Proporcionalidad geométrica

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9 Proporcionalidad geométrica
ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...
La llave de la Ciudad Prohibida
Matteo Ricci nació en Macerata, en los entonces Estados Pontificios, en 1552
y murió en Pekín en 1610. En 1571 ingresó en la Compañía de Jesús,
en el Colegio Romano, donde tuvo como maestro al jesuita
Christopher Clavius, eminente matemático de su época.
En 1578, su vocación misionera le hizo embarcarse rumbo
a Goa, en el este de la India, y en 1582 viajó a China,
asentándose en Macao. Para poder ejercer su labor
misionera en China aprendió el idioma utilizado por la clase
culta: el chino mandarín. Desde ese momento, se le consideró
un hombre sabio, atendiendo al dominio del idioma
y también a sus conocimientos geográficos y matemáticos;
además, la visión del mapamundi que llevaba consigo
causó sensación entre los notables chinos, que contaban
con escasos conocimientos de Europa, África y América.
El apoyo definitivo a su labor se produjo en 1601
cuando fue autorizado a entrar en la Ciudad Prohibida,
mandado llamar por el emperador, y desde ese momento
y hasta su muerte se estableció en Pekín.
COMPETENCIA LECTORA
Ricci introdujo en China los conocimientos matemáticos
y geográficos de Europa, participando en la traducción
al chino mandarín de la obra de Euclides, Los elementos.
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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Un contexto real en el que tiene especial
importancia la proporcionalidad geométrica
es la fabricación de televisores y sus dimensiones.
El tamaño de los televisores se expresa en pulgadas
(1 pulgada equivale a 25,4 mm, aproximadamente).
Así, cuando afirmamos que un televisor tiene
un tamaño de 28 pulgadas, lo que queremos decir
es que su diagonal tiene esa longitud, es decir,
que la diagonal de la pantalla mide 71 cm.
RECURSOS PARA EL AULA
Proporción geométrica y televisores
Ahora bien, la relación entre la altura y el ancho de
la pantalla de los televisores sigue una regla fija. Esto
es, de todas las pantallas posibles con 28 pulgadas
de diagonal, se produce industrialmente aquella en
la que se verifica la siguiente relación.
Altura de la pantalla
3
=
Ancho de la pantalla
4
Se dice entonces que la pantalla tiene un formato 4 : 3.
En los últimos años se ha popularizado un nuevo tipo de televisores; es lo que se ha venido a llamar
«cine en casa». Estos nuevos aparatos, ideados para simular la sensación visual de las proyecciones en salas
de cine, tienen un formato diferente al anterior.
COMPETENCIA LECTORA
Este formato 16 : 9 es más alargado y tiene la ventaja de ser similar al de las pantallas cinematográficas.
Por tanto, resulta adecuado si la mayor parte del uso del televisor se dedica a la visualización de películas.
En estos televisores, los programas de televisión que no son películas sufren ligeras modificaciones
al visualizarlos.
Pedro Puig Adam
Pedro Puig Adam nació en el año 1900
y fue uno de los grandes matemáticos
españoles que más trabajaron
en la didáctica de las Matemáticas.
Su preocupación por los problemas
de la enseñanza le llevó a ser
un destacado miembro de
la Comisión Internacional
para la Enseñanza de las Matemáticas.
También fue catedrático del Instituto
San Isidro de Madrid y de Metodología
de las Matemáticas en la universidad
de dicha ciudad. Murió en 1960.
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CONTENIDOS PREVIOS
CONVIENE QUE…
Rectas
secantes
Rectas
paralelas
Rectas
perpendiculares
Conozcas las posiciones relativas
de dos rectas en el plano.
90°
PORQUE…
Te será útil para comparar
los ángulos que se forman
al cortarse varias rectas.
CONVIENE QUE…
Sepas calcular el término
desconocido en una proporción.
Si dos rectas secantes, al cortarse,
determinan cuatro ángulos iguales,
se llaman rectas perpendiculares.
Calculamos el valor de x en esta proporción.
8
4
=
5
x
8⋅x=5⋅4 → x=
PORQUE…
5⋅4
20
5
=
=
8
8
2
LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS
Te servirá para hallar medidas
aplicando el teorema de Tales.
⋅3
CONVIENE QUE…
⋅2
Estés familiarizado
con los problemas
de proporcionalidad.
I
1
2
3
4
Precio (€)
4
8
12
16
I
I
⋅2
PORQUE…
⋅3
Lo necesitarás para distinguir
cuándo dos figuras son
semejantes.
114
I
Rosquillas (kg)
El peso y el precio son magnitudes directamente proporcionales.
1
2
3
=
=
= … = 0,25 ← Constante de proporcionalidad
4
8
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¿QUÉ SIGNIFICA?
•
A
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Representa un punto.
Aunque un punto no tiene dimensiones,
se suele representar gráficamente
mediante un punto lo suficientemente
grueso como para que sea visible.
¿QUÉ SIGNIFICA?
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
r
Representa una recta.
¿QUÉ SIGNIFICA?
Representan una semirrecta r,
con origen el punto A.
r
Se escribe mediante letras minúsculas. Se suelen
utilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomar
cualquier letra del abecedario.
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
r
A
Se escribe mediante una letra mayúscula. Se suelen
utilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar
cualquier letra del abecedario.
RECURSOS PARA EL AULA
NOTACIÓN MATEMÁTICA
Para identificar una semirrecta se da el punto origen,
que se escribe con las letras A, B, C…; y se denota
con r, s, t …, aunque se puede tomar cualquier letra
del abecedario.
¿QUÉ SIGNIFICA?
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
A
Utilizando los nombres de sus extremos, el segmento
se nombra AB y se escribe A
苶B
苶 cuando se expresa su
longitud.
B
A
B
Representan un segmento
cuyos extremos son los puntos
A y B.
¿QUÉ SIGNIFICA?
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Los vértices del triángulo se designan
con letras mayúsculas, los lados con letras
minúsculas y los ángulos con las mismas
letras que los vértices y el símbolo ^.
Para representar un triángulo primero se nombran
los vértices, comenzando por cualquiera de ellos.
Las letras que se suelen utilizar son A, B, C…,
aunque es válida cualquiera del abecedario.
Posteriormente se nombran los lados, que se
designan con la letra minúscula de la que representa
el vértice opuesto: a, b, c…
Por último, se designan los ángulos añadiendo
el símbolo ^ a la letra que representa su vértice:
A$, B$, C$…
Un triángulo se designa por las letras de sus
vértices, ABC, con el símbolo
, ABC.
B
B$
c
a
C$
A$
A
C
b
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LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS
A
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EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas
En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntos
significativos en una fotografía.
1
La proporción áurea
Euclides definió razón como la «relación cualitativa entre dos magnitudes homogéneas» y proporción como
la «igualdad de dos razones». Las proporciones han
tenido a lo largo de la historia una enorme importancia desde el punto de vista estético.
En las proporciones ostenta especial relevancia, por su
presencia en numerosos contextos, tanto geométricos
como artísticos, naturales y reales, la llamada proporción áurea.
Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho y
altura están en proporción áurea. Para construir un
rectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Des苶苶
C, y con radio M
苶苶
D, trazade el punto medio, M, de B
苶苶
C.
mos un arco que corta en E a la prolongación de B
Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemos
苶苶
D. El recel punto F, al cortar a la prolongación de A
tángulo ABEF es un rectángulo áureo.
Dos longitudes están en proporción áurea cuando el
cociente entre la suma de ambas y la mayor tiene
el mismo valor que el cociente entre la mayor y la menor. Si las denominamos a y b, se cumple que:
a +b
a
=
a
b
COMPETENCIA MATEMÁTICA
Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b es
igual a un determinado número, llamado número de
oro y que se representa por ⌽. El número de oro tiene
infinitas cifras decimales.
a
1+ 5
=Φ=
= 1,618033…
b
2
D
A
B
M
F
E
C
Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad de
que, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el lado
menor del rectángulo, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
b
b
F
a−b
b
a
a−b
La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte.
Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmento
A
苶B
苶 en dos partes que estén en dicha proporción.
RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
En el extremo B del segmento A
苶B
苶, levantamos un segmento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y
formamos el triángulo rectángulo ABT . Con centro en T
y radio T苶B
苶, trazamos el arco que corta a 苶
A苶T en V. Lue苶V苶, obtenemos el punto G.
go, con centro en A y radio A
苶苶
GyG
苶苶
B están en proporción áurea.
Los segmentos A
b) Dibuja un segmento de longitud 8 cm y divídelo en
dos partes que estén en proporción áurea. ¿Qué longitud tiene cada una de ellas aproximadamente?
T
V
A
116
G
B
a) Con la calculadora, halla el valor de ⌽ − 1 y 1/⌽.
¿Qué observas?
c) Sin dibujar, ¿qué longitud tendrán las dos partes si
el segmento mide 16 cm? ¿Y si mide 24 cm?
d) Dibuja un rectángulo áureo, partiendo de un cuadrado de lado 10 cm. ¿Qué longitud tiene el rectángulo que obtienes?
e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rectángulo semejante a él. El rectángulo obtenido, ¿es
también un rectángulo áureo? Razona tu respuesta.
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La proporción áurea en el arte
Uno de los contextos artísticos donde aparece el número áureo es la fotografía. Al mirar una fotografía
existen cuatro puntos que atraen nuestra atención.
Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos los
elementos de mayor interés o que se quieran destacar
de modo especial.
Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatro
puntos usando este método. Por ello, los fotógrafos utilizan la llamada ley de los tercios. Trazan mentalmente
las rectas que dividen el largo y el ancho de la fotografía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esas
rectas son los significativos. El resultado es similar al
obtenido de la otra forma.
Por el extremo B trazamos una perpendicular a A
苶B
苶 y,
苶苶
B, marcamos el punto N.
con centro en B y radio A
苶B
苶) y raDespués, con centro en M (punto medio de A
苶N
苶, trazamos un arco que corta a la prolongación
dio M
苶B
苶 en el punto R. Por último, con centro en R y rade A
苶苶
R, cortamos a la perpendicular NB
苶苶 en el punto C,
dio B
tercer vértice del rectángulo.
HAZ LAS ACTIVIDADES.
a) Dibuja un rectángulo de 15 ⫻ 10 cm y halla sus
puntos significativos, usando los dos métodos explicados.
b) Determina los puntos significativos de este cuadro
con la ley de los tercios.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamos
a ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo de
苶苶
B.
longitud un segmento A
RECURSOS PARA EL AULA
2
N
C
A
M
B
R
Construye un rectángulo áureo de 5 cm de longitud.
Los cuatro puntos significativos de una fotografía se
obtienen así: trazamos con la técnica que acabamos
de ver las líneas verticales, de forma que los rectángulos a rayas sean áureos. Los puntos de corte de las
diagonales del rectángulo con esas rectas son los cuatro puntos significativos en la fotografía.
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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Imaginar el problema resuelto
Estrategia En muchos problemas de Geometría, sobre todo en los problemas de
construcciones geométricas, es útil imaginar el problema resuelto. Para ello
trazamos una figura aproximada a la que queremos hallar. De las relaciones
de esta figura se obtendrá el procedimiento para realizar su construcción.
PROBLEMA RESUELTO
Con una recta r y un punto P exterior a ella, construye mediante
la regla y el compás el punto P' simétrico de P respecto de la recta r.
P
r
Planteamiento y resolución
Imaginemos el problema resuelto en la primera figura. Si P' fuera el simétrico de P, la recta r sería
苶苶'. Por tanto, el modo de proceder para hallar el punto P' es el que se indica
la mediatriz del segmento PP
en la figura de la derecha.
P
P
N
r
r
F
M
H
P'
P'
1.° Se traza un arco de centro P que corte a la recta r en dos puntos, M y N.
APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS
2.° Con el mismo radio se trazan un arco de centro M y otro de centro N, que se cortarán en el punto P'.
苶苶; por tanto, la recta r es perpendicular al segmento PP
苶苶'
Hemos trazado la mediatriz del segmento MN
y, como MP
苶苶 = MP
苶苶' y NP
苶苶 = NP
苶苶,
' por la construcción realizada, la recta r es la mediatriz del segmento
PP
苶苶,
' luego el punto P' es simétrico de P respecto de r.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1
Dado el segmento AB
苶苶, construye
un cuadrado en el que una de sus
diagonales sea dicho segmento.
A
2
Con las rectas r y r ' y un segmento 苶
A苶
B como el de la figura,
construye un paralelogramo ABNM, de modo que el punto
M esté en la recta r y el punto N esté en la recta r'.
(En la figura de la derecha se supone el problema resuelto.)
r
B
r
A
F
M
B
A
B
N
r'
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r'
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MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
El Programa CABRI-GÉOMÈTRE II es un programa para aprender Geometría. En el margen puedes identificar su página de presentación y la ventana
de trabajo que aparece después de unos segundos al ejecutar el programa.
Observa que hay unas barras con iconos en su parte superior e inferior.
LAS BARRAS DE CABRI
La primera barra, de fondo azul, contiene el nombre del programa y el
nombre de la figura o archivo que está abierto en ese momento [Figura 1].
Presentación
RECURSOS PARA EL AULA
PRÁCTICA CABRI
En esta barra siempre estará indicado el nombre de la figura con la que se
está trabajando.
LA BARRA DE MENÚS
Permite hacer operaciones con archivos (abrir, cerrar, etc.), ejecutar actividades de edición (copiar, seleccionar, etc.), diferentes opciones del programa
(preferencias iniciales, idioma, etc.), posiciones de las ventanas abiertas,
y consultar la ayuda.
LA BARRA DE HERRAMIENTAS
Ventana de CABRI
Permite la realización de construcciones geométricas a partir de los diferentes elementos y de su manipulación. Son 11 grupos que contienen una serie de herramientas que hacen que los iconos de la barra varíen en función
de la opción seleccionada.
Cabecera del programa
Los 11 grupos de herramientas son, de izquierda a derecha:
1.º
2.º
3.º
4.º
5.º
6.º
APUNTADOR
PUNTOS
RECTAS
CURVAS
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
TRANSFORMACIONES
17.º MACROS
18.º CONSULTAS
DE PROPIEDADES
19.º CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
10.º PRESENTACIÓN DE OBJETOS
11.º OCULTAR / MOSTRAR
EJERCICIOS
1
Con el botón de la izquierda del ratón, pulsa
en cada una de las herramientas de la barra
y observa cómo se despliega un menú vertical
con las diferentes herramientas o aplicaciones
de cada grupo y su nombre. Haz un esquema de
cada grupo y sus diferentes aplicaciones.
2
Pulsa en la tecla F1 y verás la descripción
y funcionamiento de cada herramienta. Haz
los cambios necesarios para obtener la barra:
Escribe en tu cuaderno la función de las
herramientas que se muestran.
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NUEVAS TECNOLOGÍAS
La herramienta seleccionada se presenta con fondo blanco, mientras que el
resto tiene un fondo gris.
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9 Proporcionalidad geométrica
MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
PRÁCTICA CABRI
PRÁCTICA: CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS SIMPLES
1.º Construcción de puntos:
a) Activa la herramienta Punto,
, del grupo PUNTOS. Observa que
el cursor toma la forma de un lápiz: .
b) Pulsa en algún punto de la ventana y aparecerá un punto de color
rojo. Si antes de realizar otra acción pulsas en una tecla (por
ejemplo, A), saldrá una etiqueta con esta letra al lado del punto (las
etiquetas sirven para nombrar objetos).
Creación de un punto A
2.º Construcción de rectas (para hacer una recta son necesarios dos puntos o un punto y una dirección).
a) Activa la herramienta Rectas,
, del grupo RECTAS.
b) Acércate con el ratón a este punto y observa que el cursor se transforma en una mano y aparece el rótulo: Por este punto. Pulsa en el
botón de la izquierda del ratón y verás que se dibuja una recta que
pasa por A y que va cambiando de dirección en función del movimiento que hagas con el ratón.
Creación de una recta
c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana y obtendrás la recta tal
como se ve en la figura; puedes etiquetarla como r.
3.º Construcción de una circunferencia (se necesitan un punto, que hará
de centro, y un radio).
a) Activa la herramienta
, del grupo CURVAS.
b) Con el lápiz, acércate al punto A y, cuando aparezcan la mano y el
rótulo: Este punto como centro, pulsa en el botón del ratón y observa que la mano va dibujando una circunferencia en la ventana.
NUEVAS TECNOLOGÍAS
c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana: obtendrás la circunferencia, tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como C.
Construcción de una circunferencia
EJERCICIOS
1
Activa la herramienta Apuntador,
: el cursor
se convierte en una cruz que permite, acercándote
a un objeto, seleccionarlo (se convierte en )
y modificarlo o moverlo (sale una mano )
por la ventana.
Después, selecciona la circunferencia construida
y amplíala. Escribe las modificaciones que hace
el cursor.
120
2
En el grupo RECTAS activa las diferentes
herramientas y haz construcciones
de los elementos que puedas en la ventana
que tienes abierta.
3
Crea una carpeta con tu nombre en el disco
duro del ordenador o en un disquete, y guarda
la figura creada mediante las órdenes:
→
con el nombre
Unidad00_Ejercicio_01.
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MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
PRÁCTICA 1
(ejercicio 14 a), pág. 171)
1. Ejecuta el Programa CABRI, abre una nueva figura y construye un segmento horizontal AB de 7 cm. Mediante la herramienta Segmento
División de un segmento en partes
proporcionales
y con
comprueba que tiene esta distancia
(si no es así, lo puedes mover con el puntero hasta que tenga exactamente la distancia propuesta).
RECURSOS PARA EL AULA
PRÁCTICA CABRI
2. Construye una semirrecta r con origen en el punto A, de forma que el
ángulo con el segmento AB sea agudo (observa la figura del margen).
3. Construye un segmento CD de cualquier medida y, mediante la herramienta
, construye la circunferencia de centro A
y radio CD, que cortará a la semirrecta en el punto E.
4. Repite este proceso: coloca el compás con centro en E y radio CD y obtendrás el punto F; hazlo tres veces para obtener los puntos G, H e I.
Estos cinco segmentos son iguales: AE = EF = FG = GH = HI.
Une el punto I con el punto B formando el segmento IB, y con la herramienta
, traza las rectas paralelas a IB que
pasen por los puntos H, G, F y E.
Semejanza de triángulos
5. Estas rectas cortan al segmento AB en los puntos E ', F', G' y H'. Comprueba, mediante la herramienta
, que la longitud de cualquiera de los segmentos es la quinta parte de la longitud del
segmento AB.
6. Guarda la figura creada mediante
→
ta o directorio con el nombre: Unidad09_01.
(ejercicio 19, pág. 172)
1. Abre una nueva figura y construye el triángulo ABC de forma que las
medidas sean: AB = 8 cm y AC = 6 cm.
2. Construye una recta paralela al segmento BC que pase por un punto E
cualquiera del lado AB, siendo D el punto de corte con AC. Traza el segmento DE y mueve el punto E hasta que la longitud de DE sea de 5 cm,
tal como se ve en la figura.
3. Construye el segmento DB y calcula su medida: ¿Es de 4 cm? ¿Están en
posición de Tales?
4. Guarda la figura creada mediante
bre: Unidad09_02.
→
con el nom-
EJERCICIOS
1
Abre nuevas figuras con
→
y haz los ejercicios 48 y 49 de la página 181.
2
De forma análoga a la Práctica 2,
haz el ejercicio 50 de la página 181.
3
Guarda cada una de las figuras anteriores con
→
asignándoles los
nombres correspondientes.
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NUEVAS TECNOLOGÍAS
PRÁCTICA 2
en tu carpe-