Ejercicio oligopolio. Elasticidad constante

4.- Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
1
homogéneo. La función inversa de demanda es p ( x) = A b x
−
1
b
y todas las empresas
tienen el mismo coste marginal constante, c > 0 (no hay costes fijos). (Nota: la función
−b
directa de demanda es x ( p ) = Ap )
(a) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio (simétrico) de Cournot-Nash,
la producción de la industria y el precio de equilibrio.
(b) ¿Cuáles son la producción y el precio de monopolio en este mercado? Considere el
acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de monopolio) ¿Qué
cantidad produciría cada empresa si todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el
acuerdo de colusión simétrico no se puede sostener como equilibrio.
(a) Contexto modelo de Cournot: n empresas que producen un bien homogéneo tienen
que elegir simultáneamente sus niveles de producción (competencia en cantidades).
(i) Representación del juego en forma normal
1) i = 1,2,..., n. (Jugadores)
2) xi ≥ 0. De manera equivalente, xi ∈ [0, ∞ ), i = 1, 2,.., n.
3) La ganancia que obtiene cada empresa dada la combinación de estrategias ( xi , x− i )
es: Π i ( xi , x− i ) = p ( xi + x− i ) xi − Ci ( xi ), i = 1, 2,..., n.
x
La forma de representar el juego en forma normal ha variado ligeramente. Dada la
combinación de estrategias ( x1 , x2 ,..., xn ) lo relevante para la empresa i, i = 1, 2,..., n,
es la cantidad total producida por el resto de las empresas, x− i =
∑x .
j ≠i
j
Por tanto,
( xi , x− i ) no es realmente una combinación de estrategias y Π i ( xi , x− i ) sería el
beneficio asociado a toda combinación de estrategias en la que la empresa i está
1
produciendo xi y el resto de empresas en agregado producen x− i (siendo irrelevante
para la empresa i cómo se distribuye la producción x− i entre las n - 1 empresas).
(ii) Noción de equilibrio. Funciones de mejor respuesta. Equilibrio Cournot-Nash
En el juego de oligopolio de Cournot diremos que
“ ( x1 , x2 ,.., xn ) ≡ ( xi , x−i ) es un equilibrio de Cournot-Nash si:
*
*
*
*
*
xi* = f i ( x−* i ), ∀i, i = 1,2,.., n. ”
Donde fi ( x− i ) es la función de mejor respuesta de la empresa i ante todas aquellas
combinaciones de estrategias de las demás empresas cuya producción total sea x− i .
Vamos a obtener la mejor respuesta de la empresa i ante todas aquellas combinaciones
de estrategias de las demás empresas cuya producción total sea x− i . La mejor respuesta
de la empresa i consistirá en elegir una estrategia xi tal que:
max Π i ( xi , x− i ) ≡ p ( xi + x− i ) xi − Ci ( xi )
xi ≥0
∂Π i
= p ( xi + x−i ) + xi p ' ( xi + x−i ) − Ci' ( xi ) = 0 → fi ( x− i )
∂xi
1
b
= A ( xi + x− i )
−
1
b
b +1
−(
)
1 1b
+ xi [− A ( xi + x− i ) b ] − c = 0 (1) → fi ( x− i )
b
∂ 2Π i
= 2 p ' ( xi + x− i ) + xi p '' ( xi + x− i ) − Ci'' ( xi ) < 0.
2
∂xi
Teniendo en cuenta la restricción de no negatividad, xi ≥ 0 , o en términos de teoría de
juegos que la mejor respuesta debe pertenecer al espacio de estrategias del jugador, la
{
}
función de mejor respuesta será: fi ( x− i ) = max fi ( x− i ),0 .
El
equilibrio
de
Cournot-Nash
es
una
combinación
de
estrategias
( x1* , x2* ,.., xn* ) ≡ ( xi* , x−* i ) tal que xi* = f i ( x−* i ), ∀i, i = 1,2,.., n. ”
2
3 formas alternativas de obtener las producciones de equilibrio:
(I) CPO + Equilibrio simétrico
Como el producto es homogéneo y todas las empresas tienen el mismo coste marginal
entonces el equilibrio de Cournot-Nash es simétrico: xi = x , i = 1,.., n. Dado que la
*
*
producción de cada empresa debe ser su mejor respuesta ante las producciones de
equilibrio de las demás empresas podemos obtener la producción de equilibrio de la
CPO para la empresa i:
1
b
A (x + x )
*
i
*
−i
−
1
b
b +1
−(
)
1 1b *
*
+ x [− A ( xi + x− i ) b ] − c = 0.
b
*
i
En el equilibrio simétrico xi = x y x− i = ( n − 1) x . Por tanto,
*
1
b
*
*
A (nx )
1
b
−
1
b
−
1
b
*
*
b +1
−(
)
1 b1
*
+ x [− A (nx ) b ] − c = 0,
b
*
*
A (n) ( x )
−
1 b1 − ( bb+1) * − b1
− A ( n)
( x ) − c = 0,
b
1
b
1
b
−
1
b
*
−
1
b
1
] − c = 0,
bn
1
b
−
1
b
*
−
1
b
bn − 1
] − c = 0,
bn
A (n) ( x ) [1 −
A (n) ( x ) [
*
(x )
−
1
b
−
1
b
= A ( n)
1
b
bn
c,
bn − 1
−b
−b
 − b1 1b bn 
A  bn  − b
x =  A ( n)
c = 
 c .
bn − 1 
n  bn − 1 

*
La producción agregada sería:
−b
 bn  − b
x = nx = A 
 c
 bn − 1 
*
*
3
y el precio de Cournot:
1
b
p * = p ( x* ) = A ( x* )
−
1
b
  bn  −b − b 
= A  A
 c 
  bn − 1 

−
1
b
1
b
 bn 
=
 c.
 bn − 1 
(II) Sumando CPO + Equilibrio simétrico
En equilibrio se tiene que cumplir la condición de primer orden de cada una de las
empresas (solución interior):
p ( xi* + x−* i ) + xi* p ' ( xi* + x−* i ) − c = 0 i = 1,2.., n.
x*
Sumando las n condiciones de primer orden:
n
np ( x ) + ∑ xi* p ' ( x* ) − nc = 0.
i =1
*
x*
Es decir:
np ( x* ) + x* p ' ( x* ) − nc = 0.
Por tanto
1
− 1
− ( b +1 ) 
 1 1
n A b ( x* ) b + x*  − A b ( x* ) b  − nc = 0,
b 

p ( x* )
p ' ( x* )
1
nA b ( x* )
−
1
b
−
1 b1 * − b1
A ( x ) − nc = 0,
b
1
1
− 1
A b ( x* ) b (n − ) = nc,
b
( x* )
−
1
b
=A
− b1
−b
b
nc,
bn − 1
−b
 −1 b

 bn  − b
x =A b
nc  = A 
 c .
bn − 1 

 bn − 1 
*
4
En el equilibrio simétrico
−b
x* A  bn  − b
x = = 
 c , i = 1,.., n.
n n  bn − 1 
*
i
y
1
b
p * = p ( x* ) = A ( x* )
−
1
b
  bn  −b − b 
= A  A
 c 
  bn − 1 

−
1
b
1
b
 bn 
=
 c.
 bn − 1 
(III) Índice de Lerner + Equilibrio simétrico
Suponiendo que la solución es interior vamos a transformar la condición (1) hasta
obtener el Índice de Lerner de poder de mercado.
p ( xi* + x−* i ) + xi* p ' ( xi* + x−* i ) − Ci' ( xi* ) = 0,
x*
p ' ( x* )
p ( x )[1 + x
] − Ci' ( xi* ) = 0,
*
p( x )
*
*
i
xi* x* p ' ( x* )
p ( x )[1 + *
] − Ci' ( xi* ) = 0.
*
x p( x )
*
−
1
ε ( x* )
xi*
Definiendo la cuota de mercado de la empresa i como si = * obtenemos:
x
p ( x* )[1 −
si
] − Ci' ( xi* ) = 0.
*
ε (x )
Luego el Índice de Lerner de poder de mercado de la empresa i queda
p ( x* ) − Ci' ( xi* )
si
=
.
p ( x* )
ε ( x* )
5
xi* x * 1
En el equilibrio simétrico si = * =
= , i = 1,.., n. Dado que la elasticidad de
x nx * n
la demanda es constante y que el coste marginal es también constante, el índice de
Lerner es:
p* − c 1
=
p*
nb
y por tanto
p* (1 −
1
bn
) = c ⇒ p* =
c.
nb
bn − 1
La producción total de equilibrio es:
−b
 bn  − b
x = x( p ) = A( p ) = A 
 c
 bn − 1 
*
*
* −b
y en el equilibrio simétrico cada empresa produce:
−b
x* A  bn  − b
x = = 
 c , i = 1,..n.
n n  bn − 1 
*
i
(ii) Podemos obtener la producción y el precio de monopolio de muchas formas
alternativas. Pero conocemos que el Índice de Lerner para un monopolista es:
pm − c 1
= .
pm
b
Por tanto, el precio y la producción de monopolio son (siempre que b > 1 para que se
cumplan las C.2.O):
1
b
p m (1 − ) = c ⇒ p m =
c
b
b −1
y
x m = A( p m ) −b = A(
b −b − b
) c .
b −1
6
Acuerdo de colusión simétrico
x m A b − b −b
x =
= (
) c , i = 1,.., n.
n n b −1
m
i
Para mostrar que el acuerdo de colusión simétrico no se sostiene como equilibrio de
Nash, es mejor hacer un razonamiento general.
La condición que define el acuerdo de colusión (la combinación de estrategias que
maximiza el beneficio agregado) sería:
p ( xim + x−mi ) + ( xim + x−mi ) p ' ( xim + x−mi ) − Ci' ( xim ) = 0 i = 1,.., n.
m
m
Para comprobar cómo la combinación de estrategias ( x1 ,.., xn ) no es un equilibrio de
Nash calculamos el beneficio marginal de la empresa i:
∂Π i ( xim , x−mi )
= p ( xim + x−mi ) + xim p ' ( xim + x−mi ) − Ci' ( xim ) = − x−mi p ' ( xim + x−mi ) >0.
∂xi
<0
Definición de acuerdo de
colusión.
Luego partiendo del acuerdo de colusión un aumento en la producción eleva el
beneficio de la empresa i, y por tanto la empresa i tendría incentivos a romper el
acuerdo de colusión. Visto de otra forma, dada la definición de función de mejor
∂Π i ( f i ( x−mi ), x−mi )
∂Π i ( xim , x−mi )
respuesta
= 0 y por tanto como
>0 entonces
∂xi
∂xi
fi ( x−mi ) > xim .
7