Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie... Tema 2: Caída libre y tiro vertical.

Tema 2: Caída libre y tiro vertical.
Profesora: Daphne Sagel
Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire
o cualquier otra sustancia.
Estas consideraciones se hacen para simplificar el estudio del movimiento. El hecho de ignorar la resistencia del aire es
porque tiene el efecto de ir frenando la caída de los cuerpos, lo cual es más notorio en cuerpos ligeros o de gran superficie.
Por ejemplo, el funcionamiento del paracaídas se basa en el hecho de que presenta una gran superficie y por lo tanto se
suaviza la caída. Sin embargo, en ausencia de aire, todos los cuerpos caen de igual manera. En 1590, el científico italiano
Galileo Galilei fue el primero en demostrar que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de rozamiento
o resistencia del aire, caen a la tierra con la misma aceleración.
Con estas justificaciones, podemos emprender el estudio de la caída libre, de forma simplificada y le podremos considerar
como un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. La magnitud de la aceleración en la caída libre, cerca de la
superficie terrestre, tiene un valor constante e igual a 9.8 m/s2 y por esa razón, se le asigna un símbolo único que es la
letra “g”. Su dirección es vertical, hacia abajo. En el sistema inglés, g = 32 ft/s2 (ft=pies)
Dado que la caída libre es un MRUA, se aplican las mismas fórmulas que ya vimos, con la diferencia de que como el
movimiento es vertical, ahora se usará el eje de las “Y” y no “X” como en el tema anterior. En lugar de “distancia”
recorrida “d”, se usa “h” por “altura” (de “height”: altura en inglés) y en lugar de “a” se usa “g”.
∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
Es el desplazamiento vertical, obtenido desde una posición inicial hasta una final.
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑔𝑡. También 𝑣𝑓 = 𝑔𝑡 para calcular la velocidad de caída de un objeto que tarda un
tiempo “t” en caer. Y se deja caer sin imprimir una velocidad inicial.
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1
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 𝑔𝑡 2 , también, h= 𝑣𝑖 𝑡 + 𝑔𝑡 2 , nos da la altura de caída de un objeto que lleva
2
2
una velocidad inicial.
𝑣𝑓 = √𝑣𝑖2 + 2𝑔(𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 ) Tomando como “h” la altura a la que se encuentra el objeto.
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 +v.t . También 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 +
También ℎ = 𝑣𝑡
[Escriba texto]
(𝑣𝑓 +𝑣𝑖 )𝑡
2
. También ℎ =
(𝑣𝑓 +𝑣𝑖 )𝑡
2
.
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En la caída libre se pueden dar 3 casos: un cuerpo que se deja caer, un cuerpo que se lanza verticalmente hacia abajo y
un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba.
[Escriba texto]
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[Escriba texto]
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Cuando hablamos de lanzamientos en dos dimensiones tenemos los siguientes estudios:
En el primer caso la velocidad con que se lanza un cuerpo está orientada a lo largo del eje X y su velocidad en Y es cero
inicialmente, veamos la figura que sigue. Despreciando la resistencia del aire, conforme pasa el tiempo la velocidad en X
permanece constante y la velocidad en Y se incrementa en valores negativos como ya vimos en la secuencia anterior.
El tiempo que tarda en caer hasta el suelo es el mismo que si soltáramos el objeto, esto es, si despejamos para t de la
1
ecuación 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 2 𝑔𝑡 2 , cuando Vi =0.
2(𝑦𝑓 −𝑦𝑖 )
Quedando 𝑡 = √
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−𝑔
, Como lo habíamos visto en la caída libre, en el caso de dejar caer un objeto.
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2ℎ
,
−𝑔
También se puede usar 𝑡 = √
donde “h” es la altura desde donde se lanza horizontalmente el objeto.
La velocidad en Y se obtiene de 𝑣 = −𝑔𝑡, también como en la caída libre. La distancia horizontal se obtiene de la
ecuación X f = Vi.t , como en el MRU.
Como una característica importante del tiro parabólico, tenemos el “alcance”, la máxima distancia horizontal recorrida por
el objeto, desde que se lanza hasta que llega al suelo.
Ejemplo:
Se lanza una piedra horizontalmente desde una altura de 60m con una velocidad de 20 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
b) ¿Cuál es su velocidad tanto en Y como en X, en t= 2 s?
c) ¿Cuál es su alcance?
Datos:
20𝑚
𝑦𝑖 = 0,
𝑣𝑥𝑖 =
,
𝑣𝑦𝑖 = 0,
∆𝑦 = −60 𝑚
𝑠
2ℎ
a) 𝑡 = √−𝑔
2(−60 𝑚)
𝑡 = √−9,8 𝑚/𝑠2 = 3,5 s
b) Para t=2 s,
𝑣𝑦 = −𝑔𝑡
𝑚
𝑣𝑦 = −(9,8 2 )(2 𝑠)
𝑠
Vy = -19 m/s
c) Para encontrar el alcance, utilizaremos el tiempo que tarda en llegar al suelo t = 3.5 s:
Xf=Vxi.t
Xf= (20m/s)(3,5 s)
Xf=70 m
Tiro parabólico oblicuo
En este tipo de movimiento, los proyectiles son lanzados en un ángulo por encima de la horizontal.
El vector velocidad del proyectil tiene componentes tanto horizontal como vertical.
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Las componentes de la velocidad inicial se pueden calcular por las ecuaciones:
Vxi = Vi cos ϕ
Vyi = Vi sen ϕ
Esta ecuación nos permite calcular el instante en el que el proyectil alcanza su máxima altura.
𝑉𝑦𝑖
𝑡=
−𝑔
2(𝑦𝑓 −𝑦𝑖 )
Con esta ecuación podemos calcular el instante para cualquier posición de su trayecto en caída libre. 𝑡 = √
−𝑔
,
De esta manera podemos calcular la velocidad vertical del proyectil en cualquier instante de su trayecto. (Se le puede
poner un número o letra al subíndice de la velocidad según sea necesario)
𝑉𝑦 = 𝑣𝑦𝑖 − 𝑔𝑡
La
posición
𝑋 = 𝑋𝑖 + 𝑔𝑡
horizontal
del
proyectil
aceleración a = 0.
en
cualquier
instante
se
obtiene
de
la
ecuación
Por otra parte la posición vertical del proyectil en cualquier instante se obtiene de la ecuación
𝑌 = 𝑌𝑖 + 𝑉𝑦𝑖 𝑡 − 4,9𝑡 2 , donde ya consideramos el signo negativo de “g”.
Ejemplo:
Un proyectil es disparado desde el suelo con una velocidad inicial de 220 m/s en un ángulo de 38º. Calcula:0
a) Las componentes de la velocidad tanto horizontal como vertical.
b) El tiempo que tarda en alcanzar su máxima altura.
c) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
d) La altura máxima o desplazamiento vertical máximo.
e) El alcance.
f) La posición del proyectil en el instante t=9 s.
solución:
a) para la componente x:
Vxi = Vi cos ϕ
Vxi = (220 m/s) cos 38° = 173,36 m/s
Para la component y:
Vyi = Vi sen ϕ
Vyi = (220 m/s) sen 38° = 135,44 m/s
b) El tiempo que tarda en alcanzar su máxima altura:
𝑉
𝑡 = 𝑦𝑖
𝑡=
−𝑔
135,44 𝑚/𝑠
𝑚
𝑠
−(−9,8 2 )
= 13,82 s
c) El tiempo que tarda en llegar al suelo, este es sumado dos veces , pues el tiempo que tarda en llegar a su máxima
altura es el mismo en llegar al suelo. Tenemos entonces: 2(13,82 s) = 27,64 s.
d) La altura máxima o desplazamiento vertical máximo:
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1
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
𝑚
1
𝑚
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0 + (135,44 ) (13,82 𝑠) + (9,8 2 )(13,82 𝑠)2
𝑠
2
𝑠
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 935,99 𝑚
e) 𝑋𝑚𝑎𝑥 = 𝑋𝑖 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 0 + (173,36
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 4 792,01 𝑚
𝑚
) (27,64 𝑠)
𝑠
f) Si queremos saber la posición del proyectil en el instante t=9 s, o en cualquier otro instante de su recorrido,
usamos las siguientes ecuaciones, para encontrar la coordenada horizontal y la coordenada vertical.
Vertical:
1
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
𝑚
1
𝑚
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0 + (135,44 ) (9 𝑠) + (9,8 2 )(9 𝑠)2
𝑠
2
𝑠
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 822,11 𝑚
Horizontal:
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 𝑋𝑖 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 0 + (173,36
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 1 560,24 𝑚
𝑚
) (9 𝑠)
𝑠
La posición del proyectil a los 9 s de su lanzamiento es (1560.24 m, 822.11 m).
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