UNIDAD 10

UNIDAD 10
MODELO DE REDES O SECUENCIACIÓN
proyecto sin exceder el tiempo límite.
de un proyecto.
de trasbordo.
ingeniería.
Investigación de operaciones
Introducción
D
entro de la Investigación de Operaciones existe una gran
cantidad de problemas que pueden ser tratados como una red.
Por ejemplo en el Modelo de Transporte tratado en la unidad 7
usamos una red para esquematizar un problema. Históricamente muchos
de los problemas se plantearon primero como un problema de redes y
después se aplicó el método simplex para solucionarlos.
En esta unidad vamos a estudiar tres tipos de problemas asociados a
redes que son:
Análisis de redes de proyectos.
surgió en la milicia estadounidense
como administración de proyectos, donde la producción de cada una de
las nuevas armas involucraba tantas componentes y subcomponentes
producidas por diversos fabricantes, donde se necesitaba una nueva
herramienta para programar y controlar el proyecto. En 1958 aparece
el sistema
(evaluación de programa y técnica de revisión), el
cual fue desarrollado por científ icos de la oficina Naval de Proyectos
Espaciales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de
Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró
tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como
en el sector privado. El método PERT fue probado en la construcción
del submarino Polaris y se dice que redujo en dos años la conclusión del
proyecto.
Casi al mismo tiempo, pero ahora en un problema de la industria
civil, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la
Remington Rand, desarrolló el método CPM (método de la ruta crítica)
para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de
DuPont.
Estos dos métodos (PERT y CPM) ya fueron tratados en la unidad 2, en
donde aprendimos a construir los modelos matemáticos relacionados con
387
Unidad 10
la optimización de tiempos de fabricación. La diferencia principal entre
CPM y PERT es el método con el que se realizan las estimaciones de
tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las
actividades son determinísticos, mientras que en PERT, los tiempos de
las actividades son probabilísticos o estocásticos.
aparecen en la
industria del petróleo, la cual tiene que construir una gran cantidad
de oleoductos, los cuales le permitan llevar el crudo desde los pozos
petroleros hasta las ref inerías para su industrialización. Lo que quieren
las compañías es construir la menor cantidad de oleoductos (para
minimizar costos) pero quieren que el f lujo de crudo sea el mayor
posible.
se usa cuando queremos
electrificar una ciudad; queremos cubrir todas las localidades, pero con
la menor cantidad posible de cable.
Empezamos la unidad con la terminología utilizada para redes.
10.1. Terminología, actividades, procedencia
Existe una gran cantidad de problemas reales que se pueden modelar y
resolver utilizando las técnicas de redes. Algunas de estas aplicaciones
las mencionamos a continuación, además de indicar el tipo de algoritmo
que se utiliza para su solución.
a) Construcción de plantas industriales.
b) Construcción de automóviles, computadoras, herramientas, etcétera.
c) Generación y distribución de energía eléctrica.
d) Localización, perforación y explotación de pozos petroleros y/o de gas
natural.
e) Construcción de la estación espacial internacional.
Entre muchas otras.
388
Investigación de operaciones
a) Transportación de petróleo desde cada uno de los pozos petroleros en
el Golfo de México hasta las ref inerías.
b) Distribución de gas natural en las unidades habitacionales de la
Ciudad de México.
c) Flujo de llamadas telefónicas desde la Ciudad de México al resto del
país.
Además de otros.
a) Electrif icación de ciudades.
b) Distribución de agua desde un pozo a diferentes comunidades.
c) Colocación del servicio de televisión por cable.
Y otros más.
Aunque en la unidad 2 vimos una breve introducción a la construcción
de redes, vamos a comenzar formalizando las ideas presentadas.
Una red consta de un conjunto de vértices o nodos unidos por arcos
o aristas. Matemáticamente una red está definida por un par de conjuntos
(N, A), donde el primer conjunto está formado por los vértices de la red,
mientras que el segundo conjunto contiene los arcos que conectan a los
vértices. Si los arcos tienen sentido, es decir, sólo permiten el paso de un
nodo a otro en una dirección, se dice que la red es dirigida.
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Unidad 10
Es una secuencia de aristas que une dos nodos distintos.
Una trayectoria forma un ciclo si conecta un nodo con sí mismo.
Es una red que une todos los nodos, sin permitir
ningún ciclo.
Otras de las aplicaciones de redes son la planeación, la programación y
el control de proyectos. Empecemos por recordar lo que es un proyecto
y definamos cada una de las partes que lo conforman.
390
Investigación de operaciones
Es un enunciado claro de un conjunto de actividades
interrelacionadas, en la que cada actividad requiere tiempo y recursos.
Ejemplos:
Actividad. En términos generales, se considera actividad a la serie
de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en
forma continua, sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciación
y terminación. Las actividades pueden ser físicas o mentales, como
construcciones, trámites, estudios, inspecciones, dibujos, etcétera.
Es la forma lógica como se conectan las
diferentes actividades del proyecto. Esta relación se puede obtener por
antecedente o por secuencia. Por antecedentes, se les preguntará a los
responsables de los procesos cuáles actividades deben quedar terminadas
para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe tenerse
especial cuidado que todas y cada una de las actividades tenga por lo
menos un antecedente excepto en el caso de ser actividades i niciales, en
cuyo caso su antecedente será cero (0).
Si la relación se hace por secuencia, se preguntará a los responsables de
la ejecución cuáles actividades deben hacerse al terminar cada una de las
que aparecen en la lista.
M atriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca
cada una de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales
o precedentes. En el caso de la matriz de precedencia, está formada por
tres columnas, la primera contiene el número de actividad, la segunda las
actividades que preceden a la actividad mostrada en la primera columna
y por ultimo una columna de anotaciones, la cual se utiliza para aclarar
cualquier detalle del proyecto.
La matriz de secuencia tiene también tres columnas, la primera contiene
las actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las
391
Unidad 10
actividades que están después de la actividad de la primera columna y
por último tiene una columna de anotaciones.
M atriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita
cada actividad para completarse. En el caso del modelo CPM solamente
se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la
suposición de que los tiempos de actividad son determinísticos. Para el
caso de PERT, se necesita estimar tres tiempos:
a) Tiempo pesimista. Es el mayor tiempo posible en que se puede
realizar una actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la
maquinaria, o errores de los operadores, falta de materia prima, etcétera.
b) Tiempo optimista. Es el menor tiempo posible en el que se puede
realizar una actividad, esto como consecuencia de que todos los factores
sean favorables.
. Es el tiempo modal, es decir es el tiempo que
c)
más se repite en la realización de la actividad.
Con estos tres tiempos, se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene
al calcular un promedio ponderado utilizando la siguiente fórmula:
te
tp
4tm to
6
La información de los tiempos (ya sea determinístico o estocástico)
se añade a la matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva
columna, la cual contiene el tiempo determi nístico de cada actividad, o
el tiempo esperado de cada una de ellas. La matriz resultante recibe el
y se utiliza para construir la red de
nombre de
proyecto.
Evento. Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una
acti vidad.
Es la representación gráfica del proyecto, contiene
cada una de las actividades a realizar, además de sus interrelaciones y
secuencias. En este caso los nodos de la red son los eventos del proyecto,
los cuales se conectan a través de los arcos de la red o aristas, las
cuales sólo representan la secuenciación del proyecto y en ningún caso
su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada actividad.
392
Investigación de operaciones
Recordemos que en la unidad 2 aprendimos a construir la red de
proyecto, en la cual los nodos son los eventos que se numeran en forma
ascendente, a partir del nodo cero, el cual es el evento de i nicio, hasta
el nodo de terminación. Los nodos se conectan a través de aristas que
representan las actividades junto con el tiempo medio de cada una de
ellas. Para que quede más clara la construcción de la red, a continuación
damos un ejemplo.
Ejemplo 1
Dentro del proyecto de equipamiento de escuelas, se enviaron 50
computadoras nuevas a una secundaria. El secretario administrativo
contrata a un ingeniero en sistemas para que se encargue de la i nstalación
de las 50 máquinas, sólo que le pide una estimación del tiempo que se va
a llevar, junto con los pasos del proyecto para que la sociedad de padres
de familia pueda ver el avance en la obra.
Lo primero es enunciar en una forma clara el proyecto:
Instalar 50 computadoras sin red, en un salón de 10 m
de largo por 5 m de ancho por 3 de altura, el cual ya cuenta con la
instalación eléctrica requerida. A cada una de las computadoras se le
debe instalar el sistema operativo y un programa educacional.
Actividades:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Colocar 50 mesas de trabajo.
Colocar 13 reguladores de voltaje.
Desempacar y colocar 50 monitores.
Desempacar y colocar 50 CPU.
Desempacar y conectar 50 teclados.
Desempacar y conectar 50 ratones.
Conectar los monitores al CPU.
Conectar los CPU a los reguladores.
Conectar los monitores a los reguladores.
Encender las computadoras.
Instalar el sistema operativo.
Instalar el programa educacional.
Apagar las computadoras.
393
Unidad 10
M atriz de precedencia.
Para poder construir la red, presentamos en la siguiente tabla los tiempos
medios de cada actividad, sin mencionar la forma de obtenerlo ni el
costo.
394
Investigación de operaciones
Si unimos la i nformación de la matriz de precedencia con la matriz
de tiempo, obtenemos la
, la cual mostramos a
continuación:
Con esta información se construye la red del proyecto, la cual mostramos
a continuación.
395
Unidad 10
Ejercicio 1
1. Es la representación gráfica de una serie de actividades que conforman
un proyecto.
a) Evento.
b) Red de proyecto.
c) Matriz de precedencia.
d) Tiempo esperado.
2. Es la tabla que contiene la interrelación lógica de las actividades.
a) Evento.
b) Red de proyecto.
c) Matriz de precedencia.
d) Tiempo esperado.
3. En el sistema PERT el tiempo se calcula utilizando la fórmula:
a) te
b) te
c) te
d) te
tp
4tm to
6
t p tm to
6
tp
4tm to
4
tp
4tm to
3
4. Una red está formada por aristas y:
a) Números.
b) Conjuntos.
c) Flechas.
d) Nodos.
396
Investigación de operaciones
5. La diferencia entre el sistema PERT y el CPM es la forma como se
calcula:
a) El evento.
b) El tiempo.
c) La matriz de precedencia.
d) Las aristas.
6. Es la sucesión de aristas que llevan de un nodo a otro distinto en la
red.
a) Trayectoria.
b) Árbol.
c) Ciclo.
d) Nodo.
10.2. CPM y PERT
CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de
información para los ingenieros del proyecto. Este modelo expone la “ ruta
crítica” de un proyecto, es decir, las actividades que limi tan la duración del
proyecto. Estas actividades son las que inciden directamente con el tiempo
requerido para la terminación del proyecto, por lo tanto, si queremos que
el proyecto se realice en el menor tiempo posible, las actividades de la
ruta crítica deben realizarse en el menor tiempo posible. Las actividades
que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto
es, pueden empezarse más tarde y permiti r que el proyecto como un todo
se mantenga en programa. Los algoritmos de PERT y CPM identifican
estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.
CPM identifica los costos relacionados con una disminución en los
tiempos de operación, y trata de minimizar el tiempo del proyecto, pero
sin aumentar demasiado los costos, esto de acuerdo con la f lexibilidad
permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas.
Finalmente PERT y CPM proporcionan una herramienta para controlar y
monitorear el progreso del proyecto. De esta manera el ingeniero puede
397
Unidad 10
prestar más atención a aquellas actividades de la ruta crítica, ya que son
las que pueden en un momento dado retrasar o hacer más costoso el
proyecto. Las actividades no críticas se manipularán y reemplazarán en
respuesta a la disponibilidad de recursos.
Lo primero que nos i nteresa de un proyecto es hacer una estimación del
tiempo que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta
estimación es utilizando la gráf ica de Gantt, la cual es un cronograma
de tiempos, en el que el eje vertical contiene las actividades del proyecto
y en el eje horizontal anotamos el tiempo. Para graficar cada una de las
actividades utilizamos el siguiente algoritmo:
1. Se grafican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen
actividades precedentes. Para graficar cada una de las actividades se
traza una línea horizontal a la altura donde se etiqueta la actividad,
la longitud de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad,
utilizando la escala del eje horizontal.
2. Se grafican las actividades que tienen como precedente las actividades
del paso anterior. La línea horizontal se traza a partir de donde termina
la actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o
más, tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la más
larga, para ello trazamos una línea punteada.
3. Si ya no hay más actividades, entonces parar: la gráf ica está
terminada, el punto del tiempo hasta donde llega la última línea recta
es la aproximación de tiempo de terminación del proyecto. Si quedan
actividades pendientes regresamos al punto 2.
398
Investigación de operaciones
Ejemplo 2
Se pide a un ingeniero la ampliación de una casa. La matriz de
precedencia y de tiempos es la siguiente:
Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades,
para ello utilizamos la fórmula:
te
tp
4tm to
6
399
Unidad 10
Trazamos la gráfica de Gantt:
De la gráfica se concluye que el tiempo esperado para la terminación
del proyecto es de 15 días.
Una de las principales deficiencias que tiene esta técnica es que no toma
en cuenta la relación entre las actividades. El método PERT soluciona
esta deficiencia, al tomar en cuenta las relaciones existentes entre
las diferentes actividades y nos proporciona la ruta crítica, es decir,
identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto.
Dada la lista de actividades, la relación de precedencia y los tiempos
pesimista, optimista y más probable de las actividades de un proyecto,
se hace lo siguiente:
1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad.
2. Construir la red de proyectos.
Nota. Recuerda que entre dos eventos sólo debe existir una actividad, en
caso contrario se añaden actividades ficticias.
3. Determinar los tiempos para eventos, esto es, debemos determinar la
terminación próxima y la terminación lejana de cada evento, utilizando
las siguientes fórmulas:
400
Investigación de operaciones
a) La terminación próxima de un evento (TPE) es igual a la terminación
próxima del evento anterior más el tiempo esperado de la actividad
(TEA).
TPEi
TPEi
1
TEAi
1,i
Si hay dos trayectorias que lleguen a un evento se toma la de mayor
tiempo. Al evento inicial se le asigna una terminación próxima igual a
cero.
b) La terminación lejana de cada evento (TLE) se calcula de derecha a
izquierda en la red y es igual a la terminación lejana del evento posterior
menos el tiempo esperado de la actividad entre ellos.
TLEi
TLEi
1
TEAi ,i
1
Si existen dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de
menor tiempo. Al evento final se le asigna el valor de la terminación
próxima del evento f inal.
La notación que se utiliza para expresar estos tiempos, es una cruz arriba
de cada evento, en la parte superior izquierda se anota la terminación
próxima y del lado superior derecho la terminación lejana.
4. Calcular los tiempos para las actividades, los cuales a diferencia de
los tiempos para eventos son cuatro.
a) Inicio próximo (IPA), es igual a la terminación próxima del evento en
que comienza la actividad.
IPAij
TPEi
b) Terminación próxima (TPA), es igual al inicio próximo de la actividad
más la duración de ésta.
TPAij
IPAij
TEAij
401
Unidad 10
c) Inicio lejano (ILA), es igual a la terminación lejana de la actividad
menos la duración de ésta.
ILAij
TLAij
TEAij
d) Terminación lejana, es igual a la terminación lejana del evento en que
termina la actividad.
TLAij
TLE j
Con estos tiempos, podemos calcular la holgura de cada actividad, la
cual se define como: la diferencia entre la terminación próxima y la
terminación lejana.
HOLGURA TPAij
TLAij
5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura
igual a cero.
6. Debido a la naturaleza probabilística de los tiempos en cada actividad,
no podemos tener un tiempo exacto de terminación T, en su lugar
debemos calcular el intervalo donde esperamos que “ caiga” el tiempo.
Para ello utilizamos las siguientes fórmulas para calcular la esperanza
y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se realiza el
proyecto:
varianza de la i -ésima actividad
E(T )
Te
ruta
crítica
var(T )
vari
ruta
crítica
402
t p to
6
2
Investigación de operaciones
Ejemplo 3
Hallar la ruta crítica del siguiente proyecto:
Un ingeniero eléctrico debe hacer una instalación eléctrica en una
ampliación realizada a una fábrica. A continuación se presenta la matriz
de precedencia y tiempos estimados en días.
1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad.
403
Unidad 10
2. Construimos la red del proyecto.
3. Calculamos los tiempos de cada evento, utilizando la siguiente tabla.
4. Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los
tiempos para las actividades, para ello utilizamos la siguiente tabla:
404
Investigación de operaciones
5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crítica está formada por los
eventos A, B y E, es decir:
RC = A + B + E
Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en:
Para que de esta manera el proyecto se lleve a buen término, el tiempo
esperado para la terminación del proyecto es:
E(T) = 1.5 + 2 + 3 = 6.5 días
V (T )
1 1
36 9
1
9
1
4
Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de
6.5 días, con una desviación estándar de 0.5 días. La variable tiempo
de terminación se puede ajustar a una distribución normal con media
6.5 y desviación estándar de 0.5 días. Si tomamos el intervalo formado
por la media menos la desviación estándar y la media más la desviación
estándar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos 68.27% de los
405
Unidad 10
datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo de
terminación esté dentro del intervalo [6, 7].
Ejercicio 2
Calif ica como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes
proposiciones:
1. Las actividades de la ruta crítica son
las que limitan la duración del proyecto.
____
2. Las actividades que están en la ruta
crítica tienen un tiempo de holgura diferente de cero.
____
3. PERT utiliza tiempos determinísticos de cada actividad.
____
4. La terminación lejana de una actividad es igual a la
terminación lejana del evento en que termina la actividad.
____
5. La ruta crítica está formada por las actividades
que tienen una holgura igual a cero.
____
M étodo CPM
Al inicio de la unidad mencionamos que la diferencia entre PERT
y CPM es la forma como esti man los tiempos de cada actividad,
mientras PERT utiliza tiempos probabilísticos, CPM utiliza tiempos
determinísticos; además, CPM toma en cuenta el costo asociado a cada
actividad, pero sobre todo, reconoce la relación que existe entre el
tiempo en que se realiza una actividad y el costo que tiene la misma.
Esto debido a que al aumentar los recursos (materia prima, mano de
obra, maquinaria, tecnología, etc.) el tiempo dismi nuye, pero los costos
aumentan. Para anali zar la relación que existe entre el tiempo y el
costo, se utiliza un plano cartesiano: en el eje horizontal se coloca la
variable tiempo (variable i ndependiente) y en el eje vertical el costo
(variable dependiente).
406
Investigación de operaciones
La práctica ha demostrado que la relación entre estas dos variables
es lineal, por lo tanto bastan dos estimaciones que se miden directamente
sobre la práctica, las estimaciones están formadas por una pareja de
números, lo cual nos representa un par de puntos en el plano. Estas
estimaciones son:
Es el punto del plano en donde se muestra
el tiempo menor en que se puede realizar una actividad, junto con
el costo en que se incurre.
Es el punto donde se muestra el tiempo
normal en que se puede realizar una actividad, junto con el costo
en que se incurre.
Con estos dos puntos podemos hallar la ecuación de la recta que
representa la relación. Una suposición fuerte del algoritmo es que son
viables todas las combinaciones entre estos dos puntos.
La notación utilizada para CPM es la siguiente:
Suponga que se tiene una actividad A, que va del evento i al evento j,
entonces esta actividad la denotamos como (i, j). Los índices i y j sólo
toman los valores para los cuales existe una actividad entre ellos.
TI ij es el tiempo intensivo de la actividad (i, j).
TNij es el tiempo normal de la actividad (i, j).
CI ij es el costo intensivo de la actividad (i, j).
CNij es el costo normal de la actividad (i, j).
Con esta notación podemos realizar la gráf ica tiempo-costo de una
actividad (i, j).
407
Unidad 10
Para determinar el costo de la actividad (i, j), necesitamos hallar la
pendiente de la recta, la cual está dada por:
mij
CI ij
CNij
TI ij
TNij
Si tomamos el punto intensivo, la ecuación de la recta es:
C CI ij
mij (T TI ij )
C mij (T TI ij ) CI ij
Esta última expresión nos dice el costo en el que incurrimos al realizar
la actividad (i, j) en un tiempo T.
Ejemplo 4
Una actividad en el proyecto de construir una casa puede ser la pintura
exterior. Si utilizamos una sola persona para hacerlo, el tiempo que se
tarda en pintar es de 7 días, en cambio si contratamos a 5 personas el
tiempo de pintado se reduce a 2 días. El salario por persona por día es
de $ 50.00. Con esta información estimar el costo de pintar la casa en 4
días.
408
Investigación de operaciones
Lo primero es construir una tabla con los datos del problema:
Con esta información graf icamos los puntos: normal (7 350) e intensivo
(2 500)
La pendiente de está recta es: mij
CI ij
CNij
TI ij
TNij
500 350
2 7
30
por lo tanto la función de costo esta dada por la expresión:
C
30(T 2) 500
Sustituimos T = 4 días en la expresión anterior y obtenemos:
C
30( 4 2) 500 440 que es el costo al pintar la casa en 4 días.
El objetivo fundamental de CPM es determinar el punto de equilibrio
entre tiempo y costo para cumplir con el tiempo de termi nación del
proyecto que se estimó, al menor costo posible. Para lograr este objetivo
CPM plantea un modelo de P. L. asociado con el siguiente problema:
409
Unidad 10
Dado un tiempo de terminación T del proyecto, seleccionar los tiempos
de cada actividad, tal que se minimice el costo total del proyecto.
Lo primero es definir las variables de decisión.
Sea xij el tiempo de duración de la actividad (i, j), en el caso de que exista
una actividad entre el evento i y el evento j, de otra manera la variable no
está definida.
Obtenemos la función objetivo del problema. El costo de realizar la
actividad (i, j) en un tiempo xij está dado por la expresión:
C mij ( xij
TI ij ) CI ij
El costo total del proyecto lo determinamos al sumar los costos asociados
a cada una de las actividades, es decir:
mij ( xij
Costo total =
TI ij ) CI ij
(i , j )
Donde la suma se realiza sobre todas las parejas (i, j) tal que existe una
actividad en la red.
Por cada variable xij aparecerá una restricción de la siguiente forma:
yi
xij
yj
0
Por lo tanto el modelo de P. L. asociado con CPM es:
Zmín
mij xij
(i , j )
s.a.: xij
410
xij
TI ij
yi
xij
yn
T
xij
0
yk
0
TNij
Para cada actividad (i, j )
yj
0
Investigación de operaciones
Una vez planteado el modelo utilizamos cualquiera de los programas
computacionales para resolverlo.
Ejemplo 5
Una compañía constructora debe concursar para ganar la licitación de
una unidad habitacional. El tiempo máximo para la construcción de una
casa del conjunto es de 8 días. La compañía desea buscar la combinación
que minimice los costos y esté dentro del límite del concurso. Los datos que
tiene la compañía para el proyecto son los siguientes:
Construimos la red asociada con el proyecto:
Hallamos la pendiente de cada una de las actividades, utilizando la
fórmula:
mij
CI ij
CNij
TI ij
TNij
411
Unidad 10
La f unción objetivo del modelo es:
Zmí n
600x12 500x23 500x24
400x45 700x36
Las restricciones de las variables de decisión:
x12
3
x12
4
x23 1
x23
2
x24 1
x24
x45
3
0.5
x45 1
x36
4
x36
5
Ahora escribimos las restricciones para las variables auxiliares:
412
Investigación de operaciones
y1 x12
y2
0
y2
x23
y3
0
y2
x24
y4
0
y4
x45
y5
0
y3
x36
y6
0
y1
0
y6 8
Finalmente escribimos las restricciones lógicas:
x12 , x23 , x24 , x45 , x36
0
y1, y2 , y3 , y4 , y5 , y6
0
Resolvemos el modelo con algún programa computacional y obtenemos
la solución:
La tabla anterior muestra el tiempo óptimo en que se debe realizar cada
una de las actividades del proyecto, de tal manera que el tiempo total
no exceda a los 8 días y el costo sea el menor posible. Por lo tanto la
propuesta de la constructora es: construir una casa en 8 días con un
costo de $ 8 100.00.
413
Unidad 10
Ejercicio 3
Completa correctamente los siguientes enunciados:
1. CPM utiliza tiempos _________________.
2. El algoritmo de CPM se utiliza para minimizar ________________.
3. Al aplicar el algoritmo CPM se obtiene un modelo de programación
________________.
4. La variable xij en CPM representa el tiempo en que se debe realizar
cada ________________.
5. Una actividad tiene las siguientes características: tiempo normal 3
mi n, costo normal $ 50.00, tiempo i ntensivo 0.5 mi n, costo i ntensivo
$ 87.00. La pendiente de la f unción de costo es ________________.
10.3. Problema de flujo en redes
de costo mínimo
El problema de f lujo en redes de costo mínimo aparece cuando queremos
distribuir un material desde los puntos de producción hasta los puntos
de consumo. Para transportarlo pueden existir estaciones de trasbordo,
es deci r, puntos en donde concurren diferentes rutas. Para representar
este tipo de problemas, es conveniente utilizar una red que describa
el problema. En este caso los arcos de la red representan los canales
de distribución, los cuales tienen una capacidad asociada y un costo de
transportación por unidad. Los nodos representan los punto de producción
(fuentes), consumo (sumideros) y de trasbordo.
Para plantear el modelo de f lujo de costo mínimo, consideramos una
red dirigida conexa (red en donde existe una trayectoria para conectar
cualquier par de nodos) en la que los n nodos incluyen al menos un
nodo de producción y un nodo de consumo. Para que el problema esté
balanceado, la producción total de la red debe ser igual a la demanda
total de la misma. Si esto no se cumple se pueden agregar nodos f icticios,
los cuales ayudan a equilibrar la red. En este libro sólo consideraremos
redes en equilibrio.
414
Investigación de operaciones
Ejemplo 6
Una compañía petrolera necesita enviar petróleo crudo desde tres pozos
que tiene en el Golfo de México hasta dos ref inerías en puerto: una
de ellas en Coatzacoalcos-Veracruz y otra en Poza Rica-Veracruz. La
compañía petrolera cuenta con una red de oleoductos con estaciones
de bombeo intermedias. La red junto con su capacidad se muestra a
continuación:
La capacidad de f lujo y costo de cada uno de los arcos se muestra en la
siguiente tabla.
415
Unidad 10
La producción del pozo 1 es de 250 barriles, mientras que el nodo 2
tiene una producción de 300. El consumo del nodo 6 es de 350 barriles,
mientras que el nodo 7 consume 200 barriles.
El problema consiste en satisfacer la demanda de los nodos consumidores
con el menor costo posible, es decir, debemos decidir cuánto petróleo
mandaremos por cada uno de los arcos de la red, de tal manera que
la demanda quede satisfecha, pero al menor costo posible y con la
restricción de capacidad de cada arco de la red.
Este problema es una generalización del Modelo de Transporte el cual
tratamos en la unidad 7. Para resolver el problema de flujo de costo
mínimo planteamos un modelo de P. L., el cual se resuelve con las
técnicas vistas anteriormente o con algún paquete computacional. La
notación para las variables que intervienen en el problema son:
cij
costo por unidad de f lujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.
uij
capacidad del arco que va del nodo i al nodo j.
bi
f lujo neto generado en el nodo i.
La variable b1 puede ser:
i es una f uente.
i es un sumidero.
i es un nodo de trasbordo.
Las variables de decisión son:
xij f lujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.
El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos a través
de la red (respetando la capacidad de f lujo de cada arco) sin violentar las
restricciones de producción y demanda.
La f unción de costo la podemos escribir de la siguiente forma:
416
Investigación de operaciones
n
n
Zmí n
cij xij para las parejas (i, j) tal que existe un f lujo del nodo i
i 1 j 1
al nodo j en la red.
Las restricciones se escriben de la siguiente forma:
n
n
xij
j 1
0 xij
x ji
bi para cada nodo i de la red.
j 1
uij
La primera suma de la restricciones representa el f lujo total que entra al
nodo i-ésimo, mientras que la segunda representa el f lujo total que sale del
nodo, por lo tanto su diferencia debe ser igual a la producción o demanda
del nodo, o en caso de los nodos de trasbordo debe ser igual a cero.
Ejemplo 7
Para ilustrar la aplicación del método de f lujo en redes de costo mínimo,
obtendremos el modelo de P. L. del problema de la red de transporte de
petróleo. Los datos se resumen en la siguiente red. La pareja de números
que está sobre cada arco, representa la capacidad de f lujo en barriles y el
segundo número el costo por barril mandado por la red. Los números en
negrillas arriba de los nodos fuente representan la producción de cada
uno, mientras que los de los nodos destinos representan la demanda.
417
Unidad 10
Por lo tanto las variables de decisión son:
x13 , x14 , x24 , x25 , x36 , x34 , x54 , x46 , x47 , x57
La f unción objetivo la podemos escribir como:
Zm í n
20x13 18x14 17 x24
15x34 18x54
20x25 18x36
20x46 18x47 18x57
Las restricciones son:
x46
x47
x14
x13
x14
250
x24
x25
300
x36
x34
x13
0
x24
x34
x54
0
x54
x57
x25
0
x36
x46
350
x47
x57
200
Las dos primeras restricciones miden “ lo que sale” de los nodos fuentes
y nos indican que “ no entra nada” a ellos, ya que no hay restas. Las
restricciones 3, 4 y 5 son las restricciones asociadas con los nodos de
trasbordo, en donde por un lado se suman los f lujos que salen del nodo y
por otro se restan los que entran al nodo, pero en total la suma debe ser
cero. Finalmente las dos últimas restricciones miden el f lujo que entra a
los nodos consumidores; como “ ya no sale nada” no aparecen variables
positivas.
Las últimas restricciones se forman considerando la capacidad de f lujo
de cada arco:
418
Investigación de operaciones
0 x13
400
0 x14 150
0 x24
200
0 x25
400
0 x36
350
0 x34
500
0 x54
500
0 x46
300
0 x47
300
0 x57
400
Una vez que tenemos el modelo lo resolvemos utilizando un paquete
computacional y obtenemos la solución, la cual es:
x13 100
x14 150
x24 200
x25 100
x36 100
x34
0
x54
0
x46
250
x47 100
0
x57 100
con un costo total de $ 20 500.00
419
Unidad 10
Ejercicio 4
Selecciona la respuesta correcta.
1. Si un nodo en el algoritmo de f lujo de costo mínimo tiene f lujo
negativo se llama:
a) Fuente.
b) Sumidero.
c) Trasbordo.
d) Destino.
2. Si un nodo es de trasbordo, la suma algebraica de lo que entra menos
lo que sale debe ser igual a:
a) Dos.
b) Uno.
c) Cero.
d) Tres.
3. La red en el problema de f lujo de costo mínimo es:
a) Cíclica.
b) No dirigida.
c) Dirigida.
d) Híbrida.
4. El objetivo del modelo de f lujo de costo mínimo es:
a) Minimizar el f lujo.
b) Maximizar el costo.
c) Minimizar el costo.
d) Maximizar el f lujo.
420
Investigación de operaciones
5. La función objetivo del modelo de f lujo de costo mínimo es:
n
n
a) Zmí n
bi xij
i 1 j 1
n
n
b) Zmí n
cij bi
i 1 j 1
n
n
c) Zm í n
cij xij
i 1 j 1
n
n
d) Zm í n
cij
i 1 j 1
10.4. Problemas de árbol
de expansión mínima
El modelo del árbol de expansión mínima considera una red no dirigida
(red en donde existe una trayectoria para conectar cualquier
par de nodos), en donde las aristas representan la medida de algún
parámetro (distancia, costo, tiempo, etc.). El objetivo del modelo es
seleccionar un conjunto de aristas que minimicen la medida entre todo
el conjunto de ligaduras, tal que exista una trayectoria entre cada par de
nodos.
Ejemplo 8
Se tienen 5 comunidades rurales con caminos de terracería entre algunas
de ellas. Los caminos se muestran en la siguiente red, donde la medida de
las aristas es la longitud en kilómetros de los caminos.
421
Unidad 10
El Gobierno del Estado desea pavimentar una red de caminos que
comunique las 5 comunidades con el menor costo posible.
La idea es proporcionar un camino pavimentado entre cada par de
comunidades, pero seleccionando el camino de menor longitud, para que
de esta manera se minimicen los costos.
Una posible solución del problema es:
Esta solución factible tiene una longitud de 19 km, sin embargo no es
posible determinar si es óptima o no.
422
Investigación de operaciones
El método del árbol de expansión mínima nos proporciona un esquema
para seleccionar las aristas, tal que la suma total de la medida de cada
arista seleccionada sea mínima.
Dividimos los nodos de la red en dos conjuntos, el primero llamado S,
formado por los nodos seleccionados en el paso i-ésimo, y otro conjunto
llamado N con los nodos que no estén seleccionados. En cada paso del
algoritmo ir construyendo la red que se forma con los nodos y aristas
seleccionadas.
1. Seleccionamos de manera arbitraria uno de los nodos de la red y lo
marcamos como nodo inicial. Este nodo “ lo pasamos” al conjunto S y
“ lo borramos” del conjunto N.
2. Del conjunto N seleccionamos el nodo cuya arista a alguno de los
nodos del conjunto S sea mínima. Este nodo pasa del conjunto N al
conjunto S. En caso de empates, éstos se rompen de manera arbitraria.
3. Si el conjunto N está vacío; entonces parar. Si no, regresar al paso 2.
La red que se obtiene al finalizar el algoritmo, constituye el árbol de
expansión mínima.
Ejemplo 9
Apliquemos el algoritmo del árbol de expansión mínima al ejemplo de
las comunidades rurales. Los nodos y las distancias para el problema se
presentan en la red:
423
Unidad 10
Dividimos los nodos en los conjuntos S y N.
S
N
1, 2,3, 4,5
Paso 1. Seleccionamos un nodo de manera arbitraria. Seleccionemos
el nodo 1 para iniciar la red, entonces los conjuntos cambian a los
siguientes:
S
N
1
2, 3, 4, 5
Paso 2. Los posibles enlaces de los nodos no seleccionados con los nodos
seleccionados son:
424
Investigación de operaciones
De ellos, el menor es la arista que va del nodo 1 al nodo 2, por lo tanto el
nodo 2 pasa al conjunto S y abandona el conjunto N.
S= {1, 2}
N = { 3, 4, 5}
Paso 3. Como el conjunto N no está vacío, regresamos al paso 2.
Paso 2. Los enlaces potenciales de los nodos no seleccionados con los
nodos seleccionados son:
425
Unidad 10
La menor distancia es 3, seleccionando la arista que une el nodo 2 con el
nodo 4, por lo tanto el nodo 4 pasa al conjunto Sy abandona el conjunto N.
S
1, 2, 4
N
3, 5
Paso 3. Como el conjunto N es no vacío, regresamos al paso 2.
Paso 2. Los enlaces potenciales son:
La menor distancia es 4, pero existe un empate, el cual rompemos de
manera arbitraria, seleccionando el nodo 3, el cual pasa al conjunto S y
se sale del conjunto N.
S
N
426
1, 2, 4, 3
5
Investigación de operaciones
Paso 3. Como N aún no está vacío, regresamos al paso 2.
Paso 2. Los enlaces potenciales son:
La distancia mínima es 4, por lo tanto el nodo 5 abandona el conjunto N
y pasa al conjunto S.
S 1, 2, 4,3,5
N
427
Unidad 10
Paso 3. Como el conjunto N ya está vacío, el algoritmo se terminó, la
última red obtenida es el árbol de expansión mínima.
Esto quiere decir que se deben pavimentar los caminos que se muestran
en la última red y la longitud total es de 14 km. A diferencia de los 19
que obtuvimos en nuestra primera solución factible.
Ejercicio 5
Calif icar como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes
proposiciones.
428
1. El problema del árbol de expansión
mínima se considera una red conexa y dirigida.
____
2. Una solución factible en el problema
del árbol de expansión mínima debe contener
una trayectoria para cada par de nodos de la red.
____
3. Los nodos de la red en el algoritmo del árbol
de expansión mínima se dividen en tres conjuntos.
_____
4. El nodo que pasa del conjunto de los no
seleccionados al conjunto de los seleccionados
es el que tiene una medida de arista mayor
que cualquiera de los nodos seleccionados.
_____
5. El algoritmo del árbol de expansión mínima
termina cuando todos los nodos están seleccionados.
_____
Investigación de operaciones
Ejercicios propuestos
1. Construir la red del proyecto asociado con la siguiente tabla.
2. Un ingeniero en sistemas debe ensamblar 1 000 computadoras; para
terminar a tiempo se debe ensamblar cada computadora cuando mucho
en 30 minutos. El ingeniero desea buscar la combi nación que minimice
los costos y dentro del límite de tiempo. Los datos que se tienen son los
siguientes:
429
Unidad 10
Autoevaluación
1. La diferencia entre PERT y CPM es la forma como estiman la
variable:
a) Tiempo.
b) Costo.
c) Demanda.
d) Utilidad.
2. El conjunto de arcos que unen un par de nodos en una red se llama:
a) Camino.
b) Recorrido.
c) Trayectoria.
d) Ruta.
3. El menor tiempo en que se puede realizar una actividad en el modelo
PERT se llama:
a) Tiempo más probable.
b) Tiempo pesimista.
c) Tiempo optimista.
d) Tiempo esperado.
4. La relación entre el tiempo y el costo en el modelo CPM es:
a) Cúbica.
b) Inversa.
c) Exponencial.
d) Lineal.
5. Los nodos de la red de f lujo de costo míni mo en los que la suma de lo
que entra es igual a la suma de lo que sale se llaman:
a) Fuentes.
b) Sumideros.
c) Destino.
d) Trasbordo.
430
Investigación de operaciones
6. Las redes en donde existe una trayectoria para cada par de nodos y no
tiene ciclos recibe el nombre de:
a) Ciclos.
b) Conexas.
c) Árboles.
d) Convexas.
7. Una actividad tiene los siguientes tiempos: T. pesimista = 7, T.
optimista = 2 , T. más probable = 4, entonces el tiempo esperado es:
a) 4.16
b) 2.16
c) 4.33
d) 4.5
8. Después de aplicar el método de PERT obtenemos los siguientes
tiempos de holgura para cada actividad del proyecto.
La ruta crítica está formada por las actividades:
a) A + B + C +D + E
b) A + D
c) C + D + E
d) B + C + E
431
Unidad 10
9. Una actividad tiene los siguientes valores en los puntos normal e
intensivo: costo normal = $ 4 100, tiempo normal = 3 minutos, costo
intensivo = $ 5 000, tiempo intensivo = 1 min. El costo por realizar esta
actividad en 2 minutos es:
a) $ 3 500.00
b) $ 4 550.00
c) $ 4 600.00
d) $ 4 900.00
10. La longitud del árbol de expansión mínima asociado con la siguiente
red es:
a) 26 km
b) 20 km
c) 34 km
d) 37 km
432
Investigación de operaciones
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. b)
2. c)
3. a)
4. d)
5. b)
6. a)
Ejercicio 2
1. V
2. F
3. F
4. V
5. V
Ejercicio 3
1. Determinísticos.
2. Costos.
3. Lineal.
4. Actividad.
5. –14.8
Ejercicio 4
1. b)
2. c)
3. c)
4. c)
5. c)
433
Unidad 10
Ejercicio 5
1. F
2. V
3. F
4. F
5. V
Respuestas a los ejercicios propuestos
1.
2. x12 10.5, x23
3, x25
9, x34 1.5, x46 15
Respuestas a la autoevaluación
1. a)
2. c)
3. c)
4. d)
5. d)
6. c)
7. a)
8. d)
9. b)
10. d)
434
Investigación de operaciones
ANEXO
Resolución de problemas de análisis de sensibilidad
1. Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y
B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60
el acre. El agricultor tiene un máximo de $7 400 disponibles para trabajar
la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre
del cultivo B, 25 horas. El agricultor dispone de un máximo de 3 300 horas
de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre de cultivo A y
$200 por acre del cultivo B.
a) Encuentra el modelo que resuelve este problema.
b) Encuentra la región factible asociada al problema.
c) ¿Cuantos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su
ganancia?
d) Determina el intervalo de variación sobre el número de horas de
trabajo.
Solución:
a)
Primero identif icamos las variables del problema, sean:
x1 = número de acres del cultivo A
x2 = número de acres del cultivo B
Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los
datos proporcionados respecto a cantidad disponible en costo y horas.
Para el costo de cultivo de acres tenemos que: 40x1 + 60x2 7 400,
mientras para el tiempo de cultivo tenemos que: 20x1 + 25x2 3 300.
Considerando que no se puede cultivar un número de acres negativos,
tenemos que considerar que: x1 0 y x2 0.
435
Anexo
Unidad
10
Además, como el objetivo del problema es maximizar la ganancia, la
función objetivo es: 150x1 + 200x2.
Por lo tanto, el modelo asociado es:
máx z 150x1 200x2
s.a. 40x1 60x2
20x1 25x2
x1
0, x2
7400
3 300
0
b)
40x1 60x2
7400 (1)
20x1 25x2
3 300 (2)
c)
Como se puede observar, es una región acotada, por lo tanto, el máxima existe.
Graficamos la función z = 150x1 + 200x2 con un valor de z = 5 000, se puede
observar que podemos seguir desplazando la función hacia arriba, obteniendo
como punto óptimo, el punto cuya intersección se da entre las restricciones
40x1 + 60x2 7 400 y 20x1 + 25x2 3 300. Resolviendo el sistema obtenemos
como punto óptimo x1 = 65 y x2 = 80 con un valor de z = 25 750.
436
Investigación de operaciones
Entonces tenemos que el agricultor debe cultivar 65 acres de cosecha A
y 80 de cosecha B para obtener una ganancia máxima de z = 25 750.
d)
Después obtenemos los puntos donde se mantiene la intersección de las
restricciones 40x1 + 60x2 a y 20x1 + 25x2 3 300; esto implica que la
región factible cambie, entonces debemos obtener los punto hasta donde se
mantiene la intersección de estas restricciones y se cumplen las desigualdades
respectivas, obteniendo (0,132) y (165,0); ahora, sustituyendo en la restricción
40x1 + 60x2 a se obtiene: a [6 600, 7 920], esto implica que el agricultor
dispone de un mínimo de 6 600 horas y un máximo de 7 920 horas de
cultivo. Después obtenemos los puntos donde se mantiene la intersección de
las restricciones x1 + x2 a y 2x1 + x2 1 000, obteniendo (150, 700) y (400,
200); se sustituyen en la restricción x1 + x2 a obteniendo: a [600, 850] que
es el valor mínimo y máximo que puede tomar el lado derecho de la primera
restricción del modelo.
2. Una compañía produce diariamente por lo menos 800 libras de
alimento especial para ganado. Este alimento es una mezcla de maíz y
semilla de soya, con las siguientes composiciones:
Libra por libra de alimento para ganado
Alimento para ganado
Proteínas
Fibra
Costo (libra)
Maíz
0.09
0.02
0.30
Semilla de soya
0.60
0.06
0.90
Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan,
por lo menos, 30% de proteínas y cuando mucho 5% de f ibra.
a) Encuentra el modelo que resuelve este problema.
b) Encuentra la región factible asociada al problema.
c) La compañía desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla
de alimento.
d) Determina el intervalo de variación sobre el costo de maíz.
437
Anexo
Unidad
10
Solución:
a)
Primero identif icamos las variables del problema, sean:
x1 = libras de maíz en la mezcla diaria.
x2 = libras de semilla de soya en la mezcla diaria.
Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los
requerimientos mínimos y tabla proporcionada.
Para las proteínas tenemos que: 0.09x1 + 0.60x2 0.3(x1 + x2), mientras
para la f ibra tenemos que: 0.02x1 + 0.06x2 0.05(x1 + x2) y para la mezcal
total tenemos que: x1 + x2 800.
Considerando que no se pueden tener libras negativas, tenemos que
considerar que: x1 0 y x2 0.
Además, como el objetivo del problema es minimizar el costo, la función
objetivo es: 0.3x1 + 0.9x2.
Por lo tanto, el modelo asociado es:
máx z 0.3x1 0.9x2
s.a. x1
x2
800
0.21x1 0.3x2
0
0.03x1 0.01x2
x1 0, x2 0
0
b)
x1
438
x2
800 (1)
0.21x1 0.3x2
0 ( 2)
0.03x1 0.01x2
0 (3)
Investigación de operaciones
c)
Como se puede observar es una región no acotada, por lo tanto, el
mínimo existe.
Graficamos la función z = 0.3x1 + 0.9x2 con un valor de z=800, se puede
observar que podemos seguir desplazando la función hacia abajo, obteniendo
como punto óptimo el punto cuya intersección se da entre las restricciones
x1 + x2 800 y 0.21x1 – 0.3x2 0. Resolviendo el sistema obtenemos como
punto óptimo x1 = 470.6 y x2 = 329.4 con un valor de z = 437.64.
Entonces, tenemos que la compañía debe mezclar 470.6 libras de maíz y
329.4 libras de semilla de soya en la mezcla diaria, con un costo mínimo
de z = 437.64.
d)
Como el punto óptimo se encuentra en la intersección de las restricciones
1 y 2, primero obtenemos las pendientes de estas rectas: m1 = –1 y m2 = 0.7,
después encontramos la pendiente de z = ax1 + 0.9x2 de la función objetivo
a
mz
, donde a es el costo del maíz.
0.9
Ahora, un cambio en el valor de m2 implica que la función objetivo
cambie, entonces debemos determinar hasta dónde es permisible que el
valor de la f unción objetivo cambie de tal manera que el punto óptimo se
mantiene, entonces debemos igualar las pendientes de las restricciones
con la pendiente de la f unción objetivo, obteniendo el intervalo de
variación para el costo del maíz: a [–0.63, 0.9], esto indica que el costo
mínimo del maíz es $0.0 (ya que no se puede tomar un costo negativo) y
el máximo de $0.9.
439
Anexo
Unidad
10
Bibliografía básica
, Investigación de operaciones, una introducción, sexta
edición, México, Prentice-Hall, 1998.
Este libro complementa la información presentada de la materia, pues
aborda directamente los algoritmos de investigación de operaciones.
Además, contiene un disco f lexible con el programa TORA, el cual
ayuda a resolver problemas de P. L. con varias variables.
, Investigación de operaciones: El
arte de la toma de decisiones, segunda edición, México, PEARSON,
1996.
Este libro aborda de manera clara y exhaustiva la construcción de
modelos matemáticos. Además presenta problemas de aplicación real de
investigación de operaciones.
, Toma de decisiones por medio de
investigación de operaciones, México, LIMUSA.
Este texto presenta un enfoque de investigación de operaciones a
problemas administrativos. Desarrolla con claridad la teoría de líneas de
espera y ofrece un enfoque de aplicación de PERT y CPM en teoría de
redes.
440
Bibliografía
Investigación de operaciones
Bibliografía complementaria
Enfoques cuantitativos a la administración, segunda
edición, México, CECSA, 1991.
Introducción a la investigación de operaciones,
México, LIMUSA.
Programación lineal y no lineal, México,
Addison-Wesley Iberoamericana, 1989.
441