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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA - UNAM
FACULTAD DE INGENIERIA
Carrera Profesional de Ingeniería en Sistemas e Informática
UNIDAD N° 01:
SEMANA 01:
Periodo Académico: 2009 - I
Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
 Denominación: LÓGICA, MATEMÁTICA Y CONJUNTOS.
 Contenido: Lógica Proposicional: Introducción. Proposiciones lógicas. Clases de Proposiciones Lógicas.
Proposiciones Compuestas Básicas. Proposiciones Compuestas. Tautología, Contradicción y Contingencia.
Proposiciones Lógicamente Equivalentes.
 Objetivos:
- Formalizar y simbolizar cualquier proposición simple o molecular.
- Determinar la tabla de verdad, determinar los valores de verdad de las proposiciones simples o
compuestas.
- Identificar las proposiciones lógicamente equivalentes.
Sesión 01:
Tema:
LÓGICA PROPOSICIONAL
I.
INTRODUCCIÓN:
El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje
determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener
diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el
precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el desarrollo de esta sesión es el
hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una
proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la
lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.
La lógica proposicional es una rama de la lógica que permite representar hechos y/o expresiones del
mundo real en un lenguaje representativo del conocimiento mediante propiedades elementales para
estudiar a través de proposiciones o sentencias lógicas sus posibles evaluaciones de verdad.
La lógica proposicional toma un rol muy importante en el desarrollo de la inteligencia artificial, y en otros
aspectos de la informática.
II.
PROPOSICIONES LÓGICAS:
Definición:
Son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas bien como VERDADERAS, o bien
como FALSAS, sin ambigüedades. Las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas
generalmente:
p, q, r, …, etc.
A la veracidad o falsedad de un enunciado (proposición) se le denomina VALOR VERITATIVO o
VALOR DE VERDAD.
Ejemplos de proposiciones lógicas:
p :
q :
r :
Proposiciones lógicas
Lima es la capital del Perú.
17 – 6 = 10.
La UNAM es una universidad privada.
Docente: Ing. Vaneza Flores Gutiérrez
Celular: (052) 952864956
E-mail: [email protected]
Valor de verdad
Verdadera (V).
Falso (F).
Falso (F).
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Carrera Profesional de Ingeniería en Sistemas e Informática
Periodo Académico: 2009 - I
Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
Ejemplos de expresiones que no son proposiciones lógicas:
Expresiones que no son proposiciones lógicas
Buenos días.
No faltes.
¿Quién llamo por teléfono?.
¡Ingrese a la universidad!.
Valor de verdad
No posee/No esta definido.
No posee/No esta definido.
No posee/No esta definido.
No posee/No esta definido.
Observación: En resumen, las Proposiciones Lógicas son expresiones de las que tienen sentido decir
que son verdaderas o que son falsas. También se les denomina simplemente PROPOSICIONES.
III.
CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS:
PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS:
Son aquellas que se pueden representar por una sola variable, es decir, por una sola letra como:
p:
Pamela tiene 20 años.
q:
5 x 5 = 25.
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES:
Son aquellas que se pueden representar por lo menos por una variable y algún o algunos de los
símbolos que representan a las palabras siguientes:
Palabras:
no
implica
o
y
si y solo si
o bien “p” o
bien “q”
Símbolo:
~





Ejemplo:
No aprobé el curso de Matemática I.
p
~
Hoy es sábado
y
mañana domingo.
q
p
IV. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
LA NEGACIÓN:
Dada una proposición p, se denomina LA NEGACIÓN DE p, a otra proposición denotada por
que le asigna el valor veritativo opuesto al de p.
~p,y
Su tabla de verdad es:
p
V
F
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~p
F
V
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Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
Esta proposición ~ p es también leída como:
“no p”
“no es cierto que p”
Ejemplos:
Sean las proposiciones:
Expresión simbólica
p:
q:
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
3 x 4 = 12
Visual Basic 6.0 no es un lenguaje de programación.
Valor de verdad
V
F
Entonces sus negaciones son:
Expresión simbólica
~ p:
~ q:
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
No es cierto que 3 x 4 = 12 (o sino, 3 x 4  12 )
Visual Basic 6.0 es un lenguaje de programación.
Valor de verdad
F
V
LA DISYUNCIÓN:
Se le denota “p v q” y se lee “p o q”. Es una proposición compuesta por la proposición p y la
proposición q, ambas relacionadas por la palabra “o”, y está definida por la siguiente condición:
“La proposición p v q es FALSA únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas; en
cualquier otro caso es verdadera”.
En su tabla de verdad se denota sus valores para todas las posibles combinaciones de valores
veritativos de p y q como sigue:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p v q
V
V
V
F
(*) Ver el ejemplo.
Por ejemplo: correspondiente a la combinación (*) de la tercera fila:
Expresión simbólica
p:
q:
p v q
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
8 es menor que 5
6 es mayor que 5
8 es menor que 5 o 6 es mayor que 5
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Valor de verdad
F
V
V
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LA CONJUNCIÓN:
Se le simboliza “p q”, y se lee como “p y q”. Se le define como una nueva proposición que resulta
verdadera (V) en el único caso en que las proposiciones componentes p y q son ambas
VERDADERAS (V). En todos los demás casos es FALSA (F).
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
p
q
V
F
V
F
q
V
F
F
F
(*) Ver el ejemplo.
Por ejemplo: correspondiente a la combinación (*) de la segunda fila:
Expresión simbólica
p:
q:
p q
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
9 es múltiplo de 3
10 + 7 = 12
9 es múltiplo de 3 y 10 + 7 = 12
Valor de verdad
V
F
F
LA CONDICIONAL:
Se le simboliza “p  q”, y se lee “Si p entonces q”. Es una nueva proposición compuesta que es falsa
únicamente en le caso en que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa.
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
 q
V
F
V
V
La proposición “p” es llamada ANTECEDENTE y la proposición “q” CONSECUENTE.
Esta proposición “p  q” también se lee de las siguientes maneras:
“p implica q”.
“p es una condición suficiente para que q”.
“q a menos que ~p”
“Es suficiente que p para que q”.
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Ejemplo: Explique porqué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados:
Expresión simbólica
p  q
p  q
p  q
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
2+ 3 = 8  5 < 6
3 - 1 = 4  2 < 1
Si 5 es primo, entonces 15 es un número par
Valor de verdad
V
V
F
Estas condicionales tienen los valores de verdad indicados debido a que:
a) p es falsa y q verdadera
b) p es falsa y q falsa
c) p es verdadera y q falsa
:
:
:
condicional verdadera.
condicional verdadera.
condicional falsa.
LA BICONDICIONAL:
Se denota “p  q ”, y se lee “p si y solo si q”. Es aquella proposición compuesta que es
VERDADERA en los casos en que ambas p y q tengan valores veritativos iguales (ambas verdaderas o
ambas falsas); es FALSA en los casos en p y q tengan valores veritativos opuestos.
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p

q
V
F
F
V
También se lee como:
“p si y solamente si q ”.
“p es una condicional necesaria y suficiente para q”.
Por ejemplo:
Expresión simbólica
p
q
p  q
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
2 < 4
2 + 6 < 4 + 6
2 < 4 si y solo si
2+6 < 4 + 6
Valor de verdad
V
V
V
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:
Se denota “p
q” , y se lee: “O bien p o bien q”. Es aquella proposición que es verdadera en los
casos en que ambas proposiciones p y q tengan valores veritativos opuestos, y es falsa si ambas
tienen idénticos valores de verdad.
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Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
Su tabla de verdad es:
P
V
V
F
F
p
q
V
F
V
F
q
F
V
V
F
Por ejemplo:
Expresión simbólica
p
q
p q
Proposiciones lógicas
Lenguaje natural
Vamos a Arequipa.
Vamos a Tacna.
O vamos a Arequipa o vamos a Tacna
Valor de verdad
V / F
F / V
V
Sea la proposición: O vamos a Arequipa o vamos a Tacna.
Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es
verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el
enunciado es Falso.
V.
CONECTIVOS LÓGICOS
-
Representación: Los conectivos lógicos se representan por los símbolos:
Palabras:
No
implica
o
y
si y solo si
o bien “p” o
bien “q”
Símbolo:
~





VI. PROPOSICIONES COMPUESTAS
-
Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones
compuestas básicas para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo
sus tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes de estas proposiciones
compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones
compuestas.
-
Por ejemplo, la tabla de verdad de la proposición compuesta siguiente:
[ (~p)
q ]  (r
p ) , es:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~p
F
F
F
F
V
V
V
V
(~p)
q
V
V
F
F
V
V
V
V
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r
p
V
F
V
F
F
F
F
F
[ (~p)
q ]
 (r
p)
V
F
V
V
F
F
F
F
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Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
Jerarquía de los conectivos lógicos: Cuando en una proposición compuesta se tiene varios
conectivos lógicos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente
comenzando de las proposiciones que se encuentren dentro de los paréntesis interiores. Siguen todas las
negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha. Los corchetes son considerados como paréntesis.
VII. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN y CONTINGENCIA
-
TAUTOLOGÍA: A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre VERDADERO para
cualquier combinación de valores veritativos de sus componentes se le llama TAUTOLOGÍA y se le
denota siempre por V.
Ejemplo: La proposición [ ( (~p)
p
V
V
F
F
-
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
(~p)
q)
q
 ~p , es una TAUTOLOGÍA. En efecto:
[ ( (~p)
V
F
V
V
q)
F
F
F
V
~q ]
 ~p
V
V
V
V
F
F
V
V
CONTRADICCIÓN: A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre FALSO para todas
las combinaciones de valores veritativos de sus componentes se le llama CONTRADICCIÓN, y se le
denota simplemente por F
Ejemplo: La proposición [ ( p
p
V
V
F
F
-
~q ]
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p
q
q)
(p
q ]
q)
V
F
F
F
~q , es una CONTRADICCIÓN. En efecto:
q
[ (p
q)
q ]
V
F
V
F
~q
F
F
F
F
CONTINGENCIA: Una proposición simple o compuesta cuya tabla de verdad contiene al menos un V y
al menos un F recibe el nombre de CONTINGENCIA.
Ejemplo:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~p
F
F
F
F
V
V
V
V
(~p)
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q
V
V
F
F
V
V
V
V
r
p
V
F
V
F
F
F
F
F
[ (~p)
q ]
 (r
p)
V
F
V
V
F
F
F
F
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VIII. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES
Dos proposiciones p y q se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de verdad
son idénticas, en cuyo caso se simboliza:
p  q
Ejemplo:
Las proposiciones ( p  q ) y [ (~q)  (~p) ] son EQUIVALENTES pues sus tablas de verdad
resultantes son idénticas, como se puede ver en el cuadro:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
 q
V
F
V
V
~q
F
V
F
V
 ~p
V
F
V
V
F
F
V
V
idéntica
Por lo tanto: ( p
 q) 
[ (~q)
 (~p) ]
IX. EJERCICIOS PRÁCTICOS
Identifique las proposiciones en las siguientes expresiones:
a) El teclado es un dispositivo de entrada de datos.
Respuesta: El teclado es un dispositivo de entrada de datos.
p
p
: El teclado es un dispositivo de entrada de datos.
b) El curso de Física es teórico y práctico.
Respuesta: El curso de Física es teórico y práctico.
p
p
q
q
: El curso de Física es teórico.
: El curso de Física es práctico.
c) Ana y Pedro estudian en la UNAM, entonces son parte de la comunidad universitaria.
Respuesta: Ana y Pedro estudian en la UNAM, entonces son parte de la comunidad universitaria.
p
p
q
r
q
r
: Ana estudia en la UNAM.
: Pedro estudia en la UNAM.
: Son parte de la comunidad universitaria.
Docente: Ing. Vaneza Flores Gutiérrez
Celular: (052) 952864956
E-mail: [email protected]
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Periodo Académico: 2009 - I
Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
Construya proposiciones compuestas:
Sea
p: 8 es un número par.
q: 8 es el producto de dos enteros.
Traducir en símbolos cada una de las siguientes proposiciones:
a) 8 es un número par o es un producto de dos enteros.
b) 8 es impar y es un producto de de dos enteros.
c) 8 es par y un producto de dos enteros o es un número impar y no un producto de dos enteros.
Respuesta:
a) p
q
b) (~p)
q
c) (p
q)
[ (~p)
(~q)]
Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas:
Sean p, q y r tres proposiciones tales que p es verdadera, q es falsa y r es falsa. Indicar cuáles de las
siguientes proposiciones son verdaderas:
a) (p
b) (~p)
q)
r
(q
r)
Solución:
a) Esta proposición es VERDADERA, pues:
(p
(V
q)
r
F)
F
V
F
V
b) Esta proposición es FALSA, pues:
(~p)
(q
r)
(F)
(F
F)
F
F
F
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X.
Periodo Académico: 2009 - I
Curso: MATEMÁTICA DISCRETA
PROBLEMAS PROPUESTOS
Dadas dos sentencias proposicionales A y B, se cumple que AB es una tautología. Indicar cuáles de las
siguientes opciones son válidas:
a. A B es una tautología.
b. A B es una tautología.
c. A B es una tautología.
d. B A es una tautología.
e. A B es una tautología.
f. A B es contradicción.
g. A B es contradicción.
La sentencia “El caso no se resolverá a menos que el asesino decida confesar su crimen o aparezca por
sorpresa un testigo relevante” puede formalizarse como:
a. ~q → (q ∨ r)
b. (q ∨ r) → ~p
c. (q ∨ r) → p
d. p → (q ∨ r)
Dadas las premisas { p (q r), q r } ¿Cuál de las siguientes podría ser la consecuencia para
que el razonamiento sea correcto?
a.p r
b.p r
c.r p
d.p r
Dada la fórmula ((p q) (q r)) (p q), una fórmula equivalente puede ser:
a.p q
b.p
c.p q r
d.(p q) (p r)
XI. CONCLUSIONES
-
Las PROPOSICIONES son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas bien como
VERDADERAS, o bien como FALSAS, sin ambigüedades. Las proposiciones lógicas serán denotadas
con letras minúsculas generalmente: p, q, r, …, etc.
-
A la veracidad o falsedad de un enunciado (proposición) se le denomina VALOR VERITATIVO o
VALOR DE VERDAD.
-
Las clases de proposiciones lógicas pueden ser PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS y las
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES.
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-
Proposiciones compuestas básicas son: la NEGACIÓN, la DISYUNCIÓN, la CONJUNCIÓN, la
CONDICIONAL, la BICONDICIONAL y la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
-
Las PROPOSICIONES COMPUESTAS se forman utilizando los conectivos lógicos, con los cuales se
pueden combinar cualquier número finito de proposiciones compuestas básicas para obtener otras
cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad.
-
La TAUTOLOGÍA se da en toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre VERDADERO y
se le denota siempre por V.
-
La CONTRADICCIÓN se da en toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre FALSO y
se le denota simplemente por F
-
La CONTINGENCIA se da en toda proposición simple o compuesta cuya tabla de verdad contiene al
menos un V y al menos un F.
-
Dos proposiciones p y q se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de
verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza: p  q .
XII. BIBLIOGRAFÍA
Libros:
1. R. Figueroa, Matemática Básica, Ed. Americana, Lima 1996
2. W. K.Grassmann, J.P. Tremblay, Matemática Discreta y Lógica. Ed. Prentice Hall 1997.
Direcciones electrónicas:
2. Tema: Lógica Proposicional
Autor: Andrés J. Bilstein
http://www.scribd.com/doc/3984030/Logica-Proposicional
3. Tema: Lógica
Autores: Fernando Hernández Magadán, Jose E. Labra G., Daniel Fernández Lanvin Daniel Gayo
Avello César Fernández Acebal.
http://www.di.uniovi.es/~labra/Logica/Logica.html
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