LÄGICA PROPOSICIONAL

IE. FAP €MANUEL POLO JIM•NEZ‚
SUBDIRECCIƒN DE SECUNDARIA
FICHA DE INFORMACIÄN NÅ 01 DE MATEMÇTICA
TERCER BIMESTRE
Apellidos y Nombres: _________________________________________
Grado: IV
Secci„n: €____‚
Fecha: _________
Profesores: Sandro Pineda Torres – Javier Chaca Alfaro.
V†B† ___________
Asesor
INDICADOR: Analiza tablas de verdad, proposiciones y circuitos lÄgicos.
LÄGICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIÄN
CLASES DE PROPOSICIONES:
La lÄgica estudia la forma de razonamiento. Es una
disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es vÅlido, tiene aplicaciÄn en todos los campos del
saber; en la filosofÇa, para determinar si un razonamiento es vÅlido o no, ya que una frase puede tener diferentes
interpretaciones; sin embargo la lÄgica permite saber el
significado correcto. Los matemÅticos usan la lÄgica,
para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones . En la computaciÄn, para revisar programas y crear sus algoritmos, es
utilizada en el diseÉo de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lÄgicas con los
bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonÇa mÄvil, internet, ...)
1.
ProposiciÅn Simple: Son proposiciones que no
tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de
negaciÄn.
Ejemplo:
* Cincuenta es mÑltiplo de diez.
2.
ProposiciÅn Compuesta: Formada por dos o mÅs
proposiciones simples unidas por conectivos
lÄgicos o por el adverbio de negaciÄn.
Ejemplo:
* 29 es un nÑmero primo y 5 es impar.
ENUNCIADO: Es cualquier frase u oraciÄn que expresa
una idea.
PROPOSICIÄN: Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan
con las letras minÑsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.
Ejemplo:
* TÑpac Amaru muriÄ decapitado.
* 9 < 10
* 45 = 3  2
ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden
tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.
CONECTIVOS LÄGICOS: SÇmbolos que enlazan dos o
mÅs proposiciones simples para formar una proposiciÄn compuesta.
Los conectores lÄgicos que usaremos son :
~

O P ERA C IÅ N
LÅ G IC A
NegaciÄn
ConjunciÄn


DisyunciÄn
p o q
Condiciona l
Si p, ento nces q

Bicondiciona l
p si y sÄlo si q

DisyunciÄn
Exclusiva
"o ........ o ........"
S ÄMBO LO
S IG N IFIC A D O
No p
pyq
OBSERVACIÄN: La negaciÄn es un conector monÅdico,
afecta solamente a una proposiciÄn.
OPERACIONES LÄGICAS Y TABLAS DE VERDAD
Ejemplo:
Si : P (x) : x  6
Se cumple que:
P (9) : 9  6 es verdadero
P (2) : 2  6 es falso
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tambiÖn, se le conoce como funciÄn proposicional.
La validez de una proposiciÄn compuesta depende de
los valores de verdad de las proposiciones simples que
la componen y se determina mediante una tabla de verdad.
1.
ConjunciÅn: Vincula dos proposiciones mediante
el conectivo lÄgico "y".
OBSERVACIÄN: La cantidad de filas en una tabla es:
# filas = 2 n
Tabla de Verdad
p q p  q
V V
V
V F
F V
F F
2.
F
F
F
DisyunciÅn: Vincula dos proposiciones mediante
el conectivo lÄgico "o".
Donde n es la cantidad de proposiciones simples.
IMPORTANTE:
*
Cuando los valores del operador principal son todos
verdaderos se dice que el esquema molecular es
tautolÅgico.
*
Se dirÅ que el esquema molecular es
contradictorio si los valores del operador principal
son todos falsos.
*
Si los valores del operador principal tiene por lo
menos una verdad y una falsedad se dice que es
contingente o consistente.
Tabla de Verdad
p q p  q
3.
V V
V F
F V
V
V
V
F F
F
Tabla de Verdad
p q p  q
V V
F
V F
V
F V
V
F F
4.
F
Condicional: Vincula dos proposiciones mediante
el conectivo lÄgico :
"Si ............, entonces .............."
Tabla de Verdad
p q p  q
V V
V
V F
F
F V
V
V
F F
F
5.
LEYES DE ÇLGEBRA PROPOSICIONAL
DisyunciÅn Exclusiva: Vincula dos proposiciones
mediante el conectivo lÄgico: "o ..........., o ............."
Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante
el conectivo lÄgico:
".............. si y sÄlo si .............."
Son equivalencias lÄgicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma
mÅs sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se
hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Principales Leyes:
a.
pp  p
b.
6.
V
F
F
F F
V
c.
Ley Asociativa:
(p  q )  r  p  (q  r)
(p  q )  r  p  (q  r)
d.
Ley Distributiva:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
e.
Ley de la Doble NegaciÅn:
~ (~ p)  p
f.
Leyes de Identidad:
pV  V ; p F  p
NegaciÅn: Afecta a una sola proposiciÄn. Es un
operador monÅdico que cambia el valor de verdad
de una proposiciÄn:
pV  p ; p F  F
g.
Tabla de Verdad
Leyes del Complemento:
p ~ p  V
p ~ p  F
p ~ p
V F
F V
Ley Conmutativa:
pq qp
pq q p
Tabla de Verdad
p q p  q
V V
V F
F V
Ley de Idempotencia:
pp p
h.
Ley del Condicional:
p  q ~ p  q
i.
Ley de la Bicondicional:
EJERCICIOS PARA LA CLASE
p  q  (p  q )  (q  p)
p  q  (p  q )  (~ p  ~ q )
p  q  ~ (p  q )
j.
Ley de AbsorciÅn:
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
p  (~ p  q )  p  q
p  (~ p  q )  p  q
k.
Leyes de "De Morgan":
~ (p  q )  ~ p  ~ q
~ (p  q ) ~ p  ~ q
Ejemplo: 1
1. Evaluar el siguiente esquema:
(p q) (  p  q)
Resoluci€n:
• Se observa que en el esquema hay 2 proposiciones diferentes (py q), luego eln‚mero de filas
es 22 = 4.
• Primero desarrollamos el condicional 1 , luego
ladisyunci€n 2 y finalmentehallamos lacaracterƒstica tabular en la columna 3 evaluando 1 y 2
a trav„s del bicondicional‘‘ ’’.
p
q
V
V
V
F
V
F
V
V
FVV
FFF
F
F
V
F
V
V
1
V
V
3
VVV
VVF
2
Caracter‡stica tabular
Ejemplo 2
2. Evaluar el siguiente esquema:
[(p  q)  q]   q
Resoluci€n:
p
q
V
V
V
F
V
F
V V
F F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
1
V V
F F
2
F
F
4
F
V
3
1. ˆ Cu‰l de los siguientes enunciados es una
.
proposici„n?
a) ! Buenas noches Š
b) Gracias.
c) Santiago es lacapital de Chile.
d) ˆCu‰l es tu nombre?
e) Detente.
2. ˆCu‰l no es una proposici„n?
a) Trujillo est‰ al norte de Lim
b) Argentina es el ‹ltimo campe„n mundial.
c) 4 + 3 = 7
d) Mi estatura es 1.64 m.
e) !Viva el Per‹Š
3. Indique cu‰l es una proposici„n molecular:
a) x + 8 = 12
b) A Gisella le gusta matem‰tica.
c) Jose es bajo y gordo.
d) Matias estudia en la UNI
e) 5 + 4 < 2 + 8
4. Para los siguientes enunciados:
Levantate temprano.
x+y=8
ˆQuŒ edad tienes?
2+3>1+1
a) 2 son proposiciones.
b) 2 son enunciados abiertos.
c) 3 son proposiciones.
d) 3 son enunciados abiertos.
e) Ninguna.
5. Simbolizar la siguiente proposici„n:
€ Si fumo demasiado entonces me duele la garganta. y me duele la garganta, por lo tanto fumo demasiado.‚
Siendo:
p : Fumo demasiado.
q : Me duele la garganta.
a) p v q
b) (p q)  (  p  q)
c) (p q)  q
d) ((p q)  q)  p
e) Ninguna.
6. Simbolizar la siguiente proposici€n:
‡ Si yo trabajo, gano dinero, y si no trabajo entonces me divierto por lo tanto si no gano dinero me
divierto.
7. Una madre ha prometido a su hijo: ‡ Si comes
espinacas y el pescado entonces podrˆs salir a
jugar ‰
El niŠo s€lo come las espinacas, pero la madre le
permite salir a jugar.
‹Ha ‡ roto ‰ la madre su promesa?
LOGILETRAS
C R C E Q U I V A L E N T E S P R M
N O O T R S M B C L P R O S L A F O
T P N V O C I G O L O T U A T R S
L
ARTE GHJKLZETSPSAE
OPRRCQNOICAGENEPIC