TEMA 6 GUIA_DIDACTICA_Sucesiones

6
Sucesiones
6
SUCESIONES
E
n esta unidad se introducen las sucesiones numéricas desde diversos puntos de vista. En ocasiones, como una serie de números que
siguen un determinado patrón, en otras a través de figuras geométricas y a veces según una ley de formación que puede ser directa o
de recurrencia. Se estudian dos casos particulares de sucesiones: las progresiones aritméticas y las geométricas. Para ambas obtendremos
tanto su término general como la suma de una cantidad finita de términos consecutivos de ellas. La unidad finaliza con la sección avanza en
la que se muestra cómo se aplican las progresiones geométricas al cálculo del interés compuesto.
La formación matemática enseña a sobrepasar la realidad concreta para traducirla a una nueva lengua depurada, más abstracta, que permite
vislumbrar semejanzas entre situaciones aparentemente alejadas unas de otras. Esta aproximación de situaciones, aporta al individuo un enriquecimiento conceptual y racional. Ayuda a adquirir hábitos de razonamiento correctos. Esta unidad contribuye al descubrimiento de regularidades
y patrones que se presentan en el arte, las ciencias naturales y en la vida cotidiana, de un modo geométrico y también aritmético o algebraico.
En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
A lo largo de la unidad será necesario representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades numéricas, así como verbalizar los razonamientos que nos abocan a la construcción de la ley general que sigue una secuencia geométrica y/o numérica. De este modo se contribuye al
progreso en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar patrones y pautas comunes a situaciones diversas.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Esta competencia cobra realidad y sentido cuando los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse a aquellas
situaciones cotidianas que los precisan. Por ello, su desarrollo se alcanzará en la medida en que los conocimientos matemáticos se apliquen de
manera espontánea a situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana. A lo largo de la unidad se presentan
problemas sobre sucesiones cuyo contexto ha sido extraído de la realidad que nos rodea, de otras ciencias y del mundo empresarial.
Competencia digital (CD)
El uso de las nuevas tecnologías proporciona una alternativa que suaviza el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través
de una propuesta de aula que permita al alumnado, poner en práctica el conocimiento aritmético que posee a la vez que se familiariza con el
leguaje algebraico. La utilización de GeoGebra también nos permite acompañar la deducción del resultado de la suma de infinitos términos
de una progresión geométrica con una representación gráfica que permite visualizar el procedimiento.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
En la sección avanza se estudian cómo se aplican las progresiones geométricas en la determinación de los intereses que genera un determinado capital o que se incluyen en las cuotas de devolución de un préstamo. Esto contribuye a la adquisición de conocimientos que permiten
comprender y analizar de manera crítica modelos que se presentan en la sociedad.
Competencia aprender a aprender (CAA)
La unidad está planteada con una línea metodológica general que combina un enfoque heurístico con uno deductivo. Se formulan conjeturas
(apoyándonos en el comportamiento de casos particulares), que se intentan refutar mediante contraejemplos concretos, que nos permitan
rechazarlas o nos dan la clave para justificarlas y posteriormente demostrarlas. Este método favorece la adquisición de unos conceptos que se
irán conformando paulatinamente, mediante ensayos, refutaciones y demostraciones.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Desde esta unidad se contribuye al desarrollo de habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en
diversos ámbitos de la vida y para interpretar el mundo que nos rodea. Muestra de ello son las actividades de la sección Matemáticas vivas.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
El reconocimiento de la presencia de patrones o regularidades en esculturas, pinturas y construcciones arquitectónicas contribuye a apreciar y
disfrutar de diversas manifestaciones artísticas desde una nueva óptica.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Unidades didácticas 158
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Descubrir pautas y regularidades en las sucesiones numéricas.
❚❚ Obtener e interpretar los términos generales de una sucesión.
❚❚ Reconocer si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica.
❚❚ Aplicar las fórmulas del término general de las progresiones aritméticas y geométricas y la suma de los n primeros términos de la progresión.
❚❚ Elaborar estrategias propias en la resolución de problemas relacionados con sucesiones y progresiones numéricas.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando sucesiones.
Atención a la diversidad
Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad
con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de
problemas mediante sucesiones. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre las sucesiones, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de sucesiones pueden acceder a las lecciones 1349, 1165 y 1173
de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Sucesiones
Criterios de evaluación
1. Encontrar regularidades en secuencias
numéricas y geométricas.
2. Obtener e interpretar en el contexto de
la resolución de problemas los términos
generales representativos de una sucesión.
Progresiones
aritméticas
3. Calcular el término general o un término
determinado de una progresión aritmética.
4. Reconocer las progresiones aritméticas
tomando conciencia de las situaciones
problemáticas a las que se pueden aplicar.
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
1.1. Obtiene términos de una sucesión conocido
su término general o su ley de recurrencia.
1.2. Encuentra el término general de sucesiones
de las que se conocen los primeros términos.
2.1. Emplea las sucesiones para describir
patrones numéricos y geométricos, así como para
la resolución de problemas.
1, 3, 5, 7
66-69, 76
2, 4, 6
70, 71
8, 9
39, 72-75
Matemáticas vivas 1
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
3.1. Identifica aquellas sucesiones que son
progresiones aritméticas y calcula su diferencia y
su término general.
3.2. Interpola aritméticamente n términos entre
dos números dados.
4.1. Reconoce la presencia de las progresiones
aritméticas en contextos reales y se sirve de ellas
para la resolución de problemas.
10-12, 14, 15
17-21, 24, 25
77-80, 82, 84-87
22, 23, 83
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
13, 16, 81
Matemáticas vivas
2, 3
CM1, CM2
Competencias
clave
Suma de una
progresión
aritmética
5. Calcular la suma de los primeros términos
de una progresión aritmética.
5.1. Aplica la fórmula de la suma de los n
primeros términos de una progresión aritmética.
5.2 Resuelve problemas en los que interviene
la suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética.
26-36
88-90
37, 38
91-95
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Progresiones
geométricas
6. Calcular el término general de una
progresión geométrica conocidos dos de sus
términos.
6.1. Identifica aquellas sucesiones que son
progresiones geométricas, y calcula su razón y su
término general.
7. Reconocer las progresiones geométricas
tomando conciencia de las situaciones
problemáticas a las que se pueden aplicar.
6.2. Interpola geométricamente n términos entre
dos números dados.
7.1 Reconoce la presencia de las progresiones
geométricas en contextos reales y se sirve de
ellas para la resolución de problemas.
40-42, 45, 46
50-53, 96-99
102, 103, 105
107, 108, 116
54-56, 106
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Suma de una
progresión
geométrica
Unidades didácticas 8. Calcular la suma de los primeros términos
de una progresión geométrica y de todos
cuando el valor absoluto de la razón es
menor que uno.
8.1. Deduce y aplica la fórmula de la suma
de los n primeros términos de una progresión
geométrica y de todos cuando es posible.
8.2 Resuelve problemas en los que interviene
la suma de los n primeros términos de una
progresión geométrica y de todos si es posible.
159
43, 44, 47-49
57, 104
Trabajo cooperativo
58-62, 64
100, 101
109-114
63, 65, 115
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Johann Carl Friedrich
Gauss
1.Sucesiones
2. Progresiones aritméticas
Vídeo. Progresiones aritméticas
3.Suma de una progresión
aritmética
4. Progresiones geométricas
5.Suma de una progresión
geométrica
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Comprende y resuelve
problemas
Vídeo. Progresiones geométricas
GeoGebra. Suma de una progresión
geométrica
¿Qué tienes que saber?
• Sucesiones
• Progresiones aritméticas
• Progresiones geométricas
Actividades finales
Actividades interactivas
Practica+
Matemáticas vivas
Logística
• E studio del suministro de agua y
contratos utilizando sucesiones
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Uno para todos
de Pere Pujolàs
MisMates.es
Lecciones 1349, 1165 y 1173
de la web www.mismates.es
Avanza
Interés compuesto
Cálculo mental
Estrategia para sumar los cubos de
los primeros números naturales
UnidadesUnidades
didácticasdidácticas
160
Matemáticas
orientadas
a las enseñanzas
académicas
Matemáticas
orientadas
a las enseñanzas
académicas
3.º ESO 3.º ESO
Sucesiones
6
Sugerencias didácticas
6
Las sucesiones de números reales están presentes no sólo
en la matemática, sino en todas las ciencias aplicadas. Es
motivador para quienes las estudian por primera vez conocer cómo participan de nuestro día a día: en el cálculo de los
intereses que nos piden los bancos por sus préstamos, en la
determinación de las tasas de crecimiento de poblaciones
animales o en el cálculo de la distribución de las hojas de
ciertas plantas. Entre ellas desempeñan un papel relevante
las progresiones aritméticas y las geométricas, a cuyo estudio se dedica, esencialmente, esta unidad. Todo lo anterior
se explica fácilmente. Sin embargo no es tan sencillo, y por
ello requiere especial cuidado, introducir, aunque sea informalmente, la noción de recurrencia. Para ello, resulta
de gran utilidad presentar muchos ejemplos, en los que se
muestren leyes de recurrencia que involucren dos o más
términos de la sucesión.
SUCESIONES
S
IDEAS PREVIA
de las
❚ Propiedades
potencias.
con
s
one
❚ Operaci
polinomios.
o de una
❚ Valor numéric
braica.
expresión alge
ecuaciones
❚ Resolución de
y sistemas de
.
nes
acio
ecu
Las ramas de ciertas especies de árboles y las hojas de algunas
plantas se disponen de forma natural siguiendo un patrón
en espiral que permite que su exposición a la luz solar sea
máxima. De este modo realizan la fotosíntesis de una forma
más eficaz. La cantidad de ramas o de hojas en cada etapa de
la espiral viene dada por una colección de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
Esta sucesión de números recibe el nombre de sucesión de
Fibonacci, ya que fue este matemático italiano el que descubrió
la presencia en la naturaleza de este fenómeno. Se trata de un
conjunto de números generado por un patrón determinado:
cada valor es la suma de los dos anteriores.
REPASA LO QUE SABES
1. Calcula las potencias.
2
a) ( −3 )
3−2
⎛ 1 ⎞⎟−4
⎜⎜ − ⎟
⎜⎝⎜ 2 ⎟⎠⎟
⎞4
⎜⎝ 2 ⎠⎟
⎛
1⎟
b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟
( −3 )−2
⎛ 1 ⎞⎟−4
⎜⎜ ⎟
⎜⎝⎜ 2 ⎟⎟⎠
2. ¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?
a) x2 − 4x + 2
b)
x
x +1
c)
x2 + 3
x −5
3. Resuelve:
a) 14 = 5 + 3x
[
b) 4x2 − 4x + 1 = 0
⎫
c) x + 3 y = 9 ⎪
⎪
⎬
⎪
x + 5 y = 13 ⎭
⎪
]
Matemáticas en el día a día
mac3e19
Contenido WEB. JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información
relativa a la unidad. En este caso se dedica a la figura de Gauss
aportando algunos datos biográficos sobre él y su obra. Puede
utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar
la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático,
astrónomo y físico alemán, considerado el príncipe de
los matemáticos, es una de las figuras más importantes
de la historia de la ciencia. Afirmaba que las matemáticas
son la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las
matemáticas.
99
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.Calcula las potencias.
( −3 )−2
2
a) ( −3 ) 3−2
4
⎛ 1⎞
b) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
a) 9
−4
−4
⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ − ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠
⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠
1
1
9
9
1
b) 16
16
2.¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?
x
a) x2 − 4x + 2
b)
x +1
3
a) −1
b) 4
3.Resuelve:
a) 14 = 5 + 3x b) 4x2 − 4x + 1 = 0
a) x = 3
b) x =
Unidades didácticas 1
2
16
c)
x2 + 3
x −5
b) −6
c)
x + 3 y = 9 ⎪⎫⎪
⎬
x + 5 y = 13⎪⎭⎪
c) x = 3, y = 2
161
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
1. Sucesiones
6
Aprenderás a…
●
Identificar una sucesión y
expresarla algebraicamente,
cuando sea posible, mediante
su término general o por una
ley de recurrencia.
●
Obtener un término
cualquiera de una sucesión,
conocido su término general.
●
Hallar un término cualquiera
de una sucesión, conocidos
los primeros y su ley de
recurrencia.
1. SUCESIONES
1
Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.
a) 2, 4, 6, 8,…
c) 1, −1, 1, −1,…
b) 1, 4, 9, 16,…
d) 1, 8, 27, 64,…
2
Los tres primeros términos de una sucesión son:
Almudena ha colocado unas piedras formando montones y, al contarlas, ha obtenido
los primeros números triangulares. ¿Cuál es el siguiente?
a) Halla los términos cuarto, quinto y sexto.
b) Calcula el término 50 de esta sucesión.
c) ¿Cuál es su término general?
Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.
4
Encuentra el término general de estas sucesiones.
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001;…
b) 1, −2, 4, −8,…
5
Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.
a) an = 3n + 5
c) an = 3n2 − 2
b) an = n2 − n
d) an = 2n − 1
6
¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son
n
a = ( −2 ) y b = −2n? Razona tu respuesta.
7
Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2 = 1, an = 2an−1 − an−2
d) a1 = 3, a2 = 2, an = an−1 ⋅ an−2
a) 2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,…
1
1
2
1+2=3
3
3+3=6
4
6 + 4 = 10
5
10 + 5 = 15
6
15 + 6 = 21
Deducimos que el siguiente, el que ocupa el séptimo lugar, es: 21 + 7 = 28
Así, podemos continuar calculando la sucesión de los números triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…
n
a1 se lee a sub-uno,
a2, a sub-dos…,
y an se lee a sub-ene.
El subíndice de cada término
indica su lugar en la sucesión.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de sus
elementos se llama término y se escribe:
a1, a2, a3, a4,…, an,…
b) 2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…
n
b) a1 = 1, a2 = 1, an =
a1 es el primer término, a2 es el segundo término, y así sucesivamente.
an−1 + an−2
e) a1 = 1, a2 = 2, an =
2
c) a1 = 0, an = 2 n−1
Si queremos calcular el término 50, no resulta práctico el proceso anterior, pero
podemos fijarnos en otra relación existente entre los términos y su posición:
a1
2
a2
2⋅3
=1
2
a3
3⋅4
=3
2
a4
=6
4 ⋅5
2
a5
5⋅6
= 10
Para obtener un término cualquiera, deducimos que: an =
Entonces: a50 =
50 ⋅ (50 + 1)
2
EJERCICIO RESUELTO
a6
= 15
2
n ⋅ ( n + 1)
6 ⋅7
2
}
= 21
Debemos averiguar para qué números naturales, n, se cumple que:
2
= 1 275
n2 − n + 3 = 9 → n2 − n − 6 = 0
⎧
⎪ n1 = 3
1± 1+ 24
→⎪
⎨
⎪
2
⎪ n2 = −2
⎩
Como n2 no es un número natural, la única solución válida es n1: a3 = 9
Resolvemos la ecuación de segundo grado: n =
Hay sucesiones para las que no es posible encontrar un término general, por ejemplo
la sucesión de los números primos.
8
La sucesión de Fibonacci no tiene una expresión sencilla para su término general,
pero podemos obtener cada término a partir de los anteriores. Decimos que es una
sucesión recurrente.
a2
1
¿Cuáles son los términos que valen 9 en la sucesión cuyo término general es
an = n2 − n + 3?
Solución
El término general, an, de una sucesión es la expresión algebraica que
corresponde a un término cualquiera de la misma y que permite calcularlo a
partir del lugar que ocupa.
a1
1
a3
2=1+1
a3 = a1 + a2
an−1
2an−2
2
f) a1 = 2, an = ( an−1 )
a
1⋅ 2
1 2 3
, ,
3 4 5
3
Nos fijamos en el número de piedras de cada montón:
Presta atención
6
Actividades
Sucesiones
a4
3=1+2
a4 = a2 + a3
a5
5=2+3
a5 = a3 + a4
Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general
an = n2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más de uno?
DESAFÍO
9
a6
8=3+5
a6 = a4 + a5
En la figura aparecen los primeros términos de la sucesión
de los números pentagonales.
a) Halla el valor del cuarto término.
b) Calcula el término general de la sucesión.
Para obtener un término cualquiera: a1 = 1, a2 = 1, an = an−2 + an−1
Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo
es la suma del número triangular enésimo y el doble del
número triangular anterior.
Una ley de recurrencia es una expresión algebraica que relaciona cada término
de una sucesión recurrente con los anteriores y permite calcularlo.
100
101
Sugerencias didácticas
La necesidad de encontrar el término general se pone de
manifiesto en cuanto se empieza a trabajar con las sucesiones y se quiere calcular el término 50.
En cursos previos los alumnos han realizado ejercicios consistentes en completar series de números. Así que, se pueden introducir las definiciones formales de sucesión o término general empezando por alguna sencilla como: 1, 3,
5, 7,…, después alguna más complicada: 1, 4, 7, 10,…, y
luego se puede pasar a otras: 2, 5, 10, 17, 26,…
Es conveniente indicar que no todas las sucesiones tienen
un término general sencillo y que algunas no cuentan con
él.
Soluciones de las actividades
1 Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.
a)2, 4, 6, 8,…
c) 1, −1, 1, −1,…
b)1, 4, 9, 16,…
d)1, 8, 27, 64,…
a)2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. El término general es: an = 2n
b)1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. El término general es: an = n2
n+1
c) 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1. El término general es: an = ( −1)
d)1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. El término general es: an = n3
1 2 3
2 Los tres primeros términos de una sucesión son: , ,
3 4 5
a)Halla los términos cuarto, quinto y sexto.
b)Calcula el término 50 de esta sucesión.
c) ¿Cuál es su término general?
4 5 6 3
a) , , = 6 7 8 4
Unidades didácticas b)
50
52
=
25
26
c) an =
162
n
n+2
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
3 Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.
a)2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,…
b)2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…
a)2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…
b)2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82,…
4 Encuentra el término general de estas sucesiones.
a)1; 0,1; 0,01; 0,001;…
b)1, −2, 4, −8,…
a)an = 101 − n b) an = ( −2 )
n−1
5 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.
a)an = 3n + 5
c) an = 3n2 − 2
b)an = n2 − n d)an = 2n − 1
a)8, 11, 14, 17, 20
c) 1, 10, 25, 46, 73
b)0, 2, 6, 12, 20
d)1, 3, 7, 15, 31
n
6 ¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son an = ( −2 ) y bn = −2n? Razona tu res-
puesta.
No, porque los términos de la primera tienen signos distintos según se trate de un término par o impar, pero los de la
segunda son todos negativos.
7 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a)a1 = 1, a2 = 1, an = 2an − 1 − an − 2
b)a1 = 1, a2 = 1, an =
an−1 + an−2
2
d)a1 = 3, a2 = 2, an = an − 1 ⋅ an − 2
an−1
e)a1 = 1, a2 = 2, an =
2an−2
2
c) a1 = 0, an = 2 n−1 f) a1 = 2, an = ( an−1 )
a)1, 1, 1, 1, 1
d)3, 2, 6, 12, 72
1 1
e)1, 2, 1, ,
4 8
f) 2, 4, 16, 256, 65 536
a
b)1, 1, 1, 1, 1
c) 0, 1, 2, 4, 16
8 Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general an = n2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más
de uno?
n2 − 11n + 30 = 6 → n2 − 11n + 24 = 0 → n =
11± 5
2
Hay dos términos que valen 6, el tercero y el octavo.
⎪⎧ n = 8
→ ⎪⎨ 1
⎪⎪ n = 3
⎩ 2
Desafío
9 En la figura aparecen los primeros términos de la sucesión de los núme-
ros pentagonales.
a)Halla el valor del cuarto término.
b)Calcula el término general de la sucesión.
Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo es la suma
del número triangular enésimo y el doble del número triangular anterior.
a)22
b) pn = tn + 2tn−1 =
Unidades didácticas n ⋅ ( n + 1)
2
+2
( n −1) ⋅ n
2
=
n2 + n + 2n2 − 2n
2
163
=
3n2 − n
2
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
2. Progresiones aritméticas
6
Aprenderás a…
●
Reconocer una progresión
aritmética e identificar su
diferencia.
●
Calcular el término general
de una progresión aritmética.
●
Interpolar términos
aritméticos.
2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
10
Pedro está construyendo una escalera
sencilla de madera.
Ha situado el primer peldaño a 22 cm de los
extremos que se apoyan en el suelo.
Si coloca cada uno de los siguientes
peldaños a 20 cm del anterior, ¿cuánto
medirá la escalera cuando termine de poner
5 peldaños?
11
a1 = 22
a2 = 22 + 20 = 42
a4 = 62 + 20 = 82
a3 = 42 + 20 = 62
Una progresión aritmética es una
sucesión recurrente, porque:
an = an−1 + d
a5 = 82 + 20 = 102
La escalera medirá 102 cm, es decir, 1,02 m. Este es el valor del quinto término de
la sucesión que forman estos números. Observa que cada uno se obtiene sumando
20 al anterior, se trata de una progresión aritmética.
12
Una vez que Pedro ha terminado, la escalera mide 2,62 m. ¿Cuántos peldaños tiene?
Debemos averiguar cuál es el término de la progresión que vale 262. Para ello,
observamos la relación existente entre los términos:
a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
a4 = a3 + d
a 5 = a4 + d
a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a1 + 2d + d = a1 + 3d
a5 = a1 + 3d + d = a1 + 4d
a1 = 22
a2 = 22 + 1 ⋅ 20 = 42
a3 = 22 + 2 ⋅ 20 = 62
a4 = 22 + 3 ⋅ 20 = 82
a5 = 22 + 4 ⋅ 20 = 102
an = a1 + (n − 1)d
Decimos que n números
están en progresión
aritmética si son términos
consecutivos de una
progresión aritmética.
1 3
7
f) 1, , , 2, , …
2 2
2
Escribe los diez primeros términos de las sucesiones
que se indican y, si son progresiones aritméticas,
determina su término general.
a) Los números naturales.
b) Los números enteros mayores que 4.
c) Los números pares positivos.
d) Las potencias de 3 a partir del 1.
e) Los múltiplos positivos de 5.
Calcula el término general de la progresión aritmética
que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer término
vale 5. Halla a15.
18
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética
sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo
vale 56?
19
Calcula el término general de una progresión
aritmética si el segundo término es 18 y el séptimo
vale −12.
20
¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una
progresión aritmética cuyo primer término es −3 si
su diferencia es −5?
21
Averigua cuál es el término a11 de una progresión
aritmética si los términos cuarto y séptimo se
diferencian en 18 unidades y a1 = 4.
EJERCICIO RESUELTO
}
Interpolar aritméticamente cuatro términos entre los
números −1 y 9 equivale a hallar los términos a2, a3, a4
y a5 de una progresión aritmética, sabiendo que:
El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de
altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es
de 3,6 m. ¿A qué altura está el décimo piso?
14
Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos
dos primeros términos son 1 y 6.
Como a6 = a1 + 5d:
15
Calcula la diferencia de una progresión aritmética si
su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina
el término general.
Entonces:
16
Fernando se propone
entrenar todos los días
para una carrera solidaria
que se celebrará el 18 de
septiembre. Si el día 1 de
dicho mes corrió durante
12 min y cada día entrena
2 min más que el anterior,
¿cuánto tiempo entrenará
el día previo a la carrera?
Así: 262 = 22 + (n − 1) ⋅ 20 → 240 = (n − 1) ⋅ 20 → 12 = n − 1 → n = 13
Luego, la escalera tiene 13 peldaños.
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto
el primero, se obtiene sumándole al anterior un mismo número, llamado
diferencia, d.
El término general de las progresiones aritméticas es: an = a1 + (n − 1)d
a1 = −1 y a6 = 9
9 = −1 + 5d → 5d = 10 → d = 2
a3 = 1 + 2 = 3
a5 = 5 + 2 = 7
22
Interpola cuatro términos aritméticos entre:
a) 5 y 25
c) −2 y 28
b) −40 y −60
23
Si el quinto término de una progresión
aritmética es 10, y el décimo vale 45, ¿cuál es
el término que ocupa la posición 50?
Halla el primer término y el término general de una
progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo
término es 47.
24
d) −
3
2
y
7
2
Interpola cinco términos aritméticos entre:
a)
17
a2 = −1 + 2 = 1
a4 = 3 + 2 = 5
EJERCICIO RESUELTO
}
Interpola cuatro términos aritméticos entre los
números −1 y 9.
Solución
13
Así, para calcular un término cualquiera podemos utilizar la expresión:
Lenguaje matemático
Indica si las siguientes sucesiones son progresiones
aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y
calcula el término general.
a) 2, 7, 12, 17, 22,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,…
e) 4, −1, −6, −11, −16,…
5 7
11
c) 1, , , 3, ,…
3 3
3
Podemos expresar la longitud de la escalera,
según el número de peldaños colocados,
con los términos de una sucesión:
Presta atención
6
Actividades
Sucesiones
5 y 31 5
b)
2
3
2 y
7
3
2
¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo
si sus longitudes están en progresión aritmética con
diferencia 3 cm?
Solución
DESAFÍO
Para hallar a50 vamos a calcular la diferencia de la
progresión y a1.
25
¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas
tiene el término a75 de la sucesión de la figura?
mac3e20
102
103
Sugerencias didácticas
Las progresiones aritméticas son un tipo sencillo de sucesiones que aparecen cuando los términos se relacionan por
una diferencia constante. Esta propiedad de las progresiones nos permite obtener una expresión de su término general de forma sencilla.
Vídeo. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se busca el término que ocupa una posición determinada mediante la
resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del
procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o
como recurso para que los alumnos lo repasen.
Además de poder calcular cualquier término de la sucesión,
la expresión del término general de una progresión aritmética también nos permite interpolar n términos aritméticos
entre dos dados.
Soluciones de las actividades
10 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y calcula el término
general.
5 7
11
, , 3, ,... 3 3
3
a)2, 7, 12, 17, 22,…
c) 1,
b)1, 2, 4, 8, 16,…
d)12, 9, 6, 3, 0,…
a)Es una progresión aritmética: d = 5 y an = 2 + 5(n − 1) = 5n − 3
e)4, −1, −6, −11, −16,…
f) 1,
1 3
7
, , 2, ,...
2 2
2
b)No es una progresión aritmética.
c) Es una progresión aritmética: d =
2
y an = 1+
2
⋅ ( n −1) =
2n + 1
3
3
3
d)Es una progresión aritmética: d = −3 y an = 12 − 3(n − 1) = −3n + 15
e)Es una progresión aritmética: d = −5 y an = 4 − 5(n − 1) = −5n + 9
f) No es una progresión aritmética.
Unidades didácticas 164
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
11 Escribe los diez primeros términos de las sucesiones que se indican y, si son progresiones aritméticas, determina su térmi-
no general.
a)Los números naturales.
b)Los números enteros mayores que 4.
c) Los números pares positivos.
d)Las potencias de 3 a partir del 1.
e)Los múltiplos positivos de 5.
a)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Es una progresión aritmética: an = n
b)5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Es una progresión aritmética: an = n + 4
c) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Es una progresión aritmética: an = 2n
d)1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683. No es progresión aritmética.
e)5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Es una progresión aritmética: an = 5n
12 Calcula el término general de la progresión aritmética que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer término vale 5. Halla
a15.
an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2
a15 = 47
13 El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,6 m. ¿A
qué altura está el décimo piso?
an = 8,2 + 3,6(n − 1) = 3,6n + 4,6 → a10 = 40,6 m
14 Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos dos primeros términos son 1 y 6.
d = 6 − 1 = 5 → a30 = 1 + 29 ⋅ 5 = 146
15 Calcula la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina el término
general.
19 = 3 + 4d → d = 4
an = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1
16 Fernando se propone entrenar todos los días para una carrera solidaria que se celebrará el 18 de septiembre. Si el día 1
de dicho mes corrió durante 12 min y cada día entrena 2 min más que el anterior, ¿cuánto tiempo entrenará el día previo
a la carrera?
a17 = 12 + 16 ⋅ 2 = 44 min
17 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo término es 47.
47 = a1 + 7 ⋅ 5 → a1 = 12
an = 12 + 5(n − 1) = 5n + 7
18 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo vale 56?
a1 + 13d = 21 ⎫⎪⎪
⎬ → 7d = 35 → d = 5
a1 + 10d = 56 ⎪⎪⎭
19 Calcula el término general de una progresión aritmética si el segundo término es 18 y el séptimo vale −12.
a1 + 6d = 18 ⎪⎫⎪
⎬ → 5d = −30 → d = −6 → a1 − 6 = 18 → a1 = 24 → an = 24 − 6( n −1) = −6 n + 30
a1 + 6d = −12⎪⎪⎭
20 ¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una progresión aritmética cuyo primer término es −3 si su diferencia es
−5?
−33 = −3 − 5(n − 1) → −30 = − 5(n − 1) → 6 = n − 1 → n = 7
El término −33 ocupa el séptimo lugar.
Unidades didácticas 165
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
21 Averigua cuál es el término a11 de una progresión aritmética si los términos cuarto y séptimo se diferencian en 18 unidades
y a1 = 4.
a4 = a1 + 3d ⎫⎪⎪
⎬ → a7 − a4 = 3d = 18 → d = 6
a7 = a1 + 6d ⎪⎪⎭
a11 = 4 + 10 ⋅ 6 = 64
22 Interpola cuatro términos aritméticos entre:
a)5 y 25 b)−40 y −60 c) −2 y 28 d)
3 7
y
2 2
a)25 = 5 + 5d → d = 4 → 5, 9, 13, 17, 21, 25
b)−60 = −40 + 5d → d = −4 → −40, −44, −48, −52, −56, −60
c) 28 = −2 + 5d → d = 6 → −2, 4, 10, 16, 22, 28
2
3 19 23 27 31 7
7 3
d) = + 5d → d = → , , , , ,
2 2
5
2 10 10 10 10 2
23 Interpola cinco términos aritméticos entre:
a)
5 y 31 5 b)
2
3
2 y
7
3
2
a) 31 5 = 5 + 6d → d = 5 5 → 5 ,6 5 ,11 5 ,16 5 ,21 5 ,26 5 ,31 5
2
5
2
17
11
3
16
37
7
7
b)
2=
2 + 6d → d =
2→
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2
3
3
18
3
18
9
2
9
18
3
24 ¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo si sus longitudes están en progresión aritmética con diferencia 3 cm?
Sean a la longitud del cateto menor, a + 3 la del cateto mayor y, a + 6 la de la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras: (a + 6)2 = a2 + (a + 3)2 → a2 + 12a + 36 = 2a2 + 6a + 9 → a2 − 6a − 27 = 0
Esta ecuación tiene dos soluciones: 9 y − 3, pero como las longitudes de los lados han de ser números positivos, la única
válida es: a = 9
Así, los lados del triángulo miden 9 cm, 12 cm y 15 cm.
Desafío
25 ¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas tiene el término a75 de la sucesión de la figura?
La sucesión xn de cuadrados naranjas la de los cuadrados de los números naturales: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9
Por tanto: xn = n2 → x75 = 752 = 5 625 cuadrados
Para determinar el término general de la sucesión de los cuadrados azules restamos el de los cuadrados naranjas al número total de cuadrados: yn = (n + 2)2 − xn = (n + 2)2 − n2 = 4n + 4
Entonces: y75 = 4 ⋅ 75 + 4 = 304 cuadrados
Unidades didácticas 166
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
3. Suma de una progresión aritmética
6
Aprenderás a…
●
Calcular la suma de los n
primeros términos de una
progresión aritmética.
3. SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
26
Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:
a) 3, 9, 15, 21, 27,…
c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…
b) 8, 5, 2, −1, −4,…
d) −13, −17, −21, −25, −29,…
27
Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que
tiene por diferencia 6 si su primer término es 3.
28
En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos,
partiendo desde a1, son necesarios para que su suma valga 209?
29
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la
suma de los 16 primeros términos vale 384?
30
Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5,
sabiendo que la suma de los 13 primeros términos es 481. Halla, también, su
término general.
31
Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer
término vale 6 y que tiene por diferencia −3 suman −306.
32
La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han
sumado si el primero es 14?
Cuando el matemático Gauss tenía 10 años, su maestro propuso como ejercicio a
sus alumnos calcular la suma de los 100 primeros números naturales.
S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
Gauss observó que:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
50 + 51 = 101
…
Así, se dio cuenta de que el resultado es la suma de las 50 parejas de números que
valen 101, es decir: 50 ⋅ 101 = 5 050
Por lo tanto, para hallar la suma de los 100 primeros números naturales, podemos
proceder de esta forma:
S100 =
1+
2+
3+
4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
S100 = 100 + 99 + 98 + 97 + … +
4+
3+
2+
1
2S100 = 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 + 101
2S100 = 101 ⋅ 100 → 2S100 = 10 100 → S100 = 5 050
En cualquier progresión aritmética se verifica que la suma de términos equidistantes
al primero y al último coincide con la suma de estos:
a2 + an−1 = a1 + d + an − d
= a1 + an
a3 + an−2 = a1 + 2d + an − 2d = a1 + an
EJERCICIO RESUELTO
ak + 1 + an−k = a1 + kd + an − kd = a1 + an
}
Así, si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:
Sn =
a1
+
a2
+
a3
+…+
an − 2
+
an−1
+
an
Sn =
an
+
an−1
+
an−2
+…+
a3
+
a2
+
a1
2Sn = ( a1 + an ) ⋅ n → Sn =
Los múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20,…) forman una progresión aritmética cuya
diferencia es 5.
Conocemos el primer término de la progresión: a1 = 5
Podemos calcular: a40 = 5 + 39 ⋅ 5 = 200
( a1 + an ) ⋅ n
Así, la suma de los 40 primeros términos es:
2
S40 =
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
( a + an ) ⋅ n
Sn = 1
2
EJERCICIO RESUELTO
¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 1, −1,… es necesario sumar para que el resultado sea −140?
Solución
Calculamos la diferencia de la progresión:
d = 1 − 3 = −1 − 1 = −2
La expresión del término general
nos permite calcular un término cualquiera:
an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n − 1) ⋅ (−2) = 3 − 2n + 2 = 5 − 2n
Simplificamos:
( 8 − 2n ) ⋅ n
( a + an ) ⋅ n
Sn = 1
→ −140 =
2
2
−280 = 8n − 2n2 → 2n2 − 8n − 280 = 0 → n2 − 4n − 140 = 0
⎧ n = 14
⎪
4 ± 16 + 560
4 ± 24
1
n=
=
→⎪
⎨
⎪
2
2
⎪
⎩ n2 = −10
Como −10 no es un número natural, la única solución válida es 14, es decir, es necesario sumar los 14 primeros términos.
( a1 + a40 ) ⋅ 40
2
=
(5 + 200 ) ⋅ 40
2
= 205 ⋅ 20 = 4100
33
Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.
34
Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra
sea el número 7.
35
Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.
36
¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre
1 000 y 2 000?
37
Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora.
Decide incrementar el tiempo de estudio 5 min cada día.
a) ¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?
b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?
38
¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación
del primer metro cobraron 200 €, y por cada uno de los restantes, 600 € más que
el anterior?
Así, la suma del primer y el último término es: a1 + an = 3 + 5 − 2n = 8 − 2n
Entonces:
¿Cuál es la suma de los 40 primeros múltiplos positivos de 5?
Solución
2Sn = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + … + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an )
}
6
Actividades
Sucesiones
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
DESAFÍO
39
Encuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.
104
105
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos deben aprender a calcular la
suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.
progresión aritmética cualquiera. Es conveniente recalcar
que los términos equidistantes de una progresión aritmética
suman lo mismo.
La anécdota sobre la forma en la que Gauss calculó rápidamente la suma de los 100 primeros números naturales puede ayudar a los alumnos a comprender la fórmula para una
En los ejercicios resueltos se plantea cómo hallar el número
de términos que debe considerarse para obtener una cierta
suma.
Soluciones de las actividades
26 Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:
a)3, 9, 15, 21, 27,…
c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…
b)8, 5, 2, −1, −4,…
d)−13, −17, −21, −25, −29,…
( a1 + a20 ) ⋅ 20 ( 3 + 117 ) ⋅ 20
a) a20 = 3 + 19 ⋅ 6 = 117 → S20 =
=
= 1 200
2
2
( a + a20 ) ⋅ 20 ( 8 − 49 ) ⋅ 20
b) a20 = 8 + 19 ⋅ (−3) = −49 → S20 = 1
=
= −410
2
2
( a + a20 ) ⋅ 20 (1,25 + 10,75 ) ⋅ 20
c) a20 = 1,25 + 19 ⋅ 0,5 = 10,75 → S20 = 1
=
= 120
2
2
( a + a20 ) ⋅ 20 (−13 − 89 ) ⋅ 20
d) a20 = −13 + 19 ⋅ (−4 ) = −89 → S20 = 1
=
= −1 020
2
2
Unidades didácticas 167
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
27 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que tiene por diferencia 6 si su primer término
es 3.
a12 = 3 + 11⋅ 6 = 69 → S12 =
( a1 + a12 ) ⋅12
2
=
( 3 + 69 ) ⋅12
2
= 432
28 En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos, partiendo desde a1, son necesarios
para que su suma valga 209?
( a1 + an ) ⋅ n
2
= 209 →
( 4 + 4 + 3( n −1) ) ⋅ n
2
⎪⎧⎪ n1 = 11
⎪
2
(
)
= 209 → 3n + 5 ⋅ n = 418 → 3n + 5n − 418 = 0 → ⎨
⎪⎪ n = − 38
⎪⎪⎩ 2
3
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 11, es decir, es necesario sumar
11 términos para obtener esta suma.
29 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la suma de los 16 primeros términos vale
384?
( a1 + a16 ) ⋅16
2
= 384 → ( 9 + 9 + 15d ) ⋅ 8 = 384 → 18 + 15d = 48 → 15d = 30 → d = 2
30 Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5, sabiendo que la suma de los 13 primeros
términos es 481. Halla, también, su término general.
( a1 + a13 ) ⋅13
= 481 → ( a1 + a1 + 12 ⋅ 5 ) ⋅13 = 962 → 2a1 + 60 = 74 → 2a1 = 14 → a1 = 7
2
an = 7 + 5( n −1) = 5n + 2
31 Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer término vale 6 y que tiene por diferen-
cia −3 suman −306.
( a1 + an ) ⋅ n
2
= −306 →
( 6 + 6 − 3( n −1) ) ⋅ n
⎧⎪ n = 17
n2 − 5n − 204 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ n = −12
⎩ 2
2
= −306 → ( −3n + 15 ) ⋅ n = −612 → 3n2 −15n − 612 = 0
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 17, es decir, hay que sumar
17 términos consecutivos.
32 La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han sumado si el primero es 14?
( a1 + an ) ⋅ n
2
= 1 085 →
(14 + 14 + n −1) ⋅ n
2
⎧⎪ n = 35
= 1 085 → ( n + 27 ) ⋅ n = 2170 → n2 + 27n − 2170 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ n = −62
⎩ 2
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 35, es decir, se han sumado
35 números naturales.
33 Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.
a15 = 6 + 14 ⋅ 6 = 90
S15 =
( a1 + a15 ) ⋅15
2
=
( 6 + 90 ) ⋅15
2
= 720
34 Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra sea el número 7.
a120 = 7 + 119 ⋅10 = 1197
S120 =
( a1 + a120 ) ⋅120
Unidades didácticas 2
=
( 7 + 1197 ) ⋅120
2
= 72240
168
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
35 Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.
a22 = 18 + 21⋅ 2 = 60
S22 =
( a1 + a22 ) ⋅ 22
2
=
(18 + 60 ) ⋅ 22
2
= 858
36 ¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre 1 000 y 2 000?
a1 = 59 ⋅17 = 1 003 ⎫⎪⎪
⎬ → 1 947 = 1 003 + 59( n −1) → 59( n −1) = 944 → n −1 = 16 → n = 17
an = 59 ⋅ 33 = 1 947 ⎪⎪⎭
(1 003 + 1 947 ) ⋅17
= 25 075
S17 =
2
37 Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora. Decide incrementar el tiempo de estudio
5 min cada día.
a)¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?
b)¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?
a)a15 = 60 + 14 ⋅ 5 = 130 min = 2 h y 10 min
b)a31 = 60 + 30 ⋅ 5 = 210 min = 3 h y 30 min
( a + a31 ) ⋅ 31 ( 60 + 210 ) ⋅ 31
S31 = 1
=
= 4185 min = 2 d 21 h y 45 min
2
2
38 ¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación del primer metro cobraron 200 €, y
por cada uno de los restantes, 600 € más que el anterior?
( a1 + an ) ⋅ n
2
= 14 000 → ( 200 + 200 + 600( n −1) ) ⋅ n = 28 000 → ( 600 n − 200 ) ⋅ n = 28 000
⎪⎧⎪ n1 = 7
⎪
600 n − 200 n − 28 000 = 0 → 3n − n −140 = 0 → ⎨
⎪⎪ n = − 20
⎪⎪⎩ 2
3
2
2
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es: n = 7
El pozo tiene una profundidad de 7 m.
Desafío
39 Encuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.
Sean a el primero de los cuatro números y d la diferencia de la progresión aritmética, entonces:
⎪⎫⎪
⎪⎫⎪
a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) = 22 ⎪⎫⎪
4 a + 6d = 22
2a + 3d = 11
→
→
⎬
⎬
⎬
a2 + ( a + d )2 + ( a + 2d )2 + ( a + 3d )2 = 166 ⎪⎪⎭
4 a2 + 12ad + 14 d 2 = 166 ⎪⎪⎭
2a2 + 6 ad + 7d 2 = 83⎪⎪⎭
a=
11− 3d
2
→
121− 66d + 9d 2
2
+ 3d (11− 3d ) + 7d 2 = 83 → 5d 2 = 45 → d = ±3
❚❚ Si d = 3 entonces a = 1 y los números buscados son: 1, 4, 7 y 10
❚❚ Si d = −3 entonces a = 10 y los números buscados son los mismos.
Unidades didácticas 169
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
4. Progresiones geométricas
6
Aprenderás a…
●
Reconocer una progresión
geométrica e identificar su
razón.
●
Calcular el término
general de una progresión
geométrica.
●
Interpolar términos
geométricos.
4. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
40
Sara deja caer una pelota desde una altura
de un edificio de 200 m.
La pelota rebota contra el suelo y alcanza
una altura de 100 m.
41
¿A qué altura llegará la pelota tras el quinto
rebote?
1
2
= 50
Una progresión geométrica es una
sucesión recurrente, porque:
Decimos que n números
están en progresión
geométrica si son términos
consecutivos de una
progresión geométrica.
1
= 25
1
2
= 12,5
a1
a2 = a1 ⋅ r
a3 = a1 ⋅ r ⋅ r = a1 ⋅ r2
a4 = a1 ⋅ r2 ⋅ r = a1 ⋅ r3
a5 = a1 ⋅ r3 ⋅ r = a1 ⋅ r4
Si el primer término de una progresión geométrica es
a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:
a) a4
c) a11
b) a7
d) an
Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes
y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una
copia a otros dos parientes, y así sucesivamente.
¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta
en el quinto envío?
44
En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos
tatarabuelos hay?
45
Halla el octavo término de la progresión geométrica
cuyos dos primeros términos son 1 y 2.
46
Calcula la razón de una progresión geométrica si su
tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina
el término general.
47
Para calcular un término cualquiera de la progresión, podemos utilizar la expresión:
an = a1 ⋅ r n−1
Una progresión geométrica es una sucesión cuyos términos, excepto el primero,
se obtienen multiplicando el anterior por un mismo número, llamado razón, r.
El término general de las progresiones geométricas es: an = a1 ⋅ r
n−1
48
Si el segundo término de una progresión
geométrica es 21 y el sexto vale 1 701, ¿cuál
es el término que ocupa la posición 20?
1 3
7
, , 2, ,…
2 2
2
43
EJERCICIO RESUELTO
}
f) 1,
Calcula el término general de la progresión
1
geométrica de razón r = , cuyo primer término
4
vale 7. Halla a5.
a5 = 12,5 ⋅
a1
a2 = a1 ⋅ r
a3 = a2 ⋅ r
a4 = a3 ⋅ r
a5 = a4 ⋅ r
an = an−1 ⋅ r
Lenguaje matemático
a4 = 25 ⋅
1
= 6,25
2
2
Después del quinto bote, la pelota alcanzará 6,25 m de altura. Este es el valor del
quinto término de la sucesión que forman estos números. Como cada uno se obtiene
1
al anterior, decimos que es una progresión geométrica.
multiplicando por
2
Podemos observar la relación que existe entre los términos de una progresión
geométrica de forma análoga a como vimos en las progresiones aritméticas:
a3 = 50 ⋅
1 1
, ,…
3 9
42
a1 = 100
a2 = 100 ⋅
Indica si las siguientes sucesiones son progresiones
geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y
calcula el término general.
a) 3, 6, 12, 24, 48,…
d) 12, 9, 6, 3, 0,…
b) 1, 2, 4, 8, 16,…
e) 5, −10, 20, −40, 80,…
c) 9, 3,1,
Vuelve a caer desde ahí y rebotar hasta
la mitad de la altura alcanzada en el bote
anterior, y así sucesivamente.
Podemos expresar la altura que alcanza la
pelota, según el número de botes, con los
términos de una sucesión:
Presta atención
6
Actividades
Sucesiones
Solución
A partir de los términos a2 y a6 calculamos la razón
de la progresión y a1.
Una pelota de goma
cae desde una altura
de 40 m, rebota contra
el suelo y asciende
hasta alcanzar dos
quintos de la altura
anterior. Vuelve a caer
y a rebotar de la misma
forma sucesivamente.
Determina la altura
desde la que cae tras
el octavo bote.
49
Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde
un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica
que indica los precios de la tableta en los años
sucesivos.
50
¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la
progresión 3, 9, 27, 81,…?
51
Calcula la razón de una progresión geométrica si
a4 = 6 y a7 = 750.
52
¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo
primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.
53
En una progresión geométrica, el tercer término es
12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo
término y calcula el término general de la progresión.
EJERCICIO RESUELTO
}
Interpola dos términos geométricos entre los
1
números −1 y − .
8
Solución
Interpolar geométricamente dos términos entre los
1
números −1 y − es hallar los términos a2 y a3 de una
8
progresión geométrica sabiendo que:
a1 = −1 y a4 = −
Como a4 = a1 ⋅ r3:
−
1
8
= −1⋅ r 3 → r 3 =
Entonces:
a2 = −1⋅
1
2
1
8
→r =
=−
1
8
3
1
8
=
1
2
1
2
1 1
1
a3 = − ⋅ = −
2 2
4
Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de
café y se reemplaza por leche. A continuación, se
retira la mitad de esta mezcla y se vuelve a rellenar
con leche.
a) ¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras
efectuar 5 veces esta operación?
b) Halla el término general.
54
Interpola cuatro términos geométricos entre:
a) −6 y 192
b) 80 y 0,0008
55
Interpola seis términos geométricos entre:
a) 80 y 0,625
b) 8 y
56
1
16
c) 3 2 y 48
d)
24
5
y −600 5
¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar
entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?
DESAFÍO
57
Averigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.
x+3
mac3e21
6x + 3
20x + 5
106
107
Sugerencias didácticas
Además de poder calcular cualquier término de la progresión, la expresión del término general también nos permite
interpolar n términos geométricos entre dos dados.
Se puede proponer a los alumnos que utilicen la calculadora para que hallen las potencias sucesivas de números mayores que 1 y que comprueben lo rápido que crecen. Análogamente se puede comprobar cómo decrecen las potencias
de números menores que 1. De esta forma, podemos introducir a los alumnos al comportamiento de las progresiones
geométricas según la razón sea mayor o menor que 1.
Vídeo. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se busca el término que ocupa una posición determinada mediante la
resolución de un sistema de ecuaciones no lineales, empleando el
método de sustitución, que simplifica los cálculos.
Las progresiones geométricas son otro tipo de progresiones que aparecen cuando los términos se relacionan por
una razón constante. Esta propiedad de las progresiones
geométricas nos permite obtener una expresión de su término general de forma sencilla.
Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del
procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o
como recurso para que los alumnos lo repasen.
Soluciones de las actividades
40 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y calcula el término
general.
a)3, 6, 12, 24, 48,…
d)12, 9, 6, 3, 0,…
b)1, 2, 4, 8, 16,…
1 1
c) 9, 3, 1, , ,... 3 9
a)Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 3 ⋅ 2n−1
e)5, −10, 20, −40, 80,…
1 3
7
f) 1, , , 2, ,...
2 2
2
b)Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 2n−1
Unidades didácticas 170
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
n−1
⎛ 1⎞
y an = 9 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ 3⎠
3
d)No es una progresión geométrica.
c) Es una progresión aritmética: r =
1
6
= 33−n
e)Es una progresión geométrica.: r = −2 y an = 5 ⋅ (−2)n−1
f) No es una progresión geométrica.
41 Si el primer término de una progresión geométrica es a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:
a)a4
b)a7
c) a11 d)an
c) 413 343
d)an = 7 ⋅ 3n−1
1
42 Calcula el término general de la progresión geométrica de razón r =
, cuyo primer término vale 7. Halla a5.
4
a)189
b)5 103
n−1
⎛ 1⎞
an = 7 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝4⎠
4
⎛ 1⎞
7
a5 = 7 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
⎝4⎠
256
43 Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una copia a otros
dos parientes, y así sucesivamente. ¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta en el quinto envío?
a5 = 2 ⋅ 24 = 32 parientes
44 En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos tatarabuelos hay?
a4 = 2 ⋅ 23 = 16 tatarabuelos
45 Halla el octavo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son 1 y 2.
r =
2
1
= 2 → a8 = 1⋅ 27 = 128
46 Calcula la razón de una progresión geométrica si su tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina el término
general.
⎫⎪
⎪⎬ → a = 31 → 31 ⋅ r 4 = 1519 → r 2 = 49 → r = ±7
1
4
a1 ⋅ r = 1519 ⎪⎪⎭
r2
r2
a1 ⋅ r 2 = 31
❚❚ Si r = 7 → a1 =
31
→ an =
31
⋅ 7n−3
49
49
31
31
❚❚ Si r = −7 → a1 =
→ an =
⋅ (−7)n−3
49
49
47 Una pelota de goma cae desde una altura de 40 m, rebota contra el suelo y asciende hasta alcanzar dos quintos de la
altura anterior. Vuelve a caer y a rebotar de la misma forma sucesivamente. Determina la altura desde la que cae tras el
octavo bote.
a1 =
2
5
⋅ 40 = 16 m
7
⎛ 2⎞
a8 = 16 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 0,026 m
⎝5⎠
48 Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de café y se reemplaza por leche. A continuación, se retira la mitad de
esta mezcla y se vuelve a rellenar con leche.
a)¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras efectuar 5 veces esta operación?
b)Halla el término general.
5
⎛ 1⎞
31
a) a5 = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
⎝ 2⎠
32
Unidades didácticas n
⎛ 1⎞
b) an = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ 2⎠
171
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
49 Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica que indica los
precios de la tableta en los años sucesivos.
an = 199 ⋅ 0,8n−1
50 ¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la progresión 3, 9, 27, 81,…?
2 187 = 3 ⋅ 3n − 1 → 37 = 3n → n = 7
51 Calcula la razón de una progresión geométrica si a4 = 6 y a7 = 750.
⎫⎪
⎪⎬ → a = 6 → 6 ⋅ r 6 = 750 → r 3 = 125 → r = 5
1
6
a1 ⋅ r = 750 ⎪⎪⎭
r3
r3
a1 ⋅ r 3 = 6
52 ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.
324 = 12r3 → 27 = r3 → r = 3
a2 = 12 ⋅ 3 = 36
53 En una progresión geométrica, el tercer término es 12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo término y calcula el
término general de la progresión.
a1 ⋅ r 2 = 12 ⎪⎫⎪
12
12 5
3
⎬ → a1 = 2 → 2 ⋅ r = 96 → r = 8 → r = 2 → a1 = 3
5
⎪
a1 ⋅ r = 96 ⎪⎭
r
r
a10 = 3 ⋅ 29 = 1 536
an = 3 ⋅ 2n − 1
54 Interpola cuatro términos geométricos entre:
a)−6 y 192 b)80 y 0,0008
a)192 = (−6)r → r = −32 → r = −2 → −6, 12, −24, 48, −96, 192
5
5
b)0,0008 = 80r5 → r5 = 0,00001 → r = 0,1 → 80, 8; 0,8; 0,08; 0,008; 0,0008
55 Interpola seis términos geométricos entre:
a)80 y 0,625 b)8 y
a)0,625 = 80r7 → r7 =
b)
1
16
= 8r7 → r7 =
1
1
128
→r=
→r=
1
1
2
1
16
c) 3 2 y 48 d)
24
5
y − 600 5
= 0,5 → 80, 40, 20, 10, 5; 2,5, 1,25; 0,625
→ 8, 4, 2, 1,
1 1 1 1
, , ,
2 4 8 16
128
2
16
c) 48 = 3 2 r7 → r7 =
= 27/2 → r = 2 →3 2 , 6, 6 2 , 12, 12 2 , 24, 24 2 , 48
2
24 7
24 24
d) −600 5 =
r → r7 = −125 5 = −57/2 → r = − 5 →
,−
5 ,24,−24 5 ,120,−120 5 ,600,−600 5
5
5
5
56 ¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?
384 = 3 ⋅ 2n−1 → 2n−1 = 128 = 27 → n − 1 = 7 → n = 8
Si 3 es el primer término y 384 es el octavo entonces se pueden interpolar 6 términos.
Desafío
57 Averigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.
x + 3 6x + 3 20x + 5
⎪⎧⎪ x1 = 2
6 x + 3 20 x + 5
⎪
2
2
2
=
→ 36 x + 36 x + 9 = 20 x + 65 x + 15 → 16 x − 29 x − 6 = 0 → ⎨
⎪⎪ x = − 3
6x + 3
x+3
⎪⎪⎩ 2
16
Unidades didácticas 172
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
5. Suma de una progresión geométrica
6
6
Actividades
Sucesiones
5. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
58
●
Calcular la suma de los n
primeros términos de una
progresión geométrica.
Cuenta una leyenda que el inventor del ajedrez mostró su juego a un príncipe de la
India, y este quedó tan impresionado que quiso premiarlo y le dijo: Pídeme lo que
quieras, que te será concedido.
Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:
a) 32, 16, 8, 4,…
c) 64, 16, 4, 1,…
b) 54, −18, 6, −2,…
d) 2; −3; 4,5; −6,75;…
Hallar la suma de una
progresión geométrica si
| r | < 1.
59
●
El inventor formuló su petición: Deseo que me entregues un grano de trigo por la
primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la
cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64.
Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya
razón es 2,5 si su primer término es 3.
60
Aprenderás a…
El príncipe quedó sorprendido cuando se le comunicó que el trigo sembrado en su
reino no era suficiente para entregarle el trigo que había solicitado.
Y es que el inventor del ajedrez había pedido nada menos que:
}
S64 = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 9 223 372 036 854 775 808
Para calcular el número de granos de trigo, hallamos la suma de los 64 primeros
términos de una progresión geométrica cuya razón es r = 2.
2S64 = −1+ 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264
− ( S64 = −1+ 2 + 2 + 2 + … + 2
2 Restamos:
2
3 Obtenemos:
3
63
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica vale 11 718.
Si el primero y último son 3 y 9 375, respectivamente, ¿cuántos términos se
han sumado?
Solución
La suma de los n primeros términos es:
S64 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 262 + 263
1 Multiplicamos por la razón:
Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.
EJERCICIO RESUELTO
11 718 =
9 375 ⋅ r − 3
r −1
Resolvemos la ecuación para hallar la razón de la progresión:
)
11 718(r − 1) = 9 375r − 3 → 11 718r − 11 718 = 9 375r − 3 → r = 5
S64 = −1+ 0 + 02 + 02 + … + 063 + 264
Así, el último término es: 9 375 = 3 ⋅ 5n−1 → 5n−1 = 3 125
Entonces: S64 = 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo
Para calcular n, expresamos 3 125 como potencia de 5:
5n−1 = 55 → n − 1 = 5 → n = 6
Si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica:
r ⋅ Sn = − a1 − a2 + a3 + a4 + … + an + an ⋅ r
Luego, se han sumado 6 términos de la progresión.
− Sn = − a1 − a2 − a3 − a4 − … − an
(r − 1)Sn = − a1 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + an ⋅ r
( r −1) Sn = an ⋅ r − a1 → Sn =
an ⋅ r − a1
a ⋅ r n−1 ⋅ r − a1
a ⋅ ( r n −1)
S = 1
= 1
r −1 n
r −1
r −1
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
a ⋅ r − a1
a ( r n − 1)
Sn = n
= 1
r −1
r −1
1 1 1
, , ,…
2 4 8
, y los términos decrecen aproximándose a 0. En este caso podemos
2
⎛ 1 ⎞n
calcular la suma de todos los términos de la progresión, ya que el valor de ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ se
⎜⎝ 2 ⎠⎟
aproxima a 0 a medida que aumenta el valor de n.
Observa esta progresión geométrica: 1,
Su razón es
1
S = 1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ... =
1⋅ (−1)
1
2
−1
=
−1
−
1
a1 ⋅ (−1)
r −1
=
62
¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo
2
primer término es 18, si el último vale
?
27
63
Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer
año. A partir de entonces tienen previsto duplicar la cantidad que van a ahorrar
para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunido el
día en que Felipe cumpla 15 años?
64
Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:
1
1
c) a1 = 3 y r = −
a) a1 = 6 y r =
3
5
b) a1 = 4 y r = 0,25
d) a1 = 10 y r = −0,1
DESAFÍO
65
Observa estos cuadrados. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos
se ha obtenido uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado
anterior, responde a las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de
los cuadrados?
a1
1− r
1
b) ¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?
c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente,
¿cuál sería el valor de la suma?
Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, la suma de
todos sus términos es:
a
S= 1
1− r
mac3e22
¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica
para obtener 22 960 si el primero es 7, y el último, 15 309?
=2
2
Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, entonces las
potencias de r son prácticamente nulas cuando n es muy grande. Así:
S=
61
1
108
109
Sugerencias didácticas
En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular la suma
de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
GeoGebra. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
En este recurso aparece la representación gráfica de la suma de
los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es
1
1 y de razón . Pulsando sobre los botones del reproductor o
2
ejecutando la reproducción automática, se puede observar como
los cuadriláteros rellenan los dos cuadrados iniciales.
La anécdota sobre el inventor del ajedrez puede ayudar a
los alumnos a comprender la fórmula para una progresión
geométrica cualquiera. Es conveniente recalcar que al multiplicar cada término de la progresión por la razón se obtiene
el siguiente, y por eso la suma se reduce a la diferencia del
último término por la razón menos el primero. Por último,
se explica que los términos de una progresión geométrica
cuya razón, en valor absoluto, es menor que 1, decrecen
tan deprisa que se pueden sumar infinitos de ellos.
Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación
de la suma de infinitos términos de una progresión geométrica
o para proponer a los alumnos que deduzcan el resultado sin
realizar cálculos.
Soluciones de las actividades
58 Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:
b)54, −18, 6, −2,…
a)32, 16, 8, 4,…
1
⋅
1
− 32
−
c) 64, 16, 4, 1,…
d)2, −3, 4,5; −6,75,…
−65535
1
1
⋅ − 64
4 096 4
16 384
349525
c) S10 =
=
=
4 096
3
1
−1
−
4
4
19 683 ⎛⎜ 3 ⎞⎟
58 025
⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2
−
⎝
⎠
11 605
2
256
d) S10 =
= 512 = −
256
5
3
−
− −1
2
2
1 023
32 = 1 023 a)S10 = 16 2
=
16
1
1
−1
−
2
2
118 096
2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ − 54 −
−
2187
29524
⎝ 3⎠
b)S10 = 729
=
=
729
4
1
−
− −1
3
3
Unidades didácticas 173
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
59 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es 2,5 si su primer término es 3.
a12 = 3 ⋅ 2,511 → S12 =
3 ⋅ 2,511 ⋅ 2,5 − 3
= 119 207,29
2,5 −1
60 Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.
256 ⋅ 2 − 2
a8 = 2 ⋅ 27 = 256 → S8 =
2 −1
= 510
61 ¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica para obtener 22 960 si el primero es 7, y
el último, 15 309?
22960 =
15 309 ⋅ r − 7
→ 22960 r − 22960 = 15 309r − 7 → 7 651r = 22953 → r = 3
r −1
15 309 = 7 ⋅ 3n−1 → 3n−1 = 2187 → 3n−1 = 37 → n = 8 Se han sumado 8 términos.
62 ¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 18, si el último vale
2
27
2
27
?
2
= 18 ⋅ r 5 → r 5 =
1
243
→r =
1
⋅
1
−18
→ S6 = 27 3
3
1
−1
3
−
=
1456
81 = 728
27
2
−
3
63 Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer año. A partir de entonces tienen previsto
duplicar la cantidad que van a ahorrar para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunido el
día en que Felipe cumpla 15 años?
a15 = 1⋅ 214 = 16 384 → S15 =
16 384 ⋅ 2 −1
2 −1
= 32767 €
64 Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:
a)a1 = 6 y r =
1
3
b)a1 = 4 y r = 0,25
n−1
⎛ 1⎞
a) an = 6 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ 3⎠
6
→S=
1−
n−1
b) an = 4 ⋅ 0,25 → S =
1
=
3
4
6
2
c) a1 = 3 y r = −
1
5
d)a1 = 10 y r = −0,1
n−1
⎛ 1⎞
c) an = 3 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟
⎝ 5⎠
= 9
1+
3
1− 0,25
=
4
0,75
=
16
3
n−1
d) an = 10 ⋅ ( −0,1)
3
→S=
1
=
3
6
=
5
2
5
5
10
10 100
→S=
=
=
1+ 0,1 1,1
11
Desafío
65 Observa los cuadrados de la figura. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos se ha obteni-
do uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, responde a las siguientes
preguntas.
a)¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de los cuadrados?
1
b)¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?
c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente, ¿cuál sería el valor
de la suma?
1
1
1
a) an = n−1 c) S =
=
=2
2
1
1
1−
2
2
1 1
31
⋅ −1 −
32767
1 023
31
b) S5 = 16 2
S10 =
S15 =
= 32 =
16 384
512
16
1
1
−1
−
2
2
Unidades didácticas 174
1
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
6
Actividades
tienes que saber
Sucesiones
Ten en cuenta
Una sucesión es un conjunto
ordenado de números reales
llamados términos.
❚ El término general, an, es la
expresión algebraica que
corresponde a un término de la
sucesión.
❚ Una ley de recurrencia es una
expresión algebraica que relaciona
cada término con sus anteriores.
Determina el término general o una ley de recurrencia de estas sucesiones.
1 1
b) 4 , 1, , , 1,…
4 4
a) 2, 8, 18, 32, 50,…
a) 1
12 = 1
12 ⋅ 2 = 2
2
22 = 4
22 ⋅ 2 = 8
an = a1 ⋅ r
n−1
❚ La suma de los n primeros
términos es:
a ⋅ r − a1
a ( r n − 1)
= 1
Sn = n
r −1
r −1
❚ Si la razón −1 < r < 1, entonces la
suma de todos sus términos es:
a1
S=
1− r
75
En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace
un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día
y disminuye 10 cm durante la noche.
3
5n −1
d) an =
n−2
n+2
Considera la sucesión formada por el número de
cuadrados de cada una de las siguientes figuras.
a) Halla la altura, an , del nenúfar tras la enésima noche.
b) ¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?
76
Considera la sucesión formada por el número de
cubos de cada una de las siguientes figuras.
⎫
⎫
⎫
a1 + 6d = 10 ⎪
a2 = 10 ⎪
a = 3⎪
⎪
⎪
⎪
⎬→
⎬→ 1
⎬
⎪
⎪
⎪
a7 = 45 ⎭
a1 + 6d = 45 ⎭
d = 7⎭
⎪
⎪
⎪
Para hallar la suma de los 25 primeros términos, calculamos a25:
a25 = 3 + 24 ⋅ 7 = 171
( a1 + a25 ) ⋅ 25
=
2
Ten en cuenta
❚ El término general es:
¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos
de la sucesión an = n2 + 10n + a son cuadrados de
números enteros?
Halla el tercero, el quinto y el décimo término de
cada una de las siguientes sucesiones.
a) an = n2 − 2n
c) an = n3 − n2 + 5
b) an =
68
74
Escribimos la expresión de cada término a partir del término general:
Así, la suma es: S25 =
Una progresión geométrica es una
sucesión cuyos términos, excepto el
primero, se obtienen multiplicando
el anterior por un mismo número,
llamado razón, r.
67
Progresiones aritméticas
( a1 + an ) ⋅ n
2
5
52 = 25
52 ⋅ 2 = 50
Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la
primera columna con el término general de la sucesión
de la que forma parte de la segunda columna.
a5 = 3
an = n2 − 9n + 20
a4 = 0
an = n + 4
a7 = 11
an = n2 − 2n − 12
a3 = 72
an = n3 + 5n2
El segundo término de una progresión aritmética es 10, y el séptimo vale 45. Calcula
la suma de los 25 primeros términos de la progresión.
an = a1 + (n − 1)d
Sn =
4
42 = 16
42 ⋅ 2 = 32
El término general es: an = n2 ⋅ 2 = 2n2
❚ El término general es:
❚ La suma de los n primeros
términos es:
3
32 = 9
32 ⋅ 2 = 18
b) Para obtener cada término a partir de los dos primeros, tenemos que dividir los dos
anteriores. En este caso, podemos escribir la ley de recurrencia:
a
a1 = 4, a2 = 1, an = n−1
an−2
Ten en cuenta
Una progresión aritmética es una
sucesión en la que cada término,
excepto el primero, se obtiene
sumándole al anterior un mismo
número, llamado diferencia, d.
66
Sucesiones
6
Finales
( 3 + 171) ⋅ 25
2
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y
calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura
formada por 625 cuadrados?
= 2 175
Progresiones geométricas
Dados los términos a1 = 1 024 y a6 = 1.
69
Escribe los cinco primeros términos de estas
sucesiones recurrentes.
a) a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2
b) a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2
70
En una sucesión, cada término excede en una unidad
al doble del término anterior. Si el primer término
es 1:
a) Halla la ley de recurrencia de la sucesión.
b) Calcula los siete primeros términos.
c) Determina el término general de la sucesión.
a) Interpola cuatro términos geométricos entre ellos.
b) Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión.
c) Determina, si es posible, la suma de todos los términos de la progresión geométrica.
a) Hallamos los términos a2, a3, a4 y a5 de la progresión geométrica.
Como a6 = a1 ⋅ r 5 → 1 = 1 024 ⋅ r 5 → r 5 =
1
1 024
→r =
5
1
1 024
=
1
4
1
1
1
1
= 256 a3 = 256 ⋅ = 64 a4 = 64 ⋅ = 16 a5 = 16 ⋅ = 4
4
4
4
4
b) La suma de los 6 primeros términos es:
⎡ ⎛ ⎞6
⎤
⎞
⎛
⎢ 1
⎥
4 095
1 024 ⎢ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ −1⎥ 1 024 ⎜⎜ 1 −1⎟⎟
⎟⎟ −
⎜⎜⎝ 4 096
⎢ ⎝⎜ 4 ⎠⎟
⎥
a ( r 6 −1)
⎠
4
⎣
⎦ =
=
=
= 1 365
S6 = 1
3
r −1
1
3
−
−1
−
4
4
4
Así: a2 = 1 024 ⋅
c) Como r =
1
4
< 1→ S =
1 024
1−
1
=
1 024
4
3
=
71
72
¿Cuál es el término general de las siguientes
sucesiones?
a) 5, −5, 5, −5, 5, −5,…
b) 1, 0, 1, 0, 1, 0,…
72
Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2n
cumplen la relación:
an+2 − 4an+1 + 4an = 0
4 096
3
73
4
¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo
término general es an = 3n − 3n−1?
a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y
calcula su término general.
b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura
formada por 256 cubos?
Progresiones aritméticas
77
La diferencia de una progresión aritmética es 3.
Determina su término general si el primer término
vale 5.
78
Halla la diferencia de una progresión aritmética si su
primer término es 31 y el quinto vale 63.
79
Calcula la diferencia de una progresión aritmética
cuyo cuarto término excede en 10 unidades al
noveno.
80
¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si
su término general es an = 3n + 1?
81
La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro
se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso
de su modelo de caldera marcan que las revisiones
deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una
revisión en el año 2020? ¿Y en el 2021?
110
111
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular el término general o la ley de recurrencia de una sucesión.
❚❚ Hallar la diferencia y el valor de un término cualquiera de una progresión aritmética.
❚❚ Determinar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
❚❚ Interpolar términos en una progresión.
❚❚ Calcular la razón y el valor de un término cualquiera de una progresión geométrica.
❚❚ Determinar la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
❚❚ Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica cuya razón es mayor que −1 y menor que 1.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
66 Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la primera columna con el término general de la sucesión de la que forma
parte de la segunda columna.
a5 = 3
an = n2 − 9n + 20 ❚ a5 = 3 es el quinto término de la sucesión an = n2 − 2n − 12.
a4 = 0
an = n + 4 ❚ a4 = 0 es el cuarto término de la sucesión an = n2 − 9n + 20.
a7 = 11
an = n2 − 2n − 12
❚ a7 = 11 es el séptimo término de la sucesión an = n + 4.
a3 = 72
an = n + 5n
❚ a3 = 72 es el tercer término de la sucesión an = n3 + 5n2.
Unidades didácticas 3
2
175
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
67 Halla el tercero, el quinto y el décimo término de cada una de las siguientes sucesiones.
a)an = n2 − 2n
b) an =
3
5n −1
c) an = n3 − n2 + 5 d) an =
n−2
n+2
a)a3 = 3, a5 = 15, a10 = 80
c) a3 = 23, a5 = 105, a10 = 905
3
3
1
3
1
3
8
2
b) a3 =
d) a3 = , a5 = , a10 =
, a5 =
= , a10 =
=
14
24 8
49
5
7
12 3
68 Considera la sucesión formada por el número de cuadrados de cada una de las siguientes figuras.
a)Escribe los seis primeros términos de la sucesión y calcula su término general.
b)¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 625 cuadrados?
a)1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n2
b)n2 = 625 → n = 25
69 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.
a)a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2
b)a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2
a)1, 2, 4, 8, 16
b)1, 1, 3, 5, 11
70 En una sucesión, cada término excede en una unidad al doble del término anterior. Si el primer término es 1:
a)Halla la ley de recurrencia de la sucesión.
b)Calcula los siete primeros términos.
c) Determina el término general de la sucesión.
a)a1 = 1, an = 1 + 2an−1 c) an = 2n − 1
b)1, 3, 7, 15, 31, 63, 127
71 ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?
a)5, −5, 5, −5, 5, −5,…
n−1
a) an = 5 ⋅ ( −1)
b)1, 0, 1, 0, 1, 0,…
b) an =
n+1
1+ ( −1)
2
72 Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2n cumplen la relación: an+2 − 4an+1 + 4an = 0
(n + 2) ⋅ 2n + 2 − 4(n + 1) ⋅ 2n + 1 + 4n ⋅ 2n = 2n(4(n + 2) − 8(n + 1) + 4n) = 0
73 ¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo término general es an = 3n − 3n − 1?
3n − 3n − 1 = 3n − 1(3 − 1) = 2 ⋅ 3n − 1
Todos los términos son múltiplos de 2, son pares.
74 ¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos de la sucesión an = n2 + 10n + a son cuadrados de números enteros?
2
an = n2 + 10 n + a = ( n2 + 10 n + 25 ) + a – 25 = ( n + 5 ) + a – 25
Si a = 25 entonces los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
Unidades didácticas 176
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
75 En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día y disminuye
10 cm durante la noche.
a)Halla la altura, an, del nenúfar tras la enésima noche.
b)¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?
a)an = n ⋅ 30 cm
b)a10 = 10 ⋅ 30 = 300 cm = 3 m
Al día siguiente aumenta 40 cm y alcanza los 3,4 m de la superficie antes de que anochezca. Por tanto, el nenúfar
alcanza la superficie del lago en el undécimo día.
76 Considera la sucesión formada por el número de cubos de cada una de las siguientes figuras.
a)Escribe los seis primeros términos de la sucesión y calcula su término general.
b)¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 256 cubos?
a)1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n2
b)n2 = 256 → n = 16
77 La diferencia de una progresión aritmética es 3. Determina su término general si el primer término vale 5.
an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2
78 Halla la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 31 y el quinto vale 63.
63 = 31 + 4d → 4d = 32 → d = 8
79 Calcula la diferencia de una progresión aritmética cuyo cuarto término excede en 10 unidades al noveno.
a4 + 10 = a9 → 5d = 10 → d = 2
80 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si su término general es an = 3n + 1?
a1 = 4 y a2 = 7 → d = 3
81 La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso de su modelo
de caldera marcan que las revisiones deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una revisión en el año 2020? ¿Y en el
2021?
2 020 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 8
Como 8 no es múltiplo de 3, la caldera no se revisará en el año 2020.
2 021 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 9
Sin embargo, como 9 es múltiplo de 3, la caldera sí se revisará en el 2021.
Unidades didácticas 177
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
6
Sucesiones
Actividades
Sucesiones
82
Considera la sucesión formada por el número de
palillos de cada una de las siguientes figuras.
a)
91
Halla tres términos consecutivos de una progresión
aritmética cuya suma es 18, si el tercero de ellos
excede en 2 unidades a la suma de los dos primeros.
92
La suma de un número impar de términos
consecutivos de una progresión aritmética vale 169.
¿Cuántos términos se han sumado si el central es el
número 13?
93
Enrique decide ahorrar 1 € de su paga semanal el
primer mes y 1,20 € más cada mes posterior. ¿Cuánto
dinero habrá ahorrado al cabo de un año?
94
Las edades de los tres hermanos Gómez forman una
progresión aritmética cuya diferencia es 4. Si la suma
de sus edades es igual a 36, ¿cuántos años tiene
cada uno?
b)
95
104
Escribe los seis primeros términos de cada sucesión y
calcula el término general que les corresponde.
83
84
85
Interpola tres términos aritméticos entre los siguientes
números.
a) 17 y 53
c) 2 y 54
b) −16 y 12
d) 21 y −11
El primer término de una progresión aritmética
es 118, y su diferencia vale 35. ¿Cuál es el mayor
término de la progresión menor que 1 000?
¿Cuál es el término general de las siguientes
sucesiones?
98
Halla el primer y el décimo término de una progresión
geométrica si el tercero es 4 y el sexto es igual a
−108. ¿Cuál es la razón de la progresión?
86
Calcula el primer número negativo de la progresión
aritmética cuyo primer término es 42, si su diferencia
es −5. ¿Qué lugar ocupa ese número en la progresión?
99
En una progresión geométrica, los términos quinto y
décimo son 32 y 1 024, respectivamente. Determina
la razón y el primer y tercer término de la progresión.
87
Los primeros términos de una sucesión son:
a1 = 3, a2 = 7, a3 = 13, a4 = 21
a) Comprueba que la sucesión dada por la expresión
bn = an+1 − an es una progresión aritmética y halla
su término general.
b) Demuestra que b1 + b2 + … + bn−1 = an − a1 y
emplea esta igualdad para calcular an.
100
Halla el primer término de una progresión geométrica
de razón 1,5; sabiendo que la suma de los 5 primeros
términos es 13,1875.
88
102
Calcula la suma de los 12 primeros múltiplos positivos
de 7.
89
La suma de n números naturales consecutivos es
915. ¿Cuántos hemos sumado si el primero es 16?
90
Determina cuántos números naturales pares
consecutivos suman 350 si el primero de ellos es el 12.
103
106
Interpola cuatro términos geométricos entre:
a) 3 y 96
c) 1 y −32
b) −2 y 2
d) 2 y 6 250
107
¿Cuántos términos de la progresión geométrica cuyo
primer término es igual a 2 y que tiene como razón 3
son mayores que 20 y menores que 484?
b) ¿Se puede calcular la suma de sus infinitos
términos? Razona tu respuesta.
112
¿Cuál es el primer término de una progresión
3
geométrica de razón
si la suma de todos sus
4
términos vale 64?
113
Considera las progresiones geométricas definidas por
an = 5an−1 y bn = 4bn−1. Si el primer término de las dos
progresiones es igual a 1, ¿qué suma es mayor: la de
los 7 primeros términos de an o la de los 8 primeros
de bn?
Calcula el valor de las siguientes sumas:
a) 3 + 33 + 35 + 37
EJERCICIO RESUELTO
}
El tercer término de una progresión geométrica es 2,
y el sexto vale 16.
a) Halla el término general de la progresión.
114
Calcula el tercero, el quinto y el décimo término de
una progresión geométrica sabiendo que el primero
es 2 y la razón vale 3.
El cuarto término de una progresión geométrica es
1
1
, y el séptimo vale −
.
729
27
a) Halla el término general de la progresión.
b) ¿Se puede calcular la suma de sus infinitos
términos? Razona tu respuesta.
Indica razonadamente si los siguientes números
están en progresión geométrica.
a) 0, 5, 25, 125,…
b) a, a2b, a3b2, a4b3,…
c) 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3,…
d) 2n, −2n+1, −2n+2, 2n+3,…
Halla tres números en progresión aritmética que
suman 33 y cuyo producto vale 1 287.
97
101
b) La suma de todos los términos.
111
105
Dada una progresión geométrica cuyo primer término
vale 4 y cuya razón es 0,2; calcula:
a) La suma de los 8 primeros términos.
8m
a) 11, 22, 44, 88, 176,…
b) 12, −24, 48, −96, 192,…
1 ,…
c) 1 024, 128, 16, 2,
4
¿Cuál es el cuarto término de una progresión
aritmética cuyos siete primeros términos suman 105?
109
110
Progresiones geométricas
96
6
Finales
Lanzamos una pelota que va botando sobre el suelo.
Después de cada bote avanza la mitad de la distancia
recorrida desde el bote anterior. ¿Qué distancia habrá
recorrido tras botar cinco veces?
b) 1 + 32 + 34 + 36
Calcula el término general de una progresión
geométrica si su quinto término vale 160 y si
verifica la ley de recurrencia: an = 4an−1 − 4an−2
c) −1 + 3 − 32 + 33 − 34 + 35 − 36 + 37
115
Solución
Expresamos los términos geométricos an y an−1 a partir
de an−2 y la razón, r:
an = an−2 ⋅ r2
Observa estos triángulos.
Si cada uno de ellos se
ha obtenido uniendo
los puntos medios de
los lados del triángulo
anterior, determina:
1u
an−1 = an−2 ⋅ r
Sustituimos en la ley de recurrencia:
a) El término general de la sucesión formada por los
perímetros de los triángulos.
an−2 ⋅ r2 = 4an−2 ⋅ r − 4an−2
Simplificamos por an−2:
b) El término general de la sucesión de las áreas de
los triángulos.
r2 = 4r − 4
Halla la razón de una progresión geométrica cuyo
primer término es 5, si la suma de todos sus términos
vale 20.
c) La suma de los perímetros de los 8 primeros
triángulos de la sucesión.
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
r2 = 4r + 4 = 0 → (r − 2)2 = 0 → r = 2
d) La suma de las áreas de los infinitos triángulos que
se obtienen con este proceso.
Como a5 = 160:
Escribe los 8 primeros términos de una progresión
16
128
geométrica si a5 =
y el octavo es a8 =
.
27
729
160 = a1 ⋅ 24 → 160 = 16a1 → a1 = 10
Así, el término general es: an = 10 ⋅ 2n−1 = 5 ⋅ 2n
De una progresión geométrica, sabemos que el tercer
término es 12 y el sexto vale 96.
116
Comprueba que, si a1, a2,…, an son los términos de
una progresión geométrica, se verifica que:
2
108
a) Averigua cuál es el décimo término.
b) Calcula el término general de la progresión.
Halla el término general de una progresión geométrica
sabiendo que su quinto término es igual a 1 250 y
que verifica la ley de recurrencia: an = 10an−1 − 25an−2
( a1 ⋅ a2 ⋅…⋅ an )
n
= ( a1 ⋅ an )
Calcula, además, el producto de los 8 primeros
términos de la progresión: an = 33−n
112
113
82 Considera la sucesión formada por el número de palillos de cada una de las siguientes figuras.
a)
b)
Escribe los seis primeros términos de cada sucesión y calcula el término general que les corresponde.
a)4, 7, 10, 13, 16, 19 → an = 4+ 3(n − 1) = 3n + 1
b)3, 5, 7, 9, 11, 13 → an = 3 + 2(n − 1) = 2n + 1
83 Interpola tres términos aritméticos entre los siguientes números.
a)17 y 53
b)−16 y 12
c) 2 y 54
d)21 y −11
a)53 = 17 + 4d → d = 9 → 17, 26, 35, 44, 53
b)12 = −16 + 4d → d = 7 → −16, −9, −2, 5, 12
c) 54 = 2 + 4d → d = 13 → 2, 15, 28, 41, 54
d)−11 = 21 + 4d → d = −8 → 21, 13, 5, −3, −11
Unidades didácticas 178
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
84 El primer término de una progresión aritmética es 118, y su diferencia vale 35. ¿Cuál es el mayor término de la progresión
menor que 1 000?
an = 118 + 35(n − 1) = 35n + 83
35n + 83 = 1 000 → n = 26,2
Como n tiene que ser un número natural, ha de ser: n = 26
Por tanto, el término a26 es el mayor de la progresión menor que 1 000.
85 ¿Cuál es el cuarto término de una progresión aritmética cuyos siete primeros términos suman 105?
Por ser una progresión aritmética: a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 = 2a4
2a4 ⋅ 7
Entonces:
= 105 → a4 = 15
2
86 Calcula el primer número negativo de la progresión aritmética cuyo primer término es 42, si su diferencia es −5. ¿Qué
lugar ocupa ese número en la progresión?
an = 42 − 5(n − 1) = −5n + 47
−5n + 47 = 0 → n = 9,4
Como n tiene que ser un número natural, ha de ser: n = 10
Por tanto, el término a10 = −3 es el primer número negativo de la progresión.
87 Los primeros términos de una sucesión son: a1 = 3, a2 = 7, a3 = 13, a4 = 21
a)Comprueba que la sucesión dada por la expresión bn = an+1 − an es una progresión aritmética y halla su término general.
b)Demuestra que b1 + b2 + … + bn−1 = an − a1 y emplea esta igualdad para calcular an.
a)b1 = 4, b2 = 6, b3 = 8,… → bn = 4 + 2(n − 1) = 2n + 2
b)b1 + b2 + … + bn−1 = a2 − a1 + a3 − a2 + a4 − a3 + … + an − an−1 = an − a1
Sn−1 =
( b1 + bn−1 ) ⋅ ( n −1)
2
=
( 4 + 2( n −1) + 2 ) ⋅ ( n −1)
2
= ( n + 2) ⋅ ( n −1) = n2 + n − 2
Entonces: an − a1 = n2 + n − 2 → an = n2 + n + 1
88 Calcula la suma de los 12 primeros múltiplos positivos de 7.
an = 7n → S12 =
( a1 + a12 ) ⋅12
2
=
( 7 + 84 ) ⋅12
2
= 546
89 La suma de n números naturales consecutivos es 915. ¿Cuántos hemos sumado si el primero es 16?
Sn =
(16 + 16 + n −1) ⋅ n
2
=
( n + 31) ⋅ n
2
⎧⎪ n = 30
= 915 → n2 + 31n −1 830 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ n = −61
⎩ 2
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 30, es decir, se han sumado 35
números.
90 Determina cuántos números naturales pares consecutivos suman 350 si el primero de ellos es el 12.
Sn =
(12 + 12 + 2( n −1)) ⋅ n
2
⎧⎪ n = 14
= ( n + 11) ⋅ n = 350 → n2 + 11n − 350 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ n = −25
⎩ 2
Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 14, es decir, se han sumado
14 números naturales pares.
91 Halla tres términos consecutivos de una progresión aritmética cuya suma es 18, si el tercero de ellos excede en 2 unidades
a la suma de los dos primeros.
a1 + a2 + a3 = 18 ⎫⎪⎪
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 18 ⎫⎪⎪
3a1 + 3d = 18 ⎫⎪⎪
a1 + d = 6 ⎫⎪⎪
⎬→
⎬→
⎬→
⎬ → 2a1 = 4 → a1 = 2
a1 + 2d = a1 + a1 + d + 2 ⎪⎪⎭
a1 − d = −2 ⎪⎪⎭
a1 − d = −2 ⎪⎪⎭
a3 = a1 + a2 + 2 ⎪⎪⎭
2 + d = 6 → d = 4 → a2 = 6, a3 = 10
Unidades didácticas 179
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
92 La suma de un número impar de términos consecutivos de una progresión aritmética vale 169. ¿Cuántos términos se han
sumado si el central es el número 13?
( a + an ) ⋅ n ( 2 ⋅13) ⋅ n
Sn = 1
=
= 169 → 13n = 169 → n = 13
2
2
93 Enrique decide ahorrar 1 € de su paga semanal el primer mes y 1,20 € más cada mes posterior. ¿Cuánto dinero habrá
ahorrado al cabo de un año?
a12 = 1+ 1,2 ⋅11 = 14,2 → S12 =
(1+ 14,2) ⋅12
2
= 91,20 €
94 Las edades de los tres hermanos Gómez forman una progresión aritmética cuya diferencia es 4. Si la suma de sus edades
es igual a 36, ¿cuántos años tiene cada uno?
a1 + a2 + a3 = a1 + a1 + 4 + a1 + 8 = 3a1 + 12 = 36 → 3a1 = 24 → a1 = 8
El hermano mayor tiene 16 años, el mediano, 12 años, y el pequeño, 8 años.
95 Halla tres números en progresión aritmética que suman 33 y cuyo producto vale 1 287.
Sean x el segundo término de la progresión y d su diferencia.
Entonces: x − d + x + x + d = 33 → 3x = 33 → x = 11
Así, los términos de la progresión son: 11 − d, 11, 11 + d
(11 − d) ⋅ 11 ⋅ (11 + d) = 1 287 → 121 − d2 = 117 → d2 = 4 → d = ±2
Los números son: 9, 11 y 13
96 ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?
a) 11, 22, 44, 88, 176,…
b) 12, −24, 48, −96, 192,…
1 ,…
c) 1 024, 128, 16, 2,
4
a)an = 11 ⋅ 2
n−1
n−1
⎛ 1⎞
c) an = 1 024 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝8⎠
n–1
b) an = 12 ⋅ ( –2) = 213−3 n
97 Calcula el tercero, el quinto y el décimo término de una progresión geométrica sabiendo que el primero es 2 y la razón
vale 3.
a3 = 18, a5 = 162, a10 = 39 366
98 Halla el primer y el décimo término de una progresión geométrica si el tercero es 4 y el sexto es igual a −108. ¿Cuál es la
razón de la progresión?
⎫⎪
a1 ⋅ r 2 = 4
⎪⎬ → a = 4 → 4 ⋅ r 5 = −108 → r 3 = −27 → r = −3 → a = 4
1
1
5
9
a1 ⋅ r = −108 ⎪⎪⎭
r2
r2
9
4
a10 = ⋅ ( −3 ) = −8 748
9
99 En una progresión geométrica, los términos quinto y décimo son 32 y 1 024, respectivamente. Determina la razón y el
primer y tercer término de la progresión.
a1 ⋅ r 4 = 32 ⎪⎫⎪
32
32 9
5
⎬ → a1 = 4 → 4 ⋅ r = 1 024 → r = 32 → r = 2 → a1 = 2
9
⎪
a1 ⋅ r = 1 024 ⎪⎭
r
r
2
a3 = 2 ⋅ 2 = 8
Unidades didácticas 180
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
100 Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 1,5; sabiendo que la suma de los 5 primeros términos es
13,1875.
13,1875 =
a1 ⋅1,54 ⋅1,5 − a1
1,5 −1
→ 26,375 = 6,59375 a1 → a1 = 4
101 Halla la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 5, si la suma de todos sus términos vale 20.
20 =
5
1− r
→ 1− r =
1
4
→r =
3
4
102 Escribe los 8 primeros términos de una progresión geométrica si a5 =
16
27
y el octavo es a8 =
128
729
.
16 ⎪⎫⎪
⎪
27 ⎪⎪ → a = 16 → 16 ⋅ r 7 = 128 → r 3 = 8 → r = 2
⎬
1
128 ⎪⎪
729
27
3
27r 4
27r 4
a1 ⋅ r 7 =
⎪⎪
729 ⎪⎭
a1 ⋅ r 4 =
a1 = 3, a2 = 2, a3 =
4
3
, a4 =
8
9
, a5 =
16
27
, a6 =
32
81
, a7 =
64
243
, a8 =
128
729
103 De una progresión geométrica, sabemos que el tercer término es 12 y el sexto vale 96.
a)Averigua cuál es el décimo término.
b)Calcula el término general de la progresión.
a1 ⋅ r 2 = 12 ⎪⎫⎪
12
12 5
3
⎬ → a1 = 2 → 2 ⋅ r = 96 → r = 8 → r = 2 → a1 = 3
5
⎪
a1 ⋅ r = 96 ⎪⎭
r
r
a)a10 = 3 ⋅ 29 = 1 536
b)an = 3 ⋅ 2n−1
104 Lanzamos una pelota que va botando sobre el suelo. Después de cada bote avanza la mitad de la distancia recorrida desde
el bote anterior. ¿Qué distancia habrá recorrido tras botar cinco veces?
8m
S5 =
8 ⋅ 0,54 ⋅ 0,5 − 8
0,5 −1
= 15,5 m
105 Indica razonadamente si los siguientes números están en progresión geométrica.
a)0, 5, 25, 125,… c) 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3,…
b)a, a2b, a3b2, a4b3,... d)2n, −2n+1, −2n+2, 2n+3,…
a)No es una progresión geométrica porque al multiplicar el primer término por un número no puede resultar 5.
b)Es una progresión geométrica de razón ab.
c) Es una progresión geométrica de razón 3.
d)No es una progresión geométrica porque para obtener el segundo término hay que multiplicar por −2, pero para obtener el tercero debemos hacerlo por 2.
Unidades didácticas 181
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
106 Interpola cuatro términos geométricos entre:
a)3 y 96
c) 1 y −32
b)−2 y 2
d)2 y 6 250
a)96 = 3r → r = 32 → r = 2 → 3, 6, 12, 24, 48, 96
5
5
b)2 = −2r5 → r5 = −1 → r = −1 → −2, 2, −2, 2, −2, 2
c) −32 = r5 → → r = −2 → 1, −2, 4, −8, 16, −32
d)6 250 = 2r5 → r5 = 3 125 → r = 5 → 2, 10, 50, 250, 1 250, 6 250
107 ¿Cuántos términos de la progresión geométrica cuyo primer término es igual a 2 y que tiene como razón 3 son mayores
que 20 y menores que 484?
an = 2 ⋅ 3n−1 → a3 = 18, a4 = 54, a5 = 162, a6 = 486
Por tanto, solo dos términos de la progresión son mayores que 20 y menores que 484.
108 Halla el término general de una progresión geométrica sabiendo que su quinto término es igual a 1 250 y que verifica la
ley de recurrencia: an = 10an−1 − 25an−2.
⎪⎫⎪
2
2
⎬ → a1 ⋅ r = 10 a1 ⋅ r − 25 a1 → r −10 r + 25 = 0 → r = 5
⎪
a3 = 10 a2 − 25 a1 = 10 a1 ⋅ r − 25 a1 ⎪⎭
a3 = a1 ⋅ r 2
1 250 = a1 ⋅ 54 → a1 = 2 → an = 2 ⋅ 5n−1
109 Dada una progresión geométrica cuyo primer término vale 4 y cuya razón es 0,2; calcula:
a)La suma de los 8 primeros términos.
b)La suma de todos los términos.
4 ⋅ 0,27 ⋅ 0,2 − 4
= 4,99
a) S8 =
0,2 −1
4
=5
b) S =
1− 0,2
110 El cuarto término de una progresión geométrica es
1
27
, y el séptimo vale −
1
729
.
a)Halla el término general de la progresión.
b)¿Se puede calcular la suma de sus infinitos términos? Razona tu respuesta.
⎫⎪
a)
1
⎪⎪
n−1
a1 ⋅ r 3 =
⎛ 1 ⎞⎟
⎪⎪
1
1
1
1
1
6
3
27
⎜
→
⋅r = −
→r =−
→ r = − → a1 = −1 → an = −⎜⎜− ⎟⎟
⎬ → a1 =
⎝ 3⎠
1 ⎪⎪
729
27
3
27r 3
27r 3
6
a1 ⋅ r = −
⎪⎪
729 ⎪⎭
−1
3
b)Es posible calcular la suma de infinitos términos porque: r < 1 → S =
=−
1
4
1+
3
111 El tercer término de una progresión geométrica es 2, y el sexto vale 16.
a)Halla el término general de la progresión.
b)¿Se puede calcular la suma de sus infinitos términos? Razona tu respuesta.
a) a ⋅ r 2 = 2 ⎪⎫
1
⎪⎬ → a = 2 → 2 ⋅ r 5 = 16 → r 3 = 8 → r = 2 → a = 1 → a = 1 ⋅ 2n−1 = 2n−2
1
1
n
5
2
2
a1 ⋅ r = 16 ⎪⎪⎭
r2
r2
b)No se puede calcular la suma de infinitos términos porque r > 1.
Unidades didácticas 182
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
112 ¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica de razón
a1
64 =
1−
3
→ a1 = 64 ⋅
1
4
3
4
6
si la suma de todos sus términos vale 64?
= 16
4
113 Considera las progresiones geométricas definidas por an = 5an−1 y bn = 4bn−1. Si el primer término de las dos progresiones
es igual a 1, ¿qué suma es mayor: la de los 7 primeros términos de an o la de los 8 primeros de bn?
57 −1
En la primera sucesión: r = 5 → S7 =
= 19531
5 −1
48 −1
Y en la segunda: r = 4 → S8 =
= 21 845
4 −1
Luego, es mayor la suma de los 8 primeros términos de bn.
114 Calcula el valor de las siguientes sumas:
a)3 + 33 + 35 + 37
b)1 + 32 + 34 + 36
c) −1 + 3 − 32 + 33 − 34 + 35 − 36 + 37
37 ⋅ 9 − 3
a) S4 =
= 2 460
9 −1
36 ⋅ 9 −1
b) S4 =
= 820
9 −1
c) S8 = 2 460 − 820 = 1 640
115 Observa estos triángulos. Si cada uno de ellos se ha obtenido uniendo los puntos medios de
los lados del triángulo anterior, determina:
a)El término general de la sucesión formada por los perímetros de los triángulos.
b)El término general de la sucesión de las áreas de los triángulos.
1u
c) La suma de los perímetros de los 8 primeros triángulos de la sucesión.
d)La suma de las áreas de los infinitos triángulos que se obtienen con este proceso.
3
b)
3
4
,
3
16
,
3
64
3
n−1
,... → an =
⎛ 1⎞
3 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝4⎠
⋅
1
−3
765
2
128
c) S8 =
=
128
1
−1
2
n−1
⎛ 1⎞
3 3
a) 3, , ,... → an = 3 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ 2⎠
2 4
d) S =
4
1
1−
=
3
3
4
116 Comprueba que, si a1, a2,…, an son los términos de una progresión geométrica, se verifica que:
2
( a1 ⋅ a2 ⋅... ⋅ an )
n
= ( a1 ⋅ an )
Calcula, además, el producto de los 8 primeros términos de la progresión: an = 33 − n
2
( a1 ⋅ a2 ⋅... ⋅ an )
= ( a1 ⋅ a2 ⋅... ⋅ an )( an ⋅ an−1 ⋅... ⋅ a1 ) = ( a1 ⋅ an ) ⋅ ( a2 ⋅ an−1 ) ⋅... ⋅ ( an ⋅ a1 ) =
⎛
a
= ( a1 ⋅ an ) ⋅ ⎜⎜⎜ a1 ⋅ r ⋅ n
⎜⎝
r
P8 =
8
( a1 ⋅ a8 )
Unidades didácticas =
⎞⎟
n
⎟⎟ ⋅... ⋅ ( an ⋅ a1 ) = ( a1 ⋅ an ) ⋅ ( a1 ⋅ an ) ⋅... ⋅ ( a1 ⋅ an ) = ( a1 ⋅ an )
⎟⎟⎠
8
( 32 ⋅ 3−5 ) = 3−12 = 1
312
183
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
Matemáticas vivas
6
MATEMÁTICAS VIVAS
Logística
REFLEXIONA
Se ha producido una gran avería
en la red de suministro de agua
potable de una población.
6
Miguel está buscando trabajo, y su amigo Mario le propone que entregue su currículo en el concesionario
de la empresa de camiones multimarca donde él está trabajando desde que empezó el año.
En enero le hicieron un contrato temporal por tres meses como comercial de ventas. Mario está cobrando
una parte fija, a la que hay que sumar una comisión por cada camión que consigue vender; sin embargo,
Mario no recuerda las cantidades exactas que acordó con la empresa.
Mientras arreglan la avería, el
Ayuntamiento ha contratado los
servicios de abastecimiento a una
empresa de camiones cisterna
durante 8 horas diarias.
Para que Miguel pueda tener más información, Mario le envía esta tabla con sus datos del primer trimestre.
COMPRENDE
Los depósitos que transportan los camiones tienen una capacidad de 6 000 L cada uno. Por otro lado, una
bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido del camión cada hora.
1
Considera la cantidad de agua potable disponible para la población durante la jornada y contesta las
siguientes preguntas.
a. ¿El número de litros extraídos del depósito del camión cada hora forma una sucesión?
¿De qué tipo: aritmética, geométrica o recurrente?
3
PIENSA Y RAZONA
b. ¿Se puede expresar algebraicamente el número de litros extraídos según la hora del día? Si tu respuesta es
afirmativa, indica cuál es esa expresión.
RESUELVE
MODELIZA
RESUELVE
d. Si Mario consigue vender 20 camiones en el mes de marzo, ¿cuál será su sueldo?
PIENSA Y RAZONA
e. Si contrataran a Miguel, ¿cuántos camiones tendría que vender para cobrar un sueldo superior a 2 600 €?
RELACIONA
Al final de la primera jornada, algunos vecinos han sugerido que en los días siguientes se extraiga el
mismo número de litros por hora.
2
COMUNICA
b. Determina la comisión que cobra Mario por cada camión vendido y calcula el sueldo fijo
que recibe mensualmente.
c. Halla el término general de la progresión que indica el sueldo mensual según el número de camiones vendidos.
MODELIZA
c. ¿Qué cantidad de agua queda en el depósito del camión al terminar la jornada de 8 h?
Investiga las condiciones del contrato.
a. La sucesión formada por el sueldo de cada mes, ¿es una progresión aritmética o geométrica?
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
Teniendo en cuenta la cantidad de agua potable disponible para la población durante las siguientes
jornadas, responde a estas preguntas.
a. ¿Qué tipo de sucesión es la formada por el número de litros extraídos cada hora?
COMUNICA
b. ¿Cuál es la expresión del término general de la progresión que indica el número de litros de agua que quedan
en el camión cada hora?
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
c. ¿Cuántos litros contendrá el camión después de 6 h de abastecimiento a la población?
d. Para el total aprovechamiento del agua por parte de los vecinos, ¿es mejor que cada hora
se extraiga la mitad del contenido total del camión o que se saque la misma cantidad cada
hora?
PIENSA Y RAZONA
114
115
Logística
Sugerencias didácticas
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana: cómo abastecer a una población de agua potable mediante la contrata de camiones cisterna. Se
pretende que los alumnos sean capaces de reconocer, obtener y manipular sucesiones numéricas, observando regularidades
en casos sencillos.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Modeliza, Resuelve, Comunica o Utiliza el lenguaje
matemático.
En las actividades de comprensión deberán razonar qué tipo de sucesión es la que surge al extraer litros del camión cada hora.
En las actividades de relación los alumnos tendrán que reconocer una sucesión aritmética de diferencia negativa y razonar cuál
de las opciones propuestas es más beneficiosa para los vecinos.
Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno estudie las condiciones de un contrato de trabajo en un
concesionario de camiones. Será necesario comunicar que es una sucesión aritmética para modelizar y resolver las cuestiones
que se plantean.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Uno para todos, de Pere Pujolàs.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos calcularán la cantidad de dinero que ahorrarían según unas pautas dadas. Para realizar
la actividad, los alumnos trabajarán en pequeños grupos y el profesor realizará preguntas intermedias para que los alumnos
resuelvan paso a paso la actividad. El profesor corregirá la resolución a cualquier alumno y la calificación será la misma para
cada miembro de su equipo.
Unidades didácticas 184
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
Soluciones de las actividades
Se ha producido una gran avería en la red de suministro de agua potable de una población.
Mientras arreglan la avería, el Ayuntamiento ha contratado los servicios de abastecimiento a una empresa de camiones cisterna durante 8 horas diarias.
Comprende
Los depósitos que transportan los camiones tienen una capacidad de 6 000 L cada uno. Por otro lado, una bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido del camión cada hora.
1 Considera la cantidad de agua potable disponible para la población durante la jornada y contesta las siguientes pregun-
tas.
a)¿El número de litros extraídos del depósito del camión cada hora forma una sucesión? ¿De qué tipo: aritmética,
geométrica o recurrente?
b)¿Se puede expresar algebraicamente el número de litros extraídos según la hora del día? Si tu respuesta es afirmativa,
indica cuál es esa expresión.
c) ¿Qué cantidad de agua queda en el depósito del camión al terminar la jornada de 8 h?
a)Se trata de la sucesión: 3 000, 1 500, 750,… Es una progresión geométrica de razón 0,5.
n−1
⎛ 1 ⎞⎟
⎜
b)Se puede expresar con el término general de la sucesión: an = 6 000 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎟⎠
7
⎛ 1⎞
c) a8 = 6 000 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 46,875 L
⎝ 2 ⎟⎠
Relaciona
Al final de la primera jornada, algunos vecinos han sugerido que en los días siguientes se extraiga el mismo número de litros
por hora.
2 Teniendo en cuenta la cantidad de agua potable disponible para la población durante las siguientes jornadas, responde a
estas preguntas.
a)¿Qué tipo de sucesión es la formada por el número de litros extraídos cada hora?
b)¿Cuál es la expresión del término general de la progresión que indica el número de litros de agua que quedan en el
camión cada hora?
c) ¿Cuántos litros contendrá el camión después de 6 h de abastecimiento a la población?
d)Para el total aprovechamiento del agua por parte de los vecinos, ¿es mejor que cada hora se extraiga la mitad del
contenido total del camión o que se saque la misma cantidad cada hora?
a)Se trata de una progresión aritmética de diferencia 0.
b)Para vaciar el camión en 8 h deben extraerse 750 L cada hora: an = 6 000 − 750(n − 1) = 6 750 − 750n
c) a6 = 6 750 − 750 ⋅ 6 = 2 250 L
d)Es mejor que se extraiga la misma cantidad cada hora porque así, al final de la jornada, el camión se vacía completamente.
Reflexiona
Miguel está buscando trabajo, y su amigo Mario le propone que entregue su currículo en el concesionario de la empresa de
camiones multimarca donde él está trabajando desde que empezó el año.
En enero le hicieron un contrato temporal por tres meses como comercial de ventas. Mario está cobrando una parte fija, a
la que hay que sumar una comisión por cada camión que consigue vender; sin embargo, Mario no recuerda las cantidades
exactas que acordó con la empresa.
Para que Miguel pueda tener más información, Mario le envía esta tabla con sus datos del primer trimestre.
Unidades didácticas 185
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
3 Investiga las condiciones del contrato.
a)La sucesión formada por el sueldo de cada mes ¿es una progresión aritmética o geométrica?
b)Determina la comisión que cobra Mario por cada camión vendido y calcula el sueldo fijo que recibe mensualmente.
c) Halla el término general de la progresión que indica el sueldo mensual según el número de camiones vendidos.
d)Si Mario consigue vender 20 camiones en el mes de marzo, ¿cuál será su sueldo?
e)Si contrataran a Miguel, ¿cuántos camiones tendría que vender para cobrar un sueldo superior a 2 600 €?
a)Es una progresión aritmética.
b)Calculamos la comisión que cobra de por cada camión vendido: a12 = a8 + 4d → 2 030 = 1 570 + 4d → d = 115 €
Hallamos el sueldo fijo mensual: a8 = a1 + 7d → 1 570 = a1 + 7 ⋅ 115 → a1= 765 €
c) an = 765 + 115(n − 1) = 115n + 650
d)a20 = 115 ⋅ 20 + 650 = 2 950 €
e)a17 = 115 ⋅ 17 + 650 = 2 605 €
Miguel tendría que vender 17 camiones como mínimo para superar los 2 600 €.
Trabajo cooperativo
Es una progresión geométrica de primer término de razón 2.
El dinero acumulado sería: Sn =
Unidades didácticas 5 ⋅ 2n − 5
2 −1
= 5 ( 2n −1) céntimos, siendo n el número de semanas.
186
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
Avanza. Interés compuesto
6
Sugerencias didácticas
Sucesiones
AVANZA
En esta sección se introducen los cálculos necesarios para
determinar los beneficios que se pueden obtener a partir
de los intereses que genera el dinero que depositamos en
una entidad bancaria.
Interés compuesto
Si depositamos una cantidad de dinero, C, en un banco durante un cierto tiempo a un interés compuesto del r %
anual, cada vez que se cumpla un año desde que dejamos el depósito obtendremos beneficios.
r
Al final del primer año:
C1 = C + C ⋅
Al final del segundo año:
C 2 = C1 + C1 ⋅
Transcurridos tres años:
C3 = C2 + C2 ⋅
100
⎛
r ⎟⎞
⎟
= C ⎜⎜⎜1+
⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
r
100
r
100
2
⎛
⎛
r ⎞⎟
r ⎞⎟
⎟ = C ⎜⎜1+
⎟
= C1 ⎜⎜⎜1+
⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
⎜⎝⎜ 100 ⎟⎟⎠
Tras cada período de capitalización, los términos de una
progresión geométrica permiten conocer la cantidad generada por el capital inicial y el interés acumulado.
3
⎛
⎛
r ⎟⎞
r ⎟⎞
⎟ = C ⎜⎜1+
⎟
= C 2 ⎜⎜⎜1+
⎜⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
Las cantidades obtenidas forman una progresión geométrica. Para obtener el capital acumulado por una cantidad
inicial, C, depositada en un banco a un interés compuesto anual o rédito del r % durante t años, aplicamos esta
fórmula:
t
⎛
r ⎞⎟
⎟
Cf = C ⎜⎜⎜1+
⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
Soluciones de las actividades
Por ejemplo, si una persona efectúa un depósito bancario de 10 000 € a un interés compuesto del 4 % anual y no
retira el capital ni los intereses hasta que no transcurren 7 años, ¿qué cantidad poseerá al cabo de ese período de
tiempo? ¿Cuáles habrán sido sus beneficios?
Aplicamos la fórmula anterior:
A1.Halla el capital acumulado por un cliente que deposita
20 000 € durante 3 años al 5 % de interés compuesto
anual. ¿Qué beneficios obtiene?
7
⎛
4 ⎞⎟
⎟ = 13 159,32 €
Cf = 10 000 ⎜⎜⎜1+
⎜⎝ 100 ⎟⎟⎠
Los beneficios son la diferencia entre el capital final obtenido y el capital inicial que se depositó:
B = 13 159,32 − 10 000 = 3 159,32 €
A1. Halla el capital acumulado por un cliente que
deposita 20 000 € durante 3 años al 5 % de interés
compuesto anual. ¿Qué beneficios obtiene?
CÁLCULO MENTAL
A2. Si obtenemos un capital acumulado de 12 100 €
durante 2 años a un interés del 10 %. ¿Cuánto
hemos depositado?
3
⎛
5 ⎞⎟
⎟⎟ = 23 152,50 €
Cf = 20 000 ⋅ ⎜⎜⎜1+
⎝ 100 ⎟⎠
Estrategia para SUMAR LOS CUBOS DE LOS PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
La suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al
cuadrado de la suma de los n primeros números naturales.
Los beneficios son: 23 152,50 − 20 000 = 3 152,50 €
2
13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n )
Como 1 + 2 + … + n =
1+ n
2
⋅ n. Podemos calcular la suma:
A2.Si obtenemos un capital acumulado de 12 100 € durante 2 años a un interés del 10 %. ¿Cuánto hemos
depositado?
20
2
⎛ 1 + n ⎞⎟
13 + 23 + … + n3 = ⎜⎜⎜
⋅ n ⎟⎟
⎟⎠
⎜⎝ 2
Por ejemplo, si nos fijamos en la figura, podemos comprobar que:
2
⎛ 1 + 4 ⎞⎟
13 + 23 + 33 + 43 = ⎜⎜⎜
⋅ 4 ⎟⎟ = 102 = 100
⎟⎠
⎜⎝ 2
CM1. Calcula la suma de los cubos de los 7 primeros
números naturales.
3
4 (1 · 12 + 2 · 22 + 3 · 32 + 4 · 42) = 202
⎛
10 ⎞⎟
⎟⎟ → C = 9 090,91 €
12 100 = C ⋅ ⎜⎜⎜1+
⎝ 100 ⎟⎠
CM2. Determina la suma de los cubos de los 12 primeros
números naturales.
116
Cálculo mental. Estrategia para sumar los cubos de los primeros números
naturales
Sugerencias didácticas
Como cierre de la unidad se plantea calcular la suma de los n primeros cubos de números naturales mediante una demostración visual de la fórmula.
Soluciones de las actividades
CM1.Calcula la suma de los cubos de los 7 primeros números naturales.
2
⎛8 ⎞
1 + 2 +  + 7 = ⎜⎜ ⋅ 7 ⎟⎟⎟ = 282 = 784
⎜⎝ 2 ⎟⎠
3
3
3
CM2.Determina la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales.
2
⎛ 13
⎞
1 + 2 +  + 12 = ⎜⎜⎜ ⋅12 ⎟⎟⎟ = 782 = 6 084
⎟⎠
⎝2
3
3
Unidades didácticas 3
187
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
6
Sucesiones
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas, y en caso afirmativo, determina su término
general.
a)5, 16, 27, 38, 49,…
c) 3, −3, 3, −3, 3,…
b)1, 16, 81, 256, 625,…
d)1, 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;…
a)Es una progresión aritmética: an = 5 + 11(n − 1) = 11n − 6
b)No es una progresión.
n–1
c) Es una progresión geométrica: an = 3 ⋅ ( −1)
d)Es una progresión geométrica: an = 1 ⋅ 101−n
2. Calcula el primer término y la diferencia de una progresión aritmética cuyo tercer término vale 13 y el séptimo término es
25. ¿Cuál es el término general de esta progresión?
a1 + 2d = 13 ⎫⎪⎪
⎬ → 4 d = 12 → d = 3 → a1 + 6 = 13 → a1 = 7
a1 + 6d = 25 ⎪⎪⎭
an = 7 ⋅ 3n−1
3. ¿Cuánto vale la suma de todos los números impares comprendidos entre 1 y 5 001?
5 001 = 1+ 2( n −1) → 2( n −1) = 5 000 → n −1 = 2500 → n = 2501
(1+ 5 001) ⋅ 2501
S2 501 =
= 6 255 001
2
4. Calcula el primer término y la razón de la progresión geométrica cuyo segundo término vale 18 y el quinto término es 486.
¿Cuánto vale la suma de los 10 primeros términos de esta progresión?
⎪⎫⎪
18
18 4
→
⋅ r = 486 → r 3 = 27 → r = 3 → a1 = 6
⎬ → a1 =
⎪
a1 ⋅ r = 486 ⎪⎭
r
r
10
6⋅3 −6
S10 =
= 177144
3 −1
a1 ⋅ r = 18
4
5. Interpola tres términos geométricos entre 32 y
1
8
= 32 ⋅ r 4 → r 4 =
1
256
→r =±
1
8
.
1
4
1
1
→ a1 = 32, a2 = −8, a3 = 2, a4 = − , a5 =
4
2
8
1
1
1
❚❚ Si r =
→ a1 = 32, a2 = 8, a3 = 2, a4 = , a5 =
4
2
8
❚❚ Si r = −
Unidades didácticas 1
188
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sucesiones
6
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
1. Escribe los cinco primeros términos de la sucesión que cumple xn+1 = 2xn − 1 y x1 = 2. ¿Cuál es su término general?
x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 9, x5 = 17
an = 2n−1 + 1
2. Calcula los términos que faltan en las siguientes progresiones aritméticas.
a)§, §,
a)
1
4
, §, §, 3
3
b)§; 8; §; §; 7,1; §
1 ⎪⎫⎪
⎪
3 ⎪⎪ → 3d = 1 → d = 1 → a + 2 = 1 → a = − 1
⎬
1
1
4⎪
3 3
3
3
a1 + 5d = ⎪⎪⎪
3 ⎪⎭
a1 + 2d =
1
1 2
4
− , 0, , , 1,
3
3 3
3
⎫⎪
⎪⎬ → 3d = −0,9 → d = −0,3 → a − 0,3 = 8 → a = 8,3
1
1
a1 + 4 d = 7,1⎪⎪⎭
8,3; 8; 7,7; 7, 4; 7,1; 6,8
b) a1 + d = 8
3. Los padres de un niño le compran cada semana un cromo más que la anterior. ¿Cuántos le compraron la primera semana
de enero sabiendo que en las 52 semanas de que consta el año le regalaron 1 482 cromos?
1 482 =
( a1 + a52 ) ⋅ 52
2
→ 2964 = ( a1 + a1 + 51) ⋅ 52 → 57 = 2a1 + 51 → 2a1 = 6 → a1 = 3 cromos
4. En un parking, la primera hora de estacionamiento cuesta 0,30 €. Por cada hora de permanencia, el usuario debe abonar
el doble de lo cobrado la hora anterior. ¿Cuánto debe pagar un conductor que deja su coche a las once de la mañana y
lo recoge a las seis de la tarde?
an = 0,3 ⋅ 2n−1
S7 =
19,2 ⋅ 2 − 0,3
2 −1
= 38,10 €
5. Si unimos los puntos medios de los lados de un cuadrado, cuyo lado mide 4 m, obtenemos otro cuadrado. Calcula la suma
de las áreas de todos los cuadrados que se pueden obtener repitiendo el mismo procedimiento indefinidamente.
La sucesión de las áreas de los cuadrados es: 16, 8, 4, 2,…
S=
16
1−
1
2
Unidades didácticas =
16
1
= 32 m2
2
189
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO