HISTORIA E HISTÉRESIS

HISTORIA E HISTÉRESIS:
¿Son Persistentes Los Shocks Exógenos
Sobre la Tasa de Homicidio en Colombia?∗
Carlos Federico Andrés Vallejo Mondragón♣.
Resumen:
Abstract:
Palabras Clave: Cliometría, Ciclo de la Violencia Política, Test de raíces unitarias,
Estacionarización de series temporales
Keywords:
Clasificación JEL:
Introducción
La extracción de Componentes Determinísticos: Una alternativa de estacionarización
de la serie
Para iniciar esta discusión, retomemos la idea de los conceptos clave de los modelos de
pronóstico con series de tiempo, una serie temporal, en términos generales, se compone
básicamente de los siguientes elementos que la describen: Una componente tendencial de
largo plazo (T), el cual señalará si el valor promedio es creciente, decreciente o constante
en el tiempo; un componente estacional (E) el cual nos habla de que hay cierto patrón que
se repite en las mismas fechas, un componente de ciclo (C) que nos dice cómo se comporta
la serie alrededor de la tendencia, y finalmente un componente de irregularidad (I). Así,
en el caso que nos ocupa de la tasa de homicidios por cada 100mil habitantes para
Colombia tenemos
TH t = Tt + Et + Ct + I t
(1)
Por tratarse de series anuales —de 1946 a 2005— no tendremos componente estacional, por
tanto la identidad anterior quedaría
TH t = Tt + Ct + I t
(2)
∗
Documento en preparación.
Estudiante de la Maestría en Economía Aplicada. Facultad de ciencias Sociales y Económicas, Universidad
del Valle. Miembro del grupo de investigación Gestión y Política Pública —categoría A Colciencias—
Facultad de Administración Universidad del Valle. Cali Colombia. Mail: [email protected].
♣
1
Ahora bien, los componentes de ciclo y tendencia —de existir en la serie— se caracterizan
por presentar patrones deterministas, en ese sentido cuando es analizada la solución de una
ecuación en diferencias tendríamos que los patrones deterministas (T y C) implican que
éstos tienen efectos permanentes sobre la serie estudiada; ello en oposición al componente
irregular, que no presenta efectos permanentes sobre la serie —justamente esto hace a la
serie no estacionaria. Estas tendencias deterministas se caracterizarían por depender
“únicamente de la evolución del tiempo”. Ahora si a la explicación tendencial le añadimos
un componente autor regresivo (At), es decir la variable explicativa retardada THt-k
“podríamos” tener un proceso estacionario sobre una tendencia. La identidad quedaría
TH t = Tt + Ct + At + I t
(3)
Donde At es una función de los rezagos de TH.
Ahora bien, desde un punto de vista teórico, si bien muchas series de tiempo en economía,
presentan claramente tendencias que se describirían como “determinísticas”, es claro que su
evolución no depende —vista en términos teóricos— simplemente del “paso del tiempo”.
Por ejemplo la tasa de escolaridad o el PIB nominal son crecientes, pero no por el paso del
tiempo; hay un comportamiento económico-social detrás, y por ello se requiere de una
teoría que pueda explicar ese crecimiento en el tiempo. Es decir, teóricamente no podemos
asumir que sean generados por procesos deterministas. Dicho en otras palabras, esos
procesos sociales (teorizables) no se producen de manera constante, invariable, totalmente
predecible a lo largo del tiempo.
La manera de solucionar este problema por parte de los macroeconomistas en particular es
asumir la existencia de componentes deterministas con efectos permanentes en el tiempo
pero de naturaleza estocástica —nótese que se parte de un supuesto—. Esos componentes
estocásticos que impactan permanentemente la evolución de la variable, son la forma de
modelar schocks exógenos. Ahora bien, cada uno de esos permanentes impactos aleatorios
pueden tener efectos permanentes o no sobre la serie.
En este sentido, para estudiar el carácter de la permanencia o no de los efectos de eso
schocks sobre la serie se hace necesario aislarlos de las componentes tendenciales. Es decir,
se debe des-estacionarizar la serie. Si no existe tendencia se dice que hay una
estacionariedad o no tendencia, por lo menos en media, aunque se debe buscar también la
estacionariedad en varianza (criterio débil de estacionariedad). Así, como sabemos, a la
vista de su gráfico, la serie estacionaria presentará un valor promedio constante a lo largo
del tiempo.
Como se sabe, para desestacionarizar la serie existen dos procedimientos: uno que es
utilizado en el contexto de modelos ARIMA es la diferenciación sucesiva. El otro consiste
en extraer los componentes de tendencia a través de calcular una regresión de la serie
estudiada en el tiempo
TH t = g (t ) + ε t
(4)
2
Donde g(t) puede ser una función lineal o no. Ahora bien, si la variable tiene los
componentes
TH t = Tt + Ct + At + I t
(5)
El error de esta regresión TH t = g (t ) + ε t contendrá los efectos auto-regresivos y espurios
de la serie. Es decir reemplazando en la identidad
TH t − Tt − Ct = At + I t
(6)
TH t − g (t ) = ε t ≅ At + I t
Ahora bien, cuando se usa la estrategia de diferenciar la serie se tiene
TH t = Tt + Ct + At + I t
(7)
∆TH t = ∆Tt + ∆Ct + ∆At + ∆I t
Si ∆THt es estacionaria, sería “bueno” para la estimación ARIMA, pero podríamos haber
cometido un error. Como sugiere la ecuación anterior, la diferenciación de la serie implica
pérdida de información pues al diferenciar no podemos estar seguros de qué componentes
de la serie fueron sustraídos —pues no conocemos el verdadero PGD, sólo lo suponemos—
. Es decir, si bien la serie se estabiliza en medias, se pierde información sobre el ciclo o
sobre formas no lineales de tendencia.
Amanera de ejemplo, supongamos por un momento que la componente de tendencia es
lineal, T = TH = α + β t y comparemos los métodos gráficamente:
30
20
10
0
-10
-20
-30
50
55
60
65
70
75
DT H
80
85
90
95
00
05
10
T HS T C
Como muestra la gráfica anterior, efectivamente mientras los errores de la regresión
(THSTC) eliminación de la tendencia lineal, conservan el ciclo, en oposición a ello, las
primeras diferencias parecen haber afectado parte del ciclo además del componente
tendencial.
3
Sin embargo, lo que interpretamos provisionalmente como un “ciclo” pudo ser generado
por un paseo aleatorio, en particular si este PGD es un paseo aleatorio con varianza grande.
El profesor Mahía (1999) muestra cómo un paseo aleatorio —en muestras pequeñas
(n=100)— cuando ε t (0,σ ) tiene una varianza grande puede generar sucesiones de
observaciones que se describen bien por una función determinística cuadrática o de orden
superior1. En ese caso, estaríamos intentando preservar una componente ciclo que en
realidad no existe.
En ese sentido, tal como lo señalan Nelson y Kang (1981) (citados por Madalla (1996) Pág.
658), “…los resultados de la auto correlación son espurios siempre que se elimine la
tendencia de una serie de diferencia estacionaria [con tendencia marcada por la
acumulación de errores, de un proceso aleatorio], o se diferencie una serie de tendencia
estacionaria [determinístico]”.
Como no conocemos el verdadero PGD, la pregunta que inexorable surge es: ¿Cual de los
dos problemas es menos grave?
Según Madalla (Pág. 301) “…las consecuencias de diferenciar [una serie] cuando no es
estacionaria son mucho menores que no hacerlo cuando es apropiado (cuando los datos
son DSP —Proceso en Diferencia Estacionarias o autoregresivos con una raíz unitaria)”.
Ello es así porque en un modelo autoregresivo los errores se acumulan y, por tanto la
diferenciación no sólo estabiliza la serie en medias sino que además convierte a la serie no
estacionaria en varianza en una estacionaria en varianza. Por ejemplo si se tiene una raíz
unitaria, al restar los errores anteriores y dejar sólo el contemporáneo. De otro lado, como
sabemos, si la serie no es DSP si no TSP entonces estaríamos introduciendo un proceso MA
pues el error anterior se sumaría (restaría) al diferenciar, es decir los errores estarían
correlacionados, ello como se sabe genera en el estimador MCO un problema de reducción
de la eficiencia pero no de la consistencia. Es pues un argumento a favor de la
diferenciación. De ahí que la práctica de diferenciar sea tan popular y de uso generalizado.
Como vemos, estos elementos de la discusión se presentan a favor de la diferenciación
como estrategia, y al no conocer el verdadero PGD serían de gran peso. Dicho en otras
palabras, si suponemos que no podemos inferir a priori la forma del PGD. No obstante,
creemos que muy posiblemente se ha llevado al extremo la filosofía del proceso BoxJenkins, recordemos que los Modelos ARIMA se formulan en el contexto de realizar una
Predicción de una variable y No en el contexto de buscar una descripción o explicación
de un fenómeno social.
Creemos, por su puesto, que la situación no es la misma si desde el sustento de la teoría
socioeconómica o desde hechos estilizados — y no únicamente desde la teoría estadística—
como criterio se plantea un posible PGD. En ese sentido, no podemos obviar los elementos
de la teoría económica como elementos claves en la modelación, pues los criterios hasta
aquí expuestos son de carácter estadístico. Si hay, desde la teoría, serias razones para
1
Por supuesto, cuando la varianza es pequeña, el paseo aleatorio describe —aun en muestras pequeñas—
tendencia lineal, tal como señala la teoría. Igual ocurre cuando la muestra crece. Esto se puede simular
fácilmente en Excel.
4
suponer un proceso que no dependa de términos auto regresivos sería un error incluirlos.
Asimismo, si hay un proceso social que se sucede en el tiempo (aunque no dependa de éste)
aparecerá correlacionado a él mismo, parecería en este caso necesario y válido, modelar
con procesos tendenciales (lineales o no)2.
Matizando, la tesis extrema de la llamada “Crítica de Lucas”, podemos indicar que: los
parámetros que definen un PGD para una variable socioeconómica, pueden cambiar en el
tiempo —argumento que va en el mismo sentido, del cambio estructural— ó pueden ser un
PGD cuyos parámetros fijos implican una correlación con procesos temporales lineales o
no.
Las implicaciones de lo anterior en el contexto de los test básicos de raíces unitarias
(Dickey y Fueller) nos hacen sospechar de los mismos, podríamos aceptar la existencia de
una raíz unitaria sin que esta exista realmente en el PGD. La referencia Básica al respecto
citada por varios autores es Enders W.(1995) y Perron (1989). Una Presentación de este
problema, en estudios empíricos concretos se puede encontrare en Castellar y Uribe (2002)
y en Correa et al (sine facta). Una ilustración con datos simulados se encuentra en el
trabajo de Mahía (1999).
La Reorganización del Régimen de Estado y el Ciclo de la Tasa de Homicidios en
Colombia 1946-2005
En el caso que nos ocupa sobre la tasa de homicidios es clave entender la violencia no
como un problema “de inamovilidad cultural” estrictamente si no como un problema de
racionalidad de ciertas organizaciones. Como dijo Marx: “la violencia es la partera de la
historia” y el caso Colombiano parece así confirmarlo. Tal aseveración tiene mucho
sentido si observamos los ciclos de la violencia en Colombia, y las motivaciones del hecho
violento analizado: el Homicidio. Una observación de partida clave para entender lo
anterior es que, como dice Boris Salazar: “En Colombia no se mata: se manda a matar”.
Lo cual implica la existencia de aparatos de seguridad, mesnadas particulares, insurgencia,
oficinas de sicarios, las cuales en tanto organizaciones —conjunto de personas reunidas con
un fin específico— toman sus decisiones sobre matar o mandar a matar con base en
factores que claramente están determinados por elementos económicos y políticos.
Así por ejemplo, la Violencia de los años 40`s y 50`s no se puede entender como la simple
rivalidad partidista, eso sería lo que la realidad nos manifiesta en su apariencia. Aunada a
ella hay que entender que se dio un proceso de reorganización del régimen de estado, de
expropiación de la tierra y del control territorial por ciertos gamonales, como indica el
profesor Calero “muchos de los negocios de compra de tierras en el sur del Valle del
Cauca, hechas por familias hoy muy prestantes, se hicieron con las viudas en los años 40`s
2
Recordemos lo que se dijo sobre proceso como el incremento de la tasa de escolaridad, ello obedece a una
política que se desarrolla en el tiempo, por eso el tiempo sería un buen Proxy de los resultados de esa política
sistemática. Caso similar ocurre cuando se utilizan variables indicadoras DUMMY, para por ejemplo captar
fenómenos como Guerras en los modelos multivariados con series temporales. La diferencia es que la
indicadora señala el cambio del valor de un parámetro por un evento ocurrido en el tiempo mientras que la
tendencia “determinista” funge como Proxy del proceso mismo.
5
y 50`s”; otro tanto ocurrió por la misma época en el Norte del Valle según informa el
investigador Adolfo Atehortúa (1995).
Posteriormente, la necesidad de aparatos militares para asegurar el cumplimiento de los
contratos del narcotráfico fue un hecho que en los años 60`s y 70`s, implicó por ejemplo un
proceso de la cooptación de la policía de Cali por el narcotráfico quien la puso a su
servicio, habida cuenta de sus propias mesnadas de sicarios. Aun que en este caso el
aparato militar y su capacidad de violencia y muerte fungían más como elemento que
corregía el problema institucional derivado de la no legalidad de la actividad comercial.
Así, una lógica diferente a la de la expropiación movería este fenómeno: el mafioso no está
interesado en matar a todo el que haga negocios con él, pero sí debe tener una reputación
que asegure que le paguen lo convenido en sus contratos. Vallejo Federico (2004).
Más contemporáneamente, después de los años 90`s la descentralización fiscal y la
diversificación del portafolio de actividades de los “señores de la guerra” implicaron la
cooptación de los municipios, lo cual implicó desplazar a agentes que antes tenían el
control territorial —legal o no—. Así, el “Régimen de Ralito” si bien generó y viene
generando altas tasas de asesinatos en los municipios recién cooptados, éstas deberán de
tender a disminuir una vez el control se establece. Sin embargo, las mesnadas —y su
capacidad de violencia— como elemento disuasivo y, en ese sentido elementos de violencia
“menores” son necesarios para disuadir a quienes habitan en esas comunidades, para así
mantener el orden —ya que su orden no es legal, ni legítimo, pues el uso legítimo de la
fuerza como sabemos está depositado en del Estado. Vallejo y Delgado (2005), Duncan
Gustavo (2005).
Por lo anterior parece razonable plantear un ciclo de violencia en Colombia en función de
cambios en las “gobernanzas” o reglas de juego social que expresan no sólo la correlación
de fuerzas entre diferentes grupos en conflicto, sino que, también, expresan las
contradicciones entre las clases dominantes en su lucha por mantener la hegemonía y el
control sociopolítico del país. Así, ciclos de violencia surgen cuando facciones de la
burguesía tradicional y la “burguesía emergente” se enfrentan en su proyecto de establecer
un nuevo régimen. Periodos de “paz” se establecen cuando una facción domina totalmente
a la otra o las emergentes apenas se están gestando. Por ejemplo, el periodo de mediados de
los años 60`s a los 80`s es de “fatua pacis” pues es el periodo donde se gestan las
contradicciones de la “lumpen burguesía mafiosa” que desde mediados de los años 80`s
intentarían establecer su hegemonía en un nuevo régimen que podríamos denominar
Régimen de Ralito —que no pacto de Ralito—, el cual ya comienza a estabilizarse,
concretando la hegemonía ganada por estas clases emergentes.
6
Grafic o No 1: Tas a de Homic idis os por 100mil.hab. Colombia 1946-2005
80
60
40
20
0
50
55
60
65
70
75
80
THF
85
90
95
00
05
TH
Para volver al asunto de la econometría, con la justificación anterior, basta decir que es
razonable ver el problema de la violencia como un ciclo. Podemos a grandes rasgos
identificar dos ciclos casi completos en el periodo estudiado. De mediados de los 40`s a
mediados de los 70`s y de esa época a hoy. Una aproximación de un polinomio grado
cuatro, describiría bien la tendencia-ciclo de la serie, por lo menos en el periodo, pues a
largo plazo o a mediano plazo el polinomio grado cuatro generaría una inercia de tasas de
homicidios cada vez más bajas. Sin embargo, para efectos de describir la serie en el periodo
de referencia y predecir uno o dos años tal polinomio resulta razonable.
Introducción de Elementos Tendenciales: La extracción del ciclo y el análisis de
componentes autoregresivos
Como habíamos a notado arriba, sustraer mediante una regresión en el tiempo los
elementos no autoregresivos de la serie, nos remite a examinar los componentes
autoregresivos —At —tomando como materia prima los errores de la regresión
TH t = g (t ) + ε t pues por definición
TH t − Tt − Ct = At + I t
TH t − g (t ) = ε t ≅ At + I t
(8)
Debemos entonces optar por una forma funcional para g(t). A nosotros, nos parece
razonable el polinomio grado 4 que recoge los elementos de Tendencia-Ciclo. Pero como
un mero juego estadístico veamos las gráficas de los errores de los siguientes modelos:
7
TH t = β 0 + β1t + ε t
Modelo I
TH t = β 0 + β1t + β 2t + ε t
2
Modelo II
TH t = β 0 + β1t + β 2t + β 3t + ε t
2
3
Modelo III
TH t = β 0 + β1t + β 2t + β 3t + β 4t + ε t
2
3
4
T endenc ia Lineal
Modelo IV
T endenc i a Cuadráti c a
80
80
60
60
40
30
40
40
20
20
20
20
10
0
0
0
0
-10
-20
-20
-30
-40
50
55
60
65
70
75
Res i dual
80
85
90
A c tual
95
00
05
50
55
60
65
70
75
T endenc i a Cúbi c a
85
90
00
95
05
Fi tted
A c tual
Res i dual
Fitted
80
T endec i a P ol i nom i o Grado Cuatro
80
80
60
60
40
40
30
20
20
20
20
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-20
-20
-30
50
55
60
65
70
Res i dual
75
80
85
A c tual
90
95
00
Fitted
05
50
55
60
65
70
Res i dual
75
80
85
A c tual
90
95
00
05
Fi tted
Como vemos el efecto de eliminar la tendencia (Modelo I) sería equivalente a rotar la serie
original hasta llegar al ángulo de 180º, es decir quedar horizontal. En ese caso los
elementos ciclo y autoregresivos se mantendrían (ver la correspondencia con los errores).
Nótese cómo a medida que se incrementa el grado del polinomio los elementos que
consideramos ciclo son extraídos.
De esta forma el polinomio de grado cuatro parece describir más claramente lo que ha
ocurrido con la tendencia-ciclo de la TH en Colombia en el periodo analizado: Una
tendencia con ciclos expansivos crecientes. El primer ciclo completo de 1946 a 1973 y el
segundo de 1974 a la fecha. Nótese que el ciclo se cierra —el valle de la serie— con
valores más altos que los del periodo anterior. Ello sugiere que hay algún tipo de memoria
en el proceso de generación de la tasa de homicidios, por lo menos en el polinomio de
grado 4. Dicho de otra forma, sugiere algún tipo de proceso auto regresivo en el PGD de la
serie.
8
A continuación presentamos las regresiones determinísticas a partir de las cuales se
extrajeron la componente tendencial y cíclica de la serie.
Como puede apreciarse en la tabla siguiente todos los coeficientes estimados para las
constantes son significativos de acuerdo con el estadístico t asociado, excepto en el
polinomio de grado cuatro para la constante —P-val.= 0.8745. No obstante, por el
momento, incluimos la constante para efectos de comparar los “R-cuadrado ajustados”
pues, como se sabe, la eliminación de la constante puede incluso generar valores mayores
que uno o negativos en este indicador.
Dependent Variable: TH= Tasa de Homicidios por Cada 100mil Habitantes
Method: Least Squares
Modelos Eliminación de Tendencia (determinísticos puros)
Sample(adjusted): 1946 2005
Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable
Lineal
Cuadrática
Cúbica
G. Cuatro.
β
18.77910
25.42136
33.92565
-0.713759
C
3.236722
4.865544
6.538467
4.498262
D.st.
5.801887
5.224772
5.188624
-0.158674
t
0.0000
0.0000
0.0000
0.8745
PVal
0.691942
0.049142
-1.557801
β
9.014822
T
0.092283
0.368039
0.920626
1.003789
D.st.
7.498016
0.133525
-1.692110
8.980792
t
0.0000
0.8942
0.0962
0.0000
PVal
0.010538
0.075855
-0.689146
β
0.005848
0.034914
0.066140
D.st.
T^2
1.801940
2.172640
-10.41947
T
0.0768
0.0341
0.0000
PVal
-0.000714
0.018685
β
T^3
0.000376
0.001623
D.st.
-1.896435
11.51463
t
0.0631
0.0000
PVal
-0.000159
β
1.32E-05
D.st.
T^4
-12.04556
t
0.0000
PVal
R-squared
0.492209
0.519576
0.548568
0.875916
Adjusted R-squared
0.483454
0.502719
0.524385
0.866891
S.E. of regression
12.37939
12.14635
11.87881
6.284174
Sum squared resid
8888.465
8409.424
7901.941
2171.996
Log likelihood
-235.0813
-233.4192
-231.5519
-192.8080
Durbin-Watson stat
0.261449
0.281572
0.296976
0.935885
Mean dependent var
39.88333
39.88333
39.88333
39.88333
S.D. dependent var
17.22443
17.22443
17.22443
17.22443
Akaike info criterion
7.902709
7.880641
7.851730
6.593601
Schwarz criterion
7.972520
7.985358
7.991353
6.768130
F-statistic
56.22024
30.82264
22.68327
97.06166
Prob(F-statistic)
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Nótese que el modelo cuadrático, no rechazaría a un 95% de significación la hipótesis de
que los parámetros asociados a t y t2 son diferentes de cero. Para la ecuación cúbica ocurre
algo similar: a este nivel de significancia no se rechazaría la hipótesis de que los beta
asociados a t y t3 son diferentes de cero, pero sí lo haría a un 90% de significación. Como
9
era de esterar se, para el polinomio de grado cuatro los beta asociados son altamente
significativos —estadísticos t mayores a 8— en todos los parámetros asociados al tiempo.
A nivel de significancia global tenemos: las F rechazan la hipótesis nula de que las
variables asociadas al tiempo no contribuyen a explicar TH. Sin embargo desde la
perspectiva del R-cuadrado ajustado, es relevante anotar que los tres primeros modelos
explican alrededor del 50% de la varianza de TH en tanto que el modelo de polinomio
grado cuatro explica el 87.5% de ésta. Mejorías en el mismo sentido se encuentran en los
criterios AIC SIC se para de 7.9 en el modelo lineal a valores de AIC 6.6 y SIC 6.8 en el
modelo con polinomio grado cuatro.
De otra parte, en todos los modelos el DW muestra evidencias de auto-correlación serial
positiva de los errores. Lo cual, da un indicio de procesos autoregresivos en la TH una vez
se extrae la tendencia-ciclo. Efectivamente los Correlogramas de los errores de estas
regresiones —TH filtrada— evidencian ser no estacionarios y presentar procesos
Autoregresivos únicamente para el primer rezago en los modelos I, II y III y para los
rezagos primero y cuarto en el modelo IV. Nótese además el primer coeficiente de
autocorrelación cae de 0.84 en el Modelo I a 0.52 en el Modelo IV. Ver ANEXO 2.
Evaluación de la Parte Autoregresiva de la TH Filtrada
Tal como hemos anotado en los apartados a anteriores, la respuesta a la pregunta ¿es lícito
extraer los componentes no autoregresivos de la serie estudiada? Hemos dicho que: El
procedimiento no sería el adecuado si la serie es generada por un proceso en diferencia
estacionaria, es decir un proceso generador de datos PGD con una raíz unitaria —o más—
pues parte de la tendencia se deberá al acumulación de los errores, y que parte de lo que
interpretamos como un ciclo se debería a una caminata aleatoria con una varianza grande.
También anotamos que en la determinación o identificación de un PGD son cruciales desde
un punto de vista teórico los supuestos que sobre el mismo se hacen (los hechos estilizados
o la teoría), en particular cuando el propósito no es simplemente la predicción. El asunto es
que, si el PGD tuvo un cambio en sus parámetros en el tiempo, es decir si se presentó
quiebres —suaves o bruscos— derivado de cambios en los parámetros del PGD3 ó si los
parámetros no observables del PGD generan patrones que se correlacionan con el tiempo
—como lo ciclos— un aprueba con los Test tradicionales de raíces unitarias nos conduciría
a aceptar la hipótesis de existencia de éstas cuando en realidad no existen. Al respecto el
profesor Mahía comenta:
“Cuando existe cambio estructural, la conclusión del test DF tiende a estar
sesgada hacia la aceptación de presencia de una raíz unitaria. El motivo, tal y
3
Como señalamos antes, la referencia Básica al respecto en el contexto de raíces unitarias, citada por varios
autores es en Enders W. (1995) y Perron(1989). Presentación de este problema se puede encontrare en
Castellar (2002), Coerrea et al (sine facta), Mahía (1999).
10
como señalaran Rappoport y Reichlin (1989), puede entenderse fácilmente si
se observa que, en mayor o menor medida, un cambio tendencial en una serie
se manifiesta como un cambio de impulso en la misma serie en diferencias.
Siendo esto así, al ajustar el modelo en diferencias (con una raíz unitaria) se
obtiene un mejor ajuste que cuando se estima en niveles lo que puede hacer
aparecer una serie estacionaria como otra que requeriría una
diferenciación... la serie diferenciada es estacionaria mientras que la serie en
niveles, al no haber sido modelizada convenientemente, no parece serlo,
aconsejando la presencia de una raíz unitaria”. (Mahía 1999. Pág. 37).
Dada la naturaleza del problema generado por la inclusión de variables rezagadas—i.e. el
sesgo del a t clásica estimada para definir la significancia de los parámetros estimados—
La cuestión entonces es evaluar si la serie es estacionaria o no a través de la metodología de
Dickey y Fueller.
Veamos más detalladamente el asunto, en el contexto de los modelos ARIMA, el uso
mecánico del test DF para detección de No estacionariedad vía la presencia de una raíz
unitaria implica la evaluación juiciosa del siguiente modelo que supone tendencia lineal:
TH t = β + αTH t −1 + δt + ut
ADF Test Statistic
-1.620627
(9)
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-4.1190
-3.4862
-3.1711
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(TH)
Sample(adjusted): 1947 2005
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
TH(-1)
C
@TREND(1946)
-0.110180
3.956198
0.029913
0.067986
2.049940
0.068763
-1.620627 0.1107
1.929909 0.0587
0.435024 0.6652
Como vemos claramente, el ADF ( |-1.62|<|-3.17| ) no puede rechazar la presencia de una
raíz unitaria. Entonces Ahora debemos bajo el supuesto de que hay una raíz unitaria —
condicional a su existencia— evaluar el coeficiente de la tendencia esta distribución
condicionada está en la Tabla A-15 de Novales (1993), sin embargo el t = 0.435, nos evita
el ejercicio de mirar en la tabla, es demasiado bajo aun con una t tradicional. Por tanto el
coeficiente que acompaña la tendencia no difiere estadísticamente de cero.
Se procede entonces a poner a prueba el modelo sin tendencia,
TH t = β + αTH t −1 + ut
(10)
De nuevo no puede rechazarse la hipótesis de una raíz unitaria. Ahora bajo la hipótesis de
una raíz unitaria y para el modelo sin tendencia evaluamos la significancia de la constante,
11
para ello comparamos el valor t de la constante 1.969 con los valores de la Tabla A-13 de
Novales, para muestras que están entre 50 y 100 observaciones, los niveles críticos de dicha
tabla son mayores que dos en los niveles de confianza ahí presentados, luego con 59
observaciones y un t =1.96, no se puede rechazar la hipótesis de que la constante sea cero.
ADF Test Statistic
-1.899789
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-3.5437
-2.9109
-2.5928
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(TH)
Sample(adjusted): 1947 2005
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
TH(-1)
C
-0.088854
4.002769
0.046771
2.032532
-1.899789 0.0625
1.969352 0.0538
Procedemos entonces a eliminar la constante y poner a prueba el modelo
TH t = αTH t −1 + ut
ADF Test Statistic
-0.225884
(11)
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-2.6019
-1.9460
-1.6187
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(TH)
Sample(adjusted): 1947 2005
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
TH(-1)
-0.004290
0.018992
-0.225884 0.8221
El test con el t=-0.22, no puede rechazar la hipótesis de una raíz unitaria a cualquier nivel
de significación. Dicho en otras palabras, la prueba de conjunto indica que bajo la hipótesis
nula de un modelo auto regresivo con tendencia lineal y constante nos se puede rechazar la
hipótesis de una raíz unitaria y que, el PGD sería un ruido Blanco. Estaríamos pues frente a
una caminata aleatoria ∆TH t = ut , o lo que es lo mismo:
TH t = TH t −1 + ut .
(12)
Desde una perspectiva teórica la implicación de este resultado es que la TH es “autónoma”
y de pende de su propia historia de forma infinita y, en ese sentido, choques exógenos
violentos —dados por el error— generarían efectos permanentes sobre la tendencia. La
implicación de políticas derivadas de tal conclusión, serían inocuas. Así, políticas
encaminadas a mitigar la violencia vía educación, mejoras en el empleo, negociaciones,
12
desmantelamiento de las organizaciones mafiosas, entre otras serían ineficaces en el largo
plazo.
Dependent Variable: D(TH)
Method: Least Squares
Date: 06/19/07 Time: 15:27
Sample(adjusted): 1947 2005
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
Lineal
TH(-1)
-0.110180
0.067986
-1.620627
0.1107
3.926284
2.054679
1.910899
0.0611
0.029913
0.068763
0.435024
0.6652
-0.106285
0.072394
-1.468145
0.1478
3.483251
3.353921
1.038561
0.3036
0.061787
0.201987
0.305899
0.7608
-0.000560
0.003332
-0.168021
0.8672
-0.137398
0.068745
-1.998658
0.0507
12.29399
4.362526
2.818090
0.0067
-1.325292
0.512105
-2.587931
0.0124
0.054305
0.019076
2.846733
0.0062
-0.000585
0.000201
-2.915495
0.0052
-0.470664
0.116589
-4.036953
0.0002
2.456261
4.932121
0.498013
0.6205
3.871466
1.600930
2.418261
0.0191
-0.313066
0.109618
-2.855989
0.0061
0.008805
0.002772
3.176204
0.0025
-7.69E-05
2.27E-05
-3.394691
0.0013
0.062716
0.029242
6.232264
2175.102
-190.1325
2.101110
0.457627
6.325433
6.546866
6.652503
1.873553
0.163077
0.063197
0.012099
6.287052
2173.986
-190.1174
2.110087
0.457627
6.325433
6.580251
6.721101
1.236771
0.305188
0.190604
0.130648
5.897772
1878.321
-185.8050
2.369324
0.457627
6.325433
6.467965
6.644027
3.179097
0.020369
0.335161
0.272441
5.395411
1542.854
-180.0010
2.027454
0.457627
6.325433
6.305119
6.516394
5.343715
0.000475
C
T
T^2
Cuadrático Cúbico
T^3
T^4
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Grado 4
Ahora bien, veamos que pasa con TH cuando se contrasta con otro tipo de tendencias:
Modelos II a IV. La ecuación para la forma del test DF —restando a ambos lados THt-1 —
daría los que se presentan en la tabla anterior. Desgraciadamente, para los efectos de este
trabajo dada la premura de tiempo, no dispongo de tablas construidas para polinomios de
grado mayor a tres. Habría que obtenerlas mediante procesos de Monte Carlo para 60
observaciones con las formas funcionales propuestas.
13
La simulación Monte Carlo, imponiendo la restricción de una raíz unitaria y utilizando los
coeficientes de la tabla anterior se hizo en Limdep 7 (ver programa en el ANEXO 3) y los
resultados se pasaron a Eviews 3.1 —que tiene formatos de salida de las descriptivas más
bonitos— BALFA es el beta que acompaña a la variable TH(-1) en la tabla anterior, la
prueba se hizo para el modelo con tendencia grado cuatro. Como vemos el alfa estimado
que aparece en la tabla anterior es -0.470664 de acuerdo con la distribución simulada sería
por un amplio margen muy diferente a su valor esperado bajo la hipótesis nula BALF=0, lo
cual rechazaría la existencia de una raíz unitaria. Rechazada la hipótesis de una raíz unitaria
los demás parámetros se pueden evaluar usando una distribución normal. Resultan ser todos
diferentes de cero.
Las implicaciones teóricas de rechazar la raíz unitaria serían: Si bien el valor del parámetro
que acompaña en el PGD rho=1-alfa=0.5239 es “grande” implicando que sí hay efectos
autoregresivos de la violencia pasada —homicidios pasados— sin embargo, su efecto no es
permanente y cada shock se diluye en el tiempo. De esta forma políticas que mitiguen la
exacerbación de las contradicciones entre las clases emergentes y las hegemónicas en el
poder son eficaces a largo plazo. Es decir, es posible intervenir con políticas de contra
tendencia sobre el fenómeno del homicidio. Entre otras, alguno de los grupos en
contradicción podría ganar la guerra para ganar la paz.
14
ANEXO1.
Dependent Variable: D(LOG(TH),2)
Method: Least Squares
Date: 06/19/07 Time: 11:28
Sample(adjusted): 1953 2005
Included observations: 53 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 11 iterations
Backcast: 1952
Variable
Coefficient Std. Error
Prob.
-0.563214
-1.901656
-1.157599
-2.537854
-6.783748
0.5759
0.0632
0.2528
0.0145
0.0000
-0.007694
0.214100
-0.964959
-0.779083
17.21691
0.000000
C
AR(1)
AR(2)
AR(5)
MA(1)
-0.001552
-0.292329
-0.169161
-0.324306
-0.767972
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.589279
0.555052
0.142814
0.979000
30.57143
1.751741
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Inverted AR Roots
.56 -.48i
-.82
.77
.56+.48i
Inverted MA Roots
0.002756
0.153724
0.146131
0.127787
0.113208
t-Statistic
-.30+.80i
-.30 -.80i
15
ANEXO 2.
Correlogramas Modelos Determinísticos
TH t = β 0 + β1t + ε t
Modelo I
TH t = β 0 + β1t + β 2t + ε t
2
Modelo II
TH t = β 0 + β1t + β 2t + β 3t + ε t
2
3
Modelo III
TH t = β 0 + β1t + β 2t + β 3t + β 4t + ε t
2
3
4
Modelo IV
16
17
ANEXO 3
Programación en Limdep 7 para prueba de Monte Carlo
SAMPLE;1-60$
calc; alfa=1 $
CALC;b0=2.456261 $
CALC;b1=3.871466$
CALC;b2=-0.313066$
CALC;b3=0.008805$
CALC;b4=-0.0000769$
CALC; Vae=0.443347296$
CALC;med=0$
matrix; Mbalfa=[0]$
matrix; Mtalfa=[0]$
create; t2= t^2 $
create; t3= t^3 $
create; t4= t^4 $
calc; Im=0$
calc; Ir=0$
PROCEDURE $
silent $
LABEL
; 100$
Matrix; Yt=[0] $
Calc; Y0=12+ rnn(med,vae) $
matrix; Yt=[Yt/Y0] $
matrix; Yt=part(Yt,2,2,1,1) $
LABEL; 110 $
CALC
; Im=Im+1 $
calc; Y1=b0+alfa*Y0+b1*im+b2*im^2+b3*im^3+b4*im^4+rnn(med,des) $
matrix; Yt=[Yt/Y1] $
calc; delete Y0 $
calc; Y0=Y1 $
calc; delete Y1 $
GOTO
; 110 ; Im<=60 $
CALC;
; Im=0 $
create; Y=dta(Yt) $
create; DY=Y-Y[-1]$
SILENT
SKIP$
REGRESS;
Lhs = DY
;
Rhs
= one, Y[-1], T, T2, T3, T4 $
calc; alf=b(2) $
calc; varbalf= Varb(2,1)$
calc; talf=alf/varbalf^0.5$
matrix; Mbalfa=[Mbalfa/alf] $
matrix; Mtalfa=[Mtalfa/talf]$
delete; Y, DY $
CALC; Ir=Ir+1 $
GOTO; 100; Ir <= 1800 $
ENDPROCEDURE
execute $
18
BIBLIOGRAFÍA CITADA Y CONSULTADA
Atehortúa, Adolfo (1995) El Poder y la Sangre: Las historias de Trujillo-Valle. CINEP y
Pontificia Universidad Javeriana Seccional Cali. Santa Fe de Bogotá, Colombia.
Castellar, C. y Uribe, J.(2002) “Estructura y Evolución del Desempleo en el Área
Metropolitana de Cali 1988 – 1998: ¿Existe Histéresis?”. Documento de trabajo
CIDSE Nº 60. Univalle.
Correa, J. et al (sine facta) “Histéresis en el Desempleo en Colombia o Presencia de
Cambio Estructural”. Documento de trabajo CIDSE Nº 87. Univalle.
Duncan, Gustavo “Del Campo a la Ciudad en Colombia. La Infiltración Urbana De Los
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2005-2. Disponible en
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Enders, W. (1995) “Applied Econometric Time Series” John Wiley & Sons, INCS
Greene, William H. (1999); Análisis Econométrico. Tercera edición, Prentice Hall Editores
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Maddala, G.S (1996) Introducción a la Econometría. Segunda edición. Prentice Hall
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Mahía, Ramón (1999) Revisión de los Procedimientos de Análisis de la etacionariedad de
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http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/amlopez/tendest.pdf.
Novales, Alfonso (1993) Econometría. Segunda Edición. Ed McGraw Hill/ Interamericana
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Perron, P. (1989) “The Great Crash, the Oil Price Shock and The Unit Root Hypothesis”.
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Quantitative Microsoftware (1998-199) Help Topics. Paquete Eviews 3.1.
Salazar, Boris y Castillo, María del Pilar (2001) “La hora de los dinosaurios. Conflicto y
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Económicas y Sociales –CIDSE- Universidad del Valle. Disponible en
http://chasqui.univalle.edu.co/cidse/documentos
19
Joston, J. & Dianardo, J. (1997) Econometric Methods. Fourth Edition. McGraw Hill
Vallejo, Federico y Delgado Wilson. (2006) “Gobernanza y Asimetrías de Poder. Una
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No. 34. Cali: Facultad de Ciencias de la Administración, Universidad del Valle.
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cartel Cali”. Disponible en Página www.pedagogiaydialectica.org.
20