Incertidumbres en los parámetros de una recta ajustada por

M. F. Lugo Licona
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Incertidumbres en los parámetros de una recta
ajustada por cuadrados mínimos
Las incertidumbres pueden ser iguales o distintas en todas las medidas, por lo que al hacer un
ajuste por mínimos cuadrados los cálculos se efectúan de maneras ligeramente distintas. Esencialmente, el procedimiento es el mismo al considerar incertidumbres iguales o distintas en las medidas [1].
La incertidumbre en el parámetro w se determina de acuerdo con
é æ ¶w ö2 ù
÷
u = åê u i2ç
ç
÷ú
y
¶
è
ê
ë
û
iø ú
2
w
(1)
Sea ui la incertidumbre correspondiente a la medida yi. Dado que se hará un ajuste a una recta
de la forma y=mx+b, los parámetros m y b se determinan, en general, como sigue:
xi
1
D=
åu
åu
2
i
x
å u 2i
i
x
åu
yi
b=
1
D
åu
1
D
2
x i2 æ
xi ö
1
÷
ç
å u 2 çèå u 2 ÷ø
u i2
i
i
(2)
åu
yi
x iy i
x i2
xi ö
1æ
÷
= ç
å
å
ç
÷
2 å
2
2 -å
x
Dè u i
ui
ui
u i2 ø
åu
2
i
2
i
2
i
(3)
yi
1
m=
=å
xi
2
i
x y
å ui 2 i
i
åu
2
i
2
i
2
i
åu
x iy i
yi ö
xi
1æ
1
ç
÷
=
å
å
å
å
ç
÷
x iy i
Dè u i2
u i2
u i2
u i2 ø
å u2
i
2
i
x
å u 2i
i
2
i
(4)
y si todos los valores de ui son iguales entonces:
D'=
b=
åx
1
D'
m=
åx
åx
N
i
i
2
i
= N å x i2 -
å y åx
åx y åx
i
i
1 N
D' å x i
i
i
2
i
åy
åx y
i
i
i
(å x )
2
(5)
i
=
1
D'
=
1
N åx i y i - åx i å y i
D'
(å y å x
i
(
2
i
- åx i y i åx i
)
)
(6)
(7)
M. F. Lugo Licona
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Así, cuando todas las incertidumbres son iguales los parámetros b y m se determinan mediante (6) y (7) y cuando son distintas mediante (3) y (4).
De aquí que las incertidumbres en b y m se determinan mediante:
x i2
1
u = å 2
D
ui
(8)
1
1
å
D
u i2
(9)
2
b
u 2m =
cuando las incertidumbres son distintas, y mediante
u b2 =
u2
D'
u 2m = N
åx
2
i
u2
D'
(10)
(11)
donde
u2 =
1
(y i - mx i - b) 2
å
N -2
(12)
cuando las incertidumbres en las variables son iguales.
De este modo el cálculo de las incertidumbres en la pendiente y la ordenada al origen dependen de las incertidumbres asociadas a los valores experimentales.
Referencias
[1] Bevington Philip R., Robinson D. Keith, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, Inc.