ntica - Guías de apoyo

CUANTOS DE RADIACIÓN: Todas las ondas electromagnéticas, incluyendo la luz, tienen una naturaleza dual. Cuando
viajan por el espacio, actúan como ondas y dan origen a efectos de interferencia y de difracción. Cuando la radiación
electromagnética interactúa con los átomos y las moléculas, el haz se comporta como flujo de corpúsculos energéticos
llamados fotones o cuantos de luz.
La energía de cada fotón depende de su frecuencia! (o de la longitud de onda "A.) de la radiación en el haz:
Energía del fotón = hf =
ℎ𝑐
λ
Donde h = 6.626 × 10-34 J ∙ s es una constante de naturaleza conocida como constante de Planck.
EFECTO FOTOELÉCTRICO: Cuando la luz incide sobre una superficie, bajo ciertas condiciones se desprenderán electrones
Suponga que un fotón de energía hf choca contra un electrón que se encuentra en o próximo a la superficie del material
la interacción, el fotón transfiere toda su energía al electrón. La función de trabajo, el trabajo mínimo requerido para
1
2
Iiberar un electrón de la superficie, es Wmin-. Entonces la energía cinética máxima ( mv2máx) electrón desprendido está
dada por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
1
2
mv2máx= hf-Wmin
La energía del electrón emitido se puede calcular determinando la diferencia de potencial V
que se necesita aplicar para detener el movimiento; entonces
hf-Wmin=Vs e
Donde Vs es el potencial frenado.
Para cualquier superficie, la longitud de onda de la luz debe ser lo suficientemente pequeña
para que la energía del fotón hf sea lo suficientemente grande para desprender al electrón. En la longitud
de onda umbral (o frecuencia), la energía del fotón es casi igual a la función de trabajo. Para un metal
ordinario la longitud de onda umbral cae en el rango del visible o del ultravioleta Los rayos X desprenden
fotoelectrones, los fotones del infrarrojo o caloríficos nunca desprenderán electrones.
EL FOTÓN TIENE MASA EN REPOSO CERO: Toda su masa se debe a que se mueve con rapidez
c. Como ΔE-(Δm) c2, ya que la del fotón es hf, se tiene para un fotón.
mc2= hf
El ímpetu de un fotón es mc = h/λ.
o
ℎ𝑓 ℎ
m= 𝑐 2 =𝑐𝜆
EFECTO COMPTON: Un fotón puede chocar con una partícula cuya masa de reposo no es cero, por ejemplo
con un electrón Cuando esto sucede su energía e ímpetu pueden cambiar debido a la colisión. Es factible
que el fotón también se deflecte en el proceso. Si un fotón con longitud de onda λ choca con una partícula
libre en reposo de masa m y se deflecta un ángulo φ su longitud de onda cambia a λ’ donde
ℎ
(1-cosφ)
𝑚𝑐
λ’=λ+
El cambio fraccional en la longitud de onda es muy pequeño, excepto en el caso de
radiación altamente energética como los rayos X y los rayos y
ONDAS DE DE BROGLIE: Una partícula de masa m que se mueve con ímpetu p tiene asociada
una longitud de onda de Broglie.
ℎ
ℎ
λ=𝑝=𝑚𝑣
Un haz de partículas se puede difractar e interferir. Estas propiedades de
comportamiento ondulatorio de las partículas se pueden calcular suponiendo que las
partículas actúan como ondas (ondas de Broglie) con longitud de onda de De Broglie.
RESONANCIA DE LAS ONDAS DE DE BROGLIE: Una partícula confinada en una región finita del
espacio se dice que es una partícula ligada. Ejemplos típicos de sistemas de partículas son las
moléculas de un gas en recipiente cerrado, un electrón en Un átomo. La onda de De Broglie
que representa a una partícula ligada entrará en resonancia dentro de la región del espacio
donde está confinada si la longitud de onda cabe en esa región. A cada forma posible de
resonancia se Ie llama estado (estacionado) del sistema. Es más probable encontrar a la
partícula en la posición de los antinodos de la onda resonancia se le llama nunca se encuentra
en la posición de los nodos.
LAS ENERGÍAS CUANTIZADAS de las partículas ligadas se deben a que cada estado de
resonancia tiene una energía discreta asociada con ella. Ya que es más probable encontrar a la
partícula sólo en estado de resonancia, las energías observadas son discretas ( cuantizadas).
Únicamente en sistemas de partículas atómicas (o mas pequeñas) se dan las diferencias de
energías entre los estados de resonancia lo suficientemente grandes para ser observadas
PROBLEMAS RESUELTOS
43.1 Demuestre que un fotón de una luz infrarroja de 1240 nm tiene una energía de 1 eV.
Energía = hf =
ℎ𝑐
𝜆
6.63 x 10 −" J • s)(3 x 108 m/s)
1240x10−9 m
=(
=1.60× 10-19 J = 1 eV
43.2 Calcule la energía de un fotón de luz azul de longitud de onda 450 nm
Energia=
ℎ𝑐
𝜆
=
(6.63×10−34 𝐽•s)(3×108 𝑚/𝑠)
=
450×10−9
4.42 x 10-19 J= 2.76 eV
4.3.3 Para romper el ligamento químico en una molécula de piel humana y por lo tanto causar
una quemadura de sol se requiere un fotón con una energía de aproximadamente 3.5 eV. ¿A
qué longitud de onda corresponde esta energía?
ℎ𝑐
(6.63×10−34 J •𝑠)(3×108 𝑚/𝑠)
=
=nm
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
(3.5𝑒𝑉)(1.6×10−19 𝐽/𝑒𝑉)
λ=
La luz ultravioleta causa las quemaduras por el sol.
43.4 La función de trabajo de metal de sodio es 2.3 eV. ¿Cuál es la longitud de onda más
grande de la luz que puede producir emisión de fotoelectrones en el sodio?
En el umbral, la energía del fotón es exactamente igual a la energía que se requiere para
desprender a un electrón del metal, ésta es la función de trabajo Wmin
ℎ𝑐
Wmin= 𝜆
1.6×10−19 𝐽 (6.63×10−34 𝐽∙𝑠)(3×108 𝑚/𝑠)
)=
1𝑒𝑉
𝜆
(2.3 eV)(
λ= 540 nm
43.5 ¿Qué diferencia de potencial se debe aplicar para detener al fotoelectrón más rápido
emitido por una superficie de níquel bajo la acción de luz ultravioleta de longitud de onda 200
nm? La función de trabajo para el níquel es de 5.01 eV
Energía del fotón =
ℎ𝑐 (6.63×10−34 𝐽∙𝑠)(3×108 𝑚/𝑠)
=
=9.95×
𝜆
2000×10−10 𝑚
10−19 J=6.21eV
Entonces, de la ecuación del efecto fotoeléctrico, la energía del electrón emitido con mayor
rapidez es
6.21 eV — 5.01 eV = 1.20 eV
Entonces se requiere un potencial retardador negativo. Este es el potencial de frenado
43.6 ¿Emitirá fotoelectrones una superficie de cobre, con una función de trabajo de 4.4 eV,
cuando se ilumina con luz visible. Igual que en el problema 43.4,
ℎ𝑐
Umbral𝜆 = 𝑊
𝑚𝑖𝑛
=
(6.63×10−34 𝐽∙𝑠)(3×108 𝑚/𝑠)
4.4(1.60×10−19 )𝐽
= 282 nm
Por lo tanto, la luz visible (400 nm a 700 nm) no puede desprender electrones del cobre.
43.7 Un haz láser (𝜆 = 633𝑛𝑚) del tipo diseñado para que lo usen los estudiantes tiene una
intensidad de 3 mW. ¿Cuántos fotones pasan por un punto dado en cada segundo?
La energía que pasa por un punto en cada segundo es 0.0030 J/s. Como la energía por fotón
es que resulta ser 3.14 x 10−19 J, el número es
Cantidad/s =
0.0030 𝐽/𝑠
3.14×10−19 𝐽/𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛
= 9.5× 1015 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠
43.8 En un proceso llamado producción de pares, un fotón se transforma en un electrón y en
un positrón. Un positrón tiene la misma masa que un electrón, pero su carga es +e .¿Cuál es la
mínima energía que debe tener un fotón si ocurre este proceso?.¿Cuál es la correspondiente
longitud de onda?
El fotón tendrá una energía equivalente a la de la masa en la cual se transforma, que es
(Δm)c2 =(2)(9.1× 10−31 𝑘𝑔)(3 × 108 𝑚/𝑠)2 =1.64× 10−13J =1.02MeV
Entonces, como esta energía debe ser igual a hc/λ
ℎ𝑐
λ=1.64×10−13 𝐽=1.21× 10−12 m
Esa longitud de onda está en la región de los rayos X muy cortos, la región de los rayos gamma
43.9¿Qué longitud de onda debe tener la radiación electromagnética para que un fotón en un
haz tenga el mismo que el de un electrón que se mueve con una rapidez de 2×105 m/s?
Se requiere que (mv)electrón=(h/λ)fotón. De ello,
6.63×10−34 𝐽 ∙𝑠
ℎ
λ=𝑚𝑣=(9.1×10−31 𝑘𝑔)(2×105 𝑚/𝑠)=3.64nm
Esta longitud de onda está en la región de los rayos X
43.10 Suponga que un fotón con longitud de onda de 3.64 nm que se mueve en la dirección +x
choca frontalmente con un electrón cuya rapidez 2×105 m/s y se mueve en la dirección – x. Si
la colisión es perfectamente elástica, encontrar la rapidez del electrón y la longitud de onda
del fotón después de la colisión.
De la ley de le conservación del ímpetu.
Ímpetu
ℎ
𝜆0
–
ℎ
mv0 =𝜆
antes
=
ímpetu
después
- mv
-Del Problema 43.9, h/λ0= mv0 en este caso. De aquí, h/λ = mv. Entonces. para una colisión
perfectamente elástica.
EC antes= EC después
ℎ𝑐
𝜆0
1
ℎ𝑐
1
+ 2 m𝑣02 = 𝜆 + 2 mv2
Si de asume que el hecho de que h/λ0 = mv0 y h/λ = m/v, vemos que
1
1
V0(c+2 v0) = v(c + 2 𝑣)
Por lo tanto v = v0 y el electrón se mueve en la dirección +x o con la misma rapidez que tenia
antes de la colisión. Como h/λ = mv = v0 , el fotón rebota y conserva su longitud de onda.
43.11 Un fotón (λ = 0.400 nm) choca con un electrón que se encuentra en reposo y rebota con
un ángulo de 150º en la dirección que tenia antes del choque. Determine la rapidez y longitud
de onda del fotón después de la colisión. La rapidez del fotón siempre es igual a la rapidez de
la luz en el vacío, c. Para obtener la longitud de onda después de la colisión, utilizamos la
ecuación del efecto Compton:
ℎ𝑐
𝑚𝑐
λ’= λ +
(1- cosφ)
6.63 ×10−34 𝐽∙𝑠
=4× 10−10 𝑚 + (9.1×10−31 𝑘𝑔)(3×108 𝑚/𝑠) (1-cos 150º)
=4× 10−10 𝑚 + (2.43 × 10−12 𝑚)(1 + 0.866) = 0.4045𝑛𝑚
42.12 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie para una partícula que se mueve con una
rapidez de 2× 106 m/s si la partícula es (a) un electrón, (b) un protón y (c) una pelota de 0.2
kg?
Si se emplea la definición de la longitud de onda de De Broglie
ℎ
λ=𝑚𝑣 =
6.63×10−34 𝐽 ∙𝑠
𝑚
𝑚(2×106 )
𝑠
=
3.3 × 10−40 𝑚 ∙𝑘𝑔
𝑚
Si se sustituyen los valores de m, se encuentra que la longitud de onda es 3.6 x 10-10 para el
electrón, 2 x 10-13 para protón y 1.65 × 10-39 m para la pelota de 0.2kg
43.13 Un electrón en reposo se pone en una diferencia de potencial de 100 V. ¿Cual es la
longitud de onda de De Broglie?
Su rapidez sigue siendo menor que c por lo que se pueden ignorar los efectos relativistas.
La EC ganada, 1/2mv2, iguala a EP eléctrica perdida, Vq Entonces,
2𝑉𝑞
=
𝑚
1 v= √
2(100 𝑉)(1.6 × 10−19 𝐶)
=
9.1×10−31
√
𝜆=
5.9 × 106 𝑚/𝑠
ℎ
6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠
=
= 0.123𝑛𝑚
𝑚𝑣
9.1 × 10−31 𝑘𝑔)(5.9 × 106 𝑚/𝑠)
43.14 ¿Cuál es la diferencia de potencial para que un microscopio electrónico le proporcione a
un electrón una longitud de onda de 0.5 Á?
1
1
ℎ
ℎ2
EC del electrón = 2 mv2=2 m(𝑚𝜆)2 =2𝑚𝜆2
Donde se ha utilizado la relación de De Broglie, λ = h/mv. Si se sustituyen los valores conocidos
se obtiene EC como 9.66 x 10-17 J. entonces, EC - Vq, y por eso
V=
𝐸𝐶
𝑞
=
9.66×10−17 𝐽
1.6× 10−19 𝐶
=600V
FÍSICA CUÁNTICA Y MECÁNICA ONDULATORIA
43.15 ¿Cuál es la EC y la longitud de onda de un neutrón térmico?
Por definición, un neutrón térmico es un neutrón libre en un gas de neutrones
aproximadamente a 20 °C (293 k). Del capítulo 17 la energía térmica de un gas molecular es 3
kT/2, donde k es la constante de Boltzman (1.38 X 10-23 J/K ). Entonces
3
EC= 2 𝑘𝑇 = 6.07 × 10−21 𝐽
Este es un caso no relativista por lo que podemos escribir
𝑚2 𝑣 2
1
𝑝2
0
EC=2m0v2= 2𝑚
=2𝑚
0
Entonces
o p2=(2m0)(EC)
0
ℎ
𝑝
λ= =
ℎ
√2𝑚0 )(𝐸𝐶)
=
6.63×10−34 𝐽∙𝑠
√(2)(1.67×10−27 𝑘𝑔)(6.07×10−21 𝐽
= 0.147𝑛𝑚
43.16 Encuentre la presión que ejerce sobre una superficie el haz de fotones del Problema 43.7
si el área de la sección transversal del haz es 3 mm2. Suponga que la reflexión a la incidencia
normal es perfecta.
Cada fotón tiene un ímpetu
ℎ
p= 𝜆 =
6.63×10−34 𝐽∙𝑠
633×10−9 𝑚
= 1.05 × 10−27 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠
Cuando un fotón se refleja, su ímpetu cambia de +p a —p, un cambio total en el ímpetu 2p.
Como 9.5 ×1015 fotones cada segundo, se obtiene
Cambio en el ímpetu/s = (9.5 x 1015/s)(2)(1.05 x 10-27 kg • m/s) = 1.99 x 10-11 kg • m/s2
De la ecuación del impulso (Capítulo 8),
Impulso= Ft = cambio en el impetu
Tenemos
Entonces
F= cambio en el ímpetu/s=1.99×10-11kg ∙ 𝑚/𝑠 2
𝐹
Presión=𝐴 =
1.99×10−11 𝑘𝑔 ∙𝑚/𝑠2
3×10−6 𝑚2
= 6.6 × 10−6 𝑁/𝑚2
43.17 una partícula de masa m esta confinada a un tubo angosto de longitud L. Encuentre (a) la
longitud de onda de la onda de De Broglie que resonará en el tubo, (b) los ímpetus de las
partículas y (c) las energías correspondientes. (d) Calcule las energías para un electrón en un
tubo con una longitud L= 0.5 nm.
(a) La onda de De Broglie resonará con un nodo en cada extremo del tubo ya que éste esta
cerrado en los extremos. Algunos de los posibles modos de resonancia se muestran en la Fig.
43-1
Éstos
permiten
visualizar
que
para
la
resonancia,
1
2
1
2
1
2
1
2
L= 𝜆1, 2 ( 𝜆2 ) , 3 ( 𝜆3 ) , … 𝑛 ( 𝜆𝑛 ) … 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
n= 1,2,3,…
(b) Como la longitudes de onda de De Broglie es 𝜆𝑛 = ℎ/𝑝𝑛 , los impetus en la resonancia son
𝑝𝑛 =
𝑛ℎ
2𝐿
n=1,2,3,…
(c) Como se mostró en el Problema 43.15, p2 = (2m)(EC), entonces
(EC
)n
=
𝑛2 ℎ 2
8𝐿2 𝑚
n=1,2,3,...
Note que las partículas sólo se pueden encontrar en ciertos estados energéticos discretos. Las
energías están, cuantizadas
(d) Con m=9.1 x10 -31kg y L=5 x 10 -10m se obtiene
(EC)n = 2.4 x 10 -19 n2
j= 1,50 n2 eV
Una partícula de masa m esta confinada a moverse en una órbita de radio R ,¿Qué energías
puede adquirir la partícula para que esté en resonancia en una onda de De Broglie? Efectúe el
cálculo para un electrón con R -05 nm. Para que una onda entre en resonancia cuando se
encuentra en una órbita circular las crestas deben coincidir con las crestas y los valles con los
valles .Un ejemplo de resonancia (para una circunferencia con una longitud de cuatro
longitudes de onda) se muestra en la Fig. 43-2. En general, se conseguirá resonancia cuando la
circunferencia tenga una longitud de n longitudes de onda, donde n - 1, 2, 3… Para una onda
de
De
Broglie
se
tiene
nλ
n=2πR
h
nh
y Pn = =
λn 2πR
Igual que en el problema 43.17.
(𝐸𝐶)𝑛 =
𝑝𝑛2
𝑛 2 ℎ2
=
2𝑚
8𝜋 2 𝑅2 𝑚
Obviamente, las energías están cuantizadas. Al sustituir valores se obtiene
(EC)n = 2.44 x 10-20 n2 J = 0.153n2 eV
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
4.19 Calcule la energía de un fotón de luz azul ( λ = 450 nm), en joule y en eV.
Sol. 2,21 nm
43.20 ¿Cuál es la longitud de onda de una luz en la cual los fotones tienen una energía de 600
eV?
Sol. 2.1 nm
43.21 Una lámpara de sodio de 20 W irradia luz amarilla ( 𝜆 =589 nm). ¿Cuántos fotones de luz
amarilla son emitidos por la lámpara en cada segundo?
Sol. 5.9 x 1019
43.22 ¿Cuál es la función de trabajo de una superficie de metal de sodio si la longitud de onda
umbral fotoeléctrica es de 680nm?
Sol. 1.82 eV
43.23 Determine la máxima EC de los fotoelectrones que se desprenden de una superficie de
potasio debido a una luz ultravioleta de 200 nm de longitud de onda. ¿Cuál es la diferencia de
potencial de retardo que se requiere para frenar a los electrones? La longitud de onda umbral
fotoeléctrica del potasio es 440 nm.
Sol. 3.38 eV, 3.38 V
43.24 ¿Con qué velocidad serán emitidos fotoelectrones rápidos por una superficie cuya
longitud de onda umbral es de 600 nm, cuando la superficie se ilumina con una luz de 400 nm
de longitud de onda?
Sol.
6
x
105
m/s
43.25 Una radiación ultravioleta de 150 nm de longitud de onda, desprende electrones de una
superficie metálica con una EC máxima de 3 eV. Determine la función de trabajo del metal, la
longitud de onda umbral del metal y la diferencia potencial retardado, que se requiere para
frenar la emisión de electrones.
Sol 5.27 eV, 235 nm , 3V
43.26 ¿Cuál es la rapidez y el ímpetu de un fotón de 500 nm de longitud de onda?
Sol. 3 x 10 8m/s, 1.33 . 10 -27kg x m/s
43.27 Un haz de rayos X con una longitud de onda exacta de 5 x 10 -14 colisiona con un protón
que se encuentra en reposo (m=1,67 x 10 -27 kg ). Si los rayos X se dispersan con un ángulo de
110º, ¿cuál es la longitud de onda de los rayos X dispersados?
Sol 5,18 x 10 -14
43.28 Un par electrón positrón, cada uno con una energía cinética de 220 keV, son producidos
por un fotón. Encuentre la energía y la longitud de onda del fotón.
Sol . 1.46 MeV, 8.5 x 10 -13m
43.29 Demuestre que la longitud de onda de De Broglie de un electrón que parte del reposo y
que es acelerado por una diferencia de potencial de V volts es 1.226/ √v nm.
43.30 Calcule la longitud de onda de de Broglie de un electrón que ha sido acelerado por una
diferencia de potencial de 9 kV. Desprecie los efectos relativistas.
Sol. 1.3 x 10 -11 m
43.31 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie que ha sido acelerado por una diferencia de
potencial de 1 MV ? (Con esta energía que es muy grande debes utilizar las expresiones de la
masa y la energía relativista)
Sol. 8.7 x 10 -13m
43.32 Se desea hacer pasar un haz de electrones por una rejilla de difracción de periodo d
(separación entre ranuras). Los electrones tienen una rapidez de 400 m/s. ¿Qué tan grande
debe ser d para que el haz de electrones se difracte un ángulo de 25º?
Sol. n (4.3 x 10 -6m), donde n - 1, 2, 3,...
Datos útiles:
Rango de Longitudes de onda del espectro visible
Color
Longitud de onda
violeta
~ 380-450 nm
azul
~ 450-495 nm
verde
~ 495-570 nm
amarillo
~ 570–590 nm
naranja
~ 590–620 nm
rojo
~ 620–750 nm
PREFIJOS Y SUFIJOS
Prefijos del orden de magnitud
Existen diferentes valores que pueden ser muy grandes (10^23) o muy pequeños (10^-11).
Surge entonces una forma de simplificar la expresión de resultados en la notación
científica, existen diferentes prefijos en el Sistema Internacional, de esta forma las
diferentes potencias de diez tiene nombre y símbolo especiales:
Potencia de 10
Prefijo
simbolo
Ejemplo
24
10
Yotta
Y
Ym
1021
Zetta
Z
Zm
18
10
Exa
E
Em
15
10
Peta
P
Pm
12
10
Tera
T
Tm
09
10
Giga
G
Gm
06
10
Mega
M
Mm
03
10
Kilo
K
Km
02
10
Hecta
H
Hm
01
10
Deca
D
dm
Potencia de 10
10−24
10−21
10−18
10−15
10−12
10−09
10−06
10−03
10−02
10−01
Prefijo
Docto
Zepto
Atto
Femto
Pico
Nano
Micro
Mili
Centi
Deci
simbolo
y
z
a
f
p
n
u
m
c
d
Ejemplo
ym
zm
am
fm
pm
nm
um
dm
cm
dm
Schrödinger , Broglie ,
Heisenberg
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (n. 12 de agosto de 1887, en Erdberg, Viena,
Imperio austrohúngaro – 4 de enero de 1961, id.) fue un físico austríaco, nacionalizado
irlandés, que realizó importantes contribuciones
en los campos de la mecánica cuántica y la
termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física
en 1933 por haber desarrollado la ecuación de
Schrödinger.
Tras
mantener
una
larga
correspondencia con Albert Einstein propuso el
experimento mental del gato de Schrödinger que
mostraba las paradojas e interrogantes a los que
abocaba la física cuántica.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (18871961), físico austriaco que inventó la mecánica
ondulatoria en 1926, y que fue formulada
independientemente de la mecánica cuántica. Al
igual que esta última, la mecánica ondulatoria
describe matemáticamente el comportamiento de los
electrones y los átomos. Pero su ecuación medular,
conocida como ecuación de Schrödinger, se
caracteriza por su simpleza y precisión para entregar
soluciones a problemas investigados por los físicos.
Schrödinger nació en Viena el 12 de agosto de 1887,
y murió el 4 de enero de 1961. Hijo único del
matrimonio formado por Rudolf Schrödinger y una
hija de Alexander Bauer, su profesor de química en
la
Universidad
Técnica
de
Viena.
En 1920, asume un puesto académico como ayudante de Max Wien; después ocupa los cargos de
profesor extraordinario en Stuttgart, profesor titular en Breslau, primero, y luego en la
Universidad
de
Zurcí.
Fue su período más fructífero, ocupándose activamente de una variedad de temas sobre física
teórica. Sus artículos se centraron específicamente en la temperatura de sólidos, problemas de
termodinámica y espectros atómicos. Su gran descubrimiento, la ecuación de ondas de
Schrödinger, ocurrió durante la primera mitad de 1926. Por ese trabajo Schrödinger compartió con
Dirac
el
premio
Nobel
de
física
de
1933.
En 1927, Schrödinger se mudó a Berlín para suceder a Planck. Cuando Hitler asciende al poder en
el año 1933, Schrödinger, al igual que muchos otros científicos, concluye que en ese entorno
político no puede continuar en Alemania. Emigra a Inglaterra y trabaja en Oxford. En 1938 se
trasladó a Italia. Después de una breve estancia en EE. UU. , regresa a Europa para ocupar un
cargo académico en el Instituto de Estudios Avanzados de Dublín, siendo posteriormente
nombrado director de la escuela de física teórica de esa institución. Permanece en Dublín hasta su
retiro
en
1955.
No obstante su retiro de la vida académica activa, Schrödinger continuó con sus investigaciones y
publicó una variedad de artículos sobre distintos temas, en los cuales se incluye el problema de
unir la gravedad con el electromagnetismo, que también absorbió a Einstein. También escribió un
pequeño libro titulado «Qué es la Vida» y manifestó su interés en la fundación de la física atómica.
Contexto histórico
Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba una dualidad
onda corpúsculo, es decir, la luz se podía manifestar según las circunstancias como
partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico), o como onda electromagnética en la
interferencia luminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso generalizar esta
dualidad a todas las partículas conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su
momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo
cual se comprobó experimentalmente en 1927 cuando se observó la difracción de
electrones. Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con
energía E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una longitud de onda λ:
La comprobación experimental hecha por Clinton Davisson y Lester Germer mostró que
la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difracción según la fórmula
de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De
Broglie.
Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda
asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la
mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:
El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de
correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía
del electrón en el átomo de hidrógeno, pues ello permitía explicar el espectro de emisión
del hidrógeno: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc.
La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926
por Max Born. En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica
ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de
renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».
A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner
Heisenberg y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el
formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de
Schrödinger compleja tiene una integral de movimiento dada por ψ*(x)ψ(x) (= |ψ(x)|2)
que podía ser interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio a la función
de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger
le habían dado, y por ese trabajo recibió el premio Nobel en 1954. Born ya había
apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el
conjunto de estados cuánticos llevaba de manera natural a construir espacios de Hilbert
para representar los estados físicos de un sistema cuántico.
De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y
pasó a interpretarse de modo más abstracto como una amplitud de probabilidad. En la
moderna mecánica cuántica, el conjunto de todos los estados posibles en un sistema se
describe por un espacio de Hilbert complejo y separable, y cualquier estado instantáneo
de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase
de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades
de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del
sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo.
Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para
distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o,
tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa
de la tasa de cambio en el vector estado.
Formulación moderna de la ecuación
En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistema se describe por un
elemento
Dirac.
del espacio complejo de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul
Representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles
de un sistema. La evolución temporal de
Schrödinger :
se describe por la ecuación de
¿Qué es la vida?
En 1944 publicó en inglés un pequeño volumen titulado ¿Qué es la vida? (What is
life?), resultado de unas conferencias divulgativas. Esta obra menor ha tenido gran
influencia sobre el desarrollo posterior de la Biología. Aportó dos ideas fundamentales:
1. Primero, que la vida no es ajena ni se opone a
las leyes de la termodinámica, sino que los
sistemas biológicos conservan o amplían su
complejidad exportando la entropía que
producen sus procesos (véase neguentropía).
2. Segundo, que la química de la herencia
biológica, en un momento en que no estaba
clara su dependencia de ácidos nucleicos o
proteínas, debe basarse en un “cristal
aperiódico”, contrastando la periodicidad
exigida a un cristal, con la necesidad de una
secuencia informativa. Según las memorias de
James Watson, DNA, The Secret of Life, el libro de Schrödinger de 1944, What's
Life? le inspiró a investigar los genes, lo que le llevó al descubrimiento de la
estructura de doble hélice del ADN.
Hipótesis de Louis de Broglie
Louis de Broglie, era un aristócrata francés que ganó el premio Nobel de Física de 1929 por una tesis doctoral que elucidaba las
propiedades ondulatorias de los orbitantes electrones. Se trató de un trabajo que
ayudó a resolver una antigua paradoja al mostrar que los electrones pueden ser
descritos ya sea como partículas o como ondas, según las circunstancias.
El punto de partida que tuvo de De Broglie para desarrollar su tesis fue la
inquietante dualidad en el comportamiento de la luz, que en ciertos fenómenos
se manifiesta como onda, en otros como partícula. Este desconcertante aspecto
doble de la luz, estrechamente vinculado con la existencia misma de los cuantos,
le sugirió la pregunta de si no podía esperarse hallar una dualidad del mismo
orden en los movimientos del electrón, en el átomo regido por el cuanto.
Cuando de Broglie publicó sus ideas, en 1923, jamás –al menos hasta
entonces– el electrón había manifestado características ondulatorias análogas a
las de la luz; no obstante, a pesar de ello, había dos indicios que parecían
apoyar, en los razonamientos de De Broglie, la idea de ese paralelismo. Hay una
analogía, conocida desde Jacobi y Hamilton, entre las trayectorias posibles de
las partículas, concebida según la dinámica clásica, y los rayos de propagación
de ondas, estudiados por la geometría óptica. Y esta profunda analogía se
establece por intermedio de la «acción», es decir, precisamente por la magnitud
física cuyas dimensiones son las del cuanto de Planck. Parecía que en esta
conexión había un indicio de que el cuanto forma el vínculo, enigmático y oculto,
entre los dos aspectos complementarios: la naturaleza granular y ondulatoria de
las partículas de la materia. Ese paralelismo fue el que motivó a de Broglie a
embrionar los inicios que dieron paso a la mecánica ondulatoria. Pero también
había algo más que influyó en ese embrionage. En efecto, las órbitas estables
del electrón, en el átomo, están caracterizadas por números enteros. Ahora bien,
la intervención de números enteros es insólita en la dinámica clásica de las partículas, mientras es intrínseca a la teoría de los fenómenos
ondulatorios: un motivo más que sugería admitir una estrecha conexión, ajena a la antigua mecánica newtoniana, entre partículas y ondas, e
hizo sospechar que al movimiento de las partículas subyace tal vez una propagación ondulatoria.
Esas reveladoras analogías y algunas otras sencillas consideraciones propuestas por la teoría de la relatividad, llevaron a de Broglie a
considerar que, como las pústulas de luz –los fotones– también los de la materia –electrones y protones– deberían estar acompañados en
sus movimientos por ondas. Ligadas inseparablemente a las partículas de la materia, serían estas ondas las que guían y gobiernan –por lo
menos estadísticamente– sus movimientos. La longitud de onda que de Broglie atribuye a las «ondas piloto», asociada a la partícula, es igual
al cociente de la constante de Planck por el impulso del corpúsculo; es, pues, la misma que Einstein adjudicara a la onda luminosa del fotón.
De Broglie escribió al respecto: “Son como dos ríos que por largo espacio corrieron separados terminan por mezclar sus aguas, dos grandes
doctrinas (mecánica de los corpúsculos y teoría de las ondas) han llegado a su confluencia".
Pero no obstante, existe una importante diferencia entre la onda adjunta a los fotones y aquellas asociadas a las partículas materiales.
Mientras las pústulas de luz y su correspondientes ondas tienen la misma velocidad, esta identidad no se asocia a las partículas materiales y
sus correspondientes ondas asociadas. Pero aunque partículas y ondas tienen velocidades disímiles, éstas no son independientes una de la
otra; su producto tiene un valor constante. Sin entrar en detalles aquí, ya que lo haremos en nuestra descripción matemática de la hipótesis
de De Broglie, agreguemos que los corpúsculos y sus sistemas de ondas, como quedará demostrado, son inseparables y forman una
estructura permanente.
La idea de ligar lo continuo de la onda con lo discontinuo del corpúsculo otorgó una importante prueba sobre su posible viabilidad, cuando de
Broglie, al aplicarla a los movimientos de los electrones en el interior de un átomo, consiguió hallar la razón de las órbitas cuantificadas de
Bohr. Éste, en su modelo del átomo, todo ocurre como si estuviera regido por las prescripciones de un enigmático gobierno microcósmico,
que permitía a los electrones trayectorias cuantificadas, y les prohibía las demás. Era obvio que ello correspondía a una cuestión que
quedaba abierta por su carencia de precisión, pese a que era un postulado. Pero entonces la humanidad contaba con una brillante mente
como la de Broglie, ya que éste con su ponencia logró aclarar la curiosa selección de las imprecisas órbitas de Bohr. Siendo la órbita del
electrón estable, su onda asociada también lo será: será una onda estacionaria, comparable a las ondas sonoras de un tubo o las de las
cuerdas de una guitarra. Pero para que se pueda dar el hecho de que las ondas puedan continuar estacionarias, es necesario que ellas se
cierren, volviéndose sobre sí mismas.
En consecuencia, la trayectoria de una onda es invariable, si su perímetro es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda, permitiendo a
la onda asociada al electrón encontrarse después de cada recorrido en la misma fase. Sobre todas las otras trayectorias la onda no podría
subsistir, sus fases discordantes la destruirían. Ahora bien, las únicas trayectorias que responden a la condición de la onda estacionaria, las
únicas en las cuales las ondas pueden conservarse, son exactamente las órbitas, permitidas del modelo atómico de Bohr. Así la mecánica
ondulatoria proporciona la llave de la curiosa selección de las órbitas en el átomo. El postulado de Bohr deja de ser arbitrario y se convierte,
con de Broglie, en una exigencia lógica, impuesta al electrón por el carácter estacionario de su onda asociada.
Ahora bien, según esa idea imperativa de De Broglie, la razón por la cual la materia permite la coexistencia de esos dos aparentemente
irreductibles fenómenos es precisamente la condición estacionaria de las ondas de la materia: lo estático de la partícula y lo vibratorio de la
onda. Con esta interpretación que hace de Broglie para el átomo, es obvio que se aleja más que Bohr, de la la mini descripción planetaria de
la idea atómica de Rutherford. Todo ocurre como si el electrón se encontrara, no en un punto determinado de su trayectoria, sino
simultáneamente sobre toda la circunferencia de su órbita. Su circulación en tomo del núcleo deja de asimilarse a la traslación de un planeta
en torno al Sol, asemejándose más bien a la rotación de un anillo simétrico que, a pesar de su movimiento, continúa ocupando el mismo lugar
en el espacio. En otro aspecto, las ondas electrónicas se comportan como minúsculos circuitos oscilantes, acordados sobre longitudes de
ondas determinadas.
Por otra parte, al igual que el electrón, otros constituyentes de la materia, protones y neutrones, están también acompañados en sus
movimientos por ondas. La onda integra –según el pensamiento de De Broglie –cada partícula material. La estructura particulada es el
atributo evidentemente manifiesto de la materia; junto a él cohabita su otro carácter no menos fundamental, poco más escondido: su ser
ondulatorio, que sólo se revela en ciertos momentos. Siempre que el movimiento se asocia a la materia, la onda lo hace también. Puesto que
no existe en el universo un punto material en reposo, en todas las partes donde hay materia hay ondas. Los dos aspectos, particulados y
vibratorios, son indispensables, siendo su ligamento el cuanto elemental de Planck; no obstante, no es posible hallarlos juntos. Si la
naturaleza exhibe en un fenómeno dado uno de sus aspectos, esconde rigurosamente el otro.
Ahora, analicemos, en función matemática, lo que hemos expuesto en los párrafos precedentes .
Las ideas que hemos descrito sucintamente de De Broglie, sobre el hecho de haber convertido la cuantificación de las
órbitas en el átomo en una consecuencia perentoria de la naturaleza ondulatoria del electrón, fue, sin duda, un éxito
alentador que cimentó el origen de la mecánica ondulatoria.
Recordemos ahora, las relaciones de Planck – Einstein para las ondas de los fotones de la luz ( energía / momento /
frecuencia) :
Estas relaciones incorporan la esencia de la dualidad onda – partícula, al relacionar la frecuencia y longitud de las ondas
con la energía y momento de partículas como un fotón. Ahora bien, dado que la luz también tiene una calidad de partícula,
no puede ser sorprendente que las partículas puedan tener también características ondulatorias. Después de todo,
podemos pensar en un fotón como partícula con masa cero. En la tesis doctoral de De Broglie, que mencionamos al
principio, deja de manifiesto su convicción que si uno podía asociar características ondulatorias a las partículas, entonces la
cuantización postulada por Bohr en su descripción de los espectros atómicos puede ser justificada. De Broglie previó las
relaciones para las partículas que son formalmente muy similares a las expresadas arriba para la luz:
Por supuesto que entre ambas expresiones hay una diferencia significativa. La relación entre la energía y el momento E =
cp, es mucho más complicada para las partículas que para el fotón. El aspecto más revolucionario de la hipótesis de De
Broglie es probablemente la primera de estas relaciones, en la cual una partícula de momento p se halla asociada una onda
plana de longitud
donde h es la constante de Planck. Podemos también expresar esta relación en términos del número de onda k, que es el
número de los radianes con los cuales la fase de la onda se mueve en un metro:
De Broglie , para llegar a la conclusión de que el movimiento de una partícula de momento p está asociada una onda plana
de longitud, partió generalizando en su hipótesis el caso de una partícula que se mueve en un campo de fuerza constante,
producido por una función potencial F ( xyz ). Lo anterior, lo llevó a suponer que la propagación de la onda corresponde a
un índice de refracción que varía de un punto a otro en el espacio, de acuerdo con la ecuación:
[01]
o bien, a una primera aproximación, siempre que las correcciones introducidas por la teoría de la relatividad sean mínimas:
[02]
en que E = W – m0 c2. La energía constante W de la partícula se encuentra asociada con la frecuencia constante v de la
onda, por medio de la relación:
mientras que la longitud de onda l, que varía de un punto a otro del campo de fuerza, se encuentra asociada con el
momento p igualmente variable, por medio de la siguiente relación:
Así se demuestra que la velocidad de grupo de las ondas es igual a la velocidad de la partícula. El paralelismo establecido
de esta manera entre la partícula y la onda, nos permite identificar el principio de Fermat para las ondas con el principio de
mínima acción para las partículas (para campos constantes). El principio de Fermat establece que el rayo, en el sentido
óptico, que pasa a través de dos puntos A y B en un medio que tiene un índice n ( xyz ) que varía de un punto a otro, pero
que es constante respecto al tiempo, es tal que la integral:
tomada a lo largo de ese rayo, es extrema. Por otra parte, el principio de Maupertuis de la mínima acción, nos dice lo
siguiente: la trayectoria de una partícula que pasa a través de dos puntos A y B en el espacio, es tal que la integral:
tomada a lo largo de la trayectoria, es extrema; suponiendo, desde luego, que solamente se consideran los movimientos
correspondientes a un valor determinado de la energía. Con base en las relaciones establecidas anteriormente entre los
parámetros mecánicos y los ondulatorios, tenemos:
[03]
puesto que W es constante en un campo constante. De lo cual se desprende que los principios de Fermat y de Maupertuis
son, recíprocamente, la traducción respectiva del otro; y que las trayectorias posibles de la partícula son idénticas a los
rayos posibles de su onda.
Dentro del formulismo, los conceptos mencionados conducen a la factibilidad de interpretar las condiciones de estabilidad
para los movimientos atómicos periódicos. De esa manera, las condiciones de la estabilidad cuántica surgen como
análogos a los fenómenos de resonancia; y la aparición de los enteros resulta como un hecho natural.
No obstante, esta hipótesis, que en la actualidad es generalmente aceptada, no interpreta totalmente nuestra experiencia
diaria: las partículas masivas no oscilan como una onda. Veamos por qué.
Cuando intentamos estimar la longitud de onda de De Broglie de un objeto con una masa de 10 -6 g y una velocidad de 10-6
m/s ( obsérvese que se trata de una pequeñísima partícula de movimiento lento y de momento pequeño), contamos con que
la longitud de onda de de Broglie pudiera ser substancial. ¡En el hecho, dado que h = 6.6x10-34 J s, encontramos que la
longitud de onda de De Broglie es 6.6x10-19 m! O sea, su orden de magnitud es cuatro veces más pequeño que el diámetro
de un típico núcleo atómico (no de un átomo, que es 6 órdenes de magnitud mayor). El valor de h es justamente tan
pequeño que cualquier objeto más grande que un átomo tendrá siempre una longitud de onda de De Broglie
extremadamente minúscula. Es difícil, de hecho, detectar una longitud de onda tan pequeña.
Distinto es el caso cuando hablamos de electrones de baja energía. Por ejemplo, un electrón con una energía de 13,6 eV,
que concierne a la de enlace de n = 1 electrón en el hidrógeno, y corresponde a la energía típica de los electrones en los
átomos. Esta energía es pequeña comparada con la masa del resto del electrón, así que podemos calcular el momento
clásico:
[04]
en que substituyendo K = 13.6 eV, encontramos una longitud de onda de De Broglie de 0,33 nm = 3,3 ángstrom. Se trata de
una cifra pequeña, pero en relación a las dimensiones atómicas es detectable y medible.
Por otra parte, las fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas y las partículas pueden ser aplicadas a
los corpúsculos de la luz, bajo el supuesto de que en tal caso la masa en reposo m0 es infinitamente pequeña. En realidad,
si para un valor determinado de la energía W, se hace que m0 tienda a cero, entonces se encuentra que v y V tienden a c y,
en el límite, se obtienen las dos fórmulas sobre las cuales Einstein basó su teoría del cuanto de luz:
Las Ondas de De Broglie en Átomos
Demos por hecho que la hipótesis de De Broglie es correcta, y que el electrón que orbita alrededor del núcleo de los átomos
de hidrógeno sigue la relación que se propone en la hipótesis. Ahora, para poder contar con un estado inmóvil ,
necesitamos obtener las misma condiciones de cuantización que logramos para la luz. Pero aquí, nos encontramos con la
diferencia de la no linealidad del electrón en un átomo, ya que se encuentra en una órbita «circular». En consecuencia,
requerimos un número integral de las longitudes de onda de De Broglie en una órbita:
[05]
o también:
[06]
La ecuación [05] corresponde, para una órbita circular, simplemente al momento angular. Así, se recupera en la relación de
De Broglie la hipótesis de cuantización de Bohr.
Las estimaciones que se obtienen en el desarrollo de las ecuaciones [05] y [06], son más teóricas que prácticas. No
obstante, sin embargo, es posible que sean concernientes a la realidad. La naturaleza de la onda del electrón se debe
relacionar con la cuantización de los espectros atómicos. Se trata de una cuestión que todavía se encuentra abierta, pero
los avances que se han realizado en los últimos años han sido significativos.
Tales son las ideas principales de la hipótesis de Louis de Broglie. Con ellas, se demuestra que es posible establecer una correspondencia
entre las ondas y los corpúsculos, tal que las leyes de la mecánica correspondan a las leyes de la óptica geométrica. Sin embargo, como es
sabido, en la teoría ondulatoria la óptica geométrica es solamente una aproximación; ésta tiene sus límites de validez y, en particular, cuando
están implicados los fenómenos de interferencia y de difracción, resulta ser enteramente inadecuada cuando se trata de partículas clásicas.
No obstante lo anterior, Existen pruebas directas y significativas del comportamiento ondulatorio de las partículas del mierocosmos como el
electrón. Se basan en el fenómeno de interferencia característico de las ondas y ausente en las partículas clásicas. Uno de los experimentos
más directos y conclusivos fue el de Davisson y Germer en el año 1927. Aunque realizado después de la creación de la mecánica cuántica,
permanece hasta hoy día como el indicador más claro y profundo de las manifestaciones cuánticas en el movimiento de las partículas.
Esquema del experimento de Davisson y Germer.
Davisson y Germer estudiaron la reflexión de un haz de electrones incidente sobre un monocristal, siguiendo una idea
usada anteriormente para la investigación de la naturaleza de los rayos X. Un haz de electrones procedente de un filamento
calentado se acelera en un potencial electrostático e incide sobre el monocristal bajo cierto ángulo. Se observan los
electrones reflejados mediante un detector cuya posición puede ser variada. También se puede variar el potencial
acelerador y cambiar así la velocidad de los electrones. Los electrones experimentan reflexiones en los diversos planos
paralelos de la red cristalina. La figura que insertamos a continuación del párrafo explica lo que ocurre al considerar sólo
dos de estos planos. El haz que sale del monocristal se compone de dos haces reflejados por los dos planos diferentes (en
realidad serían muchos). Los electrones recorren caminos distintos en los dos haces y la diferencia de camino es I = I1 + I2
(véase la figura de abajo). De la geometría de la figura hallamos I2 = d / cos , I1 = I2 cos 2, donde d es la distancia entre
los planos y de ahí I = 2d cos . Si los haces fueran dos ondas planas, como sucede con los rayos X, habría interferencia
entre ellas con un máximo de intensidad correspondiente a una diferencia de fase múltiplo de 2, o sea, para
[07]
donde es la longitud de onda y n es un entero. La ecuación [07] es la condición de Bragg para los máximos de rayos X
reflejados por un monocristal. Cambiando el ángulo  se puede pasar de un máximo a otro y así medir la longitud de onda a
partir de la diferencia en ángulo y d. Por otra parte, con partículas no se esperaría ver interferencia alguna ni, por lo tanto,
máximos ni mínimos.
La interferencia de dos haces reflejados en dos planos de una red cristalina.
El experimento realizado por Davisson y Germer produjo resultados inequívocos: los electrones produjeron una interferencia clara con
máximos según la fórmula de Bragg [07]. La longitud de onda de electrones con velocidades diferentes se mostró también de acuerdo con el
postulado de De Broglie.
Principio de Incertidumbre
Introducción.
Considero de mucha importancia este
principio, debido a la naturaleza del mismo, en este
trabajo de describe de la manera más practica todas
las características del mismo, aunque a veces se
piense que no es necesario, puede servir en
muchas
ocasiones
para
delatar
algo,
o
simplemente para justificarlo.
El Principio de Incertidumbre de Heisenberg es sin duda algunos unos de los
enigmas de la historia, debido a que este menciona que "Lo que estudias, lo
cambias", entonces, si esto es cierto, ¿Qué tanto a cambiado la realidad de lo
que nos narra la historia?.
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Heisenberg había presentado su propio modelo de átomo renunciando a
todo intento de describir el átomo como un compuesto de partículas y ondas.
Pensó que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer
analogías entre la estructura atómica y la estructura del mundo. Prefirió
describir los niveles de energía u órbitas de electrones en términos numéricos
puros, sin la menor traza de esquemas. Como quiera que usó un artificio
matemático denominado " matriz" para manipular sus números, el sistema se
denominó "mecánica de matriz".
Heisenberg recibió el premio Nobel de Física en 1932 por sus aportaciones a la
mecánica ondulatoria de Schrödinger, pues esta última pareció tan útil como
las abstracciones de Heisenberg, y siempre es difícil, incluso para un físico,
desistir de representar gráficamente las propias ideas.
Una vez presentada la mecánica matriz (para dar otro salto atrás en el tiempo)
Heisenberg pasó a considerar un segundo problema: cómo describir la posición
de la partícula. ¿Cuál es el procedimiento indicado para determinar dónde
está una partícula? La respuesta obvia es ésta: observarla. Pues bien,
imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electrón. Si lo
queremos ver debemos proyectar una luz o alguna especie de radiación
apropiada sobre él. Pero un electrón es tan pequeño, que bastaría un solo
fotón de luz para hacerle cambiar de posición apenas lo tocara. Y en el preciso
instante de medir su posición, alteraríamos ésta.
Aquí nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como el
objeto que medimos; y no existe ningún agente medidor más pequeño que el
electrón. En consecuencia, nuestra medición debe surtir, sin duda, un efecto
nada desdeñable, un efecto más bien decisivo en el objeto medido. Podríamos
detener el electrón y determinar así su posición en un momento dado. Pero si
lo hiciéramos, no sabríamos cuál es su movimiento ni su velocidad. Por otra
parte, podríamos gobernar su velocidad, pero entonces no podríamos fijar su
posición en un momento dado.
Heisenberg demostró que no nos será posible idear un método para
localizar la posición de la partícula subatómica mientras no estemos
dispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posición exacta.
Es un imposible calcular ambos datos con exactitud al mismo tiempo.
Siendo así, no podrá haber una ausencia completa de energía ni en el
cero absoluto siquiera. Si la energía alcanzara el punto cero y las partículas
quedaran totalmente inmóviles, sólo sería necesario determinar su posición,
puesto que la velocidad equivaldría a cero. Por tanto, sería de esperar que
subsistiera alguna "energía residual del punto cero", incluso en el cero
absoluto, para mantener las partículas en movimiento y también, por así
decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía "punto cero" es lo que no se puede
eliminar, lo que basta para mantener liquido el helio incluso en el cero
absoluto.
En 1930, Einstein demostró que el principio de incertidumbre (donde
se afirma la imposibilidad de reducir el error en la posición sin incrementar el
error en el momento) implicaba también la imposibilidad de reducir el error
en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante
el cual se toma la medida. Él creyó poder utilizar esta tesis como trampolín
para refutar el principio de incertidumbre, pero Bohr procedió a demostrar
que la refutación tentativa de Einstein era errónea.
A decir verdad, la versión de la incertidumbre, según Einstein, resultó
ser muy útil, pues significó que en un proceso subatómico se podía violar
durante breves lapsos la ley sobre conservación de energía siempre y cuando se
hiciese volver todo al estado de conservación cuando concluyesen esos
períodos: cuanto mayor sea la desviación de la conservación, tanto más breves
serán los intervalos de tiempo tolerables. Yukawa aprovechó esta noción para
elaborar su teoría de los piones. Incluso posibilitó la elucidación de ciertos
fenómenos subatómicos presuponiendo que las partículas nacían de la nada
como un reto a la energía de conservación, pero se extinguían antes del tiempo
asignado a su detección, por lo cual eran sólo "partículas virtuales". Hacia
fines de la década 1940-1950, tres hombres elaboraron la teoría sobre esas
partículas virtuales: fueron los físicos norteamericanos Julian Schwinger y
Richard Phillips Feynman y el físico japonés Sin-itiro Tomonaga. Para
recompensar ese trabajo, se les concedió a los tres el premio Nobel de Física
en 1965.
A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el
Universo comenzó con una pequeña pero muy masiva partícula virtual que se
expandió con extrema rapidez y que aún sigue existiendo. Según este punto de
vista, el Universo se formó de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la
posibilidad de que haya un número infinito de Universos que se formen (y
llegado el momento acaben) en un volumen infinito de Nada.
El "principio de incertidumbre" afectó profundamente al
pensamiento de los físicos y los filósofos. Ejerció una influencia directa sobre la
cuestión filosófica de "casualidad" (es decir, la relación de causa y efecto).
Pero sus implicaciones para ciencia no son las que se suponen por lo común.
Se lee a menudo que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca
de la naturaleza y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nunca
hacia dónde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de los
caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue
necesariamente a la causa. Tanto si esta interpretación es válida desde el ángulo
visual filosófico como si no, el principio de incertidumbre no ha conmovido la
actitud del científico ante la investigación. Si, por ejemplo, no se puede predecir
con certeza el comportamiento de las moléculas individuales en un gas, también
es cierto que las moléculas suelen acatar ciertas leyes, y su conducta es
previsible sobre una base estadística, tal como las compañías aseguradoras
calculan con índices de mortalidad fiables, aunque sea imposible predecir
cuándo morirá un individuo determinado.
Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbre
es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que
se la puede descartar para todos los propósitos prácticos.
Uno puede determinar simultáneamente la posición y el movimiento de una
estrella, o un planeta, o una bola de billar, e incluso un grano de arena con
exactitud absolutamente satisfactoria.
Respecto a la incertidumbre entre las propias partículas subatómicas, cabe
decir que no representa un obstáculo, sino una verdadera ayuda para los
físicos. Se la ha empleado para esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre
la absorción de partículas subatómicas por los núcleos, así como otros muchos
acontecimientos subatómicos, con mucha más racionabilidad de lo que
hubiera sido posible sin el principio de incertidumbre.
El principio de incertidumbre significa que el Universo es más
complejo de lo que se suponía, pero no irracional.
En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la
mecánica cuántica Werner Heisenberg descubrió, cuando intentaba hallarla, el
«principio de incertidumbre», principio que revelaba una característica
distintiva de la mecánica cuántica que no existía en la mecánica newtoniana.
Según el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables físicas,
como la posición y el momento (masa por velocidad) de una partícula, no
pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiera. Así, si
repetimos el cálculo de la posición y el momento de una partícula cuántica
determinada (por ejemplo, un electrón), nos encontramos con que dichos
cálculos fluctúan en torno a valores medíos. Estas fluctuaciones reflejan, pues,
nuestra incertidumbre en la determinación de la posición y el momento.
Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los
cálculos no puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la
mecánica newtoniana, las incertidumbres podrían reducirse a cero y la
posición y el momento del electrón podrían determinarse con toda precisión.
Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la newtoniana, sólo nos permite
conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es
intrínsecamente estadística.
En síntesis, se puede describir que el principio de incertidumbre
postula que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un
instante dado, valores de dos variables canónicas conjugadas (posiciónimpulso, energía-tiempo, …, etc.) de forma que una medición precisa de una
de ellas implica una total indeterminación en el valor de la otra.
Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente
forma:
xy h/2
Donde x, incertidumbre en la medida de la posición;p, incertidumbre en la
medida del impulso; para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene E t  h/2 ; en
ambas relaciones el límite de precisión posible viene dado por la constante de
Planck, h.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
Una consecuencia ineludible del carácter dual de la materia es el
principio de incertidumbre o de indeterminación propuesto por el físico
alemán Werner Heisenberg en 1927. Este principio se refiere a la exactitud con
que podemos hacer mediciones.
Consideramos la pregunta: ¿no sería posible para un electrón y
observarlo?. Vamos a suponer que disponemos de un aparato que puede " ver
" a los electrones. Para " ver " un electrón necesitamos iluminarlo con " luz ".
No podemos usar luz ordinaria porque su longitud de ondas es muchísimas
veces mayor que el electrón y este no es dispersaría o reflejaría. Tendremos
entonces que usar " luz " de una longitud de ondas muy pequeñas, o lo que es
lo mismo, fotones de energía muy alta que al ser dispersados por electrones
nos proporcionan una imagen de él. Pero he aquí que al hacer incidir un fotón
muy energético sobre el electrón estamos comunicados a este un momento
lineal muy grande, que lo perturba demasiado y lo hace cambiar del estado en
que se encontraba. Nos enfrentamos como la imposibilidad de observar al
electrón sin perturbarlo. Podemos reducir la magnitud de la perturbación
disminuyendo la energía de fotones, pero entonces la longitud de onda de esto
se hace mayor y tendremos paquetes de ondas menos localizadas; esto
disminuye la precisión con la que puede conocerse la posición del electrón.
Recíprocamente, si queremos aumentar la precisión en la determinación de la
posición del electrón, necesitamos más paquetes más <<concentrados>>
(menores longitudes de ondas) lo cual implica fotones más energéticos y más
perturbados para el electrón. Tenemos así que no podemos determinar
simultáneamente la posición y la velocidad (o momento lineal) del electrón
con precisión tan buena como queramos. Y no hay forma de vencer esta
dificultad que la naturaleza nos presenta. Razonamientos como este llevaron a
Heisenberg a enunciar su famoso principio <<si es la incertidumbre en la
posición de una partícula y es la incertidumbre o error en la determinación
de su momento lineal, entonces necesariamente: (1)
Si (1) es decir, aumentar la precisión en el conocimiento de la posición aumenta la
incertidumbre del momento o de la velocidad.
En tres dimensiones: (1)
Podemos determinar con precisión y y simultáneamente, es decir, tener (1) y (1)
arbitrariamente pequeños al mismo tiempo. Pero dos variables que se refieren al mismo
eje. (x, (1)o bien y, (1) , etc.) Deben satisfacer las relaciones de incertidumbre. Estas
variables se llaman conjugadas.
Debido al valor tan pequeño de h la incertidumbre propia de las variables conjugadas no es
importante en el mundo macroscópico. Sin embargo, el principio de la incertidumbre nos
dice que la imposibilidad de medir con precisión absoluta no es imputable al observador, no
se debe a su falta de habilidad para construir aparatos de medición más exactos, sino que
está en la naturaleza de las cosas el no poder ser medidas con exactitud.
Estos resultados de la Física Moderna han tenido repercusiones importantes en nuestras
concepciones del Universo y en general en nuestra filosofía.
Otra forma importante del principio de incertidumbre es la siguiente: (1)
que se obtiene de(1)simplemente recordando que (1)
y que(1)Sustituyendo: (1)
E y t son también variables conjugadas. Esta forma del principio nos dice que no podemos
conocer simultáneamente la energía y el tiempo que dura un evento con precisión
ARBITRARIA.
O bien, que no podemos hacer una medición precisa de la energía en un tiempo
ARBITRARIAMENTE corto.
Hay otras propiedades de las partículas microscópicas que si pueden determinarse con
precisión absoluta. Por ejemplo, el signo de su carga eléctrica.
Como ilustración vamos algunos ejemplos.
1.- Para una molécula de hidrógeno la incertidumbre con la que se conoce su posición en un
cierto experimento es del orden del diámetro de dicha molécula, aproximadamente (1)
m. La incertidumbre en el momento lineal es entonces: (1)
Si su velocidad es 2000 m/seg (velocidad que tendría a temperatura ambiente) y sabiendo
que la masa es m=
Kg, tenemos: (1)
La incertidumbre relativa es entonces: (1)
O sea que para esta molécula no puede determinarse el momento lineal con mejor exactitud
que el 170% de su valor original.
En caso de una bala de 50 g. disparada a m/sec y cuya posición se conoce con un error de
1.0 mm:
(1)y resulta entonces: (1)
Este número es tan pequeño que prácticamente no existe incertidumbre.
Nótese como ha influido la masa de la partícula en el resultado.
2.- Cuando un electrón en un átomo es excitado puede pasar a ocupar un nivel de mayor
energía. Pero no pasa mucho tiempo antes que el electrón regrese a su estado inicial (o
estado base). El tiempo que tarda el electrón en el estado excitado se llama tiempo de vida
de ese estado excitado. Sea (1)
, el tiempo de vida de un estado excitado. La incertidumbre en la determinación de la
energía de ese estado es: (1)
Esto se llama <<a anchura de energía>> del estado excitado.
NOTA: Las relaciones de incertidumbre a veces se dan en términos de(1), que se define
como:(1)
Por conveniencia en los cálculos. Así, a veces usamos (1)en vez de(1) . La discrepancia por
el factor (1) entre una expresión y otra no es fundamental.
- Supuesta demostración
El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la
capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué
enunciado por W. Heisenberg en 1927.
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Es natural pensar que si una partícula está localizada, debemos poder asociar con ésta
un paquete de ondas más o menos bien localizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número infinito de
ondas armónicas de diferentes frecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete de ondas está
dado por (1)
Donde k representa el número de onda (1)
y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número de ondas) que
varían desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor
g(k).
El momento de la partícula y el número de ondas están relacionados
ya que (1)
de lo cual se deduce que (1)

Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas
Las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varía entre cero e infinito y por lo
tanto el momento (1)
También varía entre cero e infinito. Es decir que está completamente indeterminado.
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Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes tipos de
paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice como están distribuidas
las contribuciones de las ondas con número de ondas k dentro del paquete.
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Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
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En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas
con número de ondas k.
En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas,
también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
En el último caso vemos que para definir bien el momento (1)de la partícula, entonces su
posición queda completamente indefinida.
Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el
espacio normal (1) como en el espacio de momentos (1)
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en la precisión con el cual
podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.
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La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es
(1)
Si queremos determinar con total precisión la posición: (1)
De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces que (1)
Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.
(1) Para ver las fórmulas seleccione la opción "Descargar" del menú superior