curso de ingreso matemática 2012 - Facultad de Ciencias Exactas y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO DE INGRESO
MATEMÁTICA
2012
CARRERAS:
LICENCIATURA Y PROFESORADO EN FÍSICA
LICENCIATURA, PROFESORADO EN QUÍMICA
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
LICENCIATURA EN CIENCIAS AMBIENTALES
TECNICATURA EN FÍSICA MÉDICA
TECNICATURA EN QUÍMICA
DOCENTES:
LIC. MELINA BORDCOCH
PROF. SONIA MASCAREÑO
CICLO ACADÉMICO 2012
FUNDAMENTOS:
El presente curso de Ingreso de Matemática está centrado en aportar a los alumnos de primer año de las
carreras basadas en las denominadas “ciencias duras” algunos complementos a la formación previa en matemática,
como así también mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas básicos de esta área.
Además, debido al amplio espectro de alumnos ingresantes es necesario, por un lado, homogeneizar los diferentes
conocimientos matemáticos que poseen antes de comenzar el curso oficial y por otro, proveer el material apropiado
para que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina.
El enfoque será teórico práctico, centrado, en primer lugar, en la adquisición de las herramientas
matemáticas básicas por medio de la lectura y luego en la resolución de problemas, promoviendo en cada clase, la
participación activa del alumno con el propósito de que logre un buen rendimiento a lo largo del ciclo académico.
OBJETIVOS:





Adquirir hábitos de estudio acordes al nivel universitario.
Desarrollar la agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.
Adquirir el conocimiento necesario en expresiones algebraicas y sus combinaciones
Obtener los conocimientos esenciales en ecuaciones e inecuaciones.
Adquirir conocimientos básicos en trigonometría
METODOLOGIA:
El presente material de trabajo se divide en cinco Temas generales a desarrollar durante el período del curso
de ingreso. En cada clase o encuentro se hará lectura colectiva del material de trabajo, interpretando los conceptos
por medio de la explicación en el pizarrón. Para fijar estos contenidos se procede a la resolución de ejercicios y
problemas inmediatamente después de la lectura. Al finalizar cada Tema, se propone ejercitación adicional con el
propósito de desarrollar en el alumno la habilidad en la resolución de problemas.
CONTENIDOS MINIMOS:
Números Reales. Operaciones Básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Ecuaciones e
inecuaciones. Funciones elementales: Recta, función de proporcionalidad inversa, parábola, función cubica, función
modulo. Trigonometría.
EVALUACION:
Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, que constará de 5 (cinco) ejercicios, cada uno vinculado a
uno de los 5 (cinco) Temas. Esta evaluación no es vinculante con ninguna de las asignaturas del diseño curricular.
TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA
Semana 1: Números reales, operaciones básicas y sus propiedades. Conjuntos e intervalos. Valor absoluto de un
número real. Expresiones algebraicas: suma y producto.
Semana 2: Factorización. Expresiones fraccionarias. Ecuaciones: lineales, cuadráticas y otras. Resolución de
problemas con ecuaciones.
Semana 3: Desigualdades. Puntos en el plano cartesiano. Gráfica de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras. Rectas.
Semana 4: Ángulos y Trigonometría. Evaluación.
Docente a Cargo: Lic. Melina Bordcoch
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PRIMERA PARTE
NÚMEROS REALES
Al pensar en matemática, inmediatamente pensamos en números. Los números que representan cantidades
como longitudes, masa, precios, temperaturas, son los denominados números reales.
Recordemos los diferentes tipos de números que forman el sistema de los números reales. Empezamos con
los números naturales:
1,2,3,4...
Ejercicio 1. Enuncie a continuación ejemplos de números naturales de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras.
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales junto con los negativos y el
cero:
...  3,2,1,0,1,2,3,4...
Ejercicio 2. Enuncie a continuación ejemplos de números enteros de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras, positivos y
negativos.
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Construimos los números racionales mediante razones entre números enteros. Así, cualquier número
racional r se puede representar como
r
donde m y n son enteros y n  0 . Algunos ejemplos son:
1
2

3
7
46 
m
n
46
1
0,17 
(La división por 0 no es válida en ningún caso, por lo que las expresiones
17
100
3 0
ó están indefinidas).
0 0
Ejercicio 3. Enuncie a continuación ejemplos de números racionales positivos y negativos. También escriba ejemplos
de números racionales que resulten en enteros. Por último, enuncie ejemplos de expresiones racionales indefinidas.
_______________________________________________________________________________________________
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Página 3
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
A partir de los ejemplos, podemos concluir que “el denominador de cualquier número entero es 1”.
¡NUNCA olvide este concepto!
También existen números reales tales como 2 que no se expresan como una razón entre números enteros
y que, por lo tanto, se conocen como números irracionales. Se puede demostrar que cada uno de los números
siguientes también es un número irracional:
2
3
5
3
2

3
2
Ejercicio 4. Escriba los números anteriores hasta la sexta cifra decimal.
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Ejercicio 5. Investigue a cerca de los números irracionales. Encuentre ejemplos, distintos a los aquí mencionados y
escríbalos hasta su sexta cifra decimal.
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
El conjunto de números reales, por lo general, se denota mediante el símbolo  . El siguiente, es un
diagrama de los diferentes tipos de números reales con los que trabajaremos durante el Cursillo de Ingreso y en las
Cátedras Matemática I y Análisis Matemático I:
Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como se muestra en la
siguiente figura:
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La dirección positiva (hacia la derecha) se indica mediante una flecha. Elegimos un punto arbitrario de
referencia O, llamado el origen, que corresponde al número real 0.
Los números reales están ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a  b , esto significa que
a se encuentra a la izquierda de b en la recta real. (De la misma manera, podemos decir que b es mayor que a y
escribir b  a ). El símbolo a  b (ó b  a ) significa que a  b ó a  b y se lee “ a es menor o igual a b ”. Por
ejemplo, las siguientes desigualdades son verdaderas:
77
3
4  7,5
   3
22
Ejercicio 6. Complete los espacios vacíos, eligiendo una de las infinitas posibilidades. Ubique cada ejemplo en la recta
numérica.
____< 5
____< 2

>____
2
 3 <____
5 <____
2 <____
____>

2
- 2 >_____
-

<_____
2
 3 >____
 10 >_____
 10 <____
____>- 2
____<-

2
Dibuje aquí su recta numérica para representar los ejemplos anteriores:
Puede afirmarse que el número 5 se encuentra entre 4 y 6, lo que escribimos como 4  5  6 . También
puede decirse que 5 se ubica entre 4,5 y 5,5 y, de la misma manera escribimos 4,5  5  5,5 . Si un número real
arbitrario c , se encuentra entre a y b , escribimos a  c  b .
Ejercicio 7. Complete los espacios vacíos, eligiendo una de las infinitas posibilidades.
0 <____< 5
1
3
<____<
2
2
 5 <____< 0
0 <____< 1
3
5
<_____<
2
2
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 1 <____< 0
5
7
<_____<
2
2
 1 <____< 1
 2 <____< 2
0 <____<
1
2
7
9
<_____<
2
2
Página 5
-
3
1
<_____<2
2
___<  <____
-
5
3
<_____<2
2
____<-  <____
-
7
5
<_____<2
2
____<

<_____
2
-
9
7
<_____<2
2
____<-

<____
2
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Al combinar los números reales utilizando las operaciones familiares de suma y multiplicación, utilizamos las
siguientes propiedades:
De nuestra experiencia diaria con los números sabemos intuitivamente que estas propiedades son
verdaderas. Para revisarlas, se calculan las expresiones a ambos lados del signo igual de cada uno de los ejemplos de
la tabla. Dado que las operaciones entre paréntesis se resuelven primero, se tiene
(2  4)  7  6  7  13
2  (4  7)  2  11  13
y
Ejercicio 8. Aplique la propiedad conmutativa y/o asociativa de la suma para resolver sin calculadora:
753
25  75  100 
50  70  30 
130  350  120 
32  1200  18 
1220  2340  360 
3,3  2,5  1,2 
25,46  15,04  5,5 
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La propiedad distributiva es muy importante en álgebra, ya que describe la forma en que la suma y la
multiplicación se relacionan entre sí.
Ejercicio 9. Utilice la propiedad distributiva para resolver los siguientes ejercicios. Demuestre que la igualdad se
verifica (vea el siguiente ejemplo):
2(3  2)  2.3  2.2
2.5  6  4
10  10
5(3  6) 
2,5(2  5) 
10(1  4) 
1,2(2,5  5,3) 
(2  4).25 
(21,5  14,79).31,73 
(3  5).100 
(5,08  2,03)0,25 
El número 0 es especial en el caso de la suma; se conoce como elemento neutro aditivo, porque a  0  a
para cualquier número real a . Todo número real a tiene un negativo,  a , que satisface la ecuación a  (a)  0 .
La resta o sustracción es la operación inversa de la suma; para restar un número de otro, simplemente sumamos el
negativo de dicho número. Por definición
a  b  a  (b)
Para combinar números reales que involucran negativos, utilizamos las siguientes propiedades:
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La propiedad 6. establece el hecho de que los números a  b y b  a son los negativos el uno del otro. El
número 1 es especial para la multiplicación; se conoce como elemento neutro multiplicativo ya que a.1  a para
cualquier número real a .
Ejercicio 10. Resuelva:
50 
100  0 
1500  0 
2  (1) 
25  (5) 
100  (50) 
3.(1) 
(1).(0,25) 
(1).(1000) 
(7).3 
10.(3) 
(5).(50) 
(4).(450) 
1300900  0 
48  (8) 
37.(1) 
(4).3 
(30).(4) 
Cualquier número real a diferente de cero tiene un inverso,
25.(5) 
(65).(2) 
1
1
, que satisface la ecuación a.  1 . La
a
a
división es la operación inversa de la multiplicación; para dividir un número en otro, multiplicamos el primero por el
inverso del segundo número, es decir
a : b  a.
que se escribe como
1
b
a
, a es el numerador y b es el denominador. Para combinar números reales utilizando la
b
operación de división, aplicamos las propiedades siguientes:
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Página 8
Ejercicio 11. Resuelva:
2 1
 
3 5
2 9
 
3 4
2 1
: 
3 4
15 3
: 
4 2
5 1
 
2 2
5 1
 
3 3
5 1
 
2 5
4 1
 
5 3
5 1
 
4 2
12 5


25 48
5 1
: 
4 2
12 4
: 
7 21
5 7


12 12
9 3
 
11 11
5 1
 
3 7
25 5
 
12 4
CONJUNTOS E INTERVALOS
Más adelante y a lo largo de todas las asignaturas relacionadas con la Matemática, será necesario el uso de
la notación de conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. Por
ejemplo, si Z representa el conjunto de los números enteros, entonces  3  Z y   Z . El símbolo  significa
que  3 es un elemento del conjunto de los números enteros y se lee “  3 pertenece a Z ”. El símbolo  significa
que  no es un elemento del conjunto de los números enteros (ya que  es irracional) y se lee “  no pertenece a
Z ”.
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Página 9
Algunos conjuntos se pueden describir listando sus elementos entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A
formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como
A  {1,2,3,4,5,6}
También podríamos escribir A en la forma
A  {x / x es un entero 0  x  7}
que se lee “ A es el conjunto de todas las x tal que x sea un entero y 0  x  7 ”.
Existen conjuntos compuestos por infinitos elementos y por lo tanto no es posible detallar todos sus
elementos entre llaves. Estos conjuntos se conocen como intervalos y representan segmentos de la recta numérica.
Por ejemplo, suponiendo que a  b , todos los números comprendidos entre a y b es un intervalo abierto y se
denota mediante el símbolo (a, b) . Utilizando la notación constructiva de conjuntos puede escribirse
(a, b)  {x / a  x  b} .
Note que los extremos del intervalo no están incluidos en el conjunto.
El intervalo cerrado de a y b es el conjunto
[a, b]  {x / a  x  b} ;
donde los puntos extremos del intervalo sí están incluidos en el conjunto.
Los intervalos no necesariamente son abiertos o cerrados. La siguiente tabla muestra todos los tipos de
intervalos posibles, suponiendo siempre que a  b :
Ejercicio 12. Complete la siguiente tabla:
Notación
Descripción del Conjunto
Gráfica
(5,5)
{x / 0  x  1}
(1,3]
{x /    x   }
[10,10]
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Página 10
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número a , denotado por a , es la distancia desde cero hasta a .
Definición del valor absoluto: Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es
 a a0
a 
 a a  0
Ejemplos:
3 3
 3  (3)  3
3    (3   )    3
Propiedades del Valor Absoluto:
Ejercicio 13. Resuelva siguiendo el ejemplo anterior:
5
5 
 7,5 
 3,2 
 0,25 
23 
2 2 

2
2 
2 2 
2

2

Ejercicio 14. Escriba cada una de las siguientes expresiones según la definición de valor absoluto (siga el siguiente
ejemplo):
x 1  0  x 1 x  1
 x 1
x 1  

 ( x  1) x  1  0  x  1 x  1
x2 
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x5 
xa 
1 x 
ax 
EXPONENTES Y RADICALES
Un producto de números iguales por lo general se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5.5.5 se
escribe como 53 . En general tenemos que si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la
n-ésima potencia de a es
a n  a
a

a


n veces
El número a se conoce como la base y n como el exponente.
Para descubrir algunas reglas de los exponentes, comencemos con el siguiente ejemplo, donde
multiplicamos 54 por 52:
54  52  (5  5  5  5)  (5  5)  5 5
 5  5
 5 5  56  54 2


 


4 veces
2 veces
6 veces
Es evidente que para multiplicar dos potencias con una misma base, sumamos sus exponentes. En general,
para cualquier número real a y dos enteros positivos cualesquiera m y n , se demuestra que:
a m  a n  a m n
Si queremos que esta regla sea verdadera incluso cuando m y n son 0 ó enteros negativos, entonces
debemos tener
20  23  203  23
pero esto sólo ocurre cuando 20  1 . De la misma manera debemos tener que,
24  24  24( 4)  244  20  1
y esto es verdadero si 2-4=
1
. Estas observaciones nos llevan a afirmar que si a  0 es cualquier número real y n
24
es un entero positivo, entonces
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Página 12
a0  1
a n 
y
1
an
En la siguiente tabla, se expresan las leyes de los exponentes. Las bases a y b son números reales y los
exponentes m y n son enteros:
Ejercicio 15. Resuelva aplicando la/s regla/s correspondiente/s:
(2) 2 
22 =
22 
(2)3 
23 =
23 
52 
(5) 2 
53 
(5)3 
52 
53 
32.33 
42.43 
(3) 2 .(3)3 
(3)5 .(3)5 
15000 
((2) ) 
2
  
3
3 4
3
1
  
 3
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102.102 
(5)0 
(52 ) 2 
3
 3
  
 4
3
5
 
2
1
  
 3
2
2

Página 13
4
 
3
2
34 

Es de conocimiento común que la expresión
9 (que se lee raíz cuadrada de nueve) es igual a 3, porque
a  b , lo cual significa que b 2  a y b  0 . La expresión a sólo tiene
3  9 . En general, podemos escribir
sentido si a  0 (pruebe con su calculadora, escriba el resultado de  9 =________________________________).
Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz nésima de a se define como:
2
n
a b
bn  a
significa que
Si n es par, tenemos que a  0 y b  0 . Las raíces impares son únicas, pero las raíces pares no lo son.
Observe que,
3
8  2 porque 23  2  2  2  8
y que
3
 8  2 porque (2)3  (2)  (2)  (2)  8
pero sin embargo,
4  2
porque (2) 2  (2)  (2)  4
y también (2) 2  (2)  (2)  4 .
A continuación, observemos que
42  16  4
y por lo tanto la ecuación
pero
(4) 2  16  4   4
a 2  a no siempre es verdadera (es decir, no siempre es posible anular la raíz cuadrada
con el exponente dos); sólo es verdadera cuando a  0 . Sin embargo, siempre podemos escribir
a 2  a , lo cual
es verdadero no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. A continuación se detallan las propiedades
de las raíces n-ésimas:
Ejercicio 16. Resuelva aplicando la/s propiedad/es correspondiente/s:
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Página 14
64 
 64 
3
64 
3
 64 
52 
(3) 2 
3
33 
3
(4)3 
3

9

4
3
8

27

4

25
125

64
La raíz n-ésima de un número real puede expresarse como una potencia fraccionaria, es decir,
1
an  n a
En general, para cualquier exponente racional
m
n
a 
 a
n
m
m
donde m y n son enteros y n  0 se define:
n
o, de manera equivalente,
m
n
a  n am
Todas las leyes y propiedades ya enunciadas para los exponentes son también válidas para los exponentes
racionales.
EJERCITACIÓN
1-8. Enuncie la propiedad de los números reales que se está usando:
9-16. Utilice las propiedades de los números reales para escribir la expresión sin paréntesis:
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17-20. Efectúe las operaciones indicadas:
21-24. Diga si cada una de las desigualdades es verdadera o falsa:
25-26. Escriba cada uno de los enunciados en términos de desigualdades:
27-32. Exprese el intervalo en términos de desigualdades y grafíquelo:
33-38. Exprese la desigualdad en notación de intervalos y realice las gráficas correspondientes:
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39-42. Evalúe cada una de las siguientes expresiones:
43-48. Utilice las propiedades del valor absoluto para simplificar la expresión:
49-58. Evalúe cada uno de los números dados:
59-74. Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las letras indican
números reales positivos.
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Página 17
75-82. Simplifique la expresión suponiendo que todas las letras indican números reales positivos.
SEGUNDA PARTE
EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Las expresiones algebraicas se obtienen a partir de variables como x ó y ó z y constantes como  3 , 2 ,
a y b combinándolas utilizando la suma, resta, multiplicación, división y la exponenciación. Una variable es una
letra que puede representar cualquier número que pertenezca a un conjunto dado de números, mientras que una
constante representa un número fijo, un valor específico. Por ejemplo:
ax 2  2 xy  b y
(Anote las variables _____ y ______; las constantes _____, ______ y _______; las operaciones son __________,
______________,_________________________ y _________________).
Los tipos más simples de expresiones algebraicas son los polinomios. Cualquier polinomio es la suma de
términos de la forma ax k llamados monomios donde a es una _____________ y k es un entero no negativo. Un
binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios y así sucesivamente. El grado de un
polinomio es la potencia más alta de la variable.
Ejercicio 1. En las siguientes consignas utilice la variable x y las constantes  1 , 2 , a y b para resolver.
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Escriba tres monomios de grado dos diferentes entre sí: _________________________________________________
Escriba tres binomios de grado uno diferentes entre sí: __________________________________________________
__________________________________________________
Escriba dos trinomios de grado tres diferentes entre sí: __________________________________________________
__________________________________________________
Sumamos y restamos polinomios utilizando las propiedades de los números reales. La idea es combinar
términos semejantes, esto es, términos que contengan la misma variable elevada a la misma potencia (el coeficiente
que “acompaña” a la variable, por supuesto, puede ser distinto de un polinomio a otro). Por ejemplo:
( x3  6 x 2  2 x  4)  (3x3  5x 2  4 x) 
 ( x3  3x3 )  (6 x 2  5x 2 )  (2 x  4 x)  4
 4 x3  x 2  2 x  4
( x3  6 x 2  2 x  4)  (3x3  5x 2  4 x) 
 x 3  6 x 2  2 x  4  3x 3  5 x 2  4 x
 ( x3  3x3 )  (6 x 2  5x 2 )  (2 x  4 x)  4
 2 x3  11x2  6 x  4
Agrupar términos semejantes
Combinar los términos semejantes
Propiedad distributiva (signo menos)
Agrupar términos semejantes
Combinar los términos semejantes
Ejercicio 2. Calcule la suma y la diferencia de los polinomios (2 x3  x 2  3x  1) y (3x3  x 2  4 x  2) .
Para obtener el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas necesitamos utilizar varias veces
la propiedad distributiva. Además, no debe olvidarse del hecho de que el producto de dos potencias con la misma
base es igual a esa base elevada a la suma de los exponentes (_________________). Por ejemplo:
(2 x  1)(3x  5) 
 2 x(3x  5)  1(3x  5)
 6 x2  10 x  3x  5
 6x2  7 x  5
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Propiedad distributiva
Combinar términos semejantes
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El caso anterior es el ejemplo del producto de dos polinomios. En el ejercicio siguiente se debe resolver el producto
entre polinomios con una variable, polinomios con más de una variable y de expresiones algebraicas.
Ejercicio 3. Calcule los siguientes productos:
( x 2  3)( x3  2 x  1) 
( x 2  xy  y 2 )( x  y) 
(1  x )(2  x ) 
Ciertos productos se presentan con mayor frecuencia que otros y son más útiles. Es por ello que es
conveniente memorizar la siguiente tabla:
Ejercicio 4. Aplique la regla correspondiente para resolver los siguientes productos.
( x  y)2 
( z  w)( z  w) 
(x  3)3 
(x 2  3)3 
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Página 20
(a  b 2 ) 2 
FACTORIZACIÓN
Hasta aquí, se ha utilizado la propiedad distributiva para desarrollar expresiones algebraicas. Algunas veces
será necesario invertir este proceso factorizando una expresión como un producto de elementos más sencillos. Por
ejemplo:
--- FACTORIZACIÓN--->
x 2  4  ( x  2)( x  2)
< --- DESARROLLO--Se reduce un binomio de grado dos a un producto de binomios de grado uno. Este proceso se denomina
factorización. A continuación se exponen los distintos casos de factoreo, el proceso de resolución y se ejemplifica
cada uno de ellos. Lea atentamente, de esta manera podrá resolver el Ejercicio 5.
Factor común:
1. Se busca el factor común (el mayor posible).
2. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el
polinomio dado por el factor común.
Ejemplo:
4 x 2  12 x  4 x( x  3)
(Señale cuál es el factor común y cuál el polinomio resultante del cociente entre el polinomio dado y el factor
común).
Factor común por grupos:
1. Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común.
2. Se practica factor común en cada uno de estos grupos.
3. Debe quedar un paréntesis común.
4. Se extrae dicho paréntesis como factor común.
Ejemplo:
ax 2  5a  bx 2  5b  (ax 2  bx 2 )  (5a  5b)
 x 2 (a  b)  5(a  b)
 ( x 2  5)(a  b)
Trinomio cuadrado perfecto:
1. Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
2. Se calcula el doble producto de sus bases.
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Página 21
3. Se observa si dicho producto aparece en el trinomio dado.
4. Si es así, decimos que es un trinomio cuadrado perfecto y los factorizamos como el cuadrado de un
binomio.
Ejemplo:
4 x 2  9  12 x 
4x2  2x
9 3
2.2 x.3  12 x
4 x 2  9  12 x  (2 x  3)2
Si el trinomio no resulta ser cuadrado perfecto, se procede de la siguiente manera:
1. Se iguala el trinomio a cero.
2. Se buscan las raíces del trinomio recordando que si el polinomio es de la forma ax 2  bx  c se utiliza la
 b  b 2  4ac
, para determinar las raíces.
2a
3. Se expresa finalmente en la forma factorizada ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) .
fórmula de Baskara: x1, 2 
Ejemplo:
x 2  3x  4
 3  32  4.1.(4)  3  9  16  3  25  3  5
x1, 2 



2.1
2
2
2
35
x1 
1
2
35
x2 
 4
2
x 2  3x  4  ( x  1)( x  4)
Cuatrinomio cubo perfecto:
1. Se reconocen los cubos perfectos.
2. Se calculan sus raíces cúbicas, estas serán las bases. Las bases conservan su signo.
3. Se calcula el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda base.
4. Se calcula el triple producto de la primera base por el cuadrado la segunda base.
5. Se observa si lo calculado en 3. y 4. se encuentra en el cuatrinomio original.
6. Si es así, se factoriza como el cubo de un binomio.
Ejemplo:
8x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y3 
3
8 x3  2 x
3
 27 y 3  3 y
3.2 x   3 y   36 x 2 y
2
3.2 x  3 y   54 xy 2
8x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y 3  (2 x  3 y)3
2
Diferencia de cuadrados:
1. Identificar los términos cuadráticos y la resta entre ellos.
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Página 22
2. Calcular las bases de los cuadrados.
3. Transformar la diferencia de cuadrados en el producto de de binomios conjugados formados por dichas
bases.
Ejemplo:
9 x 2 16 
9 x 2  3x
16  4
9 x 2  16  (3x  4)(3x  4)
Ejercicio 5. Resuelva aplicando la factorización correspondiente:
4 x 2  5x  1 
x 2  5x  5 y  xy 
x 3  3x 2  3 x  1 
25x 2  30 x  9 
100 x 2  36 
EXPRESIONES FRACCIONARIAS
El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un tipo común de
expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador son polinomios. Esto se conoce
como expresión racional. Por ejemplo,
4 x3  2 x  5
x3
es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando___________________________________________.
Por esto, al tratar con esta expresión, implícitamente suponemos que___________.
En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como el denominador y se
utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:
AC A

BC B
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Página 23
donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por ejemplo:
x2  1

x2  x  2
x 2  1  ( x  1)( x  1)
Factorizar el numerador
x  x  2  ( x  1)( x  2)
Factorizar el denominador
2
x2  1
( x  1)( x  1)

2
x  x  2 ( x  1)( x  2)
x2  1
( x  1)

2
x  x  2 ( x  2)
Sustituir en la expresión original
Simplificar factores comunes
Ejercicio 6. Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.
25 x 2  4

10 x 2  4 x
x2  4x  4

x2  4
Si una fracción tiene un denominador de la forma a  b x es posible racionalizar el denominador
multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado a  b x . Esto es útil gracias a la definición
de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene que
a  b x  a  b x   a
2
 b2 x
donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto es el siguiente:
1
1 1 x 1 x

.

1 x
1 x 1 x 1 x
donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también puede llevarse a
cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio.
Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:
1
1  2x

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1  2x

3
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No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en álgebra provienen de
hacer esto. La tabla anterior muestra la propiedad correspondiente a la multiplicación y el ERROR que se comete al
aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros
ejercicios.
Ejercicio 8. Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la no igualdad en
cada una de las propiedades.
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EJERCITACIÓN
1 -12. Lleve a cabo las operaciones indicadas y simplifique la expresión.
13 – 32. Factorice completamente (es decir, de ser necesario aplique más de un caso de factoreo) las siguientes
expresiones:
33 -44. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador para simplificar la
expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el numerador o el denominador, según corresponda.
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Página 26
TERCERA PARTE
ECUACIONES
Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo,
538
es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho aritmético simple. La
mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En las ecuaciones
4 x  7  19
(w  4)(w  4)  w2  16
las letras w y x representan las variables. La primera de estas ecuaciones es verdadera para todos los valores
posibles de w , dado que esta ecuación representa la diferencia de cuadrados. La segunda ecuación no es verdadera
para todos los valores de x . Los valores de x que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o
raíces de la misma y el proceso de determinar la solución se conoce como resolución de la ecuación.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para resolver una ecuación,
intentamos determinar una que sea más simple y equivalente y que tenga la variable sola a uno de los lados del
signo igual. A continuación se expresan las propiedades que utilizamos para resolver una ecuación:
Usando estas propiedades podemos resolver la ecuación anterior de la siguiente manera:
4 x  7  (7)  19  (7)
4 x  12
1
1
4 x.  12.
4
4
x3
Sumar
7
Multiplicar por
1
4
La solución es x  3 . Para verificar esto se sustituye x  3 y comprobamos que este valor hace verdadera la
ecuación:
x3

4(3)  7  19
19  19
Sí se satisface
ECUACIONES LINEALES
El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es decir, cada uno de los términos es
una constante o un múltiplo diferente de cero de la variable. Así, una ecuación lineal es equivalente a una ecuación
de la forma
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Página 27
ax  b  0
donde a y b representan números reales con a  0 y x es la incógnita que hay que determinar. Por ejemplo:
7 x  4  3x  8
7 x  4  4  3x  8  4
7 x  3x  12
7 x  3x  3x  12  3x
4 x  12
1
1
4 x.  12.
4
4
x3
Sumar
4
Restar
3x
Multiplicar por
1
4
Para verificar la respuesta debe sustituirse x  3 en la ecuación original (verificar, se obtiene 17 a ambos
lados del igual, con lo cual se verifica la igualdad). En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece
lineal, pero que se simplifica a una lineal que es equivalente:
x
2x  1

x  1 2x  3
x
2x  1
( x  1)(2 x  3) 
( x  1)(2 x  3)
x 1
2x  3
x(2 x  3)  (2 x  1)( x  1)
2 x 2  3x  2 x 2  3x  1
2 x 2  3x  2 x 2  2 x 2  3 x  1  2 x 2
 3x 2  3x  1
 3x 2  3x 2  3x  1  3x 2
 6x2  1
x
Multiplicar por el producto de los denominadores
Simplificar la expresión
Aplicar propiedad distributiva
Restar
 2x 2
Restar
 3x 2
Multiplicar por

1
6
1
6
Ejercicio 1. Verifique la respuesta del ejemplo anterior.
Ejercicio 2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.
3x  12  0
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2 x  2  5  3x
Página 28
3x
6x  5

x  1 2x  1
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la variable elevada al
cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:
ax 2  bx  c  0
donde a, b y c son números reales con a  0 .
Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface para dos valores de la
variable. Ya se analizó la forma de obtener las raíces de este tipo de ecuaciones cuando se revisaron los distintos
casos de factoreo. Para fijar estos conceptos, se resolverá a continuación el siguiente ejercicio.
Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.
x 2  5x  24
x2  5  0
( x  4)2  5
OTRAS ECUACIONES
A continuación se analizarán otros tipos de ecuaciones, incluyendo aquellas que involucran potencias de
mayor orden y valor absoluto.
Por ejemplo (Escribir sobre el renglón la operación llevada a cabo en cada línea. Verificar la/s respuesta/s):
Verificación:
x  8
3
_____________________________________
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x 
1
3 3
1
 8 3
_____________________________________
x  2
_____________________________________
En el siguiente ejemplo tenemos que recordar que todo número elevado a un exponente par tiene dos
soluciones, de igual valor absoluto pero signos opuestos:
Verificación:
16 x  81
81
x4 
16
4
 
____________________________________________
____________________________________________
1
 81  4
x  
 16 
3
x
2
1
4 4
____________________________________________
____________________________________________
Recordar que el valor absoluto también tiene dos soluciones, la primera hace el argumento positivo y la
segunda hace el argumento negativo. En el siguiente ejemplo, resolver las ecuaciones de primer grado y escribir en
cada renglón la operación llevada a cabo en esa línea. Verificar debajo.
Ejemplo:
argumento

| 2 x  5 | 3
2x  5  3
_______________________________
2 x  5  3
______________________________
_______________________________
______________________________
_______________________________
______________________________
x4
x 1
Verificación:
Verificación:
RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ECUACIONES
El álgebra es muy útil porque muchas situaciones en ciencias, en economía, en medicina e incluso de la vida
cotidiana, pueden resolverse haciendo uso de las expresiones algebraicas. Suponer que alguien plantea la siguiente
situación problemática: “Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora?” ¿Cómo se resuelve? Los
siguientes enunciados son las reglas básicas propuestas para resolver una situación problemática.
REGLAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
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Página 30
1. IDENTIFIQUE LA VARIABLE: Reconozca la cantidad que se pide determinar. Generalmente se identifica
mediante una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Introduzca una notación
para la variable (asígnele una letra, por ejemplo x). Asegúrese de escribir claramente lo que representa.
2. EXPRESE TODAS LAS INCÓGNITAS EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE: Lea de nuevo cada una de las frases del
problema, y exprese todas las cantidades mencionadas mediante una variable definida.
3. RELACIONE LAS CANTIDADES: identifique la condición del problema que relaciona dos o más expresiones
establecidas en el paso anterior. Un enunciado que dice que una cantidad “es igual” o “es lo mismo que”
otra, generalmente señala el tipo de relación que estamos buscando.
4. ESTABLEZCA UNA ECUACIÓN: Plantee una ecuación que exprese la condición del problema. Aquí necesitará
una fórmula para obtener la expresión algebraica.
5. RESUELVA EL PROBLEMA Y VERIFIQUE LA RESPUESTA: Resuelva la ecuación, verifique que su solución se
satisface el problema original y exprese la respuesta en forma de un enunciado, que responda a la pregunta
planteada en el problema.
1. Al releer la pregunta en la situación planteada al principio, se establece que la incógnita es la edad de Lucas.
Por lo tanto, x : edad de Lucas .
2. No se aplica en este problema, la única variable es la edad de Lucas.
3. Idem 2.
4. Al releer la frase del problema, identificamos “dentro de doce años” con  12 y “tendrá veintisiete” con
 27 . La expresión algebraica finalmente queda:
5.

 12
Dentro de12 años
x
qué edad tienea hora?
Es decir:

27

Lucas tendrá 27
x  12  27
Esta es una ecuación de primer grado, resuelva a continuación y verifique.
Resolución:
Verificación:
Ejercicio 4. Resuelva las siguientes situaciones problemáticas. Siga los pasos establecidos anteriormente. Nunca
olvide verificar la respuesta.
“Hace 7 años Juan tenía 16 ¿Cuál es su edad?”
“Si María tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un automóvil de $35000 y le quedarían
$7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?”
“Si se suma 4 con la raíz cuadrada de un número y al resultado de esa suma se divide en 2 se obtiene 8 ¿Cuál es ese
número?”
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Página 31
“Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad, continuó con la dieta y bajo 14 kg
llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de comenzar la dieta?”
“La moto de Juan llega a los 96 k/h si la moto de Marcelo anduviera 28 k/h más rápido andaría el doble de rápido
que la de Juan ¿A cuánto llega la moto de Marcelo?”
“Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es
ese número?”
“Dentro de 2 años tendré el triple de la edad que tenía hace 10 ¿Qué edad tengo ahora?”
“Para ir a la escuela, Federico recorre una cierta distancia solo, luego recorre el doble de esa distancia con su amigo
Gonzalo. Si de la casa de Federico a la escuela hay 18 cuadras ¿Cuántas cuadras camina solo?”
“El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la edad que tenía hace 5 ¿Qué edad
tiene Guillermo?”
“Si Manolo aumentara 30 kg, pesaría 2 / 7 más de lo que pesa ahora ¿Cuánto pesa Manolo?”
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Página 32
DESIGUALDADES
Algunos problemas de álgebra se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad es
como una ecuación, excepto que en lugar del signo igual se incluye alguno de los signos  ,  ,  ó  . El siguiente es
un ejemplo de desigualdad:
4x  7  19
Resolver una desigualdad que incluye una variable significa determinar todos los valores de la variable que
hacen verdadera la desigualdad. A diferencia de una ecuación, generalmente una desigualdad tiene infinitas
soluciones que forman un intervalo o una unión de intervalos sobre la recta real.
Para ilustrar esta importante diferencia vea el siguiente caso:
Ecuación:
4x  7  19
x 3
Desigualdad:
4x  7  19
x 3
Para resolver desigualdades utilizamos las siguientes reglas para dejar de un lado del signo de desigualdad
sólo la variable. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigualdades son equivalentes. Las letras mayúsculas
representan números reales o expresiones algebraicas. Aquí se enuncian las reglas para las desigualdades que
incluyen el símbolo  , pero son válidas para cada uno de los símbolos restantes también.
Las reglas 3. y 4. requieren una especial atención. La regla 3. dice que multiplicar o dividir la desigualdad por
un número positivo no altera la orientación del símbolo; sin embargo la regla 4. establece que si multiplicamos o
dividimos una desigualdad por un número negativo se debe cambiar la orientación del símbolo. Por ejemplo, si se
comienza con la desigualdad
35
y multiplicamos por 2
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Página 33
6  10
pero si multiplicamos por - 2 , resulta que
- 6  -10
A continuación, se exponen algunos ejemplos que muestran la manera en que se resuelven distintos tipos de
desigualdades.
Por ejemplo (desigualdad lineal):
3x  9 x  4
3x - 9 x  9 x  4  9x
- 6x  4
 1
 1
  - 6 x   4.  
 6
 6
2
x
3
Restar
9x
Multiplicar por 
1
, cambia orientación del símbolo
6
El conjunto solución está formado por todos los números mayores que 
2
2
, es decir, el intervalo ( , ) .
3
3
La gráfica sobre la recta numérica es (grafique aquí):
Ejercicio 5. Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Escriba la solución en notación de intervalos y como
gráfica sobre la recta numérica.
1
x  2 1
3
2x  5  1
Por ejemplo (desigualdad cuadrática):
x2  5x  6  0
Factorizando se obtiene
( x  2)( x  3)  0
es decir, el producto de dos binomios lineales debe ser negativo o cero. Como se trata del producto, aplicamos regla
de signos: ()()  () y ()()  () , por lo tanto, cuando uno de los paréntesis sea negativo o cero el otro debe
ser positivo o cero y viceversa. En el presente ejemplo proponemos primero que
( x  2)  0
x2
mientras que
mientras que
( x  3)  0
x3
Representación en intervalos
Gráfica
Luego proponemos,
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Página 34
( x  2)  0
x2
mientras que
mientras que
( x  3)  0
x3
En el segundo caso, es imposible elegir un único valor de la variable que satisfaga ambas desigualdades. De hecho, si
escogemos un valor x  2 y sustituimos en la desigualdad inicial veremos que esta no se satisface; tampoco lo hace
para cualquier valor de x  3 . Por lo tanto descartamos la segunda opción y decimos que la solución es el intervalo
[2,3] .
Ejercicio 6. Resolver las siguientes desigualdades. Escriba la solución en notación de intervalos y como gráfica sobre
la recta numérica.
x2  x  2  0
 2x2  x  3  0
Por ejemplo (desigualdad con valor absoluto):
| x  5 | 2
Notación en intervalos
x 5 2
x7
Gráfica
x  5  2
x3
Por lo tanto, el conjunto solución es __________________.
Ejercicio 7. Resuelva la siguiente desigualdad. Verifique su respuesta. Luego escriba la solución en notación de
intervalos y represente gráficamente.
| 3x  2 | 4
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Página 35
| 4  x | 7
EJERCITACIÓN
1 - 4. Determine si los valores de la variable son solución de la ecuación propuesta.
5 – 16. Resuelva las siguientes ecuaciones. Luego verifique su respuesta.
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Página 36
17 – 35. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.
36 – 48. Resuelva las siguientes ecuaciones. Luego verifique la/s solución/es.
49 – 74. Resuelva las siguientes desigualdades.
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Página 37
CUARTA PARTE
PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO
Como ya se vio anteriormente, los puntos sobre una recta pueden identificarse con números reales. Si
dibujamos dos rectas reales perpendiculares entre sí que se cruzan en el origen, podremos identificar puntos sobre
el plano. Por lo general una de estas rectas es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y se conoce como
eje x ; la otra es vertical con dirección positiva hacia arriba y se le llama eje y .
Cualquier punto P sobre el plano se localiza mediante un par único de números como muestra la siguiente
figura:
Aquí, se traza una línea punteada horizontal desde el punto P hasta el eje y . Sobre el eje se marca el punto
b . De la misma manera, se traza una línea vertical punteada desde el punto hasta el eje x , donde se marca el punto
a . Así, el punto P queda determinado por sus coordenadas y se escribe P  (a, b) . El punto a se conoce como la
coordenada x (o abscisa) de P ; el punto b se conoce como coordenada y (u ordenada) de P .
Este proceso puede invertirse, es decir, en lugar de partir desde el punto y encontrar sus coordenadas,
partimos desde las coordenadas y encontramos el punto. De esta manera, dadas (a, b) podemos identificar el punto
P correspondiente.
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Página 38
Este sistema de coordenadas se conoce como sistema de coordenadas cartesianas. Los ejes x e y o ejes de
coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, denotados por I, II, III y IV en la figura anterior.
Dependiendo del signo de a y b , el punto caerá en alguno de estos cuadrantes. Algunos ejemplos concretos son los
que se muestra en la siguiente figura:
Ejercicio 1. Trace a continuación un plano cartesiano y ubique en él los siguientes puntos:
A  (2,1)
B  (3,2)
C  (1,4)
D  (3,2)
E  (0,2)
F  (2,0)
G  (1,0)
H  (0,3)
Ejercicio 2. Observe el plano cartesiano que se muestra a continuación. Luego, determine las coordenadas de todos
los puntos ubicados en él.
GRÁFICA DE ECUACIONES.
De la misma manera en que se representan puntos sobre el plano, también es posible representar
ecuaciones. Suponer que tenemos una ecuación que incluye las variables x e y , como en
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Página 39
x 2  y 2  25
x  y2
y
2
x
Un punto ( x, y ) satisface la ecuación si al sustituir las coordenadas en ella la hace verdadera. Por ejemplo
(3,4) satisface la primera ya que 32  42  25 , pero (2,3) no la satisface ya que 22  (3)2  25 .
La gráfica de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) del plano de coordenadas
que satisfacen la misma.
Por ejemplo, para graficar la ecuación
2x  y  3
primero resolvemos la ecuación para y , con lo que obtenemos
y  2x  3
Esta expresión es útil para calcular las coordenadas y dando valores permitidos para x . Los cálculos se acomodan
en la siguiente tabla:
x
y  2x  3
( x, y)
-1
0
1
2
3
-5
-3
-1
1
3
(-1,-5)
(0,-3)
(1,-1)
(2,1)
(3,3)
Los datos de la última columna son las coordenadas de puntos que forman parte de la gráfica de la función
y  2 x  3 , que se muestra a continuación:
Por ejemplo, para graficar la ecuación
y  x2  2
damos valores permitidos para x calculamos los valores de y y volcamos los datos en una tabla de la siguiente
manera:
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x
y  x2  2
( x, y)
-3
-2
-1
7
2
-1
(-3,7)
(-2,2)
(-1,-1)
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0
1
2
3
-2
-1
2
7
(0,2)
(1,-1)
(2,2)
(3,7)
Al ubicar estos puntos sobre el plano e intentar unirlos se obtiene una gráfica que se denomina parábola y tiene la
siguiente forma:
Ejercicio 3. Trace las gráficas de las siguientes funciones. Siga el procedimiento tenido en cuenta hasta aquí; otorgue
valores a la variable x y calcule los valores de la variable y . Luego lleve los puntos al plano y únalos de una manera
adecuada.
yx
y  x2
y2
x3
y | x |
y   x2
y  x
RECTAS
Estudiaremos con mayor profundidad las ecuaciones de las rectas. Como ya se vio en las gráficas previas,
una de las características más importantes de la recta es su “inclinación”. La pendiente de una recta está definida
como la razón entre el cambio de la coordenada y y el cambio de la coordenada x . Así, para determinar la
pendiente de una recta se eligen dos puntos sobre ella A  ( x1 , y1 ) y B  ( x2 , y2 ) y se calcula
pendiente 
cambio de la coordenada y
cambio de la coordenada x
m
y y2  y1

x x2  x1
La siguiente figura muestra varias rectas con sus respectivas pendientes. Note que las rectas con pendiente
positiva se inclinan hacia arriba, mientras que las que tienen pendiente negativa se inclinan hacia abajo (siempre siga
la recta en el sentido en el que la variable x crece). Las rectas con una pendiente más pronunciada son aquellas para
las cuales el valor absoluto de la pendiente es mayor; una recta horizontal tiene pendiente____________________ y
una recta vertical tiene pendiente __________________________.
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La ecuación general de la recta se escribe de la siguiente manera:
y  mx  b
donde m es la pendiente de la recta, b se denomina ordenada al origen y representa el punto donde la recta corta
el eje y .
A partir de esta ecuación, la gráfica de la recta se hace más sencilla y no será necesaria la confección de una
tabla de valores. El procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Graficar la recta y  2 x  1.
En este caso se tiene b  1 , la recta corta el eje y en el punto 1 . Nos ubicamos en esa posición.
y 2
 por lo cual y  2 y x  1 . Entonces, a partir del punto y  1
x 1
recorremos una distancia horizontal igual a x  1 y a partir de allí recorremos una distancia vertical igual a y  2 .
Por otro lado m  2 , es decir, m 
De esta manera se obtiene,
Ejemplo:
2
x  1.
3
En este caso también se tiene b  1 , la recta corta el eje y en el punto 1 . Nos ubicamos en esa posición.
2
y
2
  por lo cual y  2 y x  3 . Entonces, a partir del punto y  1
Ahora m   , es decir, m 
3
x
3
recorremos una distancia horizontal igual a x  3 y a partir de allí recorremos una distancia vertical igual a
y  2 , es decir, en el sentido negativo. De esta manera se obtiene,
Graficar la recta y  
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Ejercicio 4. Trace un par de ejes de coordenadas. En ese plano, grafique las siguientes rectas. NO utilice tabla, siga el
procedimiento mostrado anteriormente.
y  3x  4
2
y  x 1
3
y  x  2
1
y  x2
2
Ejercicio 5. La siguiente figura muestra cuatro rectas en un plano coordenado. Determine la pendiente y la ordenada
al origen y escriba la ecuación correspondiente a cada una de ellas.
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La ecuación de una recta vertical es: _________________________________________________
La ecuación de una recta horizontal es: _______________________________________________
Ejercicio 6. Dé tres ejemplos de rectas horizontales y tres ejemplos de rectas verticales. Luego, grafíquelas en un
plano coordenado.
EJERCITACIÓN
1 – 6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, represente en un plano coordenado los puntos P y Q . Una dichos
puntos con una recta. Luego, escriba la ecuación para cada una de ellas.
7. Observe con atención las siguientes rectas. Determine para cada una de ellas su pendiente y ordenada al origen.
Luego, escriba sus ecuaciones.
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19- 27. Grafique las siguientes ecuaciones.
19. y  2 x 2  0
20. 2 y  x 2  0
21. y  2 x 2  0
22. 2 y  x 2  0
23. y 2  x  0
24. y 2  x  0
25. y  x3  0
26. y  2 x3  0
27. 2 y  x3  0
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QUINTA PARTE
ÁNGULOS
Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y un vértice (el punto de
intersección de los rayos), como muestra la figura. Un rayo está en posición normal si su
rayo inicial coincide con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen. Utilizamos
letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o representar sus medidas (en la figura se
usa______________). Los ángulos comprendidos entre 0 y 90 se denominan agudos y
los ángulos comprendidos entre 90 y 180 se llaman obtusos. Los ángulos positivos se
miden en el sentido antihorario y los negativos en el sentido horario.
Ejercicio 1. Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”, “recto” y “llano” según
corresponda.
Ejercicio 2. Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido positivo? Haga lo mismo
con un ángulo de 90 negativo.
Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes. La medida en radianes
se define como la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo (señale ese arco y su longitud). Dado que el
perímetro de un círculo es 2r , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es 2 . Esto implica que la medida en
radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras palabras 360  2 radianes . Es conveniente conocer las
conversiones de los ángulos más usuales, los cuales se muestran en la siguiente figura:
Ejercicio 3. Haga usted mismo/a la conversión entre grados y radianes de los ángulos mostrados en la figura anterior.
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TRIGONOMETRÍA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se denomina
hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Ejercicio 4. Dibuje un triángulo rectángulo, señale el ángulo recto y nombre todos y cada uno sus lados.
En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”. Es decir (enuncie en símbolos usted mismo/a):
A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras.
Ejercicio 5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Represente
gráficamente.
Ejercicio 6. Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados que se dan como dato.
a) c1  4,5 y h  9
b) c2  6 y h  12
Ejercicio 7. Diga si los siguientes triángulos son rectángulos.
a) c1  6 , c2  8 y h  10
b) c1  9 , c2  5 y h  11
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Ejercicio 8. Proponga un ejemplo de triángulo rectángulo distinto a
los enunciados hasta aquí.
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está constituido por seis
elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa determinar los elementos desconocidos cuando
se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre ellos.
Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los lados del mismo:
c1 c2 c1
,
y
h h
c2
Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las llama razones
trigonométricas. A continuación se enuncia una definición más precisa de cada una de ellas:
“Las razones trigonométricas de un triángulo como el de la figura anterior son:
cateto opuesto c1

hipotenusa
h
cateto adyacente c 2
cos 

hipotenusa
h
sen 
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tg 
cateto opuesto
c1
 ”
cateto adyacente c 2
Ejercicio 9. Suponga el triángulo rectángulo c1  6 , c2  8 y h  10 , calcule las tres
razones trigonométricas para los ángulos  y  . Repita el ejercicio para el triángulo
rectángulo c1  3 , c2  4 y h  5 .
Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los ejercicios anteriores,
por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que conocemos todos sus lados. En el caso en
que c1  6 , c2  8 y h  10 ,
sen 
c1 6

 0,6
h 10
  arcsen0,6  36,87
entonces
y podría obtenerse el mismo valor de  usando cualquier razón trigonométrica. De la misma manera,
sen 
c2 8

 0,8
h 10
  arcsen0,8  53,13 .
entonces
Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los triángulos en base a
muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo c1  3 , c2  6 calculamos,
h  32  62  45  6,71
tg 
c1 3
  0,5
c2 6
  arctg 0,5  26,56
c2 6
 2
c1 3
  arctg 2  63,44
tg 
También podemos considerar el siguiente ejemplo c1  4   50 hacemos,
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Página 49
tg 
c1
c2
entonces
c2 
c1
4

 3,35
tg tg 50
h  3,352  42  5,22
    90  180
entonces
    90 y por lo tanto   90    90  50  40
Ejercicio 10. Resuelva los siguientes triángulos.
c1  5 y   30
c2  3,5 y   45
Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia trigonométrica. Se marca un
ángulo arbitrario en ella, por ejemplo  de la siguiente figura,
El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre el eje x se marca el
punto B. de esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo. Conociendo que el radio de esta circunferencia
es 1, las razones trigonométricas del ángulo  son (escríbalas a continuación):
De esta manera, los catetos se escriben como (despeje de las expresiones que usted escribió anteriormente):
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y el teorema de Pitágoras para este triángulo es:
RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier curso de Matemática, del
Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos. Por otro lado, la tangente del ángulo  es
(escriba la expresión):
lo cual es válido para todo ángulo  . Esta igualdad será de gran utilidad, RECUERDELA siempre.
Ejercicio 11. Trace un ángulo obtuso en una circunferencia trigonométrica. Represente el seno y el coseno del ángulo
 (remarque esos segmentos). Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo
terminal caiga en el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante.
Ejercicio 12. Con los resultados del Ejercicio 11., complete la siguiente tabla.
R. T. /
Cuadrante
I
II
III
IV
sen
cos 
tg
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EJERCITACIÓN
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Ejercicio 23: Plantear y resolver los siguientes problemas:
a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la punta de la sombra al punto más
alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del edificio? (el ángulo de visión se mide respecto de la horizontal)
b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de 70º. ¿A qué distancia del
acantilado se encuentra el barco?
c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto, obteniendo un
resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre obtenemos un nuevo ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre?
d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él calcula que el ángulo de
elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada del edificio?
e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de una casa. Si el ángulo de
inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es la altura de la casa?
f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de un río de 40 m de ancho. Un
observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º entre su línea de observación a la punta de la bandera, y su
línea de observación a la cima del precipicio. Encuentra la altura del asta de la bandera.
g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales 25º. Resuelve el triángulo.
h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se observa su copa con un ángulo de
65º 23’.
i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo que forman los rayos solares
con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis?
j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un ángulo de 37º 4’. ¿A qué
distancia en línea recta se encuentra el globo del observador?
k) Se quiere cubrir con césped un cantero de forma triangular. Uno de los lados mide 8 m. Los otros dos lados
forman con éste ángulos de 46º y 60º. Calcula la cantidad de césped que se necesita para cubrirlo.
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l) Un topógrafo situado en B observa dos puntos A y C, en los extremos de un lago. Si
BA  331,7 m; BC  242,2 m y el ángulo ABˆ C  120º , calcula la distancia de A a C.
m) Sobre un peñasco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el extremo
superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta, es de 28º 40’ y desde la base de
la torre el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º 20’. Encuentra el ancho del río y la altura del peñasco.
n) Calcula las diagonales del paralelogramo cuyos lados tienen por medida 6 dm y 15 dm, sabiendo que el ángulo
que forman los mismos es de 58º.
ñ) La longitud de la sombra de una persona de 1,80 m de altura producida por un foco de alumbrado es inicialmente
3,60 m. Después la persona se para justo en el lugar donde terminaba la sombra y comprueba que ahora aquella
mide 4 m. ¿A qué altura está el foco?
o) Un bote patrulla recorre 37,8 km con derrotero de 120º y después 28,30 km con derrotero de 45º. Halle el
derrotero y la distancia que debe recorrer para regresar por la ruta más corta.
p) Un piloto sale de A y vuela 125 km en dirección NO 38º. Trata, entonces, de regresar al punto de partida, pero,
por error, vuela 125 km en dirección SE 51º. Calcula a qué distancia se encuentra de A y cuál ha de ser la dirección
que debe tomar ahora para llegar a A.
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