IE EN IN V 2010 Encuentro de Investigación en Ingenierı́a Eléctrica Zacatecas, Zac, Marzo 25—26, 2010 Aplicaciones de la Transformada Ondeleta a Series Temporales Caóticas. J.U. Ávalos-Gómez1 , J.S. Murguı́a1,2,3 & E. Jiménez-López1,3 1 Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México 2 Departamento de Fı́sico Matemáticas Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México 3 Instituto de Investigación en Comunicación Óptica Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México correo-e: [email protected], [email protected], [email protected] Resumen — Una implementación electrónica equivalente a la del sistema de Chua se llevó a cabo con el fin de tener una representación más robusta del mismo. Tal implementación considera la sustitución de algunos elementos con el fin de tener una versión más simple y práctica del circuito, pero con un comportamiento caótico experimental similar al de la versión original. Aunado a lo anterior y con el fin de obtener información adicional del nuevo circuito, se realiza un análisis ondeleta a las series temporales provenientes del mismo, considerando la distribución de la energı́a de los respectivos coeficientes. Descriptores: Sistema de Chua; Series de temporales ; Transformada ondeleta. Abstract— An electronic implementation equivalent to the Chua system was conducted in order to have a stronger representation of it. Such implementation considers the replacement of some elements in order to have a simple and practical version of the circuit, but with an experimental chaotic behavior similar to the original version. Addition to the foregoing and in order to obtain additional information from the new circuit is done an analysis wavelet to time series from the same, considering the energy distribution of the respective coefficients. Keywords: Chua’s system; Time series; Wavelet transform. I. INTRODUCCIÓN E L comportamiento caótico ocurre en muchos fenómenos fı́sicos de manera experimental. El diseño e implementación de circuitos electrónicos con tal comportamiento ha aumentado ya que han resultado ser útiles en aplicaciones de diferentes áreas de investigación. El circuito de Chua continúa siendo estudiado de manera extensa y ha sido utilizado como plataforma de prueba en diferentes ramas de la ciencia e ingenierı́a. Debido a que en la versión original del circuito se presenta un inductor y un par de 15 216 IE EN IN V 2010 diodos, se buscó e implementó una versión más robusta de tales elementos como se presenta en la [5], para tener una bobina sintetica, y no utilizar diodos para la no linealidad. Una de las ventajas que se tiene con esta versión es que se cuenta con tres voltajes para poder analizarse a diferencia del sistema original. Considerando que la información experimental de tales circuitos electrónicos con dinámica caótica se presenta como una serie temporal caótica (STC), resulta de imperiosa necesidad el analizar apropiadamente una STC para poder dar una interpretación del sistema que la generó. Para tal situación se utilizó el análisis ortogonal de ondeleta para caracterizarlas, debido a que han mostrado ser apropiadas para describir la dinámica caótica de series temporales [2][4]. II. SISTEMA EXPERIMENTAL DE CHUA El circuito electrónico de Chua es uno de los circuitos más sencillos que tiene una rica dinámica caótica y se muestra en la Fig. 1. Generalmente se ha utilizado en el estudio de caos y sincronización para ser aplicado en diferentes áreas [1] [5] [6]. El circuito de Chua es también conocido como oscilador de doble enroscado (DSO, Double Scroll Oscillator) [1] [6]. Su dinámica puede ser modelada por el conjunto de ecuaciones diferenciales adimensionales: Encuentro de Investigación en IE, 25–26 Marzo, 2010 Figura 1. Circuito de Chua cuyos elementos principales son un inductor L, una resistencia variable R, dos capacitores C1 y C2 y una resistencia negativa no lineal NR . 1 f (x) = bx + (a − b)[|x + 1| − |x − 1|], (2) 2 donde a y b están en términos de los valores de las resistencias que componen a la resistencia (negativa) no lineal NR (2) [6]. Para tener una versión más simple y práctica en la implementación electrónica se considero utilizar el enfoque utilizado en [5], donde la implementación del elemento y del inductor requiere solo de amplificadores operacionales, resistores y un capacitor como se observa en la Fig. 2 . Para el circuito que sustituye la ẋ = α(y − x − f (x)), ẏ = (x − y + z), (1) ż = −βy, donde x(t) y y(t) son los voltajes a través de los capacitores C1 y C2 , respectivamente. La corriente a través del inductor L es z(t), α y β son parámetros del sistema. La función lineal por partes f (x) se define como: Figura 2. Sı́ntesis del inductor y elemento NR en el circuito de Chua. resistencia no lineal NR , se toman en cuenta tres puntos de funcionamiento en el amplificador operacional: 16 17 3 Aplicaciones de la Transformada Ondeleta a Series Temporales Caóticas Saturación Negativa, → V0 = −Esat− Comportamiento Lineal, → V0 = A(V d − Vos ) Saturación Positiva, → V0 = −Esat+ donde V d es el voltaje a la entrada del amplificador y VOS el voltaje de offset. Estos puntos de funcionamiento se pueden observar en la curva caracterı́stica de NR , como se muestra en la Fig. 4. Al igual el valor del inductor depende de los elementos del circuito que lo componen denotando la inductancia de la siguiente forma Leq = (R7 R9 R10 C3 )/R8 III. ANALISIS ONDELETA Una función ondeleta se define como una función de onda pequeña que oscila en un pequeño intervalo de tiempo. La función ondeleta, ψ(t), puede ser de carácter real o compleja que satisface ciertas condiciones pero las más comunes son las siguientes: R ψ tiene promedio cero: ψ(t)dt = 0 ψ tiene energı́a finita, es decir, R |ψ(t)|2 dt < ∞ La expansión de una señal arbitraria en una base ortonormal ondeleta es dada como x(t) = 4.0mV XX m 2.0mV 0V xm n -2.0mV = xm n ψm,n (t), (3) x(t)ψm,n (t)dt. (4) n Z ∞ −∞ -4.0mV 0V -8.0V -V(V3:-) -6.0V -4.0V -2.0V V(V3:+) 2.0V 4.0V 6.0V 8.0V Figura 3. Curva caracterı́stica de la función no donde las funciones base ondeleta están relacionadas de la siguiente forma lineal f (x). ψm,n (t) = 2m/2 ψ (2m t − n) La Fig. muestra la proyección del atractor de tipo doble enroscado de la versión equivalente del circuito de Chua, donde se procedió a capturar los datos de los voltajes correspondientes a los voltajes de los capacitores. (5) donde m y n corresponden a los ı́ndices de dilatación y traslación, respectivamente. Al conjunto de ecuaciones (5) se le conoce como Transformada Ondeleta Discreta. La contribución de la señal en un nivel particular ondeleta m es dada por xm (t) = X xm n ψm,n (t), (6) n Figura 4. Proyección del atractor de doble enroscado de manera numérica considerando los datos experimentales capturados. La Fig. 5 ilustra algunos ejemplos de funciones ondeleta que corresponden a la familia de ondeletas de Daubechies [3][4]. Se puede mostrar que los coeficientes ondeleta de ciertas señales tienen una ley de potencia de la siguiente manera [3][4] m −β var(xm , n ) ≈ (2 ) (7) 17 418 IE EN IN V 2010 Encuentro de Investigación en IE, 25–26 Marzo, 2010 donde α es el coeficiente de escala. En base al valor de α se puede caracterizar la señal que se analiza. Si en la gráfica semi-logarı́tmica, log(var(xm n )) vs m, se tiene una pendiente nula, α = 0 se considera un comportamiento similar al del ruido Gausiano. En caso de que la pendiente sea negativa, entonces el comportamiento corresponde al de un fractal y por último, si se tiene un conjunto ”pequeño”de niveles adyacentes en los cuales se manifiesten los valores ”máximos”, entonces se tiene una concentración de energı́a implicando una frecuencia portadora presente en la señal. Figura 6. Análisis ondeleta al estado x. Figura 5. Ejemplos de funciones ondeleta: a)ondeleta de Haar y ondeletas de Daubechies b)db4, c)db8. IV. RESULTADOS En la Fig. 6 se muestra el análisis ondeleta realizado a las STC de los voltajes correspondiendo a los estados x, y y z, con el logaritmo de la varianza de los respectivos coeficientes ondeleta, su concentración de energı́a, la reconstrucción correspondiente al número de niveles considerados y el error existente en la reconstrucción. Todos los cálculos se realizaron con con la función ondeleta db8. Figura 7. Análisis ondeleta al estado z. 18 19 5 Aplicaciones de la Transformada Ondeleta a Series Temporales Caóticas Del análisis realizado a las STC’s de los estados x y z (Fig. 6 y 7) de la versión equivalente al sistema de Chua, se tiene que no hay concentración de energı́a en algún nivel en particular, resultando un comportamiento similar al del ruido. De hecho en la reconstrucción se requirieron al menos seis niveles. Mientras que para la STC del estado y, Fig. 8 , se puede observar que la mayor concentración de energı́a se encuentra en dos niveles, lo cual implica que tiene frecuencia portadora, coincidiendo en gran parte a los resultados presentados en [2][3]. Figura 8. Análisis ondeleta al estado z. V. CONCLUSIONES En base a nuestros resultados y para la implementación correspondiente del sistema de Chua, se pudo verificar que se tiene una gran coincidencia con los resultados mostrados en los trabajos [2] y [3]. Sin embargo, se tiene la ventaja de utilizar una versión equivalente del circuito de Chua de manera más práctica con una señal de voltaje adicional para analizar y el análisis ondeleta de sus series temporales revela información importante de las mismas. En general, se podrı́a recomendar que para enmascarar información los estados x y z son los ideales para tal tarea debido a que la distribución de energı́a de sus coeficientes no se encuentra concentrada en algunos niveles, a diferencia del estado y. Referencias [1] Chua, L. O., Kocarev, L., Eckert, K., and Itoh, M., Experimental Chaos Synchronization In Chua’s Circuit, Int. J. Bif. and Chaos, 2, 705-708 (1992). [2] Jiménez-López. E. Análisis de series de tiempo caóticas con la transformada ondeleta, Tesis de Licenciatura en Ing. Electrónico, Ciencias, UASLP, (2006). [3] Murguı́a, J. S., and Campos-Cantón, E., Wavelet analysis of chaotic time series, Rev. Mex. de Fı́s., 52 155-162 (2006). [4] W. J. Staszewski and K. Worden, Wavelet analysis of time series: Coherent structures, chaos and noise, Int. Journal of Bif. and Chaos 3, 455-471 (1999). [5] Torres, L. A. B., and Aguirre, L. A., Inductorless Chua’s circuit, Electronics Letters 36, 1915-1916 (2000). [6] Urı́as, J., Analog modulation and demodulation of a chaotic oscillator, Rev. Mex. de Fı́s. 45, 331-335 (1999).