unidad 1. los números enteros.

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El Viso del Alcor
Matemáticas 2º (Ver. 2)
Unidad 1: Los números enteros
UNIDAD 1.
LOS NÚMEROS ENTEROS.
Unidad 1: Los números enteros
Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre...
•
Interpretar y expresar números
enteros.
•
•
•
•
•
Representar números enteros en
la recta numérica.
Reconocer y utilizar los números
enteros para resolver problemas
de la vida cotidiana.
•
Comparar y ordenar números
enteros.
Representar
los
números
enteros en la recta numérica.
•
Comparar y ordenar números
enteros.
•
Realizar
operaciones
de
números enteros en contexto o
sin él.
•
Realizar
operaciones
combinadas de números enteros
aplicando la jerarquía de las
operaciones.
•
Aplicar correctamente las reglas
de supresión de paréntesis.
Realizar las operaciones con
números enteros, de forma
combinada, utilizando paréntesis
y aplicando correctamente la
prioridad de las mismas.
Resolver problemas utilizando
números enteros y analizando los
datos del enunciado.
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Imaginémonos que estamos acompañando al ascensorista de un hotel en su
trabajo.
Comienza su jornada en la planta baja, donde se sube un cliente que le pide que le
lleve al piso 9º. Desde esa planta bajamos a la 5ª, ya que allí han solicitado el ascensor.
Más tarde vamos a la 7ª planta. Allí nos piden que bajemos 4 plantas. Luego subimos 2;
bajamos 5; subimos 1; volvemos a subir 2. Entonces se sube un nuevo cliente que nos
pide que bajemos 4 plantas. ¿Podremos hacerlo?
Haz operaciones y piensa un poco antes de responder.
Este pequeño ejercicio nos servirá para empezar a aprender un tipo de números
nuevos: Los Números Enteros.
Números enteros.Se utilizan para situaciones en las que no existe una situación inicial mínima. Por
ejemplo: ¿Lo más bajo que se puede estar es en el suelo? No, ya que se puede estar bajo
tierra en un pozo o en el sótano de un hotel, como el de nuestro ejemplo.
Existen tres tipos de números enteros:
•
Positivos: Se corresponden con los que conocíamos hasta ahora. Se escriben
con un signo + delante o sin nada, si están solos. Se utilizan para las situaciones
“normales”, como por ejemplo cuando estamos en el piso 5, cuando estamos a
18 ºC, cuando estamos subidos a tres metros en una torre, etc.
•
Negativos: Se escriben con un signo – delante. Se utilizan para situaciones un
poco diferentes, pero igual de reales, como por ejemplo si estamos en el sótano
3, si hay una temperatura de -4ºC, si nos encontramos a 2 metros bajo tierra en
un pozo, etc.
•
Cero: No tiene signo. Se utiliza para aquellas situaciones “fronteras” entre las
dos anteriores. Por ejemplo, cuando estamos en la planta baja, es decir, no
hemos subido ni bajado ninguna planta; o cuando estamos situados en el suelo,
ni subidos en nada ni metidos en ningún pozo o similar, etc.
1.- Escribe un número para cada una de las siguientes afirmaciones:
a) El ascensor sube cinco plantas.
b) He bajado cinco plantas hasta el aparcamiento.
c) He perdido 200 céntimos.
d) La temperatura ha bajado de 20º C a 17º C.
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e) Tenía 120 € y ahora tengo 170 €.
f) He pagado una factura de 6500 €.
g) He ganado 15 € y me he gastado 18 €.
Representación de números enteros.Los números enteros se pueden representar en una recta sobre la que se señalan
puntos separados a distancias iguales. Uno de ellos representará al número 0; a partir de
él comenzarán a colocarse los positivos hacia la derecha y los negativos hacia la
izquierda.
... -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5...
2.- Dibuja la recta de los números enteros y representa sobre ella los siguientes:
- 2, + 2, - 5, 0, + 4, + 3, - 7, + 8, - 1
3.- Ordena de menor a mayor:
+ 8, - 3, 0, - 1, 3,
- 4,
6,
- 10
4.- Lee con atención y responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos números naturales hay entre -16 y +16?
b) ¿Cuántos números enteros hay entre +16 y -16?
5.- ¿Cuál es el número inmediatamente inferior al -32? ¿Y al 52?
6.- ¿Cuál es el número inmediatamente superior al -84? ¿Y al 98?
Valor absoluto.Valor absoluto de un número entero es la distancia que separa a ese número del 0.
En la práctica, se dice que el valor absoluto de un número entero es ese número
sin el signo.
Se representa entre dos barras verticales.
Por ejemplo: ∣−3∣=3 ; ∣5∣=5 . Se lee así: valor absoluto de menos tres es
igual a tres; valor absoluto de más cinco es igual a cinco.
7.- Calcula:
∣−3∣ ,
∣36∣ ,
∣0∣ ,
∣−17∣
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Opuesto de un entero.El opuesto de un número entero es el número entero que está a la misma distancia
del 0 que él pero en el otro lado; por lo tanto, en la práctica, el opuesto de un número
entero es el número entero con igual valor absoluto y distinto signo.
Se escribe con un signo menos delante del número escrito entre paréntesis. Por
ejemplo: - (-5) = +5 ;
- (+3) = -3. Se lee así: Opuesto de menos cinco es más cinco;
opuesto de más tres es menos tres.
8.- Escribe los opuestos de:
-3, 45, 0, -5, +23,
-18,
32,
-105
Suma o resta de números enteros.Desde corta edad nos han enseñado que la operación de sumar equivale a juntar.
Pues bien, supongamos que tenemos varias situaciones en los que debemos juntar dos
cantidades, ya sean positivas o negativas y observemos el resultado. Después trataremos
de descubrir la regla común para saber como se suman dos números enteros.
a) La primera situación que veremos es una en la que las dos cantidades sean
positivas:
Tengo 34 € y mi tio me regala 15 €. ¿Cuántos tengo ahora?
Como vimos anteriormente, ambas cantidades son positivas (+34) y (+15).
Pensando en el resultado, ahora tendré 49, fruto de los 34 que tenía más los 15 que me
regala mi tio. Este valor de 49 € es también positivo (+49).
Resumiendo podremos escribir (+34) + (+15) = (+49).
Por tanto, la suma de dos números positivos es otro número positivo y cuyo valor
es la suma de los otros dos.
b) Veamos ahora una situación en la que existan una cantidad positiva y otra
negativa:
Antonio me entrega una factura de 4 € de los apuntes fotocopiados que le
encargué y en mi bolsillo tengo 6 €. ¿Qué ocurre si pago lo que debo?
La cantidad de los 6 € que tengo es positiva (+6), mientras que lo que debo es
negativo (-4).
Si doy a Antonio lo que le debo me quedo con 2 €, que es una cantidad positiva
(+2).
Resumiendo, escribiremos así: (-4) + (+6) = (+2)
Por tanto, en un principio, la suma de un número positivo y otro negativo da como
resultado otro número positivo. Pero veremos que no siempre es así. Sigue leyendo, por
favor.
c) Ahora veremos otro caso parecido al anterior, pero en el que el valor absoluto
del número negativo es mayor que el valor absoluto del positivo.
Mi madre se ha confundido y tan solo lleva 10 € para pagar unas cosas que había
comprado en la tienda de la esquina por valor de 14 €. Si le da los 10 €, ¿cómo queda la
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cuenta?
Está claro que si le da los 10 € aún sigue debiendo (y por tanto será un número
negativo) 4 €.
Veámoslo escrito en forma matemática: (+10) + (-14) = (-4)
¡Ahora resulta que al sumar un número positivo y otro negativo, el resultado es
negativo, cuando en el caso anterior era positivo! ¿En qué quedamos?
La clave está en saber cuál de los dos números enteros que estamos sumando
tiene mayor valor absoluto: En el caso b el mayor valor absoluto era el del número positivo
y el resultado era positivo; en el caso c el mayor es el del negativo y el resultado también
es negativo. Pues ya tenemos claro que el signo del resultado es como el del número que
tiene mayor valor absoluto.
Y de la cantidad, ¿qué?.Pues podemos observar que tanto en el caso b como en el
c el resultado es la resta entre los dos valores absolutos.
La regla general podría ser la siguiente: Para sumar un número positivo y otro
negativo se restan sus valores abolutos y se le pone el signo del que tenga mayor dicho
valor absoluto.
d) Y por último veamos el caso en el que los dos números son negativos.
A mi hermana le debo 5 € y a Pablo 2 €. ¿Cómo de mal está mi situación
económica?
Pues está muy mal, ya que en total debo 7 €. Si lo vemos escrito en forma
matemática sería así: (-5) + (-2) = (-7)
De aquí podríamos sacar la norma general que diría algo así como que al sumar
dos números negativos obtenemos otro número cuyo valor absoluto es la suma de los dos
valores absolutos y el signo es negativo también.
Resumiendo, para sumar dos números enteros hay que tener en cuenta dos casos:
a) Si tienen el mismo signo: Se suman sus valores absolutos y se le deja el mismo
signo.
b) Si tienen distintos signos: Se restan sus valores absolutos y se le pone el signo
del que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos;
( +10) + (+12) = (+22)
(-3) + ( -67) = ( -70)
(+65) + (- 43) = (+22)
(-45) + (+14) = (-31)
9.- Realiza estas operaciones:
a) (-56) + (+88) =
c) (-87) + (+39) =
e) (+345) + (-54) =
b) (-54) + (-38) =
d) (-976) + (-45) =
f) (+553) + (+53) =
Pero... ¿y si se trata de una resta?
¿Recuerdas que el opuesto de un número entero es el mismo número pero con el
signo cambiado? ¿Y recuerdas que opuesto se podía escribir con un signo negativo
delante del número? Pues entonces si tenemos, por ejemplo, (+2) - (-3) , o sea, una resta,
la podemos escribir de otra forma. Intenta seguir el razonamiento: En esta resta está, por
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una parte el número (+2). Dejémoslo tranquilo y fijémonos en el resto, -(-3). ¿no te
recuerda al opuesto de menos tres? Y ¿no es cierto que -(-3) = (+3)? Pues entonces
podríamos juntar (=sumar) (+2) y (+3) y obtendríamos (+2) + (+3). Y como ya sabemos
sumar dos números enteros, ya tenemos el asunto resuelto.
Por tanto, la regla podría quedar así: Para restar un número entero a otro le
sumaremos su opuesto.
Ejemplos:
(+84) - (+36) =(+84) + (-36) = (+48)
(-45) - (-38) = (-45) + (+38) = (-7)
10.- Haz estas restas:
a) (-56) - (+88) =
c) (-87) - (+39) =
e) (+345) - (-54) =
b) (-54) - (-38) =
d) (-976) - (-45) =
f) (+553) - (+53) =
Pero hay otra forma más fácil de hacer sumas y restas. Se dice que es “quitando
paréntesis”. Veámosla a continuación.
Hemos visto que cuando se van a realizar operaciones con números enteros, estos
se escriben entre paréntesis para distinguirlos del signo de la operación. Si no se
utilizaran podríamos confundirnos entre el signo del número (positivo o negativo) y el
signo de la operación (suma o resta). Pero es un poco lioso a la vista, por eso es mejor
escribirlo más resumidamente.
Cuando estamos sumando o restando números enteros, lo mejor es quitar
previamente los paréntesis siguiendo las siguientes reglas:
a) Si delante del paréntesis hay un signo +, se quita el paréntesis y se dejan los
signos del interior igual que estaban.
b) Si delante del paréntesis hay un signo - , se quita el paréntesis y se cambian los
signos del interior.
Una vez quitados los paréntesis, se suman los que tienen el mismo signo entre sí,.
Por un lado los positivos y aparte se suman los negativos, de manera que obtendremos el
resultado de los positivos y el de los negativos por separado. Después se restan esos
valores y se pone el signo del que haya dado mayor valor, el de la suma de los positivos o
el de la de los negativos.
Ejemplos:
(+10) + (-12 ) = 10 – 12 = - 2
(+10) – (-12) = 10 + 12 = 22
-(+10) + (-12) = -10 – 12 = -22
-(+10) - (-12) = -10 + 12 = 2
15 – (2 + 3 – 6) + (2 – 8) = 15 – 2 – 3 + 6 + 2 – 8 = 23 – 13 = 10
(Fíjate que después de
haber quitado los paréntesis, cambiando los signos de los que están en el primero y dejando igual los del segundo, se ha sumado por
un lado 15, 6 y 2, que son los que tienen signo positivo, dándonos 23; y por otro lado se ha sumado 2, 3 y 8, que tienen signo negativo
delante, dando 13. Después se restan esos dos valores, 23 y 13, y le ponemos el signo del mayor, que en este caso es el signo del 23,
positivo)
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11.- Primero quita paréntesis y después calcula:
a) 11 – (3 – 2 + 4 – 6)
b) (6 – 5 + 7) – (3 – 2 – 8)
c) (2 – 5) – (3 – 7) – (6 + 1)
d) 5 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 1)
e) – ( – 2 + 10 – 3) + (7 – 9) – (1 – 2 + 9)
f) – 8 – (– 2 + 10 – 3) + (7 – 9) – (1 – 2 + 9)
12.- Calcula como quieras:
a) 3 – 6 + 8 + 1 – 10 – 4 + 2
b) 15 – [13 – (6 – 8)]
c) 2 – [6 – (12 – 3 – 1)] – 8
d) (6 – 10) – [(5 – 3) – (4 – 6)]
e) 16 – {1 – [5 – (3 – 1)] + (2 + 8)} – 20
13.- Calcula:
a) 5 – 3 – 7 – 1 – 8
c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11
b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2
d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14
14.-Primero quita paréntesis y después calcula:
a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8)
b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)
c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8)
d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)
15.-Quita paréntesis y calcula:
a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]
b) 1 – {3 – [4 – (1 – 3)]}
c) (2 + 7) – {5 – [6 – ( 10 – 4)]}
16.- Calcula operando primero dentro de los paréntesis:
a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6)
b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4)
c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)
Multiplicación y división de números enteros.Se multiplican o dividen los valores absolutos y para poner el signo se sigue la
siguiente regla,conocida como Regla de los signos:
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Ejemplos:
(-3) · 5 = -15 ; (-8) · (-4) = 32
32 : (-2) = -16 ; (-24) : (-4) = 6
17.- Opera:
a) (-7) · (+11)
c) (+5) · (+7) · (-1)
b) (-6) · (-8)
d) (-2) · (-3) · (-4)
18.- Calcula:
a) (-45) : (+3)
c) (+36) : (-12)
b) (+85) : (+17)
d) (-85) : (-5)
19.- Realiza las siguientes operaciones:
a) (-1) · (+2) · (-3)
b) (-3) · (-4) · (-2)
c) (-30) : (-2) · (+5)
d) (-30) : [(-2) · (+5)]
e) (+75) : (-25) : (+3)
f) (-30) : [(-24) : (+4)]
20.- Opera:
a) (+400) : (-40) : (-5)
c) (+7) · (-20) : (+10)
e) (+300) : (+30) · (-2)
b) (+400) : [(-40) : (-5)]
d) (+7) · [(-20) : (+10)]
f) (+300) : [(+30) · (-2)]
21.- Calcula el valor de estas expresiones:
a) (+60) : (+10) : (-2)
b) (+60) : [(+10) : (-2)]
c) [(+8) · (-9)] : [(+6) · (-12)]
Operaciones combinadas.Cuando tenemos una operación en la que hay sumas, restas, multiplicaciones, etc.
mezcladas hay que seguir un orden, que no es hacer antes lo que está escrito primero.
Se hacen antes las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y las restas.
Ejemplo: (-5) · 4 + 30 : (-5) = -20 + (-6) = -26 Así sí está bien. (Fíjate que en primer lugar
se ha multiplicado el -5 por el 4; después se ha dividido el 30 entre el -5, y por último se han sumado los resultados)
(-5) · 4 + 30 : (-5) = -20 + 30 : (-5) = 10 : (-5) = -2 Así está mal. (Fíjate que en
primer lugar se ha multiplicado el -5 por el 4; después se ha sumado 30, y por último se ha dividido el resultado por -5. Esto está mal
porque se ha hecho una suma antes que una división)
Operaciones con paréntesis.Si además de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, tenemos paréntesis y/o
corchetes, el orden que se sigue es el siguiente: Se resuelven antes las operaciones que
están dentro de los paréntesis; después se resuelven los corchetes; después las
multiplicaciones y divisiones, y por último las sumas y las restas.
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Para recordar la prioridad de las operaciones te puede servir el siguiente podium:
22.- Calcula:
a) 5 · (3 – 7) + 4 · (8 : 2) – 5 · (2 – 10)
b) 3 – 2 · [5 – 4 · (7 – 3 · 2)]
c) 22 – [5 · 3 – 4 · (8 – 3)] – 6 · 4
23.- Realiza estas operaciones:
a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3
b) 15 – 6 : 3 + 2 · 5 – 4 · 3
c) 5 · (-4) + (-2) · 4 – 6 · (-5) – 3 · (-6)
d) 18 – 3 · 5 + 5 · (-4) – 3 · (-2)
24.- Ahora haz estas otras:
a) (-5) · (8 – 13)
c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (-3)
b) (2 + 3 – 6) · (-2)
d) (-12 – 10) : ( - 2 – 6 – 3)
25.- Y ahora más difícil:
a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : 7
b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6)
c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)
26.- Sigue con estas otras operaciones:
a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12
b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]
c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17 ]
d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7 ) + 5]
Potencia de números enteros.Recuerda que en cursos anteriores has estudiado que una potencia es una
multiplicación de un número (la base) una determinada cantidad de veces (el exponente).
Pues ahora es igual con la única diferencia de que, como hemos descubierto un tipo de
números nuevos (los enteros), el número que se repite multiplicando va a ser un número
de este tipo.
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Unidad 1: Los números enteros
Para calcular el resultado lo haremos como se hacen las potencias normalmente,
multiplicando repetidamente el mismo número, pero ahora hay que tener cuidado con los
signos aplicando su regla.
Ejemplos: (-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625 ; (-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8
Si la base es negativa y el exponente impar el resultado es negativo; en los demás
casos el resultado es positivo.
Si se nos presenta el caso de resolver una operación con varias potencias se
puede hacer de dos formas: a) Se resuelve cada una de las potencias y después se
hacen las operaciones indicadas; b) en algunos casos determinados se puede resumir las
operaciones siguiendo lo que se explica en los siguientes apartados.
Suma o resta de potencias.Para resolver este tipo de expresiones se calcula el valor de cada una de las
potencias y después se suman o restan sus resultados, según indique la expresión.
Producto (o división) de potencias con la misma base.Este tipo de expresiones se puede escribir más resumidamente, escribiendo otra
potencia con la misma base y por exponente tiene la suma (o resta) de sus exponentes.
Ejemplos: (-3)2 · (-3)3 · (-3)5 = (-3)10
;
48 : 42 = 46
Pero para calcular el resultado tenemos que multiplicar la base tantas veces como
indique el exponente.
Potencia de una potencia.Se puede resumir escribiendo otra potencia con la misma base y por exponente
tiene el producto de los exponentes.
Ejemplos: [(-3)2]5 = (-3)10 ;
(43)5 = 415
27.- Calcula:
a) ( – 2)7
d) (– 10)3
b) (– 3)5
e) (– 1)16
c) (– 5)3
f) (– 1)17
28.- Calcula:
a) (– 5)2 – (– 2)4 + (– 1)6
b) (+ 4)3 : (– 2)4 + (+ 9)2 : (– 3)3
c) (+ 4)2 : [(– 2)3 + (– 3)2] : (–- 2)3
29.- Expresa como una única potencia:
a) (– 2)4 · (– 2)3
b) (+ 2)3 · (– 2)3
5
3
c) (– 3) : (– 3)
d) (– 5)6 : (– 5)3
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Unidad 1: Los números enteros
Raíz cuadrada.Es buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado el radicando.
Ejemplos: Calcular  81 es buscar un número que multiplicado por él mismo dé
81. El resultado es 9, porque 9 x 9 = 81. Pero también es –9, porque (-9) x (-9) = 81.
Sin embargo −81 no tiene ninguna solución, ya que no hay ningún número
entero que multiplicado por sí mismo dé un número negativo.
Por tanto las raíces cuadradas pueden tener dos soluciones (un número y su
inverso), no tener ninguna (cuando el radicando es negativo) o tener una sola (sólo existe
un caso: la raiz cuadrada de 0, cuyo resultado es también 0).
Al igual que ocurre con las operaciones entre potencias, hay casos en las
operaciones entre raices que también se pueden escribir más resumidamente. Veamos
cuáles son esos casos.
Producto de raíces cuadradas.Es otra raíz cuyo radicando es el producto de los radicandos.
Ejemplo:  4⋅9⋅ 16= 4⋅9⋅16= 576
Potencia de una raíz cuadrada.Es igual a otra raíz cuyo radicando está elevado al exponente de la potencia.
Ejemplo:   253 = 253
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