética. Las vibraciones inician cuando una masa (inercia) es desplazada de su
posición de equilibrio debido a una energía impartida al sistema a través de una fuente
externa. Una fuerza o momento restaurador jala a la masa a su posición de equilibrio.
Tómese por ejemplo el péndulo simple mostrado. El trabajo
mecánico, realizado sobre la esfera al desplazarla de su
posición de equilibrio, desarrolla energía potencial ( ∆h ).
Cuando la esfera es soltada la fuerza de gravedad la regresa a
su posición de equilibrio, pero la energía potencial se comienza
a convertir en energía cinética. Cuando la esfera pasa por la
∆h
posición de equilibrio la energía potencial es cero pero la
inercia de la esfera la obliga a continuar su movimiento. En
ausencia
de
fuerzas
no
conservativas
(rozamiento)
la
transferencia de energías es continua.
Un sistema dinámico puede describirse en el siguiente esquema:
2
ALBERTO LEON ISLAS
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MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
ESTIMULO, EXCITACIÓN
O PERTURBACIÓN
PROPIEDADES MECÁNICAS
FUERZA
MOMENTO
DESPLAZAMIENTO
RESPUESTA
INERCIA
DESPLAZAMIENTO
RIGIDEZ
VELOCIDAD
AMORTIGUAMIENTO
ACELERACIÓN
Para describir los elementos anteriores, se sigue el siguiente orden respuesta, propiedades y
por último la excitación.
Todo análisis dinámico requiere un sistema de referencia, sobre el cual queden definidas las
cantidades de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Una selección adecuada
facilita la aplicación de la herramienta matemática.
En vibraciones mecánicas se puede utilizar cualquier coordenada que mida el
desplazamiento (cartesiana, polar, etc.) Una coordina es una cantidad independiente que
especifica la posición de una partícula.
Un análisis adecuado de un sistema vibratorio exige una selección adecuada del sistema de
coordenadas. Por ejemplo el análisis de un péndulo simple, puede utilizarse coordenadas
cartesianas o rectangulares.
Sin embargo este sistema tiene una restricción que es la
longitud de la cuerda que sostiene la masa por lo que las coordenadas rectangulares están
ligadas por la relación x 2 + y 2 = l 2 , lo que tiene consecuencias importantes en el análisis del
sistema. Esta restricción limita el movimiento de la masa. Así la posición de la masa puede
ser descrita mediante la coordenada θ , ya que l es constante.
Se define como grados de libertad de un sistema vibrante el número de parámetros
independientes necesarios para definir su configuración, en cualquier instante.
3
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MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
Se denomina número de grados de libertad al número mínimo de coordenadas
requeridas para describir completamente el movimiento de un sistema dinámico.
El grupo de coordenadas que describen de manera generalizara y que reconocen las
restricción se llaman coordenadas generalizadas.
Considérese que ahora el péndulo
tiene movimiento de acuerdo a dos coordenadas
angulares, θ y φ como se muestra en la figura. El movimiento de una coordenada es
independiente de la otra. El movimiento en el que sólo una coordenada varía es llamado
modo principal del movimiento. Analíticamente, la mayoría de los problemas no requieren
el uso de coordenadas principales, pero su competo es sumamente importante. En sistemas
lineales, todos los movimientos pueden ser descritos por la superposición de modos
principales.
1.1.1 DEFINICIONES Y UNIDADES
Vibración: Una partícula experimenta una vibración mecánica cuando a
intervalos iguales, pasa por las mismas posiciones animada por la misma
velocidad.
Se
define
por
su
desplazamiento,
velocidad,
aceleración
y
frecuencia.
Vibración Mecánica: Movimiento periódico u oscilatorio de un cuerpo, con
respecto a su posición de equilibrio.
Movimiento: Cambio de posición, desplazamiento, velocidad, aceleración.
4
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MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
Desplazamiento (amplitud): Es la distancia entre la posición de la partícula
que vibra y su posición de reposo. Generalmente nos referimos a la amplitud
máxima. Unidad: m
Velocidad: Es la velocidad que anima a la partícula. Equivale a la derivada
del desplazamiento con respecto al tiempo. Unidad: m/seg.
Aceleración: Es la variación de la velocidad por unidad de tiempo y equivale
a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.
Unidad:
2
m/seg .
Frecuencia propia del sistema: Es la frecuencia en la cual oscilaría el
sistema si se sacara de su estado de equilibrio. Es función de la masa y de
la elasticidad de todos los sistemas que lo componen. Unidad: Hz.
Resonancia: Cuando un sistema es excitado por una fuerza armónica
externa, cuya frecuencia es igual a la frecuencia natural del sistema, la
amplitud de la vibración crece y se dice que el sistema está en la resonancia.
Amortiguamiento: Cualquier influencia que extrae energía a un sistema en
vibración se conoce como amortiguamiento.
Sistema Vibratorio: Es todo cuerpo o conjunto de cuerpos, capaces de sufrir
vibraciones mecánicas, que en general incluyen los siguientes partes:
1) Un medio para almacenar energía potencial de deformación
(elasticidad)
2) Un medio para almacenar energía cinética (inercia –masa o
momento de inercia)
3) Un medio para disipar energía gradualmente
(amortiguamiento).
Un Sistema vibratorio involucra la transferencia de energía potencial a
cinética, y cinética a potencial, alternadamente. El amortiguamiento disipa en
cada ciclo energía hasta alcanzar el equilibrio cesa la vibración.
5
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1.2 ELEMENTOS DE UN SISTEMA VIBRATORIO.
Elasticidad: Es la propiedad de los cuerpos físicos, que les permite deformarse y
recuperar su forma y sus dimensiones originales, se mide mediante el módulo de elasticidad
o rigidez, dependiendo del tipo de carga a que se someta el cuerpo durante la vibración. El
elemento elástico de un sistema vibratorio se representa mediante un resorte con constante
elástica k. Dado que el resorte es sólo una representación de una propiedad se considera
carente de masa.
Inercia: Es la propiedad de los cuerpos rígidos en virtud e la cual ofrecen resistencia al
cambio de su estado de movimiento. Si el cuerpo se mueva en traslación se mide mediante
la masa, si el cuerpo esta rotando se mide mediante el momento de inercia respecto a su eje
de giro.
Amortiguamiento: Es el elemento disipador de energía, carece de masa y elasticidad,
transforma la energía en calor y sonido. Su efecto tiende a reducir la amplitud de vibración
con lo que se alcanza el estado de equilibrio.
Nótese que los tres elementos descritos están relacionados con los parámetros cinemáticos
de desplazamiento, aceleración y velocidad, respectivamente.
6
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IPN-ESIME
1.3 CLASIFICACIÓN DE VIBRACIONES.
Las vibraciones mecánicas se clasifican de acuerdo con varios criterios, tomando en cuenta
las características de los sistemas vibratorios:
Tomando en cuenta el tiempo en que la excitación es aplicada al sistema puede ser: libre o
forzada.
Libre: Se presenta si el sistema es sometido a una perturbación inicial y continúa vibrando
por si mismo
Forzada: Se presenta cuando el sistema es sometido a una perturbación sostenida.
Tomando en cuenta la disipación de energía puede ser no amortiguado o amortiguado.
No amortiguada: Se presenta cuando la pérdida de energía es despreciable.
Amortiguada: Considera la pérdida de energía en cada ciclo.
Tomando en cuenta el comportamiento de los elementos que constituyen al sistema
vibratorio:
Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa,
elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico lineal.
No Lineal, se presenta si se consideran que los elementos de un sistema vibratorio (masa,
elasticidad y amortiguamiento) tienen comportamiento mecánico no lineal.
De acuerdo con el número de grados de libertad, puede ser de un grado, de dos o de n
grados de libertad.
El método de análisis utilizado para resolver el problema matemático resultante de un
modelo matemático de un sistema vibratorio depende de un gran número de factores. Un
sistema con un número finito de grados de libertad, es un sistema discreto. La vibración de
un sistema de un grado de libertad está regida por una ecuación diferencial ordinaria en la
cual el tiempo es la variable independiente y la coordenada generalizada elegida es la
7
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MARCO TEÓRICO
IPN-ESIME
variable dependiente. La vibración de un sistema de varios grados de libertad está regida
por un sistema de n ecuaciones diferenciales, donde n es el número de grados de libertad.
Las variables dependientes son las coordenadas generalizadas elegidas mientras el tiempo
es la variable independiente. Las ecuaciones diferenciales para el sistema de varios grados
de libertad son sistemas generalmente acoplados.
Un sistema continúo pero la aproximación a discreto por elemento finito es usada para
resolver el problema.
Un sistema alcanza vibración libre, cuando la vibración ocurre en ausencia de una excitación
externa. Las vibraciones son iniciadas por el desarrollo de una energía cinética o potencial
en el sistema. En ausencia de fuerzas no conservativas, vibración libre sostenida por si misa
y en un movimiento periódico.
Vibraciones que ocurren en la presencia de excitación
externa son llamadas vibraciones forzadas.
Si la fuerza de excitación es periódica, la
excitación se dice ser armónica. Vibración forzada no periódica son llamadas vibraciones
transitorias.
Un sistema es lineal si está regido por una ecuación diferencial lineal. Un sistema es no
lineal si su movimiento está gobernado por una ecuación diferencial no lineal. Bajo ciertas
condiciones las vibraciones de sistema no lineales sometidos a excitación periódica pueden
no ser periódicos. Tales sistemas son llamados caóticos.
Si la fuerza de excitación es conocida en todo instante de tiempo, la excitación se dice ser
determinística. Si la fuerza de excitación es desconocida, pero promedios y derivaciones
normalizadas son conocidos, la excitación se dice ser aleatoria. En este caso la vibración
resultante es también aleatoria, y no puede determinarse exactamente en cualquier instante
de tiempo.
8
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1.4 SISTEMA VIBRATORIO LINEAL, LIBRE NO
AMORTIGUADO DE UN GRADO DE LIBERTAD EN
TRASLACIÓN
En este caso sólo se desprecia el amortiguamiento, la excitación es una fuerza o movimiento
inicial, así que sólo se considera la masa y elasticidad (Sistema Conservativo).
Análisis Estático
Fe = kδ est
mg = kδ est
Por Equilibrio
δ est
mg
Análisis Dinámico
ΣF = mx&&
mg − k (δ est + x ) = mx&&
→
mg − kδ est − kx = mx&&
δ est
mx&& + kx = 0
Fe = k (δ est + x )
&&
x+
k
x=0
m
Ecuación de movimiento
Si
ωn =
k
m
ωn → Frecuencia Circular Natural cuyas
unidades son ⎡⎣ rads ⎦⎤
mg
mx&&
&&
x + ωn2 x = 0 Oscilador armónico
La frecuencia natural, es la frecuencia con la cual un sistema mecánico vibra por sí sólo (sin
fuerza externa), como resultado de una perturbación inicial. Es una medida de la
susceptibilidad de un sistema a vibrar.
9
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IPN-ESIME
st
Para resolver la ecuación de movimiento, se asume la solución del tipo x = Ae , derivándola
x = As 2 e st , sustituyendo en la ecuación de movimiento.
dos veces da &&
( As e ) + ω ( Ae ) = 0
2 t
de donde
2
n
st
s 2 + ωn2 = 0
st
factorizando Ae se obtiene
(s
2
+ ωn2 ) Ae st = 0
es la ecuación característica
∴
entonces la solución es
s 2 = −ωn2
s = ±iωn
⇔
x = x1 + x2 = ax s1t + bx s1t = ax iωnt + bx − iωnt
esto es, las raíces son complejas y conjugadas. De la fórmula de Euler
e ± iθ = cos θ ± isenθ
axiωnt = a ( cos ωnt + isenωnt )
bxiωnt = b ( cos ωnt + isenωnt )
sustituyendo en x,
x = a ( cos ωnt + isenωnt ) + b ( cos ωnt + isenωnt )
ordenado por función trigonométrica
x = ( a + b ) cos ωmt + i ( a − b ) senωnt
o bien
x = c1 cos ωn t + c2 senωn t
o
x = Xsen (ωnt + φ )
X = c12 + c22
φ = tan −1 cc
donde
1
y
x& = X ωn cos (ωnt + φ )
2
; derivando x 2 veces
&&
x = − X ωn2 sen (ωnt + φ )
Los valores máximos se presentan cuando las funciones trigonométricas son iguales a uno.
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x = X amplitud;
x&m = X ωn ;
&&
xm = − X ωn2
x
Análisis del Movimiento Armónico Simple: En t = 0 se presenta las condiciones iníciales 0
y
x&0 , sustituyendo t y x0 , es la ec. de desplazamiento
x0 = c1 cos ωn 0 + c2 senωn t
x0 = c1
⇒
en la ecuación de velocidad se tendrá
x&0 = −c1ωn senωn 0 + c2ωn cos ωn 0
Sustituyendo
⇒
c2 =
x&0
ωn
c1 y c2 en la ec. de desplazamiento, se obtiene la respuesta x del oscilador
armónico:
x = x0 cos ωn t +
x&0
ωn
senωn t
= Xsen (ωnt + φ )
Donde
⎛ x& ⎞
X = x02 + ⎜ 0 ⎟
⎝ ωn ⎠
2
φ = tan −1
y
x0ω n
x&0
Son tres las cantidades que definen la respuesta x, la amplitud X, en ángulo de fase f y la
frecuencia natural ωn . Las dos primeras dependen de la fuerza externa, especialmente de
las condiciones iníciales, y el tercer de los factores de los parámetros del sistema, m y k. La
frecuencia
natural
es
una
característica
del
sistema,
siempre
es
la
misma
independientemente de las condiciones iníciales, de ahí el nombre de natural.
Periodo y frecuencias de oscilación: de acuerdo con las definiciones
11
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τn =
2π
fn =
ωn
ωn
2π
Conservación de la Energía: Para este sistema existen dos tipos de energía mecánica
presentes, la cinética T, resultado del movimiento de la masa y la potencial V, resultado de la
deformación del resorte desde su posición de equilibrio
T = 12 mx& 2 ;
U = 12 kx 2
La energía total E, es la suma de la cinética y la energía de deformación
E = 12 mx& 2 +
sustituyendo
1
2
kx 2
x = Xsen (ωnt + φ ) y x& = X ωn cos (ωnt + φ )
E = 12 m ⎡⎣ Xsen (ωnt + φ ) ⎤⎦ + 12 k ⎡⎣ X ωn cos (ωn t + φ ) ⎤⎦
= 12 kX 2 ⎡⎣ sen 2 (ωnt + φ ) + cos 2 (ωnt + φ ) ⎤⎦ = 12 kX 2
2
2
Esto es la energía de sistema de libre no amortiguado de un grado de libertad es constante,
para cualquier posición x. Dado que
E=
1
2
k = ωn2 m
kX 2 = 12 ωn2 mX 2 = constante
Por tanto el sistema es conservativo
Las gráficas de posición, velocidad y aceleración para un movimiento armónico simple que
es el un sistema de un grado de libertad no amortiguado son las siguientes:
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x
Xω
X ω n2
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1.5 VIBRACIÓN FORZADA EXCITADA
ARMÓNICAMENTE
Se presenta vibración forzada en un sistema mecánico, cuando se suministra
permanentemente energía externa al sistema durante la vibración, ya sea por la aplicación
de una fuerza o la imposición de un desplazamiento, si ambas excitaciones son armónicas,
la respuesta de la masa también será armónica.
1.5.1 ECUACI ÓN DI FERENCI A L DE MOVIMI ENTO.
c
k
cx&
kx
m
F(t)
F(t)=F0 sen ωft
m&x&
Dado que por equilibrio el peso mg y kxest se anulan, no se han considerado en el Diagrama
de Cuerpo Libre.
Aplicando la Segunda Ley de Newton ya ordenada, queda:
ΣF = mx&& = −cx& − kx + F ( t )
∴
mx&& + cx& + kx = F ( t )
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Esta es una ecuación Diferencial Lineal Ordinaria no Homogénea de Segundo Orden, con
Coeficientes Constantes, cuya solución consta de dos partes, la función complementaria xh y
la solución particular xp, x = x h + x p . La función complementaria, corresponde a la solución
de la ecuación homogénea F (t ) = 0 , la cual es llamada solución transitoria, ya que
xh → 0 cuando el tiempo aumenta, por la función de decaimiento ( e−ζωnt ) ; que se debe a la
presencia del amortiguamiento. La solución particular, representa la respuesta del sistema a
la función fuerza F(t), y se denomina solución de estado estable, la cual ocurre de
manera continua mientras la condición forzada esté presente.
1.5.2 VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA.
Primero se considera el caso en que el amortiguamiento es despreciable, la fuerza de
excitación es armónica, es decir está en función del seno o del coseno, cuyo argumento
contiene una frecuencia denominada frecuencia circular forzada y de la variable tiempo
(ω t ) , entonces la ecuación queda:
f
mx&& + kx = F ( t ) = F0 sen ω f t
15
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IPN-ESIME
La gráfica muestra la función F(t)=F0 sen ωf t en donde su periodo se define como τ f = ω2πf .
A continuación se obtendrá la solución particular, correspondiente a la respuesta del estado
estable, la cual se obtiene suponiendo que la integral particular tiene la forma
x p = Asenω f t + B cos ω f t
&&
x p = −ω 2f ( A sen ω f t + B cos ω f t ) = −ω 2f x p
Entonces la aceleración está dada por:
Sustituyendo la aceleración y la respuesta en la ecuación de movimiento, se obtiene
− mω 2f (Asenω f t + B cos ω f t ) + k (Asenω f t + B cos ω f t ) = F0 senω f t ,
factorizando
(k − mω )Asenω
2
f
f
(
)
t + k − mω 2f B cosω f t = F0 senω f t ,
Igualando término a término
A=
F0
k − mω 2f
(k − mω )B cosω
y
2
f
xp =
sustituyendo en x p se obtiene:
donde
Xf =
F0
k − mω 2f
f
t =0 ⇔ B=0
F0
senω f t = X f sen ω f t
k − mω 2f
amplitud de vibración forzada no amortiguada
si se multiplica el numerador y denominador de la constante A por
Xf =
X0 →
1
k
F0
1
k − mω 2f )
(
k
=
X0
∴
1− r2
XF =
1
k
F0
X0
=
2
k − mω f 1 − r 2
se denomina “desplazamiento estático”, es un desplazamiento
ficticio que sirve de referencia y equivale al desplazamiento que produce Fo al resorte.
r=
ωf
ωn
→
Si
β=
Xf
X0
se denomina razón de frecuencias, la forzada entre la natural.
=
1 ,
1− r2
entonces
x p = X 0 β sen ω f t donde β → se denomina factor de
amplificación
16
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Que es solución particular, la cual representa el movimiento de estado estable, si
sen ω f t = 1 ⇔ xm = X f
X f = β X0 = β
F0
F
= β 02 ⇒
k
mωm
β=
X f mωm2
F0
=
1
1− r2
La variación del Factor de amplificación β está directamente ligada con la razón de
frecuencias r.
Dependiendo del valor de r, se pueden presentar tres casos:
Caso 1. Cuando 0 < r < 1, es decir ω f < ω n , el denominador 1 − r 2 es positivo, entonces se
dice que la respuesta x del sistema está en fase con la fuerza externa, como se muestran
en las gráficas. La fórmula de la respuesta no se altera.
F = F0 sen ω f t
F0
t
τa
xp
X
t
Caso 2. Cuando r > 1, es decir ω f > ω n , el denominador es negativo, se acostumbre
redefinir la respuesta x cambiando el signo del denominador, por lo que el factor de
amplificación se define como
β=
1
. En general β =
1− r2
1
r 2 −1
.
17
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F
F0
F = F0 sen ω f t
ωft
τa
xp
ωft
X
En este caso la fuerza de excitación y la respuesta están fuera de fase como muestran las
gráficas.
Caso 3. Cuando r = 1 o
ω f = ω n , el denominador es cero, por lo que el factor de
amplificación tiende a infinito β = ∞ . Esta condición se conoce como Re sonanci a , la
gráfica muestra que la amplitud de la respuesta crece lineal e indefinidamente con el tiempo,
por tanto x p = X 0 βsenω f t , no define la variación del desplazamiento en el tiempo.
ω f t = 2π
x
ωft
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La influencia de la frecuencia forzada sobre la amplitud de vibración forzada Xf, puede
estudiarse a través de la gráfica de β ↔ r , que muestra el valor absoluto del factor de
amplificación como una función de la razón de frecuencias r.
El factor de amplificación β =
1
1− r 2
tiende a infinito cuando r se aproxima a 1, esto es cuando
ω f = ωn .
β
r
Obsérvese que β = 1 cuando r = 0 y r = 2 , y sí r tiende a infinito ω, tiende a cero.
Solución Completa.
Sumando la solución homogénea y particular, en la forma de
funciones armónicas se obtiene la solución completa:
x = xh + x p = X a sen (ωn t + φ ) + X 0 β senω f t
Respuesta:
transitoria
+ estado estable
Así el movimiento es la suma de dos curvas sinodales de diferente frecuencia.
Esta ecuación contiene dos constantes arbitrarias X y φ , que pueden determinarse a partir
de las condiciones iníciales.
19
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1.5.3 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
mx&& + cx& + kx = F ( t )
La ecuación diferencial para este caso es
F (t ) = F0 senω f t
Si la función forzada es
m&x& + cx& + kx = F (t ) = F0 senω f t
entonces
Cuya solución para estado estable x p puede suponerse en la forma
x p = Asenω f t + B cos ω f t
derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación de movimiento:
m (− ω 2f Asenω f t − ω 2f B cosω 2f t ) + c (A cos ω f t − ω f Bsenω f t ) +k (Asenω f t + B cos ω f t )=
F0 senω f t
Ordenando y factorizando las funciones trigonométricas
(
)
⎡( k − ω 2f m ) A − cω f B ⎤ sen ω f t + ⎡ cω f A + ( k − ω 2f m ) B ⎤ cos ω f t = F0 senω f t
⎣
⎦
⎣
⎦
igualando términos se obtienen dos ecuaciones:
(k − ω m)A − cω
2
f
B = F0
f
;
(
)
cω f A + k − ω 2f m B = 0
Para determinar el valor de las constantes A y B, se utiliza la Regla de Cramer:
A=
F0
0
− cω f
k − mω 2f
k − mω 2f
cω f
− cω f
k − mω 2f
=
(
F0 k − mω 2f
)
(k − mω ) + (cω )
2 2
f
2
;
f
20
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B=
k − mω v2
F0
cω f
0
=
k − mω 2f
− cω f
cω f
k − mω 2f
F0 (cω f
(k − mω
)
) + (cω )
2 2
f
2
f
sustituyendo en xp, se obtiene
xp =
F0 ( k − mω 2f )
( k − mω
)
2 2
f
+ ( cω f )
2
senω f t +
F0 ( cω f
( k − mω
)
) + ( cω )
2 2
f
2
cos ω f t
f
la cual puede escribirse como:
xp =
( k − mω ) + ( cω )
2 2
f
Multiplicando por
1
, considerando k = ω n2 m , r =
k
xp =
⎛ 2rζ ⎞
2 ⎟
⎝ 1− r ⎠
ψ = tan −1 ⎜
Además sí β a =
2
donde ψ = tan −1
f
y sustituyendo se obtiene
Donde
sen (ω f t −ψ ) ,
F0
k − mω 2f
ωf
c
, ζ =
⇔ c = ζ 2mω n
ωn
2mωn
X0
(1 − r 2 ) + ( 2rζ )
2
cω f
2
sen (ω f t − ψ )
ángulo de fase entre la respuesta xp y la excitación F(t).
1
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
La respuesta puede escribirse como
x p = X 0 β a sen (ω f t − ψ )
(
)
La amplitud de la respuesta forzada Xf, se presenta cuando el sen ω f t − ψ = 1, así:
21
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La gráfica corresponde a la función
1
βa ( r,ζ ) =
(1 − r
)
2 2
+ ( 2rζ )
,
2
y se conoce como curvas de respuesta amplificada – razón de frecuencias, en la cual se
observa que:
-
Para r = 0 β a = 1. En este caso F(t) es una constante.
-
r → ∞ si β a → 0 . La amplitud de la respuesta forzada es pequeña para r grande
(x )
= X f = X 0 βa =
⇒
Xfk
p máx
F
Xf = 0 βf
k
∴ βa =
Xf
X0
βa =
F0
=
F0
β a o bien
k
X f mωn2
F0
=
1
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
, β a es la relación entre amplitudes para vibración forzada amortiguada.
1
Para cualquier valor de r, β decrece al aumentar ζ .
El factor de amplificación es la cantidad por la que hay que multiplicar la amplitud X0
(desplazamiento estático), para obtener Xf .
22
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Solución Completa:
x = X a e −ζωnt sen (ωa t + φa ) + X 0 β a sen (ω f t −ψ )
Las constantes X 0 y ψ dependen de las condiciones forzadas y X a
y
φa de las
condiciones iníciales.
Son de interés los sistemas vibratorios sometidos a excitación armónica, cuando son
sometidos a excitación por un periodo prolongado, como el caso de máquinas rotatorias, es
decir cuando t → ∞ , por lo que la solución de la parte homogénea tiende a cero; así que
normalmente, sólo interesa la respuesta forzada permanente o de estado estable.
1.6 FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE
Si se incrementa la rigidez k y el coeficiente de amortiguamiento c, la amplitud de vibración
decrece, sin embargo aumenta la fuerza transmitida al soporte.
La fuerza transitada al
soporte en estado estable se determina a partir del Diagrama de Cuerpo Libre mostrado:
FT = kx p + cx& p
cx&
kx
mg
Sustituyendo los valores de x y x& en su forma compacta, se obtiene
FT = kX 0 β f sen (ω f −ψ ) + cω f X 0 β f cos (ω f t −ψ ) = X 0 β f k 2 + ( cω f
) sen (ω t −ψ +ψ )
2
f
T
23
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o bien
FT = X 0 β a k 2 + ( cω f
donde ψ = ψ − ψ T ;
) sen (ω t −ψ )
2
f
⎛ cω f
⎝ k
además ψ T = tan −1 ⎜⎜
⎞
⎟⎟ = tan −1 (2rζ )
⎠
También la Ecuación puede escribirse de la forma
Puesto que X 0 =
F0
k
2
)
, la ecuación anterior queda como sigue:
(
FT = F0 β a 1 + ( 2rζ ) sen ω f t −ψ
2
)
(
FT = F0 βT sen ω f t −ψ
o bien
βT = β a 1 + ( 2rζ ) =
2
donde
(
FT = X 0 k β a 1 + ( 2rζ ) sen ω f t −ψ
1 + ( 2rζ )
2
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
)
2
El coeficiente β T , es la relación entre la amplitud de la fuerza transmitida y la amplitud de
Trasmisibilidad TR
fuerza aplicada, es llamada T r a n s m i s i b i l i d a d .
2
r
24
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La gráfica muestra la relación entre las cantidades β T ↔ r , para diferentes valores de factor
de amortiguamiento ζ . En esta gráfica se observa que β T > 1 para r < 2 , en esta región
la amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la fuerza aplicada. Para r < 2 , la fuerza
transmitida al soporte puede reducirse aumentando el factor ζ .
Para r > 2 se tendrá
β T < 1 , esto es la amplitud de la fuerza transmitida es menor a la aplicada, y la amplitud de
la fuerza trasmitida se incrementa al incrementar el factor ζ .
1.7 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.
El número de grados de libertad, necesarios para el análisis vibratorio de un sistema
mecánico, es el número de coordenadas cinemáticamente independiente, requerido para
especificar el movimiento de cada partícula contenida en el sistema; el número de grados de
libertad se determina por:
N° G.L.= N° de masas
X
N° de posibles tipos de movimiento de cada masa
Así, un sistema de dos grados de libertad, requiere dos coordenadas cinemáticamente
independientes para definir completamente su configuración; para cada coordenada se
pueden escribir dos ecuaciones de movimiento, una para cada grado de libertad. Esas dos
ecuaciones generalmente se presentan en forma de ecuaciones diferenciales acopladas,
esto es, en cada ecuación se involucran las dos coordenadas independientes. Si se supone
soluciones armónicas para cada ecuación de movimiento, se obtendrán dos frecuencias
naturales, con lo que las amplitudes están relacionadas de una manera específica y dicha
configuración es llamada, modo normal o modo principal o modo natural de
vibración. Así un sistema de dos grados libertad tiene dos modos normales de vibración,
correspondientes a las dos frecuencias naturales.
La configuración de un sistema se
especifica por un grupo de coordenadas independientes (una longitud y un ángulo, o dos
longitudes, etc.).
Al grupo de coordenadas utilizado se le llama coordenadas
25
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generalizadas. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad,
normalmente están acopladas, pero se podrá encontrar ecuaciones que contengan sólo una
coordenada (desacoplar), y resolverse independientemente. Al grupo de coordenadas de las
ecuaciones desacopladas se le llama coordenadas principales.
COORDENADAS PRINCIPALES PARA DOS GRADOS DE LIBERTAD
En un modo principal, si el movimiento de todas las partes del sistema pueden describirse
por una coordenada simple sin referencia a cualquier otra, esta es una coordenada principal.
Para definir el movimiento de n grados de libertar con una coordenada simple parece
imposible, pero solo porque una coordenada principal es más una parámetro matemático
que una coordenada geométrica por la posición que es directamente medido. En un sistema
de tres grados de libertad, es simple expresar el movimiento en términos de dos o tres
coordenadas, por las coordenadas ortogonales x, y y z, pero es difícil físicamente aceptar
una coordenada principal que exprese todos los movimientos par las tres masas del sistema.
26
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1.8 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Para m1
Para m2
ΣF1 = m1&&
x1 = −k1 x1 + k2 ( x2 − x1 )
(1)
ΣF2 = m2 &&
x2 = −k2 ( x2 − x1 )
(2)
Ordenando
m1&&
x1 + ( k2 + k1 ) x1 − k2 x2 = 0
(3)
m1 &&
x1 − k2 x1 + k2 x2 = 0
(4)
x1 = X 1 sen(ω n t + φ )
Cuyas soluciones son
x2 = X 2 sen(ω n t + φ )
(5)
(6)
Derivando dos veces respecto al tiempo
&&
x1 = −ωn2 X 1sen (ωnt + φ )
(7)
&&
x2 = −ωn2 X 2 sen (ωnt + φ ) (8)
Sustituyendo 5-8 en 3 y 4 y reduciendo se obtiene:
(k
1
+ k2 − ωn2 m1 ) X 1 − k2 X 2 = 0
(9)
(k
2
− ωn2 m2 ) X 2 − k 2 X 1 = 0
(10)
La solución no t ri vi al se da solo sí el determinante de los coeficientes de X 1 y de X 2 es
igual a cero
k1 + k2 − ωn2 m1
− k2
− k2
= ( k1 + k2 − ωn2 m1 )( k2 − ωn2 m2 ) − k22 = 0
k2 − ωn2 m2
27
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m1m2ωn4 − ⎡⎣ m1k 2 + m2 ( k1 + k2 ) ⎤⎦ ωn2 + k1k2 = 0
O bien
(11)
Esta es la ecuación característica del sistema cuyas raíces son:
ωn21 =
−b + b 2 − 4ac
2a
donde
y
ωn22 =
−b − b 2 − 4ac
2a
b = − ⎡⎣ m1k2 + m2 ( k1 + k2 ) ⎤⎦ ;
a = m1m2 ;
c = k1k 2
Esto muestra que es posible tener dos soluciones armónicas no triviales, una para cada valor
de ω n . Falta determinar los valores de X 1 y X 2 para ω n1 y X 1 y X 2 para ω n 2 . Puesto
que las ecuaciones de movimiento son homogéneas, sólo se puede encontrar las relaciones
β1 =
X 2(1)
y
X 1(1)
β2 =
(k
1
X 2(2 )
:
X 1(2 )
+ k2 − ωn2 m1 ) X 1 − k2 X 2 = 0
⇔
(k
1
+ k 2 − ωn2 m1 ) X 1 = k2 X 2
⇒
1
X 2( ) k1 + k2 − ωn21m1
=
1
k2
X 1( )
(k
2
2 − ωn m2 ) X 2 − k 2 X 1 = 0
∴
⇔
(k
2
2 − ωn m2 ) X 21 = k 2 X 1
⇒
X 2(1)
k2
(1) =
X1
k 2 − ω n21m2
X 2(1) k1 + k2 − ωn21m1
k2
β1 = (1) =
=
k2
X1
k 2 − ω n21m2
donde X 1(1) es la amplitud de la masa 1, X 2(1) amplitud de la masa 2, para la frecuencia
natural uno. La solución correspondiente a ω n1 , es
x1(1) = X 1(1) sen (ωn1t + φ1 ) ;
x2(1) = X 2(1) sen (ωn1t + φ1 )
28
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o bien
x1(1) = X 1(1) sen(ω n1t + φ1 )
Para la frecuencia natural 2
o bien
β2 =
;
x2(1) = β 1 X 1(1) sen(ω n1t + φ1 )
X 2(2 ) k1 + k2 − ωn22 m1
k2
=
(2 ) =
k2
k 2 − ω n22 m2
X1
x1(2 ) = X 1(2 ) sen(ω n 2 t + φ1 ) ;
x2( 2 ) = X 22 sen(ω n 2 t + φ1 )
x1(2 ) = X 1( 2 ) sen(ω n 2 t + φ1 )
x2(2 ) = β 1 X 1(2 ) sen (ω n 2 t + φ1 )
;
Las relaciones β 1 y β 2 se denominan modos de vibración o modos principales de
vibración.
La solución completa, x1 y x2, pueden obtenerse mediante la suma de las dos soluciones
respectivas:
x1 (t ) = x11 + x21 = β1 X 21 sen(ω n1t + φ1 ) + β 2 X 21 sen(ω n 2 t + φ 21 )
x2 (t ) = x21 + x22 = X 21 sen(ω n1t + φ1 ) + X 22 sen(ω n 2 t + φ 21 )
Las cuatro constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales, derivando las dos
cauciones anteriores se obtiene:
x&1 ( t ) = ωn1 β1 X 21 sen (ωn1t + φ1 ) + ω n 2 β 2 X 21 sen(ω n 2 t + φ 21 )
x&2 ( t ) = ωn1 X 21 sen (ωn1t + φ1 ) + X 22 sen(ω n 2 t + φ 21 )
Las condiciones iniciales se establecen de la siguiente manera:
x1 (0 ) = x10
x&1 ( 0 ) = x&10
29
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x2 (0 ) = x20
x&2 ( 0 ) = x&20
Sustituyendo en las ecuaciones de la soluciones, quedan
x10 = β 1 X 21 senφ1 + β 2 X 22 senφ 2
x20 = X 21 senφ1 + X 22 senφ 2
x&10 = ωn1 β1 X 21 senφ1 + ωn 2 β 2 X 22 senφ2
x&20 = ωn1 X 21 senφ1 + ωn 2 X 22 senφ2
Para el caso en el que m1 y m2 sean iguales a m; y k1 y k2 sean iguales a k, se obtiene:
a=m ;
b = −3mk
∴ ωn1 = 3
k
5 k
k
+
= 0.382
m
4m
m
2
c=k
ω =
⇒
2
2
n
3mk ± 9m 2 k 2 − ( 4 ⋅ m 2 ⋅ k 2 )
ωn 2 = 3
2m 2
k
5 k
k
+
= 2.618
m
4m
m
Sustituyendo en la ecuación 10 los valores de ωn
(k
2
X 2(1)
(1)
X1
X 2(1)
(1)
X1
− ωn2 m2 ) X 2 = k2 X 1
=
=
(
k
k − 0.382
(
k
m
k
k − 2.618
k
m
)
)
⇒
=
2
m
=
2
m
X2
k2
=
X 1 k2 − ωn2 m2
k
= 1.171
k − 0.146 k
k
= −0.171
k − 6.854 k
30
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1
1.171
1
-1.171
31
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1.8.1 SOLUCIÓN EN FORMA MATRICIAL.
Para sistemas vibratorios de más de un grado de libertad, es más conveniente utilizar la
notación matricial, para escribir las ecuaciones de movimiento obteniéndose el vector modal
y las frecuencias naturales como valores propios. Las ecuaciones 1 y 2 en forma matricial
queda:
⎡m1
⎢0
⎣
x1 ⎤
0 ⎤ ⎡ &&
⎡k1 + k 2
+ ⎢
⎥
⎢
⎥
m2 ⎦ ⎣ &&
x2 ⎦
⎣ − k2
o en su forma compacta
− k 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡0 ⎤
= ⎢ ⎥
⎥
⎢
⎥
k 2 ⎦ ⎣ x2 ⎦
⎣0 ⎦
[M][x] + [k][x] = [0]
donde [x] y [x] son los vectores de desplazamiento y aceleración, y [M] y [K] son las
matrices simétricas de masa y rigidez respectivamente, para un sistema de dos grados de
libertad.
La forma general de ambas matrices es:
⎡ m11
⎣m21
m12 ⎤
;
m22 ⎥⎦
[M]= ⎢
⎡ k11
⎣k 21
[K]= ⎢
k12 ⎤
k 22 ⎥⎦
Los subíndices reciben los nombres de, subíndices de masa o inercia, y subíndices de
rigidez o elásticos, respectivamente. En este caso m12 = m21 = 0 , por tanto la matriz es
diagonal, entonces &x&1 y &x&2 , están dinámicamente desacopladas. No así las k, por tanto x1
y x 2 están elásticamente acopladas.
Procedimiento de Solución: Para resolver la ecuación en forma matricial, se sigue un
procedimiento similar al establecido, para un sistema de un grado de libertad, se supone la
solución de la forma:
[x] = [X] sen(ω n t + φ )
⎡ X1 ⎤
⎥
⎣X 2 ⎦
donde [X] = ⎢
32
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[ &x& ] = − ω n2 [X]
Derivando dos veces
y sustituyendo
-ω2[M] [X] sen(ω n t + φ ) + [K] [X] sen(ω n t + φ ) = 0 cuya ecuación característica es
[K] -ω2 [M] = [0]
Esta ecuación es no trivial su el determinante de sus coeficientes es igual a cero | [K] -ω2 [M]
|=0
⎡ k11
⎣k 21
[K] –ω2[M] = ⎢
k12 ⎤
⎡ m11
-ω2 ⎢
⎥
k 22 ⎦
⎣m21
m12 ⎤
⎡ k11 − ω n2 m11
=
⎢
2
m22 ⎥⎦
⎣k 21 − ω n m21
k12 − ω n2 m12 ⎤
⎥
k 22 − ω n2 m22 ⎦
| [K] -ω2 [M] | =
k11 − ω n2 m11
k12 − ω n2 m12
k 21 − ω n2 m21
k 22 − ω n2 m22
(k
11
− ωn2 m11 )( k 22 − ωn2 m22 ) . ( k12 − ωn2 m12 )( k12 − ωn2 m21 ) = 0
haciendo la multiplicación y ordenando queda:
ω 2 (m11m22 − m12 m21 ) + ω n2 (m12 k 21 + m12 k 21 − m11k 22 .m22 k11 ) + k11k 22 − k12 k 21 = 0
Si las matrices de masa y rigidez son simétricas, estos m12 = m21 y k12 = k 21 , entonces
ω n4 (m11 m22 − m122 ) + ω n2 (2m12 k12 − m22 k 22 − m22 k11 ) + k11 k 22 − k122 = 0
resolviendo para ω n1 y ω n 2 se obtienen la solución siguiente:
[x] = [X1] sen(ω n1t + φ ) + [X2] sen(ω n2 t + φ )
donde [X1] y [X2] son los vectores de las amplitudes dadas por
⎡ X 11 ⎤
⎥ ;
⎣ X 12 ⎦
[X1] = ⎢
33
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⎡ X 21 ⎤
⎥
⎣ X 22 ⎦
[X2] = ⎢
Las amplitudes se relacionan entre por β 1 =
β1 =
X 11
⇒
X 21
X 12
⇒
X 22
Así los vectores [X1] y [X2] quedan
X 11 = β1 X 21 ;
X 12 = β1 X 22
⎡ β1 X 21 ⎤ ⎡ β1 ⎤
⎥ = ⎢ ⎥ X 21 y
⎣ X 21 ⎦ ⎣ 1 ⎦
[X1] = ⎢
[X2] =
⎡ β 2 X 22 ⎤ ⎡ β 2 ⎤
⎢ X ⎥ = ⎢ 1 ⎥ X 22
⎣ 22 ⎦ ⎣ ⎦
Finalmente La solución queda:
⎡ x1 ⎤ ⎡ β1 ⎤
⎡β ⎤
⎡β
= ⎢ ⎥ X 21 sen(ω n1t + φ1 ) + ⎢ 2 ⎥ X 22 sen(ω n 2 t + φ 2 ) = ⎢ 1
⎥
⎣1⎦
⎣1
⎣ x2 ⎦ ⎣ 1 ⎦
[x] = ⎢
β2 ⎤
1 ⎥⎦
⎡ X 21 sen(ω n1t + φ1 ) ⎤
⎢ X sen(ω t + φ )⎥
n2
2 ⎦
⎣ 22
Para condiciones iníciales
⎡ x10 ⎤ ⎡ β 1
⎥= ⎢
⎣ x20 ⎦ ⎣ 1
[x] = ⎢
β 2 ⎤ ⎡ X 21 senφ1 ⎤
1 ⎥⎦ ⎢⎣ X 22 senφ 2 ⎥⎦
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DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES
DESBALANCEO ROTATORIO
Y CO NT RO L DE
VIBRACIONES.
EN ESTE CAPITULO HABLARA ACERCA DE LA DEFINICIÓN DE
DESBALACEO ROTATORIO, DONDE OCURRE LAS
CONSECUENCIAS Y SU COMPORTAMIENTO.
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2.1 DESBALANCEO
ROTATORIO.
2.1.1 INTRODUCCIÓN.
Una muy común fuente problemática de vibración es la maquinaria rotatoria. Muchas máquinas
y dispositivos tienen componentes rotatorios, usualmente manipulados por motores eléctricos.
Pequeñas irregularidades en la distribución de la masa que rota pueden causar vibraciones
substanciales. A este fenómeno se le conoce como desbalance rotatorio.
El desbalance o desequilibrio es la no coincidencia del centro de gravedad con el centro de
giro, que al girar induce una fuerza centrífuga no compensada que rota a la velocidad de giro.
Cuando el sistema rotativo es esbelto el desbalance puede ser de los siguientes tipos:
1. Desbalance estático: los ejes son paralelos, de manera que el centro de gravedad no
está en el eje de giro.
2. Desbalance de par: El eje central principal intercepta con el eje de giro en el centro
de gravedad del rotor, se produce un efecto de par.
3. Desbalance cuasi-estático: El eje central principal intercepta al eje de rotación pero
no en el centro de gravedad del rotor.
4. Desbalance dinámico: Es el caso más común, combinación de los anteriores en que
los ejes no se cruzan y están en cualquier posición en el espacio.
Realizar el balanceo es añadir o remover pesos de corrección, de manera que el eje principal
de inercias se aproxime al eje de giro hasta que la vibración residual está dentro de los niveles
considerados como admisibles.
Los niveles permisibles están definidos por la norma ISO 1940 que establece categorías de
máquinas y considera para el cálculo el peso del rotor y la velocidad de giro. Además se
proporcionan especificaciones para los rotores en un estado constante (rígido) y se especifican
las tolerancias de equilibrio, el número necesario de planos de corrección, y métodos para
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verificar el desequilibrio residual.
El balanceo dinámico puede realizarse de dos formas, en banco de pruebas (el nivel final de
vibración seguro para la máquina) o en sitio (en condiciones de servicio).
Mediante el “Análisis de Vibraciones” se determina la condición de las máquinas rotativas
definiendo no solo el grado de desbalance, sino también el desalineamiento, presencia de
holguras mecánicas, bases y cimentaciones insuficientes, desgaste de piezas internas,
interferencia de engranajes, etc.
Este Análisis requiere de toda la información de la cadena cinemática, el tipo de rodamientos,
las velocidades de giro, el número de dientes del las ruedas dentadas, el número de aspas de
los ventiladores, las condiciones de soporte, etc.
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2.1.2 DEMOSTRACIÓN Y FUNDAMENTOS TEÓRICO
MATEMÁTICOS.
Se muestra el modelo de una máquina rotatoria de un grado de libertad, soportada por una
base con elasticidad k y amortiguamiento c. La máquina de masa total m, tiene un rotor que
gira con respecto al centro en el punto O, con velocidad angular ωR rad s ; normalmente la
masa no está distribuida uniformemente, lo que produce desbalanceo, el cual es equivalente a
una masa excéntrica m', que gira con excentricidad e, del centro de giro del rotor, la fuerza
centrífuga de la masa m' está dada por m′eω R2 y su componente vertical por m′eω R2 senω R t :
x
mx&&
mg
m’
e
m c
F0 = meωR2
ωR
ωR t
O k
kx
cx&
La ecuación diferencial del movimiento para este caso es:
mx&& + cx& + kx = m′eω R2 senω R t
Si:
Fo = m′eω R2
Y además:
ωn =
k
m
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x = X R sen (ωR t −ψ ) , derivando
La solución de la ecuación para estado estable es de la forma
esta solución dos veces, sustituyendo y desarrollando se obtienen expresiones similares al caso
de vibración forzada amortiguada:
xp =
F0 = m′eωR2
( k − mω ) + ( cω )
2 2
R
2
sen (ωR t −ψ ) =
R
X0
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
sen (ωR t −ψ )
Donde:
ψ = tan −1
2rζ
1− r2
Físicamente, es el ángulo entre el brazo de excentricidad y la referencia horizontal de ω R t . Dado
que:
X0 =
F0
k
⇔ xp =
F0
β a sen (ωR t −ψ )
k
Donde:
βa =
1
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
O bien:
X0 =
F0 m′eωR2 m′eωR2 ⎛ m′e ⎞ 2
r
=
= 2 =⎜
k
k
ωn m ⎝ m ⎟⎠
Sustituyendo X 0 en x p se obtiene:
⎛ m′e ⎞ 2
xp = ⎜
⎟r
⎝ m ⎠
1
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
⎛ m′e ⎞
sen (ωR t −ψ ) = ⎜
⎟ β R sen (ωR t −ψ )
⎝ m ⎠
El desplazamiento, es el de la masa total del sistema m, no la de la masa excéntrica.
Donde:
βR =
r2
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
= r2βa
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( )
La amplitud de desplazamiento X R = x p
máx
, se presenta cuando el sen (ωRt −ψ ) = 1
por tanto:
XR =
m′e
βR
m
βR =
X Rm
m′e
O bien:
La siguiente gráfica muestra los valores del factor de amplificación β R (r ,ζ ) contra la
razón de frecuencias r:
β R = 0 si r = 0 para todo valor de ζ .
1.
2. β R ≈ 1 para r grande y todos los valores de
ζ.
3. Si r = 1 y ζ = 0, se presenta resonancia.
4. Para 0 < ζ < 1
2
β Rm tiene su máximo para
rm :
rm =
1
1 − 2ζ 2
5. Para 0 < ζ < 1/ 2 el valor de β Rm es:
β Rm =
6. Para
ζ >
1
2
MX R
1
=
me
2ζ 1 − ζ 2
β Rm
no tiene máximo, se
aproxima a 1, al crecer r.
40
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2 . 1 . 3 FUERZA TRANSMITIDA.
Del diagrama de cuerpo se obtiene la fuerza transmita al soporte debido al desbalance de la
masa:
FR = kx p + cx& p
⎛ m′e ⎞
⎟ β r cos (ω R t −ψ R ) :
⎝ m ⎠
Sustituyendo x p y x& p = ω R ⎜
⎛ m′e ⎞
FR = ⎜
⎟ β R ⎡⎣ ksen (ω R t −ψ R ) + cω R cos (ω R t ) −ψ R ⎤⎦
⎝ m ⎠
La cual puede también escribirse en la forma:
2
⎛ m′e ⎞
2
FR = ⎜
⎟ k β R k + ( cω R ) sen ω R t −ψ
⎝ m ⎠
(
)
Si se multiplica por k , se transforma en:
k
2
⎛ m′e ⎞
FR = ⎜
⎟ k β R 1 + ( 2rζ ) sen ω R t −ψ
⎝ m ⎠
(
Puesto que k
m
)
= ωn2 y definiendo:
βTR = β R 1 + ( 2rζ ) =
2
r 2 1 + ( 2rζ )
2
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
Su forma compacta queda como sigue:
(
FR. = ( meωn2 ) βT . R. sen ω f t −ψ
)
El valor máximo de fuerza transmitida se presenta cuando:
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(
)
sen ω f t −ψ = 1
Y así:
(
)
FR = meω n2 β Tr
O bien:
FTR = ( meωn2 ) βTR
CABECEO DE EJES ROTATORIOS.
En el estudio previo de desbalance se considera al eje que sostiene al rotor como rígido; sin
embargo, en la práctica existe una deformación (flecha) que aumenta los efectos vibratorios,
aunado a efectos giroscópicos, al rozamiento del fluido en los rodamientos, la rigidez general,
etc. Todo lo anterior produce un giro complejo del sistema eje- masas, que sostiene (engranes,
turbinas, volantes, etc.), que se conoce como cabeceo, este se define, como la rotación del
plano entre la línea de centros de los rodamientos y la línea elástica del eje.
Asumiendo que el rotor está sometido a excitación de estado estable, debido al desbalanceo,
las fuerzas actuantes en él son: la fuerza de inercia debida a la aceleración del centro de masa,
la fuerza elástica debida a la elasticidad del eje y la fuerza de amortiguamiento externo e
interno.
r
R = ( x + a cos ωR t ) iˆ + ( y + asenωR t ) ˆj
&&r
R = ( &&
x + aωR2 cos ωR t ) iˆ + ( &&
y + aωR2 senωR t ) ˆj
r
∑ F = mR&& = m ⎡⎣( &&x + aω
2
R
(
) (
& ˆ + yj
&ˆ
cos ωR t ) iˆ + ( &&
y + aωR2 senωR t ) ˆj ⎤⎦ − k xiˆ + yjˆ − c xi
=
)
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Ordenando:
( mx&& − maω
2
R
+ cx& + kx ) iˆ + ( my&& − maω R2 + cy& + ky ) ˆj = 0
Las ecuaciones escalares son:
mx&& + cx& + kx = maω R2 cos ω R t
y
my&& + cy& + ky = maω R2 semω R t
Estas dos ecuaciones son muy similares a las de desbalance, sus soluciones son:
x=
ar 2
(1 − r 2 ) + ( 2ζ r )
2
2
cos (ωR t −ψ )
y=
y
ar 2
(1 − r 2 ) + ( 2ζ r )
2
2
sen (ωR t −ψ )
Estas soluciones están desfasadas 90°, además el ángulo ψ no depende de la fase de la
fuerza de excitación, sino corresponde al ángulo entre las líneas OE y EG.
tanψ =
y sen (ω R t −ψ )
=
= tan (ω R t −ψ )
x cos (ω R t −ψ )
si
θ = ω R t −ψ
⇔
θ& = ω R
&
Con θ la velocidad de cabeceo (vibración lateral), que es el movimiento angular de un árbol
deformado, respecto a su eje longitudinal.
La amplitud de cabeceo del movimiento del centro del árbol respecto al eje longitudinal es la
ˆ ˆ
línea OE = xi + yj .
OE = X sen2 (ωRt −ψ ) + cos 2 (ωRt −ψ ) = X
Donde:
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Xc =
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ar 2
(1 − r ) + ( 2ζ r )
2 2
2
La Velocidad Crítica ( ωcr ).
La experiencia establece que para determinar la reacción de los rodamientos, primero se
determina la deflexión del centro de masa del disco R, de la figura:
R=a
2
R = OE + a + 2OEa cos φ
2
2
1 + ( 2ζ r )
2
(1 − r ) + ( 2ζ 2 )
2 2
2
Las reacciones se determinan a partir de la fuerza centrífuga
mω R2 R
, en la resonancia las
frecuencias son iguales por tanto F = kR .
44
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2.2 CONTROL MECÁNICO DE VIBRACIONES
Las vibraciones indeseables son aquellas que producen molestia o riesgo a las
personas, causan daño o fallas en las estructuras, deterioran la ejecución o
funcionamiento de maquinaría y procesos; a continuación se esquematizan
algunos sistemas mecánicos cometidos a vibraciones no deseables:
Esta figura representa una máquina alternativa montada en una cimentación
rígida, la cimentación soporta la carga estática igual a su peso más una
componente armónica debida a la inercia por desbalanceo.
cimentación
Esta figura representa una prensa para forja montada en su cimentación.
Durante su operación, el yunque es golpeado por un peso de manera súbita. El
impacto causa una fuerza impulsiva, que se transmite a la cimentación, lo que a
su vez produce vibraciones.
cimentación
Bomba que suministra líquido.
La velocidad de operación de la bomba puede
ser cercana a la frecuencia natural de la línea de distribución, lo que puede
producir resonancia.
45
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Bomba
Uno de los objetivos del análisis de vibraciones es aplicar sus resultados en la
comprensión de cómo las vibraciones indeseables pueden ser reducidas o
eliminadas, desarrolla los principios de diseño para el aislamiento de sistemas.
También
puede
introducirse
elementos
vibratorios
para
contrarrestar
las
vibraciones del sistema mecánico principal, protegiéndose de la transmisión de
fuerzas o movimientos indeseables.
El control de vibraciones, es el uso del análisis de vibraciones para desarrollar
métodos que eliminen o reduzcan vibraciones indeseables.
Para el estudio del control de vibraciones, los sistemas se idealizan de acuerdo
con el siguiente esquema:
RESPUESTA
x(t)
EXCITACIÓN
F(t)
SISTEMA MECÁNICO S
La mitigación de vibraciones está relacionada con cada una de las partes
descritas en este esquema:
1. Aislamiento.-
tiende a reducir la transferencia de fuerza o movimiento
debida a la excitación de la vibración, F(t)
2. Modificar el diseño del sistema.- consiste en modificar o rediseñar los
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parámetros del sistema vibratorio de manera que para un mismo nivel de
excitación, se obtenga una respuesta aceptable. Por tanto trata con el
sistema S.
3. Disipar.- consiste en absorber o disipar las vibraciones, utilizando aparatos
externos. Trata con la respuesta x(t)
Dentro de estas tres categorías, existen varios métodos para alcanzar el
objetivo de mitigación de vibraciones, los cuales involucran corregir, diseñar y
controlar los parámetros vibratorios o incluir sistemas adicionales.
La excitación puede reducirse mediante balanceo mecánico o agregando un
aislador, el cual puede ser pasivo o activo. El aislador activo requiere controles
especiales para su funcionamiento.
Al cambiar cualquiera de los parámetros
del sistema vibratorio (m, c, k), la respuesta obtenida cambiará, por lo que un
rediseño del sistema pudiera corregir una respuesta inapropiada.
Por último,
se puede agregar otro sistema vibratorio (amortiguador) al primario que reduzca
su respuesta, en este caso también puede ser el amortiguador pasivo o activo.
En la práctica es posible reducir vibraciones, pero no se pueden eliminar las
fuerzas dinámicas que las
producen, para controlarlas se pueden usar varios
métodos como los siguientes:
1. Controlar las Frecuencia Naturales del sistema evitando la resonancia
debidas a excitaciones externas.
2. Prevenir la respuesta excesiva del sistema o resonancia, mediante la
introducción de mecanismos amortiguadores o disipadores de energía.
3. Reducir o la transmisión de fuerzas de excitación de una de las partes de
la máquina a otra, por el uso de aisladores de vibraciones.
4. Reducir de la respuesta del sistema, por la adición de masas auxiliares
que neutralicen o absorban vibraciones.
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2.2.1 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES.
Es un procedimiento que reduce los efectos indeseables de las vibraciones.
Básicamente, involucra la inserción de un miembro elástico entre la masa
vibrante y la fuente de la vibración, para reducir la respuesta dinámica del
sistema.
Los aisladores pueden ser activos o pasivos, dependiendo de sí
requiere potencia externa o no para ejecutar su función aisladora. Un aislador
pasivo
consta
de
un
miembro
elástico
y
una
disipador
de
energía
(amortiguador), por ejemplo un resorte, corcho, fieltro, resorte neumático, hule.
Un aislador activo está compuesto de un servomecanismo con un censor, un
procesador de señal y un actuador.
La eficacia de un aislador es establecida
en términos de su Transmisibilidad (T r ), la cual se define como la relación entre
las amplitudes de la fuerza transmitida y la fuerza de excitación.
Los aisladores puede usarse en dos situaciones:
1° La base o cimiento de la
máquina
desbalanceadas
se
protege
contra
grandes
fuerzas
(máquinas
alternativas o rotatorias), o fuerzas impulsivas (prensas de forja o troquelado),
en este caso la fuerza es trasmitida a través del resorte y el amortiguador. En
un sistema de un grado de libertad, la fuerza transmitida está dada por:
FT = kx + cx& .
Si la fuerza transmitida varia armónicamente, como en el caso de
desbalanceo alternativo, el esfuerzo resultante en los tornillos de la base varía
armónicamente,
lo
que
produce
falla
por
fatiga.
Si
no
es
trasmitida
armónicamente su magnitud está limitada a valores permisibles seguros.
El 2° tipo, el sistema es protegido contra el movimiento de su base o cimiento
(con en el cado de la protección de instrumento o equipo delicado).
Si el
instrumento es modelado como un sistema de un grado de libertad, la fuerza
transmitida
está
( x& − y& ) representan
dada
el
por;
donde:
desplazamiento
y
FT ≡ mx&& ≡ k ( x − y ) + c ( x& − y& ) (x − y )
y
velocidad
y
relativas
del
resorte
amortiguador respectivamente.
48
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2.2.2 CONTROL DE FRECUENCIAS NATURALES.
La característica más importante de la resonancia es el gran desplazamiento
que sufre el sistema, lo que produce altos esfuerzos, que a su vez provocan la
falla de los miembros mecánicos.
Las frecuencias de oscilación pueden ser
requerimientos funcionales; sin embargo deben ser modificas para evitar la
resonancia, ya sea variando a conveniencia la masa o la rigidez de los
elementos del sistema. Normalmente se cambia la rigidez; por ejemplo en un
eje de transmisión se puede alterar el material o la localización de los apoyos.
2 . 2 . 3 A M O R T I G U A D O R D I N Á MI C O D E V I B R A C I O N E S
Cuando un sistema mecánico de un grado de libertad, trabaja con frecuencia de
operación cercana a la natural (resonancia), la respuesta armónica será
grande; para reducir la magnitud de la respuesta se utiliza un neutralizador de
vibraciones o un amortiguador dinámico de vibraciones. Que consiste en
agregar otro sistema masa-resorte al sistema principal; este sistema adicional
se denomina amortiguador dinámico de vibraciones.
Entonces el sistema
principal, más el sistema amortiguador forman un sistema de dos grados de
libertad, con dos frecuencia naturales de valores distintos al valor de la
frecuencia natural del sistema principal independiente.
Los amortiguadores a
menudo son utilizados en máquinas que trabajan a velocidad constante, tales
como máquinas alternativas, compactadoras, rasuradoras eléctricas, en líneas
de transmisión, etc.
Un amortiguador de vibraciones es un sistema masa-resorte auxiliar, que
correctamente sintonizado (ajustado en resonancia del sistema principal) y
unido a un cuerpo sometido a excitación armónica, provoca que el movimiento
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( X P = 0) .
de la masa principal cese
El esquema muestra un sistema de un grado de libertad, al que se le ha
agregado un amortiguador; por tanto el sistema completo es de dos grados de
libertad. La masa principal
mP , está unida al soporte mediante un resortes k P ,
la frecuencia natural de este sistema principal asilado es
ωP = k P mP
; y el del
ma y rigidez ka es ωa = ka ma . Si el amortiguador está
amortiguador de masa
correctamente diseñado, la respuesta de la masa principal debe ser cero o de
amplitud mucho menor a la inicial.
mP &&
xP + ( ka + k P ) xP − ka xa = F0 sen ω f t
mP &&
xP − ka xP + ka xa = 0
si
xP = X P senω f t
y
xa = X a senω f t
Masa Principal ( mP)
( kP + ka − ω 2f mP ) X P − ka X a = F0
x1
− ka X P + ( ka − ω ma ) X a = 0
ka
⎛ k P ka ω 2f ⎞
k
F
÷ kP
⎜⎜ + − kP ⎟⎟ X P − a X a = 0
kP
kP
mP ⎠
⎝ kP kP
⎛k
ω 2f ⎞
k
÷ ka
− a XP + ⎜ a − k ⎟ Xa = 0
⎜k
⎟
a
ka
ma ⎠
⎝ a
2
f
kP
2
kP
2
ma
x2
AMORTIGUADOR DINÁMICO
DE VIBRACIONES
Si
ωP =
kP
;
mP
q=
ωa =
ωP
;
ωa
ka
;
ma
µ=
F0
X0;
kP
rP =
ωf
;
ωP
ra =
ωf
;
ωa
ka maωa2
=
= µq2
2
k P mPωP
ma
;
mP
entonces
(1 + µ q
2
− rP2 ) X P − µ q 2 X a = X 0
; − 1X P + (1 − ra2 ) X a = 0
50
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Este sistema no homogéneo puede resolverse para las amplitudes de estado
estable
X P y X a , como sigue:
−µ q2 ⎤ ⎡ X 0 ⎤
⎡ X P ⎤ 1 ⎡1 − ra2
=
⎢X ⎥ ∆ ⎢
⎥
2
2⎥⎢
⎣ a⎦
⎣ −1 1 + µ q − rP ⎦ ⎣ 0 ⎦
∆
es
el
determinante
de
la
matriz
de
coeficientes
dado
por:
∆ = (1 − ra2 )(1 + µ q 2 − rP2 ) − µ q 2
ω f = rPωP = raωa
Pero como
(1 − r )(1 + µ q
2
a
2
⇒
rP =
raωa
ωP
− rP2 ) − µ q 2 = q 2 ra4 − ⎡⎣1 + (1 + µ ) q 2 ⎤⎦ ra2 + 1
⎡1 + µ q 2 − rP2
⎡XP ⎤
1
=
⎢
⎢X ⎥
2 4
2
2
−1
⎣ a ⎦ q ra − ⎡⎣1 + (1 + µ ) q ⎤⎦ ra + 1 ⎣
∴
Si
1 − ra2
XP
= 2 4
X 0 q ra − ⎡⎣1 + (1 + µ ) q 2 ⎤⎦ ra2 + 1
ra = 1
,
esto
es
ωa = ω f
−µ q2 ⎤ ⎡ X 0 ⎤
⎥⎢ ⎥
1 − ra2 ⎦ ⎣ 0 ⎦
Xa
1
= 2 4
X 0 q ra − ⎣⎡1 + (1 + µ ) q 2 ⎦⎤ ra2 + 1
y
entones
XP = 0 ;
y
el
denominador
q 2 ra4 − ⎡⎣1 + (1 + µ ) q 2 ⎤⎦ ra2 + 1
se reduce a
q 21 − ⎡⎣1 + (1 + µ ) q 2 ⎤⎦ 1 + 1 = q 2 − 1 − q 2 − µ q 2 + 1 = − µ q 2
Xa = X0(
;
F k
F
k
1
) = −X0 P = − 0 P = − 0
2
−µq
ka
k P ka
ka
La respuesta de estado estable de la masa del amortiguador está dada por
xa = X a senω f t = −
F0
senω f t
ka
51
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Como
DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES
X P = 0 , la fuerza ejercida sobre la masa principal por el resorte del
⎛ F
⎞
Fr = ka ( xa − xP ) = ka xa = ka ⎜ − 0 senω f t ⎟ = − F0 senω f t
⎝ ka
⎠
amortiguador es:
F r es igual a la fuerza de excitación pero en sentido contrario, por lo que el
desplazamiento es cero.
Entonces, si se eligen valores apropiados de la constante del resorte y de la
masa del amortiguador, el movimiento de la masa principal puede hacerse cero.
Obsérvese que el sistema se convierte en uno de dos grados de libertad, por lo
que tendrá dos frecuencias naturales. En resumen:
kP
mP
ωP =
rP =
ωf
ωP
Frecuencia natural del
sistema principal
ωa =
Razón de frecuencias
entre la forzada y la del
sistema principal
ra =
Frecuencia natural del
sistema auxiliar
ka
ma
ωf
ωa
Razón de frecuencias entre
la forzada y la del sistema
auxiliar o amortiguador
Si el denominador se iguala a cero, entonces la frecuencia forzada coincide con
las frecuencias naturales del sistema de dos grados de libertad.
que las raíces
r1,2
, serán iguales a
De manera
r1 = ωn1 ωa y r2 = ωn 2 ωa , que se obtienen al
resolver la ecuación cuadrática
1 + q 2 (1 + µ )
1
2
r =
m 2 q 4 (1 + µ ) − 2q 2 (1 − µ ) + 1
2
2q
2q
2
1,2
si
se
sintonizan
las
masas
esto
es
q =1
,
donde
la
ecuación
r1,2 =
ω
ωa
se
reduce
a
µ
⎛ µ⎞
r1,22 = ⎜1 + ⎟ m µ +
2⎠
4
⎝
2
52
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DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES
µ=
de donde y considerando la frecuencia natural menor
r14 + 1
−2
r12
Para determinar las frecuencias naturales del sistema completo, es decir el de
dos grados de libertad:
ωP
ωn1,2 =
2
1 + q 2 (1 + µ ) ±
ωn1,2 =
q =1
si
ωP
2
(1 + µ )
2
q 4 + 2 ( µ − 1) q 2 + 1
2 + µ m µ (4 − µ )
Analizando la ecuación de la amplitud principal
X P y considerando que se
pretende sea cero, entonces
⇒
1 − ra2 = 0
En estas condiciones
Xa =
ra = 1 =
ωf
ωa
∴
ω f = ωa =
ka
ma
F0
ka
En conclusión, un amortiguador puede utilizarse para eliminar vibraciones de
estado estable, no deseadas, de un sistema de un grado de libertad, si la
frecuencia natural del amortiguador es ajustada con la frecuencia de excitación
de sistema principal.
Esto tiene diversas aplicaciones, siempre y cuando se
tomen en cuenta los siguientes aspectos.
Cuando el amortiguador está sintonizado con la frecuencia de excitación, una
de
las
frecuencias
naturales
es
menor
que
la
frecuencia
natural
del
amortiguador mientras que la otra es mayor. Entonces durante el encendido o
apagado se pasa por la frecuencia natural menor, produciéndose una amplitud
de vibración grande (resonancia) durante el periodo transitorio.
El estado estable de vibración de la masa principal, es eliminado sólo para una
velocidad de operación. Si el sistema opera sobre un rango de frecuencias, las
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DESBALANCEO ROTATORIO Y CONTROL DE VIBRACIONES
amplitudes estables producidas por el amortiguador pueden ser grandes.
La figura muestra la gráfica de k P X P /F 0 como una función de r 1 para q = 1 y m =
0.15 y r P  = 0.25.
Si r P es mucho menor que o mayor que q, la amplitud de
estado estable de la masa principal es grande. Un rango de operación efectiva
debe ser definido para cada aplicación, mediante el límite de la amplitud de la
vibración o de la fuerza transmitida para un valor máximo aceptable.
La figura muestra las frecuencias naturales como una función de la relación de
masa m , para q fija.
La separación entre las dos frecuencia naturales es
pequeña para valores pequeños de q , resultando un estrecho rango de
operación.
La separación de las frecuencias naturales y el rango efectivo de
operación se incrementa al crecer q .
Sin embargo, un valor pequeño de µ es
usualmente deseable por razones prácticas.
Si el amortiguador está ajustado con la frecuencia de excitación y para una
razón de masas
( µ ) dada, entonces el valor de la rigidez de resorte de
amortiguador es:
k 2 máx = µm1ω n2
Y la máxima amplitud de estado estable de la masa de amortiguador es
X 2 máx =
F0
µm1ω n2
El análisis anterior sólo es válido para sistemas no amortiguados.
Si está
presente cierto amortiguamiento en el amortiguador, no será posible eliminar la
vibración de estado estable en la masa principal. La amplitud de vibración sólo
podrá reducirse.
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y
CONTROL ELECTRÓNICO.
En este capítulo se trata brevemente de los microcontroladores
La fuente de energía (pila), y el paquete de cómputo, que
Se utilizarán en el desarrollo de este trabajo.
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
3.1 MICROCONTROLADOR.
Arquitectura interna.
El PIC 16C84 al igual que los demás miembros de su familia, se caracterizan por que:
•
•
•
•
•
•
Su procesador es segmentado, "pipe-line".
Su procesador es tipo RISC
Tiene una arquitectura HARVARD
El formato de las instrucciones es ortogonal
Todas las instrucciones tienen la misma longitud (14 bits)
La arquitectura está basada en banco de registros
Procesador segmentado "pipe-line": quiere decir que aplica la técnica de segmentación que
permite al procesador realizar simultáneamente la ejecución de una instrucción y la búsqueda de
código de la siguiente. De esta manera, se puede ejecutar una instrucción en un ciclo. (Cada ciclo
de instrucción son cuatro ciclos de reloj).
Ejemplo:
1. MOVLW
55h
Búsqueda Ejecuta 1
1
Búsqueda Ejecuta2
2
2 .MOVWF
PORTB
3.
CALL
SUB_1
4.
BSF
PORTA,BIT3
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Búsqueda Ejecuta 3
3
Búsqueda Salir
4
Búsqueda
SUB_1
Ejecuta
SUB_1
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
FIGURA DE CILO DE INSTRUCCIÓN
FIGURA 3.1.1 PROCESADOR SEGMENTADO PIPELINE
Procesador tipo RISC: Las CPU´s atendiendo al tipo de instrucciones que utilizan pueden
clasificarse en:
•
CISC: (Complex Instruction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones
complejo, que disponen de un repertorio de instrucciones elevado (unas 80), algunas de
ellas muy sofisticadas y potentes, pero que como contrapartida requieren muchos ciclos
de máquina para ejecutar las instrucciones complejas.
•
RISC: (Reduced Instruction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones
reducido, en los que el repertorio de instrucciones es muy reducido (en nuestro caso 35),
las instrucciones son muy simples y suelen ejecutarse en un ciclo máquina. Además los
RISC deben tener una estructura pipeline y ejecutar todas las instrucciones a la misma
velocidad.
SISC.(Specific Instriction Set Computer) Computadores de juego de instrucciones
específico.
•
Arquitectura Harvard: Tradicionalmente los microprocesadores se basan en la estructura de Von
Neumann, como la de la figura siguiente, que se caracteriza por disponer de una única memoria
principal en la que se almacenan los datos y las instrucciones. A esta memoria se accede a
través de un sistema de buses único:
•
•
Bus de datos
Bus de direcciones
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IPN ESIME
•
SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
Bus de control
FIGURA 3.1.2 ARQUITECTURA SEGÚN EL MODELO DE VON NEUMANN
El modelo Harvard , representado en la figura siguiente, dispone de dos memorias:
•
•
Memoria de datos
Memoria de Programa
Además cada memoria dispone de su respectivo bus, lo que permite, que la CPU pueda
acceder de forma independiente y simultánea a la memoria de datos y a la de instrucciones.
Como los buses son independientes éstos pueden tener distintos contenidos en la misma
dirección.
FIGURA 3.1.3 ARQUITECTURA SEGÚN EL MODELO HARVARD
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
Arquitectura Ortogonal: Cualquier instrucción puede utilizar cualquier elemento de la
arquitectura como fuente o destino.
Arquitectura basada en banco de registros: Implica que todos los elementos del sistema, es
decir, temporizadores, puertos de entrada/salida, posiciones de memoria, etc., están
implementados físicamente como registros.
En los PIC el manejo del banco de registros, que participan activamente en la ejecución de las
instrucciones, es muy interesante al ser ortogonales. En la figura siguiente se muestra como la
ALU (Unidad Aritmético-Lógica) efectúa sus operaciones con dos operandos, uno que proviene
del registro W (Work), que en otras CPU´s recibe el nombre de Acumulador, y el otro que se
encuentra en cualquier otro registro o del propio código de instrucción.
FIGURA 3.1.4 REGISTROS QUE PUEDEN ENVIAR DATOS A LA ALU. EL RESULTADO PUEDE IR A
CUALQUIER REGISTRO O AL REGISTRO W
En la Figura siguiente se representa el diagrama de bloques del PIC 16C84 del que podemos
resaltar las siguientes características:
•
•
Memoria de programa EEPROM de 1Kx14 bits
Memoria de datos dividida en 2 áreas:
o Área RAM formada por 22 registros de propósito específico (SFR) y 36 de
propósito general (GPR).
o Área EEPROM formada por 64 bytes.
•
ALU de 8 bits y registro de trabajo W del que normalmente recibe un operando que
puede ser cualquier registro, memoria, puerto de Entrada/Salida o el propio código de
instrucción.
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•
•
•
SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
Recursos conectados al bus de datos: PortA de 5 bits <RA0:RA4> , PortB de 8 bits
<RB0:RB7>, Temporizador con Preescaler TMR0, etc.
Contador de programa de 13 bit (lo que en teoría permitiría direccionar 4 KB de
memoria, aunque el 16C84 solo dispone de 1KB de memoria implementada).
Pila de 8 niveles.
La arquitectura del PIC16C84 se mantiene para todos los microcontroladores de esta
subfamilia, diferenciándose unos de otros por las siguientes características:
PIC 16F84PIC 16F84: La memoria de programa es de l K palabras de l4 bits, pero de tipo Flash.
La memoria de datos RAM tiene 68 registros de tamaño byte de propósito general, en lugar de
36.
PIC16CR84: La memoria de programa es de IK palabras de 14 bits tipo ROM y la de datos tiene
iguales características que el PIC16F84.: La memoria de programa es de 1K palabras de 14 bits
tipo ROM y la de datos tiene iguales características que el PIC16F84.
PIC16F83PIC16F83: La memoria de programa es de 512 palabras de 14 bits y la RAM de datos
tiene 36 bytes de registros de propósito general.
PIC16CR83PIC16CR83: Igual que el PIC16F83, pero la memoria de instrucciones es de tipo
ROM, o sea, sólo grabable durante el proceso de fabricación y utilizada en grandes series.
El elemento diferencial más importante del PIC16C84 respecto al resto de los elementos de la
familia media de los PIC, es que la su memoria de programa es del tipo EEPROM y en el caso
del PIC16F84 es que su memoria es del tipo Flash, por lo demás, otros dispositivos de esta
familia disponen de más memoria, tienen más periféricos, etc.
El Contador de Programas (PC)
Los microcontroladores de la gama media disponen de un Contador de Programa (PC) de 13
bits, cuyos bits de menor peso corresponden a los 8 bits del registro PCL, implementado en la
posición de memoria RAM 02h (y duplicado en la posición 82h),y los cinco bit de mayor peso
del PC corresponden con los 5 bits de menor peso del registro PCLATCH, implementado en la
posición de memoria RAM 0Ah (y duplicado en la posición 8Ah), lo que le permite direccionar
hasta 8 K x 14 bits dividido en páginas de 2 K x 14 bits. Sin embargo, el PIC16C84 dispone tan
solo de 1Kx14 bits de memoria implementada, desde la posición 0000h hasta la 03FFh, los 3 bit
de mayor peso del PC no los tiene en cuenta, así pues la dirección 30h, 430h, 830h,
C30h,1430h, 1830 y 1C30h se considera como la misma.
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
FIGURA 3.1.5 EL CONTADOR DE PROGRAMAS (PC)
En las instrucciones CALL y GOTO los 11 <10:0> bits de menos peso corresponden al código
de operación, mientras que los 2 bit de mayor peso<12:11> los suministran respectivamente los
bit 4 y 3 del registro PCLATH que realmente apuntan a una de las 4 páginas del mapa de
memoria que puede direccionar el PC.
Un Reset provoca que se pongan a cero todos los bits del los registros PCL y PCLATCH,
forzando que la dirección de inicio sea la 0000h.
Como puede verse en la siguiente figura, el vector de reset se almacena en la dirección 0000h,
mientras que el vector de interrupción está en la dirección 0004h. La memoria de programa de
usuario propiamente dicha, comienza en la posición 0005h y llega hasta la 03FFh
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FIGURA 3.1.6 ESPACIO DE MEMORIA
3.2 La Pila
La pila es una zona de memoria, que se encuentra separada tanto de la memoria de programa
como de la de datos. Tiene una estructura LIFO (Last In First Out), por lo que el último valor que
se guarda es el primero que sale. Dispone de 8 niveles de profundidad cada uno de ellos con
una longitud de 13 bits. Su funcionamiento es como el de un buffer circular, de tal forma que el
valor que se obtiene al realizar nueve desplazamientos, es igual al primer desplazamiento.
La única manera de cargar la Pila es a través de la instrucción CALL (llamada a subrutina) o por
una interrupción que hacen que con cada una de ellas, se cargue el contenido del PC en el
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valor superior de la Pila. Para recuperar el contenido de la Pila en el PC hay que ejecutar una
instrucción RETURN, RETLW o RETFIE (vuelta del programa de atención a una subrutina o
interrupción).
No se dispone de ningún flag (identificador) que indique un desbordamiento de la Pila.
Palabras de Configuración e Identificación
Los PIC de la gama media disponen de una palabra de configuración de 14 bits que se escribe
durante el proceso de grabación del dispositivo y que debe hacerse de acuerdo con el sistema
en el que se va a insertar. Dichos bits ocupan la posición reservada de memoria de programa
2007h. En la Tabla siguiente se muestra la estructura de la Palabra de configuración
CP PWRTE WDTE FOSC1 FOSC2
bit bit12 bit11 bit bit
13
10 9
bit
8
bit
7
bit
6
bit
5
bit
4
bit 3
bit 2
bit 1
bit 0
Bit 4: CP, bit de configuración protección de código
1= Protección de código desactivado
0=Protección de código activado
Bit 3: PWRTE, Activación del temporizador "Power-Up"
1= Desactivado
0= Activado
Bit 2: bit de configuración habilitación del Watchdog (WDT)
1: WDT activado
0: WDT desactivado
Bit1 y 2: FOSC<1:0>
11: Oscilador RC
10 Oscilador HS ( 8 - 20 MHz)
01 Oscilador XT ( 100 KHz- 4MHz)
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00 Oscilador LP (Bajo consumo 32- 200 Hz)
Palabra de Configuración del PIC16C84
Además dispone de cuatro posiciones de memoria de programa ubicadas en las direcciones
<2000h:2003h>, reservadas para las Palabras de Identificación ID. Estas palabras que se
escriben durante el proceso de grabación, sólo emplean los 4 bits de menos peso y se utilizan
por el programador para indicar el código del dispositivo, el número de serie, la versión del
programa, etc.
Descripción de sus pines
FIGURA 3.2.1 DESCRIPCIÓN DE SUS PINES
RA0, RA1, RA2, RA3 y RA4: son los pines del puerto A
RB0, RB1, RB2, RB3, RB4, RB5, RB6 y RB7: son los pines del puerto B.
MCLR: Pin de reseteo del pic, cuando se pone a "0" el pic se resetea.
Vdd y Vss: pines de alimentación (Vdd 5V y Vss a masa)
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OSC1/CLKIN y OSC2/CLKOUT: son para el oscilador Los tipos de osciladores más usados son
el XT (cristal de cuarzo) y el RC (resistencia y condensador) el modo de conexionado es el
siguiente:
Oscilador XT
Oscilador RC
C1=C2=33pF
C1 alrededor de 20pF
Crystal = 4MHz
5K O = R1 = 100K O
La línea de microcontroladores PIC’s ((Programmable Interface Controller) fue originalmente
desarrollada por la división de semiconductores de General Intruments Inc. Los primeros PIC’s
fueron mejorando sobre los ya existentes por que estos son programables, con alta salida de
corriente, control de entrada/salida, construidos a través de la arquitectura RISC (Reduced
Instruction Set Code). Los primeros PIC’s trabajaron eficientemente a una instrucción por ciclo
de reloj interno, y el ciclo de reloj fue derivado del oscilador y dividido en 4. Tempranamente los
PIC’s pudieron trabajar con una alta frecuencia de oscilación de 20 MHz. Estos se hicieron
relativamente rápidos para un microcontrolador de 8 bits, pero la principal característica fue que
estos tienen una capacidad de brindar 20 mA de corriente en cada pin I/O (Input/Output).
Los micros típicos estaban anunciando corrientes de I/O altas de sólo 1 miliamperio
(mA).
General Instruments eventualmente vendió esta división de semiconductores a Microchip
Technology. Los PIC’s rápidamente se convirtieron en los principales componentes ofrecidos
por esta compañía. Inicialmente la selección fue pequeña y ninguna tenia características
comunes de los microcontroladores de hoy como interrupciones externas o temporalizador. A
pesar de estas limitaciones los PIC’s se vendían bien y permitieron a Microchip desarrollar
nuevos componentes con nuevas características incluyendo interrupciones, convertidores
Analógicos/Digitales, comparadores y algunas otras cosas mas.
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SISTEMA ELECTROMECÁNICO Y CONTROL ELECTRONICO
3.3 Software para PIC’s
Los microcontroladores no son nada sin software. Para programar PIC’s se requiere un archivo
binario de códigos de unos y ceros. Microchip ofrece un lenguaje ensamblador para PIC’s que
es libre. El lenguaje ensamblador puede ser difícil para principiantes, sin embargo. Este es más
sencillo para un principiante o aficionado (hobbyists) con limitado tiempo para utilizar un
lenguaje de alto nivel y un compilador para convertir este lenguaje de alto nivel dentro de un
programa de lenguaje ensamblador.
PicBasic es un lenguaje de alto nivel que es fácil para principiantes, aficionados e incluso para
profesionistas que requieran desarrollar código sencillo y rápido que genera el código
ensamblador sin necesidad de utilizar otro programa.
En 1995 una compañía llamada Parallax Incorporated desarrollo un pequeño modulo
computador basado en un PIC que pudo ser programado en una versión modificada del
lenguaje software BASIC. Parallax Inc. había estado produciendo programas y emuladores para
los PIC’s de Microchip. Ellos sabían que programar en el lenguaje ensamblador era difícil
decidieron desarrollar una forma de lenguaje Basic llamado PicBasic y hoy en su versión más
actual el PicBasicPro.
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
CARACTERIZACIÓN, DISEÑO
Y CONSTRUCCIÓN DEL
SISTEMA
ELECTROMECÁNICO.
ESTE CAPÍTULO TRATA DEL DISEÑO MECÁNICO DEL
PROTOTIPO.
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
4.1 DISEÑO DEL SISTEMA MECÁNICO DE VIBRACIÓN.
Se concibe un sistema mecánico, con un motor eléctrico con masa desbalanceada, controlado
por un variador de velocidad que cuente las revoluciones que da el motor.
La estructura será una viga en voladizo que se pueda sujetar como empotramiento en un
extremo. En el extremo libre se colocará el motor que servirá de excitador con la idea de al
aumentar la velocidad se produzca la resonancia, de acuerdo con el siguiente diseño:
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Cuya vista en isométrico se muestra a continuación:
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
La longitud de la viga al centro giro del motor es de: 400 mm
Las dimensiones de la sección transversal de la viga son: 50.8 mm (2”) X 9.5 mm (3/8”)
El peso total medido en el extremo (motor, tornillos, abrazadera de aluminio) es de: 381.5 g =
3.74 N
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Por tanto la masa es:
La masa de la viga se calcula tomando como densidad del aluminio 2710 kg/m3:
Frecuencia natural, considerando la masa de la viga es:
Constante elástica equivalente para una viga en voladizo es:
Donde E es módulo de elasticidad, I el momento de inercia y l la longitud de la viga
Para la determinación de la masa equivalente, se debe considerar a parte de la masa colocada
en el extremo libre de la viga la masa de la viga, pero como su masa está distribuida y no
concentrada se usa la ecuación:
Proporcionada en la portada interior del libro”Mechanical Vibrations” de Singiresu S. Rao, Ed.
Prentice hall 4ª edición. Donde m es la masa concentrada en el extremo y mv la masa de la
viga.
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Cuando entra en resonancia el sistema la revoluciones marcadas en la pantalla son de 1380, lo
que arroga un error del
Esfuerzos en la viga:
Análisis estático
Análisis dinámico
Esfuerzos dinámicos.- los métodos para determinar esfuerzos en elementos
mecánicos en equilibrio estático se estudian en mecánica de materiales.
Cuando dichos elementos vibran se desarrollan esfuerzos adicionales que se
determinan comparando la amplitud de vibración con la deformación estática
X / δ est
El esfuerzo total está dado por
σ total = σ est + σ din = K Dσ est donde
El desplazamiento X lo determinamos tomando en cuenta la teoría de de
desbalanceo (2.1.2):
XR =
m′e
βR
m
donde
βR =
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r2
(1 − r ) + ( 2rζ )
2 2
2
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
El desbalanceo m′e , medido del prototipo es: 15 g X 30 mm = 450 g-mm = 0.00045 kg-m
Calculando como ejemplo el desplazamiento en la velocidad de rotación máxima obtenemos,
una razón de frecuencias de:
1.196
y despreciando el amortiguamiento
βR =
r2
1.1962
=
= 3.33
1 − r 2 1 − 1.1962
Sustituyendo:
KD ≈
0.00296
= 924
3.2 × 10-6
4.2 DISEÑO DEL AMORTIGUADOR DE VIBRACIONES
Constante elástica del resorte:
Por ahorra de recursos se utiliza un resorte para troquel cromo vanadio carga extra pesada
(verde), el cual fue ensayado comprensión para verificar su comportamiento mecánico y
determinar el valor de su constante elástica. A continuación se muestran las fotos y gráfica
obtenida:
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Resorte con su base para ensayo:
Inicio y final del ensayo
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Gráfica obtenida
La gráfica se puede ajustar a una recta sin error apreciable, según se muestra en la recta color
negro
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CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTROMECÁNICO
El amortiguador de vibraciones es otro sistema masa-resorte, que reduzca o elimine el
desplazamiento del sistema principal, que es la elasticidad de la viga y la masa de motor y
abrazadera.
Solo resta por determina la masa del amortiguador:
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DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRONICO COMPUTACIONAL
CARACTERIZACIÓN, DISEÑO Y
CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA
ELECTRÓNICO COMPUTACIONAL
ESTE CAPITULO TRATA DE LA PROGRAMACIÓN DEL PROTOTIPO ASI
COMO LOS COMPONENTES ELECTRÓNICOS UTILIZADOS
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DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRONICO COMPUTACIONAL
5.1 MATERIAL
- Pantalla LCD
- Bus 7 líneas
- Motor de CD a 12v
- Eliminador 12v @ 1 A
- Capacitador 3300µf
- 4 Diodos de la serie 1N4000
- Switch cola de ratón
- Potenciómetros 10kΩ y 4.7kΩ
- Transistor TIP31C
- Regulador 7805
- 2 Capacitores 1µf
- Microcontrolador PIC16F876A
- Cristal de cuarzo de 4MHz
- Resistencia 220Ω
- 2 Capacitores 27pf
- Cable calibre 18
- Diodos emisor y receptor.
Descripción de material:
- Pantalla LCD
Pantalla de 16x2 líneas utilizada para mostrar el conteo de velocidad.
- Bus de 7 líneas
Utilizado para la comunicación de la pantalla LCD con el microcontrolador.
- Motor de CD a 12v
Motor de corriente directa a 12v utilizado para generar las vibraciones en el sistema.
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DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRONICO COMPUTACIONAL
- Eliminador 12v @ 1 A C.A.
Eliminador de corriente alterna 12 volteos a 1 Ampere, proporcionara la energía a todo el
sistema electrónico.
- Capacitador 3300µf y 4 Diodos de la serie 1N4000
Material utilizado para convertir la corriente alterna del eliminador a corriente directa a
través de un rectificador de onda completa.
- Switch cola de ratón
Switch utilizado para el encendido del sistema electrónico.
- Transistor TIP 31C y potenciómetro de 4.7kΩ
Transistor potencia utilizado para controlar el flujo de corriente a través del motor.
- Regulador 7805
Regulador a 5 volteos, nos proporcionara el voltaje para alimentar el microcontrolador.
- Microcontrolador PIC16F876A
Microcontrolador utilizado para el control de velocidad del motor mandando los datos a
la pantalla LCD.
- Cable calibre 18
Cable para realizar las conexiones entre el sistema de control y el motor, se utilizo este
calibre por comodidad en el manejo de las corrientes suministradas.
- Diodos emisor y receptor
Se utilizan para el conteo de pulsos, los cuales nos ayudaran a llevar el control de
velocidad adecuado.
Programa realizado en MicroCode Studio para el control de velocidad
'****************************************************************
'* Name : Control de velocidad.BAS
*
'* Author : []
*
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DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA ELECTRONICO COMPUTACIONAL
'* Notice : Copyright (c) 2007 [Adrian Rodríguez Rodríguez]
*
'*
: All Rights Reserved
*
'* Date
: 30/05/2008
*
'* Version : 3.0
*
'* Notes : Control de velocidad regulado
*
'****************************************************************
include "modedefs.bas"
DEFINE LCD_DREG PORTB
DEFINE LCD_DBIT 4
DEFINE LCD_RSREG PORTB
DEFINE LCD_RSBIT 0
DEFINE LCD_EREG PORTB
DEFINE LCD_EBIT 1
DEFINE LCD_BITS 4
DEFINE LCD_LINES 2
DEFINE LCD_COMMANDUS 2000
DEFINE LCD_DATAUS 50
DEFINE ADC_BITS 8
DEFINE ADC_CLOCK 3
DEFINE ADC_SAMPLEUS 50
define CPP1_PIN PORTC.2
VPOT VAR BYTE
sal VAR word
des var word
VEL VAR WORD
sensado:
count PORTC.1,1000,sal
sal=sal*60
vel=sal/16
des=sal//16
lcdout $FE, 1
lcdout $FE, 2
lcdout "LA VELOCIDAD ES:"
LCDOUT $FE,$C0
lcdout #VEL
lcdout "."
lcdout #des
lcdout " RPM"
' lcdout #sal
pause 200
goto LECTURAPOT
end
inicio:
portb=0
trisa=$FF
trisb=$00
adcon1=%00000010
hpwm 1,0,300
lecturapot:
ADCIN 0,VPOT
hpwm 1,Vpot,300
80
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5.2 IMPLEMENTACIÓN DE CIRCUITOS.
CIRCUITO PARA MEDICIÓN DE VELOCIDAD.
El circuito para medir la velocidad del motor y la despliega en un LCD fue implementado en
un PIC16F84. Se conecta un LCD por el puerto B del PIC, mientras por el puerto A, se recibe
una señal pulsante del arreglo de un diodo emisor de luz infrarroja y un fototransistor, que es
el sensor óptico, en la Figura 1 se muestran los pines de conexión del PIC16F84, en la figura
2 el sensor óptico.
Figura 5.2 1. Pines de conexión del PIC16F84 .
Figura 5.2.4 Circuito eléctrico del sensor óptico.
El fotodiodo, TSAL6200 emite luz infrarroja la cual es recibida por el fototransistor PT331C,
Cuando el fototransistor recibe luz infrarroja este conduce, la analogía con un switch es que
si el fototransistor recibe luz infrarroja el switch se cierra y en el pin 0 del puerto A o RA0
existe 0 Volts o un cero lógico como lo muestra la figura 3.
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Figura 5.2.3 Analogía del fototransistor con un switch en este caso cuando recibe la luz infrarroja
el switch se cierra.
Cuando el fototransistor no recibe luz infrarroja este no conduce, la analogía con un switch
es que si el fototransistor no recibe luz infrarroja el switch se abre y en el pin 0 del puerto A o
RA0 existe 5 Volts o un uno lógico como lo muestra la figura 4.
Figura 5.2.4 Analogía del fototransistor con un switch en este caso cuando no recibe la luz infrarroja
el switch se abre.
Para cortar la luz del fototransistor se coloco una placa obscura ensamblada al eje del motor,
que cuando el motor da una vuelta esta plaquita corta la luz y se produce una señal pulsante
que se muestra en la figura 5, esta señal es obtenida por el pin RA0 del PIC y el numero de
pulsos o vueltas del motor es contado por el PIC cada segundo, después de hacer la
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medición de pulsos por segundo, esta es desplegada en el LCD con una leyenda “VUELTAS
POR SEG” el circuito completo es mostrado en la figura 6.
Figura 5.2.5 Señal pulsante recibida por el pin RA0 del puerto A cada pulso de 5 Volts es
una vuelta del motor
Programa para PIC16F84
Se muestra el programa que se cargo al PIC16F84 el cual fue programado en el lenguaje de
programación de alto nivel como lo es PicBasicPro, este se encuentra documentado lo cual
significa que se explica que es lo que hace cada instrucción que se utilizo.
‘--------------------[ Descripción de Programa ]——————————————————
‘
‘
‘ PIC16F84 para LCD conexiones de puerto predefinidas:
‘
‘ PIC
LCD
otras conexiones
‘ ———
—————————————————‘ RB4
LCD.11
‘ RB5
LCD.12
‘ RB6
LCD.13
‘ RB7
LCD.14
‘ RB3
LCD.4
‘ RB0
LCD.6
‘ OSC1
Resonator - 4 mhz
‘ OSC2
Resonator - 4 Mhz
‘ MCLR
Vdd via resistencia 1k
‘ Vdd 5v
‘ Vss Gnd
‘ RA0
señal del fototransistor
‘ RA2
LED
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DEFINE LCD_DREG PORTB
;Define el puerto del PIC usado para las líneas de
;Datos del LCD
DEFINE LCD_DBIT 4
DEFINE LCD_RSREG PORTB
;Define first pin of portbconnected to LCD DB4
; Define el puerto del PIC usado para la línea RS
;del LCD
; Define el puerto del PIC usado para la RS
;comunicación 193
DEFINE LCD_RSBIT 3
DEFINE LCD_EREG PORTB
; Define el puerto del usado para la línea E
;del LCD
DEFINE LCD_EBIT 0
;Define el pin del PortB usado para la conexión E
DEFINE LCD_BITS 4
;Define el modo de comunicación de 4 bits con
;el LCD
DEFINE LCD_LINES 2
;Define el uso de la línea 2 del LCD
DEFINE LCD_COMMANDUS 2000
;Define un retardo de 2000us entre cada envió
; de comandos al LCD
DEFINE LCD_DATAUS 50
;Define un retardo de 50us entre cada envió de datos
MED VAR WORD
; Configura a la variable MED como tipo WORD
TRISA=%000011011
; Configura los pines RA0, RA1, RA3 ,RA4
; del puerto A como entrada y el pin RA2
;como salida digital
PORTA.2=1
; Coloca el pin RA2 del puerto A en alto o también
;llamado 1 Lógico esto es para conectar un LED en
;y saber si el PIC esta ejecutando el programa
;Ciclo en el cual se realiza la medición de pulsos por segundo y se muestran en el LCD
MEDICION:
COUNT
; Etiqueta para repetir el ciclo
PORTA.0,1000,MED
LCDOUT
LCDOUT
LCDOUT
$FE, 1
; Limpia el LCD
$FE, 2
; Posiciona del cursor al inicio linea 1 del LCD
" VUELTAS POR SEG"
;Envía “VUELTAS POR SEG” a la primer
;línea del LCD
LCDOUT $FE, $C0
LCDOUT "
; Cuenta los pulsos cada segundo que entran el
; pin RA0 del puerto A y los guarda en la
; variable MED
",#MED
;Se posiciona en la segunda línea del LCD
; Envía el valor en la Variable
; segunda línea LCD
MED a la
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PAUSE 300
GOTO MEDICION
;Genera un retardo de 300ms para poder observar la
;informacion que se despliega en el LCD
; Regresa a la etiqueta MEDICION y todo el ciclo se
; ejecuta de nuevo
Figura 5.2.6 Circuito eléctrico del medidor de velocidad
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CIRCUITO PARA CONTROL DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR POR MEDIO DE SEÑAL
PWM.
El circuito para controlar la velocidad el motor se implemento en un PIC16F873, se conecto
en el pin RA1 del puerto A un potenciómetro de 10K el cual varia el voltaje de 0 a 5 Volts,
por medio del PIC se convierte el voltaje de analógico a digital con una resolución de 8 bits
eso significa que si se tienen 0 Volts equivale a 0 en digital , si se tienen 2.5 Volts equivale a
128 en digital , si se tienen 5 Volts equivale a 255 en digital entonces se tendrá un rango de
0 a 255 el rango de conversión es lineal y se rige por Valor digital = Valor en Volts * (51.2) .
Figura 5.2.7 Pines de conexión del PIC16F873
Con el valor convertido de analógico a digital se genera una onda PWM para controlar el
motor, la onda PWM varia el ancho de pulso alto de una onda con una frecuencia constante,
si el valor en el potenciómetro es de 0.098 Volts esto equivale a 5 en digital el ancho de
pulso en alto seria muy pequeño y el ancho de pulso en bajo seria muy largo en la figura 8 se
muestra como seria la señal.
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Figura 5.2.8 Señal con un ancho de pulso alto de casi 0
.
Si el valor en el potenciómetro es de 2.5 Volts esto equivale a 128 en digital el ancho de
pulso en alto seria igual a el ancho de pulso en bajo en la figura 9 se muestra como seria la
señal.
Figura 5.2.9 Señal con un ancho de pulso alto igual al ancho de pulso bajo
Si el valor en el potenciómetro es de 4.95 Volts esto equivale a 254 en digital el ancho de
pulso en alto seria muy grande y el ancho de pulso en bajo seria muy pequeño en la figura
10 se muestra como seria la señal.
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Figura 5.2.10 Señal con un ancho de pulso alto muy grande se puede aproximar a una señal continua.
Esta señal PWM que varia el ancho de pulso alto es mandada por el pin RB5 del puerto B
hacia un puente H L293D este puente H lo que hace es amplificar la señal en potencia para
que el motor sea conectado a esta y pueda funcionar ya que si se conecta directamente al
PIC este se quemaría en la figura 11 se muestra el puente H.
El puente H y el motor son conectados a una fuente de voltaje de 15 Volts lo que en la figura
11 es Vc y Vcc1 se conecta a una fuente de voltaje de 5 Volts en la figura 12 se muestra el
circuito con todos los componentes utilizados.
Figura 11. Pines del puente H y como conectar motores para su buen funcionamiento
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PROGRAMA PARA PIC16F73.
Se muestra el programa que se cargo al PIC16F873 el cual fue programado en el lenguaje
de programación de alto nivel como lo es PicBasicPro, este se encuentra documentado lo
cual significa que se explica que es lo que hace cada instrucción que se utilizo.
‘--------------------[ Descripción de Programa ]——————————————————
‘
‘
‘ PIC16F73 conexiones del puente H y potenciómetro:
‘
‘ PIC
otras conexiones
‘ ———
--——————————————‘ RB5
Puente H L293D.15
‘ RB2
LED
‘ RA1
Potenciómetro 10K
‘ OSC1
Resonator - 4 Mhz
‘ OSC2
Resonator - 4 Mhz
‘ MCLR
Vdd via resistencia 1k
‘ Vdd 5v
‘ Vss Gnd
DEFINE ADC_BITS 8
; Configura rango de precisión del convertidor
;analógico digital
DEFINE ACD_CLOCK 3
DEFINE ADC_SAMPLEUS 50
;Configura el reloj interno del PIC para la conversión
;Tiempo de muestreo para el convertidor
ADVAL VAR BYTE
;Define la variable ADVAL como tipo byte
TRISB=%00000000
PORTB=$00
TRISA=%11111111
ADCON1=%00000010
; Configura el puerto B del PIC como salidas digitales
; Coloca todos los pines del puerto B en 0 lógico
; Configura el puerto A como entradas
; Configura el puerto A como entradas Analógicas
PORTB.0=1
; Coloca el pin RB0 del puerto B en alto o también
;llamado 1 Lógico esto es para conectar un LED en
;y saber si el PIC esta ejecutando el programa
; Ciclo de conversión y generación de una onda PWM con rango de 0 a 255 valores
CICLO:
;Etiqueta para el ciclo
ADCIN 1, ADVAL
;El valor del el voltaje conectado a el pin 1 del puerto A es
;convertido de analógico a digital y guardado en la variable
ADVAL
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PWM
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PORTB.5, ADVAL , 1
GOTO CICLO
; Con el valor convertido de analógico a digital se
;genera una onda PWM que tiene una resolución de
;0 a 255 valores y es sacada por el pin RB5 del
;puerto B
; Regresa a la etiqueta CICLO y todo el ciclo se
; ejecuta de nuevo
Figura 12. Circuito eléctrico completo del control de velocidad del motor
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DIAGRAMA DE FLUJO.
INICIO
ENCENDIDO DE
LA MÁQUINA.
ENCENDIDO
DEL MOTOR.
MOTOR EN
FUNCIONAMIENTO
POT. P/ VARIAR
LA VEL.
VARIACIÓN DEL
PWM
SENSADO DE RPM
O DEL MOTOR
DESPLIEGUE
VELOCIDAD
EN LCD
Sí
ON
FIN.
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CONCLUSIONES.
CON ESTE PROTOTIPO DIDÁCTICO SE PUDO MOSTRAR EL FENÓMENO DE
RESONANCIA MECÁNICA.
ESTE DISEÑO NOS PERMITE REALIZAR PRÁCTICAS DEMOSTRATIVAS DE UNA
FORMA SENCILLA EN UN LABORATORIO DE MECÁNICA,
LO CUAL AYUDA A
ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA MECÁNICO Y CUALES SON LOS
FENÓMENOS QUE SE PRESENTAN, COMO LO ES LA VIBRACIÓN.
EL ESTUDIO DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS NOS INDUCE
A
UN ANÁLISIS
MUCHO MÁS PROFUNDO DE LO QUE ES RESONANCIA MECÁNICA, YA QUE EN LA
INDUSTRIA DONDE SE TIENE SISTEMAS DE
PRODUCCIÓN ES COMÚN QUE SE
PRESENTE ESTE FENÓMENO, EL CUAL SI NO SE ELABORA UN ESTUDIO ADECUADO
PUEDE GENERAR DAÑOS CATASTRÓFICOS A LOS COMPONENTES, ASÍ COMO
TIEMPOS MUERTOS, FRACTURAS ETC.
LA APLICACIÓN DE UN SISTEMA AMORTIGUADO A CUALQUIER SISTEMA DE
PRODUCCIÓN,
NOS
PERMITE
REALIZAR
MANTENIMIENTOS
PREVENTIVOS
ADECUADOS, EL CUAL REDUCE TIEMPOS Y COSTOS EN LOS PROCESOS.
EL PROTOTIPO NOS DA LA PAUTA PARA PODER CREAR UNA MÁQUINA QUE NOS
PERMITA MEDIR Y GRAFICAR EL FENÓMENO DE VIBRACIÓN, EL CUAL NOS
PERMITIRÍA RESOLVER DE UNA MANERA INMEDIATA EL PROBLEMA.
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BIBLIOGRAFÍA
Rao S. S. “Mechanical Vibrations” Editorial Prentice Hall, 4ª Edición 2004.
Vierck R. K. “VibrationAnalysis” Editorial Harper & Rox, Publishers, 2A edición
1979
Kelly S. B. “Fundamentals of Mechanical Vibrations” Editorial McGraw Hill, 2a
Edición 2000.
Inman D. J. “Engineering Vibration” Editorial Prentice Hall, 2a Edición2001.
Beer F. P./ Johnston R/ DeWolf J. “Mecánica de Materiales” Edicotira McGraw
Hill, 3A edición.
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