8° Tonelada de roca con media ponderada

Matemática I 2013
Lic. en Geología | Lic. en Paleontología
¿QUÉ TAN GRANDE ES UNA TONELADA DE ROCA?
De una idea de Len Vacher – University of South Florida, Tampa FL, para la SSAC.
Modificado por: Dr Barbieri Rubén y Mg Garelik Claudia – Cátedra: Matemática I, UNRN.
CONTENIDO: Conversiones de unidades; Proporcionalidad; Uso de ecuaciones; Media ponderada;
Escalas; Sólidos geométricos; Resolución del problema inverso mediante prueba y error.
Introducción
La densidad de las rocas varía entre 2.7 y 3 g/cm3. ¿Cómo influye la densidad con respecto al peso y a las
dimensiones de las rocas? En esta actividad se compararán las densidades de diversos tipos de sustancias y de
rocas y se determinarán las dimensiones métricas que ocupa una tonelada de ese material.
Conocimientos físicos previos
Una definición de la densidad de un cuerpo dice que “es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen
que ocupa”. En términos matemáticos:
Por otra parte el peso específico de un cuerpo es la razón entre el peso de un cuerpo y el volumen que ocupa.
El Volumen de una tonelada de roca depende de la densidad de la roca. La densidad de una roca en cambio,
depende del tipo y cantidad relativa de minerales que la constituyen y de la porosidad de la roca.

¿Qué tan grande es un cubo de una tonelada de hielo considerando que su densidad es de 0.917
g/cm3? Completa la Tabla 1 y contesta.
Tabla 1
Una tonelada de hielo
Densidad (g/cm3)
0.917
Conversión a Kg/m3
Peso (t)
1
Volumen (m3)
Arista (m)
49
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
Compara el resultado anterior averiguando qué tan grande es un cubo de una tonelada de una veta de
cuarzo si su densidad es de 2.67 g/cm3. Completa la tabla 2.
Tabla 2
Una tonelada de hielo
Densidad (g/cm3)
0.917
Conversión a Kg/m3
Peso (t)

Una tonelada de cuarzo
Densidad (g/cm3)
2.67
Conversión a Kg/m3
1
Peso (t)
Volumen (m3)
Volumen (m3)
Arista (m)
Arista (m)
1
Dibuja 2 cubos en escala cuyos lados sean los lados del hielo y del cuarzo respectivamente.
Nota: Para cumplir con el último paso requerido tal vez sea necesario que consultes el apéndice al final de la
presente actividad práctica.
Para tener otra mirada de las dimensiones correspondientes a una tonelada de hielo y de cuarzo
respectivamente, repite el procedimiento anterior dibujando unos sólidos esféricos. Recuerda que el volumen
de una esfera es:
V = 4/3 π r3

Con los mismos valores de las tablas anteriores completa la Tabla 3
Tabla 3
Una tonelada de hielo
Densidad g/cm3
0.917
Conversión a Kg/m3
Peso (t)

Una tonelada de cuarzo
Densidad g/cm3
2.67
Conversión a Kg/m3
1
Peso (t)
Volumen (m3)
Volumen (m3)
Diámetro (m)
Diámetro (m)
1
Dibuja 2 esferas en escala cuyos diámetros correspondan a los valores calculados.
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
A manera de resumen completa la tabla 4 con los valores obtenidos anteriormente.
Tabla 4
DIMENSIONES DE LOS CUBOS
Peso (t) Densidad g/cm3 Volumen(cm3)
Hielo
1
0.917
Cuarzo
1
2.65
Arista (m)
DIMENSIONES DE LAS ESFERAS
Peso (t) Densidad g/cm3 Volumen(cm3) Diámetro (m)
Hielo
1
0.917
Cuarzo
1
2.65
Densidad de las Rocas
Generalmente las rocas están compuestas por más de un mineral y para calcular su densidad se debe conocer
la densidad de cada mineral y el porcentaje de cada uno de ellos con que aparece en la roca.
Conocimientos matemáticos previos:
Para calcular la densidad de una roca es necesario recordar o aprender qué es una “media ponderada”, pero
antes es conveniente recordar qué es una media aritmética simple ( ).
Una media aritmética simple se define como “la suma de una serie de valores dividida por el número de
valores”. Así:
Si en esa expresión, se distribuye la división con respecto a la suma, cada término se multiplica por
y se
puede escribir:
El factor
es conocido como factor de ponderación o más comúnmente como “peso”, y la propiedad
destacada es que la suma de ellos siempre es igual a 1. Además, en el caso de la media aritmética todos los
factores
son iguales.
Ejemplo: la media aritmética de 2, 5, 6, 11 será:
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Sería posible también calcularla así:
En este caso el “peso” es 1/4 y como hay 4 de ellos efectivamente su suma es igual a 1.
¼+¼+¼+¼=1
Sin embargo los factores de ponderación no tienen por qué ser siempre iguales. Si no son iguales entonces
algunos términos tendrán mayor peso que otros cuando se calcule el promedio de ciertos valores. Esto
sucederá cuando se quieran promediar números que no representan valores individuales sino a grupos de
valores.
Por ejemplo, si se quiere conocer la edad promedio de los estudiantes de un cierto colegio cuya población se
distribuye como se observa en la siguiente tabla:
Clase
N° de estudiantes % de la población Edad promedio por año
1°
135
33,75
18,25
2°
107
26,75
19,37
3°
85
21,25
20,83
4°
73
18,25
22,09
Población total
400
La media aritmética no sería apropiada porque otorgaría el mismo peso a cada clase siendo que las mismas no
son iguales. Hay más estudiantes en 1° que no en 4°. Los estudiantes de 1° año, contribuirán más al valor del
promedio que no los de 4°. Para obtener un valor correcto se deberán multiplicar los promedios de cada clase
por la fracción que cada clase representa del total de la población.
En este caso en lugar de usar
como factor de ponderación, se usará la fracción del total de cada grupo.
Los “pesos” serán los porcentajes de cada clase de la población del colegio:
= 0,3375 . 18,25 + 0,2675 . 19,37 + 0,2125 . 20,83 + 0,1825 . 22,09 = 19,8 años
Observa que la media aritmética simple hubiese sido:
= (18,25 + 19,37 + 20,83 + 22,09) / 4 = 20,13 años
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Densidad de las rocas ígneas
Gabro
El gabro es una roca ígnea plutónica compuesta principalmente de plagioclasa cálcica y piroxeno y es el
equivalente plutónico del basalto. La roca toma su nombre del pueblo italiano de Gabbro en Toscana. Es típica
de ambientes tectónicos como las dorsales meso-oceánicas, las zonas de subducción y los rifts continentales.
La Tabla 5 muestra la composición mineralógica de un gabro y la abundancia de cada mineral en la roca (la
abundancia será entonces el factor de ponderación para poder realizar la media ponderada de cada uno de ellos
y así obtener la densidad total de la roca).

Calcula la densidad de la roca
Tabla 5
DENSIDAD DEL GABRO
Mineral
Abundancia % Densidad g/cm3 Media ponderada
Labradorita
60
2.69
Augita
27
3.5
Olivino
10
3.32
Apatito
3
3.19
DENSIDAD DE LA ROCA
Granito
Es una roca ígnea plutónica constituida esencialmente por cuarzo, feldespato y mica. Se produce al
solidificarse lentamente un magma con alto contenido en sílice en profundidades a alta presión formando
cuerpos rocosos que se clasifican de acuerdo a sus dimensiones y formas (batolito, lacolito stock, etc.) El
Magma de composición granítica que sale a la superficie forma la riolita, el equivalente volcánico del granito.
Al igual que en el caso anterior, la Tabla 6 muestra la composición mineralógica de un granito y la abundancia
de cada mineral en la roca.

Calcula la densidad total del granito
Tabla 6
DENSIDAD DEL GRANITO
Mineral
Abundancia % Densidad g/cm3 Media ponderada
Cuarzo
35.8
2.65
Microclino
20.5
2.56
Oligoclasa
29.9
2.65
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Muscovita
13.3
2.82
Biotita
0.4
3.09
Epidoto
0.1
3.45
DENSIDAD DE LA ROCA

A manera de resumen completa el cuadro siguiente y dibuja, como antes, cubos y esferas con las
dimensiones correspondientes a las aristas y los radios. Determina cuál es la roca más pesada y cuál es
la más liviana.
DIMENSIONES DE LOS CUBOS
Peso (t) Densidad (g/cm3) Volumen (cm3)
Gabro
1
2.99
Granito
1
2.66
Arista(m)
DIMENSIONES DE LAS ESFERAS
Peso (t) Densidad (g/cm3) Volumen (cm3) Diámetro (m)
Gabro
1
2.99
Granito
1
2.66
Densidad de las Rocas Sedimentarias
A diferencia de las otras rocas o materiales tratados hasta aquí, con esta clase de rocas se debe prestar atención
a la porosidad de las mismas porque influye sobre la densidad.
La porosidad total de las rocas sedimentarias se define como la relación entre los espacios vacíos y el
volumen total.
P
Vp
Vt
 100 
Vg
Vt
Observa que la porosidad se expresa en %, razón por la cual en la fórmula anterior aparece el “100”. Además:
P = porosidad
Vp = volumen de los poros Vt = volumen total Vg = volumen de los granos
En el caso de las rocas sedimentarias la densidad total se calculará haciendo uso de la siguiente expresión:
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t  (1  P)  g  P f  (1  P)  g
A
B
C
En donde: P = porosidad ρt = densidad total ρg = densidad de los granos ρf = densidad de los fluidos (si los
poros están llenos de aire este término es despreciable)
A: representa en términos matemáticos, la fracción de materiales sólidos (granos) que constituyen a la roca.
Observa que en la fórmula, el total de la muestra está representado por “ 1 “ y la porosidad no está expresada
en %.
B: representa en términos matemáticos, los espacios huecos de la roca que pueden estar ocupados por fluidos
(agua, petróleo, gas o aire).
C: si los espacios vacíos están ocupados por aire su aporte a la densidad será despreciable. En caso de otros
fluidos se deberá tener en cuenta la densidad de ese particular fluido.
Arcosa
La arcosa es una roca sedimentaria clástica, rica en feldespatos, débilmente compactada, de color rojizo,
rosáceo o gris. Los granos mal redondeados, la relativa mala clasificación de los tamaños de granos y el
contenido en fragmentos de rocas indican un camino de transporte corto de los componentes que constituyen
la arcosa.

La Tabla 7 ilustra los valores característicos de una arcosa. Tal como hecho anteriormente calcula la
densidad total de la roca. Recuerda que en este caso la densidad total ρt está dada por la suma de ρg y
de ρf. En el caso considerado los espacios vacios están ocupados por aire.
Tabla 7
ARCOSA
Mineral
Abundancia % Densidad g/cm3 Media ponderada
Cuarzo
37.7
2.65
Microclino
0.7
2.56
Plagioclasa
45.4
2.68
Mica
4.2
2.82
Arcilla
12
2.65
ρg
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Porosidad
23.8
0.00
Granos
ρt

Completa la Tabla 8 y como realizado anteriormente calcula las dimensiones de un cubo y de una
esfera de una tonelada de arcosa. Grafica en escala.
Tabla 8
DIMENSION DEL CUBO DE ARCOSA
Peso (t) Densidad (g/cm3) Volumen (cm3)
Arcosa
Arista(m)
1
DIMENSION DE LA ESFERA DE ARCOSA
Peso (t) Densidad (g/cm3) Volumen (cm3) Diámetro (m)
Arcosa
1
El camino inverso: de la densidad a la porosidad
El método de “prueba y error” puede ser aplicado al cálculo de las densidades y las porosidades. Es decir, es
posible recorrer el camino inverso partiendo de una densidad de roca conocida roca y remontar a la porosidad
de la misma.
Considera la Tabla 9 obtenida de la Tabla 7. En ella se introdujo a la densidad de la roca como valor conocido
y se quiere obtener el valor de la porosidad correspondiente.
Tabla 9
ARCOSA
Mineral
Abundancia % Densidad g/cm3 Media Ponderada
Cuarzo
37.7
2.65
Microclino
0.7
2.56
Plagioclasa
45.4
2.68
Mica
4.2
2.82
Arcilla
12
2.65
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Porosidad
???
ρg
2.67
ρt
2.00
0.00
Granos

Mediante prueba y error ensaya diferentes valores de porosidad hasta encontrar aquel que satisfaga
una densidad total de 2 g/cm3.

A manera de resumen de todos los cálculos realizados completa el siguiente cuadro
DIMENSIONES DE CUBOS Y ESFERAS
Cubos Esferas
Peso (t) Densidad (g/cm3) Volumen
Hielo
1
0.917
Cuarzo
1
2.65
Gabro
1
2.99
Granito
1
2.66
Arcosa
1
2.03
Lado
Diámetro
APENDICE 1
ESCALAS
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que
representa la realidad sobre un plano o un mapa.
Las representaciones cartográficas por ejemplo, están reducidas con respecto al espacio geográfico original.
Porque es evidente que las medidas que se tienen sobre el terreno no pueden transportarse directamente a
papel. Necesariamente las dimensiones reales deben reducirse.
Todo mapa, al tener que ser de dimensiones considerablemente menores a la de las áreas que representan,
habrá de dibujarse de modo que constituyan una figura semejante, reducidas en una cierta proporción.
De esta manera cualquier magnitud medida en el plano y la correspondiente del terreno estarán en una
relación de semejanza. A esta relación de semejanza entre las medidas del plano con las medidas originales de
la superficie terrestre se la denomina Escala.
En todo mapa o plano, debe estar indicada la escala. Las escalas se escriben en forma de razón donde el
antecedente indica el valor del plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500,
significa que 1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.
 Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1, 75:1
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La escala se expresa de la siguiente forma:
Tipos de escala
- Escala natural: es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad.
Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan
estén dibujadas a escala natural; es decir, escala 1:1.
- Escala numérica de reducción: se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Es
aquella en la que la unidad de longitud en el dibujo representa un número determinado de las mismas unidades
de longitud en el terreno. Se la suele expresar de la siguiente manera 1: 100.000 lo que significa que toda
medida lineal del terreno se halla reducida en el plano cien mil veces. Esta escala se utiliza para representar
planos de viviendas (1:50), o mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser
escalas del orden de 1:50.000 o 1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la
medida del plano por el valor del denominador.
- Escala numérica de ampliación: se utiliza para el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano.
En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por
el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: 2:1 o 10:1
-Escala unidad por unidad: es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo
"=") y la de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.
- Escala gráfica: se trata de una línea recta, subdividida en segmentos numerados, cuya distancia en el plano
corresponde a unidades de longitud cómodas del terreno.
Escalas más usuales
Escalas
Tipo de mapas
1: 50
1: 100
Planos de obra, edificios y de parcelas
urbanas.
1: 200
1: 250
1: 500
1: 750
Mensura y relevamiento de parcelas
rurales, loteos urbanos,
fraccionamientos y planos de
amanzanamiento urbano.
1: 1000000 y menores
Mapas murales de provincias, países,
continentes. Atlas, planisferios, atlas
escolares. Mapas de mares y océanos.
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Categorías de escala
En el siguiente cuadro se presentan desde las grandes escalas hasta las escalas muy pequeñas, en función al
nivel de detalle que presentan.
Escalas grandes
1: 2000
1: 5000
1: 10000
1: 20000
1: 25000
Escalas
Escalas
Escalas muy
medianas
pequeñas
pequeñas
1: 50000
1: 75000
1: 100000
1: 125000
1: 200000
1: 250000
1: 500000
1: 1000000
1: 2500000
Mayores a
1: 2500000
Según la norma UNE EN ISO 5455:1996. "Dibujos técnicos. Escalas" se recomienda utilizar las siguientes
escalas normalizadas:
Escalas de ampliación: 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1
Escala natural: 1:1
Escalas de reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:20000
APENDICE 2
En la vida diaria coloquialmente se habla del peso de un cuerpo y la unidad del SIMELA que se utiliza para
expresar esa magnitud es el kilogramo (kg) con sus múltiplos y submúltiplos. Sin embargo esta unidad refiere
a otra magnitud que es la masa de un cuerpo.
La Masa de un cuerpo “m” es la cantidad de materia que posee un cuerpo y es una magnitud escalar.
La masa de un cuerpo es CONSTANTE es decir que no varía cualquiera sea el lugar en el espacio en donde
se encuentre dicho cuerpo. (La masa de un cuerpo es la misma en la Tierra que en la Luna).
Por el contrario el Peso de un cuerpo es la medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre dicho cuerpo y
depende de la intensidad del campo gravitacional presente en el lugar en donde se encuentre dicho cuerpo. Por
lo tanto el peso de un cuerpo es VARIABLE. (El mismo cuerpo pesa más en la Tierra que en la Luna).
De acuerdo a la mecánica newtoniana el peso de un cuerpo se define como:
Donde m es la masa de un objeto y g es la aceleración de la gravedad del lugar. (En el caso de la Tierra: g =
9.8 m/s2).
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En el SIMELA el peso de un cuerpo se mide en N (Newton) y se define como:
Es importante además recordar la diferencia entre la densidad y el peso específico de un cuerpo.
Por definición la densidad de un cuerpo es la relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ese
cuerpo ocupa en el espacio.
Las unidades en el SIMELA son el g/ cm3 y el kg/ m3. La densidad es un valor CONSTANTE.
El peso específico es la relación entre el peso de un cuerpo y el volumen que ocupa ese cuerpo.
Las unidades en el SIMELA son el N/ m3. El peso específico es un valor VARIABLE porque depende del
valor del campo gravitatorio en donde se encuentra el cuerpo.
Relación entre densidad y peso específico:
Es posible establecer una relación entre ambas magnitudes:
60