matemáticas i - Repositorio CB
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COLEGIO DE BACHILLERES
SECRETARÍA ACADÉMICA
COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN
ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO
COMPENDIO FASCICULAR
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN
AL ALGEBRA
FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD
DEL
LENGUAJE
ALGEBRAICO: EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
FASCÍCULO 3. ECUACIONES: MODELOS
GENERALIZADORES
DIRECTORIO
Roberto Castañón Romo
Director General
Luis Miguel Samperio Sánchez
Secretario Académico
Héctor Robledo Galván
Coordinador de Administración
Escolar y del Sistema Abierto
Derechos reservados conforme a la Ley
© 2000, COLEGIO DE BACHILLERES
Prolongación Rancho Vista Hermosa núm. 105
Col. Ex Hacienda Coapa
Delegación Coyoacán, CP 04920, México, D.F.
ISBN 970-632-202-7
Impreso en México
Printed in México
Primera edición:3000
PRESENTACIÓN GENERAL
El Colegio de Bachilleres en respuesta a la inquietud de los estudiantes por contar con
materiales impresos que faciliten y promuevan el aprendizaje de los diversos campos del
saber, ofrece a través del Sistema de Enseñanza Abierta este compendio fascicular;
resultado de la participación activa, responsable y comprometida del personal académico,
que a partir del análisis conceptual, didáctico y editorial aportaron sugerencias para su
enriquecimiento y así aunarse a la propuesta educativa de la Institución.
Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa del Sistema de Enseñanza Abierta a
sumarse a este esfuerzo y utilizar el presente material para mejorar su desempeño
académico.
P RE S E NTACI Ó N DE L CO M P E NDI O FAS CI CULAR
.
Estudiante del Colegio de Bachilleres te presentamos este compendio fascicular que
servirá de base en el estudio de la asignatura “Matemáticas I” y funcionará como guía en
tu proceso de Enseñanza-Aprendizaje.
Este compendio fascicular tiene la característica particular de presentarte la información
de manera accesible, propiciando nuevos conocimientos, habilidades y actitudes que te
permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social.
Cuenta con una presentación editorial integrada por fascículos, capítulos y temas que te
permitirán avanzar ágilmente en el estudio, comprensión y aplicación de los diferentes
métodos y lenguajes matemáticos, enfocados al estudio y solución de fenómenos o
problemas, así como en el descubrimiento de la utilidad de las matemáticas para
conocimiento de la realidad.
COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL
ÁLGEBRA
Autores: Raúl E. de la Rosa Macías
Ma. Guadalupe Lucio
Javier Páez
Alejandro Rosas Snell
Juan Zúñiga Contreras
1
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
5
SIMBOLOGÍA
7
CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL
ÁLGEBRA
9
PROPÓSITO
11
1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES
13
1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
13
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON
NÚMEROS DE DIFERENTES SISTEMAS
19
1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y
ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS REALES (R )
23
1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z )
1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q )
31
41
1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES (Q’ )
55
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
59
3
RECAPITULACIÓN
66
ACTIVIDADES INTEGRALES
67
AUTOEVALUACIÓN
69
CAPÍTULO 2. DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
71
PROPÓSITO
73
2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS
75
2.1.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR
2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES
2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES
2.2 MODELOS ALGEBRAICOS
76
80
87
93
RECAPITULACIÓN
102
ACTIVIDADES INTEGRALES
103
AUTOEVALUACIÓN
104
RECAPITULACIÓN GENERAL
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
106
107
AUTOEVALUACIÓN
111
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
114
GLOSARIO
115
116
4
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
INTRODUCCIÓN
La Aritmética, como elemento de la cultura matemática se desarrolló a partir de la
necesidad de operar con números, si bien es imposible establecer con exactitud el
momento en el cual esta necesidad se generalizó podemos afirmar que, en la actualidad,
una gran parte de las disciplinas científicas y de las actividades cotidianas tiene que ver
con el conocimiento matemático, por lo menos en sus aspectos básicos, sólo por
mencionar algunos ejemplos: en el cálculo de áreas, si queremos construir una casa, en
los estados financieros y contables de las empresas, en las estadísticas de distintos
fenómenos, en la información periodística, de noticias en la radio y televisión, etc.
Al plantear las reflexiones anteriores, nos introducimos al desarrollo de algunos métodos,
algoritmos y procedimientos que nos permite comprender la importancia de adquirir un
nivel eficaz de operatividad con los números, para facilitar así la resolución de problemas
aritméticos y algebraicos, para este fascículo se estudiará. En el primer capítulo una
breve semblanza sobre el origen de algunos sistemas de numeración, además
aprenderás a desarrollar la operatividad de los números reales con signos de agrupación
con base enlas experiencias que tienes sobre el conocimiento y manejo de las
operaciones fundamentales de la aritmética.
En el segundo capítulo estudiarás Métodos Aritméticos y Algebraicos que te ayudarán en
la solución de problemas.
A continuación encontrarás un diagrama temático estructural cuya función es que
conozcas e identifiques los puntos que vas a estudiar.
5
NÚMEROS REALES
para resolver operaciones
APLICANDO LAS
PROPIEDADES DE CAMPO
SUPRIMIENDO SIGNOS DE
AGRUPACIÓN
y resolver
PROBLEMAS
ARITMÉTICOS
para generalizar
LOS MODELOS
ALGEBRAICOS
6
SIMBOLOGÍA
A continuación se enlistan los símbolos que vas a utilizar para este fascículo:
FR = Conjunto de números reales
Q = Conjunto de los números racionales
Q= Conjunto de los números irracionales
Z = Conjunto de los números enteros
Z+= Conjunto de números enteros positivos
Z-= Conjunto de números enteros negativos
IN = Conjunto de los números naturales
7
8
CAPÍTULO 1
ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES
1.1.1 Orígenes de Algunos Sistemas de Numeración
1.1.2 Métodos y Algoritmos para Operar con Números de
Diferentes Sistemas.
1.1.3 Propiedades de las Operaciones y Algoritmos de los
Números Reales (R )
1.1.4 Los Números Enteros (Z )
1.1.5 Los Números Racionales (Q )
1.1.6 Los Números Irracionales (Q’)
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
9
10
PROPÓSITO
Con el estudio de este capítulo operarás con los números reales y aplicarás las
propiedades de sus operaciones que ya conoces.
¿QUÉ APRENDERÁS?
A identificar métodos, técnicas y procedimientos
que te faciliten resolver problemas de carácter
numérico.
¿CÓMO LO LOGRARÁS?
Por medio de un breve bosquejo histórico del
surgimiento de algunos sistemas numéricos y su
relación con la necesidad de contar y medir que la
humanidad ha enfrentado, además conocer las
características principales de estos sistemas nos
permitirá observar las ventajas de utilizar el
sistema decimal para presentar y operar con los
números reales.
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Para resolver operaciones con mayor rapidez y
eficacia, esto con la finalidad de que reflexiones
acerca del uso de las propiedades de las
operaciones, como éstas que simplifican el trabajo
operativo, y además nos permiten establecer
algoritmos. También desarrollarás habilidades
que te ayudarán a iniciar el estudio del álgebra.
11
12
CAPÍTULO 1
ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES
En este tema estudiarás las principales características de algunos sistemas numéricos
como: El egipcio, el romano, el maya y el decimal, así como algunos métodos y
algoritmos para ejercitar las propiedades de los números reales y la elaboración de
operaciones con el conjunto de los números enteros, racionales, irracionales y reales.
1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMÉRICOS
¿Te has preguntado alguna vez cuántas operaciones aritméticas has realizado desde
que ingresaste a la escuela primaria?, o más fácil, ¿cuántas habrás hecho durante este
día? Quizá te parezca ocioso calcular. ¿Cuántas veces late nuestro corazón durante
nuestra vida? o, ¿cuántos Kilómetros habremos recorrido desde que aprendimos a
caminar? y ¿cuántas preguntas hemos planteado en este párrafo?
Es extraño para ti que un escrito comience con tantas preguntas; en realidad lo que
pretendemos es que reflexionemos juntos acerca de que el proceso de operar con
números, aun sin darnos cuenta, forma parte de nuestra experiencia diaria.
Los símbolos numéricos que conoces y utilizas en tu vida diaria surgieron, en primera
instancia, como una necesidad de expresar cantidades, así como las palabras expresan
objetos o ideas.
13
Para ello el hombre utilizó símbolos muy rudimentarios como marcas en troncos de
árboles o sobre bastoncillos, cuerdas con nudos, etc.; el manejo de estos símbolos fue
inoperante por ejemplo: para representar el 10 lo hacían de la siguiente manera (IIIIIIIIII)
o agrupaban (|||| |||| ).
Al enfrentar la necesidad de representar con pocos símbolos un mayor número de
objetos hizo posible el surgimiento de los sistemas de numeración.
1o. Contar y medir Expresar con símbolos
Los sistemas de numeración de la antigüedad más conocidos fueron el egipcio (a base
de punto y rayas), el romano (que utilizaba signos en forma de cuña o cuneiformes) y el
maya (con puntos y rayas), de los cuales te damos algunos ejemplos en el siguiente
cuadro.
Indo-arábigo
Egipcio
Griego
Maya
Romano
I
1
2
II
3
III
4
IV
__
V
F
.
VI
..
VII
...
VIII
....
IX
5
6
7
8
III
II
III
III
IIII
III
IIII
IIII
9
10
X
100
P
C
En el sistema maya, como se observa en el cuadro, cada símbolo representa un valor y
de éstos se conservan dos características importantes: primero el valor que representa el
símbolo y, segundo, el agrupamiento de los símbolos, para denotar cantidades mayores;
ejemplos:
En el sistema maya se agrupaba en forma vertical así
cinco
y uno para obtener
seis
en esta forma de agrupar se suman los valores de los símbolos.
14
Numerales indoarábigos:
Los símbolos numéricos que utilizamos actualmente se originaron en la India, pero se
atribuye a los árabes su difusión por Europa, por lo cual se le conoce con el nombre de
sistema indoarábigo. Originalmente el sistema hindú contaba con los dígitos del uno al
nueve, pues el concepto de cero apareció mucho después; sólo dos culturas antiguas
denotaron al cero con un símbolo especial: el maya y la hindú, ésta última utilizó un
símbolo llamado Sunya para expresar lugares vacíos; los árabes tradujeron la palabra
Sunya por Sifer, la cual al ser latinizada cambió a Céfiro, de donde se originó la palabra
Cero.
Actualmente, el sistema indoarábigo que se utiliza usa diez símbolos (dígitos) para
representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos dígitos se combinan en un
sistema posicional para representar cualquier cantidad; esto quiere decir que se le asigna
un valor al dígito según la posición que ocupa, y, viceversa, por la posición del dígito se
sabe cuántas unidades, decenas, centenas, etc., contiene la cantidad representada por
un número.
Además del valor que se le asigna a un dígito, este sistema (indoarábigo) se caracteriza
por agrupar de diez en diez; en este sentido, 10 unidades forman una decena, 10
decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así,
sucesivamente; por esta razón se dice que nuestra numeración es decimal o de base 10
y posicional.
Otros sistemas existentes son: sistema binario o de base 2, sistema de base 4, 5, 7. . . . .
En el siguiente ejemplo veremos cómo se le asigna valor a un dígito según su posición.
El número 5555 está formado por un mismo símbolo en diferentes lugares; es
decir, tiene 5 unidades, 5 decenas, 5 centenas y 5 unidades de millar.
5 5 5 5
5x1
5 x 10
5 x 100
5 x 1000
=
5
=
50
= 500
= 5000
total = 5555 = 5000 + 500 + 50 + 5.
Usualmente los números naturales se escriben representados en esta forma
4375, 408, 59. Si nos preguntamos, ¿realmente qué significa 4375?, lo averiguaremos al
leer el número así:
cuatro mil trescientos setenta y cinco.
Este número 4375 puede escribirse en forma desarrollada:
4375 = 4 x 1000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 5 ó bien 4375 = 4000 + 300 + 70 + 5.
15
La posición del 4 indica que se le asocia un valor de 4000 unidades, la del 3 indica
300 unidades, el 7, 70 unidades, y el 5, 5 unidades.
Esta última forma puede simplificarse aún más si se emplean exponentes para escribir
los múltiplos de 10; por ejemplo:
1000
= 10 x 10 x 10 = 103
100
= 10 x 10 = 102
10
4375
= 101
= 4 x 103 + 3 x 102 + 7 x 101 + 5 x
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Escribe los siguientes números en forma desarrollada
8427
47531
6541
19479
En los siguientes ejemplos se presenta una cantidad y su organización en unidades,
decenas y centenas.
236
6
=6
3 x 10 = 30
2 x 100 = 200
236
1269
9
6 x 10
2 x 100
1 x 1000
16
=
9
= 60
= 200
=1000
1269
Observa la siguiente operación
+
1235
987
2222
(1 x 1000) + (2 x 100) + (3 x 10) + 5
(0 x 1000) + (9 x 100) + (8 x 10) + 7
(1 x 1000) + (11 x 100) + (11 x 10) + 12
1000
+ 1100 + 110
+ 12 = 2222
Observa que el dígito 2 tiene distintos valores según su posición, por ejemplo, el segundo
de izquierda a derecha representa dos centenas.
Una vez que se llegó a la utilización de símbolos para representar números se pudo
operar con ellos; pensamos que la necesidad del hombre para calcular es antiquísimo.
Los cálculos más complejos practicados por el hombre primitivo eran, al parecer, los
destinados a señalar el paso de los días y meses.
2o. Calcular Operar con números
En algunos sistemas de numeración aparecen las operaciones de la multiplicación y la
adición, pero no en todos se puede operar fácilmente, como se observa en el siguiente
ejemplo:
Suma
CMXCVIII
CCXXV__
MCCXXIII
Si no lo lograste prueba con la utilización de los números que conoces
998
+ 225
El sistema de numeración egipcio tiene como características el sistema de base 10 y
cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces y escribirse en columna de derecha a
izquierda, además no es posicional. Para multiplicar los egipcios utilizaban otro
procedimiento. Este procedimiento apareció en un papiro que compró en 1858, en
Egipto, Alexander Henry Rhind 1833-1863, por lo que se llama “Papiro de Rhind”, en el
cual se explica que la multiplicación se efectúa por duplicaciones sucesivas.
17
Hagamos el siguiente ejemplo para mostrar este procedimiento:
Multipliquemos 19 por 7. multiplicando por multiplicador
Los egipcios solían tomar el número mayor (multiplicando) y duplicarlo sucesivamente
(19 + 19 = 38;. 38 + 38 = 76); por otra parte, para el número menor se toma la unidad y
se duplica sucesivamente (1 + 1 = 2 2 + 2 = 4), posteriormente procedían a sumar, es
decir:
Sumar los números de
1
base 2 y sumarlos hasta
2
obtener el valor del multiplicando 4
7
19 + 19 Se suman los correspondientes
38 + 38 del multiplicando para obtener
76
el resultado.
133
Observa que los números que sumamos son aquellos con los que se obtiene el menor
elemento de la multiplicación el multiplicador; como en este caso el menor es el 7
sumamos 1 + 2 + 4 = 7. La marca se utilizó para designar estos elementos.
Realicemos la siguiente multiplicación por duplicación; multiplica 17 por 5:
+
+
1
2
4
5
17
34
68
85 total
17
68
85
Observa que los números que se deben sumar son los que tienen marca ¿Cómo
harías para colocar las marcas?
Utilicemos nuevamente este procedimiento para multiplicar 27 por 22:
1
2
4
8
16
22
27
54
+ 108
216
432
594 total
54
108
432
594
Para que aclares posibles dudas y te familiarices con este procedimiento, realiza las
siguientes operaciones de multiplicación por duplicación.
multiplica 36 por 8
multiplica 41 por 5
multiplica 75 por 7
multiplica 43 por 9
multiplica 68 por 1
multiplica 79 por 6
18
Si te interesan estos tipos de multiplicación, se te sugiere investigar el método llamado
Multiplicación por Mediación y Duplicación, también utilizado por los egipcios. (Consulta
la bibliografía).
¿Te das cuenta de la ventaja que tiene utilizar sistemas de numeración posicional?
Esto nos ha permitido desarrollar métodos para facilitar operaciones, por ejemplo:
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza la siguiente operación
+
123456789
987654321
123456789
987654321
2
. ¿Por qué empezaste a sumar por el lado derecho?
. ¿Qué hiciste con los números que “llevabas”?
. ¿Qué características tiene el resultado?
. ¿Recuerdas qué significa el valor posicional?
Ahora que conoces algunas características del sistema decimal, enfocaremos nuestra
atención en algunos algoritmos y métodos que facilitan las operaciones.
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON NÚMEROS DE DIFERENTES
SISTEMAS
a) Algoritmo de la Adición
Tomemos por ejemplo la operación siguiente: Notación desarrollada.
28 = 20 + 8 = 2 decenas + 8 unidades
1
Ponemos 7 y (Llevamos 1,
+ 9 =
9 =
9 unidades
28
porque convertimos 10
= 20 + 17 = 2 decenas +17 unidades + 9
unidades a una decena)
sumamos unidades
37
= 20 + (10 + 7)
= (20 + 10) + 7
= 30 + 7 37 = 3 decenas + 7 unidades
19
En el ejemplo anterior mostramos el hecho de llevar una decena. Este método se aplica
cuando llevamos centenas, millares, etcétera.
Observa el siguiente ejemplo:
1
+
+
57
64
121
57
64
=
=
5 decenas
6 decenas
+
+
=
11 decenas
+
121
=
=
=
7 unidades
4 unidades (Recuerda que 10
unidades son una decena y que
11 unidades 10 decenas son una centena)
(1 centena + 1 decena) + (1 decena + 1 unidad)
1 centena + (1 decena + 1 decena) + 1 unidad
1 centena + 2 decenas + 1 unidad = 121
Así como existe un algoritmo para sumar se ha desarrollado uno para multiplicar.
b)
Algoritmo de la multiplicación
Realiza la siguiente multiplicación:
Método de Scaciero
8
2
5
4
0
8 x 5 = 40
1
6
0
8 x 20= 160
2
0
0
25
x 8
Total
Seguramente multiplicaste 8 x 5, anotaste el 0 y llevaste 4, después multiplicaste 8 x 2 y
al resultado le sumaste el 4 que llevabas
4
x
25
8
200
20
Analiza el siguiente ejemplo:
x
69
25
345
1380
1725
= 5 x 69
= 20 x 69
= (20 + 5) x 69
. ¿Por qué cuando multiplicamos la segunda cantidad dejamos un espacio al
principio?
. ¿Por qué tomamos el número de abajo para multiplicar el de arriba?
. ¿Por qué iniciamos de derecha a izquierda?
. ¿Qué pasará si invertimos las cantidades de la operación?
x
25
69
Realiza esta multiplicación igual que el procedimiento anterior.
Así como existe un algoritmo para sumar y multiplicar existe uno específico para
dividir. ¿Lo recordarás?
Podemos concluir que:
Algoritmo: Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una operación.
La palabra algoritmo es una deformación de ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre
matemático árabe que vivió en el siglo IX a.C. y que fue el primero que manejó estos
procedimientos.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Ahora que conoces el algoritmo de la suma, ¿podrías encontrar un método eficaz para
encontrar el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales
1+2+3´+....+98+99+100=? Seguramente lo primero que se te ocurre pensar es, ¡qué
suma tan grande!, pero trata de resolverla y luego lee la siguiente anécdota:
En una pequeña escuela de Brunswick, Alemania, en 1785, asistía un niño de ocho años
de edad, Carlos F. Gauss, discípulo del maestro Büttner. Cierto día en que el maestro
deseó tomarse un buen descanso, pensó tener a sus alumnos ocupados en realizar un
problema bastante laborioso, como el de obtener la suma de los 100 primeros números
naturales.
21
No había transcurrido ni tres minutos cuando, con sorpresa no muy agradable, Büttner
fue interrumpido por el pequeño Gauss, quien le informó haber terminado. El resultado
es 5050; el profesor tuvo que aceptar que el resultado era correcto. ¿Cuál fue el método
empleado por Gauss? pon atención:
Gauss observó que el primer número más el último dan 101; que el segundo número
más el penúltimo dan 101; que el tercero más antepenúltimo dan 101:
ALGORITMO
1 + 2 + 3 + 4 ....... ..... + 97 + 98 + 99 + 100
1 + 100 =
2 + 99 =
3 + 98 =
101
101
101
101. . . .
Se formarían así, reflexionó Gauss, cincuenta de esas parejas cuyas suma es 101, por lo
que la suma pedida se obtiene con una simple multiplicación del valor de la suma por el
número de parejas formados (101 x 50 = 5050).
Con los conocimientos aritméticos adquiridos hasta el momento ya puedes resolver
problemas más complicados. Se te sugiere resuelvas los siguientes problemas:
¿Puedes obtener el número mayor que se escribe, si usas tres veces la cifra 2 sin utilizar
signos aritméticos?
Para saber cuál es el número mayor que utiliza tres dígitos 2, pensaremos ¿cuál
será la disposición adecuada para hallar este número? ¿Qué te parece si lo
anotamos de la siguiente manera (22)2 el resultado es (22)2 = 24 = 16. También
podemos escribir 222 ó 222(222 = 484), pero el mayor número lo obtendremos con
la disposición 222(222 = 4194,304)
En el ejemplo anterior observamos claramente que para obtener el número mayor deben
anotarse los números (2) en la forma 222, ¿ocurriría lo mismo si tuviéramos tres dígitos
9? Para contestar esta pregunta, apoyémonos en el ejemplo anterior:
(99)9 = 981 = 1.966270505 x 1077
ahora 999(9.1351725 x 1017) ó 999(2.9512665 x 1094)
¿Te das cuenta que el número mayor se obtiene con la disposición 999?
22
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios:
Usa tres dígitos 3 y escribe el número mayor que puedas obtener:
(33)3 =
Utiliza tres dígitos 4 y escribe el número mayor que puedas obtener:
(44)4 =
Para resolver estos problemas necesitaste utilizar algunas características de los números
reales; a estas características se les llama propiedades.
1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS
REALES (R)
Los Números Naturales (N)
Uno de los conjuntos de números que conoces es el conjunto de los números naturales
(N = 1,2,3,...). Este conjunto de números ha sido muy importante para la humanidad, los
primeros 10 los puedes encontrar en los dedos de tus manos. Ver figura 1.
Figura 1. He aquí la calculadora de menor costo para principiantes .
23
Recuerda que los algoritmos permiten realizar las operaciones con números.
¿Cómo se multiplica cualquier número por 10?
Observa los siguientes ejemplos:
4 x 10 = 40
3891 x 10 = 38910
Para multiplicar un número por 10 solamente es necesario anotar un cero a la derecha
del número; comprobemos que esto es cierto mediante el algoritmo de la operación 26 x
10 = 260.
Comprueba este algoritmo y utiliza las propiedades.
Forma desarrollada:
26 x 10 = (20 + 6) x 10 notación desarrollada
= (2 x 10 x 10) + (6 x 10) propiedad distributiva
= (2 x 100 ) + (6 x 10) = propiedad asociativa
= 260 notación posicional
Ahora intenta sumar los primeros 10 números naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
¿Recuerdas el método de Gauss?
Solución:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
11
11
11
11
11
11 X 5 = 55
¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales pares?
24
Solución:
2 +4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 +18 + 20 + 22 + 24
26
26
26
26
26
26
26 x 6
Solución:
=
=
=
(20 + 6)6
120 + 36
156
¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales impares?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
1 + 23
=
24
3 + 21
=
24
.
.
.
.
11 + 13
=
24
24 x 6 = (20 + 4) · 6 = 120 + 24 = 144
En los ejemplos anteriores observaste que el método de Gauss para la suma de números
naturales es una herramienta útil para calcular el resultado y también viste que existen
números naturales pares e impares.
Recuerda que el conjunto de los números naturales pares = {x/x=2n, n N} y el
conjunto de los números naturales impares = {x/x=2n+1, n N}
Por otra parte, para calcular el producto (26) (6) se utilizó una técnica que
frecuentemente es usada por todos nosotros, que consiste en descomponer en forma
desarrollada la primera cantidad en la suma de (20 + 6) y luego multiplicamos por 6:
26 x 6 = (20 + 6) · 6 = 120 + 36 = 156
25
¿Será posible aplicar esta técnica para multiplicar mentalmente?
Haz la prueba con algunos números.
Observa que los resultados de la adición y la multiplicación son números naturales,
entonces podemos decir que el conjunto de los números naturales es cerrado cuando se
trata de una adición o una multiplicación. Esto quiere decir que si el conjunto dado es el
de los números naturales y la operación es la adición o la multiplicación, el resultado será
otro número natural. Por ejemplo:
4+5=9 y
2 x 6 = 12
Todos son números naturales
1. PROPIEDAD DE LA CERRADURA
Por tanto:
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado es un número
natural, entonces se dice que el conjunto de los números naturales es cerrado
conforme a la operación dada.
Sin embargo, es importante aclarar y reflexionar que el conjunto de los números
naturales no siempre es cerrado conforme a la sustracción (resta) o la división; por
ejemplo:
4 10 6
6
1.5
4
20
2
10
38 8 30
no es un número natural
no es un número natural
sí es un número natural
sí es un número natural
2. PROPIEDAD CONMUTATIVA
Otra propiedad observable al sumar o multiplicar los números naturales es el orden en el
cual se realiza la operación y no afecta el resultado, de tal forma que:
4+5=5+4=9
y
4 x 5 = 5 x 4 = 20
A estas dos expresiones se les describe al decir que las operaciones de la adición y
multiplicación tienen una propiedad conmutativa; entonces:
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales y les cambiamos el orden, el
resultado no se altera.
26
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente.
1. En una reunión de amigos hay cuatro mujeres y tres hombres. Si cada uno de los
asistentes saluda de beso a los del sexo opuesto y de apretón de mano a los de su
mismo sexo, ¿Cuántos saludos tienen lugar?
2. Ahora se trata de verificar si aprendiste a contar con números naturales ¿cuántos
rectángulos hay en la siguiente figura?
3. Para solucionar algunos problemas es muy útil llegar a conocer una regla general.
Encontrar el n-ésimo termino de una sucesión es encontrar dicha regla para todos los
términos de la sucesión.
¿Puedes completar la sucesión y encontrar la regla?
a) 2,4,6,8,10, __, __, __, ..._________________________________________________
b)1,3,5,7,9, __, __, __,...___________________________________________________
- Aplica el principio posicional del sistema decimal y señala el valor del dígito
indicado para cada caso.
a) 2345; 3
b) 10004;1
c) 23456;5
d) 2335489;4
e) 9378954;7
f) 9254361;2
4. Realiza el cálculo de las siguientes multiplicaciones, utiliza la técnica que se empleó en
la sección anterior.
a) (28) (15) =
b) (65) (123) =
c) (32) (19)
d) (25) (17)
5. Aplica el método de Gauss para la suma de números naturales, calcula la suma de la
siguientes series.
a) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 27 + 30
b) 5 + 10 + 15 + 20 + 25 ... + 60 + 65
c) 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + ... + 77 + 84
27
3. PROPIEDAD ASOCIATIVA
Otra propiedad que se manifiesta es cuando se trata de sumar o multiplicar más de dos
números; por ejemplo: 6 + 7 + 8. Por lo regular se suman dos números a la vez. Surge
la pregunta acerca de si se debe sumar 6 + 8 y al resultado sumarle 7, entonces (6 + 8) +
7 = 14 + 7 = 21, o si se suma 6 al resultado de la suma de 8 y 7, esto es, 6 +(8 + 7) = 6 +
15 = 21. Al multiplicar (6) (7) (8) lo podemos hacer (6 7) (8) = 42 8 = 336 ó también (6)
(7 8) = 6 56 = 336. Si te das cuenta no importa qué números se sumen o multipliquen
primero, es decir:
Pueden asociarse los números en una u otra forma y obtener el mismo resultado.
A esta propiedad de la adición y multiplicación se le llama propiedad asociativa.
4. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Existe otra propiedad de la adición y multiplicación de enorme importancia. Imagina que
se quiere realizar el producto de 6 (12 + 7), lo cual se expresa como 6(12 + 7), donde el
punto indica o denota una multiplicación. El resultado se puede obtener de dos maneras
diferentes:
a) suma 12 y 7, así: 6(12 + 7) = 6(19) = 114
b) multiplica primero por 6, así: 6(12 + 7) = 6(12) +6(7) = 72 + 42 = 114
A la propiedad anterior se le llama propiedad distributiva de la multiplicación con respecto
de la adición.
PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LAS
OPERACIONES
Adición
Multiplicación
Cerradura: Si a y b son números naturales, Cerradura: Si a y b son números naturales,
entonces a + b también es un número natural.
entonces a b también es un número natural.
Conmutividad:
entonces:
a+b=b+a
Si a, b, son números naturales, Conmutividad: Si a y b son números
naturales, entonces:
a b = b a.
Asociatividad: Si a, b, c son números naturales, Asociatividad:
Si a, b, c son números
entonces:
naturales, entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
a (b c) = (a b) c
Distributividad: Si a, b, c son números
naturales, entonces:
a (b + c) = (a b) + (a c)
En los ejercicios anteriores utilizaste algunas propiedades; identifica cuáles
fueron.
Dentro del conjunto de los números naturales existen números que sólo tienen dos
divisores exactos, a estos números se les llama números primos, es decir sólo se dividen
entre la unidad o entre sí mismos; pero si dividimos 60 entre 5, tendremos 12; por lo que
podemos decir que 5 es divisor exacto de 60, pero también podemos decir que 60 es
múltiplo de 5. Trata de encontrar cuántos divisores tiene 16.
28
Tu respuesta será 5 con toda seguridad 1, 2, 4, 8, 16; pero si se te ocurre preguntarte por
los divisores de 154, quizá digas que algunos pueden ser 1, 7, 11 y el mismo 154.
Resulta un poco difícil encontrar los divisores 7 y 11, no así, el 1 y el 154, los cuales
resultan valores fáciles de hallar. De manera semejante, ¿puedes contestar cuántos y
cuáles son los divisores del número 19? Si tu respuesta es: son dos, el 1 y el 19,
acertaste. Con base en el desarrollo anterior, el número 1 no es primo, porque solamente
tiene un divisor, él mismo. Si se excluye el 1, diremos que: un número natural es primo si
y sólo si tiene dos divisores, él mismo y la unidad (1).
El matemático griego Eratóstenes (siglo III a.C.) ideó un método conocido con el nombre
de “criba de Erastóstenes”; este método permite encontrar los números primos que están
entre el 2 y el 50.
¿Podrías hallar esos números con la definición de número primo? Inténtalo.
Recuerda que los números primos los has utilizado para obtener el mínimo común
múltiplo (factores primos) y para hallar el común denominador, cuando aprendiste a
sumar y restar racionales (fracciones).
¿Cuál es el procedimiento? Más adelante encontrarás el procedimiento o podrás
consultar con tu asesor
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente, una
vez que encuentres la solución trata de encontrar una más directa
1. Este ejercicio requiere de un poco de atención ¿Cuántos cuadrados hay en la
siguiente figura?
29
2. Observa detenidamente la figura que a continuación te mostramos. Según parece
tiene algo muy especial pues en algunos monumentos de la Grecia Antigua aparece.
Trata de reproducirla con un trazo ininterrumpido, sin que cruces las líneas y sin
levantar el lápiz, la única restricción adicional es que hagamos menos de 10 giros.
3. ¿Cuál es la regla general que nos permite hallar todos los términos de los siguientes
casos?
3,6,9,12,15,__,__,__,__;
10,13,16,19,__,__,__
4. Trata de explicar con tus propias palabras por qué ocurre que las sumas horizontales
y verticales dan el mismo resultado.
1
7
5
3
+
+
+
+
3
5
3
5
+
+
+
+
5
3
7
1
+
+
+
+
7=
1=
1=
7=
16
16
16
16
1 + 2 + 3 + 4 = 10
5 + 6 + 7 + 8 = 26
9 + 10 + 11 + 12 = 42
15 + 18 + 21 + 24 = 78
16 + 16 + 16 + 16 = 64
5. ¿Qué puede decirse acerca de la suma de dos números naturales impares?
3+5=8
13 + 19 = 32
3 + 17 = 20
7 + 11 = 18
6. Considera la suma de los números naturales impares consecutivos. Encuentra un
patrón y considera los 10 primeros números impares consecutivos.
3+ 5= 8
5 + 7 = 12
7 + 9 = 16
9 + 11= 28
11 + 13 = 24
13 + 15 = 28
15 + 17 = 32
17 + 19 = 36
19 + 21 = 40
30
7. Para los griegos que estudiaron la naturaleza de los números, principalmente los
pitagóricos, resultó sorprendente encontrarse con una sucesión llamada de los
números triangulares (observa la figura), cuyos primeros elementos son:
1,3,6,10,15,...¿Cuál será la regla que gobierna a estos números? La figura que se
muestra es un apoyo visual para encontrar el n-ésimo término de la sucesión.
1
*
**
3
*
**
***
6
*
**
***
****
10
1,3,6,10,15,__,__,__,
8. En la siguiente figura anota correctamente los dígitos del 1 al 8 de tal manera que
dígitos consecutivos no queden en casillas adyacentes (juntas).
9. Quizás ya conoces algunos cuadrados mágicos, se les llama así porque al sumarse
sus elementos numéricos horizontal, vertical y diagonalmente dan como resultado el
mismo número, trata de realizar un cuadrado 4 x 4 cuya suma sea 34.
1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Te has preguntado alguna vez: ¿cómo se expresa una deuda o una cuenta de cheques
sobregirada?, ¿cómo se representa la temperatura cuando cae abajo de 0º?, ¿sabes qué
tipo de números fueron tus respuestas?
Los números enteros. (Z)
Cheques
Uno
Dos
Tres
Totales
Disponible
1,000.00
2,000.00
3,000.00
6,000.00
¿Cuánto está sobregirada la cuenta?
31
Cuenta
pagó
1,500.00
3,000.00
5,000.00
9,500.00
Ciudad
Temperatura C en
invierno
-4ºC
35ºC
-10ºC
0ºC
-15ºC
Monterrey
Mérida
Mexicali
D.F
Chihuahua
A continuación utilizaremos nuevamente la regla de Gauss para calcular el valor de
la suma de las series propuestas.
¿Cuánto sumarán los primeros veinticinco números enteros negativos? (Z)
(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (- 5) + (-6) .... + (-23) + (-24) + (-25)
- 26
- 1 + (- 25) = -26
- 2 + (- 24) = -26
- 3 + (- 23) = -26
:
- 12 + (- 14) = - 26
Por lo tanto:
Como el (- 25) es un número impar es necesario
sumarle al resultado que obtuvimos el número
que queda sólo (sin pareja), en este caso el
(- 13)
(- 26) (12) = (- 20 - 6) (10 + 2)
= - 200 - 60 - 40 - 12
= - 312
(- 1) + (- 2) ...+ (- 24) + (-25)= (- 26) (12) + (- 13)
= - 312 - 13
= - 325
¿Cuánto sumarán los primeros cien números enteros negativos?
(- 1) + (- 2) + (- 3) + .... + (- 98) + (- 99) + (- 100)
- 101
- 1 + (- 100)
- 2 + (- 99)
- 3 + (- 98)
(- 101) (50)
Suma:
= - 101
= - 101
= - 101
= - (100 + 1) (50)
= - (5000 + 50)
= - 5050
¿Cuál es la suma de la siguiente serie?
32
0+1+0+0+0+2+0+0+0+3+0+0 +0+4
4
1
3
2
5. PROPIEDAD NEUTRO O IDÉNTICO DE LA ADICIÓN
0+0+0
0+4
1+0
0+3
2+0
=0
=4
= 1 4 + 1 + 3 + 2 = 10
=3
=2
En los ejemplos anteriores nuevamente se utilizó la herramienta del método gaussiano,
pero ahora con unas series que incluyen números enteros negativos; por otra parte, el
tercer ejemplo de esta serie se utilizó una propiedad que intuitivamente manejas desde la
secundaria, se trata de la suma de número entero con el cero.
a+0=a
Es momento para recordar que este elemento cero lo conoces como elemento
idéntico o neutro, para la suma
¿Cuál es la suma en la siguiente serie?
(- 5) + (- 1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23
- 5 + (-1) = - 6
3 + 23 = 26
7 + 19 = 26
11 + 15 = 26
(26) (3) = 78
Suma: - 6 + 78 = 72
¿Cuál es la suma en la siguiente serie?
33
1 + (- 1) + 2 + (- 2) + 3 + (- 3) + 4 + (- 4) + 5
0
0
0
0
0+0+0+0+5=5
0
0+5=5
Para realizar la suma asociamos cada número positivo con su opuesto, lo que hace
recordar que al sumar un número con su opuesto el resultado es: cero.
a + (- a) = 0
A este número opuesto se le llama inverso aditivo
¿Cuál es el resultado de la suma?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1
0
1
0
1
0 Suma: 0
¿Cuál es la suma en la serie siguiente?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1
0
1
0
1
0
1 Suma: 1
34
En estos ejercicios podemos ver que al restar y sumar secuencialmente el número 1
obtenemos en el primer caso una suma igual a 0, mientras que en el segundo caso la
suma es igual a 1, esto nos hace reflexionar acerca de esta situación; trata de explicar
con tus propias palabras por qué es así.
Ya estudiaste uno de los sistemas numéricos más sencillos, el conjunto de los enteros
junto con las operaciones de adición. Si realizamos la siguiente multiplicación, 4375 por
1 = 4375, vemos que el resultado es el mismo que el número propuesto (4375). ¿Habrá
otro número que al multiplicarlo por otra cantidad dé la misma cantidad? La respuesta es
no. Entonces el único número del conjunto de los naturales que al multiplicarlo con
cualquier número de los naturales da como resultado otra vez el mismo número es el
número 1, es decir:
1 a = a Neutro Multiplicativo
¿Crees que existe un número que al sumarlo con otra cantidad dé como resultado dicha
cantidad?, es decir, ¿existe un número de tal modo que al realizar a + p = a para el
conjunto dé los números naturales? La respuesta es no. Entonces, al conjunto de los
números naturales está limitado para realizar operaciones aritméticas, por tal razón
debemos aumentar al conjunto de los naturales y añadirle un nuevo número o elemento.
Este elemento lo representamos por medio del cero (0) y se le llama identidad aditiva, el
cual tiene la propiedad siguiente:
Neutro Aditivo o Idéntico
a+0=0+a=a y 0+0=0
El conjunto de los número enteros positivos se denota por Z+
Cuando tratamos de resolver la expresión x + 10 = 0 y abarcamos sólo el conjunto de los
números enteros positivos no tenemos solución, pues aquí no existe el - 10, entonces es
necesario ampliar el conjunto de los Z+ de forma que resulte un nuevo conjunto, que
contenga a los números enteros positivos y a todos sus inversos aditivos (números
enteros negativos), a este nuevo conjunto se le llamará genéricamente conjunto de los
números enteros, denotado por Z y formado por ...- 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... Por tanto, el
conjunto de los números enteros abarca los siguientes números o elementos:
Z
enteros positivos ( Z+): 1, 2, 3, ... también son naturales
el número cero: 0
enteros negativos (Z-): .... - 3. - 2 - 1
35
Recuerda que el producto del número cero y cualquier
otro número entero siempre es cero, por ejemplo:
40=04=0
Al generalizar tendremos que si a pertenece a los
Z, entonces 0 a = 0
En este conjunto de los números enteros (Z) se define dos operaciones básicas la de la
adición y la multiplicación con las propiedades de los números.
Al presentar el conjunto de los números enteros en la recta numérica retomamos un
concepto importante como es el de sentido. Esto lo ilustramos con la recta numérica que
tú conoces, en la cual se le asigna una posición con respecto al número cero (origen); a
la izquierda del cero están todos los enteros negativos y a la derecha del cero, todos los
enteros positivos. La siguiente gráfica ilustra el conjunto de los números enteros.
-4
-3
-2
-1
enteros negativos
0
cero
1
2
3
4
enteros positivos
En el servicio meteorológico dijeron que la temperatura más alta fue de 8º y la más baja
fue de -8º, ¿por qué se dice que la temperatura promedio fue de 0º? ¿Qué relación hay
entre el 8 y el -8?
Observa en la recta numérica que para cada número positivo existe uno negativo.
En la gráfica anterior es fácil observar que el simétrico de 4 es -4; como recordarás, a
este simétrico se le llama inverso aditivo; por lo que decimos que cualquier número
entero a, tiene su inverso aditivo que es un entero que está n unidades de otro lado del
cero; sobre la recta numérica esto es el entero -a.
¿Cómo aplicarías el concepto de sentido para realizar operaciones?
Este concepto de sentido, hacia la izquierda del cero (negativo) o hacia la derecha del
cero (positivo), lo podemos comprobar con la operación de la sustracción. Por ejemplo,
al realizar 4 - 6 llegamos al resultado fácilmente, al utilizar la recta numérica de la
siguiente forma: hacemos un movimiento hacia la derecha (sentido positivo) a partir del
cero de cuatro unidades, seguido de otro movimiento de seis unidades hacia la izquierda
(sentido negativo a partir del cuatro, el punto final es - 2, como se ilustra:
36
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-6
¿Te resulta fácil entender el ejemplo anterior? Si no fue así, ilustra sobre la recta
numérica la siguiente operación - 5 - 2:
ADICIÓN DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
La operación la haces con un movimiento de 5 unidades a la izquierda del cero, seguido
por 2 unidades más , a la izquierda. El resultado es -7; de ahí que - 5 - 2 = 7, entonces:
(- 5) + (- 2) = - (5 + 2) = - 7
-8
-7
-6
-5
-4
-2
-3
-2
-1
0
1
-5
Con base en lo anterior, observarás que la operación de sustracción puede ser
considerada como la opuesta de la adición, por tanto, cualquier problema de sustracción
puede transformarse en un problema de adición, por ejemplo:
problemas de sustracción
problemas equivalentes en la adición
4-2
11 - 5
-5-3
3 - (-4)
4 + (- 2)
11 + (- 5)
(- 5) + (- 3)
3+4
Resuelve los ejemplos anteriores y representándolos en la recta numérica.
37
Por tanto, definimos que, si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces:
a - b = a + (- b)
Veamos otro ejemplo para mostrar el procedimiento anterior: realiza la adición
equivalente de 6-4 e ilústralo sobre la recta numérica:
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6- 4 = 6 + (- 4) = 2
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-4
El resultado que muestra la gráfica es 2.
Al retomar estos conceptos mencionaremos las reglas para la multiplicación de
números enteros:
a) El producto de dos enteros positivos es positivo.
b) El producto de un entero positivo y un entero negativo es negativo.
c) El producto de dos enteros negativos es positivo.
38
Propiedades de los Números Enteros
Adición
Multiplicación
Cerradura: La adición de cualesquiera dos Cerradura: El producto de dos enteros
números enteros a y b es siempre un entero. a y b siempre es un entero.
Conmutatividad: Para cualesquiera dos Conmutatividad: Para cualesquiera
enteros a y b; a + b = b + a.
dos enteros a y b; a b = b a.
Asociatividad:
Para cualesquiera tres Asociatividad: Para cualesquiera tres
enteros a, b y c; a + (b + c) = (a + b) + c.
enteros a, b y c; a (b c) = (a b) c.
Identidad de la Adición. El número cero Identidad de la Multiplicación: El
(0) es la identidad para la adición.
número 1 es la identidad para la
a + 0 = 0 + a = a.
multiplicación; 1 a = a 1 = a.
Inverso aditivo: Todo número entero tiene Distributividad:
Para cualesquiera
un inverso aditivo, a + (- a) = 0
tres enteros; a, b y c; a (b + c) = a b
+ a c y (a + b) c = a c + b c.
En los ejemplos siguientes se muestran algunas propiedades de la multiplicación de
números enteros.
¿Cuál es el valor de la suma?
(1 2) + (1 3) + (1 4) + (1 5) + (1 6) + (1 7 ) + (1 8)
Solución: Al multiplicar el término común con cada uno de los sumandos tenemos:
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 3(10) + 5 por el método Gauss)
= 30 + 5
= 35
¿Cuál es el valor de la suma?
(12 1) + (12 2) + (12 3) + (12 4) + ... + (12 19) + (12 20) = 12 + 24 + 36 + 48 +
... +
228 + 240
10(12 + 240) = 120 + 2400 (propiedad es distributiva)
= 2520
Analiza los siguientes ejemplos:
¿Cuál es el producto?
39
( -1) (3) (1) (-4) (-1) (5) (1) (- 6)
-3
-3
12
-12
-60
-60
360 Producto = 360
¿Observaste cuándo el producto sucesivo de números enteros es positivo?
Ahora revisa éste:
¿Cuál es el producto?
(2) (5) (-3) (-4) (-2)
10
- 30
120
-240
Producto - 240
¿Observaste cuándo el producto de números enteros es negativo?
¿Cuál es el producto?
(0) (0) (0) (0) (0)
0
0
0
0
Producto: 0
En los ejemplos anteriores observaste algunas características propias de la multiplicación
de números enteros. Debes recordar las leyes de signos de la multiplicación que
aprendiste en la secundaria; sí aún no te queda claro, fija tu atención en el número de
factores con signo negativo y explica tus propias conclusiones.
40
1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)
Analiza las siguientes situaciones:
a) Un automóvil recorre 400 km. en 5 hr.
b) El promedio de goleo de Hugo Sánchez es de 3 por cada 2 partidos
c) Compre 3 llantas y lleve otra gratis
a)
Distancia
100 km
200 km
400 km
800 km
Tiempo
1 hr. 15 min
2 hrs. 30 min
5 hrs.
10 hrs.
Goles
3
6
9
12
Partidos
2
4
6
8
b)
c)
Núm. llantas
Compradas
3
6
9
12
15
18
Gratis
1
2
3
4
5
6
En cada una de estas afirmaciones existe la comparación cuantitativa de dos
cantidades.
a) 400/5
b) 3/2
c) 3/1
Estas expresiones representan una división.
La división de dos números enteros no siempre es exacta, esto produce fracciones como
1/2, 4/5, 8/7, etc. Entonces el conjunto de los números enteros se extiende para incluir
dichas fracciones, dando como resultado los números racionales, denotado por:
Q ...- 4/2, - 2/2, 0/2, 1/1, 4/2....
41
Un número racional es aquel que puede escribirse en la forma a/b, donde a y b son
números enteros, a a se le llama numerador, a b se le llama denominador y b es
diferente de cero (no se permite dividir entre cero). Un número racional se puede escribir
como a/b ¿Conoces otras formas de representar un racional?
Al hacer la conversión
2
0.666 , resulta que también es un número racional.
3
Al introducir en el conjunto de los números enteros fracciones de la forma
hablar de igualdad de fracciones o números racionales.
Por ejemplo,
concluir
a
, podemos
b
5
1
y
representa n el mismo número racional, por lo que podemos
25
5
a c
si y sólo si ad = bc
b d
Realicemos la operación:
1 5
1 25 5 5 25 25
5 25
Si utilizamos la igualdad de números racionales podemos probar el siguiente resultado,
a
que te permitirá reducir resultados en la forma , entonces:
b
a (ak)
,k 0;
b (bk)
entonces:
a(bk) b(ak)
Para que este concepto sea más claro, vamos a reducir
20 (2 10) 2
30 (3 10) 3
Ahora inténtalo tú, reduce
La solución es:
6
36
6
6 1 1
36 6 6 6
42
20
.
30
Hagamos otro ejemplo: encuentra un número racional que tenga un denominador 45 y
7
sea igual a .
9
La solución es:
7 7 5 35
9 9 5 45
A continuación definiremos las operaciones con los números racionales.
a
c
El producto de dos números racionales
se define como:
y
b
d
a c a c ac
b d b d bd
Por ejemplo: multiplica
4
7 4 7 4 7 28
por
:
5
9 5 9 5 9 45
La suma de dos números racionales
a
c
y
está definida como:
b
d
a c ad bc
b d
bd
y cuando: d = b
se tiene:
Por ejemplo suma:
a c ac
b b
b
3
4 3 4 3974
y
:
7
9 7 9
79
La diferencia de dos números racionales
27 28 55
63
63
a
c
y
está definida como:
b
d
a c a c ad bc
b d b
d
bd
por ejemplo, realiza
1 1 1 1 1 1
5 6 5 6 5 6
43
1 6 1 5 6 5
1
56
30
30
Para definir la división debemos conocer el recíproco de un número. El recíproco de
b
a
b
a
a
es
0 ; lo anterior se observa cuando multiplicamos
cuando
por
, donde
b
a
b
b
a
el resultado es 1. Por lo que podemos decir, el producto de cualquier número racional
distinto de cero por su recíproco es 1, por tal razón, el recíproco de un número racional
también se le llama inverso multiplicativo, entonces:
El cociente de dos números racionales
a
c
y
está definida como:
b
d
a
b a d ad , c 0
c
b c bc d
d
Con base en la expresión anterior, se permite en la división de dos números racionales
invertir el divisor y pasarlo como multiplicador, por ejemplo:
2
3
2
8
16
3 6 18
9
5
y 4
3 5 3 15
5 4 5 20 10
8
6
Las operaciones con números racionales o fracciones constituyen un avance en el
manejo de cantidades que no son enteras, por ejemplo cuando vamos de compras a la
tienda podemos solicitar un kilo y medio de frijol, lo podemos traducir al lenguaje
aritmético como:
1
1 2
En los ejemplos que a continuación se muestran observarás que las operaciones con
frecuencia requieren del manejo de las operaciones con números enteros, de las
operaciones básicas con fracciones y de la intuición que has desarrollado.
a)
1
1
1
1
1
1
2
4
3
44
b)
c)
d)
3
1
1
1
1
1
2
1
2
3
4
3
40
11
1
1
1
13
1
3
1 1
8
3 2
1
7
1 1
1
3 2
Con el objeto de retroalimentar tu conocimiento acerca de las operaciones con
fracciones, resolveremos un ejemplo que te servirá de base para contrastar lo que ya
sabes con el algoritmo que se te muestra.
Adición de Números Racionales.
¿Cuál es el valor de la suma?
1 1 1
2 4 8
Recuerdas que había que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los
denominadores.
2,4,8 2
1,2,4 2
1,1,2 2
1,1,1 (2)(2)(2) = 8
1 1 1 4 21 7
2 4 8
8
8
Este proceso utiliza tres de las primeras cuatro operaciones: suma, división y
multiplicación de números enteros.
45
¿Te has preguntado por qué se utiliza este algoritmo?
¿Habrá algún otro que nos conduzca al mismo resultado?
Quizás el siguiente proceso conteste en parte las preguntas anteriores.
Este algoritmo está basado en el concepto de fracción equivalente. ¿Cuándo se dice que
dos fracciones son equivalentes?
Ejemplo:
1 2
¿Por qué?
2 4
Son equivalentes por principio básico de la proporcionalidad.
(1)(4) = (2)(2)
4=4
¿Ya te acordaste? Bien, resolvamos el ejemplo:
Paso 1.
Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m)
2,4,8 2
1,2,4 2
1,1,2 2
1,1,1 (2)(2)(2) = 8
46
Paso 2
Encuentras las fracciones equivalentes:
1
?
?
2
8
1 (4) 4
2 4
8
1
?
?
2
8
1 4 4
2 4 8
1
?
? 8
2
1
?
? 8
4
1 2 2
4 2 8
1 1
8 8
1 1
8 8
¿Cuál es la suma de las fracciones?
1 1 1
2 3 4
Paso 1.
Calcular el mínimo común múltiplo.
2,3,4 entonces (m.c.m.) = 12
Paso 2.
Calcular las fracciones equivalentes.
1 6 6 1 4 4 1 3 3
;
;
2 6 12 3 4 12 4 3 12
Sumamos equivalentes:
6
4 3 6 4 ( 3) 7
12 12 12
12
12
¿Cuál es el valor de la suma?
1 1 1 1 1 1
2 4 6 8 10 12
47
sumamos:
4 2 1 7
8 8 8 8
Paso 1
Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.)
2, 4, 6, 8, 10, 12
2
1, 2, 3, 4, 5,
6
2
1, 1, 3, 2, 5,
3
2
1, 1, 3, 1, 5,
3
3
1, 1, 1, 1, 5,
1
5
1, 1, 1, 1, 1,
1 (23)(3)(5) = (8)(3)(5) = 120
Paso 2
Calcula las fracciones equivalentes:
1 60 60 1 30 30 1 20 20
;
;
2 60 120 4 30 120 6 20 120
1 15 15 1 12 12 1 10 10
;
;
8 15 120 10 12 120 12 10 120
Sumemos las fracciones equivalentes
60 30 20 15 12 10 37
120 120 120 120 120 120 120
A continuación observarás unos ejemplos que te harán recordar cómo se multiplican las
fracciones o números racionales.
¿Cuál es el producto de números racionales?
3 2 1 3 6 1 3
4 3 5 7 12 5 7
6 3
60 7
18
3
420 70
48
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Si recordaste cómo se resuelve la suma de números racionales (fracciones), ahora
podrás comparar ese conocimiento con el algoritmo mostrado anteriormente que utiliza el
concepto de fracción equivalente; trata de encontrar las analogías o semejanzas entre
ambos métodos, de tal manera que puedas utilizarlos cuando se requiera.
Respecto a la multiplicación, trata de contestar las siguientes preguntas:
¿Cuándo el producto de fracciones es negativo?
¿Cuándo el producto de fracciones es igual a la unidad?
a
a
¿Se cumple para todo número racional (fracción) la proposición (1) para
b
b
b0?
a
b
¿Un número racional ( a) para b 0 puede interpretarse como cociente?
Ejemplo:
a)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1
2
0
1
1
0
1 2
1
1
0
1
porque: 1
porque:
1 1 0
00
49
1 1
2 2
1
1 2
1
1
2 1
2
Ejemplo:
b)
3
3
3
1
1
1
1
1
3
4
1
1
1
1
7
4
4
7
40
11
40
11
porque: 1
40
11
porque:
1 4
7 7
4
4 11
porque: 1
7 7
1 40
11 11
7
7 40
3
11 11
3
porque:
33 7 40
11 11 11
porque:
Ejemplo:
c)
1
2
1
2
3
1
1
3 7
4 4
1
13
1
3
50
1
7
11 11
7
40 40
11 11
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
3
2
3
7
2
2
1
3
6
7
1
13
porque: 1
1
13
porque:
1
2
3
3
2
1
13
porque: 2
1
13
porque:
1
14
1
13
13
1
1
13
13
porque:
1 1
3 2 1 8
7
1 1
1
3 2
51
3 7
2 2
3 6
7 7
2
porque: 1
Ejemplo:
d)
1 3
2 2
3
2
1
13
13
7
1 2
3 3
6 13
7 7
2 14
13 13
7
1 1
3 2 1 8
1
7
1
6
1 1 1
porque:
3 2 6
1
6 1 8
1
7
1
6
1 1 23
1
porque:
3 2
6
6
1
6 1 8
7
7
6
1 7
porque: 1
6 6
1
8
1
7
7
1
1 6
porque:
6 7
7
porque
1
8
1
7
7
52
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente; una
vez que encuentres la solución, trata de encontrar una más directa. Observa en cada
ejercicio las propiedades que utilizas.
1. ¿Cuál es la regla que nos permite encontrar el n-ésimo término de la sucesión?
3
1 1
,1, ,0, , .........., ........,......., ______________
2
2 2
2. Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices no
adyacentes. Aquí n representa el número de lados de un polígono. ¿Cuál es la regla
general para determinar cuántas diagonales tiene un polígono de 50 lados sin
dibujarlo?
3. Sin levantar el lápiz y sin cruzar los segmentos de recta resuelve los problemas
siguientes.
a)
b)
Con tres segmentos
une los 4 puntos
Con cuatro segmentos
une los 9 puntos
53
Problemas
1. Aplica las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, además
resuelve los problemas.
2.
a)
3(3 3)
3
b)
24 10 5
15 40 8
c)
1 6 15
2 5 9
d)
1 1 3 2
4 3 4 3
e)
1 1 3 6
4 3 4 8
f)
1
2 5 2
3 6 3
Usa las propiedades de la multiplicación y división de fracciones. Resuelve.
a)
3 1
2 2 2
b)
3 1 1
3
2 2
4
c)
1
1
3 2 41
4
2
d)
1
2 2 1
3 4 4
54
3. A las fracciones siguientes deberás reducirlas hasta encontrar el resultado.
a)
b)
c)
d)
2
1
1
3
4
1
2
4
3
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
3
1
3
1
1
(2)(3)
4. Si una pelota se deja caer desde una altura de 10 m y rebota aproximadamente la
mitad de la distancia en cada caída, calcula la distancia recorrida por ésta después de
tres rebotes.
1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES. (Q’)
Los griegos (600 años a.C.) descubrieron la existencia de números que no eran
racionales, a este conjunto de números lo llamamos “Conjunto de los números
irracionales” denotado por Q’. Este descubrimiento hecho por miembros de una sociedad
secreta fundada por Pitágoras muestra que los números irracionales no se pueden
expresar como cociente de dos enteros y tienen una representación decimal infinita no
periódica; por ejemplo:
2,
3 , o, 6.101001000....
Con base en la clasificación de los números, la unión del conjunto de los números
racionales con el de los números irracionales se le conoce como el conjunto de los
números reales, denotado por RQ unión Q’ = R. De esta manera podemos recordar
que los números racionales son aquellos que se expresan como el cociente de dos
enteros y tienen expansión decimal finita o infinita periódica. Los números irracionales
son aquellos que no se pueden expresar como cociente de dos enteros y su presentación
decimal es infinita no periódica.
55
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Establece en cada uno de los siguientes problemas qué propiedades se aplican.
a)
5+7=7+5
b)
(8 + 4) + 2 = 8 + (4 + 2)
c)
8 + (4 + 2) = 8 + (2 + 4)
d)
5(3 +8) = 5(8 + 3)
e)
4(6 7) = 4(7 6)
f)
5 (3 8) = 5 (8 3)
2) Ilustra sobre la recta numérica la operación indicada.
a)
4-5
d)
-4- 3
g)
5-3
b)
4+6
e)
-6+5
h)
6-6
c)
8-5
f)
4 + (- 6)
i)
7 + (- 4)
3) Obtén el producto de cada multiplicación.
a)
(- 4) (5) =
c) (- 12) ( - 11) =
e) (0) x (- 10) =
b)
(6) (- 7) =
d) (-0) (0) =
f)
7x0=
4) Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado (si es posible).
a)
b)
c)
1
7
3
4
1
4
4
7
1 1
4 7
56
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
4 3
7 5
4 2
5 8
3 1 1
8 4 8
1 1 3
5 4 7
1 1 1
2 8 4
1 7 7
2 8 5
1 7 7
2 8 5
3
4
1 2
7 5
57
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí se han revisado las operaciones con los números reales sus propiedades y
los algoritmos, el siguiente diagrama muestra la clasificación de los números reales y las
relaciones entre los diferentes subconjuntos de números.
NÚMEROS REALES
( FR )
NÚMEROS
RACIONALES
(Q )
NÚMEROS
IRRACIONALES
(Q’ )
Q'
NÚMEROS
ENTEROS
(Z)
EL NÚMERO CERO:
0
ENTEROS
POSITIVOS
Z+
ó
NATURALES (N)
Z+ ó N (1, 2, 3, ...)
ENTEROS
NEGATIVOS
Z-
Z- (...- 3, - 2 -1,)
58
2, 3 ,6.101001000...
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Como ya sabes, el conjunto de los números reales en sus operaciones de adición y
multiplicación cumplen con las propiedades de campo; la utilización de estas propiedades
así como los algoritmos de las operaciones te permiten resolver situaciones como las
siguientes:
1) Si cobraras por realizar un trabajo $100000.00, y el material que empleaste costó
$13000. ¿Cuánto ganarías por horas si el trabajo lo terminas en seis horas?
Para contestar la pregunta, primero tendrías que restar el costo del material a la cantidad
que cobrarías y en seguida dividir ese resultado entre el número de horas trabajadas
para obtener el monto por hora, o sea:
100000 - 13000 = 87000 costo real del trabajo, entonces:
87000/6 = 14500 ganancia por hora
Como observas, para obtener el resultado realizaste dos operaciones, las cuales se
representan de la siguiente manera:
En donde la sustracción de 100000 y 13000 se debe dividir entre 6 para encontrar el
resultado.
2) Si un comerciante compra 80 piezas de lechuga a $300 cada una y vendió 75 de ellas
a razón de $600 la pieza y desechó el resto, ¿cuánto obtuvo de ganancia?
Para resolver este problema tendrás que determinar el costo de las 80 lechugas,
restárselo al total de la venta de las 75 lechugas vendidas y a este resultado restarle el
costo de las 5 de desecho, o sea:
80 x 300 = 24000 ..... costo de la compra
75 x 600 = 45000 ...... total de la venta
5 x 300 = 1500 ...... total del desecho
ganancia = (75) (600) - (80) (300) - 5 (300)
= 45000 - 24000- 1500 = 21000 - 1500 = $19,500
Como observas en los dos ejemplos anteriores, se realizó más de una operación
aritmética, las cuales se agruparon y utilizaron algunos símbolos para representarlas.
Estos símbolos son los paréntesis ( ), los corchetes y las llaves, se les llama
símbolos de agrupación y se usan para señalar de una manera más sencilla más de una
operación, al indicar el orden preciso en que se deben efectuar. Cuando se escribe 300
+ 25 como (300 + 25), se considera la suma de 300 + 25 como una cantidad; la
expresión 500 - (60 + 70) significa que la suma de 60 y 70 se va a restar de 500.
¿Cómo expresarías el enunciado tres veces la suma de 3 y 7 menos cuatro veces la
suma de 5 y 40?
59
Solución:
3(3 + 7) - 4(5 + 40) =
donde el resultado se puede obtener de la siguiente manera:
a) Si utilizas la propiedad distributiva, tendrás:
3(3 + 7) - 4(5 + 40)
=
=
=
=
(3) (3) + (3) (7) - (4) (5) - (4) (40)
9 + 21 - 20 - 160
30 - 180
- 150
3(3 + 7) - 4(5 + 40)
=
=
=
3(10) - 4(45)
30 - 180
- 150
b) o bien
De los ejemplos anteriores se pueden mencionar algunas sugerencias prácticas para
realizar operaciones con números reales donde se involucren signos de agrupación.
Las cantidades o números agrupados se deben considerar como todo
Ejemplo:
6 + (2 5)
Indica que la multiplicación 2 por 5 se efectúa primero y el producto se suma con 6 y da
como resultado 16.
6 + (25)
=
=
6 + (25)=6+10
16
Por lo regular, la multiplicación de los números reales se representan con un punto
intermedio o con los signos de agrupación.
Ejemplo:
4(3 + 6) = 4(3 + 6)
= 4(9)
= 36
Cuando un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (más), los signos de
los términos no se alteran, cuando va precedido por un signo negativo (menos) los
términos si cambian de signo.
60
Ejemplos:
a)
42
6
(1) (7) (4) + (7 - 5) - (12 - 6) +
= 28 + 2- 6 + 7
= 28 + 2 - 6 + 7
= 31
b)
5 - 6 - (6 - 2) - (4 - 0) - 6(1 + 3 - 0) + (- 2) (6 - 3)=
5 - 6 - 4 - 4 - 6 (4) + (- 2) (3)
5 - 6 - 0- 24 - 6 =
5 - 6 - 0 - 24 - 6 =
5 - 6 + 0 + 24 + 6 = 29
Utiliza las sugerencias para eliminar signos de agrupación y vamos a resolver los
siguientes ejemplos:
c)
5 - 2(8 - 3) = 5 - 2(5) simplifica el paréntesis primero.
= 5 - 10 realiza primero la multiplicación antes de restar.
=-5
Nota: Pudiste eliminar el paréntesis al utilizar la propiedad distributiva y luego restar.
5 - 2(8 - 3) = 5 - 16 + 6
=-5
Es muy frecuente en este tipo de ejemplos que cometas el siguiente error.
5 - 2(8 - 3) = 3(8 - 3)
= 3(5)
= 15
El error como observas es en restar el 2 de 5, esto no se puede hacer ya que el 2
multiplica al resultado de la operación del paréntesis.
61
Tienes que distinguir entre operaciones como:
d) 6 - 3(4 + 8) y
e) 6 - 3 + (4 + 8)
La primera expresión te indica que a 6 le vas a sustraer el producto de 3 por la suma de 4
y 8.
Mientras que la segunda expresión te indica simplemente 6 menos 3 más la suma de 4 y
8, al resolver las expresiones tendrás:
6 - 3(4 + 8)
f)
=
=
=
6 - 3(12)
6 - 36
- 30
6 - 3 + (4 + 8)
=
=
=
6 - 3 + (12)
6 - 3 + 12
15
5 - 2 3 - (6 - 2) =
1o. Resolver (6 - 2) = 5 - 2 3 - (4)
2o. Eliminar paréntesis = 5 - 23 - 4
3o. Resolver 3 4 = 5 - 2 - 1
4o. Eliminar corchetes = 5 + 2
5o. Resolver 5 + 2 = 7
Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores.
Nota: Puedes aplicar la propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a
simplificar primero los paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las
llaves.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores. Puedes aplicar la
propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a simplificar primero los
paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las llaves.
Problemas
1. En los siguientes problemas anota en el cuadro el número que corresponda a una
respuesta correcta.
a) 6 + 2
b) - 3
c)
2
=0
2 = 18
- 2 - 3 = 0
62
d)
42 +
e)
6 3+
f)
7
= 20
=-6
- 2 + 5 = - 42
2. Coloca signos de operación ( +, -, x, ) y paréntesis de tal forma que las siguientes
operaciones sean correctas.
Ejemplo:
(3
1)
2=1
(3 - 1) 2 = 1
a)
__ 12 __ __ 4 __ 2 __ 2 __ = 4
b)
__ 4 __ 10 __ __ __ 2 __ __ 3 __ __ = 36
c)
__ __ 2 __ __ 7 __ 6 __ __ 3 __ __ __ 8 __ 10 __ = 3
d)
8 __ __ __ 6 __ 4 __ __ 2 __ = 4
e)
__ 8 __ 6 __ __ __ 4 __ 2 __ = 7
Potencias
Como recordarás, en secundaria calculaste operaciones con potencias y con esto
conociste algunas propiedades de esta operación.
Por ejemplo:
23 = (2) (2) (2) = 8
34 = (3) (3) (3) (3) = 81
Los elementos que componen la utilización de potencias son:
base
23
exponente
Ahora extenderemos la utilización de potencias con base negativa
Ejemplo:
(- 2)3 = (- 2) (- 2) (- 2)
(- 3)4 = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3)
(- 6) (- 6) (- 6) = (- 6)3
(- 4) (- 4) (- 4) (- 4) = (- 4)4
63
=-8
= 81
= - 216
= 256
¿Cuándo una potencia resulta negativa?
Si la base es negativa, ¿cuándo la potencia es positiva?
Ahora, ¿recuerdas cómo se calcula la potencia de un número racional?
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios:
¿Cuál es el número mayor que puedes formar con tres números?
Solución:
Problemas
1. Compara los valores obtenidos al calcular las potencias y encuentra la mayor potencia.
a) con cuatro números 2
b) con cuatro números 3
c) con cuatro números 5
d) con tres números 9
2. Sigue los pasos y aplica los conocimientos que tienes sobre potencias.
- Elige cualquier número impar.
- Encuentra los dos números consecutivos que sumados componen ese número.
- Eleva esos dos números al cuadrado
- Calcula la diferencia entre esos dos cuadrados
¿Qué fue lo que obtuviste? ¿Puedes repetir el proceso para otro número impar?
Explica lo que observaste.
3. Calcula las potencias que siguen a continuación.
a)
b)
c)
25 24
4 3
53
22 3 2
42
64
d)
e)
f)
4 5
33
6 2 22
32
210 2 9
24
Si aprendiste a utilizar adecuadamente las propiedades de campo de los números reales,
los signos de agrupación y los procedimientos algoritmos de solución de las
operaciones básicas adición, sustracción, producto y cociente, realizarás problemas de
nivel de abstracción más elevados que te permitirán lograr el objetivo del tema que es
Operar con números reales.
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí estudiaste:
Los símbolos de agrupación los cuales son: los paréntesis ( ), los corchetes y las
llaves y se usan para señalar de una manera sencilla más de una operación, al indicar
el orden preciso en que deben efectuarse. Y no olvides que las cantidades o números
agrupados se pueden considerar como un todo.
65
RECAPITULACIÓN
En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes del
capítulo que acabas de estudiar, con la intención de que obtengas una idea clara de la
secuencia que seguiste en tus aprendizajes, para que puedas entender y manejar estos
conocimientos.
Necesidad de contar y medir
en todas las culturas.
Orígenes de Algunos
Sistemas Numéricos
Surgimiento de los sistemas
numéricos (sistema decimal,
fundamentado en los conceptos de
base y posición).
Método de multiplicación por
duplicación de los egipcios.
Operando con
los números
reales
Métodos y
algoritmos
Procedimiento de Gauss.
Solución de problemas.
Conjunto de números naturales (N),
enteros (Z), racionales (Q),
irracionales (Q)
Los números
reales (R)
Asociativa, distributiva, conmutativa,
cerradura.
Propiedades de
las operaciones
Incluyen los signos de agrupación.
66
ACTIVIDADES INTEGRALES
Después de haber revisado los contenidos de este tema realiza las siguientes
actividades, para que verifiques tu aprendizaje.
1. Si realizas una rifa de una libreta estilo francés con 90 números de 1 al 90, ¿cuál sería
el monto de la venta de estos números si su precio es el indicado por el número del
boleto? Por ejemplo, si eligen el número 35, su valor será de $35, y así
respectivamente.
2. En las siguientes expresiones, establece las propiedades que se aplican.
a)
25 + 35 = 35 + 25
b)
(17 + 13) + 20 = 17 + (13 + 20)
c)
16(2 x 15) = (16 x 2) x 15
d)
8(11 x 13) = 8(13 x 11)
e)
100 + 0 = 100
3. Con base en el significado de la propiedad asociativa, plantea distintas formas de
realizar las siguientes operaciones y argumenta por qué los resultados son los
mismos:
250 + 375 + 220 + 40 =
13 x 5 x 7 x 4 =
126 - 200 - 14 - 18 =
4. Justifica cada paso en la siguiente operación y nombra la propiedad que se emplea:
(5 + 8) + (6 + 2) =
67
(5 + 8) + 6 + 2
=
5 + (8 + 6 + 2
=
5 + (6 + 8) + 2
=
5 + (6 + 8) + 2
=
5 + 6 + (8 + 2)
=
21
5. Realiza las siguientes operaciones con números reales:
a)
(- 1) (- 3) =
b)
( - 4) (- 7) =
c)
(- 3 ) (+ 8) (9)
d)
- (-5) (- 3) (- 1) (12) =
e)
- 6 (6 + 8) + 8 - 32 + 16 =
f)
3 + 48 - 16 - 3 + 57 =
g)
(3 + 45) =
h)
(4 + 3) 2 =
i)
2 4 (2 5) 1 =
j)
4 + (25) =
k)
(- 3) + ( - 7) + (- 1) + (4) + (9) + (- 15) =
l)
(0) + (1) + (- 1) + (- 16) + (16) =
ll)
- - (- 2) + 3(6 - 8) 4 - 5 (5 + 2) =
m)
- (- 2) - 4 (4 - 6) 3 + (7 - 3) =
n)
3 - 7(5 - 6) - 3( - 2) - 5(- 4) - 6 + (5 - 7) =
o)
9 3 1
5 9 8
p)
2 5 5
5 4 6
2 5 5
3 4 6
q)
67 + 4(3 + 5) + 2(7 - 2)3 =
r)
(- 5) (- 2) 3 +2(1 - 1) - 7 (3 + 5) =
68
AUTOEVALUACIÓN
A continuación se presentan las respuestas de los ejercicios realizados, compáralas con
las que obtuviste y rectifica aquellas que sean diferentes.
1. Tu respuesta debe ser (45) (91) = 4095
2. Las propiedades que aplicaste son:
a)
Conmutativa de la adición
b)
Asociatividad de la adición
c)
Asociatividad de la multiplicación
d)
Conmutatividad de la multiplicación
e)
Identidad aditiva.
3. Si la propiedad asociativa permite asociar o agrupar cantidades de diferente manera,
algunas de las formas en que puedes realizar dichas operaciones son las siguientes:
250 + 375 + 220 + 40
13 x 5 x 7 x 4
126 - 200 - 14 - 18
4.
=
(250 + 375) + (220 + 40)
=
250 + (375 + 220) + 40
=
(250 + 375 + 220) + 40
=
(13 x 5) (7 x 4)
=
13 x (5 x 7) x 4
=
13 x (5 x 7 x 4)
=
(126 - 200) - 14 - 18
=
(126 - 200 - 14) - 18
=
Asociativa
Asociativa
Conmutativa
Asociativa
Asociativa
Cerraduras de la adición
126 + (- 200 - 14 - 18)
69
5.
a)
3
b)
28
c)
-216
d)
180
e)
- 92
f)
89
g)
48
h)
14
i)
29
j)
14
k)
-13
l)
0
ll)
-124
m)
n)
o)
70
- 2080
3
40
p)
3
5
q)
349
r)
-26
Nota: De las respuestas k) a la r) se te sugiere poner atención en la eliminación correcta
de los signos de agrupación y el orden de las operaciones. Recuerda cómo se
eliminan los signos.
70
CAPÍTULO 2
DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
2.1
MÉTODOS ARITMÉTICOS
2.1.1 Método por Ensayo y Error
2.1.2 Razones y Proporciones
2.1.3 Diagramas de Operaciones
2.2
MODELOS ALGEBRAICOS
71
72
PROPÓSITO
En el capítulo anterior operaste con los números reales, y aplicaste las propiedades de
sus operaciones.
Para este capítulo:
¿QUÉ APRENDERÁS?
¿CÓMO LO APRENDERÁS?
Al valorar la importancia del álgebra para la
solución de problemas que con la aritmética
son más laboriosos de resolver.
Comparando los métodos aritméticos y los
algebraicos; analizando los ejemplos que se
incluyen en el contenido, y desarrollando las
actividades que se proponen.
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Para identificar los modelos algebraicos
como una herramienta que nos ahorran
tiempo y esfuerzo en la solución de
problemas concretos.
73
74
CAPÍTULO 2
DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS
Generalmente aprendemos matemáticas como un proceso mecánico, donde lo único que
se requiere es sumar, restar, multiplicar o dividir dos cantidades; sin embargo, las
matemáticas son la base del razonamiento y toma de decisiones en muchas de nuestras
actividades, simplemente si tuviéramos prisa, ¿cómo tomaríamos la decisión de aplicar
un procedimiento u otro para concluir una actividad, sin calcular el tiempo que nos lleva
cada alternativa? en este caso nos auxilia la aritmética, que es una área de las
matemáticas con las que te has relacionado desde que conociste los números para
realizar operaciones con ellos.
Ahora bien, en ocasiones nos enfrentamos a problemas que con la aritmética es muy
laborioso solucionar, porque no tenemos todos los datos, y por consecuencia no
podemos tomar una decisión certera.
En estos casos nos auxilia el álgebra, por ejemplo: Imagínate que te ofrecen trabajo de
vendedor en dos compañías; en la primera te ofrecen un sueldo base de $ 500.00
mensuales, más el 4% de comisión sobre las ventas totales del mes; y en la segunda
únicamente el 7% de comisión sobre las ventas totales del mes. Además sabes que el
promedio de ventas en un mes supera los $10,000.00 por vendedor y que tú eres muy
hábil en este tipo de trabajos. ¿Por qué compañía te decidirías?
Si no sabes álgebra seguramente aceptarías la oferta de la primer compañía, pero si
tienes conocimientos algebraicos, antes de decidir harías algunos cálculos, que te
ayudarían a tomar la decisión más certera.
75
Pero iniciemos analizando las ventajas del álgebra, para lo cual es necesario conocer los
alcances de los métodos aritméticos como son: El Método de Ensayo y Error que nos
permitirá ejercitar las operaciones aritméticas, aplicadas a la resolución de problemas. El
Método de Razones y Proporciones nos ayudará a rescatar nuestros conocimientos de
proporcionalidad. Finalmente el Método de Diagramas de Operaciones que establece el
puente para llegar al álgebra.
2.2.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR
Para solucionar un problema por el método de ensayo y error, necesitamos intentar
encontrar el valor correcto resolviéndolo con cantidades aproximadas, si con la primera el
resultado es mucho menor del que esperamos, debemos aumentarla y si se excede,
debemos disminuirla.También es indispensable que leamos, las veces que sea necesario
el planteamiento del problema para definir: qué datos tenemos, qué es lo que
necesitamos encontrar, y qué procedimiento podemos aplicar. Recuerda también que
para resolver un problema aritmético, únicamente requieres de las operaciones básicas y
analizarlo correctamente.
EJEMPLO
Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros y se tiene bardeada una
porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. Si se quiere ampliar el área
bardeada a 364 m 2, además aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho,
¿qué longitud se debe ampliar la barda en cada lado?
Para tener una mejor idea del problema que se plantea, podemos recurrir a la figura 2.
20m
?
8m
30m
?
Figura 2. El área sombreada
corresponde a la actualmente
bardeada.
La línea punteada
delimita el área deseada. ¿A
cuánto corresponde la longitud
ampliada?
Antes de continuar, recuerda que para calcular el área de un rectángulo, multiplicamos la
longitud del largo por la del ancho. Así, el área que actualmente está bardeada es de
160 m2 y el área que deseamos obtener, es 364 m 2. Como debemos obtener estas
nuevas longitudes al sumar la misma cantidad al ancho y largo actuales, para resolver el
problema tenemos que encontrar un número tal, que al sumarlo a 20 y 8, el producto de
los resultados respectivos sea 364.
76
Podemos enfrentar este problema de diversas maneras, por el momento lo vamos a
hacer con el método de ensayo y error que consiste en ir probando o ensayando varios
valores hasta llegar al resultado correcto.
Sumemos 1 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos:
(20 + 1) x (8 + 1) = 21 x 9 = 189
Esta cantidad es menor a la deseada.
Sumemos entonces 2 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados
obtenidos:
(20 + 2) x (8 + 2) = 22 x 10 = 220
que es todavía menor que la cantidad requerida.
Sumemos ahora 10 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados
obtenidos nuevamente:
(20 + 10) x (8 + 10) = 30 x 18 = 540
que es mayor que la cantidad requerida.
Esto es, si aumentamos 2 metros a cada lado, obtenemos un área de 220 m 2 y si
aumentamos 10 metros a cada lado obtenemos un área de 540 m 2. Como al aumentar
la longitud de los lados aumenta el área y el área que buscamos está entre 220 y 540, el
número que buscamos debe estar entre 2 y 10.
Hagamos la prueba con 5:
(20 + 5) x (8 + 5) = 25 x 13 = 325
que es todavía menor que 364, así que probaremos con otro número que sea mayor que
5 y menor que 10. Ya que 325, el valor correspondiente a 5, está más cercano a 364 que
lo está 540, el valor correspondiente a 10, probaremos con un número que sea más
cercano a 5 que a 10.
Hagámoslo con 6:
(20 + 6) x (8 + 6) = 26 x 14 = 364
que es el área que buscamos. Así, para resolver el problema se requiere de aumentar 6
metros a la longitud del largo y del ancho, respectivamente.
77
EJEMPLO
Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00 pesos
diarios, más $ 2.00 pesos por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del
mismo auto $ 80:00 pesos diarios, más $ 2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos
kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma
en la dos compañías?
Resolveremos el problema nuevamente por el método de ensayo y error. Consideremos
varios valores, correspondientes a kilómetros recorridos para calcular el costo respectivo
en cada una de las compañías.
Con 50 kilómetros:
Costo en la primera compañía:
120.00 + 50 x 2.00 = 120.00 + 100.00 = 220.00
Costo en la segunda compañía:
80.00 + 50 x 2.5 = 80.00 + 125.00 = 205.00
En este caso el costo en la primera compañía es mayor que en la segunda.
Con 60 kilómetros:
Costo en la primera compañía:
120.00 + 60 x 2.00 = 120.00 + 120.00 = 240.00
Costo en la segunda compañía:
80.00 + 60 x 2.5 = 80.00 + 150.00 = 230.00
En este caso, nuevamente, el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda.
Con 70 kilómetros:
Costo en la primera compañía:
120.00 + 70 x 2.00 = 120.00 + 140.00 = 260.00
Costo en la segunda compañía:
80.00 + 70 x 2.50 = 80.00 + 175.00 = 255.00
Todavía el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda. Para tener una
mejor visión del problema resumiremos los datos en una tabla.
78
Kilómetros
Recorridos
50
60
70
Costo en la
Primera Compañía
220.00
240.00
260.00
Costo en la
Segunda Compañía
205.00
230.00
255.00
Tabla 1. La primera columna corresponde a los kilómetros recorridos, la segunda el costo de
rentar el automóvil en la primer compañía al recorrer el número de kilómetros
indicado en cada renglón, y la tercera, el costo que tiene rentarlo en la segunda
compañía al recorrer, también, el número de kilómetros indicado en cada renglón.
Como puedes observar, el tener concentrados los datos relevantes del problema en la
tabla nos puede ayudar a analizarlos.
De estos datos observamos que cuando crece el número de kilómetros recorridos, los
dos costos también crecen. Asimismo vemos que el costo en la primer compañía es
mayor que en la segunda, aunque la diferencia entre los dos costos disminuye cuando
aumentamos el número de kilómetros. Si analizas con cuidado la tabla te darás cuenta
que por cada 10 kilómetros que se aumenta, los costos para la primera compañía
aumenta 20.00 pesos y los de la segunda 25.00 pesos. De esta manera podemos
obtener calcular valores, sin tener que hacer tantos cálculos.
Consideremos nuevos valores para los kilómetros recorridos, 80, 90, 100 y 110 por
ejemplo, calculemos los dos costos correspondientes para cada uno de ellos, al
aumentar de 20.00, en 20.00 en la primera columna y de 25.00 en 25.00 en la segunda
concentremos los datos en la tabla y aumentemos cuatro renglones a la tabla anterior.
Kilómetros
Recorridos
50
60
70
80
90
100
110
Costo en la
Primera Compañía
220.00
240.00
260.00
280.00
300.00
320.00
340.00
Costo en la
Segunda Compañía
205.00
230.00
255.00
280.00
305.00
330.00
355.00
Tabla 2. Se aumentaron los renglones correspondientes a 80, 90, 100 y 110 km recorridos. Se
calculó el costo para la primer compañía al aumentar de 20 en 20 pesos, y para la
segunda de 25 en 25.
Como puedes observar, el kilometraje que se requiere para que el costo de la renta sea
igual en las dos compañías es 80. Además, observa que cuando el número de kilómetros
es mayor que 80, el costo de la renta en la segunda compañía es ahora mayor que en la
primera y que la diferencia crece.
Ahora observa que el método de ensayo y error, nos sirve para solucionar problemas
donde nos hace falta un dato, y lo que tenemos que hacer es aproximarnos con diversos
valores y comparar los resultados obtenidos hasta encontrar el correcto ¿Te pareció muy
complicado el procedimiento? ¿Crees que exista una forma más sencilla para
solucionarlos?
79
2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES
El método de razones y proporciones se aplica como un auxiliar del método de ensayo y
error, en problemas donde dos datos están relacionados, y se pueden expresar como
una fracción, para obtener un tercer dato que también está relacionado y se conoce como
constante o coeficiente de proporcionalidad.
Recuerda que antes de analizar el procedimiento de resolución para los ejemplos que se
plantean, debes intentar solucionarlos y comparar el procedimiento que realizaste con el
que aparece en el fascículo.
EJEMPLO
La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13 % respectivamente ¿Cuál era
el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? si suponemos que su
precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación.
Para aclarar el problema revisa la tabla 3.
INFLACIÓN
A HACE
DE HACE
3 años
2 años
1 año
2 años
1 año
A la actualidad
%
35
20
13
Tabla 3. Los últimos tres años abarcan el actual, el anterior y el de
hace dos. La inflación se determina en función del año
anterior.
Este problema lo podemos solucionar desde diversos métodos, sin embargo, primero lo
abordaremos desde el método de ensayo y error, para lo cual se calcula la devaluación
de 100 y 200 pesos de hace 3 años, considerando los porcentajes inflacionarios.
Para calcular la inflación de $100.00 analiza la siguiente tabla:
TIEMPO
Hace 3 años
Hace 2 años
Hace 1 año
Actualmente
VALOR DE $100.00
$100.00
100.00 + 35%
(100.00 + 35%) + 20%
(100.00 + 35%) + 20%+ 13%
Tabla 4. En la segunda columna aparece como se incrementó el valor
de los $100.00 de acuerdo a la inflación.
Hace dos años:
Para obtener el valor que conforme a la inflación tomaron hace dos años los 100.00
pesos de hace tres años, le sumamos la cantidad correspondiente al porcentaje de
inflación de ese año (35%).
100.00 + 0.35 (100.00) = 135.00
80
(1)
reagrupamos, en vista de la propiedad distributiva*,
(1 + 0.35) (100.00) = 135.00
(1’)
Hace un año:
De la misma manera, para obtener el equivalente que conforme a la inflación tomaron
hace un año los 135,000 pesos de hace dos, sumamos la cantidad correspondiente al
porcentaje de inflación de ese año (20%).
135.00 + 0.20 (135.00) = 162.00
(2)
(1 + 0.20) (135.00) = 1.20 (135.00) = 162.00
(2’)
* Recuerda que para sumarle un X% a una cantidad, se multiplica la cantidad por 1.X
dado que 1 corresponde 100% y X al porcentaje que se le suma.
Este año:
Para calcular el valor actual procederemos en forma análoga.
162.00 + 0.13(162.00) = 183.06
(1 + 0.13) (162.00) = 1.13 (162.00) = 183.06
(3)
(3’)
Se hicieron los cálculos cuando se multiplicaron las cantidades por 1.35, 1.20 y 1.13
respectivamente.
Ahora procedamos a calcular el costo actual de 200 pesos.
Así para calcular a cuánto eran equivalentes hace dos años, de acuerdo con el índice de
inflación, 200.00 de hace tres, multiplicamos 200.00 por 1.35.
Observamos que:
1.35(200.00)
(4)
200.00 = 2(100.00)
(5)
Entonces:
1.35(200.00) = 1.35 (200.00) = 1.35 (2(100.00))
81
(6)
Al reagrupar:
1.35 (2(100.00)) = 2(1.35(100.00)
(7)
O sea, que el valor correspondiente de hace dos años, de acuerdo a la inflación, de los
200.00 pesos de hace tres años, es el doble del correspondiente a 100.00
Para calcular los valores para hace un año y para este año, duplicamos los encontrados
para 100.00 respectivamente.
Hace un año:
2(162.00) = 324.00
Este año:
2(183.06) = 366.12
Al resumir los resultados anteriores diremos que 200.00 es el doble de 100.00 y que
también los valores correspondientes a 200.00, respecto a la inflación (270; 324.00;
366.12) son el doble de los que toma 100.00 (135.00; 162.00; 183.06) respectivamente.
Decimos entonces que los dos conjuntos de valores son proporcionales y los escribimos:
Hace tres años
200.00 = 2(100.00)
Hace dos años
270.00 = 2(135.00)
Hace un años
324.00 = 2(162.00)
Este año
366.12 = 2(183.06)
O bien:
200.00 270.00 324.00 366.12
2
100.00 135.00 162.00 183.06
En este caso al número dos le llamamos el coeficiente de proporcionalidad.
Al repetir el proceso anterior veremos que si en lugar de 200.00 tomamos otra cantidad,
los valores obtenidos también serán proporcionales con los correspondientes a 100.00.
Por ejemplo, sabemos que 50.00 es la mitad de 100.00, luego, 50.00 pesos de hace tres
años equivalen según la inflación a:
82
Hace dos años:
1
(135.00) 67.50
2
Hace un año:
1
(162.00) 81.00
2
Este año:
1
(183.06) 9153
.
2
En este caso
1
es el coeficiente de proporcionalidad.
2
Retomemos el problema original, que era encontrar el valor que tenían 338.66 pesos
actuales, hace tres años. Apoyándonos en los valores que hemos encontrado podemos
calcular el coeficiente de proporcionalidad.
Para tener una mejor visión del problema resumimos los datos en la siguiente tabla:
HACE TRE AÑOS
$ 50.00
100.00
?
200.00
HACE DOS AÑOS
$ 67.50
135.00
?
270.00
HACE UN AÑO
$ 81.00
162.00
?
324.00
ESTE AÑO
$ 91.53
183.06
338.66
366.12
Tabla 5
Para calcular el coeficiente de proporcionalidad para 338.66 pesos actuales, podemos
dividir dicha cantidad entre cualquier valor de este año.
Calculemos el coeficiente de proporcionalidad:
338.66 = 1.85
183.06
o sea que:
338.66 = 1.85 (183.06)
Como los valores del segundo y tercer renglón deben ser proporcionales y por la igualdad
anterior sabemos que el coeficiente de proporcionalidad es 1.85, para calcular los valores
del tercer renglón basta con multiplicar por 1.85 los del segundo:
185.00 = 1.85(100.00)
249.75 = 1.85(135.00)
299.70 = 1.85(162.00)
83
y para completar la tabla 6 con estos valores tenemos:
HACE TRES AÑOS
HACE DOS AÑOS
HACE UN AÑO
ESTE AÑO
$ 50.00
$ 67.50
$ 81.00
$ 91.53
100.00
135.00
162.00
183.00
185.00
249.75
299.70
338.66
200.00
270.00
324.00
366.12
Tabla 6
Hemos visto como la proporcionalidad nos ayudó a resolver el problema. Tal vez en este
momento te puede parecer, que sin usarla hubiera sido más fácil; esto se debe en parte a
que, en el curso del mismo, se introdujo el concepto de proporcionalidad, pero para llegar
a que los $338.66 son equivalentes a $185,00 de hace tres años, tendríamos que haber
hecho muchos más cálculos si únicamente hubiéramos aplicado el método de ensayo y
error.
Resolveremos ahora el siguiente problema con el método de ensayo y error, nos
apoyaremos en el concepto de proporcionalidad. Puedes observar cómo su uso nos
ahorra mucho trabajo.
EJEMPLO
En 1980 la población del estado de Sonora tenía aproximadamente 1’500,000 habitantes.
si suponemos que la tasa media de crecimiento de 1975 a 1980 fue el 5% anual.
¿Cuántos habitantes tenía en 1975 y cuál fue el último año que tuvo este estado menos
de 1’250,000?
Calcularemos el crecimiento de diferentes poblaciones, con la misma tasa de crecimiento
que la enunciada en el problema. Si partimos de una población de 1’000,000 habitantes
en 1975, tendremos:
1976:
1’000,000 + 0.05 (1’,000,000) = 1’000,000 + 50,000 = 1’050,000
84
Antes de continuar, obtengamos una forma más simple de hacer los cálculos:
1’000,000 + 0.05 (1’000,000)
= (1 + 0.05) (1’000,000) =
= 1.05 (1’000,00) = 1’050,000
Así, para calcular la población después de un año, si la tasa de crecimiento es de 5%
anual, se multiplica el número de pobladores por 1.05.
1977:
1.05 (1’050,000) = 1’102,500
1978:
1.05 (1’102,500) = 1’157,625
1979:
1.05 (1’157,625) = 1’215,506.2
1980:
1.05 (1’215,506.2) = 1’276,281.5
A pesar de que para los dos últimos años el resultado fue un número no entero y de que
no podemos tener un número no entero de personas, para efectuar los cálculos
usaremos estos números.
Aunque solamente tengamos los valores correspondientes a una población de 1’000,000
habitantes en 1975, empecemos a construir la tabla para tener mayor claridad, en ella no
consignamos la parte decimal de los números correspondientes a 1979 y 1980.
1975
1,000,000
1976
1,050,000
1977
1,102,500
1978
1,157,625
Tabla 7
1979
1,215,506
1980
1,276,281
Añadimos un renglón en la tabla, aquél que corresponde al valor 1’500,000 en 1980.
1975
1,000,000
?
1976
1,050,000
?
1977
1,102,500
?
1978
1,157,625
?
Tabla 8
1979
1,215,506
?
1980
1,276,281
1,500,000
Los valores del segundo renglón son proporcionales a los del primer renglón (¿por qué?),
por lo tanto, si calculamos el coeficiente de proporcionalidad calcularemos los valores
que hacen falta.
85
1500
,
,000
1175
.
1276
,
,281
La constante de proporcionalidad es entonces 1.175.
Para conocer cuántos habitantes había en 1975, multiplicamos 1,000,000 por 1.175:
1.175 (1,000,000) = 1,175,000
Si solamente quisiéramos saber cuantos habitantes había en 1975, ya hubiéramos
terminado; pero como también queremos saber cuándo fué el último año que hubo
menos de 1,250,000; efectuamos entonces los demás cálculos:
1.175 (1,050,000) = 1,233,750
1.175 (1,102,500) = 1,295,437
En este momento ya podemos responder la segunda pregunta, por lo que no
necesitamos seguir calculando. El último año que hubo menos de 1’250,000 habitantes
fue en 1976, no fue necesario por tanto, terminar de llenar la tabla.
1975
1,000,000
1,175,000
1976
1,050,000
1,233,750
1977
1,102,500
1,295,437
1978
1,157,625
?
Tabla 9
1979
1,215,506
?
1980
1,276,281
1,500,000
En la resolución del problema anterior, viste que efectivamente el uso de la
proporcionalidad nos ahorró bastante trabajo, de hecho solamente hubo que ensayar con
un valor y después hicimos uso de ella, para calcular directamente, por medio de la
constante de proporcionalidad, los valores que buscábamos.
Puedes ahora preguntarte, ¿podemos aplicar la proporcionalidad para resolver todos los
problemas que hemos visto?, y si no es así, ¿cómo podremos saber cuándo hacer uso
de ella?
Observe el siguiente ejemplo:
EJEMPLO
Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros, se tiene bardeada una
porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. si se quiere ampliar el área
bardeada a 364 m 2 y aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho, ¿qué
longitud se debe ampliar la barda en cada lado?
86
LARGO
20
21
22
25
26
30
Para ello calculamos los cocientes
ANCHO
8
9
10
13
14
18
ÁREA
160
189
220
325
364
540
20 8 160
,
,
26 14 364
20
0.769
26
8
0.571
14
160
0.439
364
Ya que los cocientes no son iguales, los renglones no son proporcionales y no podemos,
por tanto, resolver este problema usando la proporcionalidad.
Observa que el método de razones y proporciones, únicamente lo podemos aplicar
cuando se determina el coeficiente de proporcionalidad. ¿Te pareció más sencillo este
método que el de ensayo y error? ¿Cuál es la razón?
2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES
Hasta ahora hemos visto como resolver aritméticamente ciertos problemas con el
método de ensayo y error. Nos apoyamos en ocasiones, cuando el problema lo permite,
en la proporcionalidad. Es importante insistir en que estos problemas tienen una
importante diferencia, con aquellos que estábamos acostumbrados a resolver. Por lo
general, siempre teníamos que calcular o encontrar una cierta cantidad y era claro qué
operaciones había que realizar con los datos numéricos del problema.
Por ejemplo: si nos encontrábamos de viaje en alguna ciudad de los Estados Unidos de
Norteamérica y el costo de una comida fue de 23 dólares, es claro que, para saber cual
fue su costo en pesos mexicanos, bastaría con multiplicar 23 por el número de pesos que
cuesta comparar un dólar (lo que usualmente se conoce como el tipo de cambio pesodólar).
87
Esto es, operábamos con cantidades conocidas y nos interesábamos por el resultado de
operar con ellas. En los problemas que hemos planteado en este fascículo, conocemos
los resultados de ciertas operaciones y lo que nos interesa es saber la cantidad de que
partimos.
Por ello en los problemas que ahora queremos resolver, no es tan claro qué operaciones
aritméticas debemos realizar con los datos numéricos del problema, para encontrar la
cantidad de que partimos. De hecho, como se vio, tuvimos que hacer “algo más” que
operaciones aritméticas. Este “algo” adicional fue la implementación de un método para
resolverlos. Este método, como ya hemos dicho, se conoce usualmente como el método
de prueba y error o ensayo y error. como te podrás dar cuenta, el nombre del método es
muy descriptivo, máxime si recuerdas que para encontrar la cantidad deseada,
probábamos con algunos valores hasta que encontrábamos aquel que satisficiera las
condiciones del problema, es decir, hasta que ya no hubiera error. Aún cuando en
algunos casos este método puede resultar seguro, en algunos otros puede ser inútil o
cuando menos excesivamente laborioso.
El siguiente es un ejemplo donde se determinarán las operaciones que hay que realizar
con los datos numéricos, para llegar a la cantidad de que partimos, no es tan sencillo y
resolverlo por el método de ensayo y error es tardado y, como ya se ha dicho, laborioso.
EJEMPLO
Pedro pensó un número, que multiplicó por 2; al resultado le sumó 5 para después dividir
por 5, restar 1, multiplicar por 8 y, finalmente, sumar 7. El resultado que obtuvo fue el
número 39. ¿Cuál es el número que pensó Pedro?
Resuelve el problema por el método de ensayo y error. Una vez que lo hayas hecho, lee
el método de solución que te proponemos.
Para resolver este problema pensaremos lo siguiente: ¿podemos saber cuál es el
número que obtuvo Pedro antes de realizar la última operación (sumar 7) y cuyo
resultado le dio 39? Es decir, ¿cuál es el número que al sumarle 7 da 39? No cuesta
mucho trabajo convencerse de que, para obtener este número, basta con que a 39 le
restemos 7 (lo inverso de sumar 7). Así pues, como 39 - 7 = 32, ya sabemos que el
resultado que obtuvo Pedro, después de haber realizado las primeras cinco operaciones
fue 32.
Ahora nos preguntaremos: ¿cuál es el número que Pedro obtuvo antes de multiplicar por
8 y cuyo resultado le dio 32? Es decir, ¿cuál es el número que multiplicado por 8 da 32?
Como en el caso anterior, es fácil darse cuenta que, para encontrar este número, basta
con que a 32 lo dividamos por 8 (lo inverso de multiplicar por 8) de modo que, como 32/8
= 4, llegamos a la conclusión de que 4 fue el resultado que Pedro obtuvo después de
realizar las primeras cuatro operaciones con el número que pensó.
Seguramente a estas alturas, ya te diste cuenta del método que empleamos para
encontrar cada uno de los números que Pedro obtuvo conforme realizó las operaciones,
y de este modo llegar al número inicial. De hecho, nuestro problema queda ilustrado
gráficamente de la siguiente manera:
88
x2
?
+5
?
5
?
-1
?
x8
?
+7
?
39
y el método que usamos para resolverlo es de la siguiente forma:
10
2
-5
20
x5
25
+1
5
8
4
-7
32
39
Como podrás observar, de esta manera es fácil determinar cuales son las operaciones,
que hay que realizar con los datos numéricos del problema. A los diagramas construidos
les llamaremos diagramas de operaciones.
Compara ahora la manera en que solucionamos el problema por medio de los diagramas
de operaciones, con la manera en que lo hiciste con el método de ensayo y error. Podrás
darte cuenta, en primer lugar, de que el número de operaciones que tuviste que realizar
fue bastante menor, a menos que el primer número que hayas escogido para probar
haya sido 10, lo cual sería realmente una casualidad.
En segundo lugar, verás que la manera de resolver el problema se aplica a cualquier otro
número, para el cual el problema tenga solución. Así, si se tiene el número 55 como
resultado de efectuar las operaciones descritas con un número, que se pensó al aplicar el
método del diagrama de operaciones se obtiene:
15
2
30
-5
35
x5
7
+1
6
8
48
-7
55
Desafortunadamente, con el método anterior no es posible resolver una buena variedad
de los problemas, que enfrentamos. Más aún, si hacemos una pequeña modificación al
ejemplo te darás cuenta que el método que empleamos ya no funciona.
EJEMPLOS
Pedro pensó un número al cuál multiplicó por 2, al resultado le sumó 5, para después
dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8 y finalmente restar 3 y
obtendrás como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro?
Si aplicamos el método empleado en el problema anterior, llegamos a un punto en el cual
ya no podemos avanzar.
89
Esto se ve más claramente en el siguiente diagrama:
?
2
?
-5
?
x5
?
?
8
8
64
+3
61
El método de diagramas de operaciones únicamente requiere saber cuál es la operación
inversa que corresponde ¿Crees que exista una forma más sencilla de resolver este tipo
de problemas? ¿Cómo te imaginas que podrías plantearlos?
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Para que ejercites los tres métodos que analizamos en este tema, resuelve los siguientes
problemas por el método que se indica.
POR ENSAYO Y ERROR:
1) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur
¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 845 km entre ambos, si la velocidad del
primero es de 100 km/h, y el segundo va a 95 km/h?
Respuesta: ____________________
Para resolver este problema, deberás aumentar las horas. Si con esto no llegas al
resultado exacto, transforma las horas a minutos. Para dar la respuesta, vuelve a
transformar los minutos a horas.
845 km t = ?
2
1
N
E
2) ¿Qué número habrá que sumar a 25 y 30, para que el producto de los resultados sea
1974?
Respuesta: ______________
Recuerda que cuando hablamos de producto, nos referimos al resultado de una
multiplicación.
90
3) Se invierten $1,000.00 en el banco a un interés de 10% anual ¿cuántos años tendrán
que pasar para obtener más de $ 5,000.00 si se reinvierten los intereses?
Recuerda que para sumarle el 10% a una cantidad se multiplica la cantidad por 1.1.
POR RAZONES Y PROPORCIONES
4) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00
diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del
mismo auto $80.00 diarios, más $2.50 por kilómetro recorrido ¿cuántos kilómetros se
deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en las dos
compañías?
Respuesta: ________________
Para solucionar este problema, primero aplica el método de ensayo y error para dos
valores; después encuentra el coeficiente de proporcionalidad; con éste, calcula el
valor que se solicita.
Si no lo puedes solucionar por este método, escribe en media cuartilla las razones.
5) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur
¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 768 km entre ambos, si la velocidad del
primero es de 80 km/h y del segundo de 90 km/h?
Inicia la resolución de este problema por ensayo y error; después obtén el coeficiente
de proporcionalidad y calcula el valor que se solicita.
Si no puedes resolverlo por este método explica las razones en media cuartilla.
POR DIAGRAMAS DE OPERACIONES
6) Juan abrió una cuenta de cheques con una cierta cantidad el día primero de enero. El
día 5 hizo un depósito de $200.00; el 10 extendió un cheque por una cantidad igual a
la mitad de su saldo del día 5; el día 15 hizo un depósito por una cantidad que le
triplicó su saldo del día 10 y el día 25 hizo un retiro de $ 50.00 ¿Cuál es la cantidad
inicial con la que abrió Juan su cuenta de cheques, si el banco le informa que a fin de
mes tiene un saldo de $400.00?
Respuesta: ______________________
Lee con cuidado el problema, al tiempo que haces el diagrama original una vez que lo
tengas terminado, realiza las operaciones.
7) José compra un cierto producto cada año. En 1988 le costó una cierta cantidad.
Para 1989 lo compró $50.00 más barato; en 1990 era cuatro veces más caro que en
1989; en 1991, en una oferta, lo compró a mitad de precio del año anterior y en 1992
compró el producto en $400.00, lo que representa $100.00 más que en 1991. ¿Cuál
fue el precio del producto en 1989?
Respuesta: ______________________
Lee con cuidado el problema, no te confundas con los años, el procedimiento es
exactamente el mismo que en el caso anterior.
91
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí hemos revisado tres métodos aritméticos que nos sirven para solucionar
problemas donde nos hace falta un valor. Las operaciones que aplicamos en la mayoría
de los casos, fueron las básicas: suma, resta, multiplicación y división, también aplicamos
el por ciento, en los problemas que solucionamos por razones y proporciones.
En el siguiente mapa conceptual podrás observar la síntesis de este tema:
MÉTODOS ARITMÉTICOS
permiten solucionar
PROBLEMAS
por
ENSAYO Y
ERROR
con
VALORES
APROXIMADOS
DIAGRAMAS DE
OPERACIONES
que se apoya
en
con
RAZONES Y
PROPORCIONES
OPERACIONES
INVERSAS
con
COEFICIENTE DE
PROPORCIONALIDAD
También incluimos que cuando no contamos con dos datos en un problema no podemos
solucionarlos con los métodos aritméticos. Este tipo de problemas se resuelven con los
modelos algebraicos que abordaremos en el siguiente tema, con la finalidad de
reconocer su lenguaje.
92
2.2 MODELOS ALGEBRAICOS
Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas
cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de
modelos, debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para lo cual
representamos las incógnitas con una literal; formamos una expresión, y hacemos uso de
la igualdad “=“ para así establecer la ecuación a resolver.
EJEMPLOS
Queremos saber qué número le tenemos que sumar a 10 y restar al 18 para obtener la
misma cantidad.
Para iniciar la construcción de un modelo algebraico, debemos precisar el valor (o
valores) que deseamos encontrar, sin recurrir al ensayo y error; a éste valor le
llamaremos incógnita.
En el problema planteado, la incógnita es el número que le tenemos que sumar a 10 y
restar a 18 para obtener la misma cantidad.
Posteriormente, es necesario representar la incógnita con una letra o literal x.
Al sustituir el valor que deseamos encontrar por la literal “x”, en el ejemplo que
estamos analizando, formaríamos la expresión 10 + x, así como 18 - x. Si decimos
que los resultados de estas expresiones deben ser iguales entonces podemos
representarlas con la siguiente expresión:
10 + x = 18 - x
Encontrar el número buscado, se reduce entonces, a encontrar un número tal, que al ser
sustituido por la literal x, en la expresión anterior, haga que en ambos lados se obtenga el
mismo valor.
No ha sido una casualidad que usemos la palabra expresión para referirnos a 10 + x, 18 x, así como a 10 + x = 18 - x. El concepto expresión está relacionado al lenguaje o
lengua. Es muy común usar como sinónimos expresión y oración.
En el siguiente cuadro podemos ver como las expresiones x; 10 + x; 18 - x, así
como 10 + x = 18 - x son semejantes a una oración, a través de las cuales
comunicamos una idea concreta.
93
LENGUAJE COMÚN
Queremos saber qué número
le tenemos que sumar a 10
y restar a 18
para obtener la misma cantidad
EXPRESIÓN
x
10 + x
18 - x
10 + x = 18 - x
Tabla 10. En la columna izquierda, aparecen oraciones o ideas en el lenguaje cotidiano. En
la columna derecha, puedes observar una forma de representar esas ideas al substituir el valor
que queremos encontrar por “x”.
Las expresiones que aparecen en la columna de la derecha de la tabla 10, son oraciones
de un lenguaje cotidiano, el cual es traducido a un lenguaje algebraico. Ahora bien
cuando dos expresiones involucran el signo igual ( = ), son llamadas igualdades ó
ecuaciones. Las expresiones que aparecen a cada lado del signo =, se llaman miembros
de la ecuación.
Es necesario aclarar que en este capítulo, únicamente estamos analizando como se
construyen los modelos algebraicos, por lo que no abordaremos el procedimiento para
resolverlos. Dichos procedimiento lo estudiarás en los siguientes fascículos de esta
asignatura.
Con la única finalidad de que compruebes que la ecuación tiene el mismo valor en ambos
miembros, te proporcionamos el valor de “x”, el cual es 4.
Entonces, sustituyendo las incógnitas por el valor de 4, encontramos que dicha igualdad
se cumple:
10 + 4 = 18 - 4
14= 14
EJEMPLO
Actualmente, mi padre tiene 46 años y yo tengo 17. ¿Dentro de cuántos años, mi edad
será exactamente la mitad de la edad que tendrá mi padre? Es claro que actualmente mi
edad (17 años), es menor que la mitad de la de mi padre (23 años).
En este ejemplo, es importante destacar la dificultad para determinar cuáles son las
operaciones aritméticas que se realizarán con los datos numéricos, para encontrar el
valor que requerimos (el número de años que tienen que pasar para que, en ese
momento, mi edad sea la mitad de la de mi padre).
Independientemente de que este ejemplo parezca más complicado que el anterior,
procederemos de la misma forma. Primero determinemos nuestra incógnita, que en este
caso es el número de años que tiene que transcurrir para que mi edad sea la mitad de la
de mi padre.
94
Ahora sustituyamos la incógnita, por la literal x, para así formar las expresiones que
solucionarán este problema. Observa la tabla 11, en la que aparece la traducción del
problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico:
LENGUAJE COMÚN
Edad actual de mi padre
Mi edad actual
Después de ciertos años
La edad de mi padre será
Yo tendré
De tal forma que la mitad de la de mi padre.
Será igual a la mía
EXPRESIÓN
46
17
x
46 + x
17 + x
46 x
2
17 x
46 x
2
Tabla 11. Con esta tabla hemos traducido el problema del lenguaje común al lenguaje
algebraico, hasta obtener la ecuación que le dará solución.
Así, las expresiones algebraicas que obtenemos son: x;46 x;
como 17 x
46 x
.
2
46 x
, así
2
Y a su vez, esta última es la ecuación que dará respuesta a nuestro problema.
Igual que en el ejemplo anterior , te daremos el valor de “x” para que compruebes que en
ambos miembros de la ecuación se obtiene la misma cantidad, cumpliéndose de esta
forma la igualdad.
El valor de “x” es 12, y al sustituirlo en la ecuación encontramos que:
17 12
46 12
2
29
58
2
29 29
Lo cual quiere decir que dentro de 12 años mi edad (29 años) será exactamente la mitad
de la de mi padre (58 años).
95
Antes de dar otros ejemplos y como una prueba de la utilidad y amplia aplicabilidad de la
herramienta que hasta aquí hemos desarrollado, haremos uso de ella para resolver el
ejemplo.
EJEMPLO
Pedro pensó un número al cual multiplicó por 2, a cuyo resultado le sumó 5, para
después dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8, finalmente restar 3 y
obtener como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro?
Como dijimos en el problema anterior, el primer paso
consiste en identificar las
cantidades que deseamos conocer. En este problema, es claro que esta cantidad es el
número. Al hacer uso de esta letra, el resto de los elementos del problema quedarían
expresados de la siguiente manera:
Pedro pensó un número x al cuál multiplicó por dos (2x), a cuyo resultado le sumó cinco
(2x + 5), para después dividir por cinco 2x 5 , sumar el número que penso
5
2x 5 x , y finalmente restar tres 8 2x 5 x 3 , y
2x 5
x , multiplicar por ocho 8
5
5
5
obtenemos como resultado el número
61; 8
resumido en la tabla 12.
LENGUAJE COMÚN
Pedro pensó un número
el cual multiplicó por 2
a cuyo resultado le sumó 5
para después dividir por 5
2x 5
x 3 61 .
5
Todo esto queda
LENGUAJE ALGEBRAICO
x
2x
2x + 5
2x 5
5
2x 5
x
5
sumar el número que pensó
multiplicar por 8
2x 5 x
5
8
para finalmente restar 3
2 x 5 x 3
5
8
obteniendo el número 61
2 x 5 x
5
8
3 61
Tabla 12. En esta aparece la traducción del problema del lenguaje común al algebraico.
96
Así la ecuación:
2x 5 x 3 61
5
8
representa el problema planteado en lenguaje algebraico.
A partir de aquí empezaremos a realizar operaciones, de tal forma que obtengamos
diferentes ecuaciones equivalentes, hasta lograr despejar la incógnita x. Por ahora ya no
haremos este trabajo. Sin embargo, te podrás dar cuenta que tomando x = 5 en la
ecuación anterior, obtienes la igualdad 61 = 61. Es decir, el número que pensó Pedro
fue 5.
EJEMPLO
Un caballo y un mulo caminaban juntos y llevaban pesados sacos sobre sus lomos.
Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te
quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te
doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos
el mulo?
En este problema necesitamos dos datos: el número de sacos que lleva el caballo y el
número de sacos que lleva el mulo. Para diferenciarlos, debemos asignarles literales que
no sean iguales. Representemos con la letra “x” el número de sacos que lleva el caballo
y con la letra “y” el número de sacos que lleva el mulo.
Expresemos ahora el resto de los elementos del problema haciendo uso de estas letras.
El mulo dice: “Si yo te tomara un saco”, de modo que el caballo quedaría ahora con x - 1
sacos, “mi carga”, que ahora sería igual a y + 1 sacos, “sería el doble que la tuya”, es
decir, tendríamos la ecuación:
2(x - 1) = y + 1
y el mulo continua diciendo: “Y si yo te doy un saco”, de modo que su carga sería ahora
de y - 1 sacos, “tu carga”, que ahora sería de x + 1 sacos, “se igualará a la mía”, es decir,
tendríamos la ecuación:
y-1=x+1
97
Lo hecho anteriormente quedaría resumido en el siguiente cuadro:
LENGUAJE COMÚN
Si de tu carga
tomara un saco
y a mi carga
se le agregara
mi carga sería el doble de la tuya
y si te doy un saco
tu carga
se igualará a la mía
LENGUAJE ALGEBRAICO
x
x-1
y
y+1
y + 1 = 2 (x - 1)
y-1
x+1
y-1 = x+1
Tabla 13 Observa que para solucionar este problema debemos encontrar el valor
de “x” así como el de “y”. Además que se forman dos ecuaciones.
Como te habrás dado cuenta, este problema tiene algunas diferencias sustanciales con
los anteriores. En este caso el número de cantidades a determinar son dos y por lo tanto
hay dos incógnitas. En segundo término, el problema queda modelado por dos
ecuaciones en las que aparecen ambas incógnitas, a saber:
y + 1 = 2(x - 1)
y-1=x+1
En este caso decimos que para encontrar la solución del problema, tenemos que
resolver un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Observa que en
este caso, la solución debe estar dada por un par de números que, al ser sustituidos por
x y y en estas ecuaciones, en ambas debemos de obtener una igualdad.
De hecho, puedes verificar fácilmente que, al tomar y = 7 y x = 5
igualdades.
obtienes estas
El siguiente ejemplo nos permitirá dar una clasificación más precisa de las ecuaciones.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza lo siguiente:
A un terreno de forma cuadrada se le quitó una franja de 3 km de ancho de su costado
oriental y una franja de 4 km de ancho de su costado norte, con lo cual su superficie
quedó reducida a la mitad. ¿De qué dimensiones era el terreno original?
98
Como en los dos problemas anteriores, lo primero que tenemos que hacer es determinar
cuál es o cuáles son las cantidades que hay que encontrar. Ya que el problema pide
determinar las dimensiones de un terreno de forma cuadrada, basta con encontrar
cuánto mide uno de sus lados (el resto de los lados medirán lo mismo). Digamos que la
letra x representa la longitud de cada lado del cuadrado. A fin de poder expresar el resto
de los elementos del problema en términos de la incógnita x, nos auxiliaremos de un
dibujo que nos represente la situación descrita en el problema (este es un recurso muy
útil siempre que el problema lo permita).
N
x
Figura 3. El terreno completo.
El cuadrado de arriba representa nuestro terreno. A la superficie original del terreno xx,
se le quita una franja de 3 km de ancho en su parte oriental y una franja de 4 km de
ancho en su costado norte.
x
N
x- 3
3
Figura 4. El terreno señalando los 3 km y 4 km que se le quitará del lado oriente y norte.
99
Por lo que la superficie del nuevo terreno, ahora representada por (x - 3) (x - 4) queda
igual a la mitad de la superficie original, es decir.
(x-3) (x-4) =
x x
2
Al desarrollar la expresión del primer miembro de la ecuación obtendríamos el siguiente
modelo algebraico.
x
2
7 x 12
x
2
2
Escrita la ecuación de esta manera, es fácil distinguir sus semejanzas y sus diferencias
con la ecuación del problema de las edades. Esta ecuación y la de ese problema tienen
en común la propiedad de que en ambas aparece una sola incógnita. Sin embargo, en
esta última ecuación la incógnita aparece elevada al cuadrado, mientras que en la
primera la incógnita aparece elevada a la potencia 1. Esta diferencia hace que las
ecuaciones reciban nombres distintos. en el caso de la ecuación del problema de las
edades decimos, que tenemos una ecuación de primer grado (dado que la incógnita sólo
aparece elevada a la 1 con una incógnita, mientras que en el problema del terreno
cuadrado se dice que la acuación es de segundo grado (dado que la incógnita aparece
elevada al cuadrado) con una incógnita.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Traduce al lenguaje algebraico los siguientes problemas:
1) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00
diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido. Otra compañía cobra por la renta del
mismo auto $80.00 diarios más $2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos
kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la
misma en las dos compañías?
Modelo Algebraico: ____________________
2) La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13% respectivamente. ¿Cuál
era el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? Si suponemos
que su precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación.
Modelo Algebraico: ____________________
Recuerda que nuestro objetivo es traducir del lenguaje común al algebraico, por lo que no
es necesario que llegues a la solución a través del modelo algebraico.
100
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
En este tema aprendiste a traducir sin problema del lenguaje común al lenguaje
algebraico, para formar modelos algebraicos; que no son mas que una forma de
representar los problemas que queremos resolver.
En el siguiente mapa conceptual aparecen los conceptos más importantes del tema y sus
relaciones.
MODELO ALGEBRAICO
sus elementos son
LETRA
O
LITERAL
LA INCÓGNITA (S)
por ejemplo
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
por ejemplo
xóy
64 + x
lo que se quiere
obtener del problema
ECUACIÓN
que es
DE PRIMER GRADO
DE SEGUNDO
GRADO
por ejemplo
CON UNA
INCÓGNITA
por ejemplo
CON DOS
INCÓGNITAS
por ejemplo
10 + x = 18 - x
y + 1 = 2(x +1)
101
x2 3x 2
RECAPITULACIÓN
En este capítulo te presentamos algunas ideas para resolver un tipo de problemas,
aquéllos en los que conocemos los resultados de cierto tipo de operaciones, además nos
interesa conocer la cantidad de que partimos.
Usamos para su resolución el método de ensayo y error, el cual por lo general involucra
procedimientos largos y laboriosos, y nos hemos apoyado, cuando el problema lo
admitió, en el concepto de proporcionalidad, para hacer más eficientes estos
procedimientos.
Vimos también un primer modelo de algunos de ellos los diagramas de operaciones y
establecimos así procedimientos más generales que los de ensayo y error.
Finalmente propusimos el uso del lenguaje algebraico, para establecer modelos
algebraicos generales de estas situaciones, que nos permitirán establecer
procedimientos también generales para la resolución de estos problemas.
Esto es, buscamos a través de la utilización de los métodos descritos para la resolución
de estos problemas, los más generales y eficientes. Hasta este momento hemos
propuesto el lenguaje algebraico para establecerlos, por medio del uso de modelos
algebraicos, en particular, del establecimiento de ecuaciones.
102
ACTIVIDADES INTEGRALES
Con la finalidad de que compares los procedimientos para solucionar problemas para los
diferentes métodos que hemos analizado en este capítulo resuelve los siguientes
problemas:
1.La suma de 3 números consecutivos es 186.
a) Determinar esos 3 números aplicando el método de ensayo y error.
b) Interpreta el enunciado en un modelo algebraico.
2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00
mensuales.
¿Cuánto deberá invertir para ganar $740.00; $780.00 y $880.00
a) Resuelve el problema mediante el método de ensayo y error.
b) Resuelve el problema aplicando razones y proporciones
c) Interpreta el problema en un modelo algebraico.
3) Una industria textil que fabrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de
obra para la elaboración de su producto de $15,820.00
En el departamento de batientes se gasta una cierta cantidad. En el departamento de
cardas gasta $280.00 más que en el de batientes. En el departamento de estiradores
gasta $1,680.00 menos que en el segundo departamento. En el de troziles gasta
$560.00 más que en el departamento de estiradores y en el departamento de coneras
se gasta una cantidad igual a la de cardas.
a) Intenta resolver el problema aplicando diagramas de operaciones y si no lo lograste,
indica por qué.
b) Interpreta el problema mediante el modelo algebraico.
103
AUTOEVALUACIÓN
A fin de que compruebes que los procedimientos que aplicaste para resolver los
problemas de las actividades integrales, te presentamos a continuación los resultados a
los que debiste llegar.
1.
La suma de 3 números consecutivos es 186.
a) El número inicial es 61; ya que 61+62+63=186
b) El modelo algebraico es:
x + (x + 1) + (x + 2) = 186
2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00
mensuales.
a) Debiste buscar el tanto por ciento de intereses que recibe la señora Arzate, hasta
encontrar 16% y posteriormente buscar las cantidades que al obtenerles el 16% dé
como resultado, los valores planteados
b) En este caso no es necesario determinar el % de interés de 4500.00, ya que
podemos obtener las cantidades desconocidas obteniendo el coeficiente de
proporcionalidad de la siguiente manera.
4500
1
2
3
720
740
780
880
Paso 1:
740
?
1.0277
4624.6 4625
720
4500
Paso 2:
780
?
1.0833
4874.8 4875
720
4500
Paso 3:
880
?
1.2222
5499.9 5500
720
4500
104
c) Debiste establecer una ecuación para cada valor dado:
4500 (x)
= 720
x1x = 740
x2x = 780
x3x = 880
3. Una industria textil que fábrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de
obra para la elaboración de su producto de $15820.00
a)
?
- - 280
C
+ 1680
- 560
?
C
?
15820
Este problema no se puede resolver aplicando este método, ya que existen varias
incógnitas que tenemos que obtener.
b)
x + (x + 280) + (x + 280 - 1680) + (x + 280 - 1680 + 560) + (x + 280) = 15820
ó x + (x + 280) + (x - 1400) + (x - 840) + (x + 280) = 15820
Resolviendo el modelo, obtenemos como solución x = 3500
105
RECAPITULACIÓN GENERAL
En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes de
este fascículo, para que tengas la posibilidad de repasar los temas que ya estudiaste.
ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
OPERANDO CON
LOS NÚMEROS
REALES (R)
BOSQUEJO
HISTÓRICO
NECESIDAD Y
MEDIR EN
TODAS LAS
CULTURAS
SEGUIMIENTO DE
LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS.
SISTEMA
DECIMAL
FUNDAMENTADO
EN EL CONCEPTO
DE BASE Y
POSICIÓN
MÉTODOS Y
ALGORITMOS
MÉTODO DE
MULTIPLICACIÓN
POR DUPLICIDAD
DE LOS EGIPCIOS
MÉTODO
ARITMÉTICO
LOS NÚMEROS
REALES (R)
PROPIEDADES DE
LAS OPERACIONES
CONJUNTO DE
NÚMEROS
NATURALES (N)
ENTEROS (Z)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (Q’)
CERRADURA
ASOCIATIVA
CUNMUTATIVA
DISTRIBUTIVA
ELEMENTO
NEUTRO Ó IDÉNTICO
ELEMENTO INVERSO
PROCEDIMIENTO
DE GAUSS
SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
MODELO
ALGEBRAICO
MÉTODO POR
ENSAYO Y
EEROR
VALORES
APROXIMADOS
RAZONES
Y PROPORCIONES
COEFICIENTE DE
PROPORCIONALIDAD
DIAGRAMAS
DE
OPERACIONES
INCÓGNITAS
OPERACIONES
INVERSAS
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ECUACIONES
PRIMER
GRADO
CON UNA
VARIABLE
106
SEGUNDO
GRADO
CON DOS
VARIABLES
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
Resuelve los siguientes problemas considerando lo que estudiaste en el fascículo y si
tienes dudas, revisa los ejemplos y ejercicios que trabajaste.
1.
Escribe en forma desarrollada y en potencias de diez las siguientes cantidades.
a) 2897
b) 53,915
c) 234,756
=
=
=
2. Aplica el método que se te indica para resolver los siguientes ejercicios:
a) Determina el resultado del producto 98 x 67 por duplicación de los egipcios.
b) Escribe la expresión y el resultado de la siguiente serie de números aplicando
el método de Gauss. (- 40) + (- 37) + (- 34) + .......+ 29 + 32 + 35
3. Justifica las propiedades que se están aplicando en cada paso de las siguientes
operaciones.
a)
b)
4.
(3 + 2) + (5 + 8)
(7 + 6 ) + 3(2 + 8)
=
(2 + 3) + (8 + 5)
=
2 + (3 + 8 + 5)
=
18
=
(6 + 7) + 3(8 + 2)
=
(6 + 7) + (24 + 6)
=
(6 + 7 + 24 + 6)
=
43
Realiza las siguientes operaciones con números reales.
a)
(5 + 8)2
=
b)
- 3 + 5(6 - 1) - 2 - 2 + 5 (2) =
c)
- - (-3) + 4 (7 - 9) 5 - (6 + 3) =
d)
2 - 6 (4 - 5) - 2(- 1) - 4( - 3) - 5 + (4 - 6)
107
=
e)
2 3 1
=
5 2 5
f)
g)
8 1 2
7 3 5
h)
3 1 2 3 1 1 3
2 5
11 18 5 10
8
i)
4
j)
1 6
8
2 3
3 5 15 3 7
1
3
1
8
1
3
2
3
2
1
5
5. Resuelve los siguientes problemas, aplicando el método de ensayo y error.
a) ¿Qué número habrá que sumar a 4 y 11 para que el producto de ambos sea el
mínimo común múltiplo de 10 y 24?
b) Un individuo dispone de un terreno cuadrado que mide 18 m por lado, en el cual
desea cultivar verdura en una parte cuadrada cuya área sea de 132.25 m 2 como lo
muestra la figura.
La condición que el quiere es que el área cultivada quede centrada en el terreno,
con el fin de que exista un camino alrededor.
¿Cuánto debe medir cada lado de la parte cultivada?
108
¿Cuánto debe medir el ancho del camino que rodea la parte cultivada?
ANCHO
D
E
L
ÁREA
CULTIVADA
C
A
M
I
N
O
18 m
18 m
6. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de proporcionalidad.
a) El precio de venta de un engrane actualmente es de 27.6 dólares y hace un
año costaba 24 dólares.
Si un rodillo metálico actualmente cuesta 43.7 dólares ¿Cuánto costaba hace un
año considerando que el aumento de ambos productos fue en la misma
proporción.
b) Don Arnulfo dejó una herencia de $750,000.00 para sus 4 hijas; a Lulú le tocó
la mitad, a Bety la cuarta parte, a Ema la quinta parte y a Cata el resto.
El hermano de Arnulfo cuando se muera pretende dejar una cierta cantidad de
herencia, la cual se deberá repartir a sus cuatro sobrinas en la misma proporción
que la herencia de Arnulfo. Si a Bety le pretende dejar $420,000.00 ¿Qué cantidad
de herencia dejará su tío?
7. Plantea el modelo algebraico que permite obtener la solución de cada enunciado que
a continuación aparece.
a) Un puente tiene una determinada longitud de largo, la cual está compuesta
por tres secciones, la central tiene 100 mts. de largo y cada sección de los
extremos representa una sexta parte de la longitud total del puente. Con base a
lo anterior, construye el modelo algebraico que representa la longitud del puente.
109
b) La suma de dos números enteros nos da como resultado 24 y la diferencia del
triple de cada uno de ellos nos da el mismo resultado de la suma. ¿Cuáles son
esos números?
c) Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su área
mide 432 m2. Construye el modelo algebraico que representa el valor del área.
110
AUTOEVALUACIÓN
1. A continuación te presentamos los resultados de los problemas anteriores para que
puedas comparar tus resultados, y así conocer los avances de lo que has aprendido.
a) 2 x 1000 + 8 x 100 + 9 x 10 + 7 2 x 103 + 8 x 102 + 9 x 101 + 7 x 1
b) 5 x 10,000 + 3 x 1000 + 9 x 100 + 1 x 10 + 5 5 x 104 + 3 x 103 + 9
x 102 + 1 x 101 + 5 x 1
c) 2 x 100,000 + 3 x 10,000 + 4 x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 6
2x 105 + 3 x 104 + 4 x 103 + 7 x 102 + 5x 101 + 6 x 1
2.
a)
1
2
4
8
16
32
64
98
196
392
784
1568
3136
6272
98 + 196 + 6272 = 6566
b)
Expresión: ( - 5) x 13
Resultado: - 65
a)
Conmutativa
Asociativa
Cerradura
b)
Conmutativa
Distributiva
Asociativa
Cerradura
3.
111
4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
26
8
- 20
- 784
17/10
23/315
- 16/105
- 241/79200
28/5
27/14
5.
a) (4 + 4) x (11 + 4) = 120
M.C.M de 10 y 24 es 120
El número que habrá que sumar es “4”
b) Lado = 11.5 x 11.5 = 132.25 m2 Cada lado debe medir 11.5 mts.
Ancho = 3.25 mts.
6.
a)
K
PRODUCTO
ENGRANE
HACE UN AÑO
24
ACTUAL
27.6
RODILLO
¿ ?
43.7
43.7
.
1583
27.6
Precio del rodillo hace un año = 1583
. ( 24 )
= 38 dólares
b)
PERSONA
HERENCIA
LULÚ
BETY
EMA
CATA
ARNULFO
750,000
375,000
187,500
150,000
37,500
HERMANO
¿ ?
420,000
112
K
420,000
2.24
187 ,500
Herencia del hermano = 2.24 (750,000) = $ 1,680,000.00
7.
a) x 100
1
1
x x
6
6
b) x + y = 24; 3x - 3y = 24
ó
c) (3x) (x) = 432
113
x y 24
3 x 3 y) 24
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
Al aplicar los conocimientos que adquiriste realiza las siguientes situaciones, esto te
servirá para reforzar tu aprendizaje sobre este tema.
A. Trata de conseguir un ticket de las compras en una tienda de autoservicio, una nota
de remisión cuando se compran varios artículos de diferentes especies un recibo de
luz o de teléfono o cualquiera de ellos cuando tiene crédito a su favor.
B. Identifica en estos documentos cómo las personas, una máquina registradora o en su
caso una computadora utilizan algunas propiedades de los números reales para
facilitar las operaciones.
. ¿Las identificaste?
. ¿Te das cuenta de la importancia que tienen estas propiedades?
. ¿Te habrás imaginado que estas propiedades fueran utilizadas constantemente
en nuestra vida cotidiana?
Pregunta a tu asesor si lo anterior es factible y, si lo es pide su ayuda para encontrar
otros ejemplos.
Ahora que conoces, trata de utilizarlas de manera que faciliten tus actividades cuando
tratas de operar con números.
114
GLOSARIO
En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo y
que podrás consultar su significado.
ALGORITMO.
Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una
operación.
La palabra algoritmo es una deformación de
ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre matemático árabe que
vivió en el siglo IX a C.
NÚMERO.
Expresión de la cantidad con relación a una unidad.
INVERSO ADITIVO. Es un número opuesto de signo contrario.
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES: Es el conjunto de los números que se
pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal
manera que cada punto está a una distancia r del punto fijo 0.
NÚMERO PRIMO.
Son los números naturales mayores que la unidad que sólo tienen
dos divisores exactos, es decir sólo se dividen entre la unidad y
entre sí mismos.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. El valor absoluto o valor numérico de un número
real negativo es el número mismo positivo.
115
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
ALARCÓN et al.: Matemáticas 1. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1990.
ALARCÓN et al.: Matemáticas 2. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1991.
BARNETT Y NOLASCO: Álgebra Elemental. Estructura y Aplicaciones. Editorial Mc.
Graw-Hill. México, 1986.
BRITON Y BELLO: Matemáticas Contemporáneas. 2a. Edición. Harla México, 1982.
GAUSS Carlos F. El Develador de las Incógnitas. Editorial Pangea.
GRIJALBO: El Parque. Biblioteca Juvenil, México, 1975.
PERELMAN et al: Álgebra Recreativa. Ediciones Quinto Sol, Harla, México, 1983.
PHILIPS ET AL: Álgebra con Aplicaciones. Harla, México, 1983.
ROBLEDO Y CRUZ: Matemáticas uno Primer Grado. 4a. reimpresión. Trillas, México.
TONDA Y NOREÑA: Los Señores del Cero. Editorial Pangea.
116
COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE
ALGEBRAICO:EXPRESIONES
ALGEBRAICAS.
Autores: Rosa Ma. Espejel Mendoza
Mario Luis Flores Fuentes
Rolando Pous Villalpando
Pedro Romo Altamirano
Estela Ruiz Hernández
Andrés Sosa Estrada
1
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
7
CAPÍTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE
ALGEBRAICO: EXPRESIONES
ALGEBRAICAS.
9
PROPÓSITO
11
1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN
ALGEBRÁICA
13
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
22
1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
22
1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
28
1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
38
1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
64
RECAPITULACIÓN
78
ACTIVIDADES INTEGRALES
79
AUTOEVALUACIÓN
82
CAPÍTULO 2. LENGUAJE ALGEBRAICO:
PRODUCTOS NOTABLES,
FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES.
PROPÓSITO
87
89
3
2.1 PRODUCTOS NOTABLES
91
2.1.1 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON
TÉRMINO COMÚN
91
2.1.2 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS
CONJUGADOS
94
2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO
97
2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO
100
2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON
102
2.2. FACTORIZACIÓN
111
2.2.1 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN
111
2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE
TÉRMINOS
114
2.2.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRIMONIO
CUADRADO PERFECTO
115
2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE
CUADRADOS
119
2.2.5 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS
120
2.2.6 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE
CUBOS
125
2.2.7 FACTORIZACIÓN DE LOS TRINOMIOS DE LA
FORMA x² +bx + c y ax² + bx + c
126
2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES
135
2.3.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
135
2.3.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES
153
4
RECAPITULACIÓN
170
ACTIVIDADES INTEGRALES
171
AUTOEVALUACIÓN
173
RECAPITULACIÓN GENERAL
175
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
176
AUTOEVALUACIÓN
179
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
182
GLOSARIO
183
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
184
5
6
INTRODUCCIÓN
Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usar
procedimientos aritméticos para resolver problemas; sin embargo, son también muchas
en las que éstos no bastan.
A partir de este fascículo veremos otro tipo de ejemplos más específicos y estudiaremos
procedimientos más generales para resolver problemas.
El método algebraico, de hecho presente en toda la matemática puesto que la solución
de gran número de problemas requieren del cálculo algebraíco.
El álgebra tiene su propio lenguaje, el lenguaje algebraico, por medio del cual se puede
obtener expresiones generales que pueden operarse y aplicarse en muchas y muy
variadas situaciones particulares.
Aunque en el fascículo uno estudiaste algunos elementos de este método algebraíco y su
importancia, para este fascículo estudiarás la operatividad de las expresiones
algebráicas, utilizando los conocimientos que tienes sobre expresiones y operaciones
aritméticas y retomando problemas sobre este tema, para que puedas manejar ejemplos
y des solución a problemas.
7
El siguiente esquema indica los temas y subtemas que estudiarás y la vinculación que
existe entre ellos.
FASCÍCULO 2
OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 1
LENGUAJE ALGEBRAÍCO:
PRODUCTOS NOTABLES,
FACTORIZACIÓN Y
SIMPLIFICACIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES
OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE
ALGEBRAICO: EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
TERMINOLOGÍA Y
NOTACIÓN
OPERACIONES
CON
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
8
CAPÍTULO1
OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.2.1 Reducción de Términos Semejantes
1.2.2 Adición y Sustracción de Polinomios
1.2.3 Multiplicación de Polinomios
1.2.4 División de Polinomios
9
10
PROPÓSITO
Al finalizar el estudio de este fascículo conocerás con mayor detalle la terminología que
se emplea en álgebra, así como la notación que se usa comúnmente, gracias a la cual
podrás operar con las expresiones algebraicas.
¿QUÉ APRENDERÁS?
Diversos métodos para resolver problemas,
además conocer las ventajas del método
consistente
en
establecer
modelos
algebraicos para la solución de problemas.
¿CÓMOLO APRENDERÁS?
¿PARA QUÉ TE VA A
SERVIR?
A través de la elaboración de operaciones
algebraicas tal como; la suma, la
sustracción, multiplicación y división de
polinomios, aplicando las propiedades de los
números
reales y las leyes de los
exponentes.
Para encontrar la solución de ecuaciones
que te ayudarán a resolver un gran número
de problemas diarios.
11
12
CAPÍTULO 1
OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA.
En el fascículo 1 estudiaste diversos métodos para resolver problemas, además de
conocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para la
solución de los problemas, modelos que has empleado, aunque no les llamaras así; por
ejemplo: la fórmula que se utiliza para calcular el área de un triángulo.
A = bh
2
Si conocemos la medida b de la base y la medida h de la altura de un triángulo y
queremos obtener su área, sustituimos en la fórmula las letras por los datos númericos.
Así, si la base mide 12 metros y la altura 8, el área del triángulo es:
A = (12m) ( 8m) = 48m 2
2
Otros ejemplos que has visto son los siguientes:
f =ma
A=
r2
a = Vf - Vo
t
Estas igualdades, que expresan ciertos fenómenos o Leyes de la Física y la Geometría,
son expresiones algebraicas de las que iniciaremos su estudio, pues éstas nos permitirán
operar de una manera fluida y se facilitará con ello la resolución de problemas
13
Como ejemplo de expresiones algebraicas tenemos:
a) 3a + 2b
c) 8x2 - y3
b) 2x + 6y - 3z
d)
e)
6x
3
f) x
6x
5a
A las letras, que en las expresiones algebraicas representan a números reales
cualesquiera, se le llaman literales.
Si en una expresión algebraica se sustituyen las literales por números reales y se
efectúan las operaciones indicadas, se obtiene como resultado un número real, llamado
valor numérico de la expresión para esos valores.
En los casos en que las literales aparezcan en el denominador hay que tener cuidado de
que el valor del denominador sea distinto de cero al efectuar la sustitución. Cuando se
trate de raices, se debe tener cuidado de que al sustituir las literales por números no
resulten raíces pares de números negativos, porque sus resultados no son números
reales.
Observa el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Calcular el valos numérico de la expresión algebraica
x 3
x 5
Para los siguientes valores de x:
a) x = 7;
b) x = 12,
y
c) x = -5.
Solución:
a) Al sustituir a x por 7 obtenemos:
7 3
4
7 5
12
=
2
12
1
=
b) Si sustituimos6 a x por 12 resulta:
14
12 3
12 5
9
17
3
17
.
c) Si x = -5, obtenemos:
5 3
5 5
8
0
¡?
Mientras por una parte 8 no es un número real, por otra no es posible dividirlo entre
cero; por lo tanto, si x toma el valor de -5, la expresión no simboliza un número real.
Cuando en una expresión algebraica aparece únicamente la operación de multiplicación
de números y potencias positivas enteras de las literales, ésta recibe el nombre de
término, como se muestra a continuación:
b
2
,
3x
2
5
,
2x,
2
ax 2 y 3 z 4
.
Ahora revisaremos los elementos que conforman un término, para lo cual tomaremos el
ejemplo de la expresión
3 4 5
a b
2
Como ya sabes, un término es el producto de dos o más factores (los factores son
elementos de la multiplicación). En este caso los factores son:
3 4
, a y b5 .
2
15
Al factor numérico se le conoce como coeficiente numérico del término y se acostumbra
escribirlo al principio del término.
3
2
a4 ,b5
factores
literales
factor
numérico
coeficiente numérico
Por otra parte, cada uno de los factores es coeficiente del producto de los otros. Así:
a4
es coeficiente de
3 5
b
2
b5
es coeficiente de
5 4
a
2
Entonces podemos decir un factor es un número, una
letra o la combinación de números y letras que indican
cuantas veces entra la literal como sumando.
Al producto de los factores literales se le llama parte literal del término.
3
2
coeficiente numérico
a 4b 5
parte literal
Un factor literal está compuesto por base y exponente. En el siguiente cuadro se muestra
la base y el exponente de los factores literales de
3 4 5
a b .
2
Factor literal
Base
Exponente
a4
a
4
b5
b
5
16
¿Cómo se puede determinar el grado de un término algebraico?
Recuerda que a 4 indica un producto de cuatro factores iguales y b 5 un producto de
cinco factores iguales:
a4 a a a a
b5 b b b b b
Observa que en el ejemplo anterior significa multiplicación y que no se usa el signo de x
para no confundir con la literal x que en algunas expresiones se utiliza.
¿Qué producto indicaría X8?
Otro elemento del término es el signo (positivo o negativo), que corresponde al signo del
coeficiente numérico. Así, si tenemos que en la expresión 3x 2 su signo es positivo y en
la expresión 4y 6 el signo es negativo, puedes observar que en los casos con signo
positivo no se acostumbra anotar éste.
Otro elemento es el grado de un término, el cual puede ser absoluto o en relación a una
literal. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de las literales o
variables, de ahí tenemos que:
Término
Grado absoluto del
término
2
a2
5y
1
3
3xy 2
6x y
6
9x n y n
2n
2 4
Observa que el exponente 1 no se escribe, además de que el término 7x 2 y 4 es de grado
6 por la suma de los exponentes (2+4) de los factores literales.
Por otro lado, el grado de un término con respecto a una literal corresponde a su
exponente, es decir, en 7x 2 y 4 el grado del término con respecto a x es 2 y con respecto
a y es 4.
17
Con el propósito de comprender los conceptos vistos se presenta el siguiente cuadro:
Término
Coeficiente
númerico
Factores
literales
Grado
absoluto
Grado respecto
ax
4x2y3
-4
x2 y3
5
2
Grado
respecto a
y
3
3x3y4
3
x3 y4
7
3
4
2
-1
xy
3
1
2
6 2
xy
2
x y
8
6
2
x
3
4
1
x
1
1
0
8
8
0
0
0
0
3 6 2
x y
4
Al clasificar los elementos de cada una de las expresiones siguientes se cometieron 4
errores, encuéntralos.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
5x 4 y coeficiente -5 base x, y
exponente 4,1
6a
coeficiente
6
base
exponente no tiene
x2
coeficiente no tiene; base x___
exponente 2
a 3xy2 coeficiente 3 base x exponente
1,2
En las expresiones algebraicas los términos están separados los signos de más (+) o
menos(-).
1) 5x 2 2x 3
Esta expresión tiene tres términos : 5x 2 ; 2x ; 3 .
2) 9m 2 4n 2
Esta expresión tiene dos terminos: 9m 2 ; 4n 2 .
3) 5
Esta expresión tiene un término: 5.
18
Como puedes ver, estas expresiones algebraicas están compuestas por un término o la
suma de dos o más términos. A este tipo de expresiones se les llama monomios o
polinomios según sea el caso.
A los polinomios los podemos clasificar según el número de términos que contengan. Si
una expresión algebraica tiene un término se le llama monomio, si tiene dos, binomio; si
tiene tres términos, trinomio, y así consecutivamente.
Observa los siguentes ejemplos:
“Expresiones Algebraicas”
1) 3x 2y2 6xy5
2) 6x 2
3) 6a2b 2a 6
4) 6y
Clasificacion
binomio
binomio
trinomio
monomio
polinomio
5) 6 xy 2 3 xy 4 x 8
Los polinomios, como los términos, tiene grado, que puede ser grado del polinomio o
grado con respecto a la variable. Así, en el ejemplo 1
3x 2y2 6xy5
el grado del polinonio es seis (6), que corresponde al grado del término de mayor grado,
en este caso 6xy5 . El grado del polinomio respecto a x es dos ya que corresponde al
mayor exponente de esa variable en el polinomio 3x 2 y 2 - 6xy5
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza las siguientes actividades:
1. De los siguientes términos señala la parte literal, el coeficiente numérico y el grado
absoluto del término.
a) 3x3y5
b) 4ab3
c)
2 2
xy
3
d) a
19
1 Término
a)
Coeficiente numérico
Parte literal
Grado absoluto
3
x3 y 2
5
3x3 y 2
2. Clasifica los polinomios por su número de términos y señala su grado absoluto y con
respecto a una variable.
a) 3x2 3x 2
b)
8x6 y1 3x5 y2 6x3 y3 8
c) x2 16
d)
x2 2xy y 2
e) x 8
f) 6
1
Expresión
Algebraica
Clasificación por el
núm. de términos
Grado absoluto
a)
3x 2 3x 2
trinomio
2
20
Grado con
respecto
ax
2
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta el momento hemos visto que en el lenguaje algebraico se utilizan letras para
representar números reales y que las expresiones algebraicas están conformadas por
una serie de elementos tales como:
TERMINO, COEFICIENTE, LITERAL, EXPONENETE, GRADO y que se clasifican en
MONOMIO (un término), en BINOMIO (dos términos), TRINOMIO (tres términos) y
POLINOMIO (cuando son dos o más términos).
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
UN TÉRMINO
DOS O MÁS TÉRMINOS
MONOMIO
BONOMIO, TRINOMIO,
POLINOMIO
COEFICIENTE
NUMÉRICO
LITERALES
EXPONENTES
GRADO
ABSOLUTO
GRADO CON
RESPECTO A
UNA LITERAL
21
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En este tema estudiarás las expresiones algebraicas como el elemento de las
operaciones matemáticas, por ejemplo, la Adición y Sustracción de polinomios, la
Multiplicación de Polinomios así como, la División de polinomios, para lo cual se
consideran las propiedades y condiciones que se establecieron en el tema anterior.
1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Como en el tema anterior aprendiste a distinguir cuáles expresiones algebraicas son
términos y que elementos constituyen a estos últimos, ahora operarás con ellos.
En el estudio de las Matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones como
3x, 4x2 , 2x3 . Representamos a x por un segmento de longitud x, a x2 por un cuadrado
de lado x, y a x3 por un cubo de arista x como se ve en la siguiente figura: 1
x
x2
x
x3
x
x
x
x
Figura 1
De acuerdo con la interpretación anterior, ¿cuáles de las siguientes sumas crees que
pueden expresarse como un solo término?:
a) 2x + 3x2 ;
c) 2x + 5x ;
b) 4x3 + 2x3 ;
d) 6x - 2x2
Para saber cuándo podemos reducir la suma de dos o más términos a un solo término
necesitamos observar su conformación.
¿Recuerda cuáles son los componentes de un término?
Considera la expresión -3 x2 y3
exponentes
-3
x2 y3
coefieciente
numérico
literales
22
parte literal
Analicemos los términos de cada uno de los siguientes grupos:
a) -3x2 ; 4x2
Estos dos términos tienen la misma parte literal, es decir, las literales y sus respectivos
exponentes son iguales.
b) 5a 3 ; -2a2 .
Las partes literales de estos términos son diferentes aun cuando se trata de la misma
literal porque tienen diferentes exponentes:
c) 2 x 3 y 2 ,
-3x 3 y 2
4
Los dos términos tienen la misma parte literal.
d) .0.5 x 2 y 4 ,
1.2y 4 x 2 ,
-3.5 x 4 y 2 .
Únicamente los dos primeros términos coinciden en la parte literal ya que por la
propiedad conmutativa.
x2 y 4 = y 4 x2 .
e)
3 4
m ,
4
-5m4n ,
2 4
m n,
3
1 4
m ,
2
1 4
m .
3
Aquí tienen la misma parte literal el primero, el tercero y el quinto y por otra parte, el
segundo y el cuarto términos.
Hemos encontrado que algunos términos coinciden en su parte literal. Éstos reciben el
nombre de términos semejantes y su importancia es muy grande en la simplificación de
expresiones algebraicas.
Por lo tanto términos semejantes son dos o más términos cuyas partes literales son
iguales.
23
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Identifica los terminos semejantes en cada uno de los siguientes incisos.
a) 2x2 y ,
b) 3 v 1 ,
-3xy 2 ,
2v 2 ,
4y 2 x ,
-4v1 ,
-x 2 y .
5 v 2* .
c) 2 r 2 ,
4r ,
r2 ,
-3r en donde =3.141592
En expresiones como V1, V2 los números 1 y 2 son subíndices. Se usan para indicar que
V1 es la velocidad de un móvil y V2 la del otro.
Las expresiones algebraicas son un conjunto de número y/o letras que representan
números reales; por lo tanto cumplen con todas las propiedades conmutativa y
asociativa de la adición y de la multiplicación, y la distributiva de la multiplicación
con respecto a la adición, puede extenderse a más de dos sumandos o factores
según sea el caso, esto es:
1) La suma o el producto de un número finito de números reales no es afectado por la
forma en que se ordenen o asocien.
por ejemplo:
[(a + c) + (b + d )] + (f + e) = (a + b) + [(c + d ) + (e + f )] = a + b + c + d + e + f .
2) El producto de un número real a, por la suma de un número finito de números reales,
es igual a la suma de los productos de a, por cada uno de los sumandos.
Por ejemplo:
a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae.
La más sencilla de las operaciones con expresiones algebraicas es la suma de términos
semejantes. Se acostumbra llamar a esta operación reducción de términos semejantes, y
la forma de llevarla a cabo se observa en los siguientes ejemplos:
1) Reducir los términos 8x 2 + 6x 2 .
Solución:
8x 2 + 6x 2 = 14 x 2 .
24
Este resultado se obtuvo al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición en su modalidad ax+bx=(a+b)x a nuestro ejemplo, como vemos en
seguida:
8x 2 + 6x 2 = ( 8 + 6) x 2 = 14 x 2 .
Observa que hemos sumado los coeficientes numéricos de los términos dejando intacta
la parte literal.
2) Simplificar la expresión 8y3 - 7y3
Solución:
8y3 - 7y3 = (8 - 7) y3
= 1 y3
= y3
3) Simplificar la expresión 3ab + 7ab - 11ab
Solución:
3ab + 7ab - 11ab = (3 + 7 - 11)ab
= -1ab
= -ab
Recuerda que -1(a) = -a para todo número real a.
Veamos otros ejemplos en donde no todos los términos son semejantes.
Simplificar la siguiente expresión:
1) 3b 2 + 2b .
Solución:
Esta suma no se puede reducir porque los términos no son semejantes. Recuerda la
interpretación geométrica que le dimos a x, y x 2, en la que la primera se representa una
línea mientras que la segunda se refiere a una superficie.
2) a+b-a+b. Trata de identificar qué propiedad utilizarías antes de ver la solución.
Solución:
Aquí conmutamos y asociamos a los términos semejantes:
a+b-a+b=(a-a)+(b+b)
=(1-1)a+(1+1)b
=0a+2b
= 0+2b
=2b.
25
3) 6.5h + 2.5k +6-1.7h + 3.4k
Solución:
6.5h + 2.5k + 6-1.7h + 3.4k = (6.5h - 1.7h) + (2.5k + 3.4k) + 6
= (6.5 - 1.7)h + (2.5 + 3.4)k + 6
= 4.8h + 5.9k + 6.
Con la práctica puedes suprimir algunos pasos del proceso, como se ve en los siguientes
ejemplos:
1)
1
1
1
4
1
1
1 4
1 1
x x2 x2 x x3 x x2 x3
3
2
4
3
2
3 3
2 4
2
5
1 2 1 3
= x+ x + x
3
4
2
2) 3E+2D-F-4E+3D-F=-E+5D-2F.
Una de las finalidades del aprendizaje de las operaciones con expresiones algebraicas es
el llegar a resolver diversos problemas que se presentan cotidianamente o en algunos
casos relacionados con diferentes ciencias. Por el elemento únicamente llevaremos a
cabo uno de los pasos que se siguen en la resolución de esos problemas: la obtención de
la expresión algebraica para una cierta cantidad.
Observa los siguientes ejemplo:
1) Escribe la expresión algebraica que se utiliza para obtener el perímetro de un triángulo
tal que, uno de sus lados mide x unidades, otro 4 de éste y el tercero la mitad del
5
primero.
Solución:
23
x.
10
2) Expresar algebraicamente el precio total de un pantalón cuyo precio es x pesos más el
10% del IVA.
El perímetro solicitado es
Solución:
El 10% de x es 0.1x, así que el precio total del pantalón es x+0.1x=(1+0.1)x=1.1x
Observa que la expresión1.1x es el precio con el IVA incluido, de cualquier artículo de
precio x.
26
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Identifica los términos semejantes en los siguientes incisos.
a) 1.8c ,
2
-mv
5
c) 3x2 ,
b)
2.5c 2 ,
2mv
4xy
-2c .
3.4c 2 ,
mv 2
3
-2xy
-mv
.
2
5y 2
2. Simplifica las siguientes expresiones además de reducir los términos semejantes.
a) x 2 + 2xy - 2xy + y 2
b) a2 + 2ab + 2ab + b2
c) 27a3 - 18a2b + 12ab2 + 18a2b + 12ab2 + 8b3
d)
1 3 1 2
2
1
2
8 3
a + a b + ab 2 - a 2 b - ab 2 b
8
6
9
6
9
27
e) a1b 2 + a 2 b 3 + a 3 b1 + a 2 b1 - a 3 b 2 - a1b 3
f) 8a2 + 6ab - 12b + 9b2
RECUERDA:
El estudio de las expresiones algebraicas como elementos de las diferentes
operaciones matemáticas, se hace tomando en cuenta en todo momento las
propiedades y condiciones establecidas en el tema anterior.
Esto es muy comprensible, porque las letras únicamente simbolizan valores, y
en consecuencia, los cálculos matemáticos aplicados a esos símbolos se hacen
con los valores del coeficiente y del exponente de los términos en las expresiones
algebraicas.
27
1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
En la solución de problemas como el siguiente se observa la utilidad de denominar
procedimientos para resolver operaciones con polinomios.
Se tiene una mesa rectangular a la que se desea poner como adorno en la orilla cinta
metálica. Si las dimensiones de la mesa son las que muestra la siguiente figura. 2
¿Cuál es la cantidad de cinta que se usa?
3x-4
2y+5
2y+5
3x-4
Figura. 2
Para determinar la cantidad de cinta a usar, necesitamos resolver operaciones con
polinomios.
A partir de este momento llamaremos polinomio a expresiones algebraicas como: 0, 7, 3x
4
3
(monomios); 5 y 2 - 7 , -4xy + 3x (bonomios); 6x y 2 x z 8w (trinomio), los cuales
podemos escribir en forma general como:
P( x) an xn an1 xn1 ...a1 x a o , con n Z , n 0 y a FR
de lo que concluimos que
1
y 7 + x no son polinomios.
x
Ahora vamos a iniciar con las operaciones básicas de adición y sustracción de
polinomios.
En vista de que las literales de las expresiones algebraicas representan números reales,
los polinomios representan numeros reales, por lo que en las operaciones con ellos se
aplican las propiedades de los números reales.
28
Para hacer más fácil el trabajo con polinomios es conveniente ordenarlos ya sea de
forma creciente a decreciente, de esta menera:
P( x) 4x3 2x 8 6x2
P( x) 4x3 6x2 2x 8
P( x) 8 2x 6x2 4x3
En forma decreciente es la manera más utilizada.
En forma creciente.
P( x) 9x4 3x 4
P(x) = -9x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 3x - 4
utilizada
En forma decreciente, que es la manera más
términos
agregados
P ( x ) = -4 + 3 x + 0 x 2 + 0 x 3 - 9 x 4 En forma creciente
Para ilustrar el proceso que se emplea para sumar polinomios, utilizando las propiedades
de los números reales, observa los siguientes ejemplos:
Sumar los monomios 5 x 3 y - 9x 3 .
5 x 3 + (-9 x 3 ) = 5 x 3 - 9 x 3
= (5 - 9) x 3 por propiedad distributiva.
= -4x 3 .
Observa que para sumar monomios simplemente se reducen términos semejantes.
Ejemplos:
Para resolver la suma de los polinomios
( 8x 7x4 6x2 ) ( 4x2 3 7x),
se realizan los siguientes pasos:
1. ordenar en forma decreciente los exponentes de los términos de cada polinomio.
(7x 4 6x 2 8x) ( 4 x 2 7 x 3) por conmutatividad.
29
2. Hacer que los polinomios sean completos.
(7x4 0x3 6x2 8x 0) (0x4 0x3 4x2 7x 3)
3. Agrupar los términos semejantes
(7x4 0x4 ) (0x3 0x3 ) (6x2 4x2 ) ( 8x 7x) (0 3) por propiedad
asociativa y conmutativa.
4. Reducir términos semejantes:
7x 4 2x 2 x 3.
5. Así el resultado de la suma de los polinomios originales queda de la siguiente manera:
(-8x + 7x4 + 6x2) +(-4x2 - 3 + 7x) = 7x4 + 2x2 - x - 3
Observa que los términos cuyo coeficiente es cero no se escriben.
Ejemplo:
Efectúa la suma de los polinomios
(4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3y)
Observa que en estos polinomios algunos términos tienen dos literales pero la forma
de resolver esta suma es igual:
(4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (-10x3y+3xy3 +7)
¿Notaste que los polinomios han sido ordenados con respecto a la literal x en forma
decreciente?
(4x3 y - 10x3 y) + (5x2 y2+0x2 y2) + (9x y3 + 3xy3) + (8+7) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15
Por lo tanto:
(4x3 y +5x2 y2 + 9x y3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3 y) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15
Ejemplo:
1 2
1
7
3
Suma los polinomios x 3 x 2 x x 2 .
5
2 3
4
2
30
Observa que los coeficientes son racionales, sin embargo, en éste ejemplo el
procedimiento es el mismo:
2
1 1
7
3
a) x 3 x 2 x 2 x
5
3
2 4
2
2
1
1
7
3
b) x 3 x 2 0 x 0 x 3 x 2 x
5
3
2
4
2
1
3
2
1 7
c) x 3 0 x 3 x 2 X 2 0 x x
5
3
2 2
4
5 2
3
2 1
1 7 3
x x3
d) 0 x 3 x 2 0 1 x x 3
5
3 4
2 2 5
12
Por lo tanto:
1 2 7 3 3 5 2
3 3 1 2 2
x x x x = x x x 3
12
5
2 3
4
2 5
Ejemplo:
Suma los polinomios
5 4 3 5 2
8 3 4 3 4 3 2 2
7 2 6 2
xy x y x y x y x y x y xy .
3
4
5
2
9
2
5
En este ejemplo se tienen coeficientes racionales y dos literales; sin embargo, el
procedimiento para sumar es igual.
7 2 3 4 3 8 3 4 5 2
2 2
5 4 3 6 2
x y x y xy x y x y x y xy ;
2
2
5
3
9
4
5
6 2
7 2 3 4 3 8 3 4 5 2
2 2
5 4 3
3 4
x y 0 x y x y xy x y x y x y xy
2
2
5
3
9
4
5
5 2 7 2 2 2
5 4 3 3 4 3 8 3 4
6 2
3 4
x y x y x y 0 x y x y x y xy xy
2
9
5
3
2
4
5
31
5 3 4 3 8
3 4 6 5 2
7 2 2
x y 0 x y x y xy
2 2
9
5 4
3 5
x4 y 3
8 3 4 49 2
41 2
x y
x y
xy
9
20
15
Por lo tanto:
7 2 6 2 5 4 3 5 2 8 3 4 3 4 3 2 2 4 3 8 3 4 49 2 41 2
xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y xy
3
4
5
2
9
2
5
9
20
15
Por lo tanto en la suma de tres o más polinomios que incluyen dos o más literales se
emplea el mismo procedimiento.
Para restar polinomios se debe recordar que por definición a-b=a+(-b). Esto significa que
en la resta de números reales al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo.
sustraendo
a-b
minuendo
Por lo consiguiente, es importante que identifiques el inverso aditivo de cualquier
polinomio.
¿Recuerdas cómo se localizan en la recta numérica los inversos aditivos de los números
reales?
Polinomios
2
3x 6x 4
2
6y 3y 2
12 xy 6xy 2 8
Inverso aditivo
6y 3y 2 6y 3y 2
12 xy 6xy 8 12 xy 6xy
3x 2 6x 4 3x 2 6x 4
2
2
2
32
2
8
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Ahora puedes realizar la sustracción de polinomios.
Resuelve las siguientes operaciones:
x
5 3 8 7 2 x 4 5 3 8 7 2
4
El procedimiento aritmético que utilizaste para realizar la operación anterior se utiliza para
restar polinomios; por ejemplo, para restar los polinomios.
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4
se
obtiene
el
inverso
aditivo
del
sustraendo.
sustraendo
inverso aditivo
2x 6x3 4x2 8x4
2x 6x3 4x2 8x4
Una vez obtenido éste se procede a efectuar la suma de polinomios, aplicando el
procedimiento adecuado.
8x 7x 6x 8x 6x 4x 2x
8x 7x 0x 6x 8x 6x 4x 2x
8x 8x 7 x 6x 0x 4 x 6x 2 x
4
3
4
3
4
4
2
4
3
3
3
2
4
3
2
2
2
8 8x4 7 6x3 0 4x2 6 2x.
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4 16x 4 x 3 4 x 2 8x.
Observa que en la sustracción de polinomios lo que realmente se hace es sumar al
minuendo, el inverso aditivo del polinomio correspondiente al sustraendo.
Si en la solución de la siguiente sustracción de los polinomios.
3x
2
2 x 6 x 2 6x 8 .
se obtiene como resultado 2x2 - 4x + 2, se estaría cometiendo un error, realiza en tu
cuaderno la operación, ¿Cuál es el error?
33
Resta los siguientes polinomios:
7 x y 8x y
7 x y 8x y
a)
6 4 x y 6x y
2
3
3
5xy 4 6 4 x 2 y 6x 4 y 2 5 3x 3 y 3 .
2
3
3
5xy 4
2
4
2
5 3x 3 y 3 .
inverso aditivo del sustraendo
ordenando los polinomios:
8x y
3
b)
3
7 x 2 y 5xy 4 6 6x 4 y 2 3x 3 y 3 4 x 2 y 5 .
completando los polinomios:
0x y
4
c)
2
8x 3 y 3 7 x 2 y 5xy 4 6 6x 4 y 2 3x 3 y 3 4 x 2 y 0xy 4 5
Agrupando términos semejantes:
4
2
4
d) 0x y 6x y
2
8x y
3
3
3x 3 y 3 7 x2 y 4 x 2 y 5xy 4 0xy 4 6 5
Sacando factor común:
0 6x4 y2 8 3x3 y3 7 4x2 y 5 0xy4 6 5.
e)
Efectuando operaciones:
2
3 3
4
2
4
2
3 3
f) 7 x y 8x y 5xy 6 4 x y 6x y 5 3x y
6x y
4
2
5x 3 y 3 3x 2 y 5xy 4 11.
Otra manera de resolver las adiciones y sustracciones de polinomios es colocándolos en
forma vertical, aunque se debe cuidar que en la misma columna queden los términos
semejantes.
Ejemplo:
Suma de polinomios:
8x
3
3x 2 7 y 2x 2 3x 4
8x 3 3x 2 0x 7
3
2
+ 0x 2x 3x 4
8x3 x2 3x 11
34
Ejemplo:
Si se tiene la sustracción:
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4 .
Recuerda que en la sustracción, al minuendo se le suma el inverso aditivo del
sustraendo, por lo que se le cambia de signo a todos y cada uno de los términos del
sustraendo y se suman los polinomios.
8x4 7x3 0x2 6x
4
3
2
+ 8x 6x 4x 2x
16x4 x3 4x2 8x.
Ejemplo:
Realiza la operación de :
1 2 7
3 3 1 2 2
x x x x .
5
2 3
4
2
3 3 2 2
1
x x 0x
5
3
2
1
7
0x 3 x 2 x
4
2
3 3 11 2
x
x x 4.
5
12
+
Ejemplo:
Resta los polinomios:
7 x y 8x y
2
3
3
5x 4 y 6 4 x 2 y 6x 4 y 2 5 3x 3 y 3
0x4 y 2 8x3 y 3 7x2 y 5x4 y 6
+
6x4 y 2 3x3 y 3 4 x2 y 0x4 y 5
6x 4 y 2 5x 3 y 3 3x 2 y 5x 4 y 11
Cuando se realizan operaciones de adición y sustracción es necesario trabajar, en
algunos casos, con signos de agrupación, por lo que a continuación te presentamos
algunos ejemplos tomando en cuenta las siguientes reglas:
35
REGLAS:
Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se deja el signo que
tenga cada término que se halle dentro de él.
Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (-) se cambia el signo a cada
término que se halle dentro de él.
Ejemplo:
6ab 3a 4a 8ab 2a.
Recuerda que para restar se suma el inverso aditivo.
Se inicia con la eliminación del signo de agrupación que contiene menor número de
términos. (Paréntesis.)
6ab 3a 4a 8ab 2a.
Se continúa con el signo de agrupación que contiene menor número de términos,
después de los paréntesis. (Corchete.)
6ab 3a 4a 8ab 2a.
Después se aplica el procedimiento para la solución de la adición y la sustracción de
polinomios:
6 8ab 3 4 2a
Así, el resultado de suprimir signos de agrupación es:
6ab 3a 4a 8ab 2a 2ab a
Ejemplo:
2 x 5x 2 y x 3y
Al aplicar el mismo procedimiento, obtenemos:
2x 5x 2y x 3y
2x 5x 2y x 3y
2 x 5x 2 y x 3y
2 x 5x x 2y 3y
6x y
36
Ahora retomemos el problema de la mesa rectangular.
Recordemos que las dimensiones de esta mesa son 3x-4 y 2y+5. Como ya sabes el
perímetro es la suma de los lados de la figura, por lo tanto hay que obtener la suma de
los polinomios.
3x 4 3x 4 2y 5 2y 5.
3x 4 3x 4 2y 5 2y 5
Con lo que al hacer la adición tenemos:
= 3x 4 3x 4 2y 5 2y 5
= 3 3x 2 2y4 4 5 5
= 6x 4y 2
La expresión algebraica que representa la cinta metálica a utilizar es 6x 4y 2
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelve las siguientes operaciones:
a)
3x
b)
14 2 9 7 3 8 2 6
3
3
x x x x x
4
3
5 5
3
7
2
c)
8x
d)
3x y 8 4xy 5xy
e)
8 2 3 4 2 3 2 2 5 3
2 3
x y x y xy xy x y
7
4
3
5
7 4
f)
2
9 x 3 1 2 x 3x 7 x 3 4
3
2
5x 2 x 2 9 x bx 3 5
2
2
2x2 y 9
2a x a 1 a x 63
37
1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Como ya se tiene conocimiento de los polinomios y en particular se aprendió la forma de
sumarlos, iniciaremos ahora el estudio de la multiplicación de polinomios. Para efectuar
el producto de polinomios haremos uso de las operaciones de los números reales.
Empezaremos nuestro estudio con la multiplicación de dos potencias de la misma base:
Ejemplo:
Multiplicar
x 2 por x 3 .
Solución:
2 factores
x2 x3
x2 x3
3 factores
x x
2 factores
x x x
3 factores
x x
x x x
es decir, x
5 factores
23
x5 :
x x x x x.
Se observa en el ejemplo que se han sumado los exponentes.
Ejemplo:
Multiplica xm por x 2 .
Solución:
m factores
xm x 2
x x x....... x
2 factores
x x ,
m+2 factores
es decir,
x...... x xm2 .
En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros no
negativos, entonces:
am an
m factores
n factores
a a a....... a
a a.....a ,
m+n factores
es decir,
a m a n a mn .
38
Esto nos conduce a lo que llamamos la primera ley de los exponentes, la cual se enuncia
de la siguiente manera:
El producto de dos potencias de la misma base, es igual a la base elevada a la suma
de sus exponentes.
Ejemplo:
Multiplicar y5 y2 y5 2 y7
5a2 por 4a ?
¿Cómo multiplicarías
Observa que en este ejemplo hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa
del producto.
5a 4a 5 4a a.
2
2
Sustituimos las factores 5 y 4 por su producto, es decir:
5a 4a 20a a;
2
2
5a 4a 20a
2
2 1
20a 3
Ejemplos:
2m 5m (2 5)m
2 1
5x 6x 5 6x
2
2
2
5
3a 8a 24a
2
6
10m 3: ,
x 5 30x 2 5 30x 7 ;
26
24a 8 ;
7y8y 5 7 8 y y 5 56y 15
3b 6b 36b
2
8
2
56y 6
b8 18b 2 8 18b10
39
Ejemplo:
La siguiente figura representa la cubierta de una mesa.
2m
4m
figura. 3
El área de la figura se obtiene a través de una multiplicación de monomios, es decir,
A=(4m)(2m)=8m2 .
Se observa en el ejemplo, que la solución resulta ser otro monomio en el cual ha
cambiado no sólo el coeficiente, la expresión de la variable (concretamente, su
exponente) y el grado del monomio, sino también su característica esencial ya que al
multiplicar longitudes se obtienen superficies.
Esto nos muestra que la multiplicación de expresiones algebraicas produce cambios
importantes; por ejemplo, al multiplicar una potencia por un tiempo, se obtiene trabajo; si
se multiplica una masa por una aceleración, se obtiene fuerza, etc. De esta manera, se
puede comprender mejor el carácter de la multiplicación algebraica y su importancia.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la regla
de los signos se ha obtenido el producto de monomios. En los ejercicios que se dan a
continuación deberás obtener el producto de monomios con la aplicación de las
propiedades y leyes correspondientes. Indica como en los ejemplos planteados cuáles
propiedades o reglas utilizaste.
1) (8mn)(m2)
2) (-6x2 y)(3xy)
6) xp1 xp x
3) (-5ab)(-4a2b)
8) xm 2xy ym
4) (x3 y2 z6)(2x2 y3 z3 )(5xyz)
5) (-6x2yz)(2x3 yz2 )
7)
x y 2n y n y n
9) x2 3x2 5x2 2x2
10) 8m7 n2 2m3 n7
40
Sabemos que el área de una figura como la siguiente, se obtiene por medio de una
multiplicación de los monomios. Determina cuál es el monomio resultante de la región
sombreada.
y
3y
3y
figura. 4
a) Monomio resultante del cuadro mayor: __________________________.
b) Monomio resultante del cuadro menor: __________________________.
c) Monomio resultante de la región sombreada: ______________________.
Una vez que te haz familiarizado con potencias de la misma base, determinaremos la
potencia de otra potencia
Ejemplo:
(34)5 = 34 34 34 34 34 , y por la primera ley de los exponentes:
5 Factores
5 Sumandos
(34)5 = 34+4+4+4+4 = 320 ,
Se observa en el ejemplo que se han multiplicado los exponentes.
Ejemplo:
(b2)n = b2 b2........b2 ;
n factores
n sumandos
(b2)n = b2+2+2+..........+2 , esto es,
(b2)n = b2 n
41
En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros positivos
entonces.
(am)n = am am am ......... am ;
n factores
n sumandos
(am)n = am+m+m+.........+m
Por lo tanto, (am)n =am n .
Esto nos conduce a la que llamaremos segunda ley de los exponentes:
La potencia de otra potencia de la misma base, es igual a la base elevada al producto
de los exponentes.
Ejemplo:
(x2 )3 = x2 x2 x2 ;
3 factores
3 sumandos
(x2 )3 = x2+2+2 = x6,
es decir, (x2)3 = x6.
Observa que se han multiplicado los exponentes.
El siguiente ejemplo nos servirá para mostrar cómo obtener el producto de monomios.
Ejemplo:
Multiplicar (5a2)3 por (2a)2.
(5a2)3 (2a)2
Al aplicar la segunda ley de los exponentes se obtiene:
(5a2)3
(2a)2 = (53a6)(22a2).
42
Por la propiedad conmutativa de la multiplicación cambiamos el orden de los factores
53 a6 22 a2 y asociamos de diferente manera.
(5a2)3 (2a)2 = (53 22)(a6 a2).
Efectuamos operaciones:
(125 4) = 500. es decir,
(5a2)3 (2a)2 = 500 (a6a2).
Por la primera ley de los exponentes, se tiene:
500(a6a2) = 500(a6+2)= 500a8; por lo tanto.
(5a2)3 (2a)2 = 500a8
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Obten los siguientes productos:
a) (3x2)3 (x)2
b) (-8a3)(2a2)2
c) (-6a5)2(-2a)3
d) (3y5)(-6y2)3
A continuación determinaremos la potencia de un producto.
Ejemplo:
(a b)5 = (a b) (a b) (a b) (a b) (a b).
5 factores
Al continuar los factores y asociar de diferente manera:
(a b)5 = (a a a a a) (b b b b b).
5 factores
5 factores
es decir, (a b)5 = a5 b5.
43
Ejemplo:
(xy)n = (xy)
(xy)
(xy)
..............
(xy)
n factores
Al conmutar los factores y asociar de diferente manera:
(xy)n =(x · x · x · x ...... · x) (y · y · y · y ...... · y).
n factores
n factores
(xy)n = xn · yn
En general, si a y b son dos números reales y m es un número entero positivo,
entonces:
(a · b)m =(ab)(ab).....(ab)
m factores
= a · a · a · ....... · a
b · b · b ....... · b
m factores
m factores
(a · b)m = ambm
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados
a la misma potencia.
Ejemplo:
a) (xy)m = xm · ym ·
b) (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144.
c) (a2 · b3)3 = a2·3 b3 · 3 = a6 b9.
d) (5a2)3 = 53a2·3 = 125a6 .
La ley anterior también podemos utilizarla para obtener el producto de un monomio; por
ejemplo:
Multiplicar (3a2)2 por (5b)3.
44
Por la tercera ley de los exponentes, se tiene:
(3a2)2 (5b)3 = (32a4)(53b3).
Por la propiedad conmutativa, combinamos el orden de los factores 32, 53, a4,b3 y
asociamos de diferente manera:
(3a2)2(5b)3 = (3253)(a4b3).
Efectuamos el producto y se tiene:
(3a2)2(5b)3 = (1125)(a4b3)
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Obtener el producto de los siguientes monomios.
a) (-3x)3 (ab)2
b) (a2b2)3 (3a3b)2
c) (4y5)2 (x3y2)5
d) (m2n)3 (-8xy2)2
e) (-a2b5)2 (-3a2b2)3
f ) -(3x2y3)5 (2x3y)2
A continuación se determinará la forma de elevar una fracción a un exponente. Para ello
veamos el siguiente ejemplo:
x
y
3
x x x
.
y y y
3 factores
Asociado:
x x x
xxx
x3
3 .
=
y y y
yyy
y
Se observa en el ejemplo que tanto el numerador x, como el denominador y se elevan al
exponente 3.
En general, si a y b son dos números enteros diferentes de cero y m es un número entero
positivo entonces:
45
a
b
m
a a
a a • a••a
b b
b b • b• b •
m factores
a
es decir,
b
m
m factores
am
bm
Esto nos conduce a la cuarta ley de los exponentes la cual se enuncia de la siguiente
manera:
Para elevar una fracción a un exponente, tanto el numerador como el denominador se
elevan a dicho exponente.
Ejemplos:
a)
x
y
5
x5
y5
b) 4 3
43
64
3 3
b
b
b
c)
a2
3
b
3
a6
b9
d) b 5
b5
2
a
a10
Ahora trataremos la división de potencias de la misma base distinta de cero.
El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero, presenta tres casos, los
cuales dependen de que el exponente del dividendo (numerador) sea mayor, igual o
menor que el del divisor (denominador), es decir.
am
an
a m n si m n
1 si m n
1
si m n.
a n m
46
Primer caso:
am
an
amn sim n
Ejemplo:
85
8
3
8•8•8•8•8
85 3 82;
8•8•8
85
8•8•8
• 8 • 8 1 • 82 82;
8•8•8
8
m factores
ó
3
am
a
n
a • a • a••a
am n
a • a • a••a
n factores
Por lo tanto,
am
a
los exponentes.
n
am n
si m>n, lo cual nos muestra el primer caso de la quinta ley de
Ejemplos:
a)
b)
10 5
10
m8
m3
2
105 2 10 3
c)
m8 3 m5
d)
Ahora, obtengamos el producto de monomios.
Ejemplos:
Multiplicar
6 x 4
6 x 2
3 y
•
3 y
2
2
5
3
47
68
6
4
68 4 6 4
y4
y 4 1 y 3
y
Para la ley de los exponentes se tiene:
3y 6x 3y
•
3 y
6 x 3 y
2
6 x4
6 x2
2
2 2
5
2
2
3
2
2 4
62 , x 2 ,32 , y 4 , es decir,
Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores
6 x4
6 x2
3 y
•
3 y
2
2
5
3
6 2 • 3 2 x2 • y4
Se sustituyen los factores
6
2
62 y 32 por su producto, esto es:
3 2 x 2 y 4 324 x 2 y 2
Por lo tanto:
6x 4
6x 2
3 y
•
3 y
2
2
5
3
324 x 2 y 4
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Obtén el producto de los siguientes monomios aplicando las propiedades de los números
reales y las leyes de los exponentes. Justifica la respuesta.
4 x 8 • 2x 3
a)
4 x 3 2x
3a
b)
3a
2x
d)
2 x
x
e)
x
3
3
5
2
2
2
5
6
7
c)
5
8b 6
8b 5
4a
f)
4a
3
2
2
2
48
2
3
am
Segundo caso
an
1 si m = n.
Aquí el cociente es igual a uno ya que una cantidad dividida entre sí misma da la unidad.
Ejemplo:
32
32
3• 3
1.
3• 3
En general, si a es un número real diferente de cero y m y n son números enteros no
negativos, entonces:
m factores
am
a • a • a • a••a
1,
n
a • a • a • a••a
a
ya que m = n.
n factores
am
1, lo cual demuestra el segundo caso de la quinta ley de los exponentes.
am
es decir,
Ejemplos:
a)
m3
1,
m3
b)
82
1,
82
c)
n5
1,
n5
En el tercer caso de la quinta ley de los exponentes,
d)
b10
1.
b10
am
1
n m , donde mn.
n
a
a
Ejemplo:
63
6
6
6•6•6
6•6•6
1
1
1
•
1• 3 3
6•6•6•6•6•6
6•6•6 6•6•6
6
6
Ejemplo:
2x
2x 2x
2x 2x •
1
1
1
1•
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
2
2
2
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
49
2
2
2
3
2
3
1
8 x6
En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros no
negativos en donde m<n, entonces:
m factores
a m a • a • a • a ••a
a n a • a • a • a ••a
n factores
m factores
a • a • a ••a
1
1
1 n m .
•
a • a • a ••a a • a • a ••a
a
m factores
am
es decir,
n
a
exponentes.
n-m factores
1
a
si mn, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los
nm
Ejemplos:
a
a
2 2
2 4
a2 • a2
a2 • a2
1
1
1
• 2 2 1 2 2
2
2
2
2
2
2
a •a •a •a
a •a a •a
a •a
a2
63
6
6
2
1
Ejemplo:
a4
6•6•6
6•6•6
1
1
1
•
1• 3 3
6•6•6•6•6•6
6•6•6 6•6•6
6
6
Ejemplo:
2x
2x 2x
2x 2x •
1
1
1
1•
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
2
2
2
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
50
2
2
2
3
2
3
1
8 x6
En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros no
negativos en donde m<n, entonces:
m factores
a m a • a • a • a ••a
a n a • a • a • a ••a
n factores
m factores
a • a • a ••a
1
1
1 n m .
•
a • a • a ••a a • a • a ••a
a
m factores
es decir,
am
n
a
exponentes.
n-m factores
1
a
nm
si mn, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los
Ejemplos:
a
a
2 2
2 4
a2 • a2
a2 • a2
1
1
1
• 2 2 1 2 2
2
2
2
2
2
2
a •a •a •a
a •a a •a
a •a
a2
51
2
1
a4
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios y justifica tu respuesta:
a)
4 x
4 x
b)
m
m
2
2
3
3
c)
2 y
2 y
d)
5a b
5a b
2
3
2
4
3
6
2
5
2
2
3
También se puede obtener el producto de monomios al aplicar esta ley.
Ejemplo:
Multiplica
3x 2 • 2 x
3x 3 2 x 3
Al aplicar el tercer caso de la quinta ley de los exponentes:
3x2 • 2x 1 • 1
3x 3 2x 3 3x3 2 2x 31
1
1
•
3x 2x 2
1
3x 2x
2
1
12 x 3
52
Simplifica los siguientes monomios:
a)
5 x 2
5 x 4
c)
4xy
4xy
b)
x 2
x 6
d)
3a b
3a b
4
4
3
5
2
2
3
Una vez que te has familiarizado con las leyes de los exponentes, ahora estudiaremos
los exponentes cero.
Hemos definido ya las potencias con exponentes enteros positivos y obtenido leyes para
operar con ellas.
Necesitamos ahora dar una interpretación a las potencias con exponentes cero y
negativos que nos permita hacer extensivas a ellas las leyes ya establecidas.
Exponente cero
La interpretación que se le da a
a 0 (siendo a 0), deberá hacer cierta la igualdad.
a 0 • a n a 0 n a n .
la cual se ha obtenido al extender la primera ley de los exponentes.
Entonces a= 1, porque 1 es el número que multiplicado por an nos da un producto igual
a an. (Recuerda que el elemento neutro de la multiplicación es el 1.)
Con base en el razonamiento anterior se ha convenido que:
ao = 1 para a 0
la expresión a carece de significado para a = 0.
Exponentes negativos.
El significado que se le asigna a a-n , en donde n es un número positivo y a o, deberá
ser congruente con la extensión que deseamos hacer de la primera ley de los
exponentes, esto es, tendrá que hacer verdadera la igualdad.
a n • a n a n n a 0 1,
53
puesto que a n a n 1; entonces:
a n debe ser el inverso multiplicador de a n , es decir,
an
1
;
an
aceptando entonces para
an
a n el significado siguiente:
1
; para a 0 y, n entero positivo.
an
Ejemplo:
simplificar y escribir sin exponentes cero o negativos
Solución:
5x 2 y 3
3x 2
5x
2 2
3
y 3
5x 2 y 3
3x 2
5x 4
3y 3
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Simplifica y escribe sin exponentes cero o negativos las siguientes expresiones:
8x 3
a ) 5
6x
3a 4
d)
12a 10
3
b)
6 y 2 z 3
2 y 5z 0
c)
4xy 2
10x 2 y 5
5a 3b5c1
f )
15a 2b 2 c1
2 x5 y 3
e) 8 5
3a y
2
Hay otras propiedades que se usan con frecuencia y que pueden establecerse en forma
sencilla a partir de las definiciones de exponentes negativos y de las leyes de los
exponentes.
54
Caso 1
Ejemplo:
a
1
2
2
a
1
b 5
b5
1
5
a2 1 b
1
a2 1
5
b
pero
Por lo tanto
a 2 b5
.
b5 a 2
En general, si a y b son números reales y, m y n son enteros, entonces (excluida la
división entre cero):
a n bm
.
b m a n
Caso 2
Ejemplo:
a
b
2
Pero
a 2
b 2
a
2
b
2
1
2
a
1
b2
1
2
a2 1 • b
1
a2 1
b2
55
a
Por lo tanto
b
2
b2
b
2
a
a
2
En general, sí a y b son números reales cualesquiera y, m y n son enteros, entonces
(excluida la división entre cero):
a
b
n
b
a
n
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Simplifica y expresa los resultados. Emplea solo exponentes positivos.
x
a)
y
6
1
x
y
6
x6
y 6
x6
16 ;
y
1
Pero
x6
6
6
6
1 1 • y y y
y6
x6 1
x6 x
Simplifica y escribe las respuestas. Utiliza sólo exponentes positivos.
a 4
c ) 5 5
b
8x 2 y 3
a ) 1 2
6x y
10a 3 3
b ) 5
5b
2
d)
56
1
2
x y 2
Una vez que nos hemos familiarizado con la multiplicación de monomios, resultará más
fácil, al utilizar para ello la propiedad distributiva, obtener el producto de un monomio por
un polinomio.
Ejemplo.
x m por x x 2 .
a) Multiplicar
Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:
xm x x2 xm • x xm • x2
Pero, x • x x
m
m 1
y x m • x 2 x m 2 , por lo que x m x x 2 x m1 x m 2
b)5x 2x 3
Mediante la propiedad distributiva se obtiene:
5x 2x 3 5x • 2x 5x • 3
Al usar las propiedades conmutativa y asociativa obtenemos:
5x 2x 3 5 • 2 x • x 5 • 3 x
Efectuando operaciones:
5x 2 x 3 10x 2 15x
También se pueden omitir los pasos intermedios y operar de la siguiente manera:
a) Multiplicar
x 2 y por 3xy 2 x 3 y 2 5xy 3 ;
x 2 y 3xy 2 x 3 y 2 5xy 3 3x 3 y 2 2 x5 y 3 5x 3 y 4
b )2 x 3 y 2 3xy 8x 2 y5 3xy 2 6x 4 y 3 16x5 y 7 6x 4 y 4
57
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Multiplica los polinomios siguientes. En los cinco primeros omite los pasos intermedios y
en los siguientes indica las propiedades y leyes que aplicaste para llegar al producto:
a) 8a p n q 2a qn p 5an 6
f ) 4 x 2 2 x 3 y 3 xy 2 7
b) 2ax 2 bx 3 cx 8d
g ) 3m 2 1 5m 3 n 6m 2 n
c) abcda b c d
h) x 2 3 x 3 x 2 5 x
d) a m a b 1
i ) x 2 y 3 xy x 3 y 2
e) 2x10 5 x 2 6 x 2 y y 2 2
j ) a 2b 2 3a 2 b 8a 3 b 2
Veremos ahora cómo multiplicar polinomios.
Ejemplo:
Multiplicar ( x + 3 ) por ( x + 5 )
Mediante la propiedad distributiva:
x 3 x 5 x • x x • 5 3 • x 3 • 5 x 2
5 x 3 x 15.
Al reducir términos semejantes, se tiene:
x 3 x 5 x 2 8x 15.
Este mismo producto se puede resolver de la siguiente manera:
x 3 x 5 x 3x x 35,
usando la propiedad distributiva del primer factor
respecto al segundo.
58
Al aplicar nuevamente la propiedad distributiva, se tiene:
x 3 x 5 x • x 3 • x x • 5 3 • 5;
x 3 x 5 x 2 3x 5x 15.
y al reducir términos semejantes, obtenemos:
x 3 x 5 x 2 8x 15.
En la resolución de los siguientes ejemplos veremos que se han omitido algunos pasos
intermedios.
a ) x 2 2 xy y 2 x y x 3 2 x 2 y y 2 x x 2 y 2 xy 2 y 3
x 3 3x 2 y xy 2 y 3
También se puede resolver así:
x
2
2xy y 2 x y x 3 x 2y 2x 2y 2xy 2 xy 2 y 3
x 3 3x 2y xy 2 y 3
A veces, al multiplicar polinomios de este tipo se acostumbra ordenarlos en columnas y
cada término de polinomios se multiplica por todos y cada uno de los del otro polinomio,
disponiendo los productos parciales de manera que queden en columna los términos
semejantes; este procedimiento es análogo al de la multiplicación de números
expresados en forma decimal.
59
Ejemplo:
Multiplica
3x
3
2 x 2 5x 6
por
3x 5
Al ordenar los polinomios en columnas y seguir el procedimiento indicado, se tiene:
3x 3 2x 2 5x 6
3x 5
9x 4 6x 3 15x 2 18x
15x 3 10x 2 25x 30
9x 4 9x 3 5x 2 43x 30
x
Para multiplicar polinomios como éste
2
2 xy y 2 x y , se puede utilizar
cualquiera de los procedimientos siguientes.
x 2 2xy y 2
x y
x 2 2xy y 2
x y
x 3 2x 2 y xy 2
x 2 y 2xy 2 y 3
x 3 2x 2 y xy 2
x 2 y 2xy 2 y 3
x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
Observa que de estos dos procedimientos el más práctico es el primero, aunque en las
dos formas se llega a la misma solución.
60
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
De las siguientes multiplicaciones, resuelve las cinco primeras siguiendo los pasos
correspondientes. Enuncia las propiedades y leyes aplicadas, las siguientes cinco en
forma abreviada y las últimas ordenándolas en columnas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
P)
a
x
x
2
ab b 2 a 2 b 2
2
xy y 2
2
xy y 2
a 3 y 5
3 y 72y 9
x 2 x 1 x 1
3 x
4
x 3 5 x 2 3 x 3 4 x 2 2x 2
m nm 2 m 2 n mn 2 n 3
x y x 2 3 xy y 3
a
x
2
a 1 a2 1
x 33 x 5 x 2x 6
x x 7x 2x 3x x
2
5 x y
5
3
2
2
4
3
2
y 3 y 8
x 3x y
a 2ab b a b
5x 3x 26x 8x 5
m
2
2
2
2
2
Para obtener productos de polinomios con coeficientes racionales simplemente, cómo en
los casos anteriores, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y la regla de
los signos.
61
Ejemplo:
Multiplica
1 2
4
a por a 3b.
2
5
1 2 4 3
a a b
2 5
Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores
se asocia de diferente manera, esto es:
1 2 4 3
1 4
a • a b • a 2 • a 3b.
2
5
2 5
Al utilizar las propiedades descritas:
1 2 4 3
4
a • a b a 5b.
2
5
10
Se simplifica el coeficiente
4
, esto es:
10
1 2 4 3
2
a • a b a 5b
2
5
5
4 2 2
x x 5
5
3
Ejemplo: Multiplicar
3
x
4
por
Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:
3
3
4 2 3 2
x • x x • x 5 • x
5
4
4
3 4
Por las propiedades conmutativas y asociativas se obtiene:
4 2 2
3 3 3 1 2 15
x x 5 x x x x
5
4 5
2
4
3
62
1 4
a2 a3 b y
2 5
Ejemplo:
1
3
2
1 2 1
a ab b 2 por a b
3
2
3
4
2
Multiplicar
Por la propiedad distributiva, tenemos:
2 1 3 1 2 2 1 2 3
1 2 2 1 2 3 1
a • a a • b ab • a ab b b • a b • b
2
2 4
2
2 3
3 2
3 3
3 4
1
3
2
1
1
3
a 3 a 2b a 2b ab 2 ab 2 b 3
3
4
9
2
6
8
1
35
2
3
a 3 a 2b ab 2 b 3
3
36
3
8
Por lo tanto,
1 2 2
3 1 3 35 2
2
3
1 2 1
a b ab 2 b 3
a ab b a b a
2
3
4 3
2 3
36
3
8
El mismo polinomio se puede resolver en otra forma:
1 2 2
3 1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 1
1 2 1
a ab b a b a ab b a a ab b b
2
2
3
4 3
2 2
3
4 3
3
4 2
Aplica nuevamente la propiedad distributiva y termina el proceso.
Ahora resuelve el producto y completa el orden de los polinomios en columnas.
1 2 1
1
a ab b 2
2
3
4
2
3
a b
3
2
1 3 2 2
1
a a b ab 2
3
9
6
1 3
a
3
3 2
a b
4
63
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Determina el producto en las siguientes expresiones con coeficientes racionales, en los
cuatro primeros deberás seguir todos los pasos indicando las propiedades que utilizaste.
Los siguientes cuatro ejercicios los resolverás ordenando los polinomios en columnas y
los últimos cuatro resolverás, aplicando la propiedad distributiva.
a) x
2
5
1
y por y x
5
6
3
8 1
1
5
g) a 2 a a
4
3 5
3
1
1 2
3
1
b) x 2 xy y 2 x y
2
3
4 3
2
2
3
2 1
h) a 2 a 1
a
5
5
3
2
1 2
2
1
c) a b x y
2
3 3
3
2
1 x 3
1
i) x 3 x 2 x
8
3
3 5 4
2
1
2
d) x 2 x 1 x x
2
5
3
1 2
3
2
j) x 2 x x 3
3
3 5
4
2 1
1
3
e) a 2 a a 3 a
8
3 5
3
1
3
3
k ) y 3 y 2 6 y 2
8
4
4
8
1 1
2
3
f ) x 3 x 2 x x 2 x
4
3
2
2
3
1 2
2
l) m n m
2
4 3
1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Una vez familiarizados con las operaciones de sumar y multiplicar polinomios, resulta
fácil determinar la manera de obtener el cociente de ellos.
Para dividir polinomios, es necesario recordar la ley de los signos, la de los coeficientes
para la multiplicación; asimismo el algoritmo, que comúnmente utilizas para dividir
aritméticamente.
Empecemos nuestro estudio con la división de polinomios.
64
Ejemplo:
Dividir
4x5 entre 2 x 2
Pasos a seguir:
a) Se dispone la operación en forma de fracción (dividiendo entre divisor), es decir
4x5
2x 2
dividendo
divisor
b) Se separan los términos y al aplicar las leyes de los exponentes se obtiene:
4x5 4 x5
• 2x 3
2x 2 2 x 2
¿Cómo puedes comprobar la división de polinomios?
Ejemplo:
Dividir 20
a 2b 3c4 entre 4 a 0b1c2
Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior se tiene:
20a 2b 3c4 20 a 2 b 3 c4 5b 4 c2
•
•
•
4a 0b1c2
4 a 0 b1 c2
a2
Ejemplo:
Dividir
15x 2 y 3z 6 entre 20x 2 yz 2
Siguiendo los pasos anteriores:
15x 2 y 3z 6 15 x 2 y 3 z 6
•
• •
20x 2 yz 2
20 x 2 y z 2
Simplificando.
15x 2 y 3z 6
3y 2 z 8
20x 2 yz 2
4x 4
65
Ejemplo:
Dividir
10a 3b5c entre 2a 2b.
10a 3b5c
5ab4 c.
2
2a b
Aquí se observa que cuando en el dividendo hay una literal que no existe en el divisor, en
este caso la letra c, dicha letra aparece en el coeficiente. Lo mismo ocurre si c se
cuestiona en el divisor con exponente cero ya que tendríamos:
c
c1 0 c1 c.
0
c
Ejemplo:
Dividir
a mbn c p entre
5ab2 c2.
a mbn c p 1 m1 n 2 p 2
a b c
5ab2 c2.
5
Forma de comprobar la división de monomios.
Para comprobar una división de monomios se multiplica el cociente por el divisor, el
resultado debe ser el dividendo:
Ejemplo:
6x 3
2x 2
3x
Por que
2x 3x 6x
2
3
66
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Obtén el cociente en cada una de las siguientes divisiones.
En las cinco primeras determina los pasos que se siguen, tal como se hizo en los
ejemplos y los restantes en forma simplificada, pero comprobando la solución.
a) 5 x4 entre 6 xy2
b)
h) 16a 8 b 2 c 5 entre 4a 2 bc 2
10 x6 entre 5 x2 y
i) y 6 z 2 entre x 3 y 2 z
c) 18a6b4 c2 entre 2ab2c2
d)
j) a 5 b 2 c 8 entre a n y k c 3
108a7b8 c5 entre 20a6b2
k)
10 x 3 y 0 entre 2xy 5
e) 25 x2 y5 entre 5 x4 y2
l) 25 x 1y 5 entre 5 x 2 y 2
f ) 3 x5 y4 z2 entre x5 y2 z
m) 12a 3 b 2 c 0 entre 6a 2 b 6 c 5
g)
9 x3 y2m5 entre m2
n) 4 x 2 y 2 z 0 entre 2z 2
División de un polinomio entre un monomio
Aquí se utiliza la propiedad distributiva para expresar el cociente de un polinomio y un
monomio como suma de fracciones, como en polinomios, o como una suma de un
polinomio y una o más fracciones, es decir,
ab a b
c
c c
67
Ejemplo:
20x 3 25x 2 15x entre 5x 4
a) Dividir
Aplicando la propiedad distributiva se obtiene:
20 x3 25 x2 15 x
4
5x
b)
c)
20 x3
4
5x
25 x2
4
5x
15 x
4
5x
4 5
3
2
x x
x3
a 2a2 a5
a 2a2 a5
1 2a a4
a
a
a
a
12m4 4m2 m 6
4m
2
12m4
4m
2
4m2
4m
2
m
4m
2
6
4m
2
3m2 1
1
3
4m 2m2
Como sabemos, la comprobación de la división se obtiene al multiplicar el cociente por el
divisor.
Comprobaremos por medio de una multiplicación el primero de los casos anteriores.
En el inciso a.
Si multiplicamos el cociente
dividendo:
3
4 5
2 3
x x
x
por el divisor
5x4 , obtenemos el
4 5
3 20 x4 25 x4 15 x4
5 x4
20 x3 25 x2 15 x, que es el dividendo.
x x2 x3
x
x2
x3
1) Comprueba en los incisos b y c
68
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
1) Procediendo como en el ejemplo, encuentra el cociente en cada una de las siguientes
divisiones y compruébalo.
Dividir:
a) 3 x 2 y 3 5a 2 x 4 entre 3 x 2
b) 3a 3 5ab 2 6a 2 b 3 entre 5a
c) 6m 3 8m 2 n 20mn 2 entre 2m
d) x m 2 5 x m 6 x m 1 x m 1 entre x m 2
e) 8m 9 m 2 10m 7 n 4 20m 5 n 6 12m 3 n 8 entre 2m 2
f)
5m 2 y 5 z 3 10 xy 2 z 3 20 3 y 3 z 3 entre 5 xy 2 z 3
g) 3 x n y 2 z 3 9 x 2 y 3 z 12x n 1y 5 z entre 3 x n yz
Obtención del cociente de un polinomio entre otro polinomio.
La división de polinomios se puede efectuar de la misma manera que la división
aritmética, con grandes números, usando el algoritmo de Euclides; por ejemplo, dados
los números 632 y 23, obtengamos el cociente por medio del algoritmo citado, es decir,
27
23 632
-46
172
161
11
(63 entre 23 da 2, como 2 por 23 es igual a 46, el residuo parcial es 17).
(Ahora, 172 entre 23 da 7 como 7 por 23 es igual a 161 y el residuo parcial es 11).
Comprobación.
69
Por lo tanto 632 = 23 x 27 + 11,
El dividendo es igual a divisor por cociente más residuo.
Ahora se obtendrá el cociente de polinomios aplicando el algoritmo de Euclides.
Para empezar a dividir un polinomio entre otro, se disponen los términos del dividendo y
divisor en orden decreciente respecto al grado de una literal. Se termina el proceso de
división cuando el grado del residuo, en una variable es menor que el del divisor o
cuando el residuo es cero.
Ejemplo:
Dividir 6x2 3x 2 entre 2x 3
Pasos a seguir;
1) Se divide el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor.
6x2
3x
2x
3x
2x 3 6 x 2 3 x 2
2) Se multiplica este primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso
aditivo de su producto.
3 x2x 3 6 x 2 9 x
3x
2x 3 6 x 2 3 x 2
6x2 9x.
3) Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.
3x
2x 3 6 x 2 3 x 2
6x2 9x.
6 x 2
4) Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.
6x
3
2x
2x+3
3x 3
6x 2 3x 2
6x 2 9x
6x 2
70
5) Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso
aditivo de este producto.
3x 3
2x+3 6x 2 3x 2
3 2x 3 6x 9
6x2 9x
6x 2
6x 9
6) Para terminar, sumamos.
3x 3
6x 2 3x 2
2x+3
6x 2 9x
6 x 2
6x 9
11.
Por lo tanto, el resultado de la división es: 3x-3 residuo 11 ó 3 x 3
Y la comprobación es:
11
2x 3
6 x2 3 x 2 2x 33 x 3 11.
Dividendo igual a divisor por cociente más residuo.
Ejemplo:
Dividir
2x 3 2 4 x entre 2 x, sin mencionar los pasos del algoritmo.
Se disponen los términos del dividendo y del divisor en orden decreciente y como en el
dividendo falta el término
x 2 se debe dejar un lugar para este término.
2x 2 4 x 4
x 2 2x 3 4 x 2
2x3 4x2
4 x 2 4 x 2
4x 2 8x
4x 2
4 x 8
10
Por lo tanto el resultado es: 2x2 - 4x +4 Residuo -10 ó 2x2 4 x 4
71
10
x2
Y la comprobación es:
2x3 - 4x -2 = (x+2) (2x2 -4x + 4) + (-10)
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
1) Aplica el algoritmo de Euclides sin mencionar los pasos y resuelve las siguientes
divisiones de polinomios:
a) 6n 2 11n 35 entre 3n 5
b) 4 x 3 4 x entre 2 x
c) b 4 4b 3 10b 2 12b 9 entre b 2 2b 3
d) x 2 4 x 14 entre x 6
e) 8 x 3 4 x 1 entre 2x 2
División de monomios entre monomios con coeficientes racionales.
Ejemplo:
Dividir
5 3
1 2,
a entre
a esto es:
2
3
5a 3
a2
.
2
3
72
Ahora vamos a multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El inverso
multiplicativo de:
1 2
3
a es 2 .
3
a
Por lo tanto,
5a3 1a2
2
3
5a3 3
15a3
• 2
.
2
a
2a2
Por las leyes de los exponentes, se tiene:
5a3
1
15
a2
a.
2
3
2
División de polinomios entre monomios con coeficientes racionales.
Se puede proceder del mismo modo que en el campo de los números racionales; por
ejemplo:
Dividir
1 3
3
2
x x 2 y entre
x.
3
8
3
Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.
1 3 3 2 3
x x y
3
2x
8
Ahora se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.
3x 3
9x 2 y
.
6x
16 x
Simplificando términos, se obtiene:
x2
9 xy
.
2
16
Por lo tanto,
1
9
1 3 3 2 2x
x2
xy.
x x y
3
8
3
2
16
73
Comprobación:
Se multiplica el divisor por el cociente, para obtener el dividendo, esto es:
1 3 3 2
2x x 2
9
2x 3 18 x 2 y
1
3
x x y
xy
x 3 x 2 y.
3
8
3 2
16
6
48
3
8
(dividendo = divisor por cociente).
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Procede como en los ejemplos anteriores y divide los siguientes polinomios. Comprueba
la solución:
1)
3 5 4
2
a b entre a 3 b 2
8
5
2)
3 5 2
2
x y z entre x 3 y 4 z
4
3
3)
2 3 1 2 3 3 2
3
a a b ab entre a 2 b 2
7
2
8
5
2
1
1
3
4) y 3 x 2 y 2 xy entre y 2 x 2
4
3
2
2
5
3
5) a 3 b 4 c 2 entre a 2 bc 3
4
7
Para dividir polinomios entre polinomios con coeficientes racionales se aplica el algoritmo
de Euclides.
Ejemplo:
Dividir
1 3 28 2
4
2
4
x
x y
xy 2 entre x y.
3
45
15
3
5
74
Pasos que se siguen:
1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
1 2
x
2
2
4 1
28 2
4
x y x3
x y
xy 2
3
5 3
45
15
2. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso aditivo
de ese producto.
1 2
x
2
2
4 1
28 2
4
x y x3
x y
xy 2
3
5 3
45
15
1
2
x3 x2 y
3
5
3. Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.
1 2
x
2
2
4 1
28 2
4
x y x3
x y
xy 2
3
5 3
45
15
1
2
x3 x2 y
3
5
2
4
x 2 y xy 2
9
15
4. Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.
1 2 1
x xy
2
3
2
4 1 3 28 2
4
x y x
x y
xy 2
3
5 3
45
15
1 3 2 2
x x y
3
5
2
4
x 2 y xy 2
9
15
75
5. Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inverso
aditivo de este producto.
1 2 1
x xy
2
3
2
4 1 3 28 2
4
x y x
x y
xy 2
3
5 3
45
15
1
2
x3 x2 y
3
5
2
4
x 2 y xy 2
9
15
2 2
4
x y xy 2
9
15
6. Sumando los dos polinomios.
1 2 1
x xy
2
3
2
4 1 3 28 2
4
x y x
x y
xy 2
3
5 3
45
15
1
2
x3 x2 y
3
5
2
4
x 2 y xy 2
9
15
2 2
4
x y xy 2
9
15
0
Por lo tanto el resultado de la división es:
Y la comprobación es:
0
1 2 1
x xy
2
3
1 3 28 2
4
4 1
1
2
x x y xy 2 x y x 2 xy
3
3
45
15
5 2
3
Compruébalo desarrollando el producto.
76
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Efectúa las operaciones siguientes desarrollando los pasos propuestos.
a)
1 3 35 2 2 2 3
1
1
1
a
a ab b entre a 2 ab b 2
3
36
3
8
2
3
4
b)
1 3 5 2
5
1
3
x x y y 3 xy 2 entre x y
16
8
3
4
2
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí estudiamos:
La suma de polinomios: Se obtiene por las sumas parciales de los términos semejantes,
cuyos resultados se escriben a continuación del otro con sus respectivos signos.
Sustracción de polinomios: Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo el
inverso aditivo o recíproco del polinomio sustraendo.
Multiplicación de polinomios: El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada
término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, luego se reducen los
términos semejantes.
División de polinomios: Para dividir dos polinomios se ordenan los polinomios del
dividendo y el divisor en orden decreciente. Con respecto a la misma literal y se aplica el
algoritmo de Euclides.
77
RECAPITULACIÓN
En este apartado encontrarás una síntesis de los temas y subtemas que estudiaste a lo
largo del capítulo.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
-4x2y3 + 3x3 =
TÉRMINO
TÉRMINO
COEFICIENTE
NUMÉRICO
-4x2 y3
-4
FACTORES
LITERALES
GRADO
ABSOL.
GRADO
X
GRADO
Y
5
2
3
x2y3
FACTORIZACIÓN
MONOMIO
POLINOMIOS
BINOMIO
TRINOMIO
POLINOMIO
-4x2y3 + 3x3 =
OPERACIONES
SUMA
SUSTRACCION
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
En el esquema que revisaste se desglosó una expresión algebraica para que ubiques
cada uno de los elementos que has aplicado en los problemas que se plantearon dentro
de cada uno de los temas.
Ahora resuelve la siguiente operación algebraica 2 a 3a 5 2 a 3
78
2
ACTIVIDADES INTEGRALES
Con el fin de que conozcas el nivel de tu aprendizaje realiza las siguientes actividades y
si tienes alguna duda revisa los temas que estudiaste en este capítulo.
1) Encuentra una expresión algebraica para las siguientes cantidades.
a) El perímetro de un rectángulo de largo x y ancho y.
b) El área de un paralelepípedo con las siguientes dimensiones:
Largo a, ancho b, altura c.
c) La cantidad de dinero que totalizan n billetes de 50,000 pesos.
d) La cantidad de dinero que totalizan m billetes de 10.000 pesos y n billetes de
20,000 pesos.
e) La cantidad a cobrar por un disco que costaba x pesos si el vendedor ofrece un
descuento de 30%.
2. Con tus propias palabras escribe los pasos a seguir para resolver adiciones y
sustracciones de polinomios.
3. Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la regla
de los signos, has obtenido los métodos para multiplicar y dividir polinomios, de tal
manera que los ejercicios que se te proponen a continuación, te servirán para
reafirmar tu aprendizaje. Resuélvelos e indica los propiedades y reglas que utilices.
79
a)
6 a 2 b 3
15a 1b 2
2 2
4a
b) 5
2b
1
c)
2x
2
d)
8 x
m n
y 2x 2 yz 3 x m z 3 2x 2 y
e)
3 x
2
f)
4a b c 2a b c 2a
3
y 5 z3 4x2 y
6y z 5x3 6
2 n 5
4
2
3abc
3 1
g) a 2 a 5 b
8 5
5
2
h) x 5 y x n y 5
2
7
2
3
5
i) a 2 b a 5 b 2 c 2 x 2
4
3
3
1
5
3
j) y 2 z y 3 z 2 y 5
4
8
3
3
1
3
k ) x 2 3 y x xy
2
4
5
l) 4 x 8 2x 2
m)
n)
6xy
2
3x3 5x4 y 2 3x2 y
10x y 5x 23x 5x
2
2
80
Aplica el algoritmo de Euclides para resolver las siguientes divisiones con polinomios.
o)
x
2
6 x 10 entre x 2
p)
n
2
7n 9 entre n 1
q)
4 5
2
a entre a
3
3
2
1
5
5
r ) x 2 y 5 xy 2 xy entre x 2 y
3
3
4
3
6
3
2
1
s) m 5 n m 3 n 2 m entre m 2 n 3
2
5
8
3
6
3 4 1 3 2
t)
a a b b 3 entre a 2 b 3
8
2
5
7 2
19 2 3 3
2
9 2
1
y
u) x 3
x y
xy y entre x 2 xy
3
10
10
30
4
5
35 2
5
3
1
1
1
1
v) x 3
x y xy 2 y 3 entre x 2 xy y 2
3
2
36
6
4
3
2
15 2 9 3
3
1 3 5 2
1
w)
a a b
ab b entre a b
16
8
8
4
4
2
81
AUTOEVALUACIÓN
En este apartado encontrarás las respuestas de las Actividades Integrales; compara tus
respuestas y si en alguna no llegaste al mismo resultado, verifícala y en caso necesario
vuelve a revisar el tema.
1. a) x x y y 2x 2y
b) El área de un paralelepípedo es la suma de las áreas de sus caras:
ab ab bc bc ac ac 2ab 2bc 2ac.
c
b
a
c) 50 000n
d) 10 000 m + 20 000n
e) El descuento es 0.3x, entonces la cantidad a cobrar por el disco es:
x 0.3x 1 0.3 x 0.7x.
2. Si entendiste esta parte del tema habrás observado la necesidad de seguir una serie
de pasos para resolver en forma adecuada las operaciones de adición o sustracción
de polinomios, sin que los pasos requieran un orden fijo, sino más bien la habilidad
que tengas en el manejo de las expresiones algebraicas.
En la realización de las actividades de consolidación, debiste considerar que:
Los polinomios se ordenan en forma decreciente.
Hacer que los polinomios sean completos.
Agrupar los términos semejantes (vertical u horizontal).
82
Sumar o sustraer los coeficientes.
En la sustracción, se debe obtener el inverso aditivo del sustraendo.
3. Obtener el producto y el cociente de polinomios son operaciones que requieren de la
aplicación de las propiedades y leyes que permiten encontrar la solución deseada.
Los resultados de los ejercicios propuestos en las actividades de consolidación son los
siguientes:
6a 2b 3
2b 5
a)
15a 1b 2 5a
1
4a 2 2
b10
b) 5 4
4a
2b
c) 2 x 2 y 5 z 3 4 x 2 y 8 x 4 y 4 x 2 y 6 4 x 2 yz 3
d ) 8 x m y n 2 x 2 yz 3 x m z 3 2 x 2 y 16 x m 2 y n 1 4 x 4 y 2 z 6 x m 2 yz 3
e) 3 x 2 6 y z 5 x 3 6 15 x 5 30 x 3 y 5 x 3 z 18 x 2 36 y 6 z
f ) 4a 3b 4 c 2a 2b n c 5 2a 2 3abc 8a 5b 4 c 4a 4b n c 5 12a 4b 5c 2 6a 3b n 1c 6
7
3 2 1 5 3a b
g ) a a b
40
8 5
5
2
5
h) x 5 y x n y 5 x n 5 y 6
2
7
7
2
10
3
5 5
i ) a 2 b a 5 b 2 c 2 x 2 a 2 bx 2 a 5 b 2 c 2 x 2
3
9
4
3 4
83
1
5
3 15 7 1 8 2
j ) y 2 z y 3 z 2 y 5
y z y z
3
8
4
8 32
3 3
3 3
9
9
1
3
k ) x 2 3 y x xy x 3
x y xy xy 2
5 8
10
4
5
2
4
l) 4x 8 2x 2 2x 6
6 xy
m)
2
3x 3 5 x 4 y 2 3x 2 y
2y x 5 2
x y
x
y 3
n) 10 x 2 y 5 x 2 3 x 2 5 x 6 x 3 y 3 x 2
6
x
5
2
x2
1
n 1
o) x 2 6 x 10 entre x 2 x 4 residuo 2 x ó 4
p) n 2 7n 9 entre n 1 n 8 residuo 1 ó n 8
q)
4 5
2
a entre a 2a 4
3
3
2
1
5
2y
3
5
r ) x 2 y 5 xy2 xy entre x 2 y y 4
3
4
3
5 x 20 x
3
6
3
2
3m3 9m
9
1
s) m5 n m3n 2 m entre m 2 n 3 2
5
8
3
4n
5n 16mn3
2
6
5a 2 5a
5
3 4 1 3 2 3
t)
a a b b entre a 2b 3
2
3
2
5
16b
12b 6a
8
84
7
19
3
2
9
5
1
1
u ) x 3 x 2 y xy2 y 3 entre x 2 xy y 2 x y
10
30
4
5
10 3
6
3
35
5
3
1
1 2
3
1
1
v) x 3 x 2 y xy2 y 3 entre x 2 xy y 2 x y
36
6
4
3
2 3
2
3
2
5
15
9
3 1
3
1
1
w) a 3 a 2b ab 2 b 3 entre a b a 2 ab b 2
8
8
4
2 4
2
16
4
85
86
CAPÍTULO 2
LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS
NOTABLES,
FACTORIZACIÓN
Y
SIMPLIFICACIÓN
DE
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES
2.1 PRODUCTOS NOTABLES
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
Productos de dos Binomios con Término Común.
Producto de dos Binomios Conjugados
El Cuadrado de un Binomio
El Cubo de un Binomio
El Binomio de Newton
2.2 FACTORIZACIÓN
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
Factorización por Factor Común
Factorización por Agrupación de Términos
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorización de una Diferencia de Cuadrados
Factorización de una Suma de Cubos
Factorización de una Diferencia de Cubos
Factorización de Trinomios de la forma: x2+bx+c y ax2+ bx +c
2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES
2.3.1 Reglas para Simplificar Expresiones Algebraicas Racionales
a)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Monomios
b)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios
c)Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador
Denominador dado.
87
d)Reducción de una Fracción a una Expresión Entera o Mixta
e)Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionaria
f) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominador
g) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomios
h) Cálculo del Mmínimo Común Múltiplo de Polinomios
2.3.2 Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales
a) Adición de Fraciones
b) Sustracción de Fracciones
c) Multiplicación de Fracciones
d) División de Fracciones
88
PROPÓSITO
En este capítulo estudiarás los procedimientos para desarrollar productos notables y
factorización:
¿QUÉ APRENDERÁS?
A diferenciar y desarrollar los tipos de
productos notables, y los de factorización;
así como a simplificar fracciones algebraicas
racionales.
Al analizar los procedimientos para obtener
los productos notables; factorizar una
expresión y simplificar fracciones algebraicas
racionales.
¿CÓMO LO LOGRARÁS?
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Al desarrollar las actividades que se
propone, y comparar tus resultados con los
que aparecen en el fascículo para verificar
que el procedimiento que aplicaste es
correcto
Para obtener los conocimientos básicos que
necesitarás en las próximas asignaturas de
Matemáticas, así como en física, Química y
Biología entre otras
89
90
CAPÍTULO 2
LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES,
FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES.
2.1 PRODUCTOS NOTABLES.
En muchos casos, para resolver un problema tenemos que recurrir al álgebra, y cuando
formamos los modelos algebraicos nos enfrentamos a expresiones como las siguientes:
x 6 x 8 x 2 14x 48
Y aunque parecen complejas en realidad son expresiones de fácil solución, debido a que
se han establecido algunas reglas que nos ayudan a solucionarlas rápidamente con
precisión.
Para las cuales iniciaremos analizando, los productos que cumplen con una regla fija y
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, esto es, sin verificar la
multiplicación; a estos les llamamos productos notables.
2.1.1 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.
La expresión dada (x+a) (x+b) es un producto de dos binomios, donde puedes ver que x
es un término que está en ambos binomios, por lo cual se dice que es término común.
Los términos +a y +b son términos no comunes.
Por lo anterior, a la expresión ( x + a ) ( x + b ) se le denomina producto de dos binomios
con término común.
91
Observa la siguiente tabla:
Productos de dos binomios
con un término común
Término común
Términos no comunes
1. x 4 x 10
x
4;10
2. y 3 y 8
y
3;8
2
3. k 6 k
3
k
4.2x 72x 2
2x
5.
6;
x 5
x
z2
x 6
6. z 2 11 z 2 1
6;5
11;1
x3
7. x 3 3 x 3 10
3
7;2
2
3;10
2y 2
8;6
9. x 2 3 x 2 7
x2
3;7
10. 2 y 9 y
y
2;9
8. 2y 2 8 2y 2 6
Si a los ejemplos 1, 3, 5, 7, 9 se les aplica el procedimiento para multiplicar dos binomios,
se tiene:
x2 10 x 4 x 40
1. x 4 x 10
x2 10 4 x 40
x2 14 x 40
2
k 6k 4
3
2
k 2 6k 4
3
16
k2
k 4.
3
k2
2
3. k 6 k
3
92
5.
x6
x5
x
2
5 x 6 x 30
x 5 6
x 30
x x 30
x3
7. x 3 3 x 3 10
2
10 x 3 3 x 3 30
x 6 10 3 x 3 30
6
3
x 7 x 30
x2
9. x 2 3 x 2 7
2
7 x 2 3 x 2 21
x 4 7 3 x 2 21
4
2
x 4 x 21.
Observamos que este tipo de productos se efectúa del mismo modo en que se
multiplican dos binomios cualesquiera; sin embargo, esto lo hacemos tan frecuentemente
que es válido tener una regla adecuada, la cual se obtiene observando detenidamente los
ejemplos anteriores.
x a x b x 2 a bx ab.
Por consiguiente, el producto de dos binomios con un término común es un trinomio cuyo
primer término es el cuadrado del término común, su segundo término es el producto de
la suma de los términos no comunes por el término común y el término es el producto de
los términos no comunes.
Analiza como se aplica cada paso de esta regla en los siguientes ejemplos.
Para
x 1 x 9
1er. Paso x 1 x 9 x . El cuadrado del término común.
2
2o. Paso
x 1x 9 x2 1 9 x.
El producto de la suma de los términos no
comunes por el término común.
93
3er. Paso
x 1 x 9 x2 8x 19 El producto de los términos no comunes.
x 1 x 9 x 2 8x 9
8
2
Para y 2 y 2
5
3
8
2
1er. Paso: y 2 y 2 y 2
5
3
2
El cuadrado del término común.
8 2
8
2
2o. Paso: y 2 y 2 y 4 y 2 El producto de la suma de los
5
3
5 3
términos no comunes por el término común.
34 2 8 2
2 8 2 2
4
y
y y y
5 3
5
3
15
no comunes.
3er. Paso
El producto de los términos
34 2 16
2 8 2 2
4
y
y y y
5
3
15
15
Ahora apliquemos los tres pasos de la regla:
m 8 m 3 m 5m 24
p a 10 p a 33 p a 43p a
x
2
2x
x
3
2
3
x
4
6
2
3
330
y 6 y 3 y 2 9 y 18
2.1.2 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS.
El producto 103 por 97 que es una operación aritmética, se puede escribir como
100 3 100 3 dado que 103 = 100 + 3 y 97 = 100 - 3. Quedando el producto
103 97 100 3100 3,
observamos que el producto dado se puede escribir
como el producto de dos binomios, los cuales tienen un término común (100) y un
término (3) que difieren sólo en el signo (uno es positivo y el otro es negativo).
94
De esta manera, también en Álgebra se presenta este tipo de expresiones, por ejemplo:
x 4 x 4
donde x es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.
y k y k ,
Donde y es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.
1
1
3a 3a
2
2
Donde 3a es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.
En este tipo de expresiones los términos que sólo difieren en el signo se les llama
conjugados o simétricos.
Para mayor identificación de este tipo de productos se dan a continuación los siguientes
ejemplos:
Producto de dos binomios
2. 2a 3b2a 3b
4. 3ax y3ax y
6. x
3
2 4
5. 6 x m x
m
6x
3
yn xm yn
2 4
m x
Término simétrico o
conjugado
a
2a
1. a xa x
3. 2x2 1 1 2x2
Termino común
o igual
x; x
3b;3b
1;1
2x 2
y
3ax;3ax
6x3
m 2 x 4 ;m 2 x 4
xm
yn ; yn
A los productos de binomios como los anteriores se les llama productos de binomios
conjugados, porque tienen una parte idéntica y una parte simétrica.
Si a los ejemplos 1, 3, 5, se les aplica el procedimiento para multiplicar binomios, se
tiene:
a2 ax ax x2
1. a xa x
a2 x x a x2
2
a x
95
2
3. 2x 2 1 1 2x 2
2x2 4 x4 1 2x2
4 x4 2 2 x2 1
4
4x 1
5. 6 x 3 m 2 x 4 6 x 3 m 2 x 4
36 x 6 6m 2 x 7 6m 2 x 7 m 4 x 8
36 x 6 6 6 m 2 x 7 m 4 x 8
5
4 8
36 x m x
En los ejemplos anteriores observamos que...
El producto de binomios conjugados es un binomio cuyo primer término es el
cuadrado de la parte idéntica menos el cuadrado del término conjugado.
Por lo tanto, el modelo matemático para el desarrollo del producto de binomios
conjugados es:
x y x y x 2
y2
Analicemos la aplicación de la regla paso por paso:
Para
6 3x6 3x
1er. Paso:
6 3x6 3x 62
2do. Paso:
6 3 x6 3x 36 3x2
6 3 x6 3x 36 9 x2
Para
El cuadrado del término idéntico.
Menos el cuadrado del término simétrico.
2
2 2
2
6 x 6 x
5
5
2
2
2 2
1er. Paso: 6 x 2 6 x 2 El cuadrado del término idéntico, que en este
5
5 5
caso no solo es el primero que aparece en los binomios.
96
.
2
2
4
6 x 2
2do. Paso: 6 x 2 6 x 2
5
5
25
simétrico.
2
6x
2
2
6x
5
2
Menos el cuadrado del término
2
4
36x 4
5
25
Ahora apliquemos directamente estos dos pasos:
64
2 8 2 8
4
y y y
5
5
25
m
5 x
x
3
2 m x 2 4 m 2 x
m 2 x 4 5 x 3 m 2 x 4 25 x 6 m 4 x 8
2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO.
Interpretación geométrica del producto notable.
Un agricultor necesita conocer la superficie del terreno que va a sembrar y sólo conoce
su dimensión x + y por lado.
Dibujemos el terreno:
Para calcular la superficie se puede
utilizar la fórmula para obtener la
superficie de un cuadrado:
A = () ()
A= 2
Como en nuestro caso = x + y, la
fórmula resulta.
A = (x+y)2
(x+y)
- Identificación del producto notable.
Utilizando la definición de potencia y la operación de multiplicación con polinomios:
x y 2
x y x y x 2 xy yx y 2 x 2 2xy y 2
97
Para mayor comprensión desarrollemos otros dos ejemplos:
a b 2 a ba b a 2 ab ba b 2 a 2 2ab b 2
2a 3b 2 2a 3b2a 3b 2a 2 2a3b 3b2a 3b 2
2
2
2a 22a3b 3b .
De los dos últimos ejemplos apreciamos que en el proceso de desarrollo de todo binomio
al cuadrado siempre aparece una expresión que se identifica de la siguiente forma:
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más
el doble del producto de los dos términos más el cuadrado del segundo.
Es por esto que se puede representar mediante el modelo matemático o fórmula:
x y 2
x 2 2xy y 2
Esta fórmula puede manejarse con mayor precisión si en el desarrollo de un binomio se
utiliza su representación mediante signos de agrupación en la formula:
2
2
2
2
Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para el
producto notable se escribe de la forma.
x y 2
x y x y x 2 2xy y 2 .
Comprueba que este producto notable se dedujo correctamente desarrollando el binomio
x y2 mediante la multiplicación de polinomios.
Como te darás cuenta, el primer término resulta positivo, el segundo negativo y el tercero
también positivo.
Para multiplicar el producto notable anterior, desarrollaremos binomios al cuadrado que
requerirán simplificarse mediante operaciones combinadas con expresiones algebraicas.
98
Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:
m n 2
m 2mn n
2
2
m2 2mn n2 .
Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:
2
3
2x
3
2
2x 3
2 2
2 2x 3
3 3
2
4 x6
2
8 3 4
x .
3
9
Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:
4 x
n
2y m
2
4 xn
2
2 4 x n 2y m 2y m
2
16 x 2n 16 x n y m 4 y 2m
Desarrollamos este mismo ejemplo por medio de la multiplicación de polinomios y
comparemos el número de operaciones y la dificultad con que se realizan en esta forma y
mediante el uso del producto notable.
4 x n 2y m
4 x n 2y m
16 x n n 8 x n y m
8 x n y m 4 y m m
16 x 2n 16 x n y m 4 y 2m
Resultado final.
¿Cuál consideras como mejor método para desarrollar el cuadrado de un binomio, el de
multiplicación de polinomios o el producto notable con su regla particular?
99
2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO
Interpretación geométrica del producto notable.
Supongamos que un ingeniero necesita un tanque cúbico de dimensiones x + y por arista
y que desea calcular su volumen.
Dibujemos el tanque:
x+y
x+y
x+y
Su volumen podrá calcularse mediante la fórmula para obtener el volumen de un cubo
V=3 como en nuestro caso =x+y y la fórmula resulta:
V x y
3
- Identificación del producto notable.
1. Aplicando la definición de potencia y la multiplicación de polinomios:
x y3 x y x y x y x2 xy yx y2 x y x3 3x2 y 3xy2 y3.
2. Aplicando leyes de los exponentes para descomponer la potencia y emplear
el producto notable del cuadrado de un binomio, así como la multiplicación de
polinomios:
x y3 x y x y2 x y x2 2xy y2 x3 3x2 y 3xy2 y3.
Observa que el resultado final es siempre el mismo, independientemente de la forma de
desarrollar el binomio. Esto significa que se cumple la propiedad de campo de los
números reales denominada conmutativa. “El orden de los factores no altera el producto”.
Así es como resulta el producto notable de:
El cubo de un binomio:
x y3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3.
100
Es importante aclarar que no todos los binomios se presentan con literales, sino que
puede encontrarse cualquier expresión algebraica.
Por ejemplo, podría representarse un modelo algebraico con figuras geométricas.
3 3 32
+ 3
2
3
O bien mediante signos de agrupación en la forma:
3
3
3
2 3 2 3
El producto notable se identifica de la siguiente forma:
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado de
este mismo por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo término.
Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para el
producto notable se escribe en la forma:
x y3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
Como podrás observar al desarrollar el cubo de una diferencia de dos términos, el
primero del desarrollo es positivo, el segundo negativo y, así, sucesivamente; los
términos son positivos y negativos alternadamente hasta completar su desarrollo.
El desarrollo de este producto notable en diversos ejercicios nos mostrará como se aplica
el conocimiento anteriormente adquirido en operaciones combinadas con expresiones
algebraicas.
Ejemplo. Desarrollemos el siguiente binomio:
1 2
3ax by
4
3
2
1
1
3
2 1
3ax 33ax by 2 33ax by 2 by 2
4
4
4
27 2 2 2
9
1 3 6
27a 3 x 3
a bx y
ab 2 xy 4
b y
4
16
64
3
Calculemos ahora la potencia anterior por medio de multiplicación de polinomios y
comparemos el número de operaciones y dificultad con que se realizan en esta forma y
mediante el uso del producto notable.
101
1 2
3ax by
4
3
1
1
1
3ax by 2 3ax by 2 3ax by 2
4
4
4
3
3
1
1
9a2 x2 abxy 2 abxy 2 b2 y 4 3ax by 2
4
4
16
4
9
9
3
9
3
3
1
27a3 x3 a2bx2 y 2 a2bx2 y 2 ab2 xy 4 a2bx2 y 2 ab2 xy 4 ab2 xy 4 b3 y 6
4
4
16
4
16
16
64
27
9
1
27a3 x3 a2bx2 y 2 ab2 xy 4 b3 y 6
4
16
64
Ejemplo.
5 x2 y 3
4a 3 b 4
10
8
3
3
5 x2 y 3
5 x2 y 3
3
8
8
2
2
3 4
3 4
5 x2 y 3 4a3b4
4a b
4a b
3
10
10
8 10
3
125 x6 y 9
300a3b4 x4 y 6
240a6b8 x2 y 3
64a9b12
512
640
800
1000
125 6 9 15 3 4 4 6
3 6 8 2 3
8 9 12
x y
a b x y
a b x y
a b
512
32
10
125
Si te diste cuenta, este binomio contiene términos racionales; no obstante, su desarrollo
se realiza en forma exactamente igual al ejemplo anterior.
A partir de la multiplicación de polinomios, propiedades de las potencias y el producto
notable del cuadrado de un polinomio, hemos obtenido el modelo del producto notable
del cubo de un binomio.
¿Cuál es el mejor método para calcular el cubo de un
binomio: el de multiplicar polinomios o el de aplicar la regla
del producto notable correspondiente?
2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON.
Para el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, uno
corresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominada
fórmula del binomio de Newton.
Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante el
triángulo de Pascal.
Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y el
de un binomio al cubo mediante el modelo:
x y2 x2 2xy y2
x y3 x3 3x2y 3xy2 y3 .
102
A fin de obtener el producto notable de un binomio a la cuarta potencia y llegar así al
4
3
2
2
3
4
modelo x 4x y 6x y 4xy y , uno de los caminos que podemos elegir es
aplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.
x y 4
x y x y x2 2xy y 2 x2 2xy y 2 x4 4 x3 y 6 x2 y 2 4 xy 3 y 4 .
2
2
Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a
3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simple
inspección.
x y 5
x y 6
x y 7
x y 8
x5 5 x4 y 10 x3 y 2 10 x2 y 3 5 xy 4 y 5
x6 6 x5 y 15 x4 y 2 20 x3 y 3 15 x2 y 4 6 xy 5 y 6
x7 7 x6 y 21x5 y 2 35 x4 y 3 35 x3 y 4 21x2 y 5 7 xy 6 y7
x8 8 x7 y 28 x6 y 2 56 x5 y 3 70 x4 y 4 56 x3 y 5 28 x2 y 6 8 xy7 y 8 .
Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:
x y1 1x 1y
x y 0 1
xy
Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de los binomios
anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado de Pascal.
Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).
1
1
1
8
1
7
1
6
28
1
5
21
1
4
15
56
1
3
10
35
1
2
6
20
70
1
3
10
35
1
4
15
56
1
5
21
1
6
28
1
7
1
8
1
1
Observando con atención, en este triángulo se puede descubrir que cada coeficiente se
puede obtener sumando los dos que se encuentran arriba de este último.
103
Dibujemos la sección del triángulo de Pascal que corresponde a los productos notables
que tienen exponente desde cero hasta tres.
1
1
1
3
1
1
2
1
3
1
Ahora calculemos las dos siguientes filas que corresponden a los coeficientes de los
binomios a la cuarta y quinta potencias.
1
1
1
1
+ 3
4 +
10
1
+
5
1
1
2
+
6
1
3 +
+ 4
10
1
+
5
1
1
De esta forma observa que construyendo el triángulo de Pascal podemos calcular los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia entera de un binomio, siempre que se
conozcan los coeficientes que corresponden al desarrollo de la potencia inmediata
anterior de un binomio.
Con respecto de la parte literal, volviendo a las potencias de los binomios presentados
anteriormente, tenemos lo siguiente:
Para los exponentes de los términos del desarrollo se observa que el primer elemento del
binomio su exponente va disminuyendo una unidad de cada término que se agrega al
desarrollo, mientras que en el segundo elemento del binomio se reduce su exponente
también en una unidad en la misma forma.
Ejemplo. Vamos a desarrollar los siguientes binomios aplicando el triángulo de Pascal:
1. 3 x 1 3 x 43 x 1 63 x 1 43 x1 1 81x4 108 x3 54 x2 12x 1
4
2. 2a3 4b2
4
3
2a
5
3
5
2
2
4b
5 2a3
4
2
1
3
4
4b
10 2a3
3
2
2
4b
10 2a3
2
2
3
4b
5 2a3 4b2
4
2
5
32a15 320a12b2 1280a9b4 2560a6b6 2560a3b8 1024b10
Ahora observa como se construye la fórmula del binomio de Newton y como se aplica al
cálculo de binomios elevados a determinadas potencias.
104
El procedimiento para desarrollar el producto notable de un binomio elevado a cualquier
potencia entera n se deduce como una fórmula general, observando la variación de los
coeficientes y exponentes de sus términos y el número de éstos.
x y 0 1
x y1 1x 1y
x y2 1x2 y0
x y3 1x3 y0
21
1
31
1
x2 1y1
22 1
x3 1y1
2 1
x2 2 y 2
33 11
2 1
x3 2 y 2
33 13 2
3 2 1
x3 3 y 3
n
x yn xn 1 xn 1y1
nn 1
2 •1
xn 2 y 2
nn 1n 2
3 • 2 •1
xn 3 y 3
nn 1n 2n 3 nn 1 yn
nn 1n 2n 3 1
A este producto notable se le llama binomio de Newton, y fue desarrollado por el físico
inglés Isaac Newton (1642-1727).
De acuerdo con este binomio se aprecia la obtención de cualquier término del desarrollo
se encuentra con el siguiente procedimiento:
1. El coeficiente del primer y último término del desarrollo del binomio es uno.
2. El coeficiente de cualquier otro término se calcula multiplicando el exponente que
tiene el primer elemento del binomio en el término anterior por su respectivo
coeficiente y dividiendo el producto entre el número de términos anteriores.
3. El exponente del primer elemento del binomio coincide con el del mismo binomio en el
primer término del desarrollo, y a partir del segundo término se va reduciendo en una
unidad en cada término que se agrega al desarrollo.
4. El exponente del segundo elemento del binomio comienza con valor cero y se va
incrementando en una unidad a partir del segundo término del desarrollo.
105
-Desarrollo del binomio de Newton empleando la fórmula general.
A partir del binomio de Newton, desarrollemos los siguientes binomios.
El primero de ellos lo obtendremos en varias fases para ilustrar la aplicación del
procedimiento anterior.
1.5m 8n
3
FASE 1: 5m 8n
3
15m
3
15m
3
Primer término.
FASE 2: 5m 8n
3
Segundo término
FASE 3: 5m 8n
15m
3
3
Tercer término
FASE 4: 5m 8n
15m
3
3
Último término
31
1
31
1
31
1
5m 2 8n1
5m 2 8n1
5m 2 8n1
321
2•1
321
2•1
3
3
1
5m 8n 3
2
5m8n 2
6
3
2
15m 35m 8n 35m8n 18n
3
5m8n 2
1
2
125m3 600m2n 960mn2 512n3
18n
1 2 31 6
1
3 • 2 •1
6
3
Conclusión del desarrollo.
¿Cuál procedimiento permite calcular más fácilmente
potencias de binomios: el del triángulo de Pascal o el
del binomio de Newton?
106
3
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
A fin de que practiques el desarrollo de los productos notables, multiplica los siguientes
binomios utilizando la regla correspondiente. Una vez que los resuelvas, compara tus
resultados con las respuestas que aquí aparecen.
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.
1. x 3 x 5
2. x 5 x 2
9. xy 9 xy 12
10. a 3a 8.
8. a 5 2 a 5 7
1
3
4. 2x 2x
2
2
7. ab 5ab 6
3. n 19n 10
5. x 2 1 x 2 7
6. a 4 8 a 4 1
2
x
2
x
RESPUESTAS:
1. x2 8 x 15
6. a8 7a4 8
2. x2 3 x 10
7. a2b2 ab 30
3. n2 9n 190
3
4. 4 x2 2x
4
8. a10 5a5 14
9. x2 y 4 3 xy 2 108
10. a2 x 5a x 24.
5. x4 8 x2 7
107
BINOMIOS CONJUGADOS.
11.
12.
13.
14.
15.
RESPUESTAS:
a x x a
m nm n
3a 13a 1
y
x
3
m
y x
11. a 2 x 2
12. m 2 n 2
13. 1 9a 2
14. y 6 4 y 2
2y y 3 2y
n
m
15. x 2m y 2n
yn
CUADRADO DE UN BINOMIO
16.
17.
18.
19.
20.
RESPUESTAS:
a b 2
4m 2 2
3 x 2y 2
x
x
4
y4
x 1
y
2
16. a 2 2ab b 2
17. 16m 2 16m 4
18.
19. x 8 2x 4 y 4 y 8
x 1
9 x 2 12xy 4 y 2
2
20. x 2 x 2 2x x1y x1 y 2 x 2
CUBO DE UN BINOMIO.
22.
a 3 3
4 x 6 3
23.
x
21.
24.
25.
2
5y
3
26.
1 4n 3
27.
a 1
28.
2m 3 y 3
3
3
3
2a x 3
mx ny 3
8
9
29. ab 2 a 2b
2
3
3
2xy
30.
5 x 2 y
15
108
RESPUESTAS:
21. a 3 9a 2 27a 27
22. 64 x3 288 x2 432x 216
23. x6 15 x4 y 75 x2 y 2 125 y 3
24. 8a 3 12a 2 x 6ax2 x3
25. m 3 x3 3m 2nx2 y 3mn 2 xy 2 n 3 y 3
26.
64n 3 48n 2 12n 1
27. a 9 3a 6 3a 3 1
28. 8m 3 36m 2 y 54my 2 27 y 3
729 3 6
512 6 3
29.
a b 16a 4 b 5 96a 5 b 4
a b
8
27
8
4 4 3
30.
x y 10 x5 y 3 125 x6 y 3 .
x3 y 3
15
3375
BINOMIO DE NEWTON.
31.
2 x10
32.
2
1
m n
3
5
6
33.
ax 2
1
4
34.
3 x
7
3
y2
9
RESPUESTAS:
31) 1024 5120 x 11520 x2 15360 x3 13440 x4 8064 x5 3360 x6 960 x7 180 x8 20 x9 x10
1 7 14 6
28 5 2 56 4 3 112 3 4 224 2 5 448
128 7
32)
m
m n
mn
mn
mn
mn
mn6
n
2187
3645
2025
2025
3375
9375
46875
78125
a6 x12 3a5 x10 15a4 x8 5 3 6 15a2 x4 3ax2
33)
ax
1
4096
512
256
16
16
2
34) 19683 x27 59049 x24 y 2 78732x21y 4 61236 x18 y 5 30618 x15 y 8 10206 x12 y10 2268 x9 y12 324 x6 y14 27 x3 y16 y18 .
109
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Por medio de los productos notables se obtuvieron los productos de
los factores de la siguiente forma:
Para
x 3 x 5
se obtuvo el producto
x2 2x 15
4 2
y 36
9
2
2
y 6 y 6 se obtuvo el producto
3
3
Para
1
Para x
2
2
x2 x
x3 6x2 y 12 xy2 8 y3
Para
x 2 y 3
se obtuvo el producto
Para
2 a
3
1
4
se obtuvo el producto
4b2
5
se obtuvo, a través del binomio de Newton:
32a15 320a12b2 1280a 9b4 2560a 6b6 2560a 3b8 1024b10
Y acordamos que éstos:
Corresponden a una regla general.
Nos permiten encontrar el producto de la multiplicación de dos binomios por
simple inspección.
Son procedimientos más sencillos que los de multiplicación de
polinomios.
En el siguiente tema: factorización; se analizará el procedimiento
inverso, es decir dado el producto encontraremos los factores.
110
2.2 FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es escribirla mediante el producto indicado de sus
factores; para lo cual existen algunas reglas que analizaremos en este apartado.
Además es importante que identifiques y desarrolles los productos notables que
estudiaste en el capítulo anterior de este fascículo.
2.2.1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, la aplicación correcta de la
propiedad distributiva nos permitirá expresar el polinomio como el producto de dos
factores donde uno de ellos será el factor común.
Visualizaremos lo anterior con los siguientes ejemplos.
EJEMPLO: Factorizar el polinomio
x. Por tanto x es el factor común.
2x x 2 cada término del polinomio tiene como factor
.
Escribimos el factor común x como coeficiente de un paréntesis. Así: x
Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término del
polinomio entre el factor común. De la siguiente forma:
x2
x
x
2x
2
x
Y tendremos que:
2 x x2 x2 x
EJEMPLO. Factorizar la expresión
2a 3b 8a 2b2 .
Los coeficientes 2 y 8 tienen como factor común 2, en su parte literal los factores
comunes son a y b, que tomaremos con su menor exponente, esto es,
De acuerdo con esto, el factor común de la expresión es
2
.
el coeficiente de un paréntesis. Así: 2 a b
111
a 2 yb .
2 a 2b , el cual escribimos como
Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del
polinomio entre el factor común, en la siguiente forma:
2a 3 b
2a 2b
8 a2b 2
a
2a2b
4b
Y tendremos que: 2 a b 8a b 2 a b a 4b
3
2 2
EJEMPLO. Factorizar la expresión
2
20x3 y2 10x2 y3 30x2 y2 .
Los coeficientes 20, 10 y 30 tienen como factor común al 10, porque es el divisor mayor.
De la parte literal los factores comunes son x, y, que tomaremos con su menor
exponente, esto es:
x2 ; y2
Por lo anterior, el factor común de la expresión resulta ser
como el coeficiente de un paréntesis.
Así:
10x2 y2
10x2 y2 , el cual se escribe
Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del
polinomio entre el término común.
20x3 y2
2x ;
10x2 y2
10x2 y3
y
10x2 y2
Y tendremos lo siguiente:
30x2 y2
3
10x2 y2
;
20x 3 y 2 10x2 y 3 30x 2 y2 10x2 y2 2 x y 3.
Como puedes observar, para factorizar por factor común un polinomio se procede como
sigue:
1. Se busca el factor común de los términos del polinomio (primero el
coeficiente y después las literales). Si los coeficientes resultan
tener varios factores se saca como factor común el mayor y de
las literales se toman aquellas que aparezcan en todos los
términos y con menor exponente.
112
2. El factor común obtenido se escribe como el coeficiente de un
paréntesis.
3. Se divide cada término del polinomio entre el término común y los
cocientes se escriben dentro del paréntesis.
En este tipo de factorización se presenta el caso de que el factor común del polinomio
dado, sea otro polinomio por ejemplo, si observamos detenidamente el polinomio
a x 1 b x 1 tienen como factor común al polinomio ( x + 1 ). En estos casos, ya
identificado el factor común, se procede de la misma forma que en los casos anteriores.
EJEMPLO. Factorizar la expresión
x a 1 3 a 1 .
El polinomio (a + 1 ) es el factor común de la expresión y lo escribimos como
coeficiente de un paréntesis ( a + 1 ) ( ).
Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la
expresión entre el término común.
Así:
x a 1
x
a 1
Y tenemos que
;
3 a 1
3
a 1
x a 1 3 a 1 a 1 x 3.
EJEMPLO: Factorizar la expresión
2x3x 2 73x 2
El polinomio 3x 2
es el factor común de la expresión y lo escribimos como
coeficiente de un paréntesis.
Así:
3x 2
Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la
expresión entre el término común, esto es:
2 x 3x 2
2x
3x 2
;
Por tanto tenemos que
2x3x 2 73x 2 3x 22x 7.
73x 2
7
3x 2
113
En algunos casos los polinomios no pueden ser factorizados por este método, como el
polinomio 7x2 - 4x +3b donde no aparece un factor común ni en los coeficientes ni en las
literales.
Dada la expresión 4m(a2 + x - 1) + 3n (x - 1 + a2)
¿El factor común es el polinomio (a2 + x - 1)?
Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuál es el otro factor para completar la factorización de la
expresión?
2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común, como en los
siguientes casos:
1. ax ay 4a 4 y
2. am3 3m2 am 3
3.4 x 12 xy 3 y
Para factorizar dichos polinomios no se puede aplicar el procedimiento de factorización
por factor común a toda la expresión, ya que no todos los términos tienen el mismo factor
común. Para lograr su factorización debemos primero agrupar términos que tengan el
mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método anterior.
La agrupación de términos se puede hacer generalmente de más de una forma, con tal
que los términos agrupados tengan algún factor común y siempre que las cantidades
quedadas dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean
exactamente iguales.
EJEMPLO. Factorizar el polinomio
ax ay 4x 4 y por agrupación de términos.
Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen por factor común a.
Los dos últimos términos del polinomio tienen por factor común “4” y por tanto:
ax ay 4x 4y ax ay 4x 4y agrupando términos.
a x y 4 x y factorizando cada grupo por factor común.
x ya 4 factorizando toda la expresión anterior por factor
común.
114
EJEMPLO. Factoriza el polinomio siguiente por agrupación de términos:
2 y2 6 y 5y 15
Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen el mismo factor común “2y” y
los dos últimos términos del polinomio tienen el factor común “5”.
Por lo tanto:
2y2 6 y 5 y 15 2y2 6 y 5 y 15 agrupando términos.
2y y 3 5 y 3 factorizando cada grupo por factor común.
y 32y 5 factorizando toda la expresión anterior por factor
común.
EJEMPLO. Factorizar el polinomio 8ac - 4ad - 6bc + 3bd, por agrupación de términos.
Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen factor común “4a”.
Los dos últimos términos del polinomio tienen factor común “3b”.
Por lo tanto:
8ac 4ad 6bc 3bd 8ac 4ad 6bc 3bd agrupando términos
4a2c d 3b2c d factorizando cada grupo por factor
común.
2c d4a 3b factorizando toda la expresión anterior
por factor común.
Al efectuar el procedimiento de factorización es necesario tener cuidado con los signos,
pues al agrupar términos se debe aplicar correctamente la propiedad distributiva.
2.2.3. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Ya sabes que un trinomio es un polinomio que consta de tres términos algebraicos.
Conoces también que factorizar una expresión algebraica significa escribirla en forma
equivalente mediante el producto de otras expresiones más sencillas.
Pero, ¿qué es un cuadrado perfecto?
115
Podemos construir este concepto en la siguiente forma. Si queremos calcular la raíz de
un número entero tenemos dos posibilidades:
1. Raíz exacta:
2. Raíz inexacta:
25 5, porque 52 25
8
400
16
2.8
48
Porque (2.8)2 = 7.84 8
De estos dos números, el 25 se llama cuadrado perfecto por tener raíz exacta.
De la misma manera un término o cualquier expresión algebraica formará un cuadrado
perfecto cuando tenga raíz exacta.
Ejemplos:
4 x2 4 x2 2 x
x 66
x 63 2 x 63
Entonces, para que un trinomio sea cuadrado perfecto se requerirá que tenga raíz exacta
y, por tanto, debe poder representarse como el cuadrado de otra expresión algebraica.
Por otra parte, recordemos que al desarrollar el cuadrado de un binomio obtenemos un
trinomio.
x y2 x2 2xy y2 .
Si aplicamos la propiedad de identidad y tratamos de calcular la raíz del trinomio
obtendremos lo siguiente:
x2 2 xy y2
x y 2
x y.
Lo anterior significa que para extraer la raíz de un trinomio necesitamos expresarlo como
el cuadrado de un binomio, es decir, escribirlo en forma equivalente mediante, el
producto de un binomio por sí mismo.
116
Al procedimiento para realizar lo anterior se le denomina factorización de un trinomio
cuadrado perfecto y se representa mediante la fórmula:
x2 2 xy y2 x y .
2
Esta factorización debe identificarse en la siguiente forma:
Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio, cuyos términos
corresponden a los dos cuadrados del trinomio.
Como puede apreciarse en este modelo, la factorización de un trinomio cuadrado
perfecto es la operación inversa al desarrollo del producto notable de un binomio al
cuadrado.
Si el término no cuadrático del trinomio tiene coeficiente negativo, su factorización
corresponde al cuadrado de una diferencia de dos términos, según la fórmula:
x2 2 xy y2 x y .
2
De igual forma que los productos notables, estas dos fórmulas de factorización se
pueden representar mediante signos de agrupación en la forma siguiente:
2 2 2
2
En las siguientes actividades se utiliza esta representación para factorizar trinomios
cuadrados perfectos.
EJEMPLO.
Corroboremos que el siguiente trinomio es cuadrado perfecto para poder realizar su
factorización.
9m2 12mn 4n2
117
Procedimiento:
1. Se extrae la raíz de los dos términos cuadráticos y se calcula el doble
producto de ambas raíces.
9m 2 12mn 4n 2 ; 9m 2 3m ,
4n 2 2n
23m2n 12mn
Como el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos es igual al término no
cuadrático, se concluye que el trinomio es cuadrado perfecto.
2. Se representa el trinomio mediante signos de agrupación para obtener la
factorización.
9m2 12mn 4n 2 3m 23m2n 2n 3m 2n 3m 2n
2
2
2
EJEMPLO. Factoricemos el trinomio siguiente:
27x 5y 5y 7x 5y 7x
49x4 70x2y3 25y6 7x2
2
2
3
3
2
2
3
2
2
5 y3
2
49x 4 7x 2 , 25y 6 5y 3 ;2 7x 2 5y 3 70x 2 y 3
EJEMPLO. Tratemos de factorizar el siguiente trinomio:
36 x 2 30 x 25
36 x 2 6 x; 25 5
26x5 60x
El doble producto no coincide con el término no cuadrático del trinomio y, por tanto, éste
no es cuadrado perfecto, por lo que no puede factorizarse con el procedimiento anterior.
118
EJEMPLO. Factoricemos el trinomio:
1 49a2 14a
Como los términos no están en el orden que tiene la fórmula para factorizar un trinomio
cuadrado perfecto, se aplica la propiedad conmutativa para reordenarlos.
49a 2 14a 1 7a 27a1 1 7a 1
2
2
2
7a 1 2
49a 2 7a; 1 12
; 7a1 14a
2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Recuerda el modelo matemático para el producto notable de dos binomios conjugados
del que se obtiene la fórmula:
x y x y x 2
y2.
Ésta nos proporciona una diferencia de cuadrados.
Si ahora aplicamos la propiedad de identidad observamos que una diferencia de
cuadrados se puede representar equivalentemente como un producto de dos binomios
conjugados.
x 2 y 2 x y x y
Nuevamente se aprecia que la factorización es una operación inversa a la del desarrollo
de un producto notable.
Una vez más el modelo anterior se puede representar mediante signos de agrupación.
2 2
119
Este procedimiento de factorización debe identificarse en la forma siguiente:
Una diferencia de los cuadrados de dos términos algebraicos se factoriza como el
producto de dos binomios conjugados, cuyos términos son iguales a los que están
elevados al cuadrado.
Para comprender este tipo de factorización utilicemos su representación mediante signos
de agrupación para factorizar diferencias de cuadrados.
EJEMPLO. Diferencias de cuadrados con coeficientes enteros.
9a 4 25b6
1. Se extrae raíz cuadrada de ambos términos para representar la diferencia de
cuadrados según el modelo:
5b
9a 4 25b 6 3a 2
2
3
2
2. Con estas raíces se escribe el producto de binomios conjugados.
5b 3a 5b 3a 5b 3a
9a4 25b6 3a2
2
3
2
2
3
2
3
2
5b3 3a2 5b3 .
EJEMPLO. Diferencia de cuadrados con coeficientes racionales.
m2n4 9 6 2 mn2 3 3 mn2 3 3 mn2 3 3 mn2 3 3
q p
q p
p p
p p
q p
49
4
2
2
7
7 2
7 2
7
Con base en el producto notable de dos binomios conjugados obtuvimos el modelo
matemático para factorizar una diferencia de cuadrados.
2.2.5. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS.
Como se explicó en la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, un término es
cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta. ¿Cuándo sería un término un cubo perfecto?
De igual forma un término es cubo perfecto cuando tiene raíz cúbica exacta.
120
Esto lo puedes ver en los siguientes ejemplos:
3
27 3
3 es la raíz cúbica exacta de 27, porque 33 27
3
216 6
6 es la raíz cúbica exacta de 216, porque 63 216
3
x6 x2
x 2 es la raíz cúbica exacta de x 6 , porque x 2
3
8 x 9 2x 3
3
x6
2x3 es la raíz cúbica exacta de 8 x 9 , porque 2x3
3
8 x9 .
Aplicando el procedimiento para multiplicar un binomio por un trinomio, obtenemos los
resultados para los siguientes ejemplos:
EJEMPLO.
a b a 2 ab b2 a 3 b3 ,
a 2 ab b2
ab
a 3 a 2b ab2
a 2b ab2 b3
a3
b 3
EJEMPLO.
x
2
2 x 4 x 2 x 3 8, ya que:
x 2 2x 4
x2
x 3 2x 2 4 x
2x 2 4x 8
y3
8
121
EJEMPLO.
y 3 y 2 3y 9 y 3 27, ya que:
y 2 3y 9
y3
y 3 3y 2 9 y
3y 2 9 y 27
y3
27
Analizando cada uno de los resultados observamos que se obtiene una suma de cubos.
Por otra parte, si a los ejemplos anteriores les aplicamos la propiedad de identidad,
obtendremos una expresión algebraica, la cual se representa mediante un producto de
otras expresiones, es decir, tendremos una expresión factorizada.
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2
x 3 8 x 2 x 2 2 x 4
y 3 27 y 3 y 2 3y 9
De esto deducimos que el modelo matemático para factorizar una suma de cubos tiene la
siguiente forma:
x 3 y 3 x y x 2 xy y 2
Para su correcta aplicación, conviene identificar este modelo de la siguiente forma:
La factorización de una suma de cubos es el producto de un binomio por un trinomio,
donde el binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos cúbicos y el trinomio
es el cuadrado de la primera raíz cúbica, menos el producto de ambas raíces cúbicas,
más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.
122
Aplicaremos esta regla con la ayuda de signos de agrupación.
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
33
3
3
3
2
a) Para obtener el binomio se extrae la raíz cúbica de cada término y éstas se
suman.
3 3 3 3 3 3
b) para obtener el trinomio, se eleva al cuadrado el valor de la primera raíz y se le
resta el producto de ambas raíces; al final se suma el cuadrado de la segunda
raíz.
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
2
Apliquemos el modelo obteniendo para factorizar las siguientes sumas de cubos.
EJEMPLO.
w3 125
- La raíz cúbica de los términos.
- El cuadrado de la primera raíz.
- El producto de ambas raíces
- El cuadrado de la segunda raíz
Por lo tanto:
3
w3 w
3
125 5
w2 w2
w5 5w
52 25
w 2 125 w 5 w 2 5w 25
123
EJEMPLO.
64x 6 y 3
- La raíz cúbica de los términos:
3
64 x 6 4 x 2
3
y3 y
- El cuadrado de la primera raíz
4 x
- El producto de ambas raíces
4x y 4x y
- El cuadrado de la segunda raíz
y 2
2
16 x 4
2
2
y2
64 x 6 y 3 4 x 2 y 16 x 4 4 x 2 y y 2
- Por lo tanto:
EJEMPLO.
2
1
8a
3
64 3 6
a y
27
En este caso el procedimiento se desarrollará sin indicar los pasos, en la siguiente forma:
1
8a
3
64 3 6
4
2
16 2 4
1
1
a y
ay 2 2 y 2
a y
2a 3
4a
27
3
9
124
2.2.6. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS
Para la factorización de la diferencia de cubos, el modelo matemático sólo difiere del
modelo anterior en los signos de dos de sus términos como se observa a continuación:
x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 .
Dado que el binomio x3 y3 lo puedes escribir en la forma: x 3 y .
3
Como ejemplos para factorizar una diferencia de cubos calcularemos un ejercicio que
contenga los mismos términos que el de una suma de cubos, de manera que observes
las diferencias en los resultados.
EJEMPLO. w 3 125
3
- la raíz cúbica de ambos términos
w 3 w; 3 125 5
- el cuadrado de ambas raíces
w2 ,5 25
- el producto de ambas raíces
5w
2
w 3 125 w 5 w 2 5 w 25
Por tanto:
Observa los siguientes casos para mayor comprensión de esta regla.
EJEMPLO:
8 x 3 27 y 3 2x 3 y 4 x 2 6 xy 9 y 2
EJEMPLO:
1 27 x 3 y 6 1 3 xy 2 1 3 xy 2 9 x 2 y 4
125
2.2.7. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA x 2 bx c; ax 2 bx c
Existen algunos trinomios que no son cuadrados perfectos y que también son
factorizables, sólo que mediante un procedimiento diferente.
A continuación presentamos ejemplos de trinomios del tipo:
1. x 2 5 x 6
3. x 2 x 20
2. x 2 11x 24
4. x 2 6 x 27.
x2 bx c
Como puedes observar, estos trinomios constan de un término cuadrático, otro de primer
grado y otro constante, llamado término independiente, por lo que son trinomios de una
sola variable con coeficientes constantes.
El procedimiento de factorización para este caso lo describimos mediante ejemplos.
EJEMPLO. Factorizar el trinomio. x2 3x 10
La expresión factorizada de este tipo de trinomios es un producto de dos binomios con un
término común, el cual se obtiene al extraer la raíz cuadrada del término cuadrático.
x2 x
Los segundos términos de ambos binomios son dos números cuyo producto resulta igual
al término independiente y cuya suma es igual al coeficiente del término de primer grado,
esto es:
52 10
5 2 3
Por lo tanto, la factorización completa de trinomio en este caso resulta:
x 2 3 x 10 x 5 x 2
Cabe aclarar que los dos números pueden pertenecer a cualquiera de los dos binomios.
Es decir, también se puede escribir:
x 2 3 x 10 x 2 x 5
126
EJEMPLO. Factorizar el siguiente trinomio.
x 2 13x 30
- Buscamos el término común. Y calculamos los términos no comunes:
15 2 30
15 2 13
- Escribimos la factorización del trinomio.
x2 13 x 30 x 15 x 2
ó
x 13 x 30 x 2 x 15
2
A continuación analizaremos algunos ejemplos de trinomios de la forma
ax 2 bx c .
1. 6 x 2 5 x 4
2. 2x 2 5 x 3
3. 3 x 2 x 2
Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y su
diferencia con los trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del término
cuadrático tienen un valor distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización es
diferente.
EJEMPLO. Factorizar el trinomio. 2x2 3x 2
- Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término
constante.
Así:
22 4
127
- El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma de
éstos sea igual al coeficiente del término de primer grado.
Así:
4 1 4
4 1 3
- Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la suma
de los factores y le aplicamos al propiedad distributiva.
Así:
2x 2
2x2 3x 2
4 1x 2
- Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización por
agrupación de términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.
2x 2
Así:
4 1x 2
2x 2 4 x x 2
2x2 3x 2
2x 2 4 x x 2
2x x 2 1 x 2
x 22x 1
EJEMPLO. Factorizar el trinomio 6x2 5x 4 .
Multiplicamos el coeficiente del término del segundo grado por el término constante.
Así:
64 24
El producto obtenido lo descomponemos en factores, de tal manera que la suma de los
factores sea igual al coeficiente del término de primer grado.
Así:
83 24
8 3 5
Sustituimos en el trinomio dado el coeficiente del término de primer grado por la suma de
los factores y le aplicamos la propiedad distributiva.
Así:
6X2 5X 4 6 x2 8 3 x 4
128
Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de agrupación de términos,
con lo cual se concluye la factorización del polinomio.
Así:
6 x 2 8 3 x 4
6x 2 5x 4
2
6x 8x 3x 4
6 x 2 8 x 3 x 4
2x 3 x 4 1 3 x 4
3 x 4 2x 1
Para mejor entendimiento de cómo se factoriza un trinomio de la forma ax2 bx c,
daremos dos ejemplos más en los cuales no se mencionarán los pasos como en los
ejemplos anteriores, pero es necesario observar que en cada ejercicio se efectúan dichos
pasos.
EJEMPLO. Factoriza el trinomio 6x2 7x 2.
6 2 12
4 3 12
4 3 7
6 x 2 7 x 2 6 x 2 4 3 x 2
2
6x 4x 3x 2
6 x 2 4 x 3 x 2
2x 3 x 2 13 x 2
3 x 2 2x 1
5x2 13x 6
EJEMPLO. Factorizar el trinomio.
5 6 30
15 2 30
15 2 13
5 x2 13 x 6 5 x2 15 2 x 6
2
5 x 15 x 2x 6
5 x2 15 x 2x 6
5 x x 3 2 x 3
x 3 5 x 2
129
En los dos últimos ejemplos escribe en cada renglón los pasos que se realizaron para
factorizar.
Ahora ya sabes factorizar los trinomios de las formas x2 bx c y ax2 bx c
recuerda que su única diferencia es el coeficiente del término de segundo grado.
Es importante que, dado un trinomio a factorizar, identifiques qué forma tiene a fin de que
puedas emplear el procedimiento adecuado.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Para que practiques la factorización de polinomios, resuelve los siguientes ejercicios; una
vez que las conlcuyas, verifica que el procedimiento que aplicaste es el correcto, a través
de las respuestas que aquí se presentan.
a) FACTOR COMÚN.
1. z 2 4 z
2. 6m 3 b 2 18m 2 b
3. 10 x 6 y 15 x 2 y 3 30 x 3 y 2
4. zp 8 5p 8
5. 10 x4 x 3 144 x 3
6. 6 x 4 8 x 3 2x 2
b) FACTOR COMUN Y AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
11. 3 xy 6 xb cy 2cb
7. 3 x 2 40 x bx 9
12. 10 x 3 y 20 x 2 y 2 15 xy 3
8. 2x 2 4 xy 3 xy 6 y 2
13. 7m2m 3 52m 3
9. 2w y 2z x y 2z
14. 3a 2 12ab 2ab 8b 2
10. 6m 4 9m 3 3m 2
15. 4 x 2 8 xy xy 2y 2
130
c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
21. x 2 7 x 49
r 2 2r
1
9
3
1
25 4 x 2
x
23.
25 36
3
16. x 2 14 x 49
22.
17. t 4 2t 2 y y 2
18. 4mn n 2 4m 2
19. 9b 2 30ab 25a 2
20. a
18
w4
16
25. a 2 2a(a b) (a b) 2
24.
9
18a 81
16y 6 2y 3 w 2
d) DIFERENCIA DE CUADRADOS.
26. 4b 2 9
31.
27. 81 4 x 2
28. 49a 2 x 2 144b 2 y 2
32.
29. 36a 4 b 4 1
33.
2 4
30. r s
4
v w
2
1
9
a2
x6
36 25
x2
x - 1 2
1
34. 16a 2 3a 2b
2
e) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
35. 8 x 3 27 y 3
39.
36. 512 27a 9
37. x 3 y 3 z 3 1
3
6
38. a b 216c
9
8
y3
27
40. x 3 27
f) TRINOMIOS DE LA FORMA
x 2 bx c
ax 2 bx c
41. x 2 2x 15
47.
x 2 10 x 21
42. 12x 2 x 6
48.
3 x 2 2x 8
2x 2 5 x 2
49.
x 2 7 x 30
44. x 2 5 x 14
50.
x 2 x 30
45. x 2 9 x 8
51.
6x2 5x 6
52.
5x2 x 4
43.
46.
3x2 5x 2
RESPUESTAS: A continuación se da la solución a los ejercicios que ya resolviste, para
que verifiques tu aprendizaje.
131
a)
1. z4 - z
2. 6m 2 bmb 3
3. 5x 2 y 2x 4 3 y 2 6 xy
4. p + 8 z 5
5. 4x - 310 x 14
6. 2x 2 3 x 2 4 x 1
b)
15.
y 2b3 x c
5 xy2x 2 4 xy 3 y 2
2m 37m 5
a 4b3a 2b
x 2y4 x y
21.
No es factorizable
22.
r
1
3
2
23.
19.
n 2m
3b 5a 2
1 5x2
6
5
20.
a
2
24.
3
w2
4 y
4
25.
2a b 2
31.
1
1
x x
3
3
32.
a x3 a x3
5 6
5
6
33.
x x 2
11.
7. No es factorizable.
8.
9.
x 2y2x 3 y
y 2z2w x
12.
13.
14.
10. 3m 2 2m 2 3m 1
c)
16.
x 7
2
17.
t
18.
2
y
9
9
2
2
2
2
d)
26.
27.
28.
29.
30.
2b 32b 3
9 2x9 2x
7ax 12by7ax 12by
6a b 16a b 1
v w rs v w rs
2 2
2
2 2
2
2
2
34.
7a 2ba 2b
Los binomios que representan una suma de cubos son los ejercicios señalados con los
números 35, 36, 37; los ejercicios 38, 39 y 40 representan una diferencia de cubos.
132
Para el caso del ejercicio 39 debiste aplicar la propiedad conmutativa de la suma, para
obtener la diferencia de cubos.
8
8
8
3
y3 y3
y
27
27
27
e)
35.
36.
37.
38.
2x 3 y4 x 2
8 3a 64 24a 9a
xyz 1 x y z xyz 1
ab 6c a b 6ab c 36c
6 xy 9 y 2
3
3
2
2
f)
41.
42.
43.
44.
45.
46.
3
6
2 2
2 4
2 3
6
x + 3 x 5
4x - 3 3x 2
x + 2 2x 1
x + 7 x 2
x - 8 x 1
x + 1 3x 2
47.
48.
49.
50.
51.
52.
133
39.
2 2 2
4
y y y
3
3
9
40.
x 3 x 2
x 7 x 3
x 23 x 4
x 10 x 3
x 6 x 5
2x 33 x 2
x 15 x 4
3x 9
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
En este tema analizamos las diferentes formas de factorización y acordamos que para
llevarlas a cabo es necesario:
1. Identificar el tipo de polinomio.
2. Aplicar los pasos de la regla correspondiente para cada tipo de factorización.
Así, aplicamos la factorización para polinomios:
DE LAS FORMAS
OBTUVIMOS SUS
FACTORES
A TRAVÉS DE
Factor Común
20 x 3 y 2 10 x 2 y 3 30 x 2 y 2
10 x 2 y 2 2x y 3
6 x 2 4 x 21x 14
3 x 22x 7
9m 2 12mn 4n 2
3m 2n 2
x 2 13 x 30
x 2 x 15
Trinomio Cuadrado No
Perfecto
2y 2 y 15
y 32y 5
Trinomio x2+bx+c
6x2 5x 4
3 x 42x 1
Trinomio ax2+bx+c
9a 4 25b 6
3a
w 3 125
w 5 w 2
8 x 3 27 y 3
2x 3 y4 x 2
2
Agrupación de términos
Trinomio Cuadrado
Perfeco
5b 3 3a 2 5b 3
5 w 25
6 xy 9 y 2
134
Diferencia de cuadrados
Suma de Cubos
Diferencia de Cubos
2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Una expresión racional se forma por un cociente o la división de dos expresiones: cuando
estas expresiones son polinomios se dice que se forman fracciones algebraicas.Y éstas
pueden ser:
a) polinomios enteros
b) polinomios fraccionarlos
c) polinomios racionales.
d) polinomios irracionales.
Se define como fracción algebraica al cociente que se forma entre dos expresiones
algebraicas, de las cuales analizaremos las que se forman con polinomios enteros o
racionales.
Sea la fracción algebraica x/y, la cual se forma por dos expresiones algebraicas, la “x”,
que ocupa el lugar del dividendo y correspondiéndole el numerador de la fracción, y a la
“y”, que ocupa el lugar del divisor y le corresponde el denominador de la fracción. Ambos
son los términos de la fracción.
Representación como divisor
Como fracción.
x
y
x y; y x
Numerador
Denominador
2.3.1 REGLAS PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Los principios que se aplican en Aritmética tienen igual aplicación en Álgebra y para el
caso de las fracciones algebraicas tienen validez también citando entre otras a:
1) Cuando el numerador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad, la
fracción queda para el primer caso multiplicada por dicha cantidad o bien queda
dividida entre esa cantidad para el segundo caso.
Primer caso: a) multiplica.
Segundo caso: b) divide.
6a
2 3a
4
4
12a
6a
2
4
4
135
2) Cuando el denominador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad,
la fracción queda multiplicada por dicha cantidad para el primer caso y para el
segundo caso queda dividida por dicha cantidad.
Primer caso: a)multiplicar
Segundo caso: b) divide
2x
10 2x
2
5
2x
2x
10
3
30
3) Cuando tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican
o dividen por una misma cantidad la fracción no se altera.
Primer caso: a) multiplica
3 x3
3x
9x
2y
2y3 6 x
ó
Segundo caso: b) divide.
10 x 2 5 x
10 x
20 y
20y 2 10y
3 x3 3 x
3x
2y
2y3 2y
Se entiende como reducción de una fracción algebraica el cambio que se le realiza sin
afectar su valor.
La división de polinomios de igual base permite recordar tres casos particulares, siendo:
a) Exponente del numerador Exponente del denominador.
x4
x2
x4 2 x2 ya que
x2
x2
x x x x x x x2
1
1
x x
x2
b) Exponente del numerador = Exponente del denominador.
x3
x
3
x3 3 x0 = 1 ya que
x3
x
3
x x x 1 1
x x x 1
c) Exponente del numerador Exponente del denominador.
x3
5
x
x3 5 x2
ya que :
x x x
x x x x x
1
2
x
x 2
1
x2
Existen casos de la división de potencias en donde no coinciden sus bases, formando
cocientes que no se pueden reducir sino sólo simplificar.
136
Una fracción algebraica se simplifica cuando los términos se cambian por valores primos,
señalando entonces que la fracción es irreducible y ha quedado expresada en su forma
más simple.
Existen cambios en los signos que pueden hacerse en una fracción sin que ésta se
altere, de acuerdo con los casos:
a) Sea la fracción
o bien
a
a
, ésta puede quedar expresada por
b
b
a
a
también por
b
b
b) Cuando los términos de la fracción son polinomios se pueden cambiar los
signos de la forma siguiente:
mn
, para cambiar el signo del numerador hay que cambiar el signo
xy
de cada término del polinomio, quedando - m + n y haciendo lo mismo con el
denominador, o sea, cambiando el signo por - x + y , concluyendo:
Sea la fracción
c) Cuando en el numerador o denominador de una fracción hay productos
indicados, se pueden hacer los cambios de signos:
Se puede cambiar el signo a un número par de factores sin cambiar el signo de
la fracción.
ab
ab
xy
xy
ab
ab
xy
x y
a b
ab
xy
xy
ab
ab
xy
x y
a b
ab
xy
x y
En este caso se ha cambiado el signo a cuatro factores, y
siendo el cambio valor múltiplo par, el signo de la fracción
no cambia.
137
Se puede cambiar el signo a un número impar de factores y, por consiguiente, se cambia
el signo de la fracción.
ab
ab
xy
xy
ab
ab
xy
x y
a b
ab
xy
xy
ab
ab
xy
x y
Si aplicamos los principios anteriores en la fracción.
x 1 x 2
y 3 y 4
Los cambios de signo pueden expresarse:
x 1 x 2
y 3 y 4
1 x x 2
3 y y 4
Se cambian los signos de “x” en el primer binomio del
numerador y de “y” en el primer binomio del
denominador sin cambiar el signo de la fracción.
x 1 x 2
y 3 y 4
1 x2 x
y 3 y 4
Se cambian los signos en los cuatro términos de los
dos binomios del numerador sin cambiar el signo de la
fracción.
x 1 x 2
y 3 y 4
1 x x 2
y 3 y 4
Se cambian los signos del primer binomio del
numerador y se modifica el signo de la fracción al
cambiarlo.
x 1 x 2
y 3 y 4
1 x2 x
3 y4 y
Se cambian los signos de todos los términos del segundo
binomio del numerador así como de los dos binomios del
denominador y se modifica el signo de la fracción.
En la simplificación de fracciones algebraicas, citaremos los siguientes casos:
A) Simplificación de Fracciones Cuyos Términos Sean Monomios.
Regla: Se dividen el numerador y el denominador entre sus factores comunes
hasta que éstos sean primos entre sí.
EJEMPLO. Simplificar:
9 x3 y3
5 6
36 x y
1
4 x2y3
138
1) Se calculan los factores primos de los coeficientes 9 y 36 y las partes literales se
dividen entre sí.
9
3
36
2
3
3
18
2
9
3
3
3
1
1
33x3 y3
2233y6 x5
y
3
y6
x3
5
y 3 6 y 3
x
1
x3 5 x2
1
x2
y3
2) Reduciendo los términos algebraicos que forman la fracción:
33x3 y3
2233x5 y6
1
22y
3 2
x
1
4 x2 y3
B) Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios.
Regla: Se descomponen en factores comunes tanto los términos del numerador
como del denominador y se suprimen los más posibles.
EJEMPLO. Simplificar:
8a3 27
4a2 12a 9
Nota: Para este caso hay que recordar los casos de factorización.
De manera de simplificar tanto el numerador como el denominador hay que definir por
medio de cuál caso de la factorización se pueden descomponer en el producto de
factores los polinomios que forman la fracción algebraica.
Para el numerador de la fracción, se observa que se trata de la suma de cubos. Por lo
que aplicando su regla particular de factorización tenemos:
8a3 27 2a 3 4a2 6a 9
139
En el denominador se tiene un trinomio cuadrado perfecto, el cual queda aplicándole su
regla particular de factorización:
4a
2
12a 9 2a 3
2
Sustituyendo los factores del numerador y del denominador y simplificando factores
comunes, tenemos:
2a 34a 2 6a 9 2a 34a 2 6a 9
2a 32a 3
4a 2 12a 9
2a 3 2
8a 3 27
8a 3 27
4a 2 12a 9
4a 2 6a 9
2a 3
a
2
EJEMPLO. Simplificar:
a
2
1 a2 2a 3
2a 1 a2 4a 3
Para poder simplificar esta fracción algebraica es importante identificar por medio de su
clasificación a todas y cada uno de las expresiones que aparecen tanto en el numerador
como en el denominador para que con el uso de las reglas de factorización se realice la
simplificación.
Identificación de expresiones algebraicas:
a
1
a
2a 3
a
2a 1
a
4a 3
2
2
2
2
se clasifica como una diferencia de cuadrados.
se clasifica como un trinomio de la forma
se clasifica como un trinomio cuadrado perfecto.
se clasifica como un trinomio de la forma
x 2 bx c
x 2 bx c
Una vez que se han identificado y clasificado las expresiones algebraicas procederemos
a su factorización.
La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados.
140
a
2
1 a 1a 1
El trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.
a
2
2a 1 a 1
2
Los trinomios cualesquiera se factorizan como productos de binomios con término
común.
a
a
2
2
4a 3 a 3a 1
2a 3 a 3a 1
Sustituyendo las expresiones algebraicas en la función por simplificar.
a
2
a
2
1 a2 2a 3
2
2a 1 a 4a 3
a 1a 1a 3a 1
a 12 a 3a 1
binomios.
ordenando
todos
los
a 1a 1a 1a 3
a 1a 1a 1a 3
1
EJEMPLO. Simplificar:
ax2 9a
3 x 3 y x2 xy
ax2 9a se factoriza por factor común.
Al numerador
ax2 9a a x2 9
ax 9a a x 3 x 3
2
Y se observa que el binomio es una diferencia de cuadrados, la
cual factorizada queda:
x 3x 3
Al denominador 3 x 3 y x2 xy se factoriza por agrupación de términos.
3 x 3 y x2 xy 3 x y x x y, Donde los dos términos de esta expresión tienen
de factor común al binomio ( x - y ).
3 x 3 y x2 xy x y3 x Factorizamos por factor común.
Sustituyendo las transformaciones realizadas en la fracción:
141
ax2 9a
2
3 x 3 y x xy
Por lo tanto:
ax2 9a
2
3 x 3 y x xy
a x 3 x 3
Con el objeto de poder eliminar el binomio ( x - 3 ) del
numerador es necesario cambiar el signo de los términos
de binomio ( 3 - x ) del denominador, y para no alterar el
signo de la fracción debemos cambiar el signo del otro
binomio del denominador, ya que haciendo el cambio de
signo a dos factores (número par) no se cambia el signo de
la fracción.
x y3 x
a x 3 x 3
x y3 x
a x 3
a x 3 x 3
x y x 3
y x
Con lo cual eliminamos el binomio ( x - 3 ) tanto del
numerador como del denominador, quedando así el
resultado.
C) Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador o Denominador Dado.
PRIMER CASO. Cuando se indica el numerador equivalente.
Sea la fracción
2a
y debe convertirse a otra con numerador. 6a 2
3b
Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el numerador original, obtenga el
numerador equivalente.
6a2 2a 3a.
3b3a 9ab
Por lo que para no afectar a la fracción original, habrá que
multiplicar también el denominador por este factor.
2a
6a2
3b
9ab
Obteniéndose la nueva fracción, que es equivalente a la
primera.
142
SEGUNDO CASO. Cuando se indica el denominador equivalente.
5
Sea la fracción
y debe convertirse a otra con denominador 20a2 y4 .
4 y3
Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtenga
el denominador equivalente.
20a2 y4 4 y3 5a2 y.
55a2y 25a2y
5
4 y3
Para no afectar a la fracción original, habrá que
multiplicar también el numerador por este factor.
25a2 y
20a2 y4
TERCER CASO. Con polinomios, señalando denominador.
Sea la fracción
y2
convertida a otra fracción con el denominador y 2 y 6.
y3
Hay que determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtenga el
nuevo denominador.
y2
y 3 y2 y 6
y2 3 y
2y 6
El binomio ( y + 2 ) deberá multiplicarse con el numerador
original para no alterar la fracción.
2y 6
0
y 2 y 2
y2 4 *
Quedando la conversión:
y 2 y 2 y2 4
y 2
y 3
y 3 y 2 y2 y 6
Producto de binomios conjugados.
D) Reducción de una Fracción a Expresión Entera o Mixta
143
Como hemos dicho, una fracción representa la división de un numerador entre un
denominador. Por lo que para convertir una fracción a expresión entera o mixta se realiza
la operación de división entre los elementos de la fracción.
Si ésta es exacta, la fracción equivale a una expresión entera. Si no es exacta, se
determina el residuo para formar la expresión mixta.
EJEMPLO. Reducir cada fracción, pudiendo ser una expresión entera o mixta.
1)
4 x3 2x2
4 x3
2x2
2x2 x exp. entera
2x
2x
2x
2)
3a3 12a2 4
4
a2 4a
exp. mixta
3a
3a
a2 4a
3a 3a3 12a2 4
3a3
12a2 4
12a2
-4
3)
6 x3 3 x2 5 x 3
2
3x 2
x 1
2x 1 2
exp. mixta
3x 2
2x 1
2
3 x 2 6 x3 3 x2 5 x 3
+4x
6x3
3 x2 x 3
3 x2
2
x 1
E) Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionaria
Para realizar esta conversión se debe multiplicar la parte entera por el denominador; a
este producto se le suma o resta el numerador, según que tenga delante la fracción,
dividiendo todo entre el denominador, y, de ser posible, se simplifica la fracción.
144
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y compara tus resultados con los que
aquí aparecen, para verificar que tu procedimiento fue el correcto.
SIMPLIFICA
1. )
2. )
3. )
RESPUESTAS
3ab
2
3b
2a(x a)
2a x 2a3
1. )
x2 2x 3
x3
2. ) x 1
8 a3
a2 2a 8
COMPLETA
3. )
a2 2a 4
4 a
RESPUESTA.
4. )
3a b
2
ab
a ab 2b2
4. )
5. )
x5
3 x2 15 x
a
5. )
6. )
x1
2
x5
x 3 x 10
6. )
3a2 5ab 2b2
3ax
x2 x 2
Reducir a expresión entera o mixta.
7. )
8. )
10a2 15a 2
5a
7. ) 2a 3
2a4 3a3 a2
8. ) 2a2 a 2
2
a a1
145
2
5a
a2
2
a a1
Reducir a fracción.
9. ) a2 a 3
5
a2
9.)
a3 a2 a 1
a2
F) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominador.
Esta reducción consiste en convertir fracciones con diversos denominadores en
fracciones equivalentes con igual denominador, siendo éste el menor posible.
Se realizan los siguientes pasos:
a) Si es posible, se deben simplificar las fracciones dadas.
b) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, siendo éste el
denominador común.
c) Para obtener los numeradores equivalentes se divide el mínimo común múltiplo
(denominador común) entre cada denominador original y el cociente se multiplican por el
numerador respectivo.
EJEMPLO. Reducir las fracciones al mínimo común denominador.
1) Sean
2 3
5
,
,
a 2a2 4 x2
Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores a,2a 2 ,4 x 2 ; siendo 4a 2 x 2 el
denominador común. Ahora dividamos entre cada denominador y su cociente lo
multiplicaremos por su numerador respectivo, quedando:
2 4ax2
4a2 x2
2
8ax2
4ax2;
a
a
4a2 x2
4a2 x2
4a2 x2
2a
2
4a2 x2
4 x2
2x2;
2
a ;
3
2a
5
4 x2
2
32x2
2 2
4a x
5a2
4a2 x2
6 x2
4a2 x2
5 a2
4a2 x2
146
2) Reducir:
1
3x
2
,
x 1 2x 3
,
al m. c. d. (Mínimo común denominador).
6x
9 x3
Se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores 3 x 2 ,6 x,9 x 3 ,
siendo 18x3 el denominador común.
18 x3
2
3x
18 x3
6x
18 x3
9 x3
6 x;
1
16 x
3x
x3
2
3
6x
18 x
18 x3
2
x 1 3 x x 1
3 x3 3 x2
3 x2;
6x
18 x3
18 x3
22x 3
2x 3
4x 6
2;
3
9x
18 x3
18 x3
3) Reducir:
2
,
2x
2
,
x4
2
x 1 x 3x 2 x x 2
al m.c.d.
Calculando el m.c.m. de los denominadores.
x2 1 x 1 x 1
x2 3 x 2 x 2 x 1
x2 x 2 x 2 x 1
Dividiendo el m.c.m. x 1 x 1 x 2 entre cada denominador.
x 1 x 1 x 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 2
x 2 x 1
x 1 x 1 x 2
x 2 x 1
x 3 x 2
x2 5 x 6
x2 1 x 1 x 1 x 2
x 1 x 1 x 2
2x x 1
2x
2x2 2x
x1 2
x x2
x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2
x 4 x 1
x4
x2 5 x 4
x1 2
x x2
x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2
x2
x3
147
4) Reducir las expresiones mixtas a fracciones.
1) x 2
x 2 x 1 3 x2 3 x 2 3 x2 3 x 5
3
x1
x1
x1
x1
a ba b a2 b2 a2 b2 a2 b2 2b2
a 2 b2
2) a b
ab
ab
ab
ab
3) x 1
x3 5 x2 18
2
x 5x 6
x 1 x2
5 x 6 x3 5 x2 18
2
x 5x 6
3
2
x 6 x 11x 6 x3 5 x2 18
x2 5 x 6
x 8 x 3
x2 11x 24
2
x 5x 6
x 3 x 2
x 2y 3 x 2 y 6 y 2
3x
9 x2 y
x8
x2
Señala los errores tenidos en el cambio de la fracción.
¿Observaste que el signo del segundo término en el
numerador debe ser negativo y, además, faltó anotar la
literal x en dicho término?
9 x3 y 6 x2 y2 3 xy3
3 x2 2xy 1
3 xy
Al reducir la fracción a expresión entera se
cometieron algunos errores. Señálalos.
¿Observaste que el signo del segundo
término debe ser negativo y el tercer término
de la expresión entera está mal simplificado,
debiendo quedar como y2 ?
x y x y x2 y2 x y x y x y x y
x2 y2
xy
2x 2y
xy
xy
xy
Explica los pasos de transformación necesarios
hasta llegar al resultado anotado.
148
Falta realizar la suma de binomios conjugados anotada en el numerador y después
simplificar la expresión resultante.
x
2
y2 x2 y2
x y
2x
2
y2
x y
2x yx y 2x 2y
x y
Recuerda que...
Se define como el común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a toda
expresión que es divisible exactamente con cada una de las expresiones algebraicas.
Se conoce como el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a la
expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible en
forma exacta por cada una de las expresiones algebraicas dadas.
g) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomios.
Se calcula el m.c.m. de los coeficientes y se consideran a todas las literales, comunes o
no, afectadas por su mayor exponente que se tenga en las expresiones dadas.
Ejemplos. Calcular el m.c.m. de:
1) ax 2 y a3 x
El m.c.m. de las literales comunes y no
comunes afectadas en su mayor exponente
serán
a 3 y x 2 por lo que el m.c.m.
a3 x2
2) 8ab2 c
El m.c.m. de las literales para ab2c y a3 b3
será con las literales comunes y no
comunes con su mayor exponente,
quedando: a 3 b 2 c.
y 12a3b2
149
Se calcula el m.c.m.
de los coeficientes
8
4
2
1
2
2
2
12
6
3
1
2
2
3
m.c.m. = 2 3 a b c
m.c.m. de 8 y 12 = 23 31
3
1
3
Juntando ambos m.c.m. (coeficientes y literales).
2
3) 10a 3 x,36a 2 mx 2 ,24b 2 m 4
Se calculan los factores primos
de todos los coeficientes.
10
5
1
2
5
36
12
4
2
1
24
12
6
3
se analizan las literales de todas las expresiones
para considerar las de mayor grado.
2
2
3
3
a 3 x, a 2 mx 2 , b 2 m 4
m.c.m. a 3 b 2m4 x 2
2
2
2
3
m.c.m. 23 32 5 a3b2m4 x2
1
m.c.m. 23 32 5
m.c.m. 360a3 b2m4 x2
h) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.
Para el cálculo del m.c.m. de polinomios se descomponen las expresiones algebraicas
dadas en sus factores primos. El producto de los factores primos comunes y no
comunes afectados de su mayor exponente determinará el m.c.m.
150
EJEMPLOS. Calcular el m.c.m. de:
1)14a2,7 x 21
La expresión 14a2 queda integrada por sus factores 27 a2 .
La expresión 7x 21 queda integrada por sus factores
Por lo que m.c.m.
2)
7x 3
27 a2 x 3 14a2 x 3.
14a2 x 3
4ax2 8axy 4ay2,6b2 x 6b2 y; factorizando cada expresión.
4ax2 8axy 4ay2 4a x2 2xy y2 4a x y 22 a x y
2
2
6b2 x 6b2 y 6b2 x y 23 b2 x y
x y
2
m.c.m. 22 3a b2
12ab2 x y
2
m.c.m. 12ab2 x y .
2
3)
2x3 8 x,3 x4 3 x3 18 x2,2x5 10 x4 12x3 ,6 x2 24 x 24.
Factorizando cada polinomio, tenemos:
1er. POLINOMIO.
1er. Paso: Por factor común.
2x3 8 x 2x x2 4
2o. Paso: Por diferencia de cuadrados.
2x x 2 x 2
151
2o. POLINOMIO
1er. Paso: Por factor común.
3 x4 3 x3 18 x2 3 x2 x2 x 6
2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma
x2 bx c.
3 x2 x 3 x 2
3er. POLINOMIO.
1er. Paso: Por factor común.
2x5 10 x4 12x3 2x3 x2 5 x 6
2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma
x2 bx c
2x3 x 3 x 2
4to. POLINOMIO
1er. Paso: Por factor común.
6 x2 4 x 4
2do. Paso: Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
6 x 2 x 2
M.C.M.
6 x3 x 3 x 2 x 2 x 2
6 x3 x2 4 x 3 x 2
152
2.3.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.
A) Adición de Fracciones.
Para realizar cualquier tipo de adición de expresiones algebraicas racionales es
conveniente seguir los siguientes pasos:
1) Se deben simplificar las fracciones iniciales del problema, cuando esto sea
posible.
2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimo
común denominador.
3) Se realizan las multiplicaciones indicadas.
4) Se suman los numeradores de las fracciones resultantes quedando dividido
entre el común denominador.
5) Se reducen términos semejantes en el numerador.
6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible.
Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de adición de expresiones
algebraicas racionales en los siguientes ejemplos:
A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término (monomios).
Simplificar la adición:
x 4a
x2
1
2
2ax
10 x
5x
No es posible simplificar las fracciones iniciales, por lo que debemos calcular el mínimo
común múltiplo para tener el mínimo común denominador, ya que son diferentes
denominadores.
2
1
2
ax x2
5
1
5
x
10
5
1
2
5
En los coeficientes de los denominadores se tienen
los factores primos comunes 25.
En la parte literal de los denominadores se tienen a
las literales comunes afectadas de su mayor
exponente a, x 2 , quedando el mínimo común
denominador (m.c.d.) por 25ax2 10ax2.
Se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplica por el numerador
correspondiente.
153
5x x 4a 2a x 2 ax1
1
x 4a
x2
2
2ax
10 x
5x
10ax2
10ax2
5 x2 20ax 2ax 4a ax
se reducen términos semejantes.
5x
2ax
10ax2
10ax2
2
5x
2a
5 x2 17ax 4a
2
10ax
se obtiene el resultado ya que no es posible
simplificar esta fracción.
10ax2
x 4a
x2
1
5 x2 17ax 4a
ax
10 x
2ax
10 x
5 x2
10ax2
B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).
Simplificar la adición:
1
1
1
2
3x 3
2x 2
x 1
Se determina que no es posible simplificar las fracciones dadas, por lo que hay que
calcular el m.c.m. de los denominadores para tener el m.c.d.
Como los denominadores son polinomios diferentes, será necesario factorizarlos de
acuerdo con cada caso particular.
3 x 3 3 x 1
Se extrae el factor común.
2x 2 2 x 1
x2 1 x 1 x 1
Se factoriza la diferencia de cuadrados.
m. c. m. 6 x 1 x 1
154
A continuación se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplica
por el numerador correspondiente. Esta división se realiza con los denominadores ya
factorizados.
6 x 1 x 1
3 x 1
6 x 1 x 1
2 x 1
6 x 1 x 1
x 1 x 1
2 x 1
3 x 1
6
Se concentra lo realizado particularmente para cada denominador.
2 x 1 3 x 1 6 Realizando las multiplicaciones.
1
1
1
2
3x 3 2x 2 x 1
6 x 1 x 1
1
1
1
2x 2 3 x 3 6
2
3x 3
2x 2
x 1
6 x 1 x 1
1
1
1
5x 7
2
3x 3
2x 2
6
x
x 1
1 x 1
Simplificando términos
semejantes en el numerador.
Como no se puede simplificar la
fracción, ésta queda como resultado.
Realiza la adición de fracciones algebraicas y señala si se cometieron errores al
solucionar el ejercicio.
a 1 2a 3a 4
3
6
12
3
6
12
2
3
3
6
2
3
3
3
3
1
1
1
4a 1 22a 3a 4
12
4a 4 4a 3a 4
12
11a
12
155
Desarrollando la suma de fracciones siguiente, indica si faltan o no pasos de
transformación para validar el resultado señalado.
x y x y x y x y x y x y x y x y
xy xy
xy xy
x2 y2
x y x y
x xx y
2
2
2
Falta realizar los siguientes pasos:
x y x y
x y
x y
x y
x y
x2 y2
2
2x2 2y2
x2 y2
2
2x2 2y2
x2 2xy y2 x2 2xy y2
x2 y2
x y x y
resultado.
Observa los siguientes ejemplos:
1)
x 52 13 x 2x 10 3 x
2
3x
2
x5
x 25
x 5 x 5
x 5 x 5
m. c. m:
5 x 2
5 x 10
o 2
x 5 x 5 x 25
m. c. m. x2 25 x 5 x 5
5 x 2
2
3x
5 x 10
o 2
2
x5
x 25
x 5 x 5 x 25
5aba 3b 3 a2b 4ab2
a 3b a2b 4ab2
2)
3ab
5a2b2
15a2b2
5a2b 15ab2 3a2b 12ab2
15a2b2
8a2b 3ab2
15a2b2
ab8a 3b
15a2b2
8a 3b
15ab
156
2
b) Sustracción de Fracciones.
Para realizar la resta de fracciones se deben seguir los siguientes pasos:
1) Se simplifican las fracciones iniciales del problema, cuando esto sea posible.
2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimo
común denominador.
3) Se multiplican las expresiones indicadas.
4) Se restan los numeradores y la diferencia queda afectada
denominador.
del común
5) Se reducen términos semejantes en el numerador.
6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible.
Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de restas de fracciones
algebraicas en los siguientes ejemplos:
A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término (monomios).
No es posible simplificar las fracciones iniciales
por lo que debemos calcular el m.c.m. de los
denominadores; m.c.m. 6a2b
a 2b 4ab 2 3
3a
6a 2 b
2
a 2b 4ab 2 3 2aba 2b 1 4ab 3
3a
6a 2 b
6a 2 b
2a 2 b 4ab 2 4ab 2 3
6a 2 b
2a 2 b 4ab 2 4ab 2 3
6a 2 b
Se obtienen los productos parciales:
6a2b
2ab; 2aba 2b
3a
6a2b
2
6a b
1; 1 4ab2 3
Se realizan las multiplicaciones del
numerador.
Restando los numeradores.
2a 2 b 3
Reduciendo términos.
6a 2 b
157
B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).
2
x x2
1
x x2
1 3x
x x3
Se calcula el m.c.m. para que sea
el
m.c.d.
por
su
regla
correspondiente de factorización.
x x2 x1 x
x x2 x1 x
x x3 x 1 x2 x1 x1 x; m. c. m. x1 x1 x
2
x x2
1
x x2
x1 x1 x
x1 x
x1 x1 x
x1 x1 x
2
x x
2
1
x x
2
1 3x
x x3
21 x 1 x1 11 3 x
x1 x1 x
x1 x1 x
x1 x
1 x;
Se dividen el m.c.d. con
cada denominador y su
cociente se multiplica
por elnumerador
correspondiente
respetando el signo.
1 x
1
1 3x
x x
3
2 2x 1 x 1 3 x
x1 x1 x
0
x1 x1 x
Se realizan las
multiplicaciones indicadas en
el numerador, y se suprimen
los signos de agrupamiento
correctamente.
Reduciendo términos
semejantes en el numerador.
0
158
Realicemos otros ejercicios. Deberás observar qué se realizó en cada paso.
1)
x2 3 x 2
2
2x
2x 5
4x
CÁLCULO
2
1
4
2
1
2
2
22
DEL
ó 4
M. C. M.
x 2 , x x2
m. c. m. 4 x2
4 x2
2; 2 x2 3 x 2
2 x2
4 x2
x; x2x 5
4x
x 2 3x 2
2x
2
Se realizan las divisiones
parciales del m.c.d. con
cada denominador y el
cociente se multiplica por
cada numerador sin olvidar
el signo del sustraendo.
2
Se realizan las
2x 5 2 x 3x 2 x 2x 5 2x2 6x 4 2x2 5x
operaciones
4x
4x 2
4x 2
algebraicas indicadas
en el numerador.
2x2 6 x 4 2x2 5 x
4x2
159
x 4
4x2
Se reducen
términos
semejantes del
numerador.
2) realizar
x1
x2
4x 4
8x 8
2 x 1 x 1 x 1 x 2
x1
x2
4x 4 8x 8
8 x 1 x 1
2x 1 x2 3 x 2
8 x 1 x 1
2x2 4 x 2 x2 3 x 2
8 x 1 x 1
x2 7 x
8 x 1 x 1
Se indica en el numerador que
hay un binomio al cuadrado y
también se realiza el producto de
binomios con término común.
2 x 12 x2 3 x 2
8 x 1 x 1
2 x2
x2 7 x
8 x2
Se calcula el m.c.m., y para tener
el m.c.d. con cada denominador
se indican los productos con cada
numerador.
Se realiza por productos notables
el cuadrado del binomio.
Se realiza la operación de
multiplicación y se suprimen los
signos
de
agrupamiento
cambiando los del sustraendo.
Se reducen términos semejantes
en el numerador, asimismo, en el
denominador se puede cambiar
el
producto
de
binomios
conjugados por su diferencia de
cuadrados, la cual se refleja en el
resultado.
1
C) Multiplicación de Fracciones.
Para realizar esta operación debemos seguir los siguientes pasos:
1) Los términos de las fracciones que se van a multiplicar son convertidas a sus
factores primos comunes y no comunes.
2) Se simplifican, eliminando los factores comunes tanto de los numeradores
como de los denominadores.
160
3) Se multiplican las expresiones restantes después de la simplificación de
factores comunes tanto del numerador como del denominador.
Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de multiplicación de
fracciones algebraicas.
EJEMPLO.
23abb x x
2a 3b 2 x 2
3
2
3b 4 x 2a 2223aabbb x
Las fracciones se descomponen
en sus factores, ordenándolos.
Se simplifican los factores
comunes tanto del numerador
como
del
denominador,
obteniéndose directamente el
resultado.
x
2a 3b 2 x 2
3
2
3b 4 x 2a 4ab
EJEMPLO.
Se factorizan todas y cada una
de las expresiones algebraicas.
3 x 3 x2 4 x 4
2x 4 x2 x
3 x 1 x 2
3 x 3 x2 4 x 4
2
2x 4 x x
2 x 2 x x 1
2
Sustituyéndose por sus factores.
3 x 1 x 2 x 2
3 x 3 x2 4 x 4
2
2x 4 x x
2 x 2 x x 1
Se simplifican los factores
primos comunes tanto del
numerador
como
del
denominador.
3 x 2
3 x 3 x2 4 x 4
2
2x 4 x x
2 x
Se
realizan
los
productos
indicados
en
la
fracción
resultante.
161
Factorizando:
por factor común
3 x 3 3 x 1
x2 4 x 4 x 2
Binomio al cuadrado
2
2x 4 2 x 2
por factor común
x2 x x x 1
por factor común
3x 6
3 x 3 x2 4 x 4
,
2
2x 4 x x
2x
obteniéndose su resultado.
EJEMPLO.
Multiplicar las siguientes fracciones.
Factorizando todas y cada una
de
las
expresiones
que
aparecen en las fracciones.
a2 1 a 2 a 6 3 a 4
2
2
2
a 2a 3a 7a 4 a 4a 3
a 1a 1a 3a 23a 4
aa 2a 13a 4a 1a 3
1
a
Simplificando
factores
comunes tanto en el numerador
como en el denominador.
162
EJEMPLO.
Acontinuación realizaremos la multiplicación de expresiones mixtas.
Multiplica:
5
5
a 3
a 2
a 1
a 4
Recuerda que debemos reducir las expresiones mixtas a fracciones como ya se explicó.
a 3
a 3a 1 5 a2 2a 3 5 a2 2a 8
5
a1
a1
a1
a 1
a2
a 2a 4 5 a2 2a 8 5 a2 2a 3
5
a 4
a 4
a4
a4
Con las fracciones obtenidas realizaremos su multiplicación como ya hemos visto.
a2 2a 8 a2 2a 3
a 4a 2a 3a 1
a
1
a
4
a 1a 4
Simplificando factores comunes tanto del numerador como del denominador, tenemos:
5
5
a 3
a 2
a 2a 3
a 1
a 4
Con la aplicación de la regla de los productos notables para la multiplicación de binomios
con término común obtenemos el resultado de este ejercicio.
5
5
2
a 3
a 2
a a 6
a 1
a 4
163
EJEMPLO.
Multiplicar.
a
a
a a
b
b 1
A) Se convierten las expresiones mixtas a fracciones:
a
a
ab a
b
b
a
ab 1 a ab a a ab
a
b1
b1
b1
b1
B) Se multiplican las fracciones obtenidas.
a
a
ab a ab
a a
b b 1
b
b 1
a
a
a a
b
b
ab aab
1
bb 1
a
a
a2b2 a2b
a a
b
b 1
bb 1
a2bb 1
a
a
a
a
b
b 1
bb 1
a
a
2
a
a a
b
b 1
d) División de Fracciones.
La forma más directa de realizar esta operación de división con fracciones algebraicas es
convertir la mecanización a una multiplicación de fracciones como ya se ha visto.
Para lograr lo anterior, al divisor se le debe invertir. Esto es, que la fracción se identifique
con el divisor, su numerador pasará a ser denominador y el denominador pasará al lugar
del numerador.
Veamos con un ejemplo lo dicho.
Dividir
x2 4 x
8
entre
x2 16
4
164
El numerador anterior también se puede representar como:
x 2 4 x x 2 16
8
4
x x 44 x x 44
x 2 4 x x 2 16 x 2 4 x
4
2
8
4
8 x 16 8 x 4 x 4 42 x 4 x 4
Dividendo Divisor
x2 4 x x2 16
x
8
4
2x 8
Divisor
invertido
x2 4 x x2 16
x
8
4
2x 8
4
x2 16
Para realizar la división de fracciones de la expresión:
x3 125 x3 5 x2 25 x
2
2
x 64 x x 56
Primero debemos convertir la operación indicada a una multiplicación.
x3 125 x3 5 x2 25 x
x3 125 x2 x 56
2
2
3
2
2
x 64 x x 56
x 64 x 5 x 25 x
Se procede a realizar la multiplicación de fracciones como se explicó en el punto anterior
y es conveniente precisar que todas las expresiones que aparecen en las fracciones se
pueden factorizar.
x3 125 x 5 x2 5 x 25
165
Suma de cubos - factorizada - producto de binomio y trinomio.
x2 64 x 8 x 8
Diferencia de cuadrados - factorizada - producto de binomios conjugados.
x 2 x 56 x 7 x 8
Trinomio - factorizado - producto de binomios con término común.
x 3 5 x 2 25 x x x 2 5 x 25
Polinomio -factorizado - con factor común.
x3 125 x3 5 x2 25 x x3 125 x2 x 56
2
2
3
2
2
x 64 x x 56 x 64 x 5 x 25
2
x3 125 x3 5 x2 25 x x 5 x 5 x 25 x 8 x 7
2
2
x 64 x x 56
x 8 x 8 x x2 5 x 25
x3 125 x3 5 x 25 x x 5 x 7 x2 2x 35
2
2
x 8 x
x2 8 x
x 64 x x 56
Calcula el m.c.m. de las siguientes expresiones.
RESPUESTAS.
11. 24a 2 x3 ,36 a 2 y 4 ,40x2 y 5 ,60a 3 y6
11. 360a3 x3 y 6
12. 3a 3 ,8 ab,10b 2 ,12a 2b 3 ,16 a 2b 2
12. 240a3b3
13. 4x, x3 x2 , x2 y xy
13.
14. 3x3 , x3 12
, x2 2x 2,6 x3 6 x2
14.
15.
16.
15x 20x 5x, 3x
y 27 x 18 x 3x
x 25 , x 125 , 2x 10
2
3
3
2
4
3
3
2
15.
3x x 1
16.
2
166
4x yx 1
6x x 1x
2
3
2
2
x1
2 x 5 x 5 x2
5 x 25
15 x2 3 x 12 x2
1
Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.
RESPUESTAS.
n
3
2
17.
2
mn m
m
x y
2x y
y 4x
18.
12
15
30
a 3b
2a 3m
3
19.
ab
am
a
3
2
1 85a
20.
a
5a 3
25a2 9
17.
18.
19.
20.
167
n2 3m 2mn
m2n
5x y
60
am 3bm 2ab
abm
7a 27
a25a2
9
21.
x3 x2
4
8
a 3b 4 3ab 3
5ab
3 a 2b 3
x1 x2 x3
23.
3
4
6
1
1
24.
x4 x3
22.
25.
ax
a x2
x8
8
21.
x
a2 x2
3a 2b2 6ab3 20
22.
15a 2b3
x4
23.
12
1
24.
x
4
x 3
a2 ax 2x2
25.
2a2 3 a 1 9a 2 14
10a 10
50
50a 50
2x2 x 8
27.
6 4x 2
26.
a x2 a x
26.
2
x
3
27.
2x2 2x x2 3 x
28.
2x2 x2 2x 3
1
25
28. 1
a2 4ab 4b2 2a 4b
29.
3
a 2b3
29.
2
3
x2 7 x 10 x2 2x 8
30 .
x2 16 x2 4 x 4
30.
x5
x4
a2 7a 10 a2 3a 4 a 3 2a 2 3a
31.
a2 6a 7 a2 2a 15 a2 2a 8
2
1
32. x
x
x 1
x 2
33.
34.
35.
1
2
a a 30
2
a a 42
2
16 x 9
2
a 6a
3
a 3a
2
2
2
9x 1
a 9a
33
6 x2 13 x 5
a 3a 54
2
a2 a
a7
32. x2 1
2
8 x2 26 x 15
31.
168
a7
2a 10
34.
3x 1
4x 3
35.
1
a3
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
En este tema analizamos las reglas para simplificar fracciones algebraicas y operamos
con ellas, acordando que:
Los productos notables y la factorización son la base para operar con fracciones
algebraicas.
Saber operar con fracciones algebraicas, es fundamental para resolver cualquier
operación algebraica.
169
RECAPITULACIÓN
En el desarrollo de este capítulo se dedujeron los modelos matemáticos para los
principales productos notables y procedimientos de factorización; de la misma manera se
llevó a cabo la aplicación de estos procedimientos en la simplificación de expresiones
algebraicas racionales.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Son todos
aquellos que
cumplen con una
regla fija para su
desarrollo
PRODUCTOS
NOTABLES
Es la operación
inversa a los
productos.
FACTORIZACIÓN
TIPOS
TIPOS
DE DOS BINOMIOS CON UNA
TÉRMINO COMÚN.
DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS,
EL CUADRADO DE UN BINOMIO
EL TRIÁNGULO DE PASCAL
EL BINOMIO DE NEWTON.
POR FACTOR COMÚN
POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
DIFERENCIA DE CUADRADOS.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
TRINOMIOS DE LAS FORMAS
x2 + bx + c
ax2 + bx + c
Es cuando una
fracción se expresa en
su forma más simple
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES.
OPERACIONES
REGLAS
De acuerdo a los principios de la aritmetica.
Dependiendo de los exponentes.
Cambio de los signos.
Cuando los términos son monomios.
Cuando los términos son polinomios.
Fracciones equivalentes.
Reducción de expresiones entera o mixta.
Reducción de expresión mixta a fraccionaria.
Reducción de mínimo común denominados.
Cálculo del m.c.m. en monomios y polinomios
170
Adición.
Sustracción.
Multiplicación.
División.
ACTIVIDADES INTEGRALES
A fin de que apliques el conocimiento adquirido, deberás factorizar las siguientes
expresiones algebraicas y simplificar las expresiones algebraicas racionales, entre las
cuales aparecen casos particulares para los binomios y los trinomios. También se
necesita la aplicación de varios procedimientos de factorización para algunas de dichas
expresiones.
Es necesario que, antes de desarrollar un producto notable, factorizar un polinomio o
simplificar una expresión algebraica racional, pongas mucha atención en su estructura
algebraica.
1. Desarrolla los siguientes productos notables:
1.
7 x 11 2
8.
1
3
2. x 4 x 4
2
2
3.
4.
5.
6.
7.
2x 5 y
4
a
y
3
2
2
3 y y
2b
9.
10.
11.
2
3y
ab 5ab 6
x 2 7
12.
13.
14.
171
2m 3 3
m nm n
9 a 5 a
a 2b
2
2
2
5
3
2y 2x2x 2y
a b
3a 8b
x
x
3
3
4
2
II. Factoriza o simplifica, según sea el caso, los siguientes polinomios y expresiones
algebraicas racionales:
9 2 2
1
11.
a x abxy2 b2 y4
1. x 3 4 x 4
4
9
2. m 3 8a 3 x 3
12. 6 x2 6 5 x
3. 36ax 2 21ax 3 30ax 4
2
4. 6 x 18 x
5. c
2
4c 320
6. a 2 a ab b
7. 9n 2 4a 2 12an
8.
2y 2 18 y 40
y 2 25
9. 2xy 6 y zx 3 z
10.
12x 2
2
9x 1
2x
3x
3x 1 3x 1
13. m n xm n
14.
2x2 x 3
•
x2 2x 1
3 x2 5 x 2
x 1
15. 81a6 4b2c8
16.
2
x3 1
x2 x 1
x2 9
x2 2x 3
2
17. 6 x 11ax 10a2
18. x 1 16 x2
2
19. 1 m3
172
AUTOEVALUACIÓN
Con la finalidad de que tengas una orientación en cuanto a las técnicas que se debieron
emplear en la realización de la actividad anterior, revisa y compara tus respuestas; en
caso de que te sea necesario, se clasifican aquí los ejercicios de dicha actividad en
grupos.
1. Productos notables.
- Producto de un binomio con término común: 2, 6 y 10
- Producto de binomios conjugados: 5, 9 y 12.
- Cuadrado de un binomio: 1, y 11.
- Cubo de un binomio: 4, 8 y 13.
- Binomio de Newton: 3, 7 y 11.
II. Factorización.
- Expresiones algebraicas que requirieron la aplicación de un solo tipo de
factorización: números 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 15 y 17.
- Expresiones que se factorizan mediante el empleo de varias técnicas de
factorización: números 3 y 13.
- Casos especiales de binomios y trinomios: números 17 y 18.
- Expresiones algebraicas racionales a simplificar mediante el empleo de varias
técnicas de factorización: números 8, 10, 14 y 16.
173
A continuación presentamos las soluciones de los ejercicios de la citada actividad
integral.
1. Productos notables.
1. 49 x2 154 x 121
3
2. x8 x4
4
4
3. 16 x 160 x3 y 600 x2 y 2 1000 xy 3 625 y 4
4. a 6 6a 4 b 12a 2b 2 8b 3
5. y 4 9 y 2
6. a 2b 2 ab 30
7. x7 14 x6 84 x5 280 x4 560 x3 672x2 448 x 128
8. 8m 3 36m 2 54m 27
9. m 2 n 2
10. a 4 4a 2 45
11. a10 10a 8b 3 40a 6 b 6 80a 4 b 9 80a 2b12 32b15
12. 4 x2 4 y 2
13. a 3 x 3a 2 xb x 3a xb 2 x b 3 x
14. 9a 6 48a 3 b 4 64b 8
II. Factorización.
1. x3 1 4 x
2. m 2ax m2 2amx 4a2 x2
1
3
11. ax by 2
2
3
12. 3 x 22x 3
3.3ax2 2x 34 5 x
13. m n x 1
4.6 x x 3
14.
5. c 20c 16
8.
15. 9a3 2bc 4 9a3 2bc 4
2
16.
2 y 4
x 1 x 1
ó
2
x 1
x 3
x 3
17. 2x 5a3 x 2a
y 5
18. 5 x 11 3 x
9. x 32y Z
10.
2x 3
3x 2
6. a 1 a b
7. 3n 2a
2
19. 1 m m2 m 1
x
3x 1
174
RECAPITULACIÓN GENERAL
La siguiente síntesis te ayudará a que recuerdes lo que estudiaste a lo largo del
fascículo.
OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA
CAPITULO 1
CAPITULO 2
OPERATIVIDAD DEL
LENGUAJE ALGEBRAICO;
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
LENGUAJE ALGEBRAICO:
PRODUCTO NOTABLES,
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN
MONOMIO
OPERACIONES
BÁSICAS
SUMA
SUSTRACCIÓN
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
POLINOMIO
PRODUCTOS
NOTABLES
DE DOS BINOMIOS CON UN
TERMINO COMÚN
DE DOS BINOMIOS
CONJUGADOS
EL CUADRADO DE UN
BINOMIO
EL CUBO DE UN BINOMIO
EL TRIÁNGULO DE PASCAL
EL BINOMIO DE NEWTON
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
175
FACTORIZACIÓN
POR FACTOR COMÚN
POR AGRUPACIÓN DE
TÉRMINOS, DE UN
TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO.
DE UNA DIFERENCIA
DE CUBOS.
DE TRINOMIO DE LAS
FORMAS.
x2 + bx + c
ax2 + bx + c
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
Realiza las siguientes actividades considerando lo que estudiaste en ambos capítulos y si
tienes alguna duda revisa las actividades anteriores.
1. Completa la siguiente tabla:
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
CLASIFICACIÓN POR
EL No. DE TÉRMINOS
GRADO
ABSOLUTO
3 2 5 3
x y z
5
3 xy 2 6 xy 4 x 2
5 3 2 2 2 1 3
xy x y x y
2
3
2
2. Resuelve las siguientes operaciones de expresiones algebraicas.
A ) 2x 2 5 y 3 x 2
B)
3 xy 2 2xy xy 2 2xy
C) 8 x 2 y 5 3 x 3 y 3 x 2 y 5 3 x 3 y 3 7 x 2 y 5
1
1
1
4
1
5
D)
y y2 y2 y y2 y
3
2
4
3
4
3
E) 3m y m 2 5 4m 2y m 6
F)
G)
x
2a b 8a b 6ab
3
y 2 z 6 6 x 2 yz 6 x 2 y
x
y
x
y
2
3
1
1
H) a 2 ab b 2 a b
4
3
4
2
I)
x
a
y b z c 3 xy 2 z 3
1
1
1
J) a m a m 1 a
4
3
2
5
1
1
1
1
K) a2
ab b 2 a b
36
6
2
6
3
176
GRADO CON
RESPECTO A “X”
3. Desarrolla los siguientes productos notables:
1
A ) 2x 3 2x
3
B) y 2 3 y y 2 3 y
C) 2 x 3 y
2
1
2
D) x 2 y 2
5
3
E) n 4
3
F) 4n 3
G) x 3
6
2
3
4. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
A ) 24a 2 xy 2 36 x 2 y 4
B) 16 x 3 y 2 8 x 2 y 24 x 4 y 2
C) x 2 2 x 1
4
b
4
E) a 2 11a 28
D) a 4 a 2 b 2
F) 12m 2 13m 35
G) 30 x 2 13m 10
1 w2
4
25
8
I) y 3
27
J) 8 x 3 125
H)
177
5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas racionales.
A)
3 x 3 12x x 2 y 4 y
x 4 5 x 3 14 x 2
8a 3 27
B)
4a 2 12a 9
a
1
C)
b
ab b 2
D)
x 1
1
1
x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
178
AUTOEVALUACIÓN
Con la finalidad de que puedas comparar las respuestas que obtuviste revisa este
apartado.
1.
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
CLASIF. POR EL
No. DE TÉRMINOS
GRADO
ABSOLUTO
GRADO CON
RESP. A “X”
3 xy 2 6 xy 4 x 2
POLINOMIO
3
1
5 3 2 2 2 1 3
xy x y x y
3
3
2
TRINOMIO
4
3
2.
3 2 5 3
x y z
5
MONOMIO
A) 5 x 2 5 y
B) 4 xy 2 4 xy
C) 6 x 3 y 3
D) 0
E) 5m y 1
F ) 36 x 7 y 4 z 7
G) 16a 2 x b 2 y 12a x 1b y 1
1 3 5 2
5
H)
a a b ab 2 b 3
16
8
3
1
I) x a 1y b 2 z c 3
3
2 m 1 1 m 2
J)
a
a
3
2
1
1
K)
a b
2
3
179
10
2
3.
16
x1
3
B) y 4 9 y 2
A) 4 x 2
C) 4 x 2 12xy 9 y 2
D)
4 4
4x2
1
x
2
25
15 y
9y 4
E) n 3 12n 2 48n 64
F) 64n 3 144n 2 108n 27
G) x 6 18 x 5 135 x 4 540 x 3 1215 x 2 1458 x 729
4.
A ) 12xy 2 2a 2 3 xy 2
B) 8 x 2 y 2xy 1 3 x 2 y
C) x 1
2
b2
D) a 2
2
2
E) a 7 a 4
F ) 3m 7 4m 5
G) 6 x 5 5 x 2
1 w 1 w
H)
2
5 2
5
2
2
4
I) y y 2 y
3
3
9
J) 2x 5 4 x 2 10 x 25
180
5.
A)
x 23 x y
x 2 x 7
4a 2 6a 9
2a 3
1
C)
ab
x5
D)
x 1 x 3
B)
181
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
Con la finalidad de que apliques los conocimientos adquiridos realiza las siguientes
actividades:
1) Visita el Museo UNIVERSUM y observa la relación y el uso del lenguaje
algebraico y de las expresiones algebraicas con otras asignaturas tales como:
Física, Química, Economía, etc.
Registra y sistematiza tus observaciones, puedes apoyarte en los siguientes
lineamientos.
Investiga donde esta ubicada la sala de matemáticas y anota las
explicaciones sobre el tema estudiado.
Busca en otras salas tal como (física, Química, etc.) y has un listado de
como utilizan las expresiones algebraicas para plantear problemas de la vida
cotidiana.
182
GLOSARIO
En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo.
Coeficiente:
Factor numérico de un término algebraico que indica cuantas veces
se toman como sumando, la parte literal. Cuando no aparece
escrito se le considera igual a la unidad.
Exponente:
Es un número real o una variable que se coloca arriba y a la
derecha de una base conforma por una cantidad o una variable.
El valor del exponente indica las veces se va a multiplicar la
base por sí misma.
Grado de un Término: Es el valor numérico de las suma de los exponentes que se
encuentran en las variables del término.
Lenguaje Algebraico: Es el modo de expresar o indicar en forma verbal o escrita
compuestas por números y las letras operaciones.
Parte Literal:
Es el conjunto de letras y exponentes que van precedidas del
coeficiente y que pertenecen al término algebraico.
Término Algebraico:
Es la representación simbólica de un valor usando símbolos
algebraicos que no se encuentran separados entre sí por un
signo (+) o un signo (-).
Término
Son aquellos que conservan idéntica su parte
manifestándose la única variación en el coeficiente.
semejante:
183
literal
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
BALDOR A.: Álgebra elemental. Ediciones y Distribuciones Códice, Madrid, 1974.
BARNETT, S. A., y Nolasco: Álgebra elemental estructurada y aplicaciones, 2a. Ed..
McGraw-Hill, México.
BRITTON Y BELLO: Matemáticas contemporáneas.
DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Cultural, México, 1967.
GOBRAN, Alfonse: Álgebra. Iberoamericana, México, 1986.
DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Culturales, México, 1967.
PERELMAN Y.: El divertido juego de las Matemáticas. Círculo de lectores, Ediciones
Martínez Roca, Barcelona, 1968.
PHILLIPS et al.: Álgebra con aplicaciones. Haria, México, 1983.
REES P. K et al.: Álgebra. McGraw-Hill, México, 1980.
184
COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 3. ECUACIONES: MODELOS
GENERALIZADORES
Autores: Jorge Luis Alaníz Miranda
Fernando Castillo Beltrán
Guillermo Coronel Ortega
Juan Matus Parra
Roberto Rodríguez Maciel
Javier Darío Cruz Ortiz
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
5
CAPÍTULO 1. MODELOS GENERALIZADORES:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
7
PROPÓSITO
9
1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
12
1.1.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE DAN
LUGAR A UNA ECUACIÓN DE PRIMER
GRADO CON UNA INCÓGNITA
12
1.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO CON UNA INCÓGNITA POR EL
MÉTODO ALGEBRAICO
20
1.1.3 SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA
27
1.1.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN
LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE UNA
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA
41
RECAPITULACIÓN
51
ACTIVIDADES INTEGRALES
52
3
AUTOEVALUACIÓN
CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
53
55
PROPÓSITO
57
2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
60
2.1.1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN
LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE UN
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
60
2.1.2 MÉTODO GRÁFICO
60
2.1.3 MÉTODO ANALÍTICO
A) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUMA Y
RESTA
B) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR
SUSTITUCIÓN
C) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR
IGUALACIÓN
D) MÉTODO POR DETERMINANTES
75
76
80
84
88
RECAPITULACIÓN
113
ACTIVIDADES INTEGRALES
114
AUTOEVALUACIÓN
116
RECAPITULACIÓN GENERAL
121
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
122
AUTOEVALUACIÓN
124
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
129
GLOSARIO
130
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
131
4
INTRODUCCIÓN
Una de las preocupaciones más antiguas que el hombre ha tenido, es buscar
procedimientos más sencillos que simplifiquen y faciliten la resolución de problemas
matemáticos. El álgebra en este renglón ha hecho enormes aportes que han permitido la
evolución y progreso de la Ciencia Matemática.
Con la aplicación de las ecuaciones de primer grado se resuelven problemas aritméticos,
geométricos, trigonométricos, físicos, etc., y en otras áreas de conocimiento como la
química, la biología, física entre otras.
También podemos considerarla en nuestra vida cotidiana y por ello es necesario
aprender a interpretar, construir y operar con modelos algebraicos, por ejemplo, con
frecuencia encontramos diversos modelos de prendas de vestir, de relojes, de
comportamientos humanos, etc. De igual manera, el razonamiento nos permite
representar, mediante modelos matemáticos aquellas situaciones problemáticas que
para su solución requieren la relación de proposiciones.
El saber establecer el modelo algebraico adecuado para solucionar un problema. En
muchos casos, nos enfrentamos a problemas en los cuales desconocemos los datos que
están relacionados y el encontrarlos es básico para tomar una decisión. Estos problemas
pueden dar lugar a una ecuación lineal o a un sistema de ecuaciones, en el que plantean
dos modelos algebraicos que se resuelven simultáneamente, a través de diversos
métodos.
Para este fascículo estudiaremos los planteamientos de problemas que dan lugar a
modelos generalizadores (ecuaciones lineales), así como los modelos algebraicos para la
solución de problemas. El siguiente esquema te ubicará en la relación que tiene cada uno
de los temas que estudiarás:
5
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
PLANTEAMIENTOS DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A
UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA (MÉTODO
ALGEBRAICO)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
DE PRIMER GRADO Y SU
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
6
CAPÍTULO 1
MODELOS GENERALIZADORES: ECUACIONES
DE PRIMER GRADO
1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
1.1.1 Planteamiento de problemas que dan lugar a una Ecuación de Primer
Grado con una Incógnita.
1.1.2 Solución de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita por el
Método Algebraico.
1.1.3 Solución de Ecuaciones de Primer Grado y su Interpretación Gráfica.
1.1.4 Solución de Problemas que dan lugar al Planteamiento de una Ecuación
de Primer Grado con una Incógnita.
7
8
PROPÓSITO
Con el estudio de este capítulo integrarás y aplicarás los conocimientos adquiridos en los
temas anteriores:
¿QUÉ APRENDERÁS?
Lograrás desarrollar la observación y el espíritu crítico
que debes tener para el planteamiento y resolución
de problemas matemáticos, problemas de otras
ciencias que requieren de modelos matemáticos y
problemas que se te presentan en tu vida cotidiana.
¿CÓMO LO LOGRARÁS?
Estudiando situaciones de la vida real que generan
problemas que requieren el planteamiento de
ecuaciones de primer grado y su solución, a través de
la identificación de los elementos fundamentales de
estos problemas y traduciéndolos al lenguaje
algebraico.
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Con la solución de ecuaciones de primer grado, nos
permitirá aplicar en diferentes problemas aritméticos,
geométricos, trigonométricos físicos, etc., y conocer
el valor de sus variables.
9
10
CAPITULO 1
MODELOS GENERALIZADORES: ECUACIONES DE
PRIMER GRADO
En los fascículos anteriores estudiamos tanto el concepto como la operación de números
reales con lo que logramos pasar de la Aritmética al Álgebra y llegar al conocimiento de
sus elementos, simbología, nomenclatura y operaciones.
Ahora nuestro objetivo es plantear y solucionar problemas que conduzcan a una
ecuación de primer grado, y que pueden presentarse en la vida real.
Con frecuencia hemos escuchado decir a algunas personas: “Tengo muchos problemas.
Ya no sé que hacer para salir de esto”. Y sucede que cuando nos plantean su problema
en ocaciones es más fácil encontrar una solución. Esto sucede porque podemos analizar
el problema observando los factores que intervienen.
Por ejemplo el siguiente problema: Dos atletas Juan y Carlos corren en una pista; si Juan
hizo un tiempo de “x” y Carlos hizo 5 minutos menos que Juan. ¿Qué tiempo hizo cada
uno?, si la suma de ambos tiempos es de 40 minutos.
PREGUNTAS:
¿Reconoces las variables e incógnitas?
¿Como sería el modelo matemático para el problema planteado?
A través del análisis y la relación de las actividades que contiene este fascículo podrás
resolver estas preguntas.
11
1.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Con el estudio de este fascículo lograrás integrar los conocimientos adquiridos en los
temas anteriores, analizarás problemas que conduzcan al planteamiento de una ecuación
de primer grado conjugando los aspectos algebraicos y geométricos, con el fin de
conocer los métodos de solución (algebraico y gráfico).
Recordarás que una ecuación es un tipo de igualdad que se satisface únicamente para
ciertos valores.
Por pertenecer a las igualdades contiene dos miembros separados por un signo igual.
PRIMER MIEMBRO
=
SEGUNDO MIEMBRO
Los diferentes valores que forman cada uno de los miembros se llaman términos y se
encuentran separados por signos ( + ) más o ( - ) menos. Cada miembro puede tener
más de un término.
Las letras que figuran en la ecuación, y de cuyo valor depende que se cumpla con la
igualdad, se llaman incógnitas.
Por ejemplo: 3x 2 x 6
ECUACIÓN
3x 2 x 6
x4
5
3
2x 3a 4 a
INCÓGNITAS
PRIMER MIEMBRO
SEGUNDO MIEMBRO
x
3x 2
x6
x
x4
3
5
x
2x 3a
4a
1.1.1 PLANTEAMIENTOS DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UNA ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
En este subtema se establece en primer lugar una comparación de los diferentes
modelos que existen para representar situaciones o fenómenos y cómo en matemáticas
también hay modelos que se expresan por medio de proposiciones lógicas y después se
transforman en ecuaciones.
12
Por ejemplo:
Las compañías fraccionadoras construyen una casa modelo para que los
compradores la vean y conozcan el tipo de casa que ofrecen. Ésta representa a
todas las que de ese tipo se construirán en el fraccionamiento propuesto (figura 1).
Figura 1.
Así mismo, las compañías distribuidoras de automóviles exhiben uno que es el
modelo del año, y que representa a todos los automóviles de una marca y clase
(figura 2) que se construyeron en ese año.
Figura 2.
El sentido de la palabra “modelo” en estos ejemplos, es muy distinto al sentido que se le da en matemáticas o en la frase
”modelos matemáticos” o “modelos algebraicos”.
13
En matemáticas también hay modelos que representan diferentes situaciones o
fenómenos; estos modelos primero se expresan por medio de proposiciones lógicas y
después se transforman en ecuaciones. Veamos el siguiente ejemplo:
Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor A hizo un
tiempo “x” al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el doble del tiempo del
corredor A , menos 5 minutos, ¿qué tiempo hizo cada uno, si la suma de los tiempos es
de 40 minutos.
Proposiciones del problema:
Si el tiempo del corredor A es “x”, entonces, el tiempo del corredor B es 2x - 5, y
como la suma de los dos tiempos es 40 minutos, la relación de las proposiciones se
puede expresar así:
x + (2x - 5) = 40
que es el modelo matemático del problema propuesto.
La ecuación de primer grado con una incógnita es el modelo matemático que se obtiene
al transformar una proposición lógica en una simbólica.
Ahora analiza los problemas que se plantean a continuación y compáralos con el anterior.
1. La edad de Pedro y la de su primo suman 40 años. Si Alberto tiene el doble de la edad
de Pedro, menos 5 años, ¿qué edad tiene cada uno?
2. Para obtener 40 litros de una solución normal se mezclan dos soluciones de diferente
concentración. Si el número de litros de la solución A es el doble de litros de la solución
B, menos cinco litros, ¿cuántos litros se requieren de cada solución?
3. A dos familias se les repartió azúcar de un bulto de 40 kg. Si la familia B recibió el
doble de kilogramos que recibió la familia A, menos 5 kg., ¿cuánto recibió cada familia?
4. El número de tornillos que producen dos obreros en una fábrica es de 40 por turno. Si
el obrero B produce el doble de tornillos que produce el obrero A, menos cinco, ¿cuántos
tornillos produce cada uno?
Después de analizar y comparar los problemas ¿qué similitud encuentras entre ellos?
¿responden al modelo matemático que se obtuvo del primer problema?
En efecto, un modelo matemático puede representar a un conjunto de proposiciones
lógicas que describen problemas diferentes. Observa que en estos problemas se tienen
dos incógnitas o valores desconocidos, cuyo valor se quiere conocer. Estas incógnitas
están relacionadas de tal manera que una se puede expresar en términos de la otra.
14
Hay ocasiones en que “no es obvio” como expresar una incógnita en términos de “otra”,
por lo que es necesario usar otra letra para representar a esta incógnita, dando lugar a un
sistema de ecuaciones con dos incógnitas y no a una sola ecuación. Por otra parte, hay
problemas que pueden presentar más de dos incógnitas.
EJEMPLO:
Tres obreros producen 100 piezas por turno. Si el obrero B produce el doble de piezas
que el obrero A, menos cinco, y el obrero C produce dos tercios de lo que produce el
obrero B ¿cuántas piezas produce cada uno?
Las incógnitas son:
Número de piezas que produce A: x
Número de piezas que produce B: 2x 5
2(2x 5)
Número de piezas que produce C:
3
Como entre los tres obreros producen 100 piezas, debe entenderse que su suma es 100:
x ( 2x 5)
2(2x 5)
100
3
y esta expresión matemática es el modelo matemático del problema.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
A continuación te presentamos algunos modelos matemáticos, pero al contrario de lo que
hemos expuesto hasta aquí, invertimos el procedimiento para que propongas por lo
menos dos problemas que satisfagan cada uno de los siguientes modelos:
1. 2x 3 5
6. 3y 4 9 5
2. 5x 2 12
7. 5x (x 1) 24
3. x (3x 1) 17
8. 4 z
4. 2x (2x 1) 11
5. x 3(5x 2) 22
2
( z 2) 14
5
x x
9. 2x 100
2 3
10.
x1 x1 x1
17
2
3
9
15
Nuevamente, si analizas los problemas que se listaron en los ejemplos anteriores y los
comparas con los ejercicios que acabas de realizar , notarás que los primeros problemas
están planteados en lenguaje cotidiano y los ejercicios en lenguaje algebraico o
simbólico, Más aún, para lograr la transformación de lenguaje común a lenguaje
algebraico se observa en general el siguiente procedimiento:
PROCEDIMIENTO:
a) Leer detenidamente el problema, a fin de reflexionar sobre la información dada y
entender qué es lo que se desea obtener.
b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades
desconocidas o por conocer), así como las relaciones entre ellos, datos e
incógnitas.
c) Separar cada una de las partes del problema, nombrando a la o a las incógnitas.
Si es una incógnita representarla con una de las últimas letras del alfabeto (u, v,
w, x, y, z). En caso de que sean dos o más incógnitas considerar una de ellas
como referencia y las demás se representan con la misma letra relacionándola
con los datos correspondientes.
d) De acuerdo con las condiciones del problema, se expresa la igualdad
correspondiente, que es el modelo matemático requerido. A este modelo
matemático, en estos casos, se le conoce como ecuación de primer grado con
una incógnita.
Para reafirmar este procedimiento se desarrollan los siguientes ejemplos :
1) La suma de tres números enteros consecutivos es 75. Obtener dichos números.
PROCEDIMIENTO:
¿ Qué se desea conocer del problema?
a) Ya que leímos detenidamente el problema, se concluye que se desea conocer tres
números.
¿Qué datos nos proporciona el problema ?
b) Los datos son:
-que se tienen tres números enteros
-que son consecutivos
-que suman 75
-las incógnitas son los números consecutivos
Nota:
En éste como en otros casos, es conveniente recordar o investigar los conceptos
que se requieren
16
En general, un número consecutivo “es el que sigue en el orden considerado”. Para el
problema se requiere de un “número entero consecutivo”; entonces se trata de números
consecutivos cuya diferencia entre dos contiguos es de uno.
¿Cómo se establece el modelo?
c) Se nombran y representan; en este problema, incógnitas; y se determina a la
expresión algebraica de cada una de ellas.
Nombre de las incógnitas
Representación algebraica
Número menor
x
Número intermedio
x+1
Número mayor
x+2
(Recuerda el concepto de número consecutivo)
¿Cómo se determina el modelo algebraico?
d) Se expresa la igualdad.
La suma de los tres números enteros consecutivos es 75.
x ( x 1) ( x 2) 75
2) La edad de Juan es el triple de la de Pedro y hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan. Obtener las edades actuales de Juan y de Pedro.
a) Se lee detenidamente el problema. Se requiere calcular la edad de las dos personas.
b) Datos. La edad de Juan es el triple de la de Pedro. Hace cinco años la edad de Pedro
era un quinto de la de Juan.
c) Incógnitas. Edad actual de Pedro y Juan.
Nombre de las incógnitas
Representación algebraica
Edad actual de Pedro
Edad actual de Juan
Edad de Pedro hace 5 años
Edad de Juan hace 5 años
x
3x
x-5
3x -5
d) Se expresa la igualdad correspondiente. Hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan.
x5
( 3 x 5)
5
17
Analiza nuevamente los ejemplos y responde estas preguntas:
a) En el primer ejemplo se consideró como referencia el número menor, la pregunta es:
¿se pueden considerar como referencia las otras dos? ¿Cómo expresar cada una de
estas incógnitas?
b) Con base en lo anterior, ¿las siguientes expresiones son equivalentes?
“x” es una unidad mayor que “y”,
“y” es una unidad menor que "x”.
c) Si la expresión “hace cinco años” se le consideró como “sustraendo a 5”, ¿cómo se
considerar la expresión “dentro de cinco”.
d) Estos son ejemplos sencillos de dos expresiones equivalentes, expresiones como las
anteriores son las que se deben saber interpretar para transformarlas a lenguaje
algebraico.
Analiza este otro ejemplo:
3. Dos vendedores, A y B, se encuentran en diferentes ciudades. Por razones de trabajo
deben encontrarse en una ciudad que está entre las dos ciudades. ¿Dónde está A y
dónde está B? Las tres ciudades se localizan en una línea recta.
La distancia que separa a los vendedores y que deben recorrer en automóvil es de 640
km. Si A viaja a 70 km/h y B a 90 km/h, ¿a qué distancia de la ciudad de A se encuentra
la ciudad donde deben entrevistarse?, ¿cuánto tiempo tarda cada vendedor para llegar a
su destino?
a) En este caso , se considera que deben utilizarse: d = vt; que es la expresión
algebraica (fórmula) de distancia en movimiento uniforme. Se desea saber cuál es la
distancia.
b) Datos
-velocidad del automóvil de A: 70 km/h
-velocidad del automóvil de B: 90 km/h
-distancia entre las dos ciudades de donde parten A y B: 640 km
-incógnitas. Distancia de donde parte A a la ciudad de encuentro; tiempo empleado por
cada vendedor para llegar a la misma ciudad.
c) Incógnitas
-tiempo empleado por A para llegar a la ciudad: x
-tiempo empleado por B para llegar a la ciudad: x
-distancia recorrida por A : 70x
-distancia recorrida por B: 90x.
18
d) Por las condiciones del problema:
70x + 90x = 640
Ahora
a) En este caso, ¿del modelo propuesto se obtiene directamente la distancia requerida?
b) Entonces, ¿qué es lo que obtienes del modelo?
c) Si ya determinaste que obtendrías del modelo propuesto, ¿ahora que harías para
calcular la distancia recorrida?
En caso necesario consulta a tu asesor de contenido
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Expresa el modelo matemático o ecuación de primer grado de los siguientes problemas,
y compara tus resultados con las soluciones que te proporcionamos a continuación de
dichos problemas.
1. La suma de tres números enteros consecutivos suman 81. ¿Cuáles son esos
números?
2. Tres números enteros pares consecutivos suman 114. Obtener esos números.
3. La edad de Raúl es de dos tercios la edad de su padre. Si la suma de las dos edades
es 110, calcula la edad de cada uno.
4. Hace 5 años la edad de Juan era la mitad de la que tendrá dentro de 7 años. ¿Cuál es
su edad actual?
5. ¿Hace cuánto tiempo la edad de Benito era el triple de la de Daniel? Si actualmente
Benito tiene 50 años y Daniel 24.
6. Si debes pagar $75.00 de una compra que haces en un almacén y tienes 27 monedas
de $1.00 y $5.00 respectivamente ¿cuántas monedas deberás pagar de $1.00 y de
$5.00?
7. Un camión regular parte de A hacia B con una velocidad de 80 km/h. El expreso parte
de A hacia B también, con una velocidad de 100 km/h. ¿En cuántas horas alcanzará
el expreso al regular y a qué distancia, si el segundo parte una hora antes?
19
Respuestas
1) x ( x 1) ( x 2) 81
2) 2x (2x 2) (2x 4) 114
2
x x 110
3)
3
x7
4) x 5
2
5) 50 x 3(24 x)
6) x+5(27-x)=75
7) 80( x 1) 100x
1.1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA POR
EL MÉTODO ALGEBRAICO
En el tema anterior aprendiste a obtener los modelos matemáticos de problemas
propuestos, ahora es conveniente resolver dichos modelos para obtener la solución de
problemas.
A los modelos matemáticos que se obtuvieron en los problemas planteados, se les
conoce con el nombre de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Una ecuación de la forma 3x 5 19 es una igualdad cuyos elementos son:
3x primer miembro
5 = 19
signo igual
segundo miembro
Cualquiera de sus miembros puede tener más de un término.
La ecuación de primer grado es una igualdad, toda vez que cada miembro está separado
por el signo igual (=).
Ahora bien, hallar el valor que hace verdadera a una ecuación de primer grado con una
incognita, es obtener la raíz de la ecuación o el conjunto solución de la misma. Para ello
es necesario aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de campo de los
números reales. ¿Las recuerdas?
20
Propiedades de la igualdad
Sean a, b, c
FR
1. PROPIEDAD REFLEXIVA a = a
(PRI)
2. PROPIEDAD SIMÉTRICA si a = b
entonces b = a
(PSI)
3. PROPIEDAD TRANSITIVA si a = b y
b=c
entonces a = c
(PTI)
4. PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE LA SUMA si a = b
entonces a + c = b + c
(PIS)
5. PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN (PIM)
O PRODUCTO
si a = b entonces a * c = b * c
Propiedades de los números reales
Sean a, b, c F
R
1. PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA
a+b=b+a
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
(PRODUCTO) ab = ba
2. PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA
a + (b + c) = (a + b) + c
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
(PRODUCTO) a (bc) = (ab) c
(PCS)
(PCM)
(PAS)
(PAM)
3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a (b+c) = ab + ac
(PD)
4. ELEMENTO NEUTRO ADITIVO
a+0=a
(ENA)
ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO
a1=1
5. ELEMENTO INVERSO ADITIVO
a + (-a) = 0
ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO
(1/a) (a) = 1
(a-1) (a) = 1
21
(ENM)
(EIA)
(EIM)
Observa las iniciales a la derecha de cada una de las propiedades enumeradas. Estas
son las que se anotarán a la derecha de la ecuación para resolver según se vaya
aplicando cada propiedad.
Ecuaciones equivalentes: Es cuando dos o más ecuaciones admiten las mismas
soluciones
EJEMPLO:
Observa los siguientes ejemplos:
1.
(PIS)
(EIA)
(ENA)
(PIS)
(EIA) y reducción de términos semejantes
(ENA)
(PIM)
3x 8 4x 6
3x 8 (8) 4x 6 (8)
3x 0 4x 2
3x 4x 2
3x (4x) 4x (4x) 2
x 0 2
(x)(1) (2)(1)
x2
2.
reducción de términos semejantes
(PIS)
(EIA)
(ENA)
(PIS)
14y 5 6y 3y
8y 5 3y
8y 5 5 3y 5
8y 0 3y 5
8y 3y 5
(EIA)
(ENA)
(PIM)
8y (3y) 3y (3y) 5
5y 0 5
5y 5
1
1
( )5 y ( )(5)
5
5
y 1
(EIM)
22
3.
3x
3x
35 100
4
5
Convertir la siguiente ecuación a una equivalente
pero entera, multiplicando ambos lados por el
mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los
denominadores 4 y 5 que es el 20.
3
3
20 x 35 100 x 20
4
5
15x 700 2000 12x
15x 12x 700 2000 12x 12x
27x 700 2000 0
27x 700 2000
27x 700 700 2000 700
27x 0 2700
27x 2700
1
1
(27 x) 2700( )
27
27
x 100
(PIM)
(PD)
(PIS) y reducción de términos semejantes
(EIA)
(ENA)
(PIS)
(EIA)
(ENA)
(PIM)
(EIM)
4. 2(6 9x) (5 3x) 0
12 18x 5 3x 0
18x 3x 12 5 0
21x 7 0
21x 7 (7) 0 (7)
21x 0 0 (7)
21x 7
(PDA)
(PCS)
(PC) reducción de términos semejantes
(PIS)
(EIA)
(ENA)
(PIM)
(EIM)
( 21x)( 7) 1 ( 7)( 7) 1
(PIM)
(EIM)
3x 1
3 x(3)
1
(1)(3)
1
x
3
1
Hasta el momento, con la observación y el análisis que has hecho de los ejemplos;
has podido comprender la solución de este tipo de ecuaciones. Sin embargo,
pueden presentarse ecuaciones en las cuales intervienen más de una literal,
dichas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones literales o fórmulas.
23
Ecuaciones literales son aquellas en las que los coeficientes y términos independientes
se representan con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d,...). Ejemplo:
Fórmula es la expresión de una ley o principio general por medio de símbolos o letras.
Dichas expresiones algebraicas o fórmulas son resultados del conocimiento en sus
diferentes áreas: Física, Química, Economía, Geometría, etc. Ejemplos: d = vt, A = bh/2.
Tanto las ecuaciones literales como las fórmulas se pueden resolver en la misma forma
ejemplificada anteriormente.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios considerando las propiedades de la igualdad y de los
números reales.
a) Sea
2a y 1
resolver para y
y 2a a
2a y 1
,
y 2a a
(PIM) a( y 2a)
a( y 2a)(2a y) 1
a( y 2a),
y 2a
a
a(2a y) y 2a,
(PD)
2a 2 ay y 2a,
(PIS)
(ENM)
2a 2 ( 2a 2 ) ay y 2a ( 2a 2 ),
0 ay y 2a 2a 2 ,
ay y 2a 2a 2 ,
(EIA)
(ENA)
(PSI)
ay ( y) y ( y) 2a 2a 2 ,
(EIA)
ay ( y) 0 2a 2a 2 , Se factoriza el 1er miembro
y( a 1) 2a 2a 2 ,
(PIM)
y( a 1)( a 1) 1 ( 2a 2a 2 )( a 1) 1 (EIM)
y
2a 2a 2
a 1
y
2a 2 2a
1 a
(Se cambian signos de los terminos)
24
b) Sea M
L 25
(
1) resolver para f:
F f
M
FM
FL 25
(
1)
F f
FM L(
FM
L 25
1
F f
(ENM)
25
1)
f
(PD)
25L
L
f
FM ( L)
(PIM)
(PIS)
25L
L ( L)
f
(EIA)
FM L
25L
0
f
(ENA)
FM L
25L
f
(PIM)
f (FM L)
25L
f
f
f(FM L) 25L
f (FM L)
25L
(FM L) (FM L)
f
(ENM)
(PIM)
(ENM)
25L
(FM L)
Para hallar la solución de la ecuación por el método algebraico se aplican las
propiedades de campo y las de la igualdad para dejar la incógnita en un solo miembro y
con coeficiente igual a la unidad.
25
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Una vez que hallas comprendido estos procedimientos , procura considerarlos en la
solución de los siguientes ejercicios.
I. Aplicando las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad resuelve
las siguientes ecuaciones:
1. 5x 2 3x 10
2. 2x 3 7x 6x 2x 12
3. 5( x 2) 6 3( x 8) 2
4. 6 7(2x 4) x 2(5x 3)
5. 7( x 2) 4( x 4) 6 0
6. 4(3z 5) 5z 3 5(z 1) 8
7.
x 1 x 1 x 2
4 2 2 3 6 3
x x 1
2 1
2
8. 2 3
0
8 4
9 18 2 3
9.
4 z z 25 z
1 1
9
8 72
6 18 8
10. 2(6x 32) 32(x 1) 92x 0
11. 2( x 6) (32x 5) 2x 5 0
II. Aplicando las fórmulas o expresiones algebraicas propuestas, resuelve o despeja la
variable que se propone
1. v
bh
, resolver para h
3
2. p
w
, resolver para t
t
26
3. s vt
at
, resolver para t
2
4. L 2 L 1(1 t), resolver para t
5. v
1
(E1 E 2 ), resolver para c
hc
6. p
fv
, resolver para v y s
vs
7.
s
Lr a
, resolver para r.
r 1
¿Qué es un plano cartesiano?
1.1.3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y SU INTERPRETACIÓN
GRÁFICA
Hasta aquí has aprendido a obtener la solución de una ecuación de primer grado con una
incógnita aplicando las propiedades de campo y de la igualdad. Sin embargo, existe otro
método que se conoce como método gráfico que consiste en la representación gráfica de
una ecuación de primer grado con dos incógnitas en el plano cartesiano.
Conviene recordar en qué consiste el plano cartesiano y después obtener la gráfica
correspondiente.
En la primera unidad se estudió el conjunto de lo números reales y su correspondiente
recta real, en la que cada punto de esta le corresponde un número real y sólo uno.
El plano cartesiano es aquel que contienen dos rectas numéricas perpendiculares
(forman ángulos de 90°) que se intersectan en un punto llamado origen, considerando
horizontal una de las rectas y consecuentemente vertical a la otra, a los valores
considerados sobre la recta (o eje) horizontal se les llama abscisas y en general se les
representa con “x”. Del origen a la derecha los valores son positivos y del origen a la
izquierda, negativos. A los valores considerados sobre la recta (o eje) vertical se les llama
ordenadas y en general se representan con “y”. Del origen hacia arriba los valores son
positivos y del origen hacia abajo, negativos. Al par de valores (x, y), en este orden, se
les llama coordenadas. Dichas coordenadas sirven para ubicar o localizar puntos sobre el
plano cartesiano. Por lo tanto, un punto cualquiera ubicado en el plano cartesiano es la
representación geométrica de un par ordenado P(x,y).
Por último, las rectas mencionadas generan en el plano cuatro regiones llamadas
cuadrantes. A partir de la región comprendida entre las dos semirectas de valores
positivos se numeran los cuadrantes en sentido contrario a las manecillas del reloj.
27
En la gráfica 1 se tienen dos rectas perpendiculares que se cortan a 90° ; a la recta
horizontal se le llama eje se las abscisas (xx’) y a la recta vertical se le llama eje de las
ordenadas (yy’) .
y
_
_
II
I
_
x’
I
I
I
I
_
_
I
I
I
I
x
_
_
III
IV
_
Gráfica 1
y’
Un punto del plano cartesiano se localiza ubicado sobre los ejes xx’, yy’ los puntos
correspondientes a los valores ordenados dados (x, y). Según la Gráfica 1, ¿dónde
localizas el punto (2,3)? Recuerda que el primer número siempre representa a las
abscisas.
Para localizar un punto en el plano cartesiano a partir de un par de valores, por ejemplo
(3,4), se localiza la abscisa 3 y la ordenada 4, y se trazan líneas paralelas a cada uno de
los ejes; la intersección de éstas es el punto P(3, 4), como muestra la Gráfica 2.
y
y’
4
.3
2
1
x’
I
-4
I
-3
I
-2
I
-1
-1
-2
-3
Gráfica 2
-4
_
_
_
_
_
_
_
_
_
y’
28
P(3,4)
I
1
I
2
I
3
I
4
x
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza los ejercicios considerando lo que ya revisaste.
A) De acuerdo con lo propuesto y a las figuras que se muestran:
a) ¿Cuál es el signo de las abscisas y de las ordenadas en el primer cuadrante?
b) ¿Y en el resto de los cuadrantes?
c) Expresa los signos de esas coordenadas en un paréntesis.
Ejemplo: cuadrante I (+, +).
B) En el plano cartesiano localiza los puntos:
1. A(2, 6)
6. F(2, -2)
2. B(-3, 4)
7. G(3,-1)
3. C(-2, -7)
8. H(4, 0)
4. D(0, -4)
9. I(5, 1)
5. E(1, -3)
10. J(6, 2)
29
Como una forma de verificar lo que has aprendido cómo localizar los puntos en el plano
cartesiano, dados sus pares de valores reales ordenados correspondientes, debiste
obtener la siguiente gráfica.
y
7
A
6
5
B
4
3
J
2
I
1
x’
H
0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
1
2
-2
3
G
4
x
5
6
7
F
-3
E
-4
D
-5
-6
-7
C
y’
Gráfica 3
En ella se puede observar que los pares de valores de los ejercicios 4 al 10 se
encuentran ubicados en línea recta. Observa atentamente el punto H(4, 0).
Ahora veamos como sería su análisis.
De la correspondencia (x, y)
ordenados:
(4, 0) se obtienen dos ecuaciones de estos valores
x=4
(1)
y=0
(2)
La ecuación 1 se iguala a 0, resultando de esta manera una tercera ecuación :
x - 4 =0
(3)
30
Aplicando la PTI a las ecuaciones 2 y 3 obtenemos una cuarta ecuación:
(4)
yx4
Retomando estos datos resuelve la ecuación siguiente:
(5)
2x 5 3
donde “x” se sustituye por el valor de la ecuación 1.
Aplicando las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad el resultado
es:
(6)
x4
En esta última ecuación nuevamente se iguala a cero y se obtiene:
(7)
x40
y aplicando la PTI a las ecuaciones 2 y 7 se tiene:
(8)
y x4
Observa que es la misma que (4), y que por lo tanto la solución gráfica de la ecuación
2x 5 3 es x 4 y que corresponde al punto (4,0)
Ahora hagamos un paréntesis para recordar:
Si a R, entonces: a < 0, a = 0, o a > 0
Si a = x, entonces: x R, y x < 0, x = 0, ó x > 0
Por último se puede interpretar que sobre el eje horizontal de las abscisas los valores de
“x” pueden ser “varios” o “pueden variar”, y por lo tanto, se puede proponer que “x” es
una “variable”.
Con base en lo anterior y conociendo el cálculo numérico de expresiones algebraicas, si
asignamos valores a “x” se pueden obtener los valores de “y” en y = x - 4.
Observa la tabla siguiente:
x
PUNTOS
0
1
2
3
4
5
6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
D
E
F
G
H
I
J
31
De este modo, si a la variable “x” se le asignan valores se obtiene la correspondiente a
“y” a través de una función con dos literales, a la primera le llamaremos variable
independiente (x) y a la segunda variable dependiente (y).
Localizar la posición de un punto en el sistema cartesiano resulta sencillo, pues bastará
con encontrar, sobre los ejes respectivos, los valores que corresponden a las abscisas y
a las ordenadas, para trazar desde esos puntos rectas perpendiculares a cada eje. El
punto de intersección de las rectas, así trazadas nos definen la posición del punto
propuesto.
¿Que podemos concluir de lo antes expuesto?
Nuestra conclusión es que la ecuación de primer grado se puede graficar en el plano
cartesiano y su figura es una línea recta; la solución en esa gráfica se obtiene en la
abscisa “x” del punto de intersección de la recta con el eje horizontal. Así mismo, que a la
“x” se le da el nombre de variable independiente por los valores que se le pueden asignar
dentro de los reales y que la variable dependiente corresponde a “y”, puesto que su
valor se determina por los valores de “x”.
32
Ejemplo:
Observa la siguiente ecuación
x 2 3x
1
2 3
4
12
x 2 3x
1
,
2 3
4
12
PIS
x 2 3x 3x 3x
1
2 3
4
4
4
12
x 2 3x
1
0
2 3
4
12
x 2 3x
1
2 3
4
12
EIA
(ENA)
(PIM)
12(
x 2 3x
1
) 12( )
2 3
4
12
12(
x 2 3x
) 1,
2 3
4
12x 24 36x
1
2
3
4
3x
4
(EIM)
PD
(se realizan los cocientes)
6x 8 9x 1
(se reducen términos semejantes)
3x 8 1
(PIS)
3x 8 8 1 8
(EIA)
3x 0 1 8
(ENA)
3x 9
(PIM)
( 3 x)( 3) 1 9( 3) 1
(EIM)
x 3
33
Ahora comprobar gráficamente la misma ecuación:
y
5
4
3
2
(E)
(D)
1
(C)
x´
-5
-4 -3
(B)
-2
-1
0
1
-1
2
3
4
5
x
-2
(A)
y´
Gráfica 4
1) De la solución x 3 se tiene x 3 0 por lo planteado anteriormente, y x 3.
2) Se construye la tabla de valores:
x
y = x+3
-5
-2
-4
-1
-3
0
-2
1
-1
2
PUNTOS
A
B
C
D
E
x1 5,
x 2 4,
x 3 3,
x 4 2,
x 5 1,
y1 5 3 2
y 2 4 3 1
y 3 3 3 0
y 4 2 3 1
y 5 1 3 2
Nuevamente observa que la línea recta y=x+3, intersecta al eje horizontal xx’ en el punto
x 2 3x 1
(-3, 0) entonces, la solución de la ecuación
2 3
4 12
es x 3
Comprobación:
3 2 3( 3)
1
2
3
4
12
3 2 9
1
2
3
4
12
9 4 27 1
6
12
13 26
6
12
13 13
6
6
34
Analiza el siguiente problema: En el Valle de la Muerte que se ubica en California, las
temperaturas en el día y en la noche son de 145° F y -70° F ¿a cuántos grados
centígrados corresponden estas temperaturas?
°F
°C
212
100
180°
32
0
Figura 3
Para resolver este problema recuerda que las divisiones de las escalas termométricas
son proporcionales (figura 3), lo cual nos permite establecer la siguiente proporción.
180 F 32
100
C
(1)
9
C 32
5
(2)
De esta ecuación se obtiene:
F
35
Si graficamos la ecuación (2) obtenemos la recta de la gráfica 5.
Gráfica 5
* Para dar respuesta al problema anterior, se deben trazar perpendiculares por los puntos
conocidos de las escalas Farenheit hasta tocar la recta, y en un punto trazar una
perpendicular al eje C; en este punto se halla el valor en C equivalente a grados F.
36
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza lo siguiente:
a) La temperatura normal del cuerpo humano es de 36 °C. ¿A cuánto equivale en grados
°F?
b) En la cuidad de México se han registrado temperaturas hasta de -10 °C que han
causado la muerte de algunos indigentes. ¿A cuántos °F corresponde esta temperatura?
¿Observas alguna ventaja al utilizar el método gráfico?
En este ejemplo se puede concluir que el método gráfico tiene sus ventajas, pues una
vez que hemos trazado la gráfica podemos hallar todos los valores que nos interesan con
el simple hecho de trazar perpendiculares a los ejes hasta tocar la recta, sin tener que
realizar ninguna operación.
Veamos ahora la solución de la ecuación:
2
3
x
x
2
3
0
10 14
21 105
por el método gráfico.
Por el método algebraico de la ecuación propuesta se llega a 2x 7 0 . De manera
que y 2x 7 .
Ahora obteniendo la tabla de valores correspondiente:
p
A
x
-2
y
-11
(x, y)
(-2, -11)
B
0
-7
(0, -7)
C
4
1
(4, 1)
D
5
3
(5, 3)
Porque x1 2 ,
37
y 1 2( 2) 7
y1 4 7
y1 11
Una vez que se ubican los puntos correspondientes a las parejas de valores se tiene la
gráfica de la figura 6.
y
3
(D)
2
1
x´
-5
-4
-3
-2
-1 -1
(C)
0
1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
-6
(B)
-7
-8
-9
-10
(A)
-11
y´
Gráfica 6
La recta corta el eje horizontal (xx’) en el punto P(7/2, 0). El valor de la abscisa es x = 7/2;
observa que se lee en forma aproximada, lo cual representa una desventaja. Únicamente
nos queda verificar si ese valor corresponde a la ecuación dada.
Comprobación:
y 2x 7
y
2(7)
7 77 0.
2
En este caso el valor “observado” fue el correcto.
Como puedes concluir, este método presenta las siguientes desventajas:
a) Es muy laborioso
b) Cuando la recta corta al eje horizontal (xx’) en un punto intermedio, entre dos valores
enteros consecutivos, el valor que se obtiene para “x” es aproximado.
38
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Comprueba lo que has aprendido, resolviendo los siguientes ejercicios:
I. Lee cuidadosamente la pregunta, realiza las operaciones necesarias y selecciona la
respuesta correcta llenando el espacio inferior de la letra correspondiente.
1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de parejas ordenadas corresponde a la recta de la
gráfica 7?
y
4
a) {(-3, -1), (0, 1), (-2, 0)}
3
b) {(1, 3), (-1, -1), (0, 2)}
2
c) {(2, 4), (0, 2), (-1, -1)}
d) {(-2, 0), (-1, 1), (0, 2)}
1
x´
-4
a
b
c
-3
-2
d
-1
x
0
1
-1
2
3
4
-2
y´
Gráfica 7
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que se indica en la gráfica
8?
y
a) 2x 3 0
b) 5x 2 0
c) 4 x 5 0
x´
x
0
d) 3 x 6 0
1
-1
-2
a
b
c
d
y´
Gráfica 8
39
2
3. ¿Cuál es la raíz de la ecuación cuya gráfica se indica en la gráfica 9?
y
4
a) {-2}
3
b) {2}
2
c) {0,2}
1
d) {2, 0}
x´
-4
a
b
c
-3
-2
-1
d
x
0
1
-1
2
3
4
-2
-3
-4
y´
Gráfica 9
4. ¿Cuál de los siguientes valores es la raíz de la ecuación cuya recta se indica en la
gráfica 10?
y
2
a) {0, 5/2}
1
b) {-5/2, 0}
x´
c) {5/2}
-4
-3
-2
d) {-5/2}
-1
x
0
1
-1
-2
-3
a
b
c
d
-4
-5
y´
Gráfica 10
40
2
3
4
5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene la solución que muestra la gráfica 11?
y
a) 5x 20 0
b) x 3 2x 1
4
c) x 6 2
3
d) 3 5 x 5
2
1
a
b
c
d
x´
-4
-3
-2
-1
x
0
1
-1
2
3
4
-2
Gráfica 11
y´
II. Siguiendo el proceso establecido en los ejemplos anteriores, obtener la solución de las
siguientes ecuaciones por el método gráfico.
3 x 5 2x 3
3
4
3
1. 4x 9 4
4.
2. 9x 16 3x 4
5. 4(
3. 3(2x 5) 2(3x 7) 5
6. 3(3x 1) 4(9 5x) 0
3x 1
1
) (4 x 12) 4
4
2
2
1.1.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE
UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
En los dos primeros subtemas se planteó cómo se expresa un problema en lenguaje
simbólico (algebraico), expresión que es el modelo matemático; éste a su vez, es una
ecuación con una incógnita de primer grado a la cual dimos solución. Ahora
estudiaremos el problema en su totalidad, integrando esas dos actividades. ¿Recuerdas
el problema de los vendedores?
1) Dos vendedores, A y B viven en diferentes ciudades, pero por razones de trabajo
deben encontrarse en una ciudad que está entre las dos primeras; las tres ciudades se
localizan en una misma recta. La dinstancia entre las dos cuidadas de donde parten en
automóvil es de 640 km. Si A viaja a 70 km/h, y B a 90km/h a que distancia de donde
parte A se encuentra la ciudad en la que deben reunirse y en cuántas horas llegarán, si
parten al mismo tiempo?
41
Fórmula: d = vt.
Incógnitas: t y d
Distancias: dA = 70t, dB = 90t
Por las condiciones del problema: 70t + 90t = 640.
Resolución
70t 90t 640
160t 640
160(160) 1 t 640(160) 1
640
t
160
t4
PIM
EIM
El tiempo que les lleva desplazarse a cada uno de los vendedores hasta el lugar de
reunión es de 4 horas.
Como el vendedor A viaja a vA = 70 km/h, entonces dA 70 km/h x 4 h = 280 km.
Distancia que recorre dB = 90 km/h. x 4 h = 360 km.
Distancia que recorre dA = 70 km/h. x 4 h = 280 km.
De esta manera queda resuelto el problema; sin embargo, es necesario tener la certeza
de que el resultado es verdadero. Como la ecuación de primer grado es una proposición
abierta que solo es verdadera para ciertos valores (igualdad), entonces la ecuación debe
comprobarse.
70 t 90 t 640
70(4) 90(4) 640
280 360 640
Si analizas todo el proceso de resolución del problema anterior , comprobarás que
presenta tres fases en general.
a) Obtención del método matemático o transformación de la proposición lógica planteada
(lenguaje cotidiano a una proposición abierta (lenguaje algebraico) o ecuación de
primer grado.
b) Resolución de la ecuación de primer grado
c) Comprobación. En caso de que no cumpla ésta se procede a hacer una revisión
general donde se detectará el error u omisión.
2) Tres obreros producen 100 piezas por turno. Si el obrero B produce el doble de piezas
que produce A menos cinco, y el obrero C produce dos tercios de lo que produce B.
¿Cuántas piezas produce cada uno?
a) Elaboración del modelo
42
Número de piezas que produce A: x
Número de piezas que produce B: 2x 5
Número de piezas que produce C:
2(2x 5)
3
b) Solución
x ( 2x 5)
2(2x 5)
100,
3
2(2x 5)
3 x (2x 5)
3(100)
3
3 x 3(2x 5) 2(2x 5) 300
3 x 6 x 15 4 x 10 300
13 x 25 300
13 x 25 25 300 25
13 x 0 300 25
13 x 300 25
13 x 325
13(13) 1 x 325(13) 1
325
x
13
x 25.
(PIM) (3)
(PD)
REDUCCION DE TÉRMINOS
(PIS) (+25)
(EIA)
(ENA
REDUCCION DE TÉRMINOS
(PIM)
(EIM) (13)-1
DIVISIÓN DE DOS ENTEROS
SOLUCIÓN
Número de piezas que produce A: x = 25
Número de piezas que produce B: 2x - 5 = 2(25) - 5 = 45
Número de piezas que produce C:
2(2x 5) 2[2(25) 5]
30
3
3
c) Comprobación
43
25 45 30 100
100 100
Como se puede notar en la comprobación, solamente existe un valor que hace verdadera
a la ecuación, cualquier otro valor la hace falsa; probemos con los siguientes valores para
la ecuación:
x ( 2x 5)
2(2x 5)
100
3
Para x = 20 obtenemos:
20 [2(20) 5] 2
20 35
70
100
3
[2(20) 5]
100
3
235
100
3
Con esto se concluye que sólo para x=30 cumple la igualdad.
Cabe aclarar que existen otros tipos de igualdades que son verdaderas para cualquier
valor de la variable como la siguiente:
3(2x 4) 6x 12
Probemos para x = 2 ,
3[2(2) 4] 6(2) 12
3(0) 12 12
00
Para x 5 ,
32(5) 4 6(5) 12
3(10 4) 30 12
18 18,
etcétera.
A este tipo de igualdades se les llama identidades.
44
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Contesta las siguientes preguntas:
1. En el problema de los obreros se tomo como referencia la producción de A (x), y
entonces la producción de B fue 2x 5 según el problema.
a) Si se hubiera considerado la producción de B como “x”, ¿cómo expresarías la
producción de A?
b) ¿Y la de C?
2. La edad de Juan es el triple de la de Pedro, y hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan. ¿Que edad tiene actualmente Juan y Pedro?
Edad actual de Juan: 3x hace cinco años: 3 x 5
Edad actual de Pedro: x , hace cinco años: x 5
Hace cinco años la edad de Pedro era un quinto de la de Juan.
3x 5
5
3x 5
x5
,
5
3x 5
5( x 5) 5
,
5
5( x 5) 3 x 5,
5 x 25 3 x 5,
5 x 25 25 3 x 5 25,
5 x 0 3 x 5 25,
x5
5 x 3 x 5 25,
5 x 3 x 20,
5 x 3 x 3 x 3 x 20,
5 x 3 x 0 20
5 x 3 x 20
2x 20
2(2) 1 x 20(2) 1,
20
x
,
2
x 10.
PIM (5)
EIM
PD
PIS (+25)
EIA
ENA
Reducción de términos
PIS (-3x)
EIA
ENA
Reducción de términos
PIM (2)-1
EIM
División de dos enteros
Solución
45
Edad actual de Pedro: x 10 años
Edad actual de Juan: 3x 3(10) 30 años
Comprobación
3(10) 5
5
30 5
5
5
25
5
5
55
10 5
3. De dos soluciones de ácido de diferente concentración se pretende obtener otra
solución. Los componentes de la primera están en relación uno a uno de ácido y
agua, y en la segunda cuatro a uno, también de ácido y agua. Si se necesitan 15 litros
de la nueva solución, cuya relación debe ser tres a uno, ¿cuántos litros se necesitan
de cada una de las dos primeras soluciones?
Incógnitas: se desconoce la cantidad en litros de las dos primeras soluciones.
Datos: se conocen las relaciones de ácido y agua de las tres soluciones y el número de
litros de la solución que se desea obtener.
Cantidad en litros de la primera solución: x
Cantidad en litros de la segunda solución: 15 x
Relación de los componentes de la primera solución: 1 / 1 1
Relación de los componentes de la segunda solución: 4 / 1 4
Relación de los componentes de la solución por obtener: 3 / 1 3
Por lo tanto:
1x 4(15 x) 3(15),
x 4(15 x) 45,
x 60 4 x 45,
3 x 60 45,
3 x 60 60 45 60,
3 x 0 15,
3 x 15,
3( 3) 1 x 15( 3) 1,
15
x
,
3
x 5,
Producto de dos enteros
(PD)
Reducción de términos semejantes
PIS (-60)
EIA
ENA
PIM (-3)-1
EIM
División de dos enteros
Solución
Cantidad en litros de la primera solución : x = 5
46
Cantidad en litros de la segunda solución: 15 - x = 15 - 5 = 10
Comprobación
1(5) 4(15 5) 3(15)
5 4(15 5) 45
5 4(10) 45
5 40 45
45 45
1) Una persona deposita en cuenta de ahorros, un capital por el que se le paga el 12% de
intereses. Acuerda con el Banco hacer otro depósito que es mayor en $500,000 al capital
inicial y por el que se le pagará el 15% de intereses.
¿Cuál fue el depósito total, si al cabo de un año recibió en total $1,680,000?
En este caso se emplea la fórmula:
C c ct
C monto total
c capital inicial
t es el tiempo en años
r es el interés
r
100
ya que “t” = 1 por ser un año
Incógnita: c = capital inicial, depositado al 12%.
c + 500,000 = capital inicial incrementado, depositado al 15%.
Así que: al final del año, el monto total del capital inicial:
C1 c c
12
100
y el monto total del segundo depósito que es el capital inicial más $500,000 es:
C 2 (c 500,000) (c 500,000)
47
15
100
Así que el monto total C de los dos capitales al final del año será:
C C1 C 2
15c 500,000
12c
(c 500,000)
)
100
100
12c
15(c 500,000)
c
c 500,000
1680
,
,000
100
100
12c
15c 7,500,000
500,000
1680
2c
,
,000
100
100
12c 15c 7,500,000
1680
2c 500,000
,
,000
100
27c 7,500,000
1680
2c 500,000
,
,000
100
200c 50,000,000 27c 7,500,000 168,000,000
227c 57,500,000 168,000,000
c
227c 168,000,000 57,500,000
227c 110,500,000
110,500,000
227
c 486,784.14
c
El depósito total es:
c (c 500,000) 486,78414
. (486,78414
. 500,000) 1473
,
,568.28
Observa que en los ejemplos 1 y 4 se usaron subíndices que son los números o letras
pequeños anotados abajo a la derecha de la literal respectiva. Esto es con el fin de hacer
la diferenciación correspondiente; así, en el primer problema dA se debe interpretar como
la distancia que recorre el vendedor A. En el caso del ejemplo 4, C1 debe entenderse
como el monto del primer capital depositado, etcétera.
Algunos ejemplos de problemas que dan lugar a ecuaciones de primer grado, se trataron
con dos o más incógnitas. ¿Consideras que se podrían plantear como ecuaciones con
dos incógnitas de primer grado? ¿Por qué?
Recuerda que el método gráfico es otra forma de conocer el valor de la incógnita y
para ello la secuencia de operaciones es:
-Mediante la aplicación de las propiedades se iguala a cero la ecuación ax b 0 .
-Se sustituye el cero por la variable “y”.
48
-Se elabora una tabla de valores y para ello se asignan valores a la variable “x”,
obteniendo para cada valor de “x”, un valor de “y”. este par de valores forman la pareja
ordenada (x, y).
-Por la forma en que se obtienen los valores de las parejas ordenadas, a “x” se le llama
variable independiente y a “y” variable dependiente. A la “x” también se le llama abscisa
y a la “y”, ordenada.
-Cada pareja ordenada se llama coordenada y representa un punto en el plano
cartesiano.
Observa y analiza el procedimiento utilizado para resolver los problemas anteriores. Con
los conocimientos que has adquirido y con el apoyo de tu asesor resuelve los siguientes
problemas dando tanto una solución algebraica como gráfica.
1. Dos viajeros se desplazan en su automovil a partir de los pueblos A y B
respectivamente, la distancia entre éstos es de 100 km en línea recta. Ambos parten a
la misma hora; el que parte de A viaja a 90 km/h y el de B a 70 km/h.
Considerando que B se localiza a la derecha de A y que los viajeros se desplazan en
la misma dirección y sentido. ¿A que distancia de A el viajero que parte de este
pueblo alcanzará al que parte de B?
2. El patio de carga y descarga de una fábrica es de forma rectangular, si se tiene que
cercar tres de sus lados (se excluye uno de los lados mayores) y el largo es 10 m
mayor que el triple de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del largo y ancho, si se
necesitan 110 m de malla de alambre?
49
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí se estudió el tema de ecuaciones de primer grado, donde se analizó el
proceso de solución, por medio del método algebraico y su interpretación gráfica, así
mismo se plantearon problemas para establecer modelos matemáticos que se le conoce
como ecuación.
Así por ejemplo:
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO
DEL PROBLEMA
Leer
detenidamente
el problema
Identificar los
datos y la o las
incógnitas
MODELO
MATEMÁTICO
ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO
3x 8 4x 6
SOLUCIÓN
MÉTODO
ALGEBRAICO
3 x 8( 8) 4 x 6 ( 8)
3x 4x 2
3 x ( 4 x) 4 x ( 4 x) 2
x 2
( 1)( x) 2( 1)
x2
Separar cada
una de las
partes del
problema,
nombrando a la
o las Incógnitas
50
INTERPRETACIÓN
GRÁFICA
Se pueden dar
valores para x y así
obtener los puntos
que se grafican en el
plano cartesiano
RECAPITULACIÓN
El siguiente esquema te ayudará a recordar cada uno de los temas que se revisaron en
este capítulo:
PROBLEMA
ANÁLISIS
TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL
LENGUAJE SIMBÓLICO (ALGEBRAICO)
- SEPARACIÓN DE LOS DATOS
- SIMBOLOGÍA DE LAS INCÓGNITAS
ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO
COMPROBACIÓN
SOLUCIÓN
ALGEBRAICA
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
Ahora con los conocimientos que has adquirido resuelve el siguiente problema dando
una solución gráfica como algebraica.
Miguel, Carlos y Raúl al sumar sus edades obtuvieron un total de 26 años. Si Carlos es 3
años menor que el doble de la edad de Miguel, y Raúl es un año mayor que la mitad de
Miguel. ¿Que edad tiene cada uno?
51
ACTIVIDADES INTEGRALES
Estos ejercicios se han preparado para que apliques lo que aprendiste en este capítulo.
Resuélvelos algebraicamente e interprétalos gráficamente indicando el punto donde la
línea recta se intersecta al eje “x” de las abscisas.
1. Un carpintero debe hacer marcos rectangulares, y para ello cuenta con tiras de
madera cuya longitud es de 75 cm. Si el largo del marco debe ser 15 cm mayor que el
ancho, ¿cuáles son las dimensiones de los marcos?
2. El segundo de tres números enteros es dos tercios del primero, el tercero es menos un
quinto del segundo. Los tres números suman 23. Obtén los números.
3. Si el numerador de una fracción se le resta cinco y al denominador se le suma 2, la
fracción resultante es menos un tercio. El denominador es una unidad mayor que el
numerador. Obtén la fracción original.
4. Dos números suman 16 y su diferencia es menos cinco. Obtén los números.
5. La sección transversal de una barra de acero es la de un triángulo isósceles. El
perímetro de dicho triángulo es de 64 cm. Si la razón entre uno de los lados iguales y el
tercero es de 5/6. Obtén las dimensiones de la sección de la barra.
6. Se requiere cercar con malla de alambre un terreno de forma rectangular. Si el largo
es el triple del ancho, menos 10 m, y el perímetro es de 620 m, ¿cuáles son las
dimensiones del terreno?
7. El ancho y la longitud de un rectángulo está en razón de 3/4, si las dimensiones se
incrementan en tres unidades lineales, el área se incrementa en 135 m 2 . ¿Cuáles son
las dimensiones del rectángulo?
8. Los terrenos que ofrece una compañía fraccionadora tienen 400 m de perímetro. Si
estos son rectangulares y el ancho es dos tercios del largo, ¿cuáles son las dimensiones
de cada terreno?
9. Una persona vendió boletos para dos rifas; el boleto de una costó $1.00 y el de la otra
$5.00. La persona vendió 25 boletos en total y obtuvo $49.00 pero no tomó nota de
cuantos boletos vendió para cada rifa. Obtén el número de boletos vendidos para cada
una.
10. Una ama de casa pagó $114.00 por 13 kg. de arroz y frijol, el kilogramo de arroz y
frijol cuesta $8.00 y $10.00 respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de arroz y cuántos de
frijol compró?
52
AUTOEVALUACIÓN
Las respuestas que a continuación te presentamos son la solución de los problemas
anteriores; compáralas con las que obtuviste. Si encuentras alguna diferencia realiza
nuevamente el ejercicio y si tienes alguna duda consulta a tu asesor.
1. Modelo matemático: 2x 2(x 15) 75
(11.25, 0)
largo 26.25 cm
ancho 11.25 cm
2. Modelo matemático: x
2x 2x
23
3 15
(15, 0)
1er. número: 15
2do. número: 10
3er. número: -2
3. Modelo matemático:
x5
1
x3
3
(3, 0)
Numerador: 3
Denominador: 4
4. Modelo matemático: x (16 x) 5
(5.5, 0)
Número menor: 5.5
Número mayor: 10.5
5. Modelo matemático:
L 5
5b
, 2( ) b 64
b 6
6
(24, 0)
Dimensiones:
b = 24
L = 20
6. Modelo matemático: 2x 2(3x 10) 620
Dimensiones:
ancho: 80 m
largo: 230 m
53
(80, 0)
7. Modelo matemático: A x(
3x
3x
), ( x 3)(
3) A 135
4
4
(24, 0)
Dimensiones:
x 24m
3x
18m
4
8. Modelo matemático: 2x 2(
2x
) 400
3
(120, 0)
Dimensiones:
x 120m
2x
80m
3
9. Modelo matemático: x 5(25 x ) 49
(19, 0)
Venta:
boletos de la rifa de $1.00 : 19
boletos de la rifa de $5.00 : 6
10. Modelo matemático: 8x 1013 x 114
kilogramos de arroz: 8
kilogramos de frijol: 5
54
(8, 0)
C AP Í T U L O 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1.1 Solución de Problemas que dan lugar al Planteamiento de un Sistema de
Ecuaciones Lineales
2.1.2 Métodos Gráficos
2.1.3 Métodos Analíticos
a) Método de Eliminación por Suma y Resta
b) Método de Eliminación por Sustitución
c) Método de Eliminación por Igualación
d) Método por Determinantes
55
56
PROPÓSITO
Como establecimos desde el Fascículo I el álgebra nos ayuda a tomar decisiones para
solucionar problemas concretos, y para ello debemos traducir el lenguaje cotidiano al
lenguaje algebraico. En el capítulo anterior aprendiste a resolver problemas que dan
lugar a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Pero existe otro tipo de problemas, en los que tenemos que encontrar más de un valor,
por ello en este capítulo:
¿QUÉ APRENDERÁS?
A establecer los modelos algebraicos para problemas
que dan lugar a ecuaciones de primer grado con dos y
tres incógnitas.
¿CÓMO LO LOGRARÁS?
Los métodos que nos permiten solucionar un sistema
de ecuaciones, como: el gráfico, el de suma o resta;
el de sustitución; el de igualación, y por determinantes
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Tomar decisiones para solucionar problemas de
Física, Química y Biología, entre otras áreas del
conocimiento.
57
58
CAPÍTULO 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Conforme avanzamos en nuestros estudios, nos enfrentamos a problemas cada vez más
complejos, los cuales rebasan la aritmética y por lo tanto, debemos aplicar el álgebra.
Así, en Estadística, Física o Biología, encontramos problemas con dos incógnitas y su
solución nos permite comprender las teorías o principios que se estén tratando, a través
de un sistema de ecuaciones podemos encontrar los valores requeridos y asegurar
nuestra comprensión del contenido.
Resolver un sistema de ecuaciones es realmente sencillo
objetivamente un problema.
59
y nos permite interpretar
2.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1.1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE DAN LUGAR AL PLANTEAMIENTO DE
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Existen problemas en los que es necesario encontrar dos o tres datos que están
relacionados, y al traducirlos al lenguaje algebraico se forman dos o tres ecuaciones
lineales de dos o tres incógnitas. En estos casos decimos que se forma un sistema de
ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones se puede solucionar por el método gráfico y los métodos
analíticos, los cuales estudiaremos en este capítulo.
Para la solución de problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos
incógnitas se resolverán gráficamente y analíticamente.
Para la solución de problemas que dan lugar a sistema de ecuaciones con tres
incógnitas, se resolverán únicamente aplicando el método analítico, por determinantes.
Es importante señalar que para explicar cada uno de los métodos gráficos y analíticos se
procederá primero a mencionar el problema que dé como planteamiento un sistema de
ecuaciones, posteriormente se resolverá el sistema por medio del método que se va a
explicar.
2.1.2 MÉTODO GRÁFICO
En este tema estudiaremos algunos problemas que dan lugar a un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, y para solucionarlo aplicaremos el método
gráfico, el cual permite encontrar los valores de las incógnitas a partir del plano
cartesiano, que dan solución al problema.
Te recomendamos que analices con detenimiento cada paso en la resolución de los
sistemas comparando la explicación con el procedimiento realizado.
Ejemplos: A continuación se plantean una serie de problemas con los procedimientos y
soluciones para cada uno de ellos, así como sus representaciones gráficas.
60
Problema
El perímetro de un rectángulo es de 18 cm. El doble de largo, excede el ancho 6 cm
¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Datos
Perímetro = 18 m
El doble del largo excede al ancho 6 cm
Largo del rectángulo = x
Ancho del rectángulo = y
Sistemas de ecuaciones
2( x y) 18
2x y 6
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Despejamos “y” en la ecuación (1) y (2)
2( x y) 18
2x 2y 18
2y 18 2x
18 2x
y
2
y9x
2x y 6
2x y 6
y 2 x 6
y 2x 6
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
II. Tabulamos los valores:
Para esto le asignamos valores a “x” para obtener los de “y”
x
y=9-x
y
P(x, y)
x
y = 2x - 6
y
P(x, y)
0
1
2
3
4
5
6
y=9-0
y=9-1
y=9-2
y=9-3
y=9-4
y=9-5
y=9-6
9
8
7
6
5
4
3
(0,9)
(1,8)
(2,7)
(3,6)
(4,5)
(5,4)
(6,3)
0
1
2
3
4
5
6
y = 2(0) - 6
y = 2(1) - 6
y = 2(2) - 6
y = 2(3) - 6
y = 2(4) - 6
y = 2(5) - 6
y = 2(6) - 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
(0, - 6)
(1, - 4)
(2, - 2)
(3, 0)
(4, 2)
(5, 4)
(6, 6)
III. Graficamos los valores
61
y
2x+2y=18
10
9
2x=y+6
8
7
6
5
4
P(5,4)
3
2
1
x´
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y´
Gráfica 12
IV. Interpretación
Observa que en las dos tabulaciones al asignarle el valor de 5 a “x” obtenemos como
valor de “y” 4; que es el punto donde se intersectan las dos rectas y corresponde a la
solución del sistema. Por lo tanto:
Largo del rectángulo ; x = 5
Ancho del rectángulo ; y = 4
La solución del sistema es simultánea porque los valores satisfacen ambas ecuaciones.
V. Comprobación
Sustituimos los valores de las variables en la ecuaciónes (3) y (4).
y9x
y 95
y4
- - - - - - - - - (3)
y 2x 6 - - - - - - - - - (4)
y 2(5) 6
y 10 6
y4
62
Al obtener el mismo resultado en ambas ecuaciones, se comprueba que los valores para
“x” y “y” son correctos.
Problema
Al comprar cuatro caramelos y siete lápices pagué $29.00. Más tarde compre dos
caramelos y cinco lápices y pagué $19.00, ¿cuál es el costo de los caramelos y los
lápices?
Datos
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Costo de un caramelo
x
Costo de un lápiz
y
Costo de cuatro caramelos más siete lápices es
de $29.00
4x 7y 29
Costo de dos caramelos y cinco lápices es de
$19.00
2x 5y 19
Sistema de ecuaciones
4 x 7 y 29
2x 5 y 19
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Despejamos “y” en las dos ecuaciones del sistema
4 x 7 y 29
7 y 29 4 x
y
29 4 x
7
2x 5 y 19
5 y 19 2x
y
19 2x
5
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
II. Tabulamos los valores: para lo cual le asignamos valores a “x”
63
x
29 4 x
7
29 4( 0 )
7
29 4(1)
7
29 4( 2)
7
29 4( 3 )
7
29 4( 4 )
7
29 4( 5 )
7
29 4( 6 )
7
29 4(7 )
7
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
y
P(x,y)
29
7
29
0,
7
25
7
25
1,
7
3
2,3
17
7
17
3,
7
13
7
13
4,
7
9
7
5
7
9
5,
7
1
7
1
7,
7
5
6,
7
III. Graficamos los valores
x
0
1
2
3
4
5
6
7
19 2x
5
19 2(0)
y
5
19 2(1)
y
5
19 2(2)
y
5
19 2(3)
y
5
19 2(4)
y
5
19 2(5)
y
5
19 2(6)
y
5
19 2(7)
y
5
y
64
y
P(x,y)
19
5
19
0,
5
17
5
17
1,
5
3
2,3
13
5
13
3,
5
11
5
11
4,
5
9
5
9
5,
5
7
5
7
6,
5
1
7,1
Gráfica 13
IV. Interpretación
El punto de intersección en la gráfica, es la solución del sistema de ecuaciones, por lo
tanto:
Costo de un caramelo = x $2.00
Costo de un lápiz = y $3.00
V. Comprobación
Sustituimos los valores en las ecuaciones (3) y (4):
y
y
y
y
y
29 4 x
7
29 4( 2)
7
29 8
7
21
7
3
19 2x
5
19 2(2)
y
5
19 4
y
5
15
y
5
y3
- - - - - - - - - (3)
y
- - - - - - - - - (4)
Al obtener el mismo resultado en ambas ecuaciones, concluimos que los valores son
correctos.
65
A partir de estos problemas, podemos observar que existe un punto en común para
ambas rectas (puntos de intersección), que determina los valores de “x”; “y”, el cual es la
solución del problema.
Así, cuando las dos rectas se intersectan en un punto, el sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas se clasifican como solución única.
El resultado de un sistema de ecuaciones es la solución simultánea y en la gráfica es el
punto de intersección.
Analicemos el siguiente problema:
Problema
Se desea saber cuáles son los números que sumados dan 15 y su diferencia es 3.
Datos
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
x, y
Cuales son los números
Que sumados dan 15
x y 15
Y su diferencia es 3
x y 3
Sistema de ecuaciones
x y 15
- - - - - - - - - (1)
x y 3
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones
y 15 x
- - - - - - - - - (3)
y x3
- - - - - - - - - (4)
66
II. Tabulamos los valores: para lo cual le asignamos valores a “x”
x
y =15 - x
y
P(x, y)
x
y =x - 3
y
P(x, y)
0
y 15 0
y 15 2
y 15 4
y 15 6
15
13
(0,15)
(213
, )
(4,11)
0
3
2
4
y 03
y 23
y 43
1
1
(6,9)
6
y 63
3
( 0,3 )
( 2,1)
( 4,1)
( 6,3 )
2
4
6
11
9
III. Graficamos los valores
y
15
14
13
x+y=15
12
x-y=3
11
10
9
8
7
6
P(9,6)
5
4
3
2
1
x´
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
-2
-3
y´
Gráfica 14
67
5
6
7
8
9
10
x
IV. Interpretación:
El punto donde se intersectan ambas rectas, corresponde a los valores para “x” y “y” que
satisfacen ambas ecuaciones , es decir, a la solución del problema por lo que podemos
decir que los números son:
x=9
y=6
V. Comprobación
Substituimos las literales por los valores encontrados en las ecuaciones (3) y (4)
y 15 x
y 15 9
- - - - - - - - - (3)
y x3
- - - - - - - - - (4)
y 93
y6
y6
Al observar que en la gráfica se intersectan las dos rectas de las ecuaciones lineales,
decimos que es un sistema con solución única.
Ahora bien, existen casos donde las rectas de las ecuaciones lineales coinciden sobre el
mismo plano, cuando esto sucede, decimos que dichas ecuaciones son equivalentes;
veamos esto en el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones
2x y 6 0
- - - - - - - - - (1)
4 x 12 2y
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones
2x y 6 0
2x y 6
y 6 2x
y 2x 6
- - - - - - - - - (3)
4 x 12 2y
- - - - - - - - - (2)
4 x 12
y
2
y 2x 6
- - - - - - - - - (4)
- - - - - - - - - (1)
68
Observa que al despejar “y” las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes ó iguales
II. Tabulamos los valores
x
y = 2x - 6
y
P(x,y)
2
4
6
8
y = 2(2) - 6
y = 2(2) - 6
y = 2(2) - 6
y = 2(2) - 6
-2
2
6
10
(2, -2)
(4, 2)
(6, 6)
(8, 10)
III. Graficamos los valores
y
2x-y-6=0
4x-12=2y
x´
-1
0
1 2
3 4
5
x
-2
-3
-4
-5
-6
y´
Gráfica 15
IV. Interpretación
Debido a que las ecuaciones del sistema son equivalentes, ambas corresponden a la
misma recta, por lo que se dice que el sistema tiene múltiples soluciones.
También existen sistemas en los que no se llaga a la solución. Esto se presenta cuando
las rectas de las ecuaciones lineales son paralelas entre sí (no se intersectan en ningún
punto).
69
Veamos esto en el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones
y 2x 4
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
2x y 1
Procedimiento
I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones
y 2x 4
- - - - - - - - - (3)
y 2x 1
- - - - - - - - - (4)
II. Tabulamos los valores : para lo cual le asignamos valores a ““x””
x
y = 2x + 4
y
(x, y)
x
y = 2x - 1
y
(x, y)
3
y 2( 3 ) 4
( 3,2)
3
y 2( 2) 4
y 2( 1) 4
( 2,0)
( 1, 2)
2
1
y 2( 3) 1
y 2( 2) 1
7
5
( 3,7 )
2
1
2
0
( 0, 4 )
(1, 6 )
0
1
2
y 2( 1) 1
y 2(0) 1
y 2(1) 1
3
1
1
y 2(2) 1
y 2(3) 1
3
5
0
1
2
3
y 2( 0) 4
y 2(1) 4
2
4
6
y 2( 2) 4
y 2( 3) 4
8
10
( 2, 8 )
( 3,10 )
3
70
( 2,5 )
( 1,3 )
( 0,1)
(11
,)
( 2,3 )
( 3,5 )
III. Graficamos los valores
y
y=2x+4
2x-y=1
5
4
3
2
1
x´
-2
-1
x
0
1
-1
2
3
4
5
y´
Gráfica 16
IV. Interpretación
Debido a que las rectas de las ecuaciones del sistema son paralelas entre sí, se dice que
el sistema no tiene solución, por lo cuál es incompatible o inconsistente.
Problema
En un salón de clases con 48 alumnos, a cada uno de ellos se les pidió una cuota:
$20.00 por varón y $30.00 por mujer, recaudándose $1,140.00 . ¿Cuántas alumnas y
cuántos alumnos hay en el grupo?
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Número de alumnos
x
Número de alumnas
y
Total de alumnos
x y 48
Cuota por alumno
20x 30y 1140
71
Sistema de ecuaciones
x y 48
20x 30y 1140
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Despejamos “y” en ambas ecuaciones
y 48 x
2
y 38 x
3
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (4)
II. Tabulamos los valores : para lo cual le asignamos valores a “x”
x
10
20
30
40
y = 48 - x
y
y
y
y
48 10
48 20
48 30
48 40
y
P(x, y)
x
38
28
(10,38 )
( 20,28 )
( 30,18 )
10
18
8
( 40,8 )
20
30
40
y 38 -
2
x
3
2
(10)
3
2
y 38 - (20)
3
2
y 38 - (30)
3
2
y 38 - ( 40)
3
y 38 -
y
P(x, y)
31
(10,31)
25
(20,25)
18
(30,18)
11
(40,11)
Nota: los datos se redondearon
72
III. Graficamos:
y
x+y=48
20x+30y=1140
18
x´
x
0
30
y´
Gráfica 17
IV. Interpretación
En este caso se trata de un sistema de ecuaciones lineales de solución única, y
obtenemos que:
Número de hombres = 30
Número de mujeres = 18
73
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Soluciona los siguientes problemas por el método gráfico identificando el tipo de sistema
del que se trate.
El cuádruplo de un número excede en seis al triple del otro; mientras que el óctuplo del
primero es 22 unidades menos que el séptuplo del segundo. Determina ambos enteros.
x = _________
y = _________
sistema: _______________
1. Guillermo invirtió parte de su dinero al 22% y el resto al 15%. El ingreso por ambas
inversiones fue de $3,000.00; si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso
hubiera sido de $2,940.00. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?
x = _________
y = _________
sistema: _______________
2. Un hombre rema ocho millas en un río contra corriente durante dos horas y de
regreso hace una hora. Encuentra las velocidades de la corriente y del hombre
remando en aguas tranquilas.
x = _________
y = _________
sistema: _______________
3. Si a una solución de ácido al 20%, se agrega otra al 50%, resulta una mezcla al 38%.
Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40%
de ácido. ¿Cuántos galones de ácido se tienen de cada solución?
x = _________
y = _________
sistema: _______________
74
NOTA:
Como puedes observar el procedimiento para resolver un problema donde interviene un
sistema de ecuaciones, aplicando el método gráfico es:
Identificar los elementos del problema distinguiendo los datos conocidos y las
incógnitas a conocer y traducir el problema del lenguaje cotidiano al lenguaje
algebraico.
Establecer el sistema de ecuaciones.
Despejar “y” en ambas ecuaciones.
Realizar la tabulación asignándole valores a “x” para obtener los valores de “y”.
Graficar los datos y localizar los puntos de la intersección para definir los valores de
“x” y “y”.
Comprobar el resultado.
Las gráficas que representan un sistema de ecuaciones se pueden clasificar en:
Sistema con solución única; cuando la interpretación gráfica de las dos ecuaciones
corresponden a dos rectas que se intersectan, en un determinado punto.
Sistema con múltiples soluciones; cuando la interpretación gráfica de las dos
ecuaciones corresponden a una misma recta.
Sistema sin solución; cuando la interpretación gráfica de las dos ecuaciones
corresponden a dos rectas paralelas entre sí.
En el último caso también se dice que el sistema es incompatible o inconsistente.
2.1.3 MÉTODO ANALÍTICO
Hasta aquí has aplicado el método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones
simultáneas; sin embargo, en algunos casos, éste no es exacto, ya que se deben estimar
las coordenadas de un punto sobre la gráfica.
En este tema analizaremos otros métodos que son más exactos: los analíticos; que son
por eliminación o por determinantes.
75
Los métodos por eliminación consisten, como su nombre lo indica, en eliminar una de las
variables, obteniendo una ecuación con una incógnita, tomando como base el sistema
original, y se pueden resolver por suma o resta; por sustitución y por igualación.
El método por determinantes se forma por los coeficientes de las variables
correspondientes a cada ecuación.
a) Método de Eliminación por Suma o Resta.
En este método se elimina una de las variables sumando o restando las ecuaciones del
sistema, para lo cuál es necesario que el coeficiente de la variable que se eliminará sea
igual en ambas ecuaciones.
Ejemplos:
Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones
3x 7 y
- - - - - - - - - (1)
4x 5y 2
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Ordenamos las ecuaciones para que los términos semejantes queden en la misma
columna.
3x 7 y
- - - - - - - - - (1)
3x y 7
II. Multiplicamos una de las ecuaciones para que el coeficiente de una de las variables
sea igual en ambas ecuaciones.
5(3 x y 7)
15 x 5 y 35
- - - - - - - - - (3)
III. Eliminamos la incógnita cuyos coeficientes son iguales, por medio de una resta.
_
15 x 5 y 35
4x 5 y 2
11x
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
= 33
IV. Resolver la ecuación que resulta, para encontrar el valor de “x” .
76
11x 33
33
x
11
x3
- - - - - - - - - (4)
V. Sustituimos el valor de “x” en una de las ecuaciones iniciales para encontrar el valor
de “y” .
3x 7 y
3(3) 7 y
97 y
2y
VI. Comprobamos los valores encontrados para “x”
ecuaciones (1) y (2).
3x 7 y
3(3) 7 2
972
22
- - - - - - - - - (1)
4x 5y 2
4(3) 5(2) 2
- - - - - - - - - (2)
12 10 2
22
Sistema de ecuaciones
13 x 57 4y
- - - - - - - - - (1)
2y 29 5 x
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
I. Ordenamos las ecuaciones
13 x 4 y 57
- - - - - - - - - (1)
5 x 2y 29
- - - - - - - - - (2)
77
y “y”, sustituyéndolos en las
II. Multiplicamos la ecuación (2) por 2 para que el coeficiente de “y” sea igual en ambas
ecuaciones.
2(5 x 2y 29)
10 x 4 y 58
- - - - - - - - - (3)
III. Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la variable “y”.
13 x 4 y 57
10 x 4 y 58
23 x
= 115
- - - - - - - - - (4)
IV. Resolvemos la ecuación (4) para obtener el valor de “x” .
23 x 115
- - - - - - - - - (4)
115
23
x5
x
V. Sustituimos “x” en la ecuación (1) ó (2) para obtener el valor de “y”.
2y 29 5 x
2y 29 5(5)
2y 29 25
- - - - - - - - - (2)
2y 4
4
y
2
y2
VI. Comprobamos los valores encontrados para “x” y “y”, sustituyéndolos en las
ecuaciones (1) y (2).
13 x 57 4 y
13(5) 57 4(2)
- - - - - - - - - (1)
65 57 8
65 65
2y 29 5 x
2(2) 29 5(5)
4 29 25
44
- - - - - - - - - (2)
78
Sistema de ecuaciones
1
x
2
1
x
2
1
y5
4
3
y 3
4
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
Observa que en este sistema, los términos semejantes están ordenados y que el
coeficiente de “x” es igual en ambas ecuaciones. Por lo tanto:
Restamos la ecuación (1) y (2) para eliminar la variable “x” y encontrar el valor de “y”.
1
x
2
_
1
x
2
1
y5
4
3
y 3
4
y8
Sustituimos “y” en la ecuación (2) para obtener el valor de “x”.
1
3
x y 3
2
4
1
3
x (8) 3
2
4
1
24
x
3
2
4
1
x 6 3
2
1
x 3 6
2
x 3(2)
x6
- - - - - - - - - (2)
79
Comprobemos los valores encontrados para “x” y “y”.
1
1
x y5
- - - - - - - - - (1)
2
4
1
1
( 6) ( 8) 5
2
4
6 8
5
2 4
325
55
1
3
x y 3
- - - - - - - - - (2)
2
4
1
3
( 6 ) ( 8 ) 3
2
4
6 24
3
2
4
3 6 3
3 3
b) Método de Eliminación por Sustitución
Este método consiste en despejar a una de las variables en una ecuación y
posteriormente sustituir la variable despejada en la segunda ecuación; de esta manera se
obtiene una ecuación con una incógnita y se resuelve.
Ejemplos:
Analiza este procedimiento en los siguientes sistemas.
Sistema de Ecuaciones
4 x 2y 10
- - - - - - - - - (1)
2x y 3
- - - - - - - - - (2)
I. Despejar “y” de ecuación (2)
y 3 2x
- - - - - - - - - (3)
80
II. Sustituir “y” en la ecuación (1) para obtener el valor de “x”
4 x 2y 10
4 x 2( 3 2x) 10
4 x 6 4 x 10
8 x 10 6
16
x
8
x 2
III. Sustituir “x” en la ecuación (3) para obtener el valor de “y”.
y 3 2x
y 3 2( 2)
y 3 4
y 1
- - - - - - - - - (3)
IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2)
4 x 2y 10
- - - - - - - - - (1)
4( 2) 2(1) 10
8 2 10
10 10
2x y 3
2( 2) 1 3
- - - - - - - - - (2)
4 1 3
3 3
Sistema de ecuaciones
2x 5 y 1
3 x 2y 8
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
I. Despejar “x” en la ecuación (1)
2 x 5 y 1
2x 1 5 y
x
1 5 y
2
- - - - - - - - - (3)
81
II. Sustituir “x” en la ecuación (2) para obtener el valor de “y”.
3 x 2y 8
- - - - - - - - - (1)
1 5 y
3(
) 2y 8
2
3 15 y
2y 8
2
3 15 y
2(
2y 8)
2
3 15 y 4 y 16
19 y 16 3
19
y
19
y 1
III. Sustituir “y” en la ecuación (3) para obtener el valor de “x”.
1 5( 1)
2
1 5
x
2
4
x
2
x2
x
IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2).
2x 5 y 1
2(2) 5( 1) 1
4 5 1
1 1
3 x 2y 8
3(2) 2( 1) 8
628
88
82
Sistema de ecuaciones
x 3 y 5
- - - - - - - - - (1)
2x y 3
- - - - - - - - - (2)
I. Despejar “x” en la ecuación (1)
x 3 y 5
x 5 3 y
- - - - - - - - - (3)
II. Sustituir “x” en la ecuación (2) para obtener el valor de “y”
2x y 3
- - - - - - - - - (2)
2( 5 3 y) y 3
10 6 y y 3
7 y 3 10
7
y
7
y 1
III. Sustituir “y” en la ecuación (3) para obtener el valor de “x”
x 5 3 y
x 5 3( 1)
x 5 3
x 2
IV. Comprobación: Sustituir los valores de “x” y “y” en las ecuaciones (1) y (2)
x 3 y 5
2 3( 1) 5
2 3 5
5 5
2x y 3
2( 2) ( 1) 3
4 1 3
3 3
83
c) Método de Eliminación por igualación
En este método, se elimina una variable al despejarla en las dos ecuaciones del sistema,
se igualan para obtener el valor de la otra variable; el resultado se sustituye en una de las
ecuaciones despejadas y se resuelve para obtener el valor de la primer variable.
Ejemplos:
Analiza este procedimiento con los siguientes sistemas:
Sistema de ecuaciones
3 x 2y 5
- - - - - - - - - (1)
3 x 4 y 1
- - - - - - - - - (2)
I. Despejar “x” en las ecuaciones (1) y (2)
3 x 2y 5
3 x 5 2y
5 2y
x
3
3 x 4 y 1
3 x 1 4 y
1 4 y
x
3
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de “y”
5 2y 1 4 y
3
3
5 2y 1 4 y
2y 4 y 1 5
6 y 6
6
y
6
y1
- - - - - - - - - (5)
84
III. Se sustituye el valor de “y” en la ecuación (3) ó (4) para obtener el valor de “x”
5 2y
3
5 2(1)
x
3
52
x
3
3
x
3
x1
x
- - - - - - - - - (3)
IV. Comprobación: Se sustituye “x” y “y” por los valores obtenidos en las ecuaciones (1) y
(2)
3 x 2y 5
3(1) 2(1) 5
- - - - - - - - - (1)
325
55
3 x 4 y 1
3(1) 4(1) 1
- - - - - - - - - (2)
3 4 1
1 1
Sistema de ecuaciones
x 3 y 2
- - - - - - - - - (1)
x y 2
- - - - - - - - - (2)
I. Despejar “x” en las ecuaciones (1) y (2).
x 3 y 2
x 2 3 y
xy 2
- - - - - - - - - (1)
x 2y
- - - - - - - - - (4)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
85
II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de “y”.
2 3 y 2 y
- - - - - - - - - (5)
3 y y 2 2
4 y 4
4
4
y 1
y
III. Se sustituye el valor de “y” en la ecuación (3) ó (4) para obtener el valor de “x” .
x 2y
x 2 ( 1)
- - - - - - - - - (4)
x 21
x1
IV. Comprobación: Se sustituye “x” y “y” por los valores obtenidos en las ecuaciones (1) y
(2).
x 3 y 2
1 3( 1) 2
- - - - - - - - - (1)
1 3 2
2 2
xy 2
1 ( 1) 2
- - - - - - - - - (2)
1 1 2
22
Sistema de ecuaciones
m p 10
- - - - - - - - - (1)
2m 3p 5
- - - - - - - - - (2)
86
I. Se despeja m en ambas ecuaciones.
m p 10
m 10 p
2m 3p 5
2m 5 3p
5 3p
m
2
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
II. Se igualan las ecuaciones (3) y (4) para obtener el valor de p.
5 3p
2
20 2p 5 3p
2p 3p 5 20
5p 15
15
p
5
p 3
10 p
- - - - - - - - - (5)
III. Se sustituye p en la ecuación (3) o (4) para obtener el valor de m.
m 10 p
m 10 ( 3)
- - - - - - - - - (3)
m 10 3
m7
IV. Comprobación: Se sustituyen los valores de m y p en las ecuaciones (1) y (2).
m p 10
7 ( 3) 10
7 3 10
- - - - - - - - - (1)
2m 3p 5
2(7) 3( 3) 5
14 9 5
55
- - - - - - - - - (2)
87
d) Método por determinantes
Para comprender el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones por éste
método, debemos partir de la ecuación lineal general: ax + by = c
Si un sistema se forma por dos ecuaciones lineales, para distinguirlas debemos utilizar
subíndices en los coeficientes o en las constantes, así tenemos que:
a 1x b 1y c 1
- - - - - - - - - (1)
a2 x b2 y c 2
- - - - - - - - - (2)
Utilizaremos el método de suma y resta para solucionar este sistema y llegar al de
determinantes.
Primero, despejemos la variable “x” , para lo cual multiplicaremos ambas ecuaciones por
un valor que haga que los coeficientes de “y”
sea el mismo. En este caso
multiplicaremos la ecuación (1) por b2 y la ecuación (2) por b1.
a1x b1y c1
- - - - - - - - - (1)
a2 x b2 y c 2
b2
- - - - - - - - - (2)
b1
a1b 2 x b1b 2 y b 2 c 1
a 2b1x b1b 2 y b1c 2
A través de una resta eliminaremos la variable “y”.
_
a1b 2 x b1b 2 y b 2 c1
a 2b1x b1b 2 y b1c 2
a1b2 x a2b1x b2 c1 b1c 2
Segundo despejamos la variable “x” , para ello debemos factorizar el primer miembro de
la ecuación por factor común:
x(a1b 2 a 2b1 ) b 2 c1 b1c 2
Es importante aclarar que para que el sistema tenga solución es necesario que:
a1b 2 a 2b1 0
Si es así entonces obtenemos que:
88
b 2 c1 b1c 2
a1b 2 a 2b1
x
Tercero, para despejar “y” seguimos el mismo procedimiento, que se realizó con “x”
multiplicando la ecuación (1) por el coeficiente de “x” de la ecuación (2)* 1 y la ecuación
(2) por el coeficiente de “x” de la ecuación (1), en este caso -a 2 ; a1 respectivamente:
a1x b1y c1
- - - - - - - - - (1)
a2 x b2 y c 2
a 2
- - - - - - - - - (2)
a1
a1a2 x a1b2 y a1c 2
a1a 2 x a 2 b1y a 2 c1
SUMAMOS
a1a 2 x a 2b1y a 2 c1
+
a1a2 x a1b2 y a1c 2
a2b1y a1b2 y a2 c1 a1c 2
FACTORIZAMOS
y(a1b2 a2b1 ) a1c 2 a2 c1
DESPEJAMOS
y
a1c 2 a 2 c1
a1b 2 a 2b1
Así obtenemos los valores para “x” y “y” :
x
b1c 2 b 2 c1
a1b 2 a 2b1
y
a1c 2 a 2 c1
a1b 2 a 2b1
Como te darás cuenta, para obtener los valores de las variables “x” y “y” éste
procedimiento es largo por lo que es conviene aplicar el determinante. Como vamos a
obtener el valor de dos variables, el determinate será de dos por dos.
*
Si bien el coeficiente de x es positivo, lo consideraremos como negativo para eliminar la variable x por suma
89
El determinante se forma por los valores que obtuvimos en el procedimiento anterior.
Observa que el denominador de ambas variables es igual, por lo que se dice que es el
determinante del sistema; así encontramos que:
denominador = a 1b 2 a 2 b1
a1
a2
b1
b2
Entonces el determinante se forma colocando en la primer columna los coeficientes de
“x” y en la segunda los de “y” y se resuelve:
a1 b1
= a1b2 - a 2b1
a 2 b2
Entonces para encontrar el valor de “x” tenemos el determinante:
x
c1
c2
b1
b2
a1
b1
a2
b2
Ahora bien para obtener el determinante de “y” consideramos su numerador:
Numerador = a1c 2 a 2 c 1
a1
a2
c1
c2
El cual se forma colocando en la primer columna los coeficientes de “x” y en la segunda
los términos independientes, y se resuelve:
a1
a2
c1
= a1c 2 - a 2 c 1
c2
Así para encontrar el valor de “y” tenemos el cociente de los determinantes:
y
a1
a2
c1
c2
a1
b1
a2
b2
Ejemplos:
Una vez establecido el procedimiento para construir los determinantes de un sistema de
ecuaciones con dos incógnitas, los aplicaremos en los siguientes problemas:
90
Problema
EL perímetro de un rectángulo es de 18 cm. El doble de largo, excede al ancho 6 cm
¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Este problema lo resolvimos por el método gráfico y encontramos que el sistema de
ecuaciones es:
2( x y) 18
- - - - - - - - - (1)
2x y 6
- - - - - - - - - (2)
Realizamos la multiplicación en (1) y pasamos a “y” en el primer miembro en (2) para
obtener un par de ecuaciones de la forma ax + by = c .
2( x y) 18
- - - - - - - - - (1)
2x 2y 18
2x y 6
- - - - - - - - - (2)
2x y 6
Aplicamos el determinante para “x” y “y” con las ecuaciones:
2x 2y 18
- - - - - - - - - (1)
2x y 6
- - - - - - - - - (2)
x
c1
c2
b1
b2
a1
b1
a2
b2
18 2
6 1
2
2
18 12
2 4
2 1
18 12 30
2 4
6
x5
x
y
a1
a2
c1
c2
a1
a2
b1
b2
2 18
2
6
2 2
2 1
12 36 12 36 24
4
2 4
2 4
6
Entonces obtenemos que:
x5
y4
91
Los cuales son los mismos valores que obtuvimos por el método gráfico.
Problema
Una balsa navega en un río una distancia de 15 km. en 1.5 hrs siguiendo el curso de la
corriente, y en contra de la corriente recorre 12 km. en 2 hrs. ¿Cuál será la velocidad de
la balsa en contra de la corriente y cuál al seguir su curso?
Datos
Distancia siguiendo el curso
Tiempo siguiendo el curso
Distancia en contra del curso
Tiempo en contra del curso
=15 km
=1.5 hrs
=12 km
= 2 hrs.
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Velocidad de la balsa
x
Velocidad de la corriente
y
Velocidad siguiendo la corriente
xy
Velocidad contra la corriente
xy
La velocidad es igual a la distancia sobre el tiempo
Por lo que la velocidad siguiendo el curso es igual a
la distancia que recorrió sobre el tiempo que ocupó
Y la velocidad en contra del curso es igual a la
distancia que recorrió sobre el tiempo que ocupó
Sistema de ecuaciones
15
15
.
12
xy
2
xy
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Realizamos las operaciones en ambas ecuaciones.
92
d
f
15km
xy
15
. hrs
12km
xy
2hrs
v
x y 10
- - - - - - - - - (1)
x y 6
- - - - - - - - - (2)
Aplicamos el determinante para “x” y “y”.
x
y
c1
c2
b1
b2
a1
b1
a2
b2
a1
a2
c1
c2
a1
b1
a2
b2
10 1
6 1
1
1
10 (6) 16
8
1 (1)
2
1 1
1 10
1 6
1
1
6 (10) 4
2
1 (1)
2
1 1
Comprobamos los valores:
x y 10
8 2 10
10 10
xy 6
82 6
66
- - - - - - - - - (1)
Por lo tanto:
Velocidad de balsa = 8 km/h
Velocidad de la corriente = 2 km/h
Velocidad siguiendo la corriente = 10 km/h
Velocidad contra la corriente = 6 km/h
Ahora analiza los siguientes ejemplos:
Sistema de ecuaciones
5x 9y 7
- - - - - - - - - (1)
8 x 10 y 2
- - - - - - - - - (2)
93
- - - - - - - - - (2)
Solución
7 9
x
2 10
5 9
8 10
5
y
70 ( 18) 70 18
88
4
50 (72)
50 72 22
10 ( 56) 10 56
66
3
50 (72)
50 72 22
7
8 2
5 9
8 10
Comprobación:
5x 9y 7
- - - - - - - - - (1)
5( 4) 9( 3) 7
8 x 10 y 2
8( 4) 10( 3) 2
20 27 7
77
32 30 2
22
- - - - - - - - - (2)
Sistema de ecuaciones
xy y 2
3
6 3
22x 9( y 2x) 8
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
Se realizan las operaciones necesarias para que las dos ecuaciones queden de la
siguiente forma:
ax by c .
xy y 2
3
6 3
xy y 2
6(
)
3
6 3
6 x 6 y 6 y 12
3
6
3
2x 2y y 4
2x y 4
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (3)
22x 9( y 2x) 8
22x 9 y 18 x 8
- - - - - - - - - (2)
4x 9y 8
- - - - - - - - - (4)
94
Solución
Con las ecuaciones (3) y (4) aplicamos los determinantes para “x” y “y”.
2x y 4
- - - - - - - - - (1)
4x 9y 8
- - - - - - - - - (2)
x
4 1
8 9
2 1
4
y
36 ( 8) 44
2
18 ( 4) 22
16 (16)
0
0
22
22
9
2 4
4 8
2 1
4
9
Comprobación:
2x y 4
2(2) 0 4
404
44
4x 9y 8
4(2) 9(0) 8
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (4)
808
88
Hasta aquí hemos analizado el procedimiento para solucionar un sistema de ecuaciones
con dos incógnitas.
Ahora revisaremos la solución de problemas que dan lugar a sistemas de tres
ecuaciones con tres incógnitas; para lo cual aplicaremos el método de determinantes.
La ecuación lineal general con tres incógnitas es de la forma:
ax by cz d
Como el sistema se forma por tres ecuaciones lineales debemos utilizar subíndices en
los coeficientes y en la constante para distinguirlas:
a1x b1y c 1z d1
a 2 x b 2 y c 2 z d2
a 3 x b 3 y c 3 z d3
95
Ahora formamos el determinante del sistema con los coeficientes de las incógnitas:
a1
denominador = a 2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Para desarrollarlo, repetimos abajo de la tercera fila, las dos primeras y se resuelve:
a1 b1 c1
a2 b2 c 2
a3 b3 c 3 a1b2 c 3 a2b3 c1 a3b1c 2 a3b2 c1 a1b3 c 2 a2b1c 3
a1 b1 c1
a2 b2 c 2
Obtenemos el determinante para “x” sustituyendo los valores “a” por los valores de “d”
d1
d2
d3
d1
d2
b1
b2
b3
b1
b2
c1
c2
c 3 d1b 2 c 3 d 2 b 3 c1 d 3 b1c 2 d 3 b 2 c1 d1b 3 c 2 d 2 b1c 3
c1
c2
Obtenemos el determinante para la “y” sustituyendo los valores de “b” por los de “d”
a1
a2
a3
a1
a2
d1
d2
d3
d1
d2
c1
c2
c 3 a 1 d 2 c 3 a 2 d 3 c 1 a 3 d1 c 2 a 3 d 2 c 1 a 1 d 3 c 2 a 2 d 1 c 3
c1
c2
96
Obtenemos el determinante para “z” sustituyendo los valores “c” por los valores “d”
a1
a2
a3
a1
a2
b1
b2
b3
b1
b2
d1
d2
d 3 a1b 2 d 3 a 2 b 3 d1 a 3 b1d 2 a 3 b 2 d1 a1b 3 d 2 a 2 b1d 3
d1
d2
Entonces obtenemos que para encontrar los valores de “x”, “y” y “z” tenemos los
determinantes:
x
d1
d2
b1
b2
c1
c2
a1
a2
d1
d2
c1
c2
d3
d1
b3
b1
c3
c1
a3
a1
d3
d1
c3
c1
d2
b2
c2
a2
d2
c2
a1
b1
c1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a2
b2
c2
a3
a1
b3
b1
c3
c1
a3
a1
b3
b1
c3
c1
a2
b2
c2
a2
b2
c2
y
z
a1
a2
b1
b2
d1
d2
a3
a1
b3
b1
d3
d1
a2
b2
d2
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
a1
b3
b1
c3
c1
a2
b2
c2
Observa que el denominador de las tres variables es el mismo y que en el numerador la
constante sustituye al coeficiente de la incógnita que se está buscando.
Otro aspecto que es importante puntualizar, es que en la resolución de los determinantes
los productos que van “hacia abajo” son positivos y los que van “hacia arriba” son
negativos.
Ejemplos:
Ahora apliquemos estos determinantes en los siguientes problemas:
Problema
La suma de tres términos es 160; la cuarta parte de la suma del mayor y el mediano
equivale al menor menos 20. Si la mitad de la diferencia del mayor menos el menor se le
suma el número de en medio se obtiene 57. ¿Cuáles son cada uno de los números?
97
Datos
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
x + y + z = 160
La suma de tres números es 160
Número menor
x
Número mediano
y
Número mayor
z
La cuarta parte de la suma del mayor y mediano
equivale al menor menos 20
La mitad de la diferencia del mayor menos el menor se
le suma el número mediano se obtiene 57
Sistema de ecuaciones
x y z 160
zy
x 20
4
zx
y 57
2
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (3)
98
z+ y
= x - 20
4
z-x
+ y = 57
2
Procedimiento
Se hacen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones de la forma
ax by cz d
zy
x 20
4
zy
4(
x 20)
4
4z 4y
4 x 80
4
z y 4 x 80
4 x z y 80
zx
y 57
2
zx
2(
y 57)
2
2z 2x
2y 114
2
z x 2y 114
x 2y z 114
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (5)
Entonces el sistema a resolver es:
x y z 160
4 x y z 80
- - - - - - - - - (1)
x 2y z 114
- - - - - - - - - (5)
- - - - - - - - - (4)
99
Aplicamos los determinantes para “x”, “y” y “z”:
160
1 1
80 1 1
114 2 1
x
160 1 1
80 1 1
1 1 1
4 1 1
1 2 1
160 160 114 114 320 80
1 8 1 1 2 4
1 1 1
4 1 1
160 160 114 114 320 80
1 8 1 1 2 4
320 80
x
7 2 4
240
x
9 4
240
x
5
x 48
x
1 160 1
4 80 1
y
1 114 1
1 160 1
4 80 1
5
80 456 160 80 114 640
5
80 456 160 80 114 640
5
536 240 526
y
5
776 526
y
5
250
y
5
y 50
y
100
z
1
4
1
1
4
1
1
2
1
1
160
80
114
160
80
114 1280 80 160 160 456
5
114 1280 80 160 160 456
z
5
1166 856
z
5
310
z
5
z 62
5
Entonces obtenemos que:
El número menor = x 48
El número medio = y 50
El número mayor = z 62
Comprobación
x y z 160
48 50 62 160
160 160
zy
x 20
4
62 50
48 20
4
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
28 28
zx
y 57
2
62 48
50 57
2
7 50 57
57 57
- - - - - - - - - (3)
101
Problema
La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de las cifras de las centenas y la
cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 99,
las cifras se invierten. Hallar el número.
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Cifra de las centenas
x
Cifra de las decenas
y
Cifra de las unidades
z
x y z 16
La suma de las tres cifras es 16
La suma de la cifra de las centenas y la cifra de
las decenas es el triple de la cifra de las unidades
x y 3z
Si al número se le resta 99 las cifras se invierten
100x 10y z 99 100z 10y x
Sistema de ecuaciones
x y z 16
x y 3z
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
100 x 10 y z 99 100 z 10 y x
- - - - - - - - - (3)
Procedimiento
Ordenamos los datos
x y 3z
x y 3z 0
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (4)
100 x 10 y z 99 100 z 10 y x
100 x x 10 y 10 y z 100 z 99
99 x 99 z 99
- - - - - - - - - (3)
- - - - - - - - - (5)
102
Trabajaremos con el sistema de ecuaciones:
- - - - - - - - - (1)
x y z 16
x y 3z 0
99 x 99 z 99
x
x
16 1
1
0 1 3
99 0 99
16 1
1
0 1 3
1
1
99
1
1
1
1
1 3
0 99
1
1
1 3
- - - - - - - - - (4)
- - - - - - - - - (5)
( 1584 0 297) (99 0 0)
( 99 0 297) (99 0 99)
1584 0 297 99 0 0
99 0 297 99 0 99)
1584 297 99
99 297 99 99
1980
x
396
x5
x
y
1 16
1
3
1 0
99 99 99
1 16
1
3
1 0
0 99 4752 0 297 1584
396
99 4752 297 1584
y
396
4653 1881
y
396
2772
y
396
y7
396
103
1
1
1 16
1 0
99 0 99
1
1
1 16
1 0
99 0 0 1584 0 99
396
.396
99 1584 99
z
396
1584
z
396
z4
z
Entonces obtenemos que:
Cifra de las centenas = x 5
Cifra de las decenas = y 7
Cifra de las unidades = z 4
Comprobación
x y z 16
5 7 4 16
16 16
- - - - - - - - - (1)
100 x 10 y z 99 100 z 10 y x
100(5) 10(7) 4 99 100(4) 10(7) 5
500 70 4 99 400 70 5
475 475
x y 3z
5 7 3(4)
12 12
- - - - - - - - - (3)
Sistema de ecuaciones
x 2y z 3
- - - - - - - - - (1)
3x y z 4
- - - - - - - - - (2)
x y 2z 6
- - - - - - - - - (3)
104
- - - - - - - - - (2)
Procedimiento
Como están ordenadas las tres ecuaciones, aplicamos directamente los determinantes.
3
2
1
4
6
1
1
1
2
3
2
1
6 4 12 6 3 16
1 1
2 1
2 3 2 1 1 12
3 1 1
1 1 2
4
x
1
1
2
1
3
1
1
6 4 12 6 3 16
2 3 2 1 1 12
16 19
x
9 12
3
x
3
x1
x
y
1 3 1
3 4 1
1 6 2
1 3 1
3 4 1
8 18 3 4 6 18
3
8 18 3 4 6 18
y
3
52
y
3
3
y
3
y 1
3
105
z
1 2 3
3 1 4
1 1 6
1 2 3
3 1 4
6 9 8 3 4 36
3
6 9 8 3 4 36
z
3
30 36
z
3
6
z
3
z2
3
Entonces obtenemos que:
x1
y 1
z2
Comprobamos
x + 2y z = -3
3x y z 4
- - - - - - - - - (1)
1+ 2(-1) - 2 = -3
3(1) ( 1) 2 4
1- 2 - 2 = -3
3 1 2 4
1- 4 = -3
22 4
-3 = -3
44
x y 2z 6
1 ( 1) 2(2) 6
- - - - - - - - - (3)
1 1 4 6
66
Sistema de ecuaciones
x 2y 3 z 5
3 x y 3
4 x z 6
- - - - - - - - - (1)
- - - - - - - - - (2)
- - - - - - - - - (3)
106
- - - - - - - - - (2)
Observa que a las ecuaciones (2) y (3) les hace falta una variable y por lo tanto
consideramos sus coeficientes como cero:
x
5 2
3 1
6 0
5 2
3 1
3
0
1
3
0
1 2
3 1
4 0
1 2
3 1
3
0
1
3
0
5 0 0 18 0 6
1 0 0 12 0 6
5 18 6
1 12 6
19
x
19
x 1
x
y
y
y
3
0
1
3
0
3 54 0 36 0 15
19
19
3 54 36 15
19
51 51
19
0
19
0
y
y
1 5
3 3
4 6
1 5
3 3
107
1 2 5
3 1 3
4 0 6
1 2 5
3 1 3
6 0 24 20 0 36
19
19
6 24 20 36
z
19
18 56
z
19
38
z
19
z2
z
Por lo tanto:
x = -1
y=0
z=2
Comprobación
x + 2y + 3z = 5
-1+ 2(0) + 3(2) = 5
-1+ 6 = 5
5=5
- - - - - - - - - (1)
4 x z 6
- - - - - - - - - (3)
4 1 2 6
3 x y 3
3( 1) 0 3
3 3
426
66
108
- - - - - - - - - (2)
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
A fin de que ejercites la aplicación de los métodos analíticos, resuelve los problemas y los
sistemas de ecuaciones por el método que se indica.
Por el método de suma o resta.
2x y 16
1.
2.
3.
4.
y 25 5 x
x 2y 7
3 x y 35
x y8
x 3 y 48
y 2x
7 x y 35
5.
6.
7.
8.
x y 12
4
r
5
9.
3
r
5
3x 1 4y
7a b 22
5a b 14
3k 5p 9
x y 17
10. 4
3
x y 0
3
2
3k p 9
7a t 42
3a t 8
Por el método de sustitución
11.
12.
13.
14.
15.
2x y 16
y 25 5 x
x 2y 7
3 x 4 y 35
x y8
x 3 y 48
y 2x
7 x y 35
x y 12
16.
17.
18.
7a b 22
5a b 14
3k 5p 9
3k p 9
7a t 42
3a t 48
4
r
5
19.
3
r
5
3x 1 4y
20.
1
s 11
4
1
s 18
4
1
s 11
4
1
s 18
4
4
3
x y 0
3
2
109
Por el método de igualación
21.
22.
23.
24.
25.
2x y 16
y 25 5 x
x 2y 7
3 x y 35
x y8
x 3 y 48
y 2x
7 x y 35
x y 12
3x 1 4y
26.
27.
7a b 22
5a b 14
3k 5p 9
3k p 9
28.
7a t 42
3a t 8
29.
4 / 5r 1 / 4s 11
3 / 5r 1 / 4s 8
x y 17
30. 4
3
x y0
3
2
Por el método de determinantes
31. Si a cinco veces el mayor de dos números se le añade siete veces el menor, la suma
es 316, y si a nueve veces el menor se le resta el cuádruplo del mayor, la diferencia
es 83. Hallar los números.
32. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es dos y el residuo
cuatro, y cinco veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es dos y el residuo
17. Hallar los números.
33. Si al mayor de dos números se le añade siete veces el menor la suma es 316, y si a
nueve veces el menor se le resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar
los números.
34. Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es dos y el residuo
cuatro, y si cinco veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es dos y el
residuo 17. Halla los números.
35.
36.
5 x y 3
xy 1
8x 9y 6
2x 5 y 4
110
37.
5 x y
y2
4
5
x 23
y 2x 0
3
38. Daniel tiene $575 dólares en billetes de uno, cinco y diez dólares. En total posee 95,
el número de los billetes de un dólar más el número de los billetes de cinco dólares
corresponden a cinco unidades más que el doble del número de los billetes de diez
dólares. ¿Cuántos billetes de cada tipo tiene Daniel?
39. La suma de tres números da 33, el mayor tiene dos unidades menos que el doble del
menor, el triple del número menor corresponde a una unidad menos que la suma de
otros dos números. Encuentra los tres.
111
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
En este tema, aprendiste a resolver problemas que dan lugar a un sistema
ecuaciones, con dos o tres incógnitas; los métodos que aplicaste son:
de
SUMA O RESTA
SUSTITUCIÓN
IGUALACIÓN
POR ELIMINACIÓN
MÉTODO ANALÍTICO
POR DETERMINANTES
Para aplicar cualquier método debemos.
Identificar los datos conocidos.
Identificar los datos desconocidos
Traducir el problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico.
Construir nuestro sistema de ecuaciones simultaneas
A partir de aquí, debemos seleccionar el método por el que solucionaremos el sistema y
aplicar los pasos correspondientes. Observa la tabla 1
POR SUMA
Y RESTA
i. Ordenar las ecuaciones.
ii. Si es necesario,
multiplicar una de las
ecuaciones por el
coeficiente de una de las
variables de la otra
ecuación.
iii. Sumar o restar las
ecuaciones.
iv. Resolver la ecuación
que resulta.
v. Sustituir el valor de la
variable en una de las
ecuaciones iniciales.
vi. Comprobar los valores
encontrados
POR
SUSTITUCIÓN
POR
IGUALACIÓN
POR
DETERMINANTES
i. Despejar una de
las variables en
cualquiera de las
ecuaciones.
i. Despejar en
ambas
ecuaciones la
misma variable.
i. Si es necesario
hacer las
operaciones para
que las ecuaciones
queden de la forma
ax by c ó
ax by cz d
ii. Sustituir en la otra ii. Igualar las
ecuación la variable ecuaciones
despejada.
despejadas y
iii. Resolver la ecua- solucionar la
igualación.
ción.
iii. Sustituir el
iv. Sustituir el valor
valor encontrado
de la variable en la
ecuación despejada. en una de las
ecuaciones
v. Comprobar los
despejadas.
valores
iv. Comprobar
encontrados.
los valores.
Tabla 1
112
RECAPITULACIÓN
El esquema que aparece a continuación, incluye los conceptos más importantes que se
analizaron en este capítulo y tiene la finalidad de que verifiques la comprensión de cada
uno de ellos.
SISTEMA DE ECUACIONES
formado
por
DOS
INCÓGNITAS
TRES
INCÓGNITAS
Se pueden
resolver por
Se pueden
resolver por
MÉTODO
GRÁFICO
Utilizando
MÉTODO
ANALÍTICO
a través de
PLANO
CARTESIANO
MÉTODOS POR
ELIMINACIÓN
por
SUMA Ó
RESTA
SUSTITUCIÓN
MÉTODO POR
DETERMINANTES
IGUALACIÓN
Recuerda que para solucionar un sistema de ecuaciones puedes aplicar cualquiera de
estos métodos, y siempre llegarás a los mismos resultados.
Señala en el esquema el método que te parezca más sencillo y argumenta tus razones
en el siguiente espacio:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
113
ACTIVIDADES INTEGRALES
Estos ejercicios han sido preparados para que apliques lo aprendido en este capítulo.
Debe resolverlos puesto que reafirmarán tu aprendizaje.
a) Establece el modelo algebraico y la solución de los siguientes problemas:
1. El costo total de cinco libros de texto y cuatro cuadernos de trabajo es de $648.00; el
costo de otros seis libros de texto iguales y tres cuadernos es de $756.00. ¿Cuál es el
costo de cada artículo?
2. En Inglaterra, 12 libras de papas y seis de arroz cuestan 7.32 dólares, mientras que
nueve libras de papas y 13 de arroz cuestan 9.23 dólares. ¿Cuál es el precio por libra
de cada producto?
3. Cuando una persona maneja de su casa al trabajo a 60 km/h, llega cuatro minutos
antes de lo normal y cuando lo hace a 40 km/h llega seis minutos después de lo usual.
¿Cuál es la distancia de la casa a su oficina, la velocidad a la que normalmente
conduce y el tiempo que tarda en el recorrido?
b) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes.
1.
2.
3.
4x 3y 1
2x 5 y 1
4 x 10y 8
11x 9 y 15
9 x 12 4 y
3 x 2y 3
4.
4 x 2y 7
x 2y 9
5.
4x y 3 3x y
2
2
6
5 2y x
2
3
3
6.
x 3 2 y 8 2 x 2 2 y 7 2 2
2
2
x 2 y 2 x 1 y 3 3 y
114
c) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas por
determinantes.
1.
x y z 11
x y 3 z 13
2x 2y z 7
3.
x
y 2z 3
3
xy 1
y
x z 11
4
3 x 2y 1
2.
4 x z 28
x 2y 3 z 43
115
AUTOEVALUACIÓN
A continuación se proporcionan los resultados que debiste obtener.
a) Problemas
Libros x
Cuadernos y
5 x 4 y 648
6 x 3 y 756
648 4
756 3 1944 3024 1080
x 5 4 15 24 9 = 120
6 3
5 648
6 756
y
9
3780 3888 108
9
9
y 12
Por lo tanto, cada libro cuesta $120.00 y cada cuaderno $12.00
2.
7.32
p
12p 6a 7.32
papas = p
arroz = a
=
9p 13a 9.23
6
9.23 13
12
6
9
13
95.16 55.38 39.78
0.39
156 54
102
120.39 6a 7.32
6a 7.32 4.68
6a 2.64
a 2.64 / 6
a 0.44
CADA LIBRA DE PAPA CUESTA 0.39 DLS. Y
CADA LIBRA DE ARROZ 0.44 DLS.
116
3. v 60km / h
t t 4 Ecuación (1)
d?
v 40km / h
t t 6 40km / h d / t 6
Ecuación (2)
Recuerda que la expresión algebraica (fórmula) utilizada para determinar la velocidad es
igual a la distancia sobre el tiempo.
vd/ t
d vt
t d/ v
Como el tiempo está dado en minutos y hay que expresarlo en horas se obtiene:
-4 minutos = -4/60 horas
6 minutos = 6/60 horas
Obtenemos las siguientes ecuaciones:
60
d
t
40
4
60
d
t
6
60
Despejar el tiempo.
4
60
d
t
60
6
t
60
d
t
40
t
d
60
4
60
d
40
6
60
Ecuación (3)
Ecuación (4)
d 4 60t Multiplicar por 60 la ecuación (3) para eliminar denominadores.
3d 12 120 t Multiplicar por 120 la ecuación (4)
d 60 t 4 Despejar la ecuación (3)
117
360t 4 12 120t Sustituir la ecuación (4)
180t 12 12 120t Efectuar operaciones.
24 120 t 180 t
24 60 t
24 / 60 t
2 / 5 t
El tiempo normal son 2/5 de hora, que multiplica dos por 60 obtenemos el tiempo
expresado en minutos.
2 / 560 24
t 24 minutos
Sustituir el tiempo en la expresión d 4 60t , o bien 3d 12 120 t .
d 602 / 5 4
3d 12 120 t
3d 120 t 12
d 24 4
d 20 km
d
d
120 t 12
3
2
120 12
5
3
48 12 60
d
20km
3
3
d 20 km
118
Hasta el momento has encontrado el tiempo usual y distancia que se recorre
normalmente, por lo tanto, encontrar la velocidad promedio a la que normalmente se
conduce se utiliza la expresión:
v d / t; v 20 / 1 / 2 / 5 100 / 2 50 km / h .
Comprobación
Distancia diaria de 20 km.
Tiempo usual es de 2/5 h es decir, 24 minutos.
Si viaja a 60 km/h, la distancia de 20 km la recorre en:
v d / t; t d / v 20 / 60 1 / 2 h; es decir, 30 minutos
Como se puede observar arriba 4 minutos después de lo usual.
b) Soluciones.
1
7
1
y
7
x
1.
x3
2.
3.
4.
y2
La ecuación 1 la multiplicamos por (-1) para quitar el término negativo (-4x).
6
5
En la ecuación 1 aplicamos el elemento inverso aditivo.
3
y
10
x
2
3
29
y
6
x
5. Para cada una de las ecuaciones busca su m.c.m. y multiplica ambos miembros de la
ecuación por m.c.m. Establece las operaciones indicadas y reduce términos
semejantes, aplicando las propiedades de campo de los números reales
x1
y0
119
6. Para la solución se efectúan los productos notables (binomios elevados al cuadrado)
en ambas ecuaciones.
El sistema a resolver queda:
2x 2y 18
2x 3 y 10
y la solución es
x 17
y 8
c)
1.
x2
y4
z5
2.
x 5
y 7
z 8
3.
120
x9
y8
z4
RECAPITULACIÓN GENERAL
Observa detenidamente el esquema que te ayudará a que recuerdes lo que estudiaste en
ambos capítulos
ECUACIONES MODELOS
GENERALIZADORES
ECUACIONES DE PRIMER
GRADO CON UNA
INCÓGNITA
SISTEMA DE ECUACIONES
se forman
por
se pueden resolver
por
MÉTODO
ALGEBRAICO
DOS
INCÓGNITAS
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
TRES
INCÓGNITAS
PROBLEMATIZACIÓN
ANÁLISIS DEL
PROBLEMA
MÉTODO
GRÁFICO
TRANSFORMACIÓN DEL
LENGUAJE COMÚN AL
LENGUAJE SIMBÓLICO
SEPARACIÓN DE LOS
DATOS
SIMBOLOGÍA DE LAS
INCÓGNITAS
utilizando
MÉTODO
ANALÍTICO
a través
PLANO
CARTESIANO
MÉTODO POR
ELIMINACIÓN
ELABORACIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO
MÉTODO POR
DETERMINANTES
por
COMPROBACIÓN
SUMA O
RESTA
SUSTITUCIÓN
121
IGUALACIÓN
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
Resuelve los siguientes ejercicios considerando los temas que revisaste en el fascículo y
aplicando cada uno de los métodos para su solución
1) Determina la solución de las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones
aplicando el método algebraico.
A) x 8 12
x
1 9
5
B)
C) 12x 8 13x 0
D) 3x 9 5x 6
E) 2x 1 3 x 1
F) x 2x 1 8 3x 3
G) 10 6x 2x 2x
2
1
1
1
1 x 1 x 2x x
3
4
3
6
H)
x y 4
I)
J)
3x y 0
(por suma o resta)
12x 14 y 20
(por suma y resta)
12y 14 x 19
K)
4y 3x 8
8 x 9 y 77
(por sustitución)
xy 8
L) 1
(por sustitución)
1
x y 1
3
2
LL)
6 x 18 y 85
24 x 5 y 5
(por igualación)
122
3
x y 11
2
M)
(por determinante)
1
x y7
2
N) 3X + y + z = 1
x + 2y - z = 1
x + y + 2z = -17
(por determinantes)
2) Representa gráficamente las ecuaciones de los incisos A); D); F); I); J); Y LL):
3) Plantea el modelo algebraico y determina la solución de los siguientes problemas
A) Durante una venta especial, Araceli vendió 19 capas para dama más que la mitad de
las que vendió Jazmín. Si entre ambas vendieron 157 capas ¿cuántas vendieron cada
una?
B) La base de un triángulo tiene la misma longitud que el lado de un cuadrado. El
segundo lado del triángulo es 2 cm más largo que la base y el tercer lado es 6cm más
largo que dicha base. Si el perímetro del triángulo es igual al del cuadrado. Hallar la
longitud del lado mayor del triángulo
C) El largo de un parque de juegos excede en 25 m al doble de su ancho y se necesitan
650 m de malla de alambre para cercarlo. Hallar sus dimensiones.
D) La renta y los ahorros del Sr. González hacen un total mensual de $1,000.00. Si
ahorrará $50.00 más al mes, sus ahorros serán la mitad de su renta. ¿Cuál es su renta?
E) Un equipo de béisbol compró 7 bates y 5 pelotas en $590.00. Después compró 3
bates y 6 pelotas en $330.00 ¿cuál es el precio de cada objeto?
F) El promedio de 2 números es 5/48. Un cuarto de su diferencia es 1/96. Hallar los dos
números.
123
AUTOEVALUACIÓN
A continuación se proporcionan los resultados de las actividades de consolidación para
que puedas compararlos con las soluciones que obtuviste:
1.
A)
x = -4
B)
x = 50
C)
x = -8
D)
x
E)
x=2
F)
x=3
G)
x=5
H)
x = -3
I)
x = 2; y = 6
J)
x=
K)
x = -4 ; y = 5
L)
x = 18 ; y = 10
LL)
x=
M)
x = 6; y = 2
N)
x = 5 ; y = -6 ; z = -8
3
8
1
; y = -1
2
5
; y=5
6
124
2.
A) y x 4
y
4
3
2
1
x´
x
-4
-3
-2
-1
0
y´
D) y 8x 3
y
3
2
1
x´
-2
x
0
-1
3
8
y´
F) y x 3
y
x´
x
0
3
-3
y´
125
y
I) y1 x 4
y1
y2
y 2 3x
6
P(2,6)
4
x´
6
10
J) y 1 x
7
7
y2
-4
0
x
2
y´
y
7
19
x
5
12
y2
x´
0
1
2
1 19
14
-1 .
10
7
19
12
y´
126
5
3
y1
x
LL) y 1
1
85
x
3
18
y2
y
y1
y2
24
x1
5
P(
x´
5
,5 )
6
x
85
6
0
5
24
y´
127
5
6
3.
1
A) Modelo = x x 19 157
2
Araceli vendió 65 capas
Jazmín vendió 92 capas
B) Modelo = x (x 2) (x 6) 4x
Longitud del lado mayor del triángulo: 14 cm.
C) Modelo = 2(2x 25) 2x 650
Dimensiones: largo 225 m; ancho 100 m.
x y 1000
x
y 50
2
Renta: $700.00
D) Modelo =
E) Modelo =
7 x 5 y 590
3 x 6 y 330
Bate: $70.00
Pelota: $20.00
x y
2
F) Modelo =
x y
4
1
1
Números:
y
8
12
5
48
1
96
128
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
Al aplicar los conocimientos que adquiriste trata de resolver las siguientes situaciones
para reafirmar tu aprendizaje sobre este tema.
a) Observa y anota como se utilizan las ecuaciones para representar reacciones
químicas.
b) Elabora un ejemplo.
Recuerda que las ecuaciones tienen muchas aplicaciones para resolver problemas de
otras áreas y de tu vida cotidiana.
129
GLOSARIO
Este apartado te ayudará a que puedas conocer el significado de algunos términos que
se utilizaron a lo largo del fascículo.
Ecuación:
Es un tipo de igualdad que se satisface para ciertos valores.
Ecuaciones equivalentes: Dos o más ecuaciones que admiten la misma solución.
Ecuación lineal:
Es una que representa la expresión de una función lineal.
Ecuación numérica:
Es la ecuación en cuyos términos no existen más letras que
las correspondientes a las incógnitas.
Grado de una ecuación:
Es el valor del exponente mayor que aparece en las
incógnitas de la ecuación.
Igualdad:
Es una expresión algebraica compuesta por dos miembros
separados por el signo “ = “ .
Incógnitas:
Son las letras que figuran en la ecuación y de cuyo valor
depende que se cumpla con la igualdad.
130
BIBLIOGRAFIA
A continuación encontrarás algunos títulos de textos que te ayudarán al estudio del
fascículo.
ALLENDOERFER, C. B. y Oakley, C O.: Fundamentos de Matemáticas Universitarias.
Colombia, McGraw Hill, 1973.
ANFOSSI, A.: Álgebra.
BALDOR, A.: Álgebra elemental. Ediciones y Distribuciones Códice, España, 1981.
BARNETT, Rich.: Álgebra elemental. Mc. Graw-Hill, México, 1969.
CABALLERO et al. : Matemáticas. Esfinge, México 1957.
CROWHURST: Introducción al Álgebra, Geometría y Trigonometría. Buenos Aires,
Grijalbo, 3a ed., vol. II, 1969.
DÍAZ Barriga Gazales, A. J.: Ecuaciones y desigualdades de primer grado. México,
CECSA 1979.
DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. México, Publicaciones Cultural, 1967.
DROOGAN, I. y Wooton, W.: Elementos del álgebra para bachillerato. México,
1979.
Limusa,
GÓMEZ Calderón, J. et al.: Matemáticas formativas. CECSA, México, 1990.
GUERRERO de la Rosa, Rafael: Fundamentos de Álgebra. UNAM-SUA, México.
KALVIN, R. A.: Álgebra y funciones elementales. URSS, 1978.
LIZÁRRAGA Gaudry et al.: Matemáticas, Bachillerato. Progreso, México.
LOVAGLIA, F. M., Elmore y Conway, D.: Álgebra. México, Harla, 1972.
NICHOLS, E. D.: Álgebra 1. México, CECSA, 1980.
PERELMAN, Y.: EL divertido juego de las matemáticas. Barcelona, Círculo de Lectores,
Ediciones Martínez Roca, 1968.
REES, P. K. et al.: Álgebra. México, McGraw Hill, 1980.
131
SOBEL, M. A. y Banks, J. H.: Álgebra, México, McGraw Hill, 1980.
SOBEL, Max et al.: Álgebra. Prentice Hall, México, 1989.
SPIEGEL, Murray R.: Álgebra superior. México, 1989.
WADE y Taylor: Matemáticas fundamentales. México, Limusa.
132
DIRECTORIO
Dr. Roberto Castañón Romo
Director General
Mtro. Luis Miguel Samperio Sánchez
Secretario Académico
Lic. Filiberto Aguayo Chuc
Coordinador Sectorial Norte
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C.P. Juan Antonio Rosas Mejía
Director de Programación
Lic. Miguel Ángel Báez López
Director de Planeación Académica
M.A. Roberto Paz Neri
Director Administrativo
Lic. Manuel Tello Acosta
Director de Recursos Financieros
Lic. Pablo Salcedo Castro
Unidad de Producción Editorial
AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN DE:
Leonel Bello Cuevas
Javier Dario Cruz Ortiz
