MATE 5201: Cálculo Avanzado Asignación 1

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 5201: Cálculo Avanzado
Asignación 1: Fecha de quiz: 28 de agosto de 2014 (clase).
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios.
1. Utilice la definición del supremo para demostrar el siguiente enunciado. Suponga
que ∅ =
6 S ⊆ R. Entonces u = sup(S) si y solo si u satisface las siguientes condiciones
(a) s ≤ u para toda s ∈ S.
(b) Si v < u, entonces existe s ∈ S tal que v < s.
Demostración: Suponga primero que u = sup(S). Por definición del supremo
sabemos que u es una cota superior para S, en otras palabras, s ≤ u para toda
s ∈ S. Por lo tanto, tenemos la condición (a). Suponga ahora que v < u. Por
definición el supremo es la cota superior más pequeña, por lo tanto, v no puede
ser cota superior (lo contrario contradice que u = sup(S)), o sea, no puede ser
cierto que s ≤ v para toda s ∈ S. Entonces existe una s ∈ S tal que v < s.
Concluimos que tenemos también la condición (b).
Suponga ahora que u satisface las condiciones (a) y (b). Note que (a) implica
que u es una cota superior para S, asi que solo falta demostrar que u es la cota
superior más pequeña. Suponga que v es una cota superior para S. Suponga
que es cierto que v < u. Entonces la propiedad (b) implica que existe s ∈ S tal
que v < s. Por lo tanto, v no es una cota superior, contradicción. Concluimos
que u ≤ v y por consiguiente, u = sup(S).
2. En este ejercicio usted demuestra la existencia del ı́nfimo. Sea ∅ =
6 S ⊆ R un
conjunto acotado por abajo. Demuestre que
inf(S) = − sup{−s | s ∈ S}.
Demostración: Sabemos que S está acotado por abajo. Por lo tanto, existe
v ∈ R tal que v ≤ s para toda s ∈ S. Esto implica que
−s ≤ −v para toda s ∈ S.
En arroz y habichuelas, el conjunto {−s | s ∈ S} está acotado por arriba.
Por la propiedad del supremo, existe u ∈ R tal que u = sup{−s | s ∈ S}.
Demostraremos que −u = inf(S). Como u es cota superior para {−s | s ∈ S},
entonces es cierto que
−s ≤ u para toda s ∈ S.
1
Esto último es equivalente a decir que
−u ≤ s para toda s ∈ S.
Por lo tanto, −u es una cota inferior para S. Falta demostrar que −u es la cota
inferior más grande. Suponga que v es cualquier cota inferior para S, o sea, es
cierto que
v ≤ s para toda s ∈ S.
Entonces, tenemos que
−s ≤ −v para toda s ∈ S
y por lo tanto −v es una cota superior para {−s | s ∈ S}. Por la definición del
supremo tenemos que u ≤ v, o sea, v ≤ −u. O sea, −u es la cota inferior más
grande. Concluimos que inf(S) = −u = − sup{−s | s ∈ S}.
3. Sea S = {1 − (−1)n | n ∈ N}. Encuentre inf(S) y sup(S). Demuestre sus
respuestas.
Demostración: No es dı́ficil demostrar que S = {0, 2}. De aquı́ es fácil inferir
que inf(S) = 0 y sup(S) = 2. Demostraremos que sup(S) = 2. La demostración
de que inf(S) = 0 sale de forma similar y se la dejamos al lector.
Claramente 2 es una cota superior, pues ambos, 0 y 2 son menores o iguales
a 2. Suponga que v es cualquier cota superior para S. Entonces, s ≤ v para
s ∈ S = {0, 2}, en particular 2 ≤ v. Como 2 es una cota superior para S y
como cualquier cota superior v para S satisface 2 ≤ v, entonces concluimos que
sup(S) = 2.
4. Suponga que S ⊆ R está acotado y sea ∅ =
6 S0 ⊆ S. Demuestre que
inf(S) ≤ inf(S0 ) ≤ sup(S0 ) ≤ sup(S).
Demostración: Como S0 ⊆ S y como por hipótesis S está acotado, entonces S0
está acotado, ası́ que inf(S0 ) y sup(S0 ) existen. Ahora, como inf(S) ≤ s para
toda s ∈ S, entonces, como S0 ⊆ S, tenemos que inf(S) ≤ s0 para todo s0 ∈ S0 .
O sea, inf(S) es una cota inferior para S0 . Pero sabemos que, por definición,
inf(S0 ) es la cota inferior más grande que tiene S0 . Por lo tanto,
inf(S) ≤ inf(S0 ).
Ya acabamos con la primera desigualdad. La segundo desigualdad la obtenemos
“de gratis”, pues sabemos que
inf(S0 ) ≤ s0 ≤ sup(S0 ) para todo s0 ∈ S0 .
En particular,
inf(S0 ) ≤ sup(S0 ).
2
Finalmente, sabemos que s ≤ sup(S) para toda s ∈ S. In particular, como
S0 ⊆ S, tenemos que s0 ≤ sup(S) para toda s0 ∈ S0 . O sea, sup(S) es una cota
superior para S0 . Por definición, sabemos que el sup(S0 ) es la cota superior más
pequeña. Por lo tanto,
sup(S0 ) ≤ sup(S).
Esto concluye la demostración.
5. Sea S = { n1 −
respuestas.
1
m
| n, m ∈ N}. Encuentre inf(S) y sup(S). Demuestre sus
Demostración: Después de jugar un rato, podemos inferir que
inf(S) = −1 y
sup(S) = 1.
Demostraremos que inf(S) = −1. La demostración de sup(S) = 1 se le deja al
lector.
Primero demostraremos que −1 es una cota inferior. Para esto, note que si m
es cualquier número natural, entonces 1/m ≤ 1. Esto es equivalente a decir que
−1 ≤ −
1
.
m
Ahora, si n es cualquier número natural, entonces
0<
1
.
n
Sumando estas desigualdades obtenemos
−1 <
1
1
−
n m
para todo n, m ∈ N. Concluimos que −1 es una cota inferior para S.
Ahora demostraremos que −1 es el ı́nfimo de S. Sea ε > 0. Demostraremos que
−1 + ε no es un cota inferior y por lo tanto −1 tiene que ser el ı́nfimo. Por la
propiedad Arquimediana, sabemos que existe nε ∈ N tal que 1/nε < ε. Añada
−1 a ambos lados de la desiguladad para obtener
1
− 1 < −1 + ε.
nε
Pero 1/nε − 1 ∈ S, por lo tanto, −1 + ε no es una conta inferior. Concluimos
que inf(S) = −1.
6. Sea ∅ =
6 S ⊆ R.
(a) Sea a > 0 y defina aS = {as | s ∈ S}. Demuestre que
inf(aS) = a inf(S) y sup(aS) = a sup(S).
3
Demostración: Primero demostraremos que inf(aS) = s inf(S). Sea w =
inf(S). Entonces, w ≤ s para todo s ∈ S. Como a > 0, entonces
aw ≤ as para todo s ∈ S.
O sea, aw es una cota inferior para aS. Suponga que v es cualquier cota
inferior para aS. Entonces, v ≤ as para toda s ∈ S. Como a > 0, entonces
ésto implica que v/a ≤ s para toda s ∈ S, o sea, v/a es una cota inferior
para S. Como w = inf(S), entonces v/a ≤ w. O sea v ≤ aw. Concluimos
que inf(aS) = aw = a inf(S).
Ahora demostraremos que sup(aS) = a sup(S). Sea u = sup(S). Entonces,
s ≤ u para toda s ∈ S. Como a > 0, entonces
as ≤ au para toda s ∈ S.
O sea, au es una cota superior para aS. Suponga que v es cualquier cota
superior para aS. Entonces, as ≤ v para toda s ∈ S. Como a > 0,
entonces s ≤ v/a para toda s ∈ S, o sea, v/a es una cota superior para
S. Como u = sup(S), entonces u ≤ v/a. O sea, au ≤ v. Concluimos que
sup(aS) = au = a sup(S).
(b) Sea b < 0 y defina bS = {bs | s ∈ S}. Demuestre que
inf(bS) = b sup(S) y sup(bS) = b inf(S).
Demostración: La demostración es similar a la de la parte (a) y por lo
tanto, se le deja al lector.
7. Sea A y B subconjuntos de R no vacı́os. Defina A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Demuestre que sup(A + B) = sup(A) + sup(B) y inf(A + B) = inf(A) + inf(B).
Demostración: Demostraremos que sup(A + B) = sup(A) + sup(B). La demostración de inf(A+B) = inf(A)+inf(B) se le deja al lector. Sea uA = sup(A)
y uB = sup(B). Demostraremos que sup(A + B) = uA + uB . Por definición del
supremo, sabemos que
a ≤ uA y b ≤ uB para todo a ∈ A, b ∈ B.
Sumando las desigualdades tenemos que
a + b ≤ uA + uB para todo a ∈ A, b ∈ B.
Por lo tanto, uA + uB es una cota superior para A + B. Suponga ahora que
ε > 0. Demostraremos que uA + uB − ε no es una cota superior. Esto implicará
que sup(A + B) = uA + uB . Note que
ε
ε + uB −
.
uA + uB − ε = uA −
2
2
4
Ahora, como uA es el supremo de A y como ε/2 > 0, entonces existe aε ∈ A
tal que uA − ε/2 < aε . De igual forma, existe bε ∈ B tal que uB − ε/2 < bε .
Concluimos que
ε
ε + uB −
uA + uB − ε = uA −
2
2
< a ε + bε .
Por lo tanto sup(A + B) = uA + uB = sup(A) + sup(B).
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