Desarrollo de la comprensión del concepto de límite de una

DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN DEL
CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
CARACTERÍSTICAS DE TRAYECTORIAS
HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE
Mauro Mira López
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA
DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN DEL
CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
CARACTERÍSTICAS DE TRAYECTORIAS
HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE
TESIS DOCTORAL
MAURO MIRA LÓPEZ
ALICANTE, ENERO 2016
DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN DEL
CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
CARACTERÍSTICAS DE TRAYECTORIAS
HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE
Memoria que presenta Mauro Mira López
para optar al grado de doctor
Fdo: D. Mauro Mira López
Trabajo realizado bajo la codirección del
Dr. D. Salvador Llinares Ciscar
Dra. Dña. Julia Valls González
Fdo: Dr. Salvador Llinares Ciscar
Fdo. Dra, Julia Valls González
Alicante, ENERO 2016
AGRADECIMIENTOS
Quiero resaltar mi agradecimiento especial al Dr. Salvador Llinares Ciscar y a
la Dra. Julia Valls González, codirectores de esta tesis, por sus ayudas continuas, por
sus apoyos y por el gran rigor y contribución científica a lo largo de toda la acción
tutorial de preparación y perfeccionamiento de esta investigación.
A los miembros del área de Didáctica de la Matemática del Departamento de
Innovación y Formación Didáctica de la Universidad de Alicante por sus aportaciones a
lo largo de los debates enriquecedores en los Seminarios, así como a todas las personas
que han participado en ellos.
A mis compañeros del curso de doctorado Pilar Contreras, Dra. Carmen Aranda,
Dr. Alberto Zapata y especialmente al Dr. Joan Pons, así como a los profesores que lo
impartieron. Este trabajo es consecuencia de su inestimable ayuda y colaboración.
A mi mujer Ángeles
A mis padres
A mis hijos y nueras
A mis nietas
A mis alumnos
Índice
Mauro Mira López
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………..
1
CAPÍTULO 1. PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN…………….…….
5
1.1. Significado histórico de la noción de límite de una función………………….
6
1.2. El límite de una función real de variable real en el currículo………..………..
11
1.3. La enseñanza-aprendizaje del concepto de límite de una función real de
variable real como ámbito de investigación......................................................
14
1.3.1. La conceptualización de límite de una función……………………………
14
1.3.1.1. Comprensión del concepto de límite ..…………………………...
19
1.3.1.2. Proceso infinito y cotas en el límite……………………………...
22
1.3.1.3. Procesos de Construcción del concepto de límite………………..
24
1.3.2. Diseño de experimentos para la enseñanza del concepto de límite…….....
28
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO……………………………………………
33
2.1.
La abstracción reflexiva. Fases en el aprendizaje conceptual……………..
33
2.1.1. Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto…………………………….
35
2.1.2. Fases de Desarrollo Conceptual: Participativa y Anticipadora……………
37
i
Índice
2.2.
Mauro Mira López
Trayectoria Hipotética de Aprendizaje (THA)…………………………….
42
2.2.1. Trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de límite de una
46
función………………………………………………………......................
2.2.2. Tipos de tareas. Iniciales. De reflexión. De Anticipación…………………
55
2.3.
Preguntas de investigación ……….…………………………………....….
57
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN……………………….….
59
3.1.
Participantes y contexto.…………………………………………………...
59
3.2.
Diseño del experimento de enseñanza ………………………..…………..
60
3.2.1. Las tareas………….…..…………………………………...........................
61
3.3.
Implementación……………………………….……..……………….........
75
3.4.
Los datos de la investigación………………………………………………
76
3.5.
Análisis……………………………………………………………………
82
3.5.1. Etapa I. Identificar las características del proceso de construcción del
concepto de límite (Trayectoria de Aprendizaje)………………………….
82
3.5.2. Etapa II. Estudio inter-casos……………………………………………….
91
CAPÍTULO 4. RESULTADOS………………………..………………………..
93
4.1. Construcción del significado de límite de una función desde la Concepción
Dinámica como objeto (Características comunes de los dos perfiles)………
94
4.2. Perfil 1: Desde la concepción dinámica de límite como objeto a la
concepción óptima como acción…………………………………………….
101
4.2.1. Significado de límite de una función construido por los estudiantes del
perfil 1……………………………………………………………………..
105
4.3. Perfil 2: Desde la concepción dinámica de limite como objeto a la
concepción óptima como proceso…………………………………………...
ii
113
Índice
Mauro Mira López
4.3.1. Significado de límite de una función construido por los estudiantes del
perfil 2……………………………………………………………………..
121
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN……………………………
141
5.1.
Sobre la construcción del significado de límite……………………………
141
5.2.
Sobre el experimento de enseñanza e implicaciones didácticas…………...
144
REFERENCIAS.……………………...………………………………………….
151
iii
INTRODUCCIÓN
Introducción
Mauro Mira López
INTRODUCCIÓN
En esta tesis doctoral tratamos de observar a través de un experimento de
enseñanza cómo se construye el conocimiento del límite de una función de variable real
en estudiantes de bachillerato.
El primer encuentro que los estudiantes tienen con la concepción de límite de
una función es a través de la idea de aproximación (Cornu, 1991) y mediante la
concepción dinámica del límite (Blázquez y Ortega, 2002). Esta manera de abordar la
idea de límite influye en la comprensión de la concepción métrica (Blázquez, Ortega,
Gatica y Benegas, 2006). No obstante, Cottrill y otros (1996) indican que la concepción
dinámica del límite es relativamente complicada para los estudiantes y parece que
dificulta la comprensión métrica. Además, señalan que para adquirir una idea formal de
límite, éste se debe visualizar, y para ello el estudiante debe ser capaz de relacionar lo
que sucede en el dominio con lo que sucede en el rango a través de la función.
La comprensión en matemáticas tiene que ver con la habilidad para usar el
pensamiento visual y el analítico, sin embargo, en lo referente al Cálculo los estudiantes
parece que tienen una fuerte tendencia a pensar analíticamente más que visualmente.
Actualmente, gracias a las posibilidades de interacción y dinamismo que ofrecen las
tecnologías, se han hecho nuevas propuestas didácticas para introducir los conceptos
básicos del Cálculo a partir de herramientas tecnológicas con objeto de liberar a los
estudiantes de realizar manipulaciones algebraicas y cálculos laboriosos. Las nuevas
tecnologías desde las calculadoras hasta los ordenadores permiten centrar la atención en
la identificación de representaciones diferentes y equivalentes de un mismo concepto
que ayudan a mejorar su comprensión.
Entender qué significa conocer un objeto matemático y cómo los estudiantes
1
Introducción
Mauro Mira López
desarrollan dicho conocimiento, ayuda a pensar sobre la enseñanza con la finalidad de
favorecer estos procesos. El objetivo es describir los procesos por los cuales se
desarrolla la comprensión del contenido matemático y los mecanismos que intervienen
en ellos.
En este contexto de investigación proporcionamos características de los
procesos de aprendizaje del concepto de límite de una función y presentamos una
Trayectoria Hipotética de Aprendizaje para tomar decisiones en la enseñanza. El
experimento aplica las nuevas tecnologías con soporte informático en una situación de
enseñanza, para ayudar a los alumnos a construir sus aprendizajes en el tópico límite,
analizando la influencia de los distintos modos de representación en la coordinación de
los procesos de aproximación en el dominio y en el rango a través de una función.
Nuestro trabajo se estructura en cinco capítulos. En el primero se describe la
problemática de la investigación revisándolas en el campo de Didáctica de la
Matemática y haciendo un breve repaso histórico de la noción de límite desde Newton
hasta nuestros días. Se caracteriza el límite de una función real de variable real en el
ámbito curricular de la educación secundaria post obligatoria en la Comunidad
Valenciana. Después se aborda el límite de una función real de variable real como
ámbito de investigación tras el filtro de la revisión bibliográfica previa, así como la
influencia de la enseñanza y aprendizaje en relación a la comprensión del límite.
La abstracción se muestra como el proceso clave en la emergencia y
construcción de estructuras matemáticas. No parece haber consenso sobre un único
significado de la abstracción, de forma que los procesos constructivos han sido
caracterizados de diferentes maneras en la literatura, por lo que puede examinarse desde
diferentes perspectivas y en las que la habilidad de abstraer es una destreza importante
para el aprendizaje de las matemáticas. En el segundo capítulo, describimos el marco
teórico que Simon y Tzur (2004) denominan Reflexión sobre la Relación ActividadEfecto para dar cuenta del proceso de Abstracción Reflexiva (Piaget y García, 1982). A
partir de este marco teórico hemos definido una trayectoria hipotética de aprendizaje y
nos hemos planteado las preguntas de investigación.
En el tercer capítulo se describe la situación didáctica, el contexto educativo y
los sujetos que participaron en la investigación, describimos el diseño del experimento
de enseñanza y las actividades haciendo referencia a la Trayectoria Hipotética de
2
Introducción
Mauro Mira López
Aprendizaje del concepto de límite de una función real en un punto.
En el cuarto capítulo presentamos los resultados de investigación. Describimos
2 perfiles de las características del proceso de construcción del significado de la idea de
límite en un entorno de aprendizaje que favorece la complementariedad entre las
concepciones estáticas y dinámicas y las relaciones entre los diferentes modos de
representación.
En el quinto capítulo, presentamos las conclusiones y discutimos los resultados
obtenidos. Identificamos algunas características de la trayectoria de aprendizaje desde la
perspectiva teórica de la abstracción reflexiva del concepto de límite y considerando
algunos aspectos que podrían tenerse en cuenta en futuras investigaciones así como las
limitaciones que pudiera tener nuestra investigación referidas a la construcción del
concepto de límite de una función real en un punto en estudiantes de bachillerato.
3
CAPÍTULO 1. PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN
1. Problemática
Mauro Mira López
CAPÍTULO 1.PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN
Desde principios de la década de los noventa se han publicado diversos estudios
internacionales que tratan de sintetizar, con enfoques diferentes, las investigaciones que
se han desarrollado a nivel internacional en el campo de la Educación Matemática y en
la enseñanza-aprendizaje del límite en particular, siendo el Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, publicado en el año 1992, uno de los primeros
referentes básicos en la enseñanza-aprendizaje del límite (Camacho, 2011).
Tall (1992) en el capítulo titulado “The Transition to Advanced Mathematical
Thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof” se refiere indirectamente a la
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en los niveles de Bachillerato y
Universidad. En él se muestra que los principales temas de investigación hasta ese
momento eran de carácter cognitivo, centrados en: (a) la identificación de los procesos
cognitivos que subyacen en el aprendizaje de las matemáticas de los niveles avanzados,
(b) las relaciones de tales procesos con los que surgen en los niveles más elementales y,
finalmente, (c) en la comprensión de las dificultades de los estudiantes con los
conceptos avanzados de matemáticas.
Los procesos del Pensamiento Matemático Avanzado (PMA) pueden ser
descritos en términos de representación, visualización, generalización, clasificación,
proponiendo
conjeturas,
induciendo,
analizando,
sintetizando,
abstrayendo
o
formalizando. Dentro de este pensamiento, una de las ideas claves del cálculo es el
concepto de límite. De una forma u otra, tanto el cálculo diferencial como el integral, la
convergencia de series y la continuidad de funciones descansan en esta noción. El
término límite es sugerente, pero cuando intentamos precisar esta idea surgen
dificultades.
5
1. Problemática
Mauro Mira López
En los últimos años, la transición de la educación secundaria post-obligatoria a
la universidad es uno de los temas que más preocupa a matemáticos y educadores
matemáticos. Muchos son los factores que influyen en esta transición. Delimitar
variables que intervienen en la distancia cada vez mayor que se produce entre la
enseñanza secundaria y la universitaria en matemáticas no es nada fácil. Si nos
acercamos a la literatura sobre el tema, se puede comprobar la gran la variedad de
aproximaciones a esta problemática, Artigue, Batanero y Kent (2007), entre otros,
prestan atención desde distintas aproximaciones teóricas, a cuestiones de índole
cognitiva (concepciones de los estudiantes, esquemas cognitivos y tipos de errores) e
instruccionales (estrategias y alternativas para la enseñanza), en particular. Sin embargo,
cada vez hay más consenso en hacer un estudio de las dificultades de aprendizaje de los
estudiantes en la enseñanza post-secundaria. Los investigadores han identificado,
clasificado y analizado estos problemas desde perspectivas históricas, epistemológicas e
incluso ontogénicas y desde el plano didáctico en la relación de enseñanza- aprendizaje.
Iniciamos este capítulo con una breve descripción histórica del significado de
límite, donde se constata la complejidad del análisis infinitesimal con sus métodos,
resultados y en especial el tratamiento de sus conceptos fundamentales. En segundo
lugar, presentamos cómo el concepto de límite de una función real se desarrolla a nivel
curricular en el ámbito de la educación secundaria post-obligatoria en la Comunidad
Valenciana. En tercer lugar, describimos el límite de una función real de variable real
como ámbito de investigación desde la perspectiva de su conceptualización,
comprensión y la influencia de las representaciones gráficas en dicha comprensión. Y
terminamos describiendo los resultados de las investigaciones centrados en cómo se
desarrolla la comprensión del concepto de límite de una función a partir del diseño de
experimentos de enseñanza que aporten luz a su aplicación en las aulas.
1.1. Significado histórico de la noción de límite de una función
Recopilando datos históricos de la evolución de las matemáticas a través de dos
autores, Ríbnikov (1987) y Dunham (1993), describimos el desarrollo del concepto de
límite. La concepción inicial de límite fue geométrica, pues se abordaba desde
magnitudes, no desde números, en problemas de índole geométrico. A pesar de usar una
terminología inadecuada, Isaac Newton (1642-1727) entre los años 60-70 del siglo
6
1. Problemática
Mauro Mira López
XVII obtuvo la mayoría de los resultados de su teoría de fluxiones y creó el método de
las primeras y últimas relaciones que es una de las primeras formas de la teoría de los
límites que aparece en su obra “Elementos matemáticos de la filosofía natural”.
El método plantea las relaciones límites de las magnitudes “casi-casi nacientes”
(primeras relaciones) o “casi-casi en desaparición” (últimas relaciones). Con esa
terminología pudo exponer los teoremas sobre los límites de las relaciones entre la
longitud del arco de una curva continua y suave, por una parte, y la cuerda y la tangente,
por la otra. El concepto de límite no era algorítmico. Es posteriormente cuando la
noción de límite pasa de ser una noción que ni siquiera se explicitaba como útil a
constituir una herramienta para resolver problemas.
Hasta Newton, la posibilidad de límite como aproximación indefinida -tiene que
existir la posibilidad de tomar aproximaciones cada vez mejores -no se plasmó
claramente tal como se observa en el hecho de que los objetos se han de aproximar “más
que cualquier diferencia dada”, lo cual implica que el límite debe ser la mejor de todas
las aproximaciones posibles. Los matemáticos del siglo XVIII, preocupados por la
fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos
que se producían con ese tipo de magnitudes pero no se dieron cuenta de la necesidad
del concepto de límite. Incluso Leibniz (1646-1716) a finales de siglo intentó
aproximarse al tema mediante una discusión de “cantidades infinitamente pequeñas”,
queriendo significar cantidades que, aunque no eran cero, ya no podían disminuir más,
lo que estaba más cerca del cero. En sus manuscritos y artículos retorna al problema no
resuelto de la fundamentación del análisis infinitesimal, proponiendo ideas sobre límites
no desarrolladas. Los problemas filosóficos de una idea así lo turbaron durante mucho
tiempo.
El proceso de refinamiento del concepto de límite fue difícil para los científicos
de la época dada la profundidad del mismo por su auténtica naturaleza y porque requiere
una precisión de pensamiento y una percepción del sistema de los números reales que
no era fácil conseguir.
Euler (1707-1783) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz
y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las
matemáticas, que, desde entonces, pasa a llamarse Análisis y se ocupa del estudio de los
procesos infinitos. Se plantea la regularidad de las funciones introduciendo la función
7
1. Problemática
Mauro Mira López
continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales. Su teoría
de los ceros enmascaraba los pasos reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban
a cabo en la diferenciación de funciones. En cierto modo sienta las bases para separar el
cálculo de la geometría al trabajar sobre funciones y no sobre variables.
Se estaba librando, por parte de esos tres grandes matemáticos y otros, una gran
batalla acerca de la fundamentación lógica del cálculo en general, el límite en particular,
siendo este clave en el cálculo diferencial e integral, incluyendo como ya hemos citado
anteriormente la convergencia de series y continuidad de funciones.
D'Alembert (1717-1783) crea la teoría o método de los límites al modificar el
método de las primeras y últimas razones de Newton, haciendo una reconsideración
crítica de la herencia del mismo Newton y Leibniz. En el tomo IX de la Enciclopedia,
en 1743, escribe la siguiente definición de límite:
“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda
puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por
pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se
aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de
manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea
absolutamente inasignable”.
En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral, es decir, la
magnitud que se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es
objetiva no se puede tener un control completo de la misma. Además, para evitar las
operaciones con ceros introdujo la exigencia de que los límites no coincidan con ningún
valor de la variable. La concepción que subyace es algebraica puesto que los problemas
de paso al límite, vinculados a funciones, se resuelven con operaciones algebraicas.
Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de
potencias. Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites
y continuó haciendo más desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la
convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite. Aunque subyace una
concepción algebraica, contribuyó al paso del ámbito geométrico al numérico.
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX, las obras de un gran número de
matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites
como base del análisis matemático. Una reconstrucción radical de este último fue la
8
1. Problemática
Mauro Mira López
clarificación del concepto de función, así como la aparición de nuevos problemas
matemáticos y físicos. Cauchy (1789-1857) retoma el concepto de límite de
D'Alembert, rechazando el planteamiento de Lagrange.
Cauchy prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades de
cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún impreciso. La
definición de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente:
“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable particular
se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de modo que acaban por
diferir respecto a este en una cantidad tan pequeña como uno quiera, se
llama a este valor el límite de todos los demás”(Dunham, 1990, p. 317).
Cauchy evitaba términos tan imprecisos como “infinitamente pequeños”. No se
centró en la determinación de lo que pasaba en el preciso instante en que la variable
alcanzaba el límite. Esta definición de Cauchy, llamada de “evitación de límite”,
eliminaba las barreras filosóficas respecto a lo que ocurría al alcanzar el límite, lo que
importaba es que fuéramos capaces de acercarnos al límite todo lo que quisiéramos.
Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite de
Cauchy. De hecho su obra se desarrolla, de forma paralela a la de Cauchy, en torno a la
misma idea de límite. Ambos autores acabaron incluyendo el concepto de convergencia
de sucesiones, y el criterio de la misma.
La teoría de límites, para ser reconocida y utilizada por todos los matemáticos de
la época debía, aparte del rigor, adquirir un aparato algorítmico. Fue Weierstrass (18151897) quien contribuyó con notoriedad a esa aritmetización del cálculo, dando una
definición satisfactoria del concepto de límite, incluso criticó la expresión "la variable
se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una
formulación métrica, puramente estática, definición bastante cercana a la que se utiliza
hoy en día. Esta definición, que aparece en la obra de su discípulo Heine (1821-1881)
hacia 1872, es la siguiente:
"Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0, la diferencia f
(x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el
límite de f(x) para x=x0” (Ruiz, 2003, p. 458)
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como
soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido
9
1. Problemática
Mauro Mira López
a un uso universalizado de la misma.
Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la concepción dinámica de
Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo proceso evolutivo, ya que
en el siglo XX surgen nuevas concepciones de tipo topológico, ligadas a la
generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente numéricos,
lo que constituye una nueva etapa en el desarrollo del concepto. La concepción de límite
es pues, topológica y su formulación puede variar en diferentes espacios matemáticos.
Pero son concepciones que no se recogen en los currículos de secundaria sino en niveles
de enseñanza superior.
En un espacio métrico su formalización actual (Spivak, 1981, p. 110) es:
“La función f tiende hacia el límite L en a significa: para todo ε > 0,
existe algún
δ > 0 / para todo x, si 0 < |x-a|< δ, entonces |f(x)-L|< ε”
La conceptualización métrica de límite de una función en un punto, dada por
Weierstrass y su escuela difiere significativamente de la de Cauchy. Es casi totalmente
simbólica y en ninguna parte se requiere que una cantidad se mueva hacia otra cantidad.
Una definición estática, desde el punto de vista matemático, de límite, que termina con
el carácter no algorítmico, se libera de las limitaciones de cantidades infinitesimales y
de límite inalcanzable, etc… pero ahora se nos abre un interrogante, ¿cómo llevar su
enseñanza a las aulas? La definición es rigurosa y fruto de años de trabajo de grandes
matemáticos. Sin perder su concepción algebraica y racional en un lenguaje formal
matemático muy preciso, debemos implementar su aprendizaje en jóvenes estudiantes.
Y como dicen Blázquez y Ortega (2002) parece más útil definir límite funcional
parecido a como lo hizo D’Alembert, por una aproximación, pero de tal manera que esta
sea mejor que cualquier otra.
Esto define nuestra investigación sobre la enseñanza del límite y experimentar su
aplicación adecuada a la capacidad y nivel del alumno en un contexto normalizado
académicamente, apoyándonos en las nuevas tecnologías y analizando las dificultades
pedagógicas que implica el concepto de límite con el objetivo de explicarlo
científicamente y observar su desarrollo, comprensión y construcción de su significado
en los alumnos.
10
1. Problemática
Mauro Mira López
1.2. El límite de una función real de variable real en el currículo
Hace casi un siglo que los programas matemáticos de Educación Secundaria
incluyen el concepto de límite funcional. En esta sección vamos a dar respuesta a la
pregunta ¿Qué nos dice el currículo de matemáticas sobre el límite de una función real
de variable real? desde la perspectiva de la Comunidad Valenciana, lugar geográfico en
el que vamos a centrar nuestra investigación, y desde la perspectiva del Ministerio de
Educación de España, en Bachillerato (16 a 18 años).
El Bachillerato en la comunidad Valenciana (Diario Oficial de la Comunitat
Valenciana, Decreto 112/2007, de20 de julio), consta de tres modalidades: a) Modalidad
de Ciencias y Tecnología, b) Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales y c)
Modalidad Artística. Es en las dos primeras modalidades donde se desarrolla el límite
de una función. En el decreto 102/2008, de 11 de julio (modificado el por decreto
115/2012 de 13 de julio), se fijan, en primer y segundo curso, los contenidos mínimos y
los criterios de evaluación del Bachillerato de Ciencias y Tecnología y del Bachillerato
de Humanidades y Ciencias Sociales relativos al concepto de límite de una función en
un punto.
En el primer curso de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, el Decreto
102/2008 de 11 de julio, introduce dentro de los bloques de Aritmética y Algebra de la
asignatura Matemáticas I la idea de límite de una sucesión en el epígrafe “Sucesiones
numéricas. Números combinatorios. Binomio de Newton. El número e”. Dentro del
bloque de Análisis se incluye la
idea de límite de una función en el epígrafe
“Aproximación al concepto de límite. Estudio de las discontinuidades”. En los criterios
de evaluación se pretende verificar la capacidad de “analizar cualitativa y
cuantitativamente las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad,
simetría, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento) de una
función sencilla”.
En segundo curso de Bachillerato de Ciencias y Tecnología en la asignatura
Matemáticas II, se incorpora, dentro del bloque de Análisis, la noción de límite en el
epígrafe “Límite de una sucesión. Límite de una función. Cálculo de límites”. Y en los
criterios de evaluación se pretende verificar la capacidad de uso de los conceptos y
técnicas básicas del cálculo diferencial para “utilizar el concepto y cálculo de límites y
derivadas, para analizar cualitativa y cuantitativamente las propiedades globales y
11
1. Problemática
Mauro Mira López
locales (dominio, recorrido, continuidad, simetría, periodicidad, puntos de corte,
asíntotas, intervalos de crecimiento) de una función expresada en forma explícita…”.
El currículo del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales en las
asignaturas Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y II, con respecto al
concepto de límite, dice en el apartado de Análisis lo siguiente:
En primero de Bachillerato: “Aproximación intuitiva a la idea de límite.
Aplicación a las discontinuidades”.
En segundo de Bachillerato: “Límite y continuidad de una función en un punto.
Estudio de las discontinuidades y las tendencias asintóticas de una función”
Como criterio de evaluación, en ambos cursos, se busca analizar, cualitativa y
cuantitativamente, las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad,
simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento) de una
función que describa una situación real, extraída de fenómenos habituales en las
ciencias sociales, para representarla gráficamente y extraer información práctica que
ayude a analizar el fenómeno del que se derive. Se pretende comprobar la capacidad de
interpretar fenómenos o contextos propios de las ciencias económicas y sociales
estudiando analíticamente las propiedades locales de las funciones que los describen
mediante modelos.
Por su parte, el real decreto 1467/2007, de 2 de noviembre y la orden
ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regulan la ordenación y se establece el
currículo del bachillerato en el ámbito nacional, fija los mismos contenidos de manera
parecida en ambos Bachilleratos tal y como se detalla a continuación:
En primer curso de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, asignatura
Matemáticas I “Aproximación al concepto de límite de una función en un punto.
Tendencia y continuidad. Estudio de discontinuidades”. Y como criterio de evaluación
se plantea identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados, tablas o
gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del
mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de
las funciones. Particularmente, se pretende comprobar la capacidad de traducir los
resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer
conclusiones sobre su comportamiento local o global. Para poder utilizar los conceptos,
12
1. Problemática
Mauro Mira López
propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características
destacadas de funciones expresadas analítica y gráficamente.
En segundo curso de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, asignatura
Matemáticas II, el currículo dice así: “Concepto de límite de una función. Cálculo de
límites”. Con el criterio evaluador de aplicar el concepto y el cálculo de límites y
derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones
del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio
de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer
conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los
resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar
valores que optimicen algún criterio establecido y a la resolución de problemas de
optimización.
En 2º curso de Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales se especifica
así en el bloque de Análisis: “Aproximación al concepto de límite a partir de la
interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación
de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el
tratamiento de la información”. Con el siguiente criterio de evaluación: Analizar e
interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos
mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades
más características.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir al lenguaje de las
funciones determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta
interpretación matemática, información que permita analizar con criterios de objetividad
el fenómeno estudiado y posibilitar un análisis crítico a partir del estudio de las
propiedades globales y locales de la función.
El marco legal nacional y de la comunidad valenciana permite establecer
programaciones de aula sobre el límite funcional sin un formalismo riguroso pero sin
prescindir de rigor. En las programaciones de aula dirigidas a los estudiantes de
bachillerato se hace hincapié en calcular el dominio, imagen, variación y tendencia de
funciones lineales, cuadráticas, funciones radicales, funciones de proporcionalidad
inversa, etc…para pasar a adquirir el concepto intuitivo de límite lateral de una función
13
1. Problemática
Mauro Mira López
en un punto, así como conocer su definición y la relación entre el límite y los límites
laterales de una función en un punto. Incluso se pretende calcular de manera sistemática
límites de funciones para abordar el concepto de límite de una función en el infinito.
En este espacio curricular de límite de una función real de variable reales es
donde vamos a desarrollar
nuestra investigación.
De ahí que trabajemos
aproximaciones, límites laterales, existencia o no de límite y de la imagen de la función
en un punto dado, especialmente en el valor hacia el cual tiende la variable. Todo ello
con apoyo de soportes informáticos para “visualizar” una imagen de límite y ayudar a
construir el concepto.
1.3. La enseñanza-aprendizaje del concepto de límite de una función real de
variable real como ámbito de investigación
El concepto de límite está considerado como uno de los que más dificultades
presentan a los alumnos. Este concepto resulta árido y demasiado abstracto a los
estudiantes.
La revisión que hemos realizado de las investigaciones sobre la enseñanzaaprendizaje del concepto de límite las hemos organizado en dos focos:

La conceptualización de límite de una función.

Diseño de experimentos para la enseñanza del concepto del límite.
1.3.1. La conceptualización de límite de una función
El concepto de límite es, para la mayoría de los estudiantes, el primer tema en el
que las matemáticas no están restringidas a un cómputo finito que da una respuesta
definida. Podemos establecer una comparación entre la conceptualización de límite de
una función, empezando por la concepción dinámica y acabando con la concepción
métrica:
 Concepción Dinámica:
i.
Sea “f” una función y “a” un número real,
ii.
“x” se aproxima al número “a”
iii.
“f(x)” se aproxima a “L”
14
1. Problemática
iv.
Mauro Mira López
si cuando “x” se aproxima al número “a”, sus imágenes “f(x)” se
aproximan a “L”, entonces decimos que existe límite de la función, L, en
el punto “a”, y se escribe lím f ( x )  L
x a
 Concepción métrica, en la que se cuantifica la tendencia a cero de las
aproximaciones respectivas al punto y al límite, a través de la función (figura
1.1).
i.
Sea “f” una función y “a” un número real,
ii.
“x” suficientemente cerca de “a” como se desee
iii.
“f(x)” suficientemente próximo a “L” como se desee
iv.
si se puede encontrar para cada ocasión un “x” suficientemente cerca de
“a” tal que el valor de “f(x)” sea tan próximo a “L” como se desee”,
entonces decimos que existe límite de la función, L, en el punto a, se
escribe lím f ( x )  L , que en lenguaje formal matemático es:
x a
lim
→af(
) = ⇔∀ >0 ∃ ∶
0<| − |< ⇒| ( )– |<
Figura.1.1. Representación gráfica de la concepción métrica de límite
La conceptualización métrica de límite, dada por Weierstrass, es más compleja
que la de aproximación dinámica, tal y como corroboran los estudios de Blázquez y
Ortega (2002) que recogen la importancia de los procesos de aproximación. Por lo
tanto, es la aproximación dinámica la más apropiada en los aprendizajes iníciales, tanto
en el 1º y 2º de Bachillerato de Ciencias. La definición formal de límite plantea
dificultades (Swinyard, 2011; Swinyard y Larsen, 2012).
Cornu (1992) en el contexto de la teoría de APOS escribió:
“Que el concepto de límite es esencialmente difícil y puede ser visto en la
manera que es definido en función de un proceso de desencapsulamiento:
15
1. Problemática
Mauro Mira López
“give me an ε > 0, and I will find an N such that .” rather than as a
concept, in the form “there exists a function N(ε) such that .” (p. 163).
[Dado un ε> 0, y encontrar un N tal que…" antes que como un concepto,
en la forma "allí existe una función N (ε) tal que]
Para este autor, el concepto de límite se interpreta como una colección coherente
de acciones, procesos, y de objetos, que llama esquema. Por ejemplo, se puede pensar
en el esquema de límite en relación con dos funciones o con una combinación de
funciones y comparar los resultados. Comparar otras nociones de límite como: límite
de una sucesión, límite de un conjunto dirigido, límite de Banach, etc…, supone realizar
acciones en esquemas. Todo esto significa que estos esquemas tendrán que ser
reinterpretadas como objetos.
Por otra parte, diversas investigaciones han puesto de manifiesto que los
diferentes modos de representación desempeñan un papel relevante en la coordinación
entre las aproximaciones en el eje de abscisas y el eje de ordenadas, permitiendo a su
vez explicar la relación entre la aproximación métrica y dinámica en el proceso de
construcción del significado de límite.
Duval (1998) indica que para la comprensión de un concepto es necesaria la
coordinación de los diferentes registros de representación, pues con uno sólo no se
obtiene la comprensión integral del mismo y, al menos, se necesitan 2 registros de
representación como por ejemplo el gráfico y el tabular. Este autor considera al sistema
semiótico como un sistema de representación que puede ser un registro de
representación con 3 actividades cognitivas:

Presencia de una representación identificable como una representación de un
registro dado.

Tratamiento de la representación, que es la transformación de la representación
dentro del mismo registro donde ha sido formada.

Conversión de la representación, que es transformar la representación en otra de
otro registro, conservando el significado de la inicial. Tal actividad cognitiva es
diferente e independiente a la del tratamiento.
Engler et al. (2007) en una propuesta didáctica de la enseñanza de límite,
resaltan que los alumnos no tienen mayores inconvenientes con la representación
16
1. Problemática
Mauro Mira López
tabular (numérica) y la gráfica. Sin embargo, un alto porcentaje de estos alumnos no
interpretan el significado de límite al trabajar con la representación algebraica porque
este sistema muestra una concepción formal estática y abstracta de límite. En cambio, el
numérico sugiere una forma dinámica vinculada con la realidad. Entre ambos tipos de
representaciones se encuentra la gráfica que es más estática que la numérica y menos
formal que la algebraica y métrica.
También Cottrill (1996) apunta que utilizar programas informáticos ayuda en la
visualización de la definición formal de límite. Además según el propio Monaghan
(2001) las ideas sobre límites presentadas en una situación gráfica son más fuertes que
las presentadas de forma numérica.
Por su parte, Roh (2008) sugiere que la discusión real no es tanto usar la imagen
dinámica en la enseñanza, sino más bien cómo inducir imágenes dinámicas que sean
compatibles con la definición de límite. Ese es el gran reto de los modos de
representación, que se pueden ir abordando en distintos experimentos de enseñanza,
porque una determinada concepción de límite puede ser sugerida en una representación,
pero no en otra.
La visualización ha jugado un papel importante en el desarrollo del pensamiento
matemático, dada la naturaleza cognoscitiva del ser humano, tan condicionada por
elementos visuales, intuitivos, simbólicos, representativos, y como corresponde a la
matemática y sus propósitos. Sin embargo, las tendencias formalistas imperantes en
buena parte del siglo XX la relegaron a segundo término, tratándola con desconfianza y
con sospecha. Tal y como señalábamos en la noción histórica de límite, la justificación
del cálculo estuvo inmersa en el siglo XVII en oscuridad y confusión de las que no se
libró hasta el siglo XIX con la aritmetización del análisis por Weierstrass. Incluso las
geometrías no euclídeas condujeron a mediados de la misma época a desconfiar
intensamente de la intuición. En 1994 el ZeitschriftfürDidaktik der Matematik publica 2
monográficos dedicados al tema de la visualización, y se renueva el interés de los que
investigan los problemas actuales de la Educación Matemática.
Una gran parte de la visualización que se pretende estimular se realiza mediante
nuestra capacidad imaginativa, representativa y con los instrumentos normales, papel,
lápiz, tiza y pizarra, pero en la actualidad se dispone de un instrumento potente, el
ordenador, cuyo influjo sobre el quehacer matemático se va dejando sentir en muchos
17
1. Problemática
Mauro Mira López
aspectos, con capacidades de representación extraordinariamente versátiles e
interactivas.
Las intuiciones visuales producidas en diferentes registros desde la pizarra al
ordenador han dado origen a los conceptos y procesos matemáticos más básicos e
importantes, como decía Gauss, “La matemática es el arte de pensar bien sobre figuras
imperfectas”.
Las investigaciones realizadas sobre la influencia de las representaciones hacen
referencia a la necesidad de trabajar el concepto de límite con diferentes
representaciones y a tener en cuenta el papel de estas representaciones en la
comprensión del concepto de límite de una función.
Una interpretación más dinámica de la definición obstaculiza la comprensión del
concepto, pero el uso excesivo del registro algebraico en la enseñanza lleva a los
estudiantes a deficiencias en observación de conjuntos de números y a la búsqueda de
aproximaciones a un número. La utilización de distintos registros (algebraico, numérico,
gráfico, verbal) mejora la comprensión del concepto.
La utilización de distintos sistemas de representación al introducir el concepto de
límite choca con las dificultades del cambio de sistema de representación, que puede ser
un obstáculo didáctico, puesto que en la enseñanza tradicional se ha abusado del registro
algebraico y, además de descuidar el resto de representaciones, no se ha incidido en los
cambios y conversiones entre ellos. Esta dificultad se subsana, en parte, si se utiliza el
ordenador para convertir unos sistemas de representación a otros. El uso de distintas
representaciones favorece el aprendizaje y lo hace de dos formas: por un lado,
compensa las limitaciones de unas representaciones con otras, y, por otro, permite que
los alumnos se formen una imagen conceptual más rica, pudiendo escoger la
representación más apropiada para cada situación.
Las investigaciones a las que hemos hecho referencia en esta sección han puesto
de manifiesto el papel relevante de las representaciones en la comprensión del concepto
de límite de una función por parte de los estudiantes, en particular las representaciones
gráficas y tablas numéricas, que serán primordiales en nuestro experimento de
enseñanza con el manejo del programa informático que emplearemos.
Desde este punto de vista educativo y considerando los procesos de construcción
de los significados, la cuestión que se plantea es encontrar referentes que ayuden a
18
1. Problemática
Mauro Mira López
explicar el aprendizaje de este concepto.
1.3.1.1. Comprensión del concepto de límite
La complejidad de los conceptos del análisis matemático así como las
características personales del sujeto que lo estudia constituye un hándicap inicial para el
desarrollo de la comprensión de una determinada noción matemática. Las dificultades
propias para comprender el concepto de límite están fuertemente imbricadas al
conocimiento científico que está estructurado en una acumulación histórica de saberes
que basándose en el método científico, va desmontando algunas tesis y propiciando
otras, en base a la comprobación y refutación de teorías.
Históricamente, como hemos visto en el apartado 1.1, el concepto del límite fue
introducido para resolver problemas geométricos, convergencia de sucesiones y el
problema de la diferenciación, implicando la relación entre dos cantidades que tienden a
cero simultáneamente. Durante el tiempo en que se intentó resolver estos problemas,
aparecieron dificultades que nos indican ya la presencia de obstáculos epistemológicos.
Por ejemplo, las ideas de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño, el
cómputo no finito que es un aspecto importante en el aprendizaje de límite.
En el desarrollo de la comprensión del concepto de límite de una función cabe
destacar entre otras, la teoría de las imágenes conceptuales (Tall y Vinner, 1981) y la de
los obstáculos epistemológicos (Brousseau, 1983). Para Tall y Vinner (1981) la "imagen
conceptual" es la estructura cognitiva asociada a un concepto, que a su vez incluye
imágenes mentales, propiedades y procesos asociados. La lista de palabras utilizadas
para especificar el concepto, que puede ser formal o personal, se denomina definición
conceptual. La imagen conceptual de un individuo no es siempre coherente, dado que
parte de esta imagen o definición conceptual entra en conflicto con otras partes, o con la
definición formal del concepto, produciendo conflictos cognitivos. Por ejemplo, las
imágenes del concepto de límite que producen conflicto cognitivo son aquellas que
favorecen la imagen de límite como un proceso dinámico, “cuando x se aproxima hacia
"a", provoca que f(x) se aproxime al límite sin alcanzarlo”. En el estudio llevado a cabo
por Tall y Vinner observaron que esta imagen entraba en conflicto con la definición
formal del límite, puesto que prevalece sobre ésta y que los intentos de definición
formal, en su mayoría, son incorrectos. Los estudiantes asociaban la búsqueda del límite
19
1. Problemática
Mauro Mira López
con la manipulación de registros numérico (tablas de valores) y gráfico. Muchas veces
vinculaban el valor del límite con la imagen de la función en el punto de estudio y
trasladaban a la obtención de un límite el mecanismo que usan para graficar funciones.
Los alumnos consideran el concepto de límite como proceso dinámico, y cuando
“x se aproxima hacia el punto "a", provoca que f(x) se aproxime al límite sin
alcanzarlo”. Tall y Vinner (1981) observan que dicha concepción dinámica que tienen
los alumnos entra en conflicto con la definición formal del límite, puesto que prevalece
sobre ésta y que los intentos que realizan de dar una definición formal, en su mayoría,
son incorrectos.
El hecho de que en la definición formal de límite haya términos y símbolos que
los estudiantes no logran entender, les lleva a no usar esta definición. Por ello entre las
actividades que analizaron Tall y Vinner, encontraron, las encaminadas a resolver
límites indeterminados, hallar el límite de funciones ampliamente trabajadas por el
alumno teniendo como dato la expresión de la función y hallar el límite de funciones
expresadas mediante su gráfica. Este tipo de actividades han sido hasta hace poco las
que han formado parte de las secuencias didácticas usadas en clase para desarrollar el
concepto.
El lenguaje matemático usado en el concepto de límite también es otro ámbito de
investigación importante. Monaghan (1991) en su estudio pone de manifiesto que si
bien las frases o palabras… “se aproxima a”, “tiende a…”, “converge” e incluso
“limite” son intercambiables para los matemáticos, sin embargo, no es así para los
estudiantes. Si bien los estudiantes, en un primer contacto, asocian “limite” con la
máxima velocidad permitida; “converge” lo asocian mayoritariamente a objetos
continuos cada vez más próximos y, en muchos casos, alcanzables; “tiende a” y
“aproximación” son vistos muy a menudo como un movimiento hacia un final, sin
llegar nunca a él, es decir, como una concepción dinámica, estos estudiantes no parecen
ver que una secuencia de números converja. Y sin embargo el buen uso del lenguaje es
necesario para consolidar estructuras matemáticas, sobre todo de análisis.
El uso coloquial y habitual del término límite, como algo inalcanzable, es una
dificultad recurrente, además de ser un obstáculo epistemológico que aparece en las
investigaciones de Fernández et al. (2013a, 2013b). El objetivo de la investigación
realizada por estos autores fue describir e identificar cómo las características derivadas
20
1. Problemática
Mauro Mira López
de los usos particulares del lenguaje forman parte de las definiciones personales de los
estudiantes. En sus resultados identifican las siguientes clases de definiciones
personales del límite de una función: objeto/proceso, relación entre límite e imagen,
descoordinación de los procesos en el dominio y en el rango de la función, referencia
explícita a un sistema de representación distinto del numérico o simbólico, evaluación
en un punto, tablas de valores, condición de lateralidad, doble convergencia, que sea
alcanzable y se pueda rebasar.
Los resultados de Moru (2009) indican que el uso coloquial de los términos de
límite por estudiantes de nivel de pregrado de universidad presentaban dificultades en
diferentes modos de representación. Los estudiantes, en modo gráfico, confundían el
valor límite con el valor de la función. En modo numérico, la aproximación era un
proceso limitante para estos estudiantes, teniendo una concepción limitada del número;
la frase "cerca" tenía cierta ambigüedad de interpretación; el límite era interpretado
como un límite genérico en lugar de límite en el sentido matemático. En los procesos de
encapsulación en objetos, los estudiantes dieron una interpretación de la vida cotidiana
(una frontera y un punto final).
Las percepciones que los estudiantes tienen de límite de una función ponen de
manifiesto que los modelos espontáneos de sus praxis no son construidos con criterios
de cálculo (Hardy, 2009). Los intentos de los estudiantes para hallar límites de
expresiones algebraicas muestran que sus modelos entran en conflicto con sus
conocimientos previos, especialmente en lo relativo a álgebra, al que han construido con
fines resolutivos para tener éxito en los exámenes. En la investigación de Hardy (2009)
los estudiantes justificaron la elección de una técnica para resolver un problema en
función de sus creencias y convicciones, por ejemplo, en el hecho de que esa técnica la
siguen sus profesores, los libros de texto, está secuenciada en instrucciones o pasos
algorítmicos, etc. Esto tiene un efecto en el aprendizaje que plantea una conducta de
uso normal o habitual frente a una conducta matemática.
También Juter (2010) abre cuestiones sobre cómo los estudiantes perciben
límites de funciones y son representadas en términos de conceptos de imagen, a veces
incoherentes debido a las percepciones intuitivas. Y llega a la conclusión que las
diferencias entre los resultados de la escuela secundaria y la universidad, límites infinito
y finito, intuitivo y formal, y objeto y proceso, implican muchas discontinuidades en el
conocimiento completo de límite. La misma definición puede ser la razón de los errores
21
1. Problemática
Mauro Mira López
porque suele malinterpretarse principalmente por su conexión infinita y un uso
algebraico inadecuado del concepto e incluso unas concepciones intuitivas deficientes
en valor absoluto e inecuaciones.
Sobre la comprensión de la estructura lógica de la definición, Roh (2010)
exploró en los estudiantes la comprensión de la relación entre ε y N al definir el límite
de una sucesión a través del análisis detallado de las formas de uso del proceso
contando a medida que encuentran definiciones del tipo ε-banda, donde se les dan los
intervalos como bandas horizontales entre rectas (Ejemplo y=L±ε). Cabe señalar que las
ε-bandas pueden representar las ideas matemáticas fundamentales subyacentes en el
concepto de límite. Además, el proceso de contar el número de términos dentro y fuera
de ε-bandas es una transformación matemática de una actividad relacionada con la
comprensión de la definición de límite.
Sin la comprensión de tales componentes esenciales de la relación entre ε y N,
los estudiantes podrían tener dificultades en la comprensión de la estructura lógica en
definir el límite de una sucesión. Además, con el fin de entender que la arbitrariedad de
ε implica que la cota de error disminuye hacia 0, uno debe entender de antemano esa
arbitrariedad de ε. Además, la arbitrariedad de ε sólo tiene sentido cuando la relación
entre ε y N se lleva a cabo antes de disminuir completamente el valor de ε a 0.
La investigación se realizó con cinco tipos de sucesiones: monótona, con límite,
sin límites, constante, convergente oscilante, y las secuencias divergentes oscilantes.
Esto sugiere una estructura jerárquica con 5 categorías que establece y que las
definiciones en las ε-bandas median el aprendizaje del estudiante de la definición de
límite. Las cinco categorías representan diferentes niveles de apropiación de estos
instrumentos de mediación. La investigación adicional puede centrarse en la asociación
entre las categorías de los estudiantes y sus experiencias con los límites y el desarrollo
de innovaciones educativas que podrían mejorar la comprensión de la relación entre ε y
N.
1.3.1.2.Proceso infinito y cotas en el límite
Swinyard y Larsen (2012) elaboran una estructura conceptual de límite
explicando el concepto y diseñando dos experimentos de enseñanza y proponiendo dos
constructos teóricos. El primero de ellos constata la necesidad de los estudiantes de ver
22
1. Problemática
Mauro Mira López
la tendencia de la función siguiendo el input de la variable. El segundo relata la
necesidad de vencer la imposibilidad práctica de completar un proceso infinito. En
particular van refinando la descomposición genética de Cottrill et al. (1996) razonando
sobre límite en el contexto de reinventar una definición formal.
Por otra parte, Swinyard (2011) describe dos casos de estudiantes para
proporcionar una descripción detallada de un experimento de enseñanza diseñado para
comprobar que eran capaces de representar gráficamente el límite de funciones en
situaciones diferentes y representar una función con límites laterales no coincidentes. En
las primeras sesiones surgen las ideas informales al hacer referencias al límite como una
aproximación, al realizar los cálculos algebraicos para hallar el límite, a través del uso
de la sustitución, y al creer que una función necesita de una representación algebraica.
Utilizando gráficas de funciones discontinuas y empleando un uso del zoom, pasan de la
expresión “se acercan” a “infinitamente cerca”. La reinvención de la definición tuvo dos
obstáculos, el razonamiento desde la perspectiva del eje de abscisas y no poder
caracterizar adecuadamente el proceso infinito del límite.
Entonces los estudiantes representaron dos cotas de la función. Una cota inferior
y otra superior, entre las cuales se encontraba el límite de la función. Esta situación de
“proximidad arbitraria” les dio el rigor matemático necesario para matematizar el
proceso introduciendo valores absolutos, pero no la cuantificación. Se puede pensar que
al inducir un cambio cognitivo para que los estudiantes modifiquen su perspectiva desde
el eje de abscisas, noción dinámica de límite, hacia la perspectiva desde el eje de
ordenadas, aproximación arbitraria, se da más valor a esta perspectiva y se devalúa a la
primera. Es decir, que el razonamiento desde la perspectiva del eje de abscisas de la
noción dinámica de límite ayuda a los estudiantes a desarrollar la esencia de la noción
de límite. Sin embargo, el razonamiento desde la perspectiva del eje de ordenadas con la
aproximación arbitraria, en el sentido de aproximarse todo lo que se pueda, ayuda a los
estudiantes a comprender las complejidades y sutilezas de la definición formal de límite.
Interpretar y aplicar las acciones incluidas en la definición formal de límite
desde una perspectiva métrica, exige poner unas cotas que dan lugar a construir una
función (ε-δ para funciones). Corresponde a un proceso de ida-vuelta: una vez
establecido el entorno en el límite con el ε en el eje de ordenadas hay que coordinar con
un entorno en el eje de abscisas para determinar el correspondiente δ asociado, y
comprobar que las imágenes de valores correspondientes al eje de abscisas pertenecen al
23
1. Problemática
Mauro Mira López
entorno considerado. Este fenómeno es puesto de relieve cuando se estudia el proceso
de construcción del significado (Swinyard, 2011).
Llegar a construir una nueva función que está relacionada por las cotas épsilon y
delta de aproximación doble intuitiva es una tarea ardua y más bien propia de cursos de
análisis superiores. El proceso de ida y vuelta ayuda en la coordinación de
aproximaciones en el dominio y el rango, e incluso sin llegar a esbozar una relación
funcional pensamos que con el uso de programas informáticos se puede conseguir la
aproximación doble intuitiva y acercarnos a la abstracción. En definitiva creemos que
pueden recrearse en entornos digitales de programas y ver su implicación en la
construcción del concepto de límite.
1.3.1.3.Procesos de construcción de un concepto
La idea de “descomposición genética” es una conjetura sobre la posible
construcción mental que puede que los estudiantes sigan en su aprendizaje de un
concepto.
Cottrill et al. (1996), plantea una descomposición genética de límite, a través de
seis pasos, para conjeturar como el estudiante puede construir el concepto de límite:
1. La acción de evaluar la función f y unos pocos puntos, cada punto más cerca
de a que el punto anterior.
2. lnteriorización de la acción del Paso 1 a un solo proceso en el que f(x) se
acerca L como x al punto “a”.
3. Encapsular el proceso del Paso 2 para que, por ejemplo, al hablar de
propiedades de combinación de límites, el proceso de límite llegue a ser un
objeto como acciones (por ejemplo, determina si tiene una cierta propiedad).
4. Reconstruir el proceso del Paso 2 en función de intervalos y desigualdades.
Esto se da introduciendo estimaciones numéricas de la proximidad, en
símbolos, como 0 <|x – a| <δ y | f(x) –L| <ε.
5. Aplicación de un esquema de cuantificación para conectar el proceso
reconstruido del paso anterior para obtener la definición formal de límite. Por
ejemplo, iterar entre números positivos y, para cada ε, buscar δ, teniendo en
cuenta cada valor, y verificar las desigualdades. La implicación y la
24
1. Problemática
Mauro Mira López
cuantificación llevan a una decisión en cuanto a si la definición es correcta.
6. Una concepción completada ε-δ aplicada a situaciones específicas.
La descomposición genética del tópico propuesta por Cottrill y sus colegas,
manifiesta en cierto modo la enorme dificultad del aprendizaje del concepto de límite
debido a que los aspectos cognitivos no se pueden generar puramente a partir de la
definición matemática, lo que implica trabajar la acción de evaluar f en un punto, la
posterior interiorización de la acción de evaluar la función en un solo proceso (x→a,
f(x)→L) para acabar reconstruyendo el esquema de coordinación en términos de
intervalos y de desigualdades.
Esta descomposición genética inicial ha sido revisada por investigaciones
posteriores. Pons (2014) plantea una descomposición genética formada por los tres
primeros apartados de la descomposición genética propuesta por Cottrill y sus colegas,
la adaptación de su cuarto apartado como coordinación métrica en términos de
desigualdades y un nuevo apartado sobre la formalización del concepto, tal como sigue:
1.
Sea f una función y x0 un número real. El valor de la función f en x=x0,
f(x0).
2.
Idea de aproximación
 x se aproxima al número a.
 f(x) se aproxima a L.
3.
Coordinación en la concepción dinámica: cuando x se aproxima al número
a, sus imágenes f(x) se aproximan a L.
4.
Coordinación en la concepción métrica: si se puede encontrar para cada
ocasión un x suficientemente cerca de a tal que el valor de f(x) sea tan
próximo a L como se desee.
5.
Formalización como una manifestación de la existencia del límite L de la
función f(x) en el punto a, lím f(x) = L.
Por su parte, Asiala et al. (1996) considera que el desarrollo de la comprensión
de un objeto matemático puede explicarse desde las acciones, los procesos, los objetos y
los esquemas que desarrollan los estudiantes y caracterizan las construcciones mentales
de una acción como transformación de objetos que el estudiante percibe como algo
externo a él. La comprensión de una transformación se limita a una concepción de
acción que puede realizar la transformación solamente reaccionando a causas externas
25
1. Problemática
Mauro Mira López
que den detalles precisos sobre los pasos que se tienen que dar. Esta característica
implica, para Cottrill et al. (1996), que un estudiante tiene una concepción de acción de
límite cuando una variable aproximándose a una cantidad fija, no puede ir más allá de
calcular un número finito de valores de la función en puntos cercanos a dicha cantidad.
La distinción entre preconcepción y acción se da cuando el estudiante solo es capaz de
evaluar un único valor antes de concluir cual es el límite.
Cuando una acción es repetida y el estudiante reflexiona sobre ella puede ser
interiorizada en un proceso. Se produce una construcción interna que realiza la misma
acción, pero ahora no está dirigida necesariamente por un estímulo externo. Quien ha
construido un proceso puede reflexionar sobre él, describirlo, o reinvertir los pasos del
proceso sin necesidad de volver a realizarlos. Esta concepción implica, según Cottrill et
al. (1996), que cuando un estudiante realiza un cálculo que incluye un número infinito
de operaciones, ha interiorizado las acciones y su comprensión es de proceso.
Si una persona reflexiona sobre operaciones que se aplican a un proceso
particular, toma conciencia del proceso como una totalidad, realiza transformaciones (ya
sean acciones o procesos) que puedan actuar sobre él, y puede construir esas
transformaciones, entonces está pensando en este proceso como un objeto. En este caso,
decimos que el proceso ha sido encapsulado en un objeto.
Una colección de procesos y objetos pueden organizarse de una manera
estructurada para formar un esquema para proveer al estudiante con una forma de
decidir qué estructura mental utilizar cuando trata con situaciones matemáticas
problemáticas.
Los procesos de construcción del conocimiento son investigados por Kidron
(2010). El autor explora la imagen que del concepto de asíntota tienen los estudiantes.
Un aprendiz construye el conocimiento acerca de la noción de límite trabajando con la
definición de la asíntota horizontal. El análisis se basa en un modelo de acción
epistémica anidado de forma dinámica para la abstracción en contexto. Al resolver las
tareas, el alumno se encuentra con una situación de conflicto entre su concepto imagen
de la asíntota horizontal y la definición del concepto. El modelo de la abstracción en
contexto se utiliza para analizar dos nuevas construcciones de conocimiento para el
alumno, que permite reconsiderar su imagen y el concepto de entender la definición de
la asíntota horizontal. Por ejemplo, los estudiantes investigaron el comportamiento de la
26
1. Problemática
Mauro Mira López
función en "trozos cada vez más grandes" de x. Observando el gráfico de la función en
diferentes dominios, llegaron a la conclusión de que la curva corta a su asíntota
horizontal un número infinito de veces. Posteriormente se les ofreció a los estudiantes la
definición formal de la asíntota horizontal, así como una prueba para límite de la
función cuando x→∞. Este conflicto pone de manifiesto la dificultad en dotar de sentido
a la aproximación doble intuitiva, por el que un alumno va desde una aproximación en
el eje de ordenadas al de abscisas, y viceversa, así como el papel desempeñado por el
razonamiento algebraico y analítico de manera complementaria al razonamiento
numérico para revisar su imagen del concepto visto desde la perspectiva teórica de la
abstracción en contexto (Hershkowitz, Schwarz y Dreyfus, 2001).
Estos episodios demuestran imágenes dinámicas del estudiante de límites como
plantea Roh (2008). Se observa como el concepto de imagen cambiante de forma
explícita les permite construir la definición de la asíntota horizontal. Este vínculo entre
el cambio de imagen del concepto y la construcción del conocimiento es la principal
contribución teórica de este trabajo.
Al estudiar las distintas concepciones que los estudiantes tienen sobre el límite
hay que señalar que la más eficiente, es la que se centra en la vecindad como idea de
aproximación dinámica tal y como afirma Prezenioslo (2004), y que la concepción de
límite de una función unida a la aproximación de sus valores es más eficiente que la
idea basada en la aproximación de puntos de la gráfica, ya que la idea centrada en el
valor de la función en el punto era menos eficiente y produce errores. Lo que nos lleva a
buscar un proceso de construcción de límite dinámico y diferenciarlo del valor de la
función en el punto donde se estudia.
Algunos autores parecen indicar que una concepción dinámica es fácil y natural
para iniciar a los estudiantes en el concepto de límite. Según esta visión la principal
dificultad es pasar de una concepción dinámica a una comprensión formal de límite,
pero hay una sugerencia de los mismos investigadores (Tall & Vinner, 1981) que la
primera concepción dificulta desarrollar la segunda. Para evitar esta dificultad
Monaghan et al. (1994) proponen un “paradigma funcional numérico de computadora”
y “un golpe de llave de paradigma de álgebra computadora” trabajando con las nuevas
tecnologías que sería como un entorno de transición que podría ayudar a los alumnos
para pasar de un conocimiento dinámico a una comprensión formal de límite.
27
1. Problemática
Mauro Mira López
En nuestra investigación pretendemos, a través de soportes informáticos,
introducir la enseñanza y aprendizaje del análisis matemático en general y, en particular,
el límite de una función real en un punto para entender cómo construyen el concepto de
límite dinámico los estudiantes y vislumbrar el significado métrico de límite.
1.3.2. Diseño de experimentos para la enseñanza del concepto del límite
Los resultados de diversas investigaciones proporcionan evidencia de la
necesidad de trabajar con métodos de enseñanza eficaces, que combinen los cálculos
algebraicos y la comprensión conceptual de límite y que a su vez intenten superar las
dificultades que los estudiantes tienen con el significado del concepto de límite de una
función. Por ello, se han generado implicaciones para la enseñanza que intentan
superarlas a través de distintos sistemas didácticos, diseñando e implementando
actividades que podrían contribuir al desarrollo de una comprensión coherente de los
límites y la resolución de problemas con éxito.
Desde estas perspectivas en el proceso de enseñanza los estudiantes pasan por
situaciones donde afrontan sus lagunas conceptuales y tratan de darles sentido
involucrándose en actividades como resolver problemas o responder preguntas, de
forma individual o en grupo.
Fernández (2000) propone sistemas didácticos para trabajar el concepto de límite
a partir de programas informáticos específicos tales como el Derive. Sin embargo,
Monaghan, Sun y Tall (1994) indican que el uso de la tecnología no garantiza que los
estudiantes puedan superar las dificultades con el concepto de límite de una función.
Esta situación plantea interrogantes sobre cuáles deben ser las características de las
secuencias de enseñanza que tengan en cuenta la información reunida hasta estos
momentos por las investigaciones sobre el aprendizaje del concepto de límite.
Camacho y Aguirre (2001) diseñan una situación didáctica como una red de
conceptos, métodos de investigación y protocolos de experimentación que se apoyan en
una metodología llamada Ingeniería Didáctica que es utilizada para modelar la
enseñanza con el objetivo de llevar a los estudiantes de ingeniería a construir
conocimiento sobre el concepto de límite infinito a partir de la experimentación en
clase. Los estudiantes de ingeniería manifiestan, continuamente, concepciones poco
fiables en la determinación algorítmica de expresiones en las que subyace la división
por cero. En este informe se plantea el Análisis Preliminar para el diseño de una
28
1. Problemática
Mauro Mira López
situación didáctica usando la Ingeniería Didáctica como metodología y la figura del
profesor pasa de ser un reproductor de la información a un controlador de los distintos
componentes del proceso de aprendizaje.
Por su parte, Engler et al. (2007) analizan también la puesta en marcha de una
secuencia didáctica teniendo en cuenta las dificultades recogidas en trabajos de
investigación. Estos autores plantean una situación didáctica orientada a que los
alumnos estén suficientemente preparados para abordar el aprendizaje de límite finito de
variable finita después de haber trabajado con funciones en distintos modos de
representación y algunas cuestiones relacionadas con las aproximaciones. En esta
situación didáctica se propicia el trabajo en forma verbal, tabular, numérica, analítica y
gráfica. Las actividades se organizaron para favorecer el desarrollo de habilidades que
permitieran pasar sin inconvenientes de un sistema de representación a otro. El trabajo
se desarrolló en tres momentos: (1) diseño y discusión de las actividades según
dificultades y errores observados en trabajos recogidos de años anteriores, (2) ejecución
en el aula de las actividades diseñadas, y, finalmente, (3) valoración de los resultados
obtenidos en función del objetivo general del proyecto de investigación.
Los resultados de esta investigación muestran que los alumnos no tuvieron
dificultades con la representación tabular (numérica) y la gráfica. La identificación de
tendencia de una función, y su límite, les resultaba más sencillo en forma numérica o
gráfica que en la algebraica. El sistema algebraico muestra una concepción formal de
límite, estático y abstracto. En cambio, el numérico sugiere una forma dinámica
vinculada con la realidad. Entre ambos tipos de representaciones se encuentra la gráfica
que es más estática que la numérica y menos formal que la algebraica. Tampoco les
resultaba sencillo determinar a qué valor se aproxima una secuencia de números, tal vez
por el hecho de que una tabla no proporciona suficientes valores para determinar a qué
número tienden las variables o qué número es el límite. Las investigadoras vieron una
falta de abstracción para la construcción de intervalos cada vez más pequeños y así
poder observar qué sucede con su imagen. En definitiva los estudiantes presentaron
dificultades cognitivas que no lograron el desarrollo del razonamiento formal requerido
para comprender los conceptos de límite.
Maschietto (2008) planteó una ingeniería didáctica para introducir el Cálculo, en
la enseñanza secundaria, estudiando la relación entre puntos de vista globales y locales.
Para ello diseña un entorno gráfico–simbólico de calculadora y lo estructura de acuerdo
29
1. Problemática
Mauro Mira López
con una trayectoria de aprendizaje para identificar el fenómeno gráfico de la linealidad
local en su formulación matemática. Esta trayectoria de aprendizaje implica la
reedificación de la relación con la línea tangente a una curva en un punto escogido. El
análisis muestra el uso de sistemas semióticos diferentes en orden para alcanzar este
fenómeno y construir su significado matemático.
Lagrange, Artigue y Equipe Didirem (2009), propusieron lo que denominan una
“grille”, parrilla o red interactiva para diseñar y experimentar uno de los entornos
digitales del proyecto europeo The ReMath Project (Representaciones matemáticas por
medios digitales), iniciado en diciembre de 2005 para tratar de dar respuesta a la
preocupación europea que existe sobre el estado de la educación matemática y el débil
impacto que existe de la tecnología para el mejoramiento de esta situación. Esta red
conecta varias actividades acerca de funciones en nivel secundario superior. Al analizar
el uso del entorno en el aula, mostraron cómo la red interactiva no solo ayuda a mostrar
las potencialidades del entorno, sino que es un buen instrumento para el modelo
funcional.
Mira, Valls, Llinares (2011) para identificar los rasgos característicos de la
construcción del significado de límite de una función en estudiantes de post-secundaria
obligatoria diseñaron un experimento de enseñanza utilizando como referencia una
descomposición genética del concepto de límite de una función (APOS) e integrando
recursos informáticos tales como el programa Derive. Los resultados indican que la
trayectoria aprendizaje está determinada por la coordinación de las aproximaciones en
el dominio y en el rango, y por el uso de diferentes tipos de funciones.
La investigación sobre la enseñanza de límites no es tan extensa como la
investigación sobre el aprendizaje. Gücler (2013) explora los diferentes discursos del
profesor y de los estudiantes acerca del concepto en una clase de inicio de cálculo
poniendo el foco en “metareglas” susceptibles de identificar modelos, inconsistencias e
incompatibilidades entre profesor y alumnos en el contexto de la comunicación en clase.
Enfrenta el discurso del profesor y de los alumnos en relación a la comprensión del
límite. Este estudio explora el discurso sobre los límites en un aula de cálculo de
pregrado de nivel inicial centrándose en discursos de sus estudiantes a través de un
enfoque de comunicación de alumnos con el instructor.
30
1. Problemática
Mauro Mira López
El estudio destaca que las discrepancias entre los discursos de los participantes
señalan rupturas comunicacionales y sugiere que los estudios futuros deben examinar si
una explícita atención de los profesores a los elementos de su discurso puede mejorar la
comunicación en las aulas. Este estudio exploró las características del discurso de un
instructor sobre los límites y comparó su discurso con los de los estudiantes. Los
resultados indican que los elementos de discurso del instructor eran en su mayoría
consistentes entre sí excepto en el contexto de la definición informal de límite. En esos
contextos, el instructor cambió el uso de meta-reglas, palabras, y otros apoyos verbales
para intentar mejorar la enseñanza e hizo suyas otras narrativas para fundamentar las
expresiones como "límite es un número" y "límite es un proceso". El análisis de los
discursos de los estudiantes reveló que a pesar de que utilizan mediadores visuales
similares, palabras y meta-reglas al probar determinadas narrativas relacionadas con
límite, su utilización de estas características no era tan coherente como las del
instructor.
Ese uso de las mismas características del discurso en los estudiantes e instructor
para justificar una narrativa diferente (límite es un proceso en vez de límite es un
número) sugiere una posible falta de comunicación en el aula en relación con el discurso
sobre límite a pesar de la consideración de los estudiantes para que sus discursos sean
compatibles con los del instructor y de sus intentos con objetivar y hacer frente a la
interacción entre los aspectos dinámicos y estáticos de límites. Los discursos de los
estudiantes, sin embargo, seguían dominados por un enfoque dinámico. Esta
observación plantea más preguntas sobre el aprendizaje de los estudiantes tales como
¿cuál es el papel de los discursos de los profesores sobre límite?, ¿vemos cambios en
los discursos de los estudiantes sobre los límites cuando los profesores asisten
explícitamente a las meta-reglas y otras características de su discurso en el aula? Las
respuestas a tales preguntas se deben encauzar para realizar la enseñanza de los límites
conectando los discursos de los estudiantes con todas sus fuentes de aprendizaje.
Elia y sus colegas (2009) estudiaron las relaciones entre la aproximación
geométrica y algebraicas y el impacto del contrato didáctico analizando las habilidades
de 222 estudiantes de secundaria en las conversiones entre representaciones geométricas
y algebraicas, en situaciones de resolución de problemas relacionados con el concepto
de "límite" y la interrelación de estas habilidades para construir la comprensión de este
concepto. Los resultados indicaron que los estudiantes que lograban pasar de las
31
1. Problemática
Mauro Mira López
conversiones de los límites en forma algebraica a las representaciones geométricas y al
revés eran los que más probablemente habían construido una comprensión conceptual
de límite. También revelaron la forma compartimentada de pensamiento de los
estudiantes en la no-rutina de problemas por medio de su desempeño en las tareas de
conversión más simples. Los estudiantes que hicieron menos caso de las condiciones del
contrato didáctico resultaron ser más consistentes en sus respuestas para diversas tareas
de conversión y problemas complejos en los límites, en comparación a los estudiantes
que, como consecuencia del contrato didáctico, habían utilizado sólo procesos
algorítmicos.
Los resultados de las investigaciones anteriores nos han permitido plantearnos el
objetivo del presente trabajo:

Analizar el proceso de construcción del significado del concepto de límite en
una secuencia de actividades.
Para alcanzar este objetivo nos planteamos diseñar un experimento de enseñanza
orientado a que los alumnos abordaran de manera eficaz el aprendizaje de límite finito,
que exista o no, de variable real de una función y algunas cuestiones relacionadas con
las aproximaciones a través de distintas formas de representación: verbal, tabular,
numérica, analítica y gráfica.
Las dificultades con las que se encuentran los estudiantes al intentar comprender
el concepto de límite es la imagen que de dicho concepto se han ido formando a través
de los primeros ejemplos que han estudiado. Nosotros pretendemos inducir un cambio
con nuestro experimento para que los estudiantes modelen sus perspectivas con ayuda
del programa informático empezando desde el eje de la “x”, introduciendo la noción
dinámica de límite a través de una función, hacia la perspectiva desde el eje de la “y”,
para que en el experimento de enseñanza se sugiera que la habilidad de emplear de
forma flexible las dos perspectivas permitan a los estudiantes desarrollar una
coordinación y que lleguen a una comprensión del concepto de límite y un acercamiento
a su definición formal. Es decir, que el razonamiento desde la perspectiva de los
diferentes ejes de la noción dinámica de límite ayude a los estudiantes a desarrollar en
un futuro la esencia de la noción de límite.
32
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
La perspectiva teórica que hemos adoptado en esta investigación procede de una
particularización de la idea de Abstracción Reflexiva entendida como las acciones y
operaciones del sujeto y los esquemas que le conducen a construir conocimiento (Piaget
y García, 1982). Simon y Tzur (2004) señalan que las acciones de los estudiantes
producen diferentes efectos que pueden ser considerados por el mismo estudiante en el
desarrollo de procesos de abstracción. Sin embargo, los estudiantes deben centrarse
únicamente en aquellos efectos que son relevantes para el desarrollo del concepto
matemático implicado. Estos autores denominan a este proceso Reflexión sobre la
Relación Actividad-Efecto que da cuenta de cómo funciona el proceso de Abstracción
Reflexiva.
En este capítulo presentamos, en primer lugar, una descripción general de la
abstracción reflexiva y del marco teórico usado. En segundo lugar, describimos una
trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de límite una función en un punto lo
que nos permite formular las preguntas de investigación.
2.1. La abstracción reflexiva. Fases en el aprendizaje conceptual
Piaget (1982) distingue 3 tipos de abstracciones:

Empírica. Solo se basa en los rasgos (perceptibles) y propiedades concretas de
los objetos.

Pseudoempírica. El objeto es modificado por las acciones del sujeto y
enriquecida con las propiedades extraídas de las coordinaciones.
33
2. Marco Teórico

Mauro Mira López
Reflexiva. Se basa en la coordinación de lo observado o en el establecimiento de
relaciones en lo observado. Se caracteriza por ser una reflexión en el sentido de
reorganización mental (relaciones simbólicas).
La abstracción reflexiva según Piaget y García (1982) hace referencia a las
acciones y operaciones del sujeto y a la construcción de esquemas y es, por lo tanto,
puramente interna al sujeto. Constituye la génesis del conocimiento y lo que aporta su
cualidad constructiva son las acciones cognitivas y no la mera observación.
La abstracción reflexiva es la abstracción que parte de las acciones u
operaciones y no meramente de los objetos (Beth y Piaget, 1980). La abstracción
reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget, 1990): un proceso de reflexión,
“reflejamiento” o proyección que hace pasar lo que es abstraído de un plano inferior a
otro superior (por ejemplo de la acción física a la representación mental) y un producto
de la reflexión, una “reflexión” en el sentido mental, que permite una reorganización o
reconstrucción cognitiva, sobre el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano
precedente. Siendo así que el sujeto reconstruye lo abstraído en un plano superior
nuevo, cuyo funcionamiento es distinto, y que tal reconstrucción conduce a un esquema
cognitivo más general (Beth y Piaget, 1980).
La Actividad en el sentido piagetiano está ligada esencialmente a una conciencia
de las inferencias entre el sujeto y el objeto. La actividad no es la manipulación de los
objetos. Tampoco es simplemente una reorganización mental. Para Piaget (1982) el
conocimiento está ligado a la actividad y al significado de la asimilación respecto al
todo estructurado y a la necesidad de autorregulación conforme el individuo crece en
conocimiento. Con la Actividad, que está ligada esencialmente a una conciencia de las
coordenadas o inferencias entre el sujeto y el objeto, se llega a la Anticipación que es la
base de una proyección hacia un nuevo nivel de comprensión y para una reorganización
o reequilibrio.
La abstracción reflexiva se muestra como el proceso clave en la emergencia de
estructuras matemáticas. Pero es un proceso difícilmente observable (Hershkowitz,
Schwarz y Dreyfus, 2001; Tabach, Hershkowitz y Schwarz, 2001; Dreyfus,
Hershkowitz y Schwarz, 2001).
La importancia del papel jugado por la abstracción reflexiva en la construcción
de los conceptos matemáticos ha dado lugar a distintos marcos teóricos como la
34
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
particularización de la idea de Abstracción Reflexiva realizada por Simon y Tzur
(2004), la Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto. Este marco nos permite dar
cuenta de cómo funciona el proceso de Abstracción Reflexiva. Estos autores asumen
que los procesos mentales de los estudiantes son elementos constituyentes de la
comprensión de un objeto que involucra dos Fases de Transformación Conceptual:
Participativa y Anticipadora.
2.1.1 Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto
El mecanismo propuesto por Simon y Tzur (2004) denominado Reflexión sobre
la Relación Actividad-Efecto es un constructo con el que el investigador intenta dar
cuenta de cómo funciona el proceso de Abstracción Reflexiva. Es un intento de mostrar
cómo pueden desarrollarse conceptos matemáticos, a partir de otros conceptos menos
avanzados y previamente desarrollados. La reflexión sobre la relación actividad-efecto
es una elaboración a partir de la Abstracción Reflexiva de Piaget (1982) que describe el
desarrollo de un nuevo concepto matemático de forma operativa.
El término Actividad se refiere a acciones mentales que tienen lugar cuando el
estudiante está resolviendo una tarea y no a lo observable, aunque se lleven a cabo estas
acciones físicas observables. Actividad hace alusión a los procesos mentales que la
generan mientras el individuo está realizando la tarea. Esta Actividad puede consistir en
una única acción mental o en un conjunto de acciones mentales. El término Efecto se
refiere a fragmentos de experiencia que el estudiante aísla considerándolos
consecuencias de la actividad realizada. La atención que se presta a los efectos está
influenciada por el objetivo del estudiante y por sus conocimientos previos.
Simon y Tzur indican que existen diferentes efectos a los que el estudiante puede
atender, sin embargo, se enfocan únicamente a aquel que es relevante en el proceso de
desarrollo del concepto matemático implicado. El estudiante debe tener en cuenta este
efecto y no otro para poder avanzar en el proceso de desarrollo del concepto.
El término Reflexión que da nombre al mecanismo hace referencia a la continua
comparación de la relación entre la actividad y su efecto en la tarea, con el objetivo que
se quiere alcanzar (Tzur, 2002).
El término Objetivo hace referencia a lo que el estudiante quiere conseguir
mediante la realización de las actividades. Un objetivo sirve como una referencia que
35
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
estructura el foco de atención del estudiante al observar la relación actividad-efecto y
sirve como base a la hora de determinar hasta qué punto, la realización de una actividad
ha sido o no satisfactoria.
La comparación de registros mentales, a la que hace referencia el mecanismo
“reflexión”, lleva a la identificación de estructuras y/o patrones en la relación entre
actividad y efecto (Regularidad en la relación actividad-efecto). De esta forma, la
reflexión lleva al estudiante a la Abstracción Reflexiva de regularidades en la relación
actividad-efecto. Desde este punto de vista, el mecanismo de Abstracción Reflexiva
organiza la actividad lógico-matemática de estudiante.
La regularidad es lo que permite concebir la estructura abstraída como un todo.
La abstracción se produce, no al identificar relaciones actividad-efecto sino al
identificar las regularidades en un conjunto de estas relaciones. Por tanto, la regularidad
en la relación actividad-efecto es la base de un nuevo concepto o estructura que es más
avanzado que los disponibles para el estudiante al iniciar el proceso. Es decir, identificar
la regularidad supone realizar una “reconstrucción” a un nuevo nivel procedente de
niveles anteriores. Esta regularidad no se considera inherente a la situación sino más
bien como un resultado de la estructuración de las observaciones realizadas por el
estudiante en relación con el objetivo que se quiere alcanzar. Haber abstraído la
regularidad en la relación actividad-efecto, al realizar la comparación de las diferentes
situaciones que la generaron, permite al estudiante anticipar los efectos de nuevas
actividades sin necesidad de llevarlas a cabo.
El mecanismo de reflexión sobre la relación actividad-efecto consiste
principalmente en dos tipos de comparaciones (Tzur, 2007, p. 276):
 La comparación realizada entre el objetivo del estudiante y los efectos de la
actividad, lo que lleva a una clasificación de los registros actividad-efecto.
 La comparación entre las diferentes situaciones que dan lugar a cada tipo de
registros actividad-efecto, es lo que lleva a abstraer la relación actividad-efecto
como una regularidad anticipada y razonada.
El proceso comienza cuando el estudiante debe resolver una determinada tarea.
La demanda de resolución genera un objetivo para el estudiante (Objetivo del
estudiante) que determina una serie de acciones mentales que dependen de su
conocimiento previo y, por tanto, de los conceptos de los que ya dispone. Así, para
36
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
poder alcanzar su objetivo, el estudiante realiza alguna actividad o secuencia de
actividades (Actividad dirigida por el objetivo) proporcionando la posibilidad de prestar
atención a los efectos de la actividad realizada (Efecto de la actividad) en relación con
lo que pretende conseguir.
En este proceso de observación de los efectos de la actividad, el estudiante va
creando registros mentales (Registros de la relación Actividad-Efecto). En función del
efecto obtenido y de la necesidad de alcanzar su objetivo, el estudiante realiza ajustes en
su actividad para aproximarse al logro del objetivo. Estos ajustes y variaciones son
intencionados. Al llevar a cabo una nueva actividad (o un ajuste de la actividad inicial),
ésta produce un nuevo efecto. Así, los registros mentales en los que se relaciona cada
actividad con el efecto que produce son clasificados y comparados.
2.1.2 Fases de Desarrollo Conceptual: Participativa y Anticipadora
Tzur y Simon (2004), desde la noción de Abstracción Reflexiva de Piaget,
asumen que los procesos mentales son elementos constituyentes de la comprensión de
un objeto, postulando que la transición del proceso al objeto involucra 2 fases de
transformación conceptual que denominan Fase Participativa y Fase Anticipadora.
La distinción de las dos fases y la explicación de la reflexión de la actividadefecto y el mecanismo de relaciones forman parte del esfuerzo de una investigación con
una base teórica para el diseño, selección, secuencia y modificación de tareas. La
diferencia de etapas emerge de las observaciones de los errores de los estudiantes al usar
nuevos conceptos que parece que ya habían desarrollado en anteriores lecciones o
sesiones.
Las fases del proceso de abstracción matemática que Tzur y sus colegas, en
varios de sus trabajos, identifican se extraen del binomio actividad-efecto:
“Un concepto es considerado como una relación mental dinámica entre una
actividad y sus efectos. Consiste en la anticipación, por parte del estudiante, de
los efectos que necesariamente siguen a la actividad. Esto es, una actividad no
es solamente un catalizador del proceso de abstracción de un nuevo concepto o
una forma de motivar a los estudiantes. Más bien, la actividad genera y es un
constituyente del concepto” (Tzur et al., 2004).
37
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
Este elemento clave en la construcción de conocimiento matemático según
Piaget, que es tenido en cuenta por Simon y Tzur para la caracterización de dos fases
dentro el proceso de abstracción, es la noción de Anticipación.
De esta forma, las estructuras cognitivas previamente construidas conducen al
sujeto a reaccionar de forma anticipadora en determinadas situaciones, entendiendo
dicha reacción como una aplicación. Simon y Tzur (2004) caracterizan dos fases dentro
del proceso de abstracción: la Fase de Participación (Participatory Stage) y la Fase de
Anticipación (Anticipatory Stage). La transición entre ambas fases es vista como una
aplicación del mecanismo Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto.
Desde esta perspectiva, la anticipación es un elemento clave dentro del proceso
de abstracción. Haber abstraído la regularidad en la relación actividad-efecto al realizar
la comparación de las diferentes situaciones que la generaron permite al estudiante
anticipar los efectos de nuevas actividades sin necesidad de llevarlas a cabo.
“Un concepto puede considerarse como la habilidad de anticipar el efecto de
una actividad sin llevarla a cabo mental o físicamente” (Simon et al., 2004)

Fase Participativa
En esta fase los estudiantes generan una anticipación provisional no duradera y
limitada, pudiendo explicar por qué los resultados proceden de la actividad. Sólo está
disponible en el contexto de la actividad. Por ejemplo, el estudiante al evaluar f en un
punto cercano o igual al punto “x = a” genera una anticipación provisional (en el
sentido de no duradera) de la regularidad en la relación actividad-efecto (como al
evaluar f en un solo proceso en el que f(x) se acerca a L como “x” se aproxima al punto
“a”). El estudiante no es capaz de reconocer la implicación de la regularidad en una
tarea diferente. Así, ante una nueva tarea parecida no reconoce la utilidad de la relación
actividad-efecto generada en la situación anterior.

Fase Anticipadora
En esta fase el estudiante puede hacer un uso de los resultados de la actividad.
La relación ya no se limita al momento en que se desarrolla y puede ser utilizada en
otras situaciones. El estudiante puede utilizar correctamente el concepto de manera
adecuada independientemente del contexto o tarea. La regularidad abstraída se usa en
cualquier tarea. La distinción entre las dos fases surge de la observación del fracaso de
los estudiantes en el uso de concepciones matemáticas que habían utilizado con éxito en
38
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
ocasiones anteriores.
La diferencia entre estas dos fases se centra en la naturaleza de las anticipaciones
que el estudiante es capaz de llevar a cabo y, por tanto, en cómo se usa la regularidad
abstraída. Por un lado, en la Fase de Participación se usa la regularidad únicamente en
el contexto de la tarea en la que se ha producido la relación actividad-efecto. Por otro
lado, en la Fase de Anticipación esta regularidad se usa en nuevas tareas
independientemente de aquella que ha permitido al estudiante abstraer dicha
regularidad. Roig (2008) las cita con las palabras de Tzur (2007) que resume estas fases
como sigue:
“La fase de participación en la formación de un nuevo concepto matemático
caracteriza una comprensión matemática que depende de ser provocada por la
actividad (…) Tal anticipación incluye la capacidad de razonar porqué el efecto
sigue a la actividad” (p. 277).
“La fase de anticipación en la formación de un nuevo concepto matemático
caracteriza
una
comprensión
matemática
donde
el
aprendiz
puede
independientemente evocar y utilizar una relación actividad-efecto anticipada
(el concepto) adecuada para resolver una situación problemática (…) La
esencia de la relación anticipada en ambas fases es la misma, la diferencia es la
disponibilidad para el estudiante” (pp. 277-278).
Roig (2008) indica que es necesario, para poder indagar sobre procesos
constructivos previos, que se propongan diferentes tipos de tareas. Con esto se consigue
un grado de exigencia mayor que si se le orienta de alguna manera. Así, el proceso de
resolución pondría de manifiesto si se identifica y usa el concepto en cuestión, lo cual se
consideraría como una manifestación de que el estudiante posee una comprensión
propia de Fase de Anticipación. En el caso de que no se identifique el concepto, Tzur
(2007) propone pasar a tareas menos exigentes incluyendo sugerencias (“prompts”) que
orienten al estudiante.
Usando como referentes la distinción teórica entre las fases del proceso de
abstracción y al mecanismo Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto, Roig (2008)
pudo caracterizar:

Los procesos mentales de los estudiantes cuando intentaban resolver
problemas y, por tanto, el proceso por el cual se fijaban en lo que
39
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
consideraban relevante y abstraían las características que después usarían
para la resolución.

La manera en la que aplicaban una idea desarrollada desde una situación
previa.
Para cada concepto matemático y para cada persona, se pueden observar
diferentes niveles de abstracción que reflejan las conexiones experimentales realizadas
previamente entre ambos. De esta forma, cuantas más conexiones se hayan formado
entre el sujeto y el concepto, más concreto (y menos abstracto) lo considera. Esto está
relacionado con el proceso de consolidación de una estructura matemática, que se
produce al reconocerla en diferentes situaciones, de forma que el estudiante se va
familiarizando con la nueva estructura paulatinamente.
Los resultados de la investigación de Roig aportan evidencia empírica de la
distinción entre el proceso de abstracción de una estructura matemática (Fase de
Participación) y el uso de una estructura previamente construida (Fase de Anticipación).
También les ha permitido observar diferentes grados de sofisticación en la manera en la
que los estudiantes construían y usaban las estructuras matemáticas. La autora considera
que la consolidación de una estructura matemática se produce a partir de una paulatina
familiarización de los estudiantes con esta al resolver diferentes situaciones
problemáticas en las que está dicha estructura implicada.
Por tanto, Roig (2008) considera que, en un proceso de resolución de un
problema, la presencia de acciones involucradas en las distintas sub-fases de la Fase de
Participación configura un ciclo dentro del proceso de consolidación de la estructura
matemática que lleva a la Fase de Anticipación (Figura 2.1.).
40
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
Figura 2.1. De la Fase de Participación a la Fase de anticipación (Roig, 2008, p. 233)
Como ya hemos comentado anteriormente, es necesario distinguir entre el
proceso de construcción de un concepto que puede desarrollarse en una situación de
enseñanza (por ejemplo, en un experimento de enseñanza) y la manera en que la
distinción teórica de las fases nos proporciona información sobre la comprensión que
los estudiantes manifiestan al resolver una tarea fuera de este tipo de experiencias (que
es una cuestión de evaluación).
Este matiz es el que marca el objetivo de nuestra investigación al intentar dar
cuenta de la fortaleza de esta distinción teórica en el contexto de “describir el proceso
de construcción del conocimiento” de un tópico específico en una situación de
enseñanza (Tzur, 1999; Simon, Tzur, Heinz y Kinzel, 1999; Tzur, 2002; Tzur, 2003;
Tzur, 2004; Tzur, 2007). El objetivo con el que Simon y Tzur elaboran el mecanismo
Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto es hacer uso de la citada teoría
constructivista del aprendizaje para pensar en la enseñanza, en el diseño de tareas y en
la evaluación.
41
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
2.2. Trayectoria Hipotética de Aprendizaje (THA)
Fue Simon (1995) quien postuló el constructo de la trayectoria hipotética de
aprendizaje. “Una trayectoria hipotética de aprendizaje consiste en los objetivos para
el aprendizaje de los estudiantes, las tareas matemáticas que se usarán para promover
el aprendizaje de los estudiantes, y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de
los estudiantes”.
Una Trayectoria hipotética de aprendizaje es un modelo teórico para el diseño
de la instrucción o educación matemática. El constructo se puede aplicar a unidades de
instrucción diferentes, por ejemplo, una lección, una serie de lecciones, o el aprendizaje
de un concepto durante un período prolongado de tiempo.
La construcción de trayectorias de aprendizaje es uno de los desafíos más
urgentes a los que se enfrenta actualmente la educación matemática. Es también uno de
los problemas más apasionantes porque es allí donde podemos construir la comprensión
de las matemáticas de los estudiantes y cómo nosotros, como profesores, podemos
influir en su aprendizaje.
El objetivo de Simon (2004) era proporcionar un modelo de base empírica del
pensamiento pedagógico basado en las ideas constructivistas, refiriéndose a todas las
contribuciones a una intervención de instrucción incluyendo las realizadas por los
especialistas curriculares, los que desarrollan materiales, y el profesor. La construcción
ha proporcionado un marco teórico para investigadores, profesores y diseñadores de
currículos a medida que planifican la instrucción para el aprendizaje conceptual
(Confrey et al., 2014).
Simon introdujo la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje como parte de
su modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas. Este modelo, era su propuesta
para reconstruir la pedagogía de las matemáticas desde una perspectiva constructivista y
abordaba una de las paradojas que se introdujeron con el movimiento de la reforma de
las matemáticas: la tensión existente entre una visión constructivista del aprendizaje,
que requiere que la instrucción tenga en cuenta y se adapte a las actuaciones de los
estudiantes, y una idea tradicional de la planificación de esa instrucción, basada en la
búsqueda de unos objetivos predeterminados y en el diseño de unas tareas para
lograrlos.
Roig (2008) indica que el objetivo con el que Simon y Tzur elaboran el
42
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
mecanismo Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto es también hacer uso de la
teoría constructivista del aprendizaje para pensar en la enseñanza (diseño de tareas y
evaluación) (Tzur, 2007; Simon y Tzur, 2004). En este sentido la reflexión sobre la
actividad-efecto proporciona referencias para pensar en cómo una tarea puede promover
el aprendizaje, identificar objetivos de aprendizaje conceptual y contribuir a una
evaluación detallada de las comprensiones matemáticas de los estudiantes. Ese
mecanismo permite que el profesor-investigador desarrolle Trayectorias Hipotéticas de
Aprendizaje (Simon y Tzur, 2004).
Tzur (1999) identifica 3 tipos de tareas que dirigen al estudiante a la
construcción de un nuevo concepto. Son tareas dirigidas a producir un progreso en las
distintas fases del proceso de abstracción. Esta caracterización surgió a partir del
desarrollo de experimentos de enseñanza llevados a cabo por los investigadores,
siguiendo unas implicaciones para el diseño de las “lecciones” (sesiones) como:
1. Conocimientos previos de los estudiantes.
2. Especificar el objetivo pedagógico.
3. Identificar tareas en secuencia.
4. Seleccionar las tareas de las sesiones.
Simon (1995) indica que si bien el objetivo del profesor para el aprendizaje de
los estudiantes proporciona una dirección para las otras componentes, la selección de las
tareas de aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes
son interdependientes. Las tareas se seleccionan con base en hipótesis acerca del
proceso de aprendizaje; las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje se basan en las
tareas propuestas. Este constructo se fundamenta en los siguientes supuestos:
1. La construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje se basa en la
comprensión del conocimiento actual de los estudiantes que recibirán la
instrucción.
2. Una trayectoria hipotética de aprendizaje es el vehículo para planificar el
aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos.
3. Las tareas matemáticas proporcionan las herramientas para promover el
aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos y, por lo tanto, son un
elemento clave del proceso de instrucción.
43
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
4. Dada la naturaleza hipotética e inherentemente incierta de este proceso, el
profesor se verá obligado a modificar sistemáticamente cada aspecto de la
trayectoria hipotética de aprendizaje.
La Figura 2.2 presenta los principales elementos del ciclo de enseñanza de las
matemáticas, incluyendo aquellos que componen la trayectoria hipotética de
aprendizaje.
Diversos investigadores reconocen los tres elementos centrales de la trayectoria
hipotética de aprendizaje (objetivos de aprendizaje, tareas matemáticas e hipótesis sobre
el proceso de aprendizaje), y aceptan los cuatro supuestos mencionados arriba, aunque
en cierto modo interpretan y usan la noción con propósitos y maneras diferentes.
Figura 2.2. Ciclo de enseñanza de las matemáticas (Simon 1995, p. 136)
Se perciben dos usos claramente diferenciados de la trayectoria hipotética de
aprendizaje: como herramienta de investigación y como herramienta para la
planificación. Hay trabajos esencialmente de investigación en los que se explora la
trayectoria hipotética de aprendizaje para temas concretos. Por otro lado, los trabajos de
Simon y Tzur (2004), aunque exploran también trayectorias hipotéticas de aprendizaje,
se preocupan con mayor énfasis por su uso en la planificación del profesor. Finalmente,
44
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
el trabajo de Battista (2004) se centra en la evaluación.
En todos los trabajos de investigación, se desarrollan ejemplos de trayectorias
hipotéticas de aprendizaje en temas concretos. Para ello, los investigadores asumen el
papel de profesores en aulas concretas. Aunque hay profesores que participan en
algunos de los proyectos, ellos no son quienes producen los resultados de las
exploraciones. De hecho, algunos ven la construcción de trayectorias hipotéticas de
aprendizaje como un trabajo del investigador, cuyos resultados pueden apoyar el trabajo
del profesor.
Una de las principales diferencias en la interpretación de la noción de trayectoria
hipotética de aprendizaje entre investigadores tiene que ver con el nivel de concreción
con el que la usan: desde la planificación de varias sesiones de clase, hasta el trabajo
con actividades específicas en una parte de una sesión de clase. Por ejemplo,
describiendo una fundamentación para la ruta de aprendizaje prevista en su relación con
una colección de actividades de instrucción para un tema, utilizando la noción para
describir el aprendizaje de los escolares a lo largo de varias sesiones en las que se
trabaja en un tema.
Es importante, poner de manifiesto la relación que existe entre la actividad diaria
del profesor y la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje. Simon y Tzur (2004)
ven la trayectoria hipotética de aprendizaje como una herramienta para la planificación
por parte del profesor de actividades de instrucción en el día a día de un aula. Estos
autores también enfatizan el papel del profesor en la construcción y revisión permanente
de la trayectoria hipotética de aprendizaje. Sus propuestas tienen un carácter
esencialmente preceptivo. Si se comprueba que una trayectoria hipotética de aprendizaje
es válida en una circunstancia particular (en un contexto y con unos estudiantes y un
profesor concretos), esto no quiere decir que esa trayectoria hipotética de aprendizaje
tenga sentido en otras circunstancias.
También es importante destacar que una de las características centrales de la
noción de trayectoria tiene que ver con su carácter reflexivo: Hay una relación reflexiva
en la que la trayectoria hipotética de aprendizaje es el trasfondo de los juicios y
decisiones locales que, a su vez, modifican la trayectoria hipotética de aprendizaje.
Para elaborar la trayectoria de aprendizaje del concepto de límite de una función
hicimos un análisis de contenido en virtud del cual se identificaron, organizaron y
45
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
seleccionaron los significados del concepto matemático de límite de una función en un
punto. También tuvimos en cuenta que el progreso de los alumnos debía fundamentarse
en la identificación, descripción y relación de cinco elementos:
1. Lo que conocen antes de la instrucción.
2. La comprensión que se espera que desarrollen con motivo de la instrucción.
3. Las tareas que conforman la instrucción.
4. Las dificultades que pueden encontrar al abordar estas tareas.
5. Las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje.
2.2.1. Trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de límite de una función
En esta investigación la trayectoria hipotética de aprendizaje de la concepción
dinámica y métrica del límite “L” de una función en un punto “a” la concebimos de
manera global, donde se relacionaba el dominio y la imagen a través de una función,
estudiando primero las aproximaciones al variar la “x”, que consecuentemente
producían unas tendencias en “f(x)”. Después se introducían los límites laterales, para
concluir que había límite si ambos coincidían, acabando finalmente con el concepto
métrico que implicaba coordinar las tendencias a cero de las distancias respectivas |x-a|
y |f(x)-L| en el dominio y en el rango.
La Trayectoria Hipotética de Aprendizaje del concepto de límite de una función se
apoya en las siguientes actividades cognitivas:

Identificar, reconocer y producir aproximaciones laterales a un punto representando
dichos procesos mediante diferentes registros (numéricos, tablas y gráficas).

Identificar y analizar las tendencias laterales de una función y representar estos
procesos.

Diferenciar los límites laterales, coincidentes y no coincidentes, y caracterizar
gráficamente la existencia o no existencia del límite finito con tendencias finitas e
infinitas desde los límites laterales.

Relacionar las aproximaciones a un punto con las distancias y estimar la más
óptima como la que nos lleva al límite y representar estos procesos.

Identificar las tendencias coordinadas a cero de las distancias al punto y límite en el
dominio y rango de la función como límite por aproximación métrica y representar
46
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
estos procesos.
Y en tres concepciones de límite, concepción dinámica (Figura 2.3), óptima (Figura 2.4)
y métrica (Figura 2.5) del límite de una función:
Concepción dinámica de límite
•
Sea “f” una función y “a” un número real
•
“x” se aproxima al número “a”
•
“f(x)” se aproxima a “L”
•
si cuando “x” se aproxima al número “a”, sus imágenes “f(x)” se aproxima a
“L”
entonces decimos que existe límite de la función, L, en el punto a, y se
escribe lím f ( x )  L
x a
Figura 2.3. Representación gráfica de la concepción dinámica de límite
Concepción óptima de límite
El valor L es el límite de f(x) en "a" si, para todo valor K muy próximo a L, existe otro
valor h muy próximo a "a", tal que los "x" que mejoran ese valor h, es decir que están
más próximos a “a”, hacen que sus imágenes f(x) también mejoren el valor K cercano
a L, y estén más cerca de L.
47
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
Figura 2.4. Representación gráfica de la concepción óptima del límite
de la función x2-3 cuando x tiende a 3
Concepción métrica de límite


Sea "f" una función y "a" un número real,
el número "L" es el límite de la función "f" en el punto "a", y se debiera escribir,
límf ( x ) ,
x a

si cuando “x – a” en valor absoluto se aproxima a 0, “f(x) – L” en valor
absoluto se aproxima a 0. En símbolos "0< x  a   y f ( x)  L   "
(Cottrill et al., 1996)
Figura 2.5. Representación gráfica de la concepción métrica de límite
Esta progresión en las concepciones está motivada por los obstáculos que
conlleva la definición formal. Los alumnos no saben hallar la expresión necesaria para
acotar el error cuando la función está dada por su registro algebraico al serles
complicada y prefieren trabajar con expresiones numéricas más que algebraicas
(Blázquez y Ortega, 2002). Por tanto, la concepción métrica que planteamos debe
entenderse como un paso previo a la definición formal de límite, apoyadas en una
transición entre las concepciones dinámica y óptima. El concepto dinámico de límite
(CDL) les ayudará a construir los conceptos óptimo (COL) y métrico (CML), en un
48
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
esquema de inclusión tal como se muestra en la figura 2.6.
CDL
COL
CML
Figura 2.6. Esquema de inclusión entre las tres concepciones de límite
La concepción métrica entendida como la coordinación de las “tendencias a cero
de las distancias” y el manejo del software que permite trabajar, en una tabla, con estas
distancias que tienden a cero, nos llevó a pensar que puede ayudar a los estudiantes a
inducir de una manera intuitiva a esas cotas, “ε” relacionada con “δ”, sin emplear un
lenguaje formal. Por ejemplo, en un experimento piloto (Mira, Valls y Llinares, 2013),
se planteó una tarea, mediante un registro tabular de un conjunto de distancias a un
punto y al límite, donde se preguntaba a los estudiantes cómo de próximos debían estar
los valores de “x” del punto dado en el dominio para que las diferencias de “f(x)”
respecto al límite fueran menor de una cota dada en el rango. Uno de los estudiantes
(Figura 2.7) coordinó las aproximaciones tanto en el dominio y en el rango a partir de la
cota de una milésima dada, sin tener un conocimiento del concepto formal “ε - δ” de
límite.
El estudiante dice…”La x debe estar en 0,5001, por tanto la f(x) es 1,5003. La
diferencia de 1,5-f(x) es de 0,00030003. Es mayor de una milésima”. Está coordinando
las distancias y se ajusta a la cota que le demanda el problema.
49
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
Figura 2.7. Respuestas acotadas de un estudiante (Experimento Enseñanza piloto)
En consecuencia, la trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de límite
que planteamos consta de tres bloques que se construyen paulatinamente (Figura 2.8):
 Concepción dinámica de límite
 Concepción óptima de límite
 Concepción métrica de límite
Figura 2.8. Componentes de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de
límite de una función en un punto
50
2. Marco Teórico

Mauro Mira López
Concepción Dinámica de límite
Para que los estudiantes lleguen a conocer la concepción dinámica como objeto, es
decir, sean capaces de reflexionar sobre operaciones que se aplican a un proceso
particular,
tomar
conciencia
del
proceso
como
una
totalidad,
realizar
transformaciones (ya sean acciones o procesos) y poder construir esas
transformaciones, deben construir:
o
La aproximación numérica a un punto en el dominio y la tendencia en el rango
Los estudiantes construyen sucesiones de valores en el dominio y en el rango
para identificar tendencias. La construcción de estas sucesiones llevará al
estudiante a conocer la aproximación (en el dominio) y, a través de la función, la
tendencia (en el rango) como una acción si este percibe la transformación de los
objetos como algo externo a él. Es decir, si, en un contexto tecnológico (Derive),
el estudiante al hacer una tabla de valores no puede ir más allá de concebir esta
tabla como una sucesión finita y de calcular un número finito de valores de la
función en un número finito de puntos cercanos a, “x = a”, o como proceso, si
los estudiantes son capaces de repetir una acción, reflexionar sobre ella,
describirla o reinvertir los pasos sin necesidad de volver a realizarlas, en nuestro
caso, si son capaces de superar la secuencia discreta que muestran las tablas de
valores y concebir la idea de aproximación y de tendencia como un proceso
infinito.
o
Coordinar aproximaciones en el dominio y tendencias en el rango a través de la
función
Los estudiantes coordinan aproximaciones en el dominio y tendencias en el
rango a través de la función. La clasificación de las relaciones entre las
actividades realizadas (coordinar) y los efectos producidos (el límite hacia a lo
que tiende la función cuando la x se aproxima a un determinado valor) nos
permitirán llegar a conocer la idea de coordinación entre las aproximaciones en
el dominio y tendencias en el rango, concepción dinámica de límite, como
“proceso”.
Coordinar aproximaciones en el dominio y tendencias en el rango a través de
funciones con distintas casuísticas: funciones continuas o discontinuas evitables
y no evitables (función a trozos, racionales y trigonométricas) permitirá que los
51
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
alumnos lleguen a conocer la idea de la concepción dinámica de límite como un
“objeto”.

Concepción Óptima de límite
Para que los estudiantes lleguen a conocer la concepción óptima como objeto deben
construir:
o
La aproximación óptima a un punto en el dominio y en el rango
Los estudiantes calculan distancias entre valores próximos a un punto
(diferencias en valor absoluto) y construyen sucesiones de estas diferencias en el
dominio y, a través de la función, en el rango. La construcción de estas
sucesiones llevará al estudiante a conocer la aproximación óptima en el dominio
y en el rango como una acción si este solo es capaz de establecer un número
finito de aproximaciones en el rango. Cuando el estudiante es capaz de
interiorizar que puede encontrar un número infinito de aproximaciones óptimas
en el domino y en el rango, entonces conocerá la aproximación óptima como un
proceso.
o
Coordinar aproximaciones óptimas en el dominio y en el rango a través de la
función
Los estudiantes coordinan aproximaciones óptimas en el dominio y en el rango a
través de la función, concepción óptima de límite, como proceso cuando dado
un valor K próximo al límite L (se establece una cota de proximidad en el
rango), encuentran aproximaciones óptimas en el domino, tal que al considerar
valores de x más próximos a “x=a”, los valores f(x) están más próximos a L que
la cota K.
Reiterar esta coordinación en aproximaciones óptimas más finas (ajustadas)
puede llevar al estudiante a construir como objeto la concepción óptima de
límite.

Concepción Métrica de límite
Para que los estudiantes lleguen a conocer la concepción métrica como objeto deben
construir:
52
2. Marco Teórico
o
Mauro Mira López
Las tendencias a cero de las distancias a un punto en el dominio y en el rango
Los
estudiantes
construyen
sucesiones
de
distancias
(producto
de
aproximaciones óptimas) en el dominio y, a través de la función, en el rango. La
construcción de estas sucesiones llevará al estudiante a conocer las tendencias a
cero en el dominio y en el rango como una acción si este no es capaz de
observar esta tendencia y como proceso cuando es capaz de establecer las
tendencias a cero tanto en el domino como en el rango.
o
Coordinar las tendencia a cero de las distancias en el dominio y en el rango a
través de la función.
Coordinar las tendencias a cero de las distancias |f(x) – L| en el rango con las
distancias |x –a | en el dominio a través de la función puede llevar al estudiante a
conocer como proceso la concepción métrica de límite.
Aplicar la coordinación de tendencias a cero en el rango con las del dominio a
través de funciones con distintas casuísticas: funciones continuas o discontinuas
evitables y no evitables (función a trozos, racionales y trigonométricas) permitirá
que los alumnos lleguen a conocer la idea de la concepción métrica de límite a”
como “objeto”.
Un esbozo de nuestra trayectoria hipotética de aprendizaje la presentamos en la
figura 2.9.
La trayectoria hipotética de aprendizaje diseñada permite identificar los
objetivos de aprendizaje conceptuales (Tzur, 2007) que deben ser tenidos en cuenta en
el diseño de la secuencia de enseñanza y en la que se considera los conocimientos
previos de los estudiantes en relación a los contenidos de temas del currículum de años
anteriores (4º de ESO y 1º de Bachillerato) relacionados con el concepto de función.
53
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
54
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
2.2.2. Tipos de tareas. Iniciales. De reflexión. De Anticipación
La forma de entender el desarrollo de las estructuras mentales por parte de los
estudiantes así como el aprendizaje conceptual, proporciona referencias para pensar en
cómo una secuencia de tareas puede promover el aprendizaje. Es decir, establecer de
manera explícita relaciones entre las características de trayectorias hipotéticas de
aprendizaje en los estudiantes y las características de secuencias de enseñanza
(identificar objetivos de aprendizaje, definir secuencias de tareas y contribuir a una
evaluación detallada de las comprensiones matemáticas de los estudiantes) (Tzur, 2007;
Simon y Tzur, 2004).
Desde esta hipótesis inicial, se han empezado a considerar 3 tipos de tareas que
pueden ayudar a los estudiantes en la construcción de un nuevo concepto entendiendo
este proceso de construcción desde la perspectiva de la reflexión sobre la relación
actividad-efecto (Tzur, 1999):

Tareas iniciales
Son aquellas que pueden ser realizadas por los estudiantes haciendo uso de sus
conocimientos previos, de forma que su realización no requiere conceptos más
sofisticados que los que el estudiante posee. Atendiendo a estos conocimientos y a la
tarea planteada el estudiante establece un objetivo y ejecuta una actividad ya disponible
para él.
Estas tareas pueden usarse para que el estudiante lleve a cabo ciertas
experiencias que posteriormente se convertirán en material para la reflexión y la
abstracción de regularidades en la relación actividad-efecto. Por ejemplo, en el concepto
de límite de una función:
•
Tarea Inicial: Se les presenta una función conocida y deben trabajar con ella.
•
Objetivo: Establecer la tendencia de una función.
•
Actividad: Dibujan y estudian varias funciones, si x→±∞ o a un punto.
•
Experimentan con ella, observando y comprobando su tendencia.
55
2. Marco Teórico

Mauro Mira López
Tareas de reflexión
A partir de las actividades realizadas por los estudiantes al resolver las tareas
iníciales, las tareas de reflexión dirigen a los estudiantes a centrar su atención en los
registros actividad-efecto. El objetivo es que el estudiante reflexione sobre dichos
registros para provocar la abstracción de regularidades en la relación actividad-efecto.
Por ejemplo, en relación al concepto de límite de una función en un punto:
•
Tarea: Se estudia la aproximación, x→a, en varias funciones
•
Objetivo: Diferenciar la aproximación en funciones continuas, a trozos,
discontinuas.
•
Actividad: Dibujan y estudian las aproximaciones generadas en varias
funciones
•
Experiencia: El estudiante reflexiona sobre los registros leídos y
experimentados con el software.
 Tareas de anticipación
Para llevar a cabo estas tareas es necesario hacer uso de una regularidad en la
relación actividad-efecto, de forma que las tareas de anticipación sitúan al estudiante
ante la necesidad de obtener información a partir del conjunto de registros. Para
realizarlas es necesario que se haya producido la abstracción de la regularidad en la
relación actividad-efecto. Por ejemplo, en el concepto de límite de una función:
•
Tarea: Se presentan diferentes funciones en distintos modos de
representación.
•
Objetivo: Coordinar las sucesiones de distancias |f(x) – L| en el rango y las
sucesiones de distancias |x – a| en el dominio que tienden a cero de una
función.
•
Actividad: Se les pide que saquen una regularidad al hallar un límite de otra
función diferente.
•
Experiencia: Usar el concepto (regularidad de lo abstraído) en contextos
distintos.
56
2. Marco Teórico
Mauro Mira López
2.3. Preguntas de investigación
Considerando este marco teórico y el objetivo definido a partir de la revisión de
la literatura, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación:

¿Cómo los estudiantes progresan desde la concepción dinámica a la métrica
cuando están aprendiendo el concepto de límite de una función en un punto?
57
CAPITULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
En este capítulo se describe el diseño de la investigación realizada: sujetos
participantes, el diseño del experimento de enseñanza a través de las actividades que
hacen referencia a la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje del concepto de límite de
una función real de variable real y de las características de las tareas propuestas a los
alumnos. Esta aproximación implica el uso de una secuencia de tareas que pretende una
actividad particular que se espera de lugar a un nuevo concepto. Describimos los
instrumentos de recogida de datos y el proceso de análisis seguido.
3.1.
Participantes y contexto
Los participantes en esta investigación fueron 11 estudiantes (2 chicos y 9
chicas) de 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales en la asignatura Matemáticas
Aplicadas a las Ciencias Sociales I del centro público de enseñanza secundaria y postobligatoria I.E.S. "Santiago Grisolía" de Callosa de Segura (Alicante) en la Comunidad
Valenciana (España). Las edades de los participantes estaban comprendidas entre los 16
y 29 años (Tabla 3.1), debido a que algunos de ellos, tras unos años fuera del sistema
educativo por razones laborales, se reincorporaron a los estudios de bachillerato.
Tabla 3.1. Edad de los participantes
Edades
Sexo
Total
16
17
Chico
Chica
1
3
18
20
1
1
2
21
29
2
1
59
23
1
1
9
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
El nivel de conocimientos previos en Matemáticas de los participantes era muy
heterogéneo y bajo según los resultados de las primeras evaluaciones en la materia
llevadas a cabo durante el primer trimestre del curso académico. Diez de los estudiantes
se agruparon en 5 parejas por iniciativa propia. Una estudiante trabajó individualmente.
La investigación se realizó en los meses de marzo, abril, mayo y junio del curso
académico 2010-11. Los alumnos habían recibido, con anterioridad, la enseñanza sobre
las funciones, representaciones gráficas de las funciones, cómo se definen, qué
relaciones no son funciones y un estudio de las funciones más usuales: lineales,
cuadráticas, polinómicas, exponenciales, racionales y algunas trigonométricas. Todo
ello en un contexto de uso y manejo del programa Derive para utilizar el ordenador con
las explicaciones que se les impartían.
3.2.
Diseño del experimento de enseñanza
El experimento de enseñanza (Steffe y Thompson 2000; Simon et al., 2004)
consistió en un conjunto de tareas secuenciadas según la Trayectoria Hipotética de
Aprendizaje (THA) sobre el concepto de límite de una función establecida en el capítulo
2 y los resultados obtenidos en un experimento de enseñanza piloto realizado en
noviembre y diciembre de 2009 (Mira, Valls, Llinares, 2013). Esta trayectoria hipotética
de aprendizaje nos ayudó a secuenciar las tareas y el desarrollo de las mismas en cada
una de las 7 sesiones (18 días) que consta el experimento.
Para el diseño del experimento de enseñanza tuvimos en cuenta:
•
Las competencias de los estudiantes en el uso del programa informático Derive.
•
Los objetivos de aprendizaje identificados:
A) Construir como objeto la concepción dinámica de límite,
B) Construir como objeto la concepción óptima de límite,
C) Establecer la existencia o no de límite de una función en un punto en los
diferentes modos de representación: numéricos y gráficos (concepción métrica)
60
3. Diseño de la Investigación
•
Mauro Mira López
Las tareas matemáticas a proponer.
Las tareas que se propusieron incidían en las propiedades de los objetos, usando
un lenguaje propio de los textos usuales de clase. Las propiedades de los objetos hacían
referencia a las concepciones dinámica, óptima y métrica de límite de una función real
de variable real.
Estas tareas fueron de distintos tipos: iniciales, de reflexión, y de anticipación.
Las tareas iniciales tenían como objetivo fomentar el aprendizaje a partir de sugerencias
o prompts para ayudar a los estudiantes a reflexionar sobre la actividad realizada. Estas
tareas están diseñadas para generar actividades susceptibles de ser realizadas por los
estudiantes en su nivel de conocimientos.; las tareas de reflexión estaban dirigidas a
encapsular las coordinaciones (acción-proceso-objeto) y, por último, las tareas de
anticipación dirigidas a consolidarlo.
Inicialmente consideramos funciones elementales continuas que les son
familiares a los alumnos -la parábola e hipérbola - (Blázquez y Ortega, 2002; Robinet,
1983). Posteriormente usamos funciones definidas a trozos, trigonométricas y
discontinuas en los puntos del límite como una forma de promover el desarrollo de las
acciones a procesos y objeto de la coordinación.
3.1.1
Las tareas
En el experimento de enseñanza se propusieron 14 tareas distribuidas en las siete
sesiones (18 días), desarrolladas en distintos días cada una de ellas, (Tabla 3.2). Las
tareas hacen referencia a las actividades cognitivas de la trayectoria de aprendizaje y
son de tres tipos: iniciales (4), de reflexión (8) y de anticipación (2).
En algunas tareas, sobre todo en las iniciales y las de reflexión, se introducen los
“prompts” (sugerencias o indicaciones dadas en la tarea) para ayudar a su resolución. Es
decir, indicaciones que ayudan a dirigir la atención del estudiante. Poco a poco se van
difuminando estas sugerencias para aumentar la autonomía de los estudiantes.
La justificación de las tareas está en función de la hipótesis de que los
estudiantes aprenden a través de su actividad en todas las situaciones y que el
61
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
aprendizaje puede ser engendrado a través de un conjunto de tareas (Simon et al., 2010)
y tienen por objetivo desarrollar el pensamiento y el razonamiento de los estudiantes
acerca del concepto de límite.
Tabla 3.2. Tareas y categorías
Sesiones
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
(1día)
(3días)
(2días)
(3días)
(1día)
(4días)
(4días)
Concepción dinámica
Tareas
Iniciales
T 1-2
T 5-6
T7
Anticipación
2
Concepción
métrica
T 8-9
T3-4
Reflexión
Total
Concepción óptima
2
2
1
2
Total
4
T10.1- 10.2
T 12
7
T11
T13
3
3
2
14
La resolución de las tareas tuvo un apoyo tecnológico, en el programa
matemático de cálculo simbólico Derive. Este programa con capacidades de
representación extraordinariamente versátiles e interactivas favorece (a) el uso de
distintos modos de representación y la conversión entre ellos, (b) el paso de un cómputo
finito a un proceso infinito, (c) la visualización de las funciones desde una perspectiva
global hasta local, etc.
Tareas iniciales
Estas tareas tienen un carácter introductorio y se supone que pueden ser
realizadas por los estudiantes con sus conocimientos previos. Permiten al estudiante
realizar ciertas actividades que posteriormente se convertirán en motivo de reflexión y
abstracción de regularidades en la relación actividad-efecto. Se diseñaron 4 tareas
iniciales vinculadas a la noción de concepción dinámica (Tareas 1 y 2) y a la idea de
concepción óptima (Tareas 8 y 9). Las tareas 1 y 2 (sesión 1) hacen referencia a las
aproximaciones laterales a un punto y a las tendencias generadas en los valores de la
función f(x) y las tareas 8 y 9 (sesión 5) hacen referencia a la aproximación óptima que
consiste en construir la sucesión de las diferencias |x – a| y |f(x) – L|.
62
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
La tarea 1 (Figura 3.1.) tiene como objetivo que los estudiantes identifiquen
aproximaciones laterales a un punto en el registro numérico, introduciendo el concepto
de entorno como vecindad. En esta tarea se incluye una “indicación” en relación a la
idea de aproximación y de entorno.
Figura 3.1. Tarea 1 (Inicial)
La tarea 2 (Figura 3.2.) tiene como objetivo que los estudiantes establezcan
aproximaciones de “x” a un punto en el dominio, relacionándolas con las tendencias de
f(x) usando el registro numérico (a partir de una tabla (xi, f(xi)) y el gráfico. Es decir, se
pretende que los estudiantes identifiquen las tendencias de la variable independiente y
las correspondientes de la variable dependiente, refinando aproximaciones en el sentido
de ir buscando la aproximación óptima que indicará la tendencia cuando hay
coincidencias de las aproximaciones laterales. Para obtener información sobre las
aproximaciones se introdujo la idea de “salto” o “diferencias” en las aproximaciones lo
que produce información sobre la tendencia. Como en el programa informático para
hacer la tabla se exige dar unos valores inicial y final, los estudiantes deben superar la
secuencia discreta que muestra el registro tabular en Derive para concebir un “proceso
63
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
infinito”, dando así un paso de un cómputo finito a un cómputo no finito y que
comparan con el registro gráfico.
Figura 3.2. Tarea 2 (Inicial)
La Tarea 8 de la sesión 5 (Figura 3.3) tiene como objetivo establecer las
distancias a un punto. Este contenido ya formaba parte de los conocimientos previos de
los estudiantes. La indicación usada en esta tarea recuerda el significado de la distancia
de un punto a otro (|x – a| y |f(x) – L|), produciéndolas en las aproximaciones al mismo
usando el valor absoluto y representando registros tabulares/numéricos de distancias en
el dominio y en el rango.
Figura 3.3. Tarea 8 (Inicial)
La tarea 9 de la sesión 5 (Figura 3.4) tiene como objetivo identificar y establecer
aproximaciones óptimas entre valores próximos a otro dado. En esta tarea se incluye
64
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
una indicación para identificar una aproximación óptima. Se seleccionan las
aproximaciones óptimas laterales y la global entre las distancias al punto.
Figura 3.4. Tarea 9 (Inicial)
ƒ Tareas de reflexión
Estas tareas dirigen la atención de los estudiantes hacia los registros de la
relación actividad-efecto para favorecer la identificación de regularidades. Se
propusieron un total de 7 tareas de reflexión. Cuatro de ellas en relación a la
coordinación de las aproximaciones y tendencias que conllevan la construcción de
significados de la concepción dinámica de límite, y tres relativas a la coordinación de
las aproximaciones óptimas de las distancias a un punto entre el dominio y el rango que
propicia el inicio de la construcción de los significados de la concepción de
aproximación métrica de límite.
Las tareas 3, 4, 5 y 6 tienen como objetivo establecer nuevas tendencias a partir
de funciones cuyo límite en un punto es distinto al valor de la función en dicho punto,
para diferenciar la aproximación de la función a un punto con el valor de la función en
ese punto. Se introduce la conversión entre los modos tabular/numérico y gráfico, y
considerando las aproximaciones laterales.
En la tarea 3 (Figura 3.5), usando los distintos registros, la atención se centra en
la relación existente entre las aproximaciones a x=2 y las tendencias de f(x) cuando el
valor de la función en x=2, f(2), es distinto del valor al que tiende f(x). La función está
65
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
definida a trozos de manera que el valor de la función en el punto x=2 no coincide con
el límite de la función en ese punto.
Figura 3.5. Tarea 3 (Reflexión)
En la tarea 4 (Figura 3.6) se usa la función y = x y una aproximación a x=1 en
la que el valor de la función en x=1 coincide con el valor al que tiende la función. En
esta tarea se les da a los estudiantes instrucciones técnicas para el uso del software. En
particular, se indica que usen el cursor del programa a fin de identificar registros que
posteriormente deben organizar en diferentes tablas. También se les plantea el
formalismo matemático y se les pide que reflexionen y comparen la tendencia de la
función con el valor de f(1).
Figura 3.6. Tarea 4 (Reflexión)
66
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
En la tarea 5 (Figura 3.7) se plantea una función que no tiene imagen en el punto
x=1 ni límite en dicho punto. El objetivo de esta tarea es ver si los estudiantes son
capaces de convertir diferentes registros y establecer qué se deduce de la no existencia
de imagen (ni de límite) al comparar las tendencias, en contraste con la tarea anterior.
Figura 3.7. Tarea 5 (Reflexión)
En la tarea 6 (Figura 3.8) se propone una función a trozos cuya imagen en el
punto x = 3 es igual a 6 y cuyas tendencias laterales aunque existen son distintas:
limx→3+f(x) ≠ limx→3-f(x), lo que implica que no exista tendencia global, limx→3f(x) y
por lo tanto no hay tendencia de “f(x)”. El objetivo de esta tarea es distinguir la imagen
en un punto con la igualdad o no de las tendencias laterales de la f(x) en el mismo
punto.
Figura 3.8. Tarea 6 (Reflexión)
En las cuatro tareas de reflexión anteriores se realizan coordinaciones entre las
aproximaciones a un punto en el dominio y en el rango en funciones continuas y en
67
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
discontinuas evitables. Estas tareas suponen una ampliación del significado de
coordinación para generar una Anticipación Local desde unos casos particulares. El
registro de los efectos de esta actividad en diferentes casos da la posibilidad de
identificar la relación entre la actividad y el efecto y clasificar las relaciones entre las
actividades realizadas (coordinar) y los efectos producidos (el límite hacia a lo que
tiende la función cuando la x se aproxima a un determinado valor).
Las tres tareas siguientes (10.1, 10.2 y 12) se centran en el desarrollo de la
concepción óptima y métrica de límite de una función en un punto.
Las tareas 10.1 (Figura 3.9) y 10.2 (Figura 3.10) están basadas en los Fenómenos
de Aproximación Doble Intuitiva (ADI) de Freudenthal (1983), donde cada
retroalimentación corresponde a un proceso de ida-vuelta: una vez establecido el
entorno en el límite con el ε dado. En el caso de nuestra tarea no hay cota, es una
aproximación en el rango, y “vamos” desde el eje de ordenadas al de abscisas para
determinar el correspondiente δ asociado, es decir, obtener una aproximación en el
dominio para hacernos “volver” al entorno del límite en el eje de ordenadas para
comprobar que las imágenes de valores correspondientes al eje de abscisas, mejoran la
aproximación del entorno considerado. Estas tareas tienen como objetivo favorecer una
construcción del concepto óptimo de límite, vinculado a una cota, haciendo uso del
zoom y es una iniciación a intervalos cada vez más próximos al punto y al límite.
En la Tarea 10.1 se le propone al alumno que construya el límite en una función
continua en un punto y observe las aproximaciones en el rango y el dominio mediante la
tecnología.
68
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Figura 3.9. Tarea 10.1 (Reflexión)
En la Tarea 10.2 (Figura 3.10) los estudiantes deben buscar valores en el rango
próximos al límite y observar sus distancias al mismo, relacionándolas con las
distancias al punto en el dominio a través del Derive para ir mejorando las
aproximaciones al límite en el rango desde las aproximaciones al punto en el dominio
en un proceso infinito. Es decir, coordinar aproximaciones óptimas al límite desde el
rango con las del punto en el dominio, produciendo entornos más cercanos para intentar
deducir el límite por refinamiento sucesivo de una aproximación óptima. Dando un
valor K próximo al límite L ya establecemos una cota de proximidad.
69
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Figura 3.10. Tarea 10.2 (Reflexión)
La tarea 12 (Figura 3.11) tiene como objetivo que los estudiantes coordinen las
tendencias de las distancias al punto y de sus imágenes al límite a fin de establecer si
tienden a cero, como paso previo a la conceptualización métrica de límite. Para ello los
estudiantes, deben producir aproximaciones a un punto y al límite a través de una
función continua en ese punto, observando la tendencia de las distancias de dichas
aproximaciones en el dominio y en el rango e intentar coordinar esas tendencias a cero
en el dominio y en el rango en un registro numérico tabular conjunto con el fin de
deducir el límite por aproximación métrica. Se les dan indicaciones para construir tablas
conjuntas.
70
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Figura 3.11. Tarea 12 (Reflexión)
ƒ
Tareas de anticipación
Para poder discernir entre la Fase de Participación y una comprensión propia de
la Fase de Anticipación, se propusieron tres tareas donde ya no se incluyó ningún tipo
de prompts. En estas tareas de anticipación los estudiantes tenían que obtener
información a partir del conjunto de registros. Las tres tareas de anticipación, tareas 7,
11 y 13, fueron propuestas en las sesiones 4, 6 y 7, respectivamente. En estas tareas los
estudiantes deben determinar la aproximación óptima y métrica de una función a puntos
determinados. Para su realización deben identificar y usar la coordinación entre las
aproximaciones a “x” y las tendencias de los valores de “f(x)”, es decir, identificar la
regularidad en la relación actividad-efecto, lo que les permitiría resolver la actividad,
buscar y perfilar las aproximaciones óptimas y las tendencias métricas necesarias,
concluyendo si hay o no límite.
La tarea 7 (Figura 3.12) tiene como objetivo que los estudiantes establezcan la
relación entre la actividad y el efecto (coordinación entre la
aproximación y la
tendencia), analizando las tendencias a un punto en diversos tipos de funciones,
asociando esas tendencias laterales con los límites laterales y estableciendo, si es
pertinente, una relación de tendencia global con los límites globales. Finalmente deben
comparar límite con el valor de la función en el punto. Las funciones propuestas fueron:
ƒ f1, función discontinua, a trozos, con límite en el punto.
ƒ f2, función racional continua, con límite en el punto.
ƒ f3, función con un valor absoluto, discontinua, con límites laterales diferentes en
71
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
el punto.
ƒ f4, función trigonométrica sin límites laterales en el punto.
Estas funciones son gráfica y algebraicamente diferentes, con casuísticas muy
dispares, introduciendo a los estudiantes en contextos variados que les pueden dar pie a
producir anticipaciones locales o más duraderas.
La tarea 7 permite establecer la existencia o no del límite desde la concepción
dinámica, de cada una de las funciones en el punto x = 4, justificando sus respuestas. A
fin de que los estudiantes utilicen la notación matemática de límite se les proporciona
un texto donde se define límite de manera global a partir de la coincidencia o no de los
límites laterales. Las cuestiones de tipo test que se les plantean están relacionadas con el
valor de la función en el punto y el límite y fueron enunciadas de forma similar para que
los alumnos tuvieran que razonar para elegir la más correcta.
Figura 3.12. Tarea 7 (Anticipación)
En las tareas 11 y 13 (Figura 3.13) se propone a los alumnos funciones definidas
a trozos, polinómicas y racionales para que establezcan sus límites por aproximación
óptima y métrica, respectivamente. Los alumnos deben buscar y refinar las
72
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
aproximaciones óptimas y las tendencias métricas necesarias, concluyendo si hay o no
límite, haciendo uso del simbolismo matemático.
Figura 3.13. Tareas 11 y 13 (Anticipación)
De manera resumida, las tareas iniciales se han propuesto para promover la
creación y reconocimiento de ciertas experiencias (los significados de aproximación en
el dominio y tendencia en el rango), las tareas reflexivas para dirigir la atención del
estudiante a la relación actividad-efecto (coordinación entre las aproximaciones en el
dominio y las tendencias en el rango), y las tareas de anticipación para provocar la
abstracción de regularidades (concepción dinámica, óptima y métrica del límite y su
representación simbólica). Se trata de tareas dirigidas a producir un progreso en las
distintas fases del proceso de abstracción. Estas tareas se integran en los tres focos de
desarrollo conceptual de la THA: concepción dinámica, óptima y métrica de límite.
En la tabla 3.3 presentamos las ideas que configuran la Trayectoria Hipotética
de Aprendizaje (THA) en relación con los tipos de tareas (iniciales, de reflexión y de
anticipación) que se han propuesto en el experimento de enseñanza.
73
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Tabla 3.3. Ideas que articulan la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje en relación al
tipo de tareas propuestas
TIPO TAREA THA Inicial T1‐Aproximaciones laterales a un punto y su representación T2‐ Tendencias usando registro Numérico y Gráfico 1 2 Aproximación x →a Tendencia f(x) →… ⇓ S E S I O N E S 3 De reflexión Coordinación entre las aproximaciones a x y las tendencias de f(x): Concepción dinámica T3‐Función con límite en x=a y distinto de f(a) usando distintos registros T4‐ Función con límite en x=a igual a f(a) y su representación. T5‐Función sin límite en x=a y no existe f(a) T6‐ limx→a+f(x) ≠ limx→a‐f(x) lo que implica que no existe limx→af(x) y no hay tendencia de “y”, que no es igual a f(a), que sí existe. Distancia a un punto Aproximación optima ⇓
6 Coordinación de aproximación óptima de la “x” y de la “ f(x)” Concepción óptima T8‐Distancias a un punto T9‐Aproximación óptima a un punto Tendencias a cero |x-a|→0 con |f(x)-L|→0
7 Coordinación de las tendencias a cero Concepción métrica T7‐ Existencia de límite en 4 funciones (definida a trozos, racionales y trigonométricas) 4 5 De anticipación T10‐ Coordinación entre las aproximaciones óptimas en el dominio y en el rango. Límite por aproximación óptima. T12 ‐ Tendencias de las distancias a cero y límite de sus imágenes coordinadas en el dominio y rango. T11‐ Existencia de límite por aproximación óptima T13‐ Existencia limite por aproximación métrica La tabla 3.4 muestra el esquema de la relación entre el tipo de tareas (inicial, de
reflexión y de anticipación) y las ideas que articulan el proceso de construcción de la
comprensión de límite (coordinación de las aproximaciones y tendencias: concepción
dinámica; concepción óptima y métrica).
74
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Tabla 3.4. Comprensión del concepto de límite
Comprensión concepto límite
Concepción dinámica
Concepción Óptima
Concepción Métrica
Inicial
Inicial
Reflexión
Reflexión
Reflexión
Anticipación
Anticipación
3.3. Implementación
El experimento de enseñanza se llevó a cabo en un aula de informática dos días
por semana, con un total de 9 semanas (18 días). Las sesiones de trabajo se alternaron
con el seguimiento de la programación oficial del resto de temas que formaban parte del
currículo. Las 7 sesiones que conformaron el experimento tuvieron distinta duración, 50
minutos, 100 minutos y 200 minutos. En la tabla 3.5 se muestra la cronología de las 7
sesiones.
Tabla 3.5. Cronología de las sesiones
SESIONES
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
TOTAL
DURACIÓN
50m
150m
100m
150m
50m
200m
200m
900m
(DÍAS)
(1día) (3días) (2días) (3días) (1día) (4días) (4días)
(18días)
Antes de iniciar el experimento de enseñanza los estudiantes se familiarizaron
con los comandos e iconos más usuales del programa de Matemáticas Derive 6.0. Los
iconos de la barra y herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar las
gráfica y hacer zoom. También aprendieron el manejo del programa de grabación oral y
de pantalla Camstudio (http://camstudio.es/), software libre que permite realizar la
grabación en un fichero, formato de vídeo AVI y con soporte para Streaming de vídeo
sobre flash.
Una vez familiarizados con el programa Derive y Camstudio, se iniciaron las
75
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
sesiones del experimento de enseñanza. Todo lo que sucedía en el escritorio del
programa Derive, pantallas completas y ventanas o zonas definidas, así como las
distintas interacciones y respuestas verbales dadas fueron grabadas mediante el
programa Cam-Studio.
Las diferentes parejas realizaron las 13 tareas propuestas a distintos ritmos. Sólo
3 parejas de las 6 participantes completaron las 13 tareas propuestas (Tabla 3.6.).
Tabla 3.6. Número de Tareas que hicieron los alumnos
Parejas de Alumnos/ Alumna
Nº Tareas que finalizaron
AM
6
MB
13
JC
13
JMJ
4
LI
13
L
7
3.4. Los datos de la investigación
Los datos de esta investigación son los correspondientes a las tres parejas (LI,
MB y JC) que completaron las 13 tareas: (a) las grabaciones escritas, trabajo con el
ordenador, las transcripciones de las grabaciones orales y las entrevistas realizadas, en
las primeras sesiones del experimento, a 2 de las 3 parejas (LI y MB), y (b) las
respuestas individuales a dos cuestionarios, realizados una vez finalizado el
experimento.
a) Las grabaciones escritas y orales y las entrevistas
Las grabaciones escritas (pantalla del ordenador) y las orales fueron obtenidas
desde el programa Cam-Studio. Las grabaciones fueron archivadas asignándoles a cada
pareja los acrónimos con las letras iniciales de sus nombres (JC, MB, LI) y un código
en el que se hacía referencia a la sesión, a las tareas, a la pareja a la que correspondía la
grabación y a la fecha en que esta se había realizado. Por ejemplo, el código
76
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
S1T12LI040311, nos indica que la grabación corresponde a la sesión primera, S1, a las
tareas 1 y 2, T12, y que han sido realizadas por la pareja cuyas iniciales son LI, el día 4
de marzo de 2011, 040311.
Las grabaciones orales transcritas. Se transcribió todo lo que hablaban las
parejas excepto aquellos párrafos repetitivos o que no tenían nada que ver con la tarea.
Las transcripciones se organizaron en una tabla de dos columnas. En la primera
columna se presenta la tarea, en la primera fila de esta columna, se enuncia la tarea y en
las siguientes las cuestiones planteadas. En la segunda columna se presenta la
transcripción de la resolución hecha por la pareja.
En la tabla 3.7 se muestra la
transcripción de los apartados b y c, de la tarea 12 (Figura 3.11., reflexión) realizada por
la pareja LI.
Tabla 3.7. Transcripción de la resolución de los apartados b) y c) de la tarea 12 por la
pareja LI
Tarea
Resolución
Dada la función a) Dibuja la función b) Observa la función con el zoom y el I: Cuando nos acercamos a 3 por la derecha y por la
cursor cerca de x=3 izquierda la f(x) se acerca a 7, por lo tanto existe límite.
L: Existe límite, pero eso es el último apartado.
c) Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x) L: Nos dice valores laterales, o sea que le podemos dar
valores por la izquierda o por la derecha, o por los dos
lados o por donde queramos.
L: Le hemos dado valores por la izquierda.
I: No, han sido por la derecha. Estos son por la
derecha.
L: ¡Ah! sí.
…….
77
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Al inicio del experimento de enseñanza se realizaron dos entrevistas que
tuvieron como objetivo producir un feed-back de cómo se iban desarrollando las
sesiones iniciales y ayudarnos a entender mejor los procesos cognitivos que iban
construyendo alguno de los estudiantes.
Se entrevistaron a 2 de las 3 parejas de alumnos, parejas LI y MB, que
completaran las treces tareas del experimento. Estas parejas fueron elegidas porque eran
las más constantes en el trabajo, asistencia a clase e interés por las tareas. La pareja LI
fue entrevistada al finalizar la sesión 1 y la pareja MB al finalizar la sesión 2.
En las entrevistas realizadas las preguntas hacían referencia (a) al manejo
adecuado o no del software; (b) a la interpretación de las tablas construidas; (c) a la necesidad o
no de replantear la tarea y (d) a la generación de una reflexión sobre los datos obtenidos.
En la tabla 3.8 podemos ver un ejemplo de cómo el profesor (P) intenta ver si la
pareja LI interpreta adecuadamente una de las tablas realizadas, es decir, si las
estudiantes establecían un cómputo finito que da una respuesta definida, cuando en
realidad es infinito y solo puede ser comprendido por una concepción de proceso en el
dominio y en el rango (Cotrill, 1981). En este caso se observa que al inicio los
estudiantes no construyeron los dos procesos aunque el profesor les invita a hacer
aproximaciones más finas. La alumna L va respondiendo con sucesivos puntos de
partida más próximos al punto, pero desde su acción verbal no llega a una conclusión de
proceso infinito
Tabla 3.8. Entrevista a la pareja LI sobre las respuestas dadas a los aprtados a la tarea 1
Tarea 1
Entrevista Pareja LI
P: Pero, por ejemplo, si yo digo, me
quiero aproximar a 1 por la derecha
¿puedo empezar en el 10.000?
L: Sí que puedes empezar pero es más
lógico coger una distancia menor,
porque…para que…
P: Por ejemplo desde donde…
L: Desde el 1.9… y te vas acercando
P: Y si me quiero aproximar más desde
dónde.
L: Pues desde el 1.2…
I: 1.0001…por ejemplo.
P: Ahí podrías aproximarte por la
derecha.
I: La aproximación sería más cercana.
78
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
b) Respuestas individuales a dos cuestionarios
Nuestro marco teórico indica que un concepto es considerado como una relación
mental dinámica entre una actividad y sus efectos. Con el objetivo de “reconocer” el
concepto de límite construido se realizaron dos cuestionarios al finalizar el experimento
de enseñanza.
El cuestionario 1 estaba formado por 10 problemas (Pons, Valls y Llinares,
2011), el cuestionario 2 estaba formado por dos problemas. El objetivo de los dos
cuestionarios fue identificar lo construido por los estudiantes.
• Cuestionario 1
El cuestionario 1 hace referencia a los distintos elementos que conforman la
concepción de aproximación dinámica, óptima y métrica de límite en diferentes modos
de representación: numérica (N), gráfica (G), tabla (T), algebraica (A), lenguaje formal
(LF), lenguaje natural (LN) y Verbal (V). Cinco de los 10 problemas se presentan en
modo de tabla y/o numérico, 4 en modo gráfico y 3 en modo algebraico solo o
combinado con gráfico y numérico y 1 en lenguaje verbal escrito. Los problemas de un
mismo modo de presentación se diferencian en la coincidencia o no coincidencia de los
límites laterales y abordan los conceptos dinámico, óptimo y métrico así como el uso de
un lenguaje formal o natural (Tabla 3.9). El cuestionario se realizó en dos días.
Tabla 3.9. Los 10 problemas del cuestionario
P-1
P-2
P-3
P-4
P-5
P-6
P-7
P-8
P-9
P-10
Representación
N
TN
TN
A/N
AN
G
V
G
G
A/G
Aproximación
numérica
Sí
Sí
Sí
Sí/No
Sí
Sí/No
Sí
Sí
Sí
Límite Coincidente
Sí
Límite Dinámico
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Límite óptimo
Sí
Sí
Sí
Límite métrico
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Lenguaje Formal
Lenguaje Natural
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
79
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Los 10 problemas del cuestionario (Anexo 1, p. 4) hacían referencia a las distintas
ideas que conformaban la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje:
• Problema 1: El concepto de aproximación reconociendo sucesiones numéricas.
• Problemas 2 y 3: Concepción dinámica de límite cuando existe límite y cuando no
existe, así como una descripción del comportamiento de la función f(x) en
relación al comportamiento de la variable x. Objetivo: Identificar si se conoce la
idea de la concepción dinámica de límite como un “proceso”.
• Problemas 4 y 6: El concepto de límite por concepción dinámica en modo
algebraico y gráfico, respectivamente, para conocer la idea de la concepción
dinámica de límite como un “objeto”.
• Problema 5: El concepto de límite por concepción óptima o métrica de límite
donde deben fijarse en las distancias para identificar si se conoce la idea de la
concepción métrica de límite como un “objeto”.
• Problema 7: El concepto de límite por alguna de las concepciones: dinámica,
óptima o métrica en modo verbal para identificar si se conoce la idea de la
concepción dinámica, óptima o métrica de límite como un “objeto”.
• Problema 8: Pasar del concepto de límite en notación matemática a modo gráfico
coordinando aproximaciones en el dominio y en el rango a partir de expresiones
matemáticas de límite de funciones en diversos puntos para identificar si se
conoce la idea de la concepción dinámica de límite como un “objeto”.
• Problema 9: El concepto de límite por concepción dinámica en modo verbal y con
referencias al concepto de límite por concepción óptima y métrica para identificar
si se conoce la idea de la concepción métrica de límite como un “objeto”.
• Problema 10: El concepto de límite por concepción dinámica en modo verbal,
algebraico-numérico y gráfico para conocer la idea de la concepción métrica de
límite como un “objeto”.
En la figura 3.14 presentamos como ejemplo del cuestionario 1, los problemas 2
y 3. Estos dos problemas se presentan en modo numérico y a través de una tabla. En
ellos se hacen las mismas preguntas, si bien en el problema 2 los límites laterales son
coincidentes y en el problema 3 no son coincidentes. Con estos problemas se pretende
analizar si los estudiantes han superado la fase de participación y han construido el
concepto de concepción dinámica de límite como un objeto.
80
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Figura 3.14. Problema 2 y 3 planteados en el cuestionario 1
• Cuestionario 2
Este cuestionario constaba de dos problemas. En los dos problemas se les pide a
los estudiantes hallar el límite desde la concepción dinámica, óptima y métrica en el
punto x = 1 de una función racional, problema 1, que tiene límites laterales iguales y
una función definida a trozos con límites laterales distintos, problema 2 (Figura 3.15).
Los problemas son tareas de anticipación dado que son problemas planteados al final
del experimento, completamente abiertos, en los que no se da ningún tipo de sugerencia
o indicación que pueda ayudar al estudiante a resolverlos.
Figura 3.15. Problemas del Cuestionario 2
El objetivo de estos dos problemas es determinar el concepto de límite
81
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
construido como manifestación de la Fase de Anticipación en el desarrollo conceptual.
(Tzur, 2007).
El cuestionario 2 fue contestado en una sesión con una duración de 50 minutos y
la llevaron a cabo con ayuda de los documentos de trabajo usados durante el
experimento y del programa Derive.
3.5.Análisis
El análisis de los datos se realizó en dos etapas. En la primera de ellas se trató de
identificar las características del proceso de aprendizaje de cada una de las parejas
participantes. En la segunda etapa, al comparar las diferentes parejas, se identificaron
las características de las fases del proceso de abstracción que dio pie al reconocimiento
de diferentes perfiles en el proceso de construcción del conocimiento.
El análisis realizado tuvo como objetivo identificar los momentos críticos que
son esenciales en la construcción de estructuras matemáticas por parte de los
estudiantes, el avance conceptual (entendido como un cambio en lo que eran capaces de
hacer los estudiantes) desarrollado a través de la actividad y la reflexión.
La forma de identificar estos momentos críticos es a través del análisis de cómo
distintos alumnos realizan una misma tarea matemática. Esta observación lleva a ver
diferencias en las acciones de los estudiantes al resolver la misma tarea, y permite
inferir comprensiones que pueden dar cuenta de las diferentes formas de actuar.
3.5.1. Etapa I. Identificar las características del proceso de construcción del
concepto de límite (Trayectoria de Aprendizaje)
En primer lugar, se analizaron las transcripciones de cada pareja y las entrevistas
a dos de ellas. En segundo lugar analizamos las respuestas individuales del cuestionario
1 y 2.
El análisis se realizó siguiendo a Cobb y Whitenack (1996) y Clement (2000). Se
leyó globalmente cada transcripción y se generaron comentarios pre-analíticos de los
82
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
datos con el objetivo de encontrar evidencias de la manera de construir los significados
del concepto de límite de una función en relación a las dos fases del proceso de
construcción del significado de la idea de límite a partir de la abstracción reflexiva.
Los comentarios pre-analíticos fueron recogidos añadiendo una columna a las
tablas usadas en la transcripción de las grabaciones orales, tal como se muestra en la
tabla 3.10.
Tabla 3.10. Análisis pre-analítico realizado a la pareja JC relativo a la coordinación
Tarea 2
Resolución
Comentarios pre-analíticos
Dada la función y= x2 -1, ¿hacia
qué valor tiende la "y", cuando
la "x" se aproxima a 3 por la
derecha?
Alumno C:
En el apartado nos preguntan a
qué valor tiende la "y", cuando
la "x" se aproxima a 3 por la
derecha. El resultado es que se
aproxima a 12.
¿Qué valor de salto hemos
puesto en la aproximación por
la derecha? ¿Por qué?
C: En el siguiente apartado nos
preguntan qué salto hemos
puesto en la aproximación por
la derecha y por qué. Hemos
puesto lo mismo que antes, 0.01
porque se aprecia mejor la
aproximación de “x” a 3, en
cambio si pusiésemos otro salto
no se apreciaría a 3 por la
derecha.
C: En el apartado nos pedían
que dijésemos a qué valor
tiende la "y", cuando la "x" se
aproxima a 3 por la derecha.
Dijimos 12, aunque teníamos
confusión ya que no llegaba
exactamente a 12, pero nos
hemos dado cuenta que
realmente es 8, que se aproxima
por… por el otro costado.
Ha establecido la tendencia de
“f(x)” a 12 observando la gráfica
de izquierda a derecha y no se
fijan en la tabla. Confunden
aproximaciones y tendencias. No
saben pasar de un modo de
representación a otro, sin
coordinar las “x” con las “y”.
La tendencia de “y” a 12 se ha
modificado, y es un “efecto”
relevante en el proceso de
desarrollo del concepto de
tendencia. Ahora si coordinan las
“x” con las “y”.
A partir de estos comentarios pre-analíticos tratamos de buscar distintos
comportamientos que pudiesen ser indicativos del desarrollo de la estructura matemática
en las parejas, haciendo un análisis interpretativo (Clement, 2000) de las transcripciones
de las sesiones y de las diferencias individuales, analizando las respuestas de los dos
cuestionarios.
El análisis interpretativo está motivado porque los procesos mentales no son
observables de manera directa, pero tienen como consecuencias determinadas
manifestaciones que quedan plasmadas en los datos de la investigación. Dichas
83
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
inferencias deben tener en cuenta el conocimiento teórico previo sobre el fenómeno a
investigar dando lugar a un modelo inicial de categorías cuyo contenido es revisado de
manera crítica, lo que requiere que sea evaluado con nuevos datos para su modificación
o consolidación. Así, a través de sucesivas revisiones de protocolos el contenido de la
categoría se va refinando hasta convertirse en el modelo explicativo más adecuado para
los diferentes comportamientos observados. El análisis interpretativo realizado se
muestra esquematizado en la siguiente Figura 3.16.
Figura 3.16. Análisis interpretativo de la Etapa I
Este proceso de análisis nos aportó información sobre cómo la interacción entre
los alumnos les permitía avanzar en la construcción de los significados e información
sobre las manifestaciones de lo construido individualmente por cada estudiante.
A continuación, mostramos un ejemplo del proceso de análisis realizado en la
interacción llevada a cabo por la pareja LI cuando tratan de dibujar la función
Transcripción
L: Nos dan una función definida a
trozos, que la vamos a escribir…Una
vez que ya la hemos puesto, vamos a
dibujarla, pero… ¿le has dado valores?
Comentarios pre-analíticos
Realizan acciones de su actividad
dirigidas por el objetivo de la tarea
84
Descriptor
3. Diseño de la Investigación
I: Hemos dibujado 1º la función. Sale una parábola.
L: Pienso yo que como una es elevado a 2 pues sale una
parábola.
I: Claro.
I: No, pero eso es aquí en esta función…pero aquí como
te dice que es por la derecha tiene que ser mayores a 3.
L: Y este es menor, tienes que coger la de abajo.
I: Por eso, como tienen que ser mayores a 3, vamos a
coger el trozo de la función a trozos de f(x) = 2x.
L: Entonces, los valores que le demos a la función, el 3
también puede ser un valor que le demos.
I: Sí, Mmm… ese trozo de la función, si que se puede
coger el 3 porque te dice ≥, pero como te está diciendo
que cojas los valores que se aproximen a 3 por la
derecha, tienden a 3 pero no llegan a alcanzarlo.
L: Vale.
I: Vamos a poner solo el trozo este de la función.
L: Vamos a poner la función de abajo, porque es la que
nos dice que ahí la “x” es más que si… en la función 2x,
la “x” es mayor que 3, y como nos dice que tenemos que
acercarnos por la derecha, pues tenemos que coger la
que sea mayor.
I: Vamos a hacer una tabla de valores.
L: En la representación que hemos hecho arriba, no nos
hemos dado cuenta, y yo he pensado que si era una
función definida a trozos, pues no podía ser una parábola,
bueno sí que puede ser, pero yo lo he visto raro y le he
dicho a mi compañera que si estaba dividida en trozos
pues tendría que haber un espacio entre ambas, y ella me
ha dicho que no tenía por qué, no era necesario, hemos
mirado la función para salir de dudas, y al darle a los
zooms, hemos visto que la función tiene un corte y que no
es una…¿qué?
Mauro Mira López
Tras realizar otras acciones de su
actividad en la tarea, en un momento
dado empiezan a modificar lo
construido desde su primer significado
de función definida
I: No, pero eso es aquí en esta
función…pero aquí como te dice que es
por la derecha tiene que ser mayores a
3.
L: Y este es menor, tienes que coger la
de abajo.
I: Por eso, como tienen que ser mayores
a 3, vamos a coger el trozo de la
función a trozos de f(x) = 2x.
Los estudiantes a través de la
interacción construyen la función
dando significado a una función
definida a trozos
L: … y que no es una parábola
completa, sino que en un trozo es una
recta.
I: Sí que es una parábola pero la
parábola solo es cuando la “x”, los
valores de “x” son < 3, y luego cuando
los valores de “x” son ≥ 3 es una
función lineal, sale una línea recta.
Relaciones
entre la
actividadefecto
RAE
Cambios de
modos de
representació
n que influyen
en su
aprendizaje
CMR
I: Una parábola…
L: … y que no es una parábola completa, sino que en un
trozo es una recta.
I: Sí que es una parábola pero la parábola solo es cuando
la “x”, los valores de “x” son < 3, y luego cuando los
valores de “x” son ≥ 3 es una función lineal, sale una
línea recta.
L: Por eso yo al ver las dos funciones, y al ver que la 1ª
está elevada a 2 eso significa que es una parábola, pero
la 2ª al no estar elevado a 2, pues ya… me he puesto a
pensar y… hemos visto que no era parábola
Tras el análisis interpretativo se generaron de manera inductiva, desde las
observaciones/transcripciones y comentarios pre-analíticos iniciales, los descriptores del
85
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
contenido de cada categoría. Estos descriptores fueron:
1. El concepto de límite no está restringido a un cómputo finito. (CNF)
2. Observaciones de diferentes modos de representación. (DMR)
3. Cambios de modos de representación que influyen en su aprendizaje. (CMR)
4. Relaciones entre la actividad-efecto. (RAE)
5. Formación de Registros Mentales. (RM)
6. Indicios de la fase de participación. (FP)
7. Fenómenos de Retroalimentación. (FR)
8. Prevalencia del concepto de límite por aproximación dinámica. (PLAD)
9. Fase de Anticipación (FA)
10. Construcción del significado de límite (CSL)
Veamos un ejemplo donde se constatan, en la pareja JC, fenómenos de
Retroalimentación (FR), en los apartados a y g de la tarea 10.2 (Tabla 3.11).
Corresponde a un proceso de ida-vuelta: una vez establecido el entorno en el
límite con una aproximación óptima, sin llegar a un ε dado, van desde el eje de
ordenadas al de abscisas para determinar la correspondiente aproximación sin fijar un δ
asociado, y vuelven al entorno del límite en el eje de ordenadas para comprobar que las
imágenes de valores correspondientes al eje de abscisas, mejoran la aproximación del
entorno considerado. Por ejemplo, cuando responden a cuántas aproximaciones podrán
encontrar en el eje de abscisas que mejore la cota de aproximación dada en el eje de
ordenadas, 7.21, el alumno C, en representación de la pareja, dice: “Infinitas porque
puedes sumar infinitos números decimales y por lo tanto se acercaría más, 2.87, pues
2.871 se acerca más, 2.8711 se acercaría más y así sucesivamente”. Posteriormente,
infiere que las aproximaciones a 7, también serán mejores puesto que ya saben que hay
límite de la función en el punto x=3. Desde este registro mental encuentra dos
aproximaciones óptimas que mejoran las dadas en la tarea… “Una aproximación que
mejore la imagen de 7.21 es 3.02686, y su anti-imagen es 7.161905, que también
mejora a 7.21”. Aunque comete un error al llamar anti-imagen a f(x), consideramos
que ha realizado el proceso de ida y vuelta y, en consecuencia, la aproximación doble
intuitiva.
86
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Tabla 3.11. Evidencia del análisis interpretativo realizado
Transcripciones
Comentarios
pre-analíticos
Descriptor
Categorías
a) ¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar?
¿Por qué?
C. Infinitas porque puedes sumar infinitos números
decimales y por lo tanto se acercaría más, 2.87,
pues 2.871 se acerca más, 2.8711 se acercaría
más y así sucesivamente
g) Fija ahora, una nueva aproximación, “K+” a 7
por la derecha, y encuentra una aproximación
“h” a 3, también por la derecha, de manera que
las aproximaciones que mejoren la distancia de
“h” a 3, mejoren también la distancia de “K+” a
7.
proceso de ida-vuelta
C.
•
El estudiante C infiere
que las aproximaciones
a 7, también serán
mejores y las escriben
diciendo que mejora la
imagen de 7,21 el valor
de 3,026864 porque le
lleva a 7,161905. Hay
una imprecisión al
llamar antiimagen a lo
que es imagen.
FR
Una vez establecido el entorno
en el límite con una
aproximación óptima, sin llegar
a un ε dado, van desde el eje de
ordenadas al de abscisas para
determinar la correspondiente
aproximación sin fijar un δ
asociado, y vuelven al entorno
del límite en el eje de ordenadas
para comprobar que las
imágenes de valores
correspondientes al eje de
abscisas, mejoran la
aproximación del entorno
considerado.
Segunda Fase
En esta fase analizamos las respuestas individuales a los cuestionarios 1 y 2. Este
análisis se centró en identificar indicios relativos al grado de desarrollo conceptual
puesto de manifiesto por los estudiantes, es decir, cómo estas respuestas nos ofrecían
evidencias de los registros mentales que nos llevaran a identificar la Regularidad en la
relación actividad-efecto, así como la coordinación de las aproximaciones y tendencias
que conducen a la concepción dinámica del límite de una función, las óptimas y
métricas en el dominio y en el rango como características de la fase anticipativa y la
influencia de los cambios de registro en el desarrollo de la fase participativa y
anticipativa. En este análisis usamos los mismos códigos que para la primera fase.
A continuación, mostramos dos ejemplos del análisis realizado. Por ejemplo, la
respuesta al problema 2 (Figura 3.13) del cuestionario 1 del estudiante J (Figura 3.17),
es una evidencia de que en sus tareas con el soporte informático tuvo lugar la “Relación
actividad-efecto (RAE)” ya que construye, desde el modo de representación numérico,
el concepto de límite por aproximación dinámica en una tarea donde existe límite, pues
87
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
establece la aproximación en el dominio, 3, y la tendencia en el rango, 15, y establece
la coordinación de la aproximación en el dominio con la tendencia en el rango cuando
describe el comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la
variable x.
Figura 3.17. Resolución del problema 2 del cuestionario 1 por el alumno C
Otra evidencia de esta segunda fase la encontramos en las respuestas de la
alumna I, al ejercicio 1 del cuestionario 2 (Figura 3.18). La respuesta la hemos
categorizado dentro de los cambios de modos de representación (CMR) que influyen en
su aprendizaje, pues trabaja usándolos adecuadamente y, a través del manejo del
programa Derive, se produce una Relación actividad-efecto (RAE) que comentamos a
continuación.
88
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Figura 3.18. Resolución del ejercicio 1 del cuestionario 2 por la alumna I
Esta estudiante para obtener el límite por aproximación dinámica de la función
racional, primero hace observaciones desde diferentes modos de representación (DMR),
89
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
ya que mueve el cursor del programa e indica que no lo aprecia bien pero después
construye una tabla con ayuda del software, que usa adecuadamente, y escribe entre
otras cosas “…He puesto que la f(x)→0.707106 porque lo he visto con el cursor…,
entonces he hecho una tabla cuando la x→1… y se ve que el límite es 0.7071067811”, y
a través de cambios de los modos de representación (CMR), que influyen en su
aprendizaje, produce Relaciones entre la actividad-efecto (RAE) de su objetivo, y
observaciones desde diferentes modos de representación, principalmente el gráfico y el
tabular, que la estudiante cita en su respuesta.
Posteriormente, utilizando esos modos de representación acaba produciendo un
registro mental (RM) sobre la actividad que se manifiesta al expresar con un lenguaje
formal que hay límite, y precisándolo al orden decimal de 10-10. Este comportamiento
lo consideramos evidencia de la transición de la fase participativa (FP) cuando desde
una primera observación con el cursor fija el límite desde el modo de representación
gráfico y pasa a la anticipativa (FA) buscando el límite a partir de una tabla numérica
para reafirmar que hay límite, consolidando el concepto de concepción dinámica de
límite.
Para obtener el límite de la función por aproximación óptima, la estudiante elige
valores próximos al valor “x=1”, tanto por la derecha como la izquierda, y escoge los
más cercanos para estudiar el límite. Es decir, va dirigiendo su actividad hacia su
objetivo. Se está iniciando en la construcción del significado de límite (CSL) que
amplía el concepto dinámico.
Finalmente, para obtener el límite de la función por aproximación métrica, la
estudiante hace tablas con las distancias a x=1 (|x-1|) y a L= 0.707106781 que es el
límite y reconoce que esas distancias deben coordinadamente tender a cero, y así lo
observa en el dominio, pero en la imagen escribe una aproximación de la distancia a
0.000000000000874 y a pesar de ello concluye que |f(x)-L| no tiende a cero, por lo que
acaba diciendo que no hay límite por aproximación métrica. Desde este comportamiento
consideraríamos que esta conclusión es consecuencia del efecto de su actividad,
poniendo de manifiesto tal vez, la contradicción del paso de un cómputo finito a uno no
finito en esta secuencia.
90
3. Diseño de la Investigación
Mauro Mira López
Los datos inferidos desde el análisis a las respuestas individuales de los
cuestionarios nos permitieron identificar el significado individual de lo construido.
3.5.2. Etapa II. Estudio inter-casos
En esta etapa de análisis tratamos de caracterizar las fases del proceso de
abstracción buscando comportamientos diferenciados o no de las tres parejas y que
pudiesen ser indicativos de desarrollo de la estructura matemática de estas, comparando
las características que definen a las tres parejas generadas en la etapa I. Intentamos
buscar características en las acciones observables que nos ayuden diferenciar o no casos
y formas de conocer del proceso de construcción de límite de una función. Las
características de los dos perfiles generados en esta etapa, usando como referente la
THA, los describimos en el capítulo de resultados.
91
CAPITULO 4. RESULTADOS
4. Resultados
Mauro Mira López
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
En este capítulo presentamos dos perfiles en el proceso de construcción del
significado de la idea de límite en un entorno de aprendizaje que definen diferentes
caminos en la manera en la que se da la complementariedad entre las concepciones
estáticas y dinámicas y las relaciones entre los diferentes modos de representación. El
proceso de construcción de los significados de los estudiantes se describe considerando
las fases participativas y anticipativa puestas de manifiesto por la reflexión sobre la
relación actividad-efecto generada durante la resolución de las diferentes tareas. Los
resultados se muestran en función de las relaciones entre la actividad-efecto y las fases
de transformación conceptual (Trayectoria de Aprendizaje), lo que nos ha permitido
identificar dos perfiles de construcción de los significados de la idea de límite de una
función en un punto.
 El primer perfil
muestra evidencias del proceso de construcción del
significado de límite desde la concepción dinámica como objeto al inicio de
la construcción de la concepción óptima como acción.
 El segundo perfil muestra evidencias de proceso de construcción del
significado de límite desde la concepción dinámica como objeto generándose
un mecanismo de interiorización de las acciones para interiorizar en un
proceso la concepción optima conocida previamente como una acción.
Los dos perfiles presentan características comunes en relación a la construcción
del significado de la concepción dinámica de límite, de ahí, que describamos en primer
lugar las características comunes a los dos perfiles y, posteriormente, las características
diferentes de cada perfil. La descripción de cada uno de los perfiles de cómo los
estudiantes construyen el significado del concepto de limite lo completamos
93
4. Resultados
Mauro Mira López
identificando lo que han construido cada uno de los estudiantes (Figura 4.1.).
Finalmente damos cuenta del significado construido por cada estudiante en cada una de
estas trayectorias.
Figura 4.1. Esquema de presentación de los resultados
4.1. Construcción del significado de límite de una función desde la Concepción
Dinámica como objeto (Características comunes de los dos perfiles)
Las tres parejas participantes, MB, JC y LI, inician la construcción del
significado de límite de una función desde la concepción dinámica apoyándose en las
aproximaciones numéricas a un punto. Para ello construyen primero secuencias que se
aproximan alternadamente a un punto, saltando de un lado a otro del mismo punto, en
modo verbal y numérico. Después construyen secuencias laterales a través de tablas y
en modo gráfico. Por ejemplo, la pareja MB, en las tareas 1 y 2, construye estas
secuencias alternadas en los modos de representación verbal, tabular y gráfico. Estos
estudiantes también empiezan a calcular los valores de la función correspondientes a las
aproximaciones realizadas en el dominio tal como se observa en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1. Respuesta del estudiante M a las tareas 1 y 2 en la interacción de la pareja
MB
(Aproximaciones numéricas a un punto)
Tarea
Respuesta Pareja
Tarea 1
M: O sea… que tienda a 1 desde el 2. Vamos a escribir la
“frecuencia” en la que se aproxime a 1 por la derecha: 1.86,
1.75, 1,5, 1.3 y 1.001.
Escribe una secuencia de números
diferente a la que aparece en la
figura anterior que también indique
una aproximación a x=1 por la
derecha.
94
4. Resultados
Mauro Mira López
Tarea 2
Dada la función y=x2-1, construye
una tabla única que recoja los
valores (x, f(x)) por la derecha y
por la izquierda de x=3, y
dibújalos.
Sobre esta idea de aproximaciones conocidas como proceso, las tres parejas
empiezan
a
desarrollar
coordinaciones
considerando
la
función
al realizar
aproximaciones en el dominio e identificar tendencias en el rango como acción, sin
embargo, no son capaces de observar explícitamente el carácter infinito de las
sucesiones. Por ejemplo, la pareja JC, aunque se equivoca al escribir la expresión
algebraica de la función, construye secuencias de aproximación para identificar la
tendencia, usando una tabla y el gráfico de la función, e indicando que la función tiende
a 2 (Tabla 4.2.).
Tabla 4.2. Respuesta de la alumna J a la tarea 5 en la interacción de la pareja JC
(Aproximaciones y tendencias)
Tarea 5
J: La y tiende a 2.
Haciendo uso del programa
DERIVE dibuja la función
y=3/x-1
¿A qué número tiende la y,
cuando la x se acerca a 1 por
la derecha?
Posteriormente, establecen aproximaciones numéricas a un punto en el dominio
e identifican tendencias en el rango como proceso dado que son capaces de pasar de un
95
4. Resultados
Mauro Mira López
cómputo finito a uno infinito al inferir aproximaciones de sucesiones infinitas en el
dominio y las tendencias de las sucesiones imágenes infinitas en el rango evidenciando
coordinaciones entre aproximaciones. Por ejemplo, en la tarea 5 la pareja LI,
comparando la representación gráfica con la tabular, observa que la gráfica “se para…”
(en el valor 3) porque con los zoom ha disminuido la imagen, lo que desconcierta a la
estudiante L. Pero en la tabla ve que los valores de “y” pasan de 3 alcanzando 15 y el
30, lo que les lleva al proceso infinito, al indicar “Lo que se puede concluir es que
aunque aquí se corta, la función sigue creciendo y llega hasta +∞.”. Esta forma de
expresarse parece indicar que deducen que la gráfica está limitada por los efectos
escalares de aumento y disminución del zoom, si bien la tabla le sugiere que hay un
proceso infinito (Tabla 4.3). Este comportamiento puede ser considerado una evidencia
de interiorización de la coordinación de una Acción en un Proceso. Es decir, una
construcción mental que hace las mismas cosas que la Acción, pero globalmente se
realiza en la mente del individuo en vez de en forma externa. En el protocolo de la Tabla
4.3 la evidencia de que esta pareja está construyendo la idea de coordinación de las
aproximaciones como un proceso se manifiesta también cuando describen el
comportamiento gráfico de la función cuando los valores de la x en el domino se
aproximan por la derecha a x=0. El discurso generado por L para justificar el
comportamiento de la grafica de la función, aunque el recurso tecnológico no le permite
llegar a “ver” físicamente el comportamiento de la gráfica, pone de evidencia que la
idea del comportamiento de la función teniendo en cuenta las aproximaciones en
dominio sea hace mentalmente, y no físicamente lo que es una característica de conocer
como proceso.
Tabla 4.3. Respuestas de la alumna L a la tarea 5 en la interacción de la pareja LI
(Procesos infinitos coordinados)
Tarea5
L: Bueno, se puede comprobar que la “y” aumenta… hasta el 30, no
Haciendo uso del programa
puede aumentar más… bueno sí puede aumentar más porque aquí a la
DERIVE dibuja la función,
“x” se le pueden añadir más decimales y la “y” puede seguir
indica una secuencia de
aumentando mientras que la “x” disminuye, así, yo creo que la “y”
valores que se aproximen a
va a tender a +∞.
x = 1 por la derecha.
Cuando la “x” tiene una disminución de 0.1 la “y” va aumentando.
Escribe en una ventana de
En el 5 hemos vuelto a dar valores a “y” para ver su tendencia y
texto la secuencia de las
hemos visto que tiende a +∞ por lo que hemos calculado.
aproximaciones que haces y
Vamos a dibujarlo, aunque así con la tabla se puede distinguir bien. .
los valores que van saliendo
Aquí se puede ver que cuando la “x” tiende a 1 por la derecha pero
96
4. Resultados
para la “y”.
Mauro Mira López
sin llegar a tocarlo, la “y”, aquí más o menos estaría el 1, tiende a
+∞.
Vamos a incrustarlo en la página principal… o bueno, no, no se sabe,
porque puede tender también a un nº, porque se para aquí la función,
¿A qué número tiende la y,
ya no sigue creciendo, pero no puede ser, porque aquí pone que solo
cuando la x se acerca a 1
sigue hasta el valor 3, cuando en los valores que le hemos dado toma
por la derecha?
valores hasta el 15 y en la otra toma valores hasta el 30. Entonces no
puede ser que aquí solo tome valores hasta el 3. Lo que se puede
concluir es que aunque aquí se corta, la función sigue creciendo y
llega hasta +∞.
Hemos hecho una representación gráfica para ver gráficamente el
recorrido de la y, hemos visto que cuando la x tiene a 1 la “y” tiende
a más infinito. También hemos visto que la “y” crece con mucha
rapidez.
Cuando los estudiantes son capaces de inferir aproximaciones de sucesiones
infinitas en el dominio y las tendencias de las sucesiones imágenes infinitas en el rango
entendemos que son evidencias de que coordinan las aproximaciones en el dominio con
las tendencias en el rango como un proceso. Esto es así ya que son capaces no solo de
coordinar las aproximaciones y las tendencias sino de establecer el límite. Por ejemplo,
la pareja JC, en la tarea 11 (Tabla 4.4) al hallar el límite de la función f(x) en el punto
x=3, en un primer momento, dicen que sí hay límite, pero al cambiar al modo de
representación tabular y coordinar las aproximaciones con las tendencias, observan que
estas no coinciden lateralmente. Esta no coincidencia, les lleva a hacer la gráfica lo que
les permite advertir una discontinuidad y a concluir que… “No es posible el límite en
x=3 porque al aproximarse por la izquierda de x=3 la y tiende a 7, mientras que al
97
4. Resultados
Mauro Mira López
aproximarse por la derecha de x=3 la y tiende a 6”. Esta forma de resolver la situación
planteada por la no coincidencia de las aproximaciones de la función podemos
considerarla una evidencia de que la coordinación se convierte en un proceso. Estos
hechos muestran el papel desempeñado por el contexto tecnológico que permite a los
estudiantes apoyarse en diferentes modos de representación para generar hipótesis de
trabajo y probarlas.
Tabla 4.4. Respuestas de la alumna J a la tarea 11 en la interacción de la pareja JC
(Coordinación como proceso)
Tarea 11
Dada la
J: …hemos comprobado que en la 1ª, que al principio la habíamos
función,
dibujado y teníamos nuestras dudas porque pensábamos que sí que
calcula si es posible
había límite por la forma de la función, pero luego al hacer la tabla
el límite en x=3
nos daba que por la izquierda f(x) tendía a 7 y por la derecha
2
 x  2, si x  3
f ( x)  
 2 x, si x  3
tendía a 6, hemos visto algo raro ahí, y la hemos vuelto a dibujar, y
la hemos vuelto a mirar mejor, y hemos visto que si que es cierto
que no había límite, y aquí hemos explicado el por qué…
No es posible el límite en X=3 porque al aproximarse por la
izquierda de x=3 la Y tiende a 7, mientras que al aproximarse por
la derecha de x=3 la Y tiende a 6.
Una vez que los estudiantes han construido la concepción dinámica de límite de
una función como proceso, son capaces de extender la coordinación de las
aproximaciones en el dominio y el rango a funciones con diferentes casuísticas. Esta
manera de proceder evidencia mecanismos de encapsulación en la construcción de la
concepción dinámica de límite como un objeto. Realizar la coordinación de las
aproximaciones en el dominio y en el rango en diferentes situaciones puede ser
entendido como una evidencia de que la idea de coordinación ha sido encapsulada en un
objeto.
Por ejemplo, en la interacción mostrada por la pareja MB al resolver la tarea 13
98
4. Resultados
Mauro Mira López
(Tabla 4.5) y, como consecuencia, de las acciones llevadas a cabo en los modos de
representación gráfico y tabular, deducen las tendencias de las dos funciones, indicando
para la función f(x) que, “cuando “x” tiende a 0 por la izquierda, “y” tiende a 1… y
cuando “x” tiende a 0 por la derecha, f(x) tiende a 1”. Para la función g(x), por su
parte, indican que “por la izquierda tiende a -2 y por la derecha tiende a 0”.
Posteriormente, después de interactuar entre ellos, comparan los límites laterales y
concluyen que las funciones tendrán límite o no dependiendo de la coincidencia o no de
las tendencias laterales, tal como se observa en el diálogo entresacado de la tabla 4.5:
B: Pues entonces esto no tiene límite [se refiere a la función g(x)].
M: ¿Cómo que no? Tiene 2 límites.
B: Pues no, porque para que sea límite…
M: Por la izquierda y por la derecha.
B: Para que sea límite, tienen que coincidir los dos.
M: ¡Ah! Bueno.
Tabla 4.5. Respuestas de la pareja MB a la tarea 13
(Coordinación como objeto)
Tarea 13
M: Aquí tenemos las 2 funciones, f(x) pintada de rojo.
Dadas las funciones
f ( x) 
2x  4  2
x 1 1
 x 2  2, si x  0
g ( x)  
 2 x, si x  0
Halla el límite si lo hay de dichas
funciones cuando x0,
Nos acercamos un poco más a 0 y vemos como cuando “x”
tiende a 0 por la izquierda, “y” o f(x) tiende a 1 pero no llega,
bueno sí, sería a 1, cuando “x” tiende a 0 por la izquierda, “y”
tiende a 1… y cuando “x” tiende a 0 por la derecha, f(x) tiende
a 1.
Y en g(x) cuando “x” tiende a 0 por la izquierda, parece que
no, sí, su límite es -2, y cuando “x” tiende a 0 por la derecha,
f(x) tiende a 0.
99
4. Resultados
Mauro Mira López
M: Me estoy acercando y no me dejan. Mira un nº súper
infinito.
B: ¿Eso que es? Eso no hay quien lo entienda.
M: Elevado a -12.
B: Da igual, ponlo bien por favor.
B: Cuando “x” tiende a 0, “y” tiende a 2.
M: A -2.
B: Entonces ¿eso que es -0?
M: -0.01
B: Pues entonces esto no tiene límite.
M: ¿Cómo que no? Tiene 2 límites.
B: Pues no, porque para que sea límite…
M: Por la izquierda y por la derecha.
B: Para que sea límite, tienen que coincidir los dos.
M: ¡Ah! Bueno.
M: Por la izquierda tiende a -2 y por la derecha tiende a 0.
La construcción de la concepción dinámica de límite como un objeto visto como
la encapsulación de un proceso fue una trayectoria común en las tres parejas de
100
4. Resultados
Mauro Mira López
estudiantes en la construcción del significado de límite de una función. Además, el
papel desempeñado por el uso de los modos de representación tabular y gráfico,
proporcionado por los recursos tecnológicos, favorecieron estos mecanismos. Sin
embargo, la construcción del significado de la concepción óptima de límite fue
diferente, lo que originó la consideración de dos perfiles diferentes en la construcción
del conocimiento. Una de las parejas de estudiantes no pudo generar el mecanismo de
encapsulación del significado de la concepción óptima mientras que las otras dos
parejas si pudieron generar mecanismos de encapsulación de la concepción óptima y
llegar a construirla como objeto, consideraron la concepción óptima de límite como
objeto. El elemento clave de este proceso de construcción fue la capacidad o no de
generar mecanismos de interiorización de la concepción óptima cuando inicialmente se
conoce como una acción. Estas características diferentes de la forma de construir el
significado de límite son las que vamos a describir en las dos secciones siguientes.
4.2. Perfil 1: Desde la concepción dinámica de límite como objeto a la concepción
óptima como acción
La pareja MB de este perfil solo es capaz de adelantarse (fase anticipativa) a los
resultados desde la perspectiva del concepto dinámico de límite, cuando están
experimentando aproximaciones a un punto finito tanto en funciones continuas o
discontinuas. Esto lo hacen coordinando las aproximaciones en el dominio y rango
usando y manejando adecuadamente los modos de representación numérico, tabular, y
gráfico. La pareja MB ha construido la concepción dinámica de límite de una función
como objeto tal como ha sido descrito en el apartado anterior. Una característica del
comportamiento de este perfil es la dificultad que tienen los estudiantes en hacer uso de
la idea de aproximación en un contexto que pone de relieve la concepción métrica de
limite. Estos estudiantes, aunque han construido la idea de coordinación de las
aproximaciones como objeto al ser capaces de coordinar las aproximaciones en el
dominio con las tendencias de la función en el rango con diferentes tipos de funciones y
usando diferentes modos de representación, tienen dificultades en aplicar la
coordinación de las aproximaciones cuando las sucesiones que se generan proceden de
la concepción métrica de límite, es decir, cuando se tiene que coordinar las
aproximaciones a cero de las distancias |x-a|
101
y las aproximaciones a cero de las
4. Resultados
Mauro Mira López
distancias |f(x)-L|. Este comportamiento puede ser entendido como una dificultad en
generar mecanismos de interiorización de la coordinación de las sucesiones que se
generan al considera la idea de concepción optima de limite (coordinación entre
aproximaciones en el rango y las tendencias en el dominio condicionadas por la
existencia de una cota).
Por ejemplo, en la tarea 12 (Tabla 4.6) donde se pide si hay límite por
aproximación métrica de la función f(x) = x – 2 cuando x tiende a 3, la pareja MB, a
pesar del prompts que le proporciona la tarea, no observa las columnas de las distancias
(modo numérico en una tabla) y no hace uso de las mismas para responder a qué tienden
esas distancias conforme se acercan a 3 y a 7, aunque hay un momento en que dicen “…
esos números en f(x)-7 tienden a cero, en valor absoluto, claro, luego… tendrían que
subir pero al ser valor absoluto se mantienen los valores positivos y en f(x) tienden a
7”. Posteriormente, solo observan la columna de las distancias en el rango y no en el
dominio para afirmar que la función tiende a 7, sin hacer referencia a lo que ocurre en el
dominio. Tampoco tienen en cuenta si las distancias tienden a cero en el dominio y en el
rango (concepción métrica de límite) cuando trabajan con la gráfica.
Tabla 4.6. Prevalencia del concepto dinámico de límite
M: Ya hemos hecho la tabla en la que los valores de la izquierda
Tarea 12
es f(x) y el valor de la derecha es f(x)-7 … conforme me acerco
Dada la función
a 7 los valores por la derecha son mayores y por la izquierda
son mayores, cada vez mayores. … esos números en f(x)-7
Haz una tabla conjunta con las
distancias entre los valores
próximos a x = 3 y entre los
valores próximos a f(x) = 7.
Observa conjuntamente hacia
qué
número
tienden
esas
distancias.¿Hay límite desde el
tienden a cero, en valor absoluto, claro, luego… tendrían que
subir pero al ser valor absoluto se mantienen los valores
positivos y en f(x) tienden a 7.
M: El límite podría ser 7 ya que se aprecia como… casi que por
lógica va a ser 7… aquí se puede ver… (Hace referencia a la
gráfica) al ir acercándose a 3 por la derecha, se aprecia que 7,
que f(x) tiende a 7, con lo cual el límite podría ser 7.
punto de vista métrico, de la
función cuando x tiende a 3
¿Por qué?
102
4. Resultados
Mauro Mira López
Sin embargo, aunque esta pareja realiza aproximaciones óptimas en el dominio
y en el rango como acción no son capaces de calcular el límite de una función por
aproximación óptima.
Por ejemplo, MB en la tarea 10.2 realizan aproximaciones con unos valores que
ponen cerca del punto en el dominio y del límite en el rango y van afinando esas
aproximaciones manejando el programa Derive (Tabla 4.7), es decir, establecen
aproximaciones óptimas cuando están usando el cursor con diversos zooms, para ver
aproximaciones óptimas a “x” y a “y” pero no las coordinan. Sin embargo aunque
intentan realizar un proceso mental globalmente, usando la herramienta del zoom del
recurso tecnológico y expresando… “Puedo encontrar números más pequeños que esos,
todos los que quiera, infinitamente pequeños… ¿lo ves?, ¿lo ves?, ¿lo ves?”, producto
de aumentar el zoom del gráfico, no dicen nada de qué aproximación óptima en el
dominio está relacionada con la del rango o viceversa. Es decir, no tenemos evidencia
de que se esté realizando la coordinación entre las dos aproximaciones. Este es un caso
típico del comportamiento de los estudiantes que han construido la idea de
aproximación como proceso y la idea de coordinación está todavía vinculada a una
forma de conocer como acción. En este caso y, teniendo en cuenta que el concepto de
límite se construye sobre la idea de coordinación de aproximaciones y de ir obteniendo
cada vez mejores aproximaciones (concepción óptima), es por lo que consideramos
estos alumnos solo evidencia una concepción optima como acción.
103
4. Resultados
Mauro Mira López
Tabla 4.7. Repuesta de la pareja MB a la tarea 10.2
(Aproximaciones óptimas)
Tarea 10.2
Busca
algunos
valores
próximos a 7 ¿A qué distancia
están de 7 los valores f(x1),
f(x2), f(x3), f(x4)? Calcula las
valores x1, x2, x3, x4 ¿A qué
distancia están de 3 los valores
x1, x2, x3, x4?. Partiendo de la
aproximación de 6.51 a 7,
¿puedes
encontrar
alguna
aproximación “h” a 3, de forma
B: Tenemos que buscar una aproximación de “y” igual a 7 por la
que
la
derecha, y una aproximación de “x” a 3 también por la derecha, de
anterior?
manera que las aproximaciones que mejoren la distancia de “h” a 3,
aproximaciones
mejoren también la distancia de “k” a 7, o sea de “y” a 7, y habíamos
f(h)
aproximación
¿Cuántas
mejore
podrías encontrar? ¿Por qué?
cogido…menos ¿…bueno si tenemos aquí apuntado la que habíamos
cogido, 3.00127, y “y” vale 7.007621…
M: Nos vamos alejando un poco, vemos como se va alejando cada vez
la parte más pequeña… esto se hace infinitamente…
B: ¿Qué haces?
M: Puedo encontrar números más pequeños que esos, todos los que
quiera, infinitamente pequeños… ¿lo ves? ¿lo ves? ¿lo ves?
Los alumnos en este perfil, tampoco construyen la concepción métrica de límite
de una función dado que al no coordinar las aproximaciones óptimas como proceso, no
pueden coordinar las tendencias a cero de las distancias en el dominio y en el rango,
pues no son capaces de ajustar esas aproximaciones óptimas. Por ejemplo, MB en la
tarea 12 construyen la tabla conjunta de distancias pero no llegan a ninguna conclusión
sobre las tendencias de dichas distancias, y no coordinan las tendencias de las distancias
tal como se muestra en la tabla 4.8. Se produce una acción sin efecto relevante.
104
4. Resultados
Mauro Mira López
Tabla 4.8. Respuesta de la estudiante M a la tarea 12 en la interacción de la pareja MB.
(No coordinación de las tendencias de las distancias)
Tarea 12
M: La 1ª columna es “x”, la 2ª columna es |x-3|, la 3ª columna
Dada la función
es f(x) y la 4ª columna es | f(x)-7|
Haz una tabla conjunta con las
distancias entre los valores
próximos a x = 3 y entre los
valores próximos a f(x) = 7.
Observa conjuntamente hacia
qué
número
tienden
esas
distancias.
La trayectoria de aprendizaje de la pareja que pertenece a este perfil se muestra
en la Figura 4.2.
4.2.1. Significado de límite de una función construido por los estudiantes del
perfil 1
En esta sección describimos el significado de límite de una función construido
por cada uno de los estudiantes en la pareja MB del perfil 1. La descripción del perfil
de construcción nos ha permitido generar características comunes de cómo una pareja
estaba construyendo el significado, sin embargo, pudimos identificar diferencias en el
significado realmente construido por cada uno de ellos. Lo que demuestra la relación
que existe entre la dimensión social del aprendizaje (la trayectoria seguida para
construir los significados pretendidos) y la dimensión personal del aprendizaje (lo que
finalmente es realmente construido por cada una de los miembros de la pareja).
Los dos componentes de la pareja MB construyen el significado de límite desde
la concepción dinámica de límite, si bien la estudiante B tiene dificultades para
coordinar las tendencias laterales no coincidentes y, por lo tanto, no llega a conocer la
concepción dinámica de límite como objeto. Por su parte, el estudiante M coordina las
aproximaciones laterales coincidentes y no coincidentes en distintos modos de
representación y en contextos diferentes lo que nos lleva a afirmar que ha encapsulado
como objeto el significado de la concepción dinámica de límite de una función.
105
4. Resultados
Mauro Mira López
106
4. Resultados

Mauro Mira López
El significado de límite construido por el estudiante M
El estudiante M llega a conocer la concepción dinámica de limite como objeto.
Por ejemplo, M en el problema 2 del cuestionario 1, ante una tabla numérica de
sucesiones en el dominio y en el rango, establece la aproximación en el dominio
indicando que x se aproxima a 3 (apartado a), establece la tendencia en el rango ya que
responde que f(x) tiende a 15 (apartado b). Sin embargo, no describe el comportamiento
de la función en relación a la variable independiente pero sí indica que existe límite, 15,
apartado d. Incluso añade posibles puntos en el dominio y en el rango (Figura 4.3).
Figura 4.3. Respuesta del alumno M al problema 2
(Coordinación de aproximaciones cuando existe límite)
En un primer momento, el estudiante M tiene las mismas dificultades que la
estudiante B, en su interacción, para construir como proceso la concepción dinámica de
límite cuando los límites laterales no coinciden. Por ejemplo, en el problema 3 del
cuestionario 1 (Figura 4.4), donde no existe límite, M establece la aproximación en el
dominio al indicar que “x se acerca a 4 por la izquierda y por la derecha” (apartado a) y
107
4. Resultados
Mauro Mira López
la tendencia en el rango al indicar que “L se acerca 15,5 por la derecha [izquierda] y a
14 por la derecha” (apartado b). También coordina las aproximaciones laterales en el
dominio con las tendencias correspondientes en el rango dado que responde al apartado
c, diciendo, “cuando x tiende a 4 por la izquierda f(x) tiende a 15.5 por la izquierda y
cuando x tiende a 4 por la derecha f(x) tiende a 14 por la derecha”. Sin embargo,
concluye de manera errónea que la función tiene límite cuando “x→4”, indicando que el
límite es 14. No obstante, en su respuesta al apartado a del ejercicio 2 del cuestionario 2
(Figura 4.4) indica que “al no tender por ambos lados al mismo número no tiene límite”.
Este comportamiento dispar ante cuestiones del mismo tipo pueden ser entendidas como
que la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango cuando las
tendencias de la función no coinciden no ha sido bien construida.
Figura 4.4. Respuesta del estudiante M al problema 3 del cuestionario 1
(Coordinación de aproximaciones cuando no existe límite)
Sin embargo, hay evidencias de que el estudiante M ha construido el significado
de la concepción óptima de limite como acción, pero la concepción métrica no lo
108
4. Resultados
Mauro Mira López
construye. Este estudiante no coordina las aproximaciones óptimas. Por ejemplo, en el
apartado b del ejercicio 1 del cuestionario 2, en el que existe límite para calcular las
aproximaciones óptimas, elige solo dos puntos que llama x1 = 1.007937 y
x2 = 0.995312, próximos al punto x = 1 por la derecha y por la izquierda
respectivamente, halla sus distancias, |1.007937-1| = 0.00793, |0.995312-1| = 0.00487 y
las relaciona con el cálculo de las distancias de f(x1) = 0.705708 y f(x2) = 0.7070678 al
límite 0.7, que le da |0.705708 -0.7| = 0.005708, |0.7070678-0.7| = 0.0070678 (Figura
4.5). Al no tener más evidencias de que haya interiorizado esta coordinación de las
aproximaciones a cero generadas en el dominio y en rango entendemos que solo hay
una manifestación de conocer la concepción óptima como acción.
Figura 4.5. Respuesta del estudiante M al ejercicio 1, apartado b, del cuestionario 2
Al no coordinar las aproximaciones óptimas como proceso, no puede coordinar
las tendencias a cero de las distancias en el dominio y en el rango, puesto que no están
ajustando esas aproximaciones óptimas. En su respuesta al apartado c del mismo
ejercicio 1, para hallar el límite por aproximación métrica, vuelve a coordinar solo
cuatro aproximaciones con sus tendencias laterales que calcula y no halla las distancias
al punto y al límite, por lo que podemos entender que el significado dado a la
concepción métrica es como una acción
109
4. Resultados

Mauro Mira López
El significado de límite construido por la estudiante B
La estudiante B ha construido la concepción dinámica de límite como objeto
pero tiene dificultades cuando las aproximaciones y las tendencias laterales no son
coincidentes. Por ejemplo, en su respuesta al problema 4 del cuestionario 1 (Figura 4.6),
donde las aproximaciones en el dominio y las tendencias en el rango coinciden,
establece sucesiones numéricas en el rango a través de la función, al completar la tabla;
indica las aproximaciones en el dominio y tendencias en el rango, al completar que x
tiende a 2 por la derecha y por la izquierda y f(x) a 0.25, respectivamente y coordina las
aproximaciones al establecer el límite, apartado b.
Figura 4.6. Respuesta de la alumna B al problema 4 del cuestionario 1
Sin embargo, esta estudiante B no ha sido capaz de superar las dificultades para
establecer las tendencias laterales en el rango cuando éstas no coinciden que se pusieron
de manifiesto en su interacción con M. Por ejemplo, la estudiante en su respuesta al
problema 3 del cuestionario 1 (Figura 4.7), donde las aproximaciones laterales en el
dominio coinciden pero las tendencias laterales en el rango no, es capaz de establecer
las aproximaciones laterales coincidentes en el dominio, 4, y sin embargo, indica que las
tendencias laterales es 14, cuando en realidad son 15.5 por la izquierda y 14 por la
derecha.
110
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.7. Respuesta de la estudiante B al problema 3 del cuestionario 1
Esta estudiante tampoco es capaz de construir el significado de límite para la
concepción óptima y métrica pues el concepto de límite se construye sobre la idea de
coordinación de aproximaciones óptimas y de ir obteniendo cada vez mejores
aproximaciones y concluyendo que sus distancias tienden a cero y la alumna B, al igual
que su compañero M, solo se aproxima al punto, pero no halla sus distancias, aunque sí
las distancias al límite de sus imágenes cuando las hay, y cuando no existen las calcula
en relación a las distancias de los límites laterales. Por ejemplo, en el ejercicio 2
(Cuestionario 2), apartado b, donde no existe límite de la función en el punto x = 1
(Figura 4.8), la alumna B no coordina las aproximaciones óptimas. Para resolver el
problema elige dos puntos por la izquierda, x1 = 0.9897959, x2 = 0.9285714, y otros dos
por la derecha, x3 = 1.397959 y x4 = 1.22449, próximos al punto x = 1, pero no halla
sus distancias al punto. Sin embargo, sí calcula las distancias de sus imágenes a los
límites laterales (-0.05 y 2), observados por aproximación dinámica, escribiendo los
siguientes resultados |-0.04989588 - 0.05| = 0.00010412, |-0.04489796 - 0.05| =
0.00510204, |2.785918 - 2| = 0.795918, |2.44898 - 2| = 0.44898. En el ejercicio 1 que
hay límite hace lo mismo. Es decir, genera las sucesiones pero no indica nada en
relación a la existencia de límite.
111
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.8. Respuesta de la alumna B al ejercicio 2, apartado b, del Cuestionario 2
Esta alumna tampoco construye el significado de la concepción métrica de
límite. En los dos ejercicios del cuestionario 2, ante la pregunta de si existe límite por
aproximación métrica, su respuesta consiste en buscar aproximaciones por ambos lados
al punto del dominio y comparar sus tendencias. No construye tablas de distancias
próximas a “x” y “f(x)”.
Los dos componentes de la pareja MB, solo llegan a construir el significado de
la concepción dinámica de límite de una función si bien la alumna B solo construye
como proceso dado las dificultades que tiene para coordinar las tendencias laterales no
coincidentes. El alumno M coordinó las aproximaciones en el dominio y el rango
cuando las tendencias de la función eran no coincidentes, por lo que entendemos que
construyó la concepción dinámica de limite como objeto pero solo como acción desde la
aproximación óptima.
112
4. Resultados
Mauro Mira López
4.3. Perfil 2: Desde la concepción dinámica de limite como objeto a la concepción
óptima como proceso
En este perfil hay dos parejas, LI y JC. Estas parejas construyen el significado
de límite encapsulando la concepción dinámica en objeto e interiorizando la concepción
óptima en proceso. Encapsular la concepción dinámica de límite en objeto la realizan
igual que el perfil 1, es decir:

Estableciendo aproximaciones numéricas a un punto.

Construyendo sucesiones de aproximación en el dominio e identificando
tendencias en el rango primero como acción y luego como proceso

Interiorizando en un proceso la coordinación de las aproximaciones en el
dominio con las tendencias en el rango

Extendiendo la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango a
funciones con diferentes casuísticas (encapsulando como objetivo la concepción
dinámica)
En relación a la concepción óptima, inicialmente calculan distancias entre
valores próximos a un punto (diferencias en valor absoluto) y construyendo sucesiones
de estas diferencias en el dominio y, a través de la función, en el rango. La construcción
de estas aproximaciones la realizan, en un primer momento, como una acción dado que
establecen un número finito de aproximaciones en el rango y en el dominio, pero
posteriormente, las van mejorando con el cursor, como se observa en el ángulo inferior
izquierdo, resaltado en rojo, donde el ajuste de aproximaciones y tendencias es mejor y
con más decimales. Por ejemplo, la pareja LI en su respuesta a la tarea 10.2 (Tabla 4.9),
calculan distancias en el rango, y alternan por la derecha e izquierda estableciendo solo
un número finito de secuencias.
Tabla 4.9. Respuesta de la pareja LI a la tarea 10.2
(Aproximaciones Óptimas como Acción)
I: Podemos coger 4 valores aproximados por la derecha
Tarea 10.2
a) Busca algunos valores con el
o por la izquierda…por la derecha
L: 7.37
cursor en el Derive, próximos a 7
I: Hay que hacerlo exacto ¿no? Yo creo que sí, porque
y les llamas f(x1), f(x2), f(x3),
luego te pide a que distancia está, entonces hay que
f(x4). ¿A qué distancia están de 7
cogerlo con todos los decimales, no pero tanto no, no
los valores f(x1), f(x2), f(x3),
puedes, tiene que ser 7 con algo… mira vamos a empezar
113
4. Resultados
f(x4)?
b) Calcula las valores x1, x2, x3, x4
Mauro Mira López
con ese que es más pequeño… venga, vete a la página
principal
con el Derive. ¿A qué distancia
están de 3 los valores x1, x2, x3,
x4 ?
I: f(x1)= 7.061329
⎮7.061329 - 7⎮ = 0.061329
Al calcular la distancia entre 7 y f(x1) nos sale una
distancia de 0.061329 f(x2)= 7.371095
Al calcular la distancia entre 7 y f(x2) nos sale una
distancia de 0.371095 f(x3)=7.686068
Al calcular la distancia entre 7 y f(x3) nos sale una
distancia de 0.686068
L: ¿Le damos todas por la izquierda?
I: No, estas son por la derecha, vamos a coger una por la
izquierda, porque si no se nos pasa, ya no podemos.
L: f(x4)=6.457414. Al calcular la distancia entre 7 y
f(x4) nos sale una distancia de 0.542586
Posteriormente, los estudiantes son capaces de pensar en un número infinito de
elementos de la sucesión lo que evidencia el mecanismo de interiorización de la idea de
aproximación conocida como acción para convertirse en un proceso. Es decir, pueden
encontrar un número infinito de aproximaciones óptimas en el domino y en el rango,
construyen aproximaciones óptimas como un proceso. Por ejemplo, la pareja JC, ante la
pregunta ¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar?, de la tarea 10.2 (Tabla 4.10)
responde… “Infinitas porque puedes sumar [añadir] infinitos números decimales y por
lo tanto se acercaría más, 2.87, pues 2.871 se acerca más, 2.8711 se acercaría más y así
114
4. Resultados
Mauro Mira López
consecutivamente.
Tabla 4.10. Respuesta de la pareja JC a la tarea 10.2
(Aproximaciones Óptimas como Proceso)
C: 2.87 porque lo hemos comprobado en la tabla.
Tarea 10.2
Partiendo de la aproximación de 6.51
a
7,
¿puedes
encontrar
alguna
aproximación “h” a 3, de forma que
f(h) mejore la aproximación anterior?
¿Cuántas
aproximaciones
podrías
encontrar? ¿Por qué?
C: Infinitas porque puedes sumar infinitos números
decimales y por lo tanto se acercaría más, 2.87, pues
2.871 se acerca más, 2.8711 se acercaría más y así
consecutivamente.
Una vez que las parejas han sido capaces de establecer aproximaciones óptimas
como proceso, coordinan aproximaciones óptimas en el dominio y en el rango, a través
de la función. Por lo que entendemos que, construyen la concepción óptima de límite de
una función como proceso. Esto se evidencia ya que al establecer un valor K próximo al
límite L en el rango, encuentran aproximaciones óptimas en el domino, tal que al
considerar valores de x más próximos a “x=a”, los valores f(x) están más próximos a L
que la cota K. Por ejemplo, la estudiante I de la pareja LI, al resolver la tarea 10.2
(Tabla 4.11) le dice a la estudiante L… “Nos vamos a la función y vamos a utilizar el
cursor para aproximarnos a 7 por la derecha, por lo que tienen que ser valores mayores
a 7 y vamos a intentar buscar la aproximación a 7 por la derecha de manera que
también se aproxime lo mayor, lo más posible a 3. ¿Puedes seguir bajando a 7? Dale al
zoom, a ver si nos deja aproximarnos más. ¿Lo ves? La aproximación que hemos dado
de h por la derecha es 3.000214 y la aproximación que hemos dado de f(h) por la
derecha es 7.001286, de manera que la “h” tiende a 3 por la derecha y está muy
próximo al 3 y la f(h) también está más próximo a 7 que otros valores. Este protocolo
muestra cómo coordinan las aproximaciones desde el rango al dominio, en un claro
ejemplo de fenómeno de retroalimentación como asociación doble intuitiva.
115
4. Resultados
Mauro Mira López
Tabla 4.11. Respuesta de la pareja LI a la tarea 10.2
(Concepción Óptima como Proceso)
Tarea 10.2
¿A qué distancia has encontrado la
aproximación “h” a 3 que mejora
las aproximaciones de sus imágenes
al límite L = 7?
Fija
ahora,
una
nueva
aproximación, “K+” a 7 por la
derecha,
y
encuentra
una
aproximación “h” a 3, también por
la derecha, de manera que las
aproximaciones que mejoren la
distancia de “h” a 3, mejoren
también la distancia de “K+” a 7.
L e I: Hemos cogido las siguientes distancias: h=2.99898,
f(h)=6.99318. La distancia de h a 3 es de 0.00102. La
distancia de f(h) a 7, nos sale una aproximación de 0.00682
al aproximar f(h) a 7
I: Nos vamos a la función y vamos a utilizar el cursor para
aproximarnos a 7 por la derecha, por lo que tienen que ser
valores mayores a 7
y vamos a intentar buscar la
aproximación a 7 por la derecha de manera que también se
aproxime lo mayor, lo más posible a 3. ¿Puedes seguir
bajando a 7? Dale al zoom, a ver si nos deja aproximarnos
más. ¿Lo ves?
Es que si le damos más al zoom pues permite aproximarnos
más al 7, a 7 por la derecha y a 3 por la derecha también.
La aproximación que hemos dado de h por la derecha es
3.000214 y la aproximación que hemos dado de f(h) por la
derecha es 7.001286, de manera que la “h” tiende a 3 por la
derecha y está muy próximo al 3 y la f(h) también está más
próximo a 7 que otros valores.
L: Yo pienso que era de lógica, ya que si disminuye una
distancia, la otra también tiende a disminuir.
I: Sí, que cuanto más cerca esté la “h” del 3, lo estará la
f(h) del 7.
116
4. Resultados
Mauro Mira López
Reiterar esta coordinación en aproximaciones óptimas más finas (ajustadas) que
hacen con el cursor del programa, tanto en la gráfica como en los datos numéricos
marcados en la tabla 4.11 con elipses rojas, llevaría a los estudiantes a construir como
objeto la concepción óptima de límite. Sin embargo, esta reiteración no se observa en
ninguna de las tareas propuestas, si bien aunque al hacer la coordinación dando unos
entornos, se podría deducir que habría más aproximaciones y más entornos cuando
existe el límite, no hay una afirmación en tal sentido registrada.
Dado el carácter anidado de la trayectoria hipotética de aprendizaje planteada en
el módulo de aprendizaje, las parejas solo han sido capaces de construir el significado
de límite óptimo como proceso, pero también han iniciado la construcción del
significado de la concepción métrica del concepto de límite. Las dos parejas
pertenecientes a este perfil dado que han construido sucesiones de distancias (producto
de las aproximaciones óptimas) en el dominio y, a través de la función, en el rango, son
capaces de establecer las tendencias a cero, en el dominio y en el rango. Una evidencia
de esta construcción la encontramos en la resolución de la tarea 12.
Por ejemplo, la pareja JC en su resolución a la tarea 12 (Tablas 4.12) hacen una
tabla conjunta de distancias y aunque hacen una aproximación demasiada grosera, la x
va de 2.9 a 3.1 y toman como valor de la variable el valor 7 que se resta a f(x),
responden bien a la tendencia de las distancias “Ambas distancias conforme nos
acercamos a 7 y 3, tienden a 0...”.
Tabla 4.12. Respuesta de la pareja JC a la tarea 12
(Tendencias a cero como proceso)
Tarea 12
C: Esta sería la tabla, valores, distancia, valores, distancia…
Dada la función
Haz una tabla conjunta con las
distancias
entre
los
valores
próximos a x = 3 y entre los
valores próximos a f(x) = 7.
Observa conjuntamente hacia qué
número tienden esas distancias.
117
4. Resultados
Mauro Mira López
J y C: Ambas distancias conforme nos acercamos a 7 y 3,
tienden a 0.
Las parejas de este perfil no son capaces de coordinar las distancias a cero en el
dominio con las distancias a cero en el rango, pues si bien cuando en la tarea 12 se les
pregunta si hay límite por aproximación métrica, el estudiante C responde… “Sí, ya que
cuando nos acercamos a 3 por la izquierda o por la derecha tiende siempre a”, lo que
nos plantea dudas sobre si el concepto dinámico de límite prevalece en este caso, o están
coordinando esas distancias. Sin embargo, estas parejas al resolver la tarea 13 o bien no
hacen las tablas, pareja JC, o cuando las hacen, pareja LI (Tabla 4.13), responden
siempre desde la concepción dinámica de límite. LI, en primer lugar, dibujan la función
y observan que no hay límite, posteriormente, la no existencia de límite la confirman en
las tablas de aproximaciones laterales. Finalmente, aunque en la tabla conjunta se
observan las distancias de |x-a| y |f(x)-L| no dicen nada al respecto. La han realizado
como mero objetivo de la actividad, sin reflexionar sobre ella. Tampoco hacen ningún
comentario de los datos obtenidos al hacer tablas, a partir del valor -1 dado al límite L
que no existe. El valor dado, -1, está entre 0 y -2 que son las tendencias laterales,
resaltado en rojo. Estos datos le deberían haber hecho reflexionar acerca de que las
distancias no tienden a cero, lo que es patente en la tabla
118
4. Resultados
Mauro Mira López
Tabla 4.13. Respuesta de la pareja LI a la tarea 13
Tarea 13
Dadas las funciones
2x  4  2
f ( x) 
x 1 1
 x 2  2, si x  0
g ( x)  
 2 x, si x  0
Halla el límite si lo hay
de
dichas
cuando x0,
mismo
funciones
por
el
procedimiento
anterior
(métrico),
observando a que tienden
las distancias.
Justifica tus respuestas, y
expresa
el
resultado
matemáticamente.
Es importante enfatizar que en la tarea no hay ninguna sugerencia o referencia
explícita a qué el límite a calcular se debe hacer por aproximación métrica, dado que
suponíamos que los alumnos podrían deducir las tendencias de las distancias y eso les
haría “descubrir-construir” un nuevo concepto de límite por vecindad de tablas
numéricas más que de gráficas, confirmando lo que dice Prezenioslo (2004) “que la
concepción de límite unida a la aproximación de sus valores es más eficiente que la
idea basada en la aproximación de puntos de la gráfica”. En cualquier caso, en el
capítulo de conclusiones nos cuestionamos si faltan uno o varios apartados como los
prompts de las tareas previas haciendo alusión explícita o completándolos con frases
como “que cuando esas distancias tienden a 0, decimos que hay límite por aproximación
métrica”.
La trayectoria de aprendizaje de las parejas que pertenece a este perfil se muestra
en la Figura 4.9.
119
4. Resultados
Mauro Mira López
120
4. Resultados
Mauro Mira López
4.3.1. Significado de límite de una función construido por los estudiantes del perfil
2
En este apartado describimos el significado de límite de una función construido
por cada uno de los estudiantes de las dos parejas JC y LI del perfil 2 ya que hemos
identificado diferencias en el significado construido por cada uno de los componentes
de las parejas. Lo que refuerza el nexo entre la dimensión social del aprendizaje y la
dimensión personal del aprendizaje.
Los cuatro componentes de las parejas construyen el significado de límite desde
la concepción dinámica de límite. Si bien cabe señalar que la estudiante J tiene
dificultades cuando las tendencias laterales no son coincidentes al igual que la
manifestación de la existencia de límite en el modo gráfico. Mientras que los estudiantes
C e I han conseguido construir la concepción dinámica como un objeto que
desencapsulan en contextos diferentes y han construido la concepción métrica como
proceso.

Lo construido sobre el significado de límite por J
La estudiante J construye el significado la concepción dinámica de límite como
objeto tanto cuando existe el límite como cuando no existe. Por ejemplo, en el problema
2, del cuestionario 1, en el que existe límite, la alumna coordina las aproximaciones con
las tendencias diciendo “x se acerca a 3 tanto por la derecha como por la izquierda, f(x)
se acerca a 15 tanto por la derecha como por la izquierda” y completa la descripción
del comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la variable x,
afirmando “su comportamiento en x es que hay límite”. Por tanto, construye el
significado de límite desde la concepción dinámica como un objeto al coordinar las
aproximaciones en el dominio y en el rango si bien hace un uso inadecuado del
simbolismo matemático no es correcto. (Figura 4.10).
121
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.10. Respuesta de J al problema 2 del Cuestionario 1
La estudiante J construye el significado de la concepción dinámica de límite de
una función como objeto al comparar las tendencias en tablas y gráficas. Para resolver
el apartado a del ejercicio 1 (Figura 4.11) hace una gráfica de la función f(x)=1/(√x+1),
en vez de la de la función f(x) = 1/(√(x+1)), que realizó con el programa Derive, y
después escribe “…la función cuando x tiende a 1 por la izquierda, tiende a limx→1f(x)=0.5,
…la función cuando x tiende a 1 por la derecha, tiende a limx+→1f(x)=0.5”,
coordinando las aproximaciones con las tendencias con algún desliz en el lenguaje
formal matemático. Finalmente, compara esas tendencias laterales. No llega a concluir
de manera clara que el límite cuando x→1 es 0.5 de manera global. Parece más una
omisión que un error conceptual, porque en el ejercicio 2, que no existe límite en la
función dada, responde de una manera confusa al principio…“No existe límite en los
límites laterales” para afirmar finalmente...“ya que cuando x→1 tanto por la izquierda
como por la derecha f(x) no tiene límite”.
122
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.11. Respuesta de J al ejercicio 1, apartado a, del Cuestionario 2
Sin embargo, esta alumna no construyó el significado de la aproximación óptima
dado que en ejercicio 1, apartado b, del cuestionario 2, solo realiza como acción
distancias en el dominio. Además, en el ejercicio 1, apartado c, donde existe límite,
(Figura 4.12) dice “Conforme me acerco a 1 tanto por la derecha como por la izquierda
las distancias son cada vez menores y en f(x) tienden ambas a 0.5”, lo que nos hace
suponer que las distancias que cita hacen referencia a las tendencias, en consecuencia,
está resolviendo el problema desde la concepción dinámica, aunque haya un momento
que nombra las distancias al punto, después en el mismo ejercicio, cuando comenta…
“Para comprobar esas distancias cuando me acerco a 1 he introducido en el vector
(procedimiento informático para hacer tablas numéricas) unos valores pero he partido
de [x, | 3-x|]” habla de las distancias de x a 3, pero no de las de f(x) al límite y acaba
otra vez con las tendencias laterales, por lo que no infiere las tendencia de las distancias.
123
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.12. Respuesta de J al ejercicio 1, apartado c, del Cuestionario 2

Lo construido sobre el significado de límite por C
El estudiante C construye el significado de la concepción dinámica de límite de
una función como objeto, la concepción optima como objeto y la concepción métrica
como proceso.
En relación al significado de límite de una función como concepción dinámica,
C, lo conoce como objeto en distintos modos de representación de la función y con
distintas casuísticas. Por ejemplo, en el problema 3 del cuestionario 1, modo numérico,
(Figura 4.13), donde la función dada no tiene límite, establece la aproximación en el
dominio al contestar “x se acerca a 4”, apartado a, la tendencia de la función al indicar
que f(x) “se acerca por la izquierda a 15.5 y por la derecha a 14”, coordina las
aproximaciones con las tendencias dibujando unos ejes cartesianos sin función que fijan
los valores de aproximación y tendencia, evidenciando claramente la coordinación que
124
4. Resultados
Mauro Mira López
completa diciendo “irregular, no tiene límite”, apartado c. Termina el ejercicio,
indicando que no existe límite a través del símbolo matemático no existe.
Figura 4.13. Respuesta de C al problema 3 del Cuestionario 1
En modo algebraico, también ha construido el significado de límite desde la
concepción dinámica como objeto. El estudiante C, para establecer la tendencia de una
función a través de su expresión algebraica, problema 4 del cuestionario 1 (Figura 4.14),
completa una tabla horizontal numérica calculando las diferentes secuencias en el
dominio y en el rango, para posteriormente coordinar las aproximaciones y establecer el
límite de la función, indicando que .el límite de la función cuando x tiende a 2 es 0.25.
Figura 4.14. Respuesta de C al problema 4 del Cuestionario 1
125
4. Resultados
Mauro Mira López
En modo gráfico, el estudiante C también construye el significado de límite
desde la concepción dinámica dado que coordina las aproximaciones en el dominio y en
el rango de diferentes funciones tanto cuando tienen límite como cuando no lo tienen.
Además diferencia el valor de la función en el punto con el valor del límite. Un ejemplo
de esta construcción la encontramos en su respuesta al problema 6 (Figura 4.15). C halla
el valor de las cuatro funciones gráficas en un punto dado, calcula los límites laterales y
el límite global a través de lenguaje matemático.
Figura 4.15. Respuesta de C al problema 6 del Cuestionario 1
Además, ante la pregunta de que cómo explicaría a una compañera de clase que
el límite de una función cuando x tiende a xo es L (problema 7 del cuestionario 1, Figura
4.16) indica “Cuando x tiende a 2 [ejemplifica el punto] tanto por la izquierda como
por la derecha el valor en f(x) de esas tendencias, deben tender tanto por la izquierda
como por la derecha a un número, que debe ser el mismo. Si esto no sucede no hay
límite.
126
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.16. Respuesta de C al problema 6 del Cuestionario 1
Por último, cabe señalar una característica de la construcción realizada por el
estudiante C en relación al significado de la concepción dinámica de límite. El
estudiante construyó el significado de límite de una función cuando x tiende a más
infinito tal como evidencia su respuesta a la pregunta “qué temperatura alcanzará a los
80.1, 80,01, 80,001,…”, apartado c del problema 9, cuestionario 1 (Figura 4.17), en la
que se lee “21.9, 21.99, 21.999, etc…Existe asíntota” en la que constata que hay
tendencia hacia 22o y que no lo alcanzará. Esta respuesta parece indicar que se ha
producido una regularidad en fase de anticipación.
Figura 4.17. Respuesta de C al problema 6 del Cuestionario 1
127
4. Resultados
Mauro Mira López
El estudiante C también construye el significado de la concepción óptima como
proceso como se observa en la respuesta que da al ejercicio 1, apartado b del
cuestionario 2 (Figura 4.18). C elige una aproximación de 0.9 hacia 1, calcula f(0.9) y
obtiene 0.51, después observa la distancia al límite que es 0.5 y le da |0.51-0.5|= 0.01
apostillando… “Para mejorar esta aproximación, buscamos un valor en “y” más
cercano a 0.5, es decir, que su diferencia con 0.5 en valor absoluto sea menor a 0.1”.
Posteriormente, propone una mejor aproximación que 0.9 como es 0.93 y va observando
que mejora la aproximación en el rango ya que f (0.93)= 0.509 y |0.509-0.5|=0.003,
dado que ésta se próxima más al límite que la anterior. Esa coordinación como proceso
se itera nuevamente en la otra función del ejercicio 2 donde no hay límite. El alumno ha
construido como proceso la aproximación óptima en el dominio y en el rango porque ha
ido fijando cotas de proximidad en el rango coordinadas con mejores cotas en el
dominio, sin embargo, no se evidencia que extienda esas coordinaciones a más cotas y
más ajustadas para llegar a la concepción óptima como objeto ni que concluya que esas
aproximaciones se van haciendo tan buenas que dan lugar al límite por aproximación
óptima.
Figura 4.18. Respuesta del alumno C al apartado b del ejercicio 1 del cuestionario 2
128
4. Resultados
Mauro Mira López
Finalmente, el estudiante C construye la concepción métrica de límite como
proceso. En el ejercicio 1, apartado c, del cuestionario 2 (Figura 4.19) pone de
manifiesto que “La aproximación métrica es igual a la óptima pero observando las
tendencias de las distancias. Por la izquierda tiende a 0 y por la derecha también”. El
alumno infiere las tendencias a cero en el dominio y en el rango de las aproximaciones
óptimas, y las coordina a través de la función.
Figura 4.19. Respuesta del alumno C al ejercicio 1 del cuestionario 2

Lo construido sobre el significado de límite por L
La estudiante L ha construido la concepción dinámica como objeto coordinando
aproximaciones en el dominio y en el rango en diversas funciones con y sin límite y en
distintos modos de representación. También construye el significado de la concepción
óptima como proceso. En modo numérico construye como objeto la concepción
dinámica de límite de una función representada numéricamente. En el problema 3,
cuestionario 1, observa que no coinciden las tendencias al indicar que las
aproximaciones…“Por la izquierda se acerca a 4 y por la derecha también”, y en las
tendencias…“Por la izquierda se aproxima a 15.5 y por la derecha 14”. y concluye
“No hay límite” (Figura 4.20).
129
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.20. Respuesta de L al problema 3 del Cuestionario 1
En modo algebraico, la estudiante L ha construido el significado de la
concepción dinámica de límite como objeto. En el problema 4, del cuestionario 1
(Figura 4.21), establece la aproximación de la x por la izquierda y por la derecha
indicando que tiende a 2- y a 2+, respectivamente, las tendencias de f(x) por la izquierda
y por la derecha, una vez calculadas las imágenes, indicando que tiende a 0,25 y
completa bien el límite.
Figura 4.21. Respuesta de L al problema 4 del Cuestionario 1
Por último, la estudiante L parece que ha encapsulado como objeto el significado
de la concepción dinámica de límite como se evidencia en los ejercicios 1 y 2 del
cuestionario 2 en los que compara las tendencias en tablas y gráficas con el cursor. En el
ejercicio 1 que hay límite (Figura 4.22), indica…“No hace falta hacer la otra tabla
porque se ve claramente que existe límite por aproximación dinámica porque cuando te
acercas a x→1+- [por la derecha y por la izquierda], f(x)→0.5”, coordinando
130
4. Resultados
Mauro Mira López
aproximaciones con las tendencias con algún pequeño error en el lenguaje formal
matemático.
Figura 4.22. Respuesta de L al ejercicio 1 del Cuestionario 2
Por su parte, en el ejercicio 2, donde la función no tiene límite (Figura 4.23),
afirma…“Para concluir se puede decir que esta función no tiene límite por
aproximación dinámica porque la g(x) no tiende a lo mismo cuando x→1+ - [por la
derecha y por la izquierda]”.
131
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.23. Respuesta de L al ejercicio 1 del Cuestionario 2
La estudiante L también construyó el significado de la concepción optima del
límite como proceso. Esta estudiante, en el apartado b, del ejercicio 1 del cuestionario 2,
coordina aproximaciones óptimas en el dominio y en el rango, a través del cursor, al
acercarse al punto con el zoom y al indicar “Para acercarte cuando x→1+ vamos a ver
la gráfica para poner el cursor y elegir el valor más cercano a 1+. El punto más
cercano cuando x→1+ es (1.00102, 0.499875). Ahora vamos a mirar el punto más
cercano cuando x→1- que es (0.999795, 0.5000255). La estudiante, con el recurso
tecnológico del cursor, observa en la gráfica las aproximaciones óptimas al punto
coordinándolas en el dominio y en el rango por la derecha e izquierda como un proceso
hasta asegurar la tendencia, fijando cotas de acercamiento que mejoren las anteriores
hasta que su proximidad le satisface y su reflexión sobre la actividad le hace decir
…“Después de escoger el punto más cercano a x cuando tiende a 1+- el resultado es que
hay límite por aproximación óptima” lo que evidencia el significado de límite de una
función como proceso desde la concepción óptima de límite (Figura 4.24).
132
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.24. Respuesta de L al apartado b del ejercicio 1 del Cuestionario 2
Sin embargo, la estudiante L no construye el significado de la concepción
métrica de límite de una función. La estudiante no hace referencia nunca a las tablas de
las distancias y siempre responde desde la concepción dinámica.
.

Lo construido sobre el significado de límite por I
La estudiante I construyó el significado de la concepción dinámica de límite
como objeto, desencapsulándolo en distintos contextos y en dos modos de
representación, algebraico y gráfico. En modo numérico presenta dificultades en
establecer las tendencias coincidentes y no coincidentes. También construyó la
concepción óptima y métrica como acción.
Esta estudiante establece las aproximaciones laterales en el dominio y las
tendencias en el rango, coordinándolas como se observa en su respuesta al problema 4
del cuestionario 1 (Figura 4.25). La estudiante I completa la aproximación de la x por
la derecha y la izquierda, 2, y calcula, a través de la expresión algebraica de la función,
las diferentes secuencias en el rango que le permiten establecer la tendencia de f(x),
0.25, para después coordinar las aproximaciones y establecer el límite de la función.
133
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.25. Respuesta de I al problema 4 del Cuestionario 1
En modo gráfico la estudiante I también coordina las aproximaciones en el
dominio y tendencias en el rango de funciones con límite y sin él, como evidencia su
respuesta al problema 6, del cuestionario 1 (Figura 4.26) donde se le dan 4 funciones
gráficas de las que tiene que hallar el valor de la función en el punto, los límites
laterales y el límite global.
Figura 4.26. Respuesta de I al problema 6 del Cuestionario 1
134
4. Resultados
Mauro Mira López
Sin embargo, tiene dificultades para establecer las tendencias coincidentes en
modo numérico. En el problema 2, del cuestionario 1 (Figura 4.27), la estudiante al
establecer las tendencias laterales, apartado b, escribe “la f(x) tanto por la izquierda
como por la derecha se acerca a 14 [tiende a 15]” y cuando describe el comportamiento
de la función en el apartado c, afirma “Existe límite, cuando x+→3, f(x)+→14, x-→3,
f(x)-→14 por lo tanto hay límite”.
Figura 4.27. Respuesta de I al problema 2 del Cuestionario 1
También tiene dificultades en establecer las tendencias laterales no coincidentes,
en el problema 3, cuestionario 1 (Figura 4.28), donde no hay límite en la función dada.
La estudiante I establece a qué número se acerca x, “Se acerca a 4”, y establece las
tendencias laterales de f(x) erróneamente al indicar que “x+→4, f(x)+→14, x-→4, f(x)→16 [f(x)+14 y f(x)-15.5]”, posteriormente, coordina las aproximaciones y
tendencias diciendo “Por lo tanto como la x tiende a 4 por la derecha y por la izquierda
la f(x) no tiende al mismo número, no existe límite. Por aproximación dinámica
observamos que no existe límite”.
135
4. Resultados
Mauro Mira López
Figura 4.28. Respuesta de I al problema 3 del Cuestionario 1
La estudiante I describe el significado de límite desde la concepción dinámica en
lenguaje verbal cuando al preguntarle cómo explicaría dicho concepto a una compañera
que no ha venido a clase, problema 7, cuestionario 1 (Figura 4.29) indica “Cuando la x
se acerca a x0 por la derecha la y tiende a L, Cuando la x se acerca a x0 por la
izquierda la y tiende a L. Pues cuando la x se acerca por ambos sentidos a x0 y la f(x)
tiende por ambos sentidos a L se dice que hay límite”.
Figura 4.29. Respuesta de I al problema 7 del Cuestionario 1
En relación a la concepción optima de límite, la estudiante I construye solo
aproximaciones optimas en el dominio y solo desde un cómputo finito dado que solo
136
4. Resultados
Mauro Mira López
escoge tres valores para acercarse al punto, por ejemplo, en el apartado b del ejercicio 1,
cuestionario 2 (Figura 4.30), después de elegir los tres valores, calcula las distancias y
elige el valor óptimo tal como describe ella misma…“Tres valores de x, 1.2, 1.44, 1.59,
que he escogido, próximo a 1 por la derecha, ahora hallo las distancias |1.2-1| = 0.2 ,
|1.44-1| = 0.44 |1.59-1| = 0.59. El valor que más se acerca 1 es 1.2, porque su distancia
a 1 es 0.2, y está más cerca. La aproximación más óptima a 1 es 1.2 entre los 3 valores,
porque es la menor distancia”. En consecuencia, no coordina dado que no hace las
aproximaciones óptimas en el rango.
Figura 4.30. Respuesta de la alumna I al apartado b del ejercicio 1 del cuestionario 2
Esta dificultad en coordinar las aproximaciones de las diferencias |x-a| y |f(x) -L|
que reflejan conocer la concepción optima como acción, tiene consecuencias en relación
a la concepción métrica.
La estudiante I construye la concepción métrica de límite como acción. Esta
estudiante en el ejercicio 1 del cuestionario 2 (Figura 4.31) indica que ha hecho una
tabla con el programa derive, tabla que no incluye, en ella aprecia que la distancia de x
cuando tiende a 1, tiende a cero. Sin embargo, tiene dificultades a la hora de establecer
que las distancias de f(x) al límite tienden a cero, dificultad que indica diciendo… “He
137
4. Resultados
Mauro Mira López
hecho una tabla de la distancia de la x cuando tiende a 1, la distancia tiende a cero,
pero cuando la f(x)→ 0.7071067811, la distancia tiende a un valor muy pequeño
0.0000000000874, pero no tiende a 0”. Ante la extrañeza, reflexiona sobre su actividad
y sigue…“Voy a comprobarlo mejor dando un salto más pequeño por si sí que tiende a
0” y concluye “He hecho la tabla con un salto más pequeño y he llegado a la misma
conclusión que cuando la x→ 1, la distancia tiende a 0 y cuando la f(x)→
0.7071067811, la distancia tiende a un número muy cercano, pero no es cero. Por lo
tanto como las distancias no tienden las 2 a 0, no existe límite por aproximación
métrica”. Tiene un error de proceso en el cómputo infinito y ha fijado la tendencia
como un valor que se alcanza a pesar de la aproximación al 10-11 que nos presenta, lo
que le hace decir que no hay límite, lo que implica una concepción métrica como
acción.
Figura 4.31. Respuesta de la alumna I al apartado c del ejercicio 1 del cuestionario 2
Esta interacción viene apoyada por la resolución del ejercicio 2, apartado c, del
138
4. Resultados
Mauro Mira López
cuestionario 2 (Figura 4.32) donde manifiesta nuevamente que las distancias deben
tender a cero, posteriormente indica cómo va a hacer la tabla que le permita hacer las
aproximaciones óptimas para posteriormente calcular las distancias…“Colocamos: [x,
|1-x|, f(x), |f(x)-1|]… Como por aproximación dinámica no hay límite cojo un valor de
f(x) entre 2 y 0 [Los límites laterales son 2 y -0.05]…cojo el 1 [casi un valor central
como posible límite] …He hecho una tabla que cuando la x tiende a 1, la distancia
tiende a 0. Pero cuando la f(x) →1 [como posible límite], la distancia no tiende a cero,
tiende a 0.2928932188. Por lo tanto, como ambas distancias no tienden a 0, decimos
que no existe límite por aproximación métrica”. El proceso realizado por la estudiante
para construir las tablas es correcto, sin embargo, no justifica el porqué del salto que ha
puesto para llegar a esa tendencia de |f(x)-1| a 0.2928932188, y en los cálculos reales, si
el límite fuera 1, la tendencia sería 1, no el valor que ella ha dado.
Figura 4.32. Respuesta de la alumna I al apartado c del ejercicio 2 del cuestionario 2
La tabla 4.14 describe lo construido por cada uno de los cuatro estudiantes del
perfil 2.
139
4. Resultados
Mauro Mira López
Tabla 4.14. Características de lo construido por los estudiantes del perfil 2
Estudiantes
J
Lo construido
 Concepción dinámica de límite como objeto
 No construye la concepción optima de límite
 Concepción dinámica de límite como objeto
C
 Concepción optima de límite como objeto
 Concepción métrica de límite como proceso
 Concepción dinámica de límite como objeto
L
 Concepción optima de límite como proceso
 No construye la concepción métrica de límite
 Concepción dinámica de límite como objeto
I
 Concepción optima de límite como acción
 Concepción métrica de límite como acción
140
CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN
En este capítulo discutimos los resultados obtenidos en dos secciones. En la
primera de ellas, formularemos algunas consideraciones sobre la problemática de la
comprensión de límite en el experimento de enseñanza comparándolo con lo obtenido
por otros investigadores e identificamos las características de la construcción de límite y
sus repercusiones sobre la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje. En la segunda
examinamos el contexto didáctico de la investigación con sus limitaciones e
implicaciones para futuras investigaciones generando inferencias sobre la enseñanza
5.1.
Sobre la construcción del significado de límite
La investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de temas relacionados con
el cálculo está abriendo la posibilidad de nuevas propuestas didácticas fundamentadas
en el análisis de los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje. En particular, se
hace énfasis en la posibilidad de introducir asistentes digitales en el desarrollo de
secuencias de enseñanza que tengan en cuenta las características del proceso de
construcción de los significados por parte de los estudiantes (Camacho y Depool,
2003a, b). Las respuestas a las tareas y cuestionarios nos han proporcionado
información detallada sobre diferentes manifestaciones del proceso de abstracción en
estudiantes de secundaria, permitiendo clarificar la distinción entre la Fase de
Participación y la Fase de Anticipación que conjeturaron Simon et al. (2004).
141
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
En este estudio hemos identificado algunas características de la trayectoria de
aprendizaje desde la perspectiva teórica de la abstracción reflexiva del concepto de
límite en varias parejas de estudiantes al realizar una secuencia de tareas que integraban
recursos informáticos. La realización de las diferentes tareas mostró que inicialmente
los estudiantes tenían dificultades en coordinar las aproximaciones y las tendencias en el
dominio y rango de las funciones en el sentido de la aproximación doble intuitiva en
diferentes tipos de funciones. Esto fue puesto de manifiesto en el caso de las funciones
definidas a trozos en las que los estudiantes no fueron capaces de adelantarse a los
resultados al asociar en determinados momentos el límite con el valor de la función en
un punto.
Nuestros resultados indican que la concepción dinámica de límite influye en el
proceso de construcción de los otros significados y pone de manifiesto la dificultad en
la construcción de la concepción métrica de límite. Además, hemos descrito la
influencia de los diferentes modos de representación en el proceso de construcción del
significado de límite especialmente en modo gráfico y a veces en modo numérico. El
uso de los diferentes modos de representación nos ha permitido identificar cuando los
estudiantes confundían el valor límite con el valor de la función, aunque posteriormente
fueron superándolas. En el proceso de construcción del significado cuando los
estudiantes tuvieron la posibilidad de usar el concepto dinámico de límite en diferentes
tipos de funciones se iniciaba una coordinación que podía llevar a la construcción del
significado del concepto de límite en la fase de anticipación local. Pero esta
coordinación solo se dio en algunos casos ya que estaba vinculada a las características
de las funciones usadas en las tareas.
En este caso, la construcción de los estudiantes del significado de cuantificación
vinculado a la doble aproximación intuitiva posiblemente favorezca la construcción del
significado del concepto de límite en la fase de anticipación. Siguiendo en este sentido,
las evidencias reunidas parecen apoyar la conjetura de que es el requerimiento de
construir un esquema implicando la coordinación de dos procesos junto con la
necesidad de un uso sofisticado de la idea de cuantificación el que dificulta el proceso
de construcción del significado de límite (Cottrill et al., 1996).
Los estudiantes generan la coordinación entre aproximaciones en la construcción
del significado del límite dinámico de una función, realizando correctamente las
aproximaciones izquierda-derecha a “x” así como las tendencias respectivas a “f(x)” en
142
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
los diferentes modos de representación y las relacionan a través de diferentes funciones
en un cómputo de proceso no finito. La construcción del concepto dinámico de límite
por parte de un estudiante conlleva que coordine “x”→”a” con “f(x)”→”L” a través de
unas relaciones de la actividad efecto en diferentes representaciones y en un proceso
de cómputo no finito, que produce la regularidad de la existencia o no del límite al
resolver tareas.
La
construcción
del
concepto
métrico
pensamos
que
se
produce
fundamentalmente en modo de representación numérico de tabla, cuando coordinan las
tendencias a cero de las distancias de “x” a “a” y “f(x)” a “L”, deduciendo que existe o
no límite. Aquí hay un aspecto clave y muy importante, y es que el concepto dinámico
apoya el óptimo y este a su vez el métrico. Esto les hace ver a los estudiantes como si
existiera una sola concepción de límite que asocian al dinámico por su sencillez.
La descripción del proceso de construcción del significado de límite realizada en
esta investigación parece indicar que la dificultad de muchos estudiantes en evolucionar
hacia una comprensión de la definición del concepto de límite (considerando su
significado métrico) puede estar vinculada a la necesaria construcción del significado de
cuantificación a partir de la concepción dinámica. En este sentido, este proceso de
cuantificación vinculado al desarrollo del significado dinámico parece que podría ser
apoyado mediante tareas que tengan por objetivos explícitos ayudar a los estudiantes a
iniciar la coordinación de las aproximaciones a “x” con las respectivas tendencias de
“y”.
En relación al papel de la cuantificación en el proceso de construcción del
significado del límite, Swinyard (2011) señala que los estudiantes en su estudio
pudieron reinventar la definición de límite reflejando la estructura de cuantificación
compleja que representa la definición métrica ε-δ cuando se implicaban en tareas
diseñadas con este propósito, cómo iterar números positivos para cada ε, buscar δ,
teniendo en cuenta cada valor y verificar las desigualdades. Estos resultados sugieren
que la habilidad para emplear una aproximación dinámica en el eje de abscisas con una
perspectiva de proximidad (óptima) en el eje de ordenadas de manera flexible puede
favorecer el desarrollo de una comprensión fuerte del concepto de límite y su definición
formal. El proceso de construcción descrito en esta investigación proporciona una
descripción fina de la forma en la que los estudiantes empezaban a coordinar las dos
aproximaciones intuitivas que ayudan a constituir el significado del concepto de límite,
143
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
y de qué manera los estudiantes intentaban compatibilizar el significado métrico del
concepto de límite de una función, que se acerca mucho a la definición ε-δ, con el
significado dinámico del concepto.
En nuestra investigación, dos alumnos en el ejercicio 5 del cuestionario 1
establecieron la relación entre ε y N antes de disminuir el valor de ε a 0 ajustando
aproximaciones más finas. Esta transición se puso de manifiesto en las gráficas de
funciones discontinuas cuando emplean el zoom y las tablas que les permite pasar de
expresiones “se acercan” a otras como “infinitamente cerca”. El uso de estas
expresiones permite evidenciar la manera en la que los estudiantes estaban
construyendo el significado de la coordinación al mover el cursor sobre el eje de
abscisas y viendo el comportamiento de los valores de la función f(x) en cada caso
(tendencias y coordinación). Esta acciones previas se pueden considerar parte
constituyentes de la fase de participación en la construcción del conocimiento (Simon et
al. 2004; Tzur y Simon, 2004).
Finalmente, el esquema teórico de las fases de construcción del conocimiento,
derivado de una particularización de la idea de la abstracción reflexiva, usado en el
análisis del proceso de construcción del significado de la noción de límite en los
estudiantes analizados, ha permitido de manera adicional mostrar cómo el uso de
instrumentos tecnológicos pueden hacer más explícito el papel de los modos de
representación. En particular, la manera en la que la complementariedad entre lo
gráfico, lo numérico y lo algebraico, puesto de manifiesto por el software utilizado,
ayudó a desarrollar los procesos de coordinación. De esta manera la descripción del
proceso de construcción seguido por los estudiantes ha permitido relacionar aspectos de
la particularización de la idea de la abstracción reflexiva con reflexiones derivadas del
papel de los modos de representación en la construcción del conocimiento.
5.2.
Sobre el experimento de enseñanza e implicaciones didácticas
Sin duda hemos tenido limitaciones en nuestro experimento. La no existencia de
un aula tecnológica específica, al ser la misma de uso masivo por parte de muchos
alumnos, produjo problemas de desinstalaciones en los ordenadores que aumentó el
tiempo inicialmente previsto y ocasionó que algunas grabaciones se perdieran. Es por lo
144
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
tanto importante tener un aula de ordenadores en condiciones. También se debe sopesar
y analizar qué software utilizar porque aunque fijamos de antemano el Derive que nos
parece de uso adecuado y bastante práctico, podríamos haber optado también por otros o
utilizarlos conjuntamente, como el Máxima, de aplicación libre y sencilla. La variedad
que existe en el mercado es tan amplia que implicaría tal vez un estudio detallado para
elegir uno o varios. Por ejemplo, el Proyecto SimCalc internacional ayuda a aprender
conceptos de cálculo, sin dejar de lado el programa Geogebra con la preparación
específica ad hoc de applets. No obstante, el Derive es nuestra apuesta y creemos que
los alumnos se adaptan muy bien al uso del mismo.
De los resultados obtenidos relativos al proceso de construcción del
conocimiento, podemos sugerir algunas implicaciones para la enseñanza que deberían
considerar los siguientes diez apartados:
1. Aproximación a un punto desde un principio en el eje horizontal OX por
diferentes modos de representación, tabular, gráfico con los puntos (xi, 0) en
el eje OX, que sería una nueva representación, utilizando el cursor con los
zooms, numérico, verbal, etc.
2. Formalización simbólica matemática de dicha aproximación.
3. Tendencia de f(x) en el eje OY debido a esa aproximación, por los mismos
modos de representación, en este caso los puntos serían (0,f(xi)) en el eje
vertical.
4. Formalización matemática de dicha tendencia.
5. Existencia o no de límite por aproximación dinámica comparándolo y
diferenciándolo del valor de la función en el punto.
6. Formalización matemática del concepto de límite.
7. Distancias y aproximaciones óptimas a un punto.
8. Existencia o no de límite por aproximación óptima.
9. Tendencia a cero de las distancias coordinadas en el dominio y en el rango.
145
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
10. Existencia o no de límite por aproximación métrica.
La relevancia de la concepción dinámica parece sugerir algunas cuestiones a
tener en cuenta:
1. Representaciones de funciones con y sin límites en tablas numéricas
solamente.
2. Paso del cómputo finito al infinito en dichos modos, porque la vecindad en
los números es la mejor forma de pasar según afirma Prezenioslo.
3. Gráficos posteriores en la función con el cursor y usando los zooms.
O tal vez, como promueven Blázquez y Ortega, el único concepto de límite para
enseñar en Bachillerato sea el de aproximación dinámica y óptima, dejando para niveles
de estudios superiores la formalización métrica con tareas asociadas de cuantificación.
En el Anexo 3 (p. 147), denominado “Tareas. Del experimento. Propuestas de Mejora”
desarrollamos algunas de estas ideas que subrayan que la coordinación de
aproximaciones en el dominio y en el rango es siempre a través de una función, y debe
ser recalcada en las tareas dicha relación (Tabla 5.1). Freudenthal (1983), a través del
análisis fenomenológico de este concepto señala que el alumno al iniciar el aprendizaje
de límite indica que hay dos aproximaciones, la de la sucesión de valores de la variable
independiente hacia un valor y la de la sucesión de valores de la variable dependiente
hacia el límite. El estudiante debe ser consciente de la conexión que la función f
establece entre ambas sucesiones, lo que redunda en el papel clave antes mencionado de
que es la función quién permite la coordinación de las aproximaciones.
Tabla 5.1. Tarea 3 y propuesta de mejora planteada
Tarea 3
Propuesta de mejora
Dada la función
1. Aproximación en el dominio por
ambos lados
a. Registro Numérico en una
tabla (xi,0), de aproximación
1. Haz una tabla en el ordenador con los valores
a x=a
de x y f(x) cuando la x se acerca a x = 2 por
b. Registro Gráfico en el eje OX
la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x,
(xi,0)
f(x)) en los ejes cartesianos.
2. Aproximación en el rango por
2. ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x"
ambos lados
se aproxima a 2 por la izquierda?
a. Registro Numérico en tabla
146
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
3. ¿Qué valor de salto hemos puesto en la
(0,f(xi)), para ver una
aproximación por la izquierda? ¿Por qué?
aproximación de f(xi)
4. Haz una tabla en el ordenador con los valores
b. Registro Gráfico en el eje OY
de x y f(x) cuando la x se acerca a x = 2 por
(0,f(xi))
la derecha y dibuja en azul los puntos (x, 3. Coordinación a través de la
f(x)) en los ejes cartesianos.
función
5. ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x"
a. Registro Numérico en una
se aproxima a 2 por la derecha?
tabla (xi,f(xi))
6. ¿Qué valor de salto hemos puesto en la
b. Registro Gráfico en una
aproximación por la derecha? ¿Por qué?
función con los puntos
7. Construye una tabla única que recoja los
(xi,f(xi))
valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x = 2, y dibújalos. Cuando nos
aproximamos a x = 2, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
8. Compara la tendencia de la función en x = 2
con el valor de la función en x = 2.
(Sugerencia: Usa el zoom para ampliar la
zona)
Por otra parte, desde la conceptualización métrica de límite, en las tareas se
aprecia que mayoritariamente las parejas no coordinan las tendencias a cero de los
intervalos en el dominio (|x-a|→0) y en el rango ((|f(x)-L|→0). Sin embargo, cuando
los alumnos van modificando los cambios con el Derive, van ajustando y haciendo
variaciones, clasificando y comparando, se produce un aprendizaje del uso del programa
informático, que les ayuda a crear importantes registros mentales. El matemático
Weierstrass definió límite de manera formal, simbólica, estática, y en ninguna parte se
requiere que una cantidad se mueva hacia otra cantidad, erigiendo el edificio del cálculo
que aún perdura hoy. Tal vez porque no se podían dibujar muchas funciones, pero
actualmente con los ordenadores que pueden representar casi todas las gráficas
propuestas a este nivel de bachillerato, y la definición de límite por aproximación
dinámica puede ser más fácil de comprender.
Hacemos, al respecto las siguientes sugerencias didácticas de enseñanza:
•
El conocimiento previo de los estudiantes del asistente puede ayudar a agilizar el
desarrollo de las sesiones. Además la existencia de diferentes estilos de
aprendizaje entre los estudiantes, porque algunos prefieren ser más dirigidos que
otros, también condiciona las clases en este tipo de entornos de aprendizaje. Esta
idea tiene que ver con la necesaria diversidad de las tareas que podrían ser
diferenciadas y preparadas como tareas de investigación y descubrimiento.
147
5. Conclusiones y Discusión
•
Mauro Mira López
En la manera en la que se forman los grupos de trabajo hay que estudiar o
adecuar más las parejas que salen, y si es preciso contar con la ayuda de un
psicólogo o del departamento de orientación de los centros a tal efecto.
•
En la fase de participación, en el momento que los alumnos son capaces de
identificar las relaciones entre la aproximación y tendencia cuando x→a, la
f(x)→L dándose cuenta que empieza ese cambio, se produce una situación
didáctica adecuada para introducir Tasa de Variación Media (T.V.M.) que aunque
no es específico del experimento si tiene mucha relación con el límite, pues es
previo al concepto de derivada como límite y enlaza así muy bien con el
currículum que tienen que estudiar. Además de ser de gran aplicación práctica en
economía. El conocer ese cambio producido por una determinada función y
cómo se produce es un factor que consideramos que apoya sólidamente el
concepto.
•
Para potenciar la fase de anticipación, podría ser que los propios aprendices
realizasen gráficas de diferentes funciones creadas por ellos (polinómicas
sencillas, racionales, donde variaran grado, signos, coeficientes, etc.). La idea es
que ellos observen los cambios en el contexto gráfico que van creando y pasen al
contexto analítico, tratando de investigar el límite en puntos interesantes donde
exista y hacer hincapié donde no lo haya. Ya hemos hablado de ello cuando
hacíamos referencia a tareas de investigación y descubrimiento.
•
Añadir finalmente que no se trabajaron procedimientos algebraicos de cálculo de
límites relacionados con la conceptualización del tópico, pero nos parece un
campo de investigación bastante interesante para abordarlo en un futuro y
proponer alguna tarea sencilla relacionada con ello y como punto de partida para
explicar en cierto modo los algoritmos y reglas que se usan frecuentemente en
los ejercicios de clase de cálculo de límite de expresiones matemáticas.
La manera en la que los estudiantes desarrollan la coordinación de las tendencias
en el dominio y en el rango de la función como una manifestación de las relaciones
entre la actividad-efecto, y la descripción de la fase de participación, caracterizada por
las dificultades del estudiante de coordinar las tendencias en distintos contextos (modo
de representación y tipo de función), ha puesto de manifiesto la dificultad de construir el
148
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
significado métrico de límite. La actividad de mirar la función con el cursor y los zooms
a veces, no les hace reflexionar en algo nuevo a descubrir, para dar el paso de una
concepción dinámica a una métrica.
Respecto a las tareas, nos faltó profundizar en aquellas que tienen por objetivo el
comprobar en funciones, ya sean definidas a trozos u otras, que no tienen límite por
aproximación óptima y métrica. Y hemos reflexionado sobre tareas donde se les podría
presentar una función que puede aparentar que tiene límites laterales por sus tendencias,
pero que no sea así, y que permitiría que se observara mejor con los conceptos de
límites por aproximación óptima y dinámica, tal como se comenta en el archivo del
anexo 2 del análisis de las tareas y que podría ser la de una función a trozos. Por
ejemplo, f(x) = x2-2 salvo para los “x” pertenecientes a un intervalo específico, más
pequeño que los habituales, en este caso (2.8, 3.2), que les hiciera llevar al uso de
zooms para ampliar la zona de estudio y construir tablas con más decimales y un salto
de orden a partir de milésimas o más. Como ya hemos dicho en varias ocasiones, la
preparación de las tareas es una parte importante del experimento.
Nuestro experimento de enseñanza tal y como se ha estructurado para poner el
foco de atención en el desarrollo de la comprensión del concepto de límite de una
función y caracterizar las trayectorias hipotéticas de aprendizaje es importante porque
hemos producido unas secuencias en las tareas que nos ha permitido describir cómo se
construye el concepto de límite en un punto, que va desde las primeras aproximaciones
a un número hasta llegar a la conceptualización final. Esa secuenciación de las tareas se
ajusta al currículum matemático de límite en Bachillerato y son fáciles de adaptar al
trabajo diario que tiene lugar en nuestras aulas. Las tres concepciones dinámica, óptima
y métrica van encaminadas a poder interpretar y aplicar las acciones incluidas en la
definición ε-δ de límite que exige poner unas cotas que una vez construido lo anterior,
es asumible en estos niveles de estudio para bastantes alumnos y se puede completar.
Como conclusión final, las posibilidades que ofrece el uso de las nuevas
tecnologías (TIC’s) son enormes. Consideramos que los recursos tecnológicos permiten
un entorno mucho más atractivo que la pizarra, el libro y papel, potenciando la
experimentación y análisis de resultados, y aunque altera los tiempos docentes, es
aconsejable su uso. Para que los alumnos aprendan de una forma eficaz usando la
tecnología también debe haber participación activa cooperando con los compañeros y
149
5. Conclusiones y Discusión
Mauro Mira López
saber aplicar lo que se aprende al mundo real con tareas adecuadas a ello. En
Cuestionario 1 (Anexo 1, p.8) hay dos problemas planteados así.
Esperamos que se puedan perfilar mejor en un futuro para ampliar los resultados
obtenidos y propiciar un mayor conocimiento de cómo aprendemos Análisis
Matemático y cómo mejorar su didáctica. Hay que repensar cómo los profesores
diseñan y ejecutan los procesos de aprendizaje y enseñanza para poner en práctica esta
nueva visión del aula. Como colofón a nuestra investigación recogemos finalmente una
recomendación del grupo de trabajo de Bachillerato de la Federación Española de
Sociedades de Profesores de Matemáticas, y que dice textualmente así:
“Se deberán utilizar habitualmente recursos informáticos y tecnológicos para
obtener y procesar información. Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de
calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de álgebra computacional o de
geometría dinámica, se utilizarán para la comprensión de conceptos y la resolución de
problemas complejos así como para el procesamiento de cálculos pesados a fin de que
sea más importante llegar a conclusiones y analizarlas que al simple hecho de realizar
los cálculos con mayor o menor precisión. Esta apuesta por el empleo de la tecnología
ha de ser clara y sin limitaciones”
La idea fundamental es que el uso de las TIC’s cambia la naturaleza del
conocimiento, construye la educación y sus tiempos.
150
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Mauro Mira López
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DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA
DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN
DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS DE
TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE
APRENDIZAJE
ANEXOS TESIS DOCTORAL
MAURO MIRA LÓPEZ
ALICANTE, ENERO 2016
Anexos
Mauro Mira López
ÍNDICE
Anexo 1: Cuestionarios…………………………..………………………………..
3
Respuestas de los alumnos a los cuestionarios………………………………...
10
Anexo 2: Análisis de los datos..…..……………………………………………….
42

Análisis de la Etapa I………………………………………………………..…
43

Análisis de la Etapa II........................................................................................
141
Anexo 3: Tareas del experimento. Propuestas de mejora…..…………………..…
147
Anexo 4. Materiales utilizados para construir el experimento de enseñanza……...
156

2
Anexos
Mauro Mira López
ANEXO 1: CUESTIONARIOS
3
Anexos
Mauro Mira López
Cuestionario 1
Problema 1
Indica a través de qué secuencias numéricas te puedes aproximar a 1/3. Si lo consideras
necesario, puedes elegir más de una secuencia. Justifica tu elección:
a) 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5…
b) 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, 299999…
c) 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333…
d) 3.1, 3.01, 3.001, 30001…
e) 0.4, 0.34, 0.334, 0.3334, …
Problema 2
A partir de la tabla, responde:
X
2.9
2.99
2.999
2.9999
…
...
3.0001
3.001
3.01
3.1
f(x)
14.21
14.9201
14.992001
14.99920001
…
...
15.00080001
15.0080001
15.0801
15.81
a. ¿A qué número a se acerca x?
b. ¿A qué número L se acerca f(x)?
c. Describe el comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la
variable x.
d. Completa la expresión:
lim f(x) = ...
x…
4
Anexos
Mauro Mira López
Problema 3
A partir de la tabla, responde:
x
3.9
3.99
3.999
3.9999
3.99999
...
...
4.00001
4.0001
4.001
4.01
4
f(x)
15.485
15.530
15.5254
15.5015
15.50001
...
...
14.00003
14.0003
14.003
14.03
14
a. ¿A qué número a se acerca x?
b. ¿A qué número L se acerca f(x)?
c. Describe el comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la
variable x.
d. Completa la expresión:
lim f(x) = ...
x…
Problema 4
5
Anexos
Mauro Mira López
Problema 5
Alba, una estudiante de primero de bachillerato, ha ido substituyendo valores en una
función y ha obtenido las dos primeras columnas de la tabla. Después ha construido dos
columnas más de diferencias.
x
0,3
0,4
0,45
0,49
0,499
0,4999
0,49999
0,499999
...
f(x)
0,994118
1,225000
1,356452
1,470265
1,497003
1,499700
1,499970
1,499997
...
0,5 - x
0,2000000
0,1000000
0,0500000
0,0100000
0,0010000
0,0001000
0,0000100
0,0000010
...
1,5 - f(x)
0,50588235
0,27500000
0,14354839
0,02973510
0,00299734
0,00029997
0,00003000
0,00000300
...
0,7
0,6
0,55
0,51
0,501
0,5001
0,50001
0,500001
...
2,223077
1,828571
1,656897
1,530268
1,503003
1,500300
1,500030
1,500003
...
-0,2000000
-0,1000000
-0,0500000
-0,0100000
-0,0010000
-0,0001000
-0,0000100
-0,0000010
...
-0,72307692
-0,32857143
-0,15689655
-0,03026846
-0,00300267
-0,00030003
-0,00003000
-0,00000300
...
¿Cómo de próximos han de estar los valores de x de 0.5 para que la diferencia 1,5 – f(x)
sea menor que 0,001? Explica el por qué
Problema 6
Dadas las gráficas adjuntas, rellena el cuadro de la parte inferior
6
Anexos
Mauro Mira López
Función A
Función B
Función C
Función D
1. f(3)=
2. lim f ( x )
x 3
3. lim f ( x )
x 3
4. lim f ( x )
x 3
Problema 7
Una compañera de clase no pudo asistir el día que la profesora introdujo el concepto de
límite, ¿cómo le explicarías que el límite de una función cuando x tiende a x0 es L?
Problema 8
1. Si es posible, representa gráficamente una sola función que cumple todas las
siguientes condiciones:
a) f(1) = 3
b)
lim f ( x )   2
x  
c)
lim f ( x )   
x  
d) lim f ( x )   
x 2
e)
lim f ( x )  0
x 0
2. Si no es posible, explica porque no ha sido posible.
7
Anexos
Mauro Mira López
Problema 9
Hemos sacado de la nevera un vaso de agua y lo hemos dejado encima de la mesa de la
cocina. Este gráfico muestra la temperatura del agua en grados centígrados a medida
que pasa el tiempo.
a) ¿Qué temperatura alcanza el agua a los 20 minutos?
¿Y a los 40 minutos?
b) ¿Hay cambios en la temperatura del agua? ¿Cómo cambia en el intervalo 40-60
minutos?
c) ¿Qué temperatura alcanzará el agua a los 79,9 minutos, a los 79,99 minutos, a los
79,999 minutos…? ¿Qué temperatura alcanzará a los 80,1 minutos, 80,01 minutos,
80,001 minutos…?
d) La temperatura en el exterior de la nevera es de 22º C. ¿Alcanzará el agua la
temperatura del exterior de la nevera?
e) Describe con tus palabras el cambio que ha sufrido la temperatura del agua.
Problema 10
Cada una de las funciones que se muestran a continuación describen la relación entre el
precio p en euros por kilogramo de dos productos diferentes, A y B y la cantidad c en
kilogramos que los consumidores comprarían a ese precio.
Producto A
Producto B
p 2  16
c( p ) 
p4
a)
b)
¿Qué cantidad de producto comprarían los consumidores con 3 € en cada caso?
Si los consumidores han comprado 30 kg del producto A ¿cuál ha sido el precio
por kilogramo?
c)
Si los consumidores han comprado 7 kg del producto B, ¿cuál ha sido el precio
por kilogramo?
d)
En los productos A y B, ¿a qué valor se aproxima la cantidad de kilogramos que
los consumidores podrían comprar a medida que el precio por kilogramo se acerca
4 €?
8
Anexos
Mauro Mira López
Cuestionario 2
Ejercicio1. Dada la función
f ( x) 
1
x 1
Halla el límite si lo hay de dicha función cuando x1, por
a)
Aproximación dinámica.
b)
Aproximación óptima.
c)
Aproximación métrica.
Ejercicio 2. Dada la función
( x  1) 2  0.05, si x  1
g ( x)  
2 x, si x 1

Halla el límite si lo hay de dicha función cuando x1, por
a) Aproximación dinámica.
b) Aproximación óptima.
c) Aproximación métrica.
9
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas a los cuestionarios
10
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas de la estudiante B a los dos Cuestionarios
CUESTIONARIO 1
11
Anexos
Mauro Mira López
12
Anexos
Mauro Mira López
13
Anexos
Mauro Mira López
14
Anexos
Mauro Mira López
CUESTIONARIO 2
15
Anexos
Mauro Mira López
16
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas de la estudiante C a los dos Cuestionarios
CUESTIONARIO 1
17
Anexos
Mauro Mira López
18
Anexos
Mauro Mira López
19
Anexos
Mauro Mira López
20
Anexos
Mauro Mira López
21
Anexos
Mauro Mira López
CUESTIONARIO 2
22
Anexos
Mauro Mira López
23
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas de la alumna I a los dos Cuestionarios
CUESTIONARIO 1
24
Anexos
Mauro Mira López
25
Anexos
Mauro Mira López
26
Anexos
Mauro Mira López
27
Anexos
Mauro Mira López
CUESTIONARIO 2
28
Anexos
Mauro Mira López
29
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas de la Alumna J a los dos Cuestionarios
CUESTIONARIO 1
30
Anexos
Mauro Mira López
31
Anexos
Mauro Mira López
32
Anexos
Mauro Mira López
33
Anexos
Mauro Mira López
34
Anexos
Mauro Mira López
CUESTIONARIO 2
35
Anexos
Mauro Mira López
36
Anexos
Mauro Mira López
Respuestas de la alumna L a los dos Cuestionarios
CUESTIONARIO 1
37
Anexos
Mauro Mira López
38
Anexos
Mauro Mira López
CUESTIONARIO 2
39
Anexos
Mauro Mira López
40
Anexos
Mauro Mira López
ANEXO 2. ANÁLISIS DE LOS DATOS
41
Anexos
Mauro Mira López
Análisis de la Etapa I
42
Anexos
Mauro Mira López
PRIMERA FASE: ANÁLISIS INTERPRETATIVO REALIZADO DE LAS
PAREJAS
Pareja JC
S1 T12 JC 14 03 11 Transcripción y Observaciones
Tarea 1:
Fijándote en el ejemplo que has leído
a)Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la derecha.
C: Bien, aquí dice que debemos escribir una secuencia de números que se aproxime
por la derecha a x=1. Entendemos que sean números como 1.7, 1.43, 1.12 y por
ejemplo también 1.09.
Fijándote en el ejemplo que has leído
b) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la izquierda.
C: En el siguiente apartado nos dice que escribamos una secuencia de números
diferentes aproximándonos a x=1 por la izquierda.
C: Entendemos que es… son números como 0.78, 0.91, 0.993 y 0.81.
Tarea 2:
Dada la función y= x2 -1
a) Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x=3
por la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
C: Empezamos a la actividad 2. Nos dan una función que es f(x)= x2 -1 y nos piden en
el apartado a) que hagamos una tabla con los valores de “x” e “y” cuando la “x” se
acerca a 3 por la izquierda y que dibujemos los puntos en los ejes cartesianos.
C: Para empezar se pondría entre corchetes para realizar la tabla, “x” por un lado y
después se pondría por otro lado la función y nos iríamos a cálculo, vector y hemos
puesto aquí como valor inicial 2.8 y 2.9 periódico para… porque nos piden un
43
Anexos
Mauro Mira López
segmento que se aproxime a 3 por la izquierda y sería pues… por poner un ejemplo
este, y un salto de 0.01 para que los puntos se vean. Pulsamos en simplificar y ahora
aproximamos y dibujamos. Ahora vamos a dejarlo para que se vea bien… y lo
tendríamos. Como nos pide el ejercicio hemos puesto los puntos en color rojo y como
podéis comprobar en el eje “x” la línea se aproxima al 3 y por el eje “y” el valor es
indiferente. Vamos a incrustar la gráfica en la pantalla algebraica y ya está.
Observaciones del profesor (OM): No aciertan en las tendencias porque no se entiende
que en el eje “x” la línea se aproxima al 3 y por el eje “y” el valor es indiferente.
b)¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 3 por la izquierda?
C: En el apartado b) nos piden que digamos hacia qué valor tiende la "y", cuando la
"x" se aproxima al 3 por la izquierda. Como podemos comprobar ehh… el último punto
del valor que le hemos dado se aproxima mucho a 8, el valor 7.9401 y los anteriores
pues van disminuyendo pero cuando termina el segmento nunca alcanza 8, por lo tanto
el valor sería 8.
OM: Ahora parece que lo hacen bien, el segmento según ellos es el intervalo por la
izquierda, supongo.
c)¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la izquierda? ¿Por qué?
C: En el apartado c) nos piden que digamos el valor de salto hemos puesto en la
aproximación por la izquierda al nº 3. Como podéis ver aquí el salto que hemos puesto
es de 0.01, el por qué se puede ver en la tabla que hemos creado para que se vea la
aproximación que hace hacia el nº 3. Si hubiésemos puesto de salto 1, pues el salto
sería de 2 a 3 directamente y la aproximación no se apreciaría.
d)Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x=3
por la derecha y dibuja en azul los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
C: En el apartado d) nos piden que hallemos, que dibujemos una tabla de valores y una
función con una aproximación por la derecha a 3 y dibujemos los puntos en azul en los
ejes cartesianos. Hemos puesto de nuevo la función y hemos metido entre corchetes
como antes hemos hecho, y cálculo, vector y solo hay que cambiar el valor inicial por
ejemplo este y el final, con el mismo salto, simplificamos y nos vamos a dibujar, y ahora
la incrustamos y aquí lo tenemos.
44
Anexos
Mauro Mira López
e)¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 3 por la derecha?
C: En el apartado e) nos preguntan a qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima
a 3 por la derecha.
C: El resultado es, se aproxima a 12.
OM: La tendencia de “y” a 12 es observando la tendencia de la gráfica de izquierda a
derecha y no se fijan en la tabla. Nuevamente confunden aproximaciones y tendencias,
y no saben pasar de un registro a otro, sin coordinar las “x” con las “y”.
f)¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha? ¿Por qué?
C: En el siguiente apartado nos preguntan qué salto hemos puesto en la aproximación
por la derecha y por qué. Hemos puesto lo mismo que antes, 0.01 porque se aprecia
mejor la aproximación de “x” a 3, en cambio si pusiésemos otro salto no se apreciaría
a 3 por la derecha.
C: En el apartado e) nos pedían que dijésemos a qué valor tiende la "y", cuando la "x"
se aproxima a 3 por la derecha. Dijimos 12, aunque teníamos confusión ya que no
llegaba exactamente a 12, pero nos hemos dado cuenta que realmente es 8, que se
aproxima por… por el otro costado.
OM: La tendencia de “y” a 12 se ha modificado, y es un “efecto” relevante en el
proceso de desarrollo del concepto de tendencia. Ahora si coordinan las “x” con las “y”.
g)Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x=3, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x=3, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
C: En el apartado g) nos dicen que tenemos que construir una tabla única que recoja
los valores de aproximación a la función por la derecha y por la izquierda hacia 3, y
dibujarlos. Entonces lo que hemos hecho es poner de nuevo la función y entre corchetes
para… para poder hacer una tabla, nos vamos a cálculo, vector y hemos… vamos a
poner como valor inicial 2.8 y como valor final 3.2, así recogerá los valores que se
aproximan por la izquierda y por la derecha, el salto lo vamos a dejar en 0.01.
Pulsamos en simplificar y ahora en aproximar y nos vamos a dibujarlo, pulsamos en
dibujar y ahí lo tendríamos.
45
Anexos
Mauro Mira López
C: También nos piden en el apartado g) que digamos a qué valores se aproxima “y”
cuando “x” se acerca a 3. Como hemos dicho antes en dos apartados, se aproxima a 8
en las dos ocasiones.
S2 T34 MB 18, 21, 28 03 11 Transcripción y Observaciones
Tarea 3:
Dada la función
a)Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x =
2 por la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
J: Aquí tenemos la tabla…
J: Ahora vamos a dibujarla. Podemos comprobar que el primer valor es 2 , “y” es 3
J: Como podemos comprobar en la gráfica, al valor que tiende la “y” es a 3.
OM: Aplica el valor de la función es el punto 2, 3.
b)¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la izquierda?
J: En el punto b) la “y” tiende a 3.9 cuando es 1.9 la “x”
c)¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la izquierda? ¿Por qué?
J: Hemos dado de salto 0.1 para que se vea mejor su aproximación a 2
d)Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x =
2 por la derecha y dibuja en azul los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
J: … Y me he dado cuenta de que he hecho, arriba esta tabla es la de la derecha y
46
Anexos
Mauro Mira López
ahora la que estoy haciendo es la de la izquierda… y voy a rectificar los textos.
e) ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la derecha?
J: Por la derecha sería “y” 4.1 y “x” 2.1
f) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha? ¿Por qué?
J: Hemos dado el mismo valor de salto por la derecha que por la izquierda para que se
vea mejor su acercamiento.
g) Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x = 2, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x = 2, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
J:..Y como podemos comprobar que se aproxima a 5.5
h) Compara la tendencia de la función en x = 2 con el valor de la función en x = 2.
(Sugerencia: Usa el zoom para ampliar la zona)
J: …Pero con el cursor podemos comprobar por la izquierda la x es 1.9 y la y 3.9 y por
la derecha sería 4.1 y x 2.9. Mi conclusión es que la y aumenta por la derecha. Como
podemos comprobar en la gráfica, al valor que tiende la “y” es a 3.
Tarea 4
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
Una vez dibujada,
a)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
47
Anexos
Mauro Mira López
(6 filas por 2 columnas).
OM: Hacen una tabla con seis puntos de “x” y calculan sus valores.
b)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha? Completa esta
expresión… Si x→1+, entonces y→
C: “y” tiende a 1 por la derecha cuando la x también lo hace.
c)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
OM: Hacen otra tabla con seis puntos de “x” y calculan sus valores.
d)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda? Completa esta
expresión… Si x→1-, entonces y→
C: Y como podemos comprobar en la tabla también tiende a 1
d)Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en x = 1
J: No entendemos cuál es la tendencia de la función en x=1 pero sabemos que “y”
tiende a 1 cuando x = 1, tanto por la derecha como por la izquierda.
S3 T5 JC 28 03 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 5
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
OM: Se equivocan al escribir la expresión algebraica de la función (y=3/x-1) lo que
trastoca los objetivos de la tarea prevista.
Una vez dibujada,
a) indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha
(observa lo que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la
48
Anexos
Mauro Mira López
secuencia de las aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la
“y”. Recoge la información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por
6 columnas) o vertical (6 filas por 2 columnas).
…
OM: Al hacer la tabla, utilizan bastantes valores, y les sale muy bien.
b) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha?
J: La y tiende a 2.
c) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda
(observa lo que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la
49
Anexos
Mauro Mira López
secuencia de las aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la
“y”. Recoge la información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por
6 columnas) o vertical (6 filas por 2 columnas).
d) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda? Completa
esta expresión
C: La y tiende a 2.
e) Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en
x=1
S3 T6 JC 01 04 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 6
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
J: Hemos representado la función que nos piden… ahí está
Una vez dibujada,
a)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
J: Y ahora vamos a pasar al siguiente paso que es construir una tabla con las
secuencias de las aproximaciones de x=3 e indicar cuales son los valores para la “y”.
50
Anexos
Mauro Mira López
C: Como bien ha dicho Jessica hemos creado la tabla con las secuencias de los valores,
lo de la izquierda son los valores de la “x” y el valor de la derecha son los valores de
la “y”
b)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la derecha?
C: En el siguiente apartado nos pregunta que a qué nº tiende la “y” cuando la “x” se
acerca a 3 por la derecha. Hemos podido comprobar en la tabla que cuando se
acerca a 3 por la derecha el valor se acerca a 6. Después gráficamente cuando vale
3 podemos ver que vale 6… y aquí lo tenemos.
OM: Lo hacen bien, pues utilizan 2 registros, tabular y gráfico correctamente, lo que
implica que saben convertirlos uno en otro. No utilizan el simbolismo matemático.
c)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
J: En el apartado c nos pide que hagamos otra tabla pero con x=3 por la izquierda. La
hemos realizado. Hemos dibujado los puntos…
51
Anexos
Mauro Mira López
C: No los hemos dibujado
J: Pero dibújalos
C: Un momentito. Ya los hemos dibujado.
J: Sí. Ahí están.
C: Color lila
d)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la izquierda?
J: Y ahora vamos a ver los valores que tiende la “y” cuando “x” se acerca a 3 por la
izquierda.
C: Podemos comprobar que cuando tiende por la izquierda se acercan a 7.
J: Correcto
52
Anexos
Mauro Mira López
OM: Lo hacen muy bien, pues utilizan 2 registros, tabular y gráfico correctamente,
señalando con el cursor las aproximaciones y las tendencias, lo que implica que saben
convertirlos uno en otro. Es un buen ejemplo para verlo en el archivo del programa
CAMSTUDIO, S3T6JC010411.avi, en vez de transcribirlo.
e)Compara la tendencia de la función en x = 3 con el valor de la función en x = 3
C: En el apartado e) nos piden que comparemos la tendencia de la función en x =3 con
el valor de la función en x=3. Es un ejercicio que no comprendemos y que nos lo han
pedido alguna que otra vez más. No lo comprendemos porque la tendencia de la
función cuando x=3 son unos valores y el valor de la función en x=3 son otros y no sé
que tenemos que comparar
OM: Realmente sí que han hecho la comparación, pero sin fijar cuáles son esos valores.
También hay un pequeño error y deberían decir cuando “x” se aproxima a 3.
S4 T7 JC 01, 04 Y 08 04 11.Transcripción y Observaciones.
Tarea 7:
Dadas las siguientes funciones:
Escríbelas, dibújalas y haz una tabla en el ordenador, cuando x tiende a 4, para cada una
de ellas. Fijándote en la tabla, o en el cursor responde a las siguientes preguntas:
OM: Las escriben y dibujan bien. Hay que constatar que C es un alumno con buenas
capacidades matemáticas.
a) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la izquierda?
Exprésalo matemáticamente.
53
Anexos
Mauro Mira López
b) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la derecha?
Exprésalo matemáticamente.
C: En la 1ª función hemos realizado una tabla 1º tanto por la izquierda, donde aquí
podemos comprobar tanto por la izquierda, donde aquí podemos comprobar que
siempre es 2 (señalando con el ratón f(x)), tanto como por la derecha, donde no es 2
pero sí tiende a 2. Y lo podemos ver en la gráfica, cuando es 4, siempre es 2, y por aquí
tiende a 2 la función (señalando con el ratón f(x) por la derecha).
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, “y” es 2 siempre (interesante, no dice que tiende
a 2). Cuando x tiende a 4 por la derecha, “y” tiende a 2.
x → 4-, y = 2
x → 4+, y → 2+
OM: Este es un ejemplo de acción mental en que aplican bien diferentes registros, la
tabla y la gráfica para inferir sobre el concepto de una tendencia, está todo muy bien
para analizar en el archivo S4T7JC040411.avi.
C: En la 2ª función hemos vuelto a hacer una tabla por la izquierda (omiten la
expresión cuando x se acerca a 4 por la izquierda, pero creo que se fijan en ello), vemos
que se acerca a -0.125. Y por la derecha a -0.124, y lo podemos comprobar en su
gráfica.
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, Y tiende a -0.125. Cuando x tiende a 4 por la
derecha, Y tiende a -0.124.
x → 4-, y → -0.125x → 4+, y → -0.124+
C: En la 3ª, vemos que son 2 líneas rectas la función y cuando vale 4, que se corta un
poco. Cuando le damos los valores que se acercan por la izquierda, vemos que siempre
es -1, y cuando se acercan por la derecha siempre es 1.
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, Y es -1. Cuando x tiende a 4 por la derecha, Y es 1
x → 4-, y = -1
54
Anexos
Mauro Mira López
x → 4+, y = 1
OM: El simbolismo matemático lo usan relativamente bien. Siempre usan los 2
registros en tabla y gráfico para ver la tendencia, pero no dicen que “y” tiende a -1 ó 1,
sino que es igual a -1 ó 1. Aquí parece indicar que están en la fase de anticipación en lo
relativo al manejo del programa aplicado a los registros tabulares numéricos y gráficos.
C: En la 4ª, donde se introduce seno, sale una cosa más rara y tenemos un pequeño
dilema, cuando le damos valores que se acercan por la izquierda, como podemos
comprobar, hay números negativos, positivos, y no hay una progresión que se vea clara.
Igualmente pasa por la derecha, ya que si vemos en la función, cuando vale 4,
pongamos que aproximadamente está por aquí…
Vemos que ahí no hay ninguna línea, pero por la izquierda tiende en un principio a…
como vemos aquí (señalando los valores del cursor x, y en el ángulo inferior izquierdo)
4.01 (“x”), pero si nos vamos un poco a la izquierda vemos que va variando, a 0.91,
después a -0.94
Por la derecha pasa exactamente lo mismo.
OM: El simbolismo matemático lo usan bien. En f4 dicen que lo observan cuando “x”
se acerca a 4 por la izquierda pero lo han hecho por la derecha, pues x=4.01, pero no
creo que sea un error de concepto.
J: Mi opinión es que la “y” tiende a -1 y a 1 porque como podemos comprobar que la
gráfica va subiendo y bajando, los valores tienden a -1 y a 1.
C: Y hemos llegado a la conclusión de que eso es cierto, suponiendo que se pueda
tender a los valores (¿).
Cuando la X tiende a 4 por la izquierda y por la derecha Y tiende a -1 y a 1.
x → 4-, y → -1 y 1
x → 4+, y → -1 y 1
OM: Concluyen que tiende a -1 y 1, pero realmente son valores máximo y mínimo, no
55
Anexos
Mauro Mira López
está mal. Lo más sencillo, decir no lo sé, porque hay una variación, que de hecho lo cita
C, e incluso J añade que sube y baja, es una muestra de que a veces complicamos
nuestras conclusiones. Les ha faltado hacer otro registro gráfico con los zooms, más
próximos a x=4. El paso en la tabla de valores finitos a inducir una tendencia infinita,
les cuesta nuevamente. No han realizado más ajustes para aproximarse al logro del
objetivo.
También podría ser que en ninguna tarea se trabajó o repasó el concepto de tendencia de
una función como sí se hizo en el Experimento 1º, pues los alumnos de este 2º
Experimento habían trabajado en clases previas de funciones las tendencias, y este
concepto no lo habían aprendido bien, porque tal vez estaban solo en la fase de
participación del mismo.
c) Compara las tendencias laterales de cada función
d) Lee el texto adjunto y di si existe el límite de cada una de las funciones cuando x
tiende a 4. Justifica tu respuesta
Las tendencias por la izquierda y la derecha de la función las llamamos límites
laterales de una función en un punto x = "a".
_
Si existe el límite lateral por la izquierda cuando x → a y es un nº finito "k" lo
expresaremos como
Si existe el límite lateral por la derecha cuando x → a+ y es un nº finito “m” lo
expresaremos como:
Si existen los límites laterales y son números finitos y coinciden, m=k, entonces
se dice que existe límite de la función cuando x se acerca al punto "a".
Si existen los límites laterales y son números finitos y no coinciden, m ≠ k,
entonces se dice que la función no tiene límite en x = a.
J: Primera función
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, Y es 2 siempre. Cuando x tiende a 4 por la
derecha, Y tiende a 2, es decir que no llega a 2, y por lo tanto al no llegar a 2 no existe
límite.
x → 4-, y = 2
x → 4+, y → 2+
lim x→4- f(x)=2
lim x→4+ f(x)=2+
lim x→4- ≠ lim x→4+
Por lo tanto: lim x→4 no existe
OM: No han leído o entendido bien el texto del cuadro, que les dice que las tendencias
56
Anexos
Mauro Mira López
laterales son los límites, se llegue o no. ¿Habría que haberlo especificado? Aquí hay una
cuestión didáctica de tarea de reflexión para hacer como es el paso de lo finito en tablas
a infinito en las tendencias, se llegue o no, pero que son tendencias. No expresan
simbólicamente bien límite. No saben qué es límite lateral y qué es límite.
J: Segunda función
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, Y tiende a -0.125. Cuando x tiende a 4 por la
derecha, Y tiende a -0.124. Al no ser iguales las 2 funciones no existe límite.
x → 4-, y → -0.125x → 4 +, y → -0.124+
lim x→4- f(x)=-0.125
lim x→4+ f(x)=-0.124
lim x→4- ≠ lim x→4+
Por lo tanto: lim x→4 no existe.
OM: Parecido a lo de antes, no ven los valores de “y” como tendencias en el infinito,
sino como un valor final finito, por eso diferencian entre -0.125 y -0.124.
C: Tercera función
Cuando x tiende a 4 por la izquierda, Y es -1. Cuando x tiende a 4 por la derecha, Y es
1. Por lo tanto no son iguales los límites y no existe.
OM: Parece que aquí si constatan que las tendencias laterales son límites laterales, y
límite global, porque no son iguales. Sí que han leído bien el texto.
x → 4-, y = -1
x → 4+, y = 1
lim x→4- f(x)= -1
lim x→4+ f(x)= 1
lim x→4- ≠ lim x→4+
Por lo tanto: lim x→4 no existe.
C: Cuarta función. Cuando la X tiende a 4 por la izquierda y por la derecha Y tiende a 1 y a 1. Entonces son iguales, existe límite.
x → 4-, y → -1 y 1
x → 4+, y → -1 y 1
lim1 x→4- f(x)= -1
lim2 x→4- f(x)= 1
lim1 x→4+ f(x)= -1
lim2 x→4+ f(x)= 1
(lim 1 x→4- = lim 1 x→4+) U (lim 2 x→4- = lim 2 x→4+)
Por lo tanto: lim x→4 es igual a -1 y a 1.
Lo cual quiere decir que existe límite y es -1 y 1. lim x→4 f(x)=[-1, 1]
OM: Parece que aquí si constatan que las tendencias laterales son límites laterales, y
límite global, porque sí son iguales. Y piensan que el límite puede ser más de un valor,
lo que entra en contradicción con el concepto unívoco de función. ¿Falta especificar la
unicidad del límite, si lo hay?, creo que sí, y tal vez relacionado con la imagen única
también de cada “x”. Estas concepciones previas o lagunas de aprendizaje de los
alumnos son persistentes y difíciles de modificar. También puede indicar esa fase de
57
Anexos
Mauro Mira López
participación en el concepto de tendencia, lo que le lleva a errores posteriores.
e) Halla el valor de cada una de las funciones para x=4 ¿Coincide con el límite de
la función cuando x tiende a 4?
C: F1(4) = 4
f2(4) = -0.125
f3(4) = ?
f4(4) = SIN(∞)
OM: Calculan bien y expresan simbólicamente bien el valor de una función en un
punto, y la coincidencia está bien explicada, aunque en f2, dicen que coincide con el
límite lateral izquierdo.
f) En función de lo observado en el apartado e), ¿cuál/cuales de las frases
siguientes es/son ciertas? Justifica tu elección
1. El valor de la función en un punto es el límite en ese punto.
2. El valor de la función en un punto no siempre es el límite en ese punto.
3. El valor de la función en un punto a veces es el límite en ese punto.
4. El valor de la función en un punto nunca es el límite en ese punto.
C: En función al anterior apartado, la frase cierta sería la tercera (El valor de la
función en un punto a veces es el límite en ese punto).
OM: Aciertan en las 2 frases, pero eligen una sola frase, porque la consideran más
probable, y lo justifican bien. Lo que interesa es que concluyen bien la diferencia
entre valor de una función y límite en un punto.
S5 T89 JC 11 04 11.Transcrpción y Observaciones
Tarea 8
Leer…
Para calcular la distancia de un punto a otro tenemos que calcular la diferencia entre
estos puntos. Por ejemplo, la distancia de 3.007 a 3 es 0.007 = 3.007-3. Las distancias
no pueden ser negativas, por tanto, como la distancia de 2.994 a 3 es igual a -0.006
(2.994-3 = -0.006 ), las distancias las expresaremos en valor absoluto,
independientemente que sean positivas o negativas, es decir,
 distancia de 3.007 a 3, 3.007  3  0.007 ó |3 ─ 3.007|= 0.007
 distancia de 2.994 a 3, 2.994  3  0.006 ó |3 ─ 2.994| = 0.006
En general, la distancia de un punto x a otro "a", se expresará |x-a| ó |a-x|
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a) Escribe seis valores próximos al punto 4, tres por la derecha y tres por la izquierda,
y calcula las distancias de cada uno de los valores a dicho punto en el Derive.
OM: Lo hacen bien, y está recogido en el archivo escrito S5T8JC110411.dfw.
58
Anexos
Mauro Mira López
b) Dada la función f ( x )  x 2  2 . Haz una tabla conjunta con las distancias entre los
valores próximos a x = 3 por la derecha e izquierda y entre los valores próximos a
f(x) = 7 por la derecha e izquierda.
Ayuda: Para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive : [x,
|3-x|, f(x), | f(x)-7|].
C: …Y para 7, pues 6.8, 7.2 y ahí tendríamos la otra tabla, la 1ª columna sería los
valores de “x”, la 2ª sería la distancia a 3, aquí los valores de f(x), y aquí la distancia
a 7, pero, la distancia a 7 sería mejor fijarse en esta otra tabla, no comprendo muy bien
aquí el sistema de los 2 a la vez, pero… lo miraré y quizás hagamos una rectificación.
OM: Hacen 2 tablas, una la que se solicita, pero con pocos valores próximos a 3,
cuando esta pareja tenía por costumbre hacer bastantes. Y al hacer la 2ª tabla, en azul
arriba, como si nos acercáramos a 7, siendo éste un valor de “x”. De hecho dice C, que
no entiende muy bien esta tabla conjunta. Quizás en la pregunta, al hablar de f(x)=7,
más que darle el valor, tendríamos que haber preguntado cual es el límite cuando x→3
y proponerles después la tabla conjunta. Realmente no ha coordinado las
aproximaciones de “x” a 3 con las de “f(x)” a 7, a través de la función. Esto vuelve a
indicar que están en la fase de participación en la coordinación en las aproximaciones
a un punto y su límite, o un valor, en el dominio y el rango.
Tarea 9
Leer…
Llamamos a un valor, aproximación óptima, entre varios valores próximos a
otro dado, a aquel en que la distancia de dicho valor al dado es la menor, es
decir, está más cerca.
Por ejemplo, entre los cuatro valores de “x”, 2.8, 2.81, 2.811, 2.82, que
hemos escogido, próximos a 3 por la izquierda, hallamos las respectivas
distancias a 3.
 distancia de 2.8 a 3, 2.8  3  0.2
 distancia de 2.81 a 3, |2.81-3| = 0.19
 distancia de 2.811 a 3, |2.811-3| = 0.189
 distancia de 2.82 a 3, |2.82-3| = 0.18
Como vemos, el valor de los cuatro, que más se acerca a 3, es 2.82, porque su
distancia a 3 es 0.18, y por lo tanto está más cerca, y decimos entonces que la
aproximación óptima a 3 es 2.82 entre los 4 valores dados.
59
Anexos
Mauro Mira López
Una vez que has leído lo que está enmarcado, indica cuál es la aproximación óptima
a) por la izquierda de los tres valores próximos al punto 4, por la izquierda, dados
en el apartado a) de la actividad 8.
b) por la derecha de los tres valores próximos al punto 4, por la derecha, dados en
el apartado a) de la actividad 8.
c) por ambos lados, derecha e izquierda, de los seis valores próximos al punto 4,
del apartado a) de la actividad 8.
OM: Lo hacen bien, y está recogido en el archivo escrito S5T9JC110411.dfw y el
archivo oral S5T9JC110411.avi.
S6 T10 11 JC 06 al 30 05 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 10.1
Dada la función
a) Dibuja la función
b) Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3, fijándote en los valores
de x y f(x).
c) Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
d) Completa la frase “El límite L de la función en x = 3, es 7 porque
________________________________________________________________
______________”
C: Es su imagen, hemos puesto.
OM: A pesar de que hacen una tabla de aproximación a 3 por ambos lados muy bien, y
dibujan la gráfica también con los puntos, no aplican el concepto de límite por
aproximación dinámica que trabajaron casi bien en la sesión 7, y que distinguieron del
valor de la función en un punto, porque no siempre tenía que coincidir. Vuelven a
confundir límite en un punto con el valor de f en dicho punto. Siguen en la fase de
participación. Tal vez esto les condicione para trabajar esta tarea que viene recogida en
el archivo oral S6T10.1JC230511.avi.
Leer…
En esta sesión y en las siguientes vamos a trabajar el límite de una función desde dos aproximaciones
óptimas, en el eje y así como en el eje x, es decir,
El valor L es el límite de f(x) en "a" si, para todo valor K muy próximo a L, existe otro valor h muy
próximo a "a", tal que los "x" que mejoran ese valor h, es decir que están más próximos a “a”, hacen
que sus imágenes f(x) también mejoren el valor K cercano a L, y estén más cerca de L.
Fíjate en el dibujo para tener una idea intuitiva de lo que has leído
Por ejemplo, como el límite de la función f(x) = x2 - 2 en x = 3 es 7, debemos encontrar un valor que
llamaremos “h” próximo a 3 tal que los "x" que mejoren este valor en cuanto a proximidad, hacen que
sus imágenes f(x) mejoren el valor k próximo al límite 7 para que podamos decir que existe límite.
60
Anexos
Mauro Mira López
Fijamos un valor que llamamos K próximo al límite 7, por la izquierda o derecha. Por ejemplo:
Por la izquierda, podría ser k- = 6.51, un valor próximo al límite L, y está a una distancia de 0.49, ya
que
|6.51- 7|= 0.49
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 2.917234
También podría ser por la derecha, el valor k+ = 7.52, que está a la distancia,|7.52-7|= 0.52
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 3.085837
61
Anexos
Mauro Mira López
Nos quedamos con el de la izquierda, k- = 6.51.
Tarea 10.2
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a)Busca algunos valores (cuatro, por ejemplo) con el cursor en el Derive, próximos a 7
y les llamas f(x1), f(x2), f(x3), f(x4). ¿A qué distancia están de 7 los valores f(x1), f(x2),
f(x3), f(x4)?
OM: Lo dicen bien, pero lo escriben mal, f1(x) en vez de f(x1), pero no hay constancia
de cómo los han buscado, creo que no lo han hecho con el Derive en la gráfica, sino
como valores numéricos propuestos por ellos al azar, cerca de 7.
b)Calcula las valores x1, x2, x3, x4 con el Derive. ¿A qué distancia están de 3 los valores
x1, x2, x3, x4?
OM: Tampoco hay constancia de cómo lo hacen, sino que se inventan unos números
próximos a 3, pero lo expresan todo mal. Están usando registros numéricos y no utilizan
los gráficos que les sugiere.
c)Partiendo de la aproximación de 6.51 a 7, ¿puedes encontrar alguna aproximación “h”
a 3, de forma que f(h) mejore la aproximación anterior?
C: 2.87 porque lo hemos comprobado en la tabla.
62
Anexos
Mauro Mira López
OM: Tampoco hay constancia de cómo lo hacen, y además no es correcta.
d)¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar? ¿Por qué?
C: Infinitas porque puedes sumar infinitos números decimales y por lo tanto se
acercaría más, 2.87, pues 2.871 se acerca más, 2.8711 se acercaría más y así
consecutivamente.
OM: Utilizando la lógica de una aproximación mayor de 2.87 a 3, infiere que las
aproximaciones a 7, también serán mejores. No cabe duda que es un registro mental
interesante.
Ahora fijamos otra aproximación a 7 diferente de 6.51, como por ejemplo k- =
6.967184, que viene de
x= 2.994526, y que está dibujada abajo…
e)Partiendo de la aproximación de 6.967184 a 7, ¿podrías encontrar una aproximación
“h” a 3, de manera que los valores f(h) estén más cerca de 7 que la aproximación
anterior?
f)¿A qué distancia has encontrado la aproximación “h” a 3 que mejora las
aproximaciones de sus imágenes al límite L = 7?
OM: Utilizan bien el programa informático, usando registro numérico, y responden
bien.
63
Anexos
Mauro Mira López
g)Fija ahora, una nueva aproximación, “K+” a 7 por la derecha, y encuentra una
aproximación “h” a 3, también por la derecha, de manera que las aproximaciones que
mejoren la distancia de “h” a 3, mejoren también la distancia de “K+” a 7.
OM: Utilizan bien el programa informático, usando registro numérico, y responden
bien, solo que utiliza la palabra antiimagen, cuando es imagen, pero va con facilidad de
f(x) a x y viceversa, Dicho en términos coloquiales y gráficos, es una retroalimentación
que corresponde a un proceso de ida-vuelta: una vez establecido el entorno en el límite
con el ε dado (la aproximación al límite) “vamos” desde el eje de ordenadas al de
abscisas para determinar el correspondiente δ asociado (la aproximación al punto), y
“volvemos” al entorno del límite en el eje de ordenadas para comprobar que las
imágenes de valores correspondientes al eje de abscisas, pertenecen al entorno
considerado.
h)¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has fijado la aproximación “k” al límite
7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se llama un ________ de 7.
C: No lo he hecho con varios valores, simplemente he cogido la gráfica, he visto un
valor que lo mejore y he puesto el resultado, entonces algo estoy haciendo mal, no sé si
en procedimientos o en conceptos, con el Derive, pero no lo sé.
OM: Siguiendo su contestación podría escoger un intervalo de valores en la misma
gráfica o en la tabla, entre los que coger una mejor aproximación, pero se cree que al
escoger una sola aproximación, lo tiene mal cuando no es así, en una grabación
posterior, hablando con el profesor, aclaran las dudas.
i)¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has encontrado la aproximación “h” a 3
que mejora las aproximaciones al límite 7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se
llama un ________ de ____.
C: Es prácticamente lo mismo que en el anterior apartado, sigo teniendo la duda de no
sé que estoy haciendo mal pero…
C: En la última grabación comentaba que estaba perdido y que no sabía lo que estaba
mal, pero hablando con el profesor, y pues, llegamos a la conclusión, que bueno, no
había ningún problema y todo va bien, entonces nos pide que digamos mediante un
intervalo los valores por la izquierda y derecha que he fijado la aproximación “k” al
límite 7, bueno, pues aquí lo hemos puesto y ese intervalo se llama un entorno de 7…
j)¿Hay límite en x=3 desde el punto de vista de aproximación óptima? ¿Por qué?
Exprésalo matemáticamente:
C: Calculado el límite, sería 7 como también se puede ver en la gráfica, pero en cuanto
64
Anexos
Mauro Mira López
a la pregunta desde el punto de vista de aproximación óptima, no sabría responderlo,
no sé, no tengo las ideas muy claras…tengo problemas con la actividad 10 y me he
perdido un poco, y bueno, le echaré un vistazo…
OM: Vuelve a confundir límite en un punto con el valor de f en dicho punto, y desde
luego no ha reflexionado sobre el concepto de límite por aproximación óptima.
C: …y expresado matemáticamente, límite de x cuando tiende a 3 la función vale 7.
OM: Primero explica el límite por aproximación dinámica, después al expresarlo
matemáticamente, vuelve a confundir límite en un punto con el valor de f en dicho
punto, y desde luego tampoco ha reflexionado sobre el concepto de límite por
aproximación óptima. Tal vez estas tareas se deberían haber explicado en grupo,
trabajarlas posteriormente de manera individual, para pasar a la siguiente tarea de
anticipación.
Tarea 11
Dadas las funciones
 x 2  2, si x  3
x2  x  6
f ( x)  
g ( x) 
x3
 2 x, si x  3
Calcula si es posible el límite en x=3, empleando una aproximación óptima. Expresa el
resultado matemáticamente.
J: …hemos comprobado que en la 1ª, que al principio la habíamos dibujado y teníamos
nuestras dudas porque pensábamos que sí que había límite por la forma de la función,
pero luego al hacer la tabla nos daba que por la izquierda f(x) tendía a 7 y por la
derecha tendía a 6, hemos visto algo raro ahí, y la hemos vuelto a dibujar, y la hemos
vuelto a mirar mejor, y hemos visto que si que es cierto que no había límite, y aquí
hemos explicado el por qué…
No es posible el límite en X=3 porque al aproximarse por la izquierda de x=3 la Y
tiende a 7, mientras que al aproximarse por la derecha de x=3 la Y tiende a 6.
J: En la siguiente función, que es una línea recta que no se corta, existe límite en x=3
porque al aproximarse por la izquierda de x=3 la Y tiende a 1 y al aproximarse por la
derecha también.
OM: Hay un claro ejemplo con la 1ª función que usan 2 registros numérico y gráfico
para ir ajustándose al objetivo, en función de los efectos de la actividad. Pero explican
el límite por aproximación dinámica, no por aproximación óptima. Las tareas 10 (1 y 2)
se han hecho en una fase de participación únicamente, por eso no se ha resuelto bien la
65
Anexos
Mauro Mira López
tarea 11.
S7 T 12 13 JC 30 05 y 03 06 11.
Tarea 12
Dada la función
a)Dibuja la función
b)Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3
c)Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
OM: La tabla la hacen bien, no hace falta ponerla.
d)Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a x = 3, por la derecha y
por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 3? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias cuánto más me acerco a 3? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Para hacer la tabla, debes introducir como vector en el Derive [x, |3-x|].
C: Como se puede comprobar en esta zona cada vez que nos vamos acercando a 3,
tiende a 0 (las distancias).
Hemos contestado aquí… Conforme nos acercamos a 3 las distancias disminuyen
tendiendo a 0, lim x→3 |3-x|→0
OM: La expresión matemática no es del todo acertada.
e)Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a f(x) = 7, por la derecha y
por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 7? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla debes introducir como vector en el Derive [f(x), |f(x)7|].
C: Se vuelve a comprobar que tienden a 0 ¿o no? No parecen tender a 0. Puede ser que
tiendan a 0.06, bueno habría que dar más decimales para averiguarlo, por lo tanto
ahora corregiremos esto y diremos que puede ser una cosa u otra.
66
Anexos
Mauro Mira López
f)Haz una tabla conjunta con las distancias entre los valores próximos a x = 3 y entre los
valores próximos a f(x) = 7. Observa conjuntamente hacia qué número tienden esas
distancias.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive
[x, |3-x|, f(x), | f(x)-7|].
C: Esta sería la tabla, valores, distancia, valores, distancia…
OM: Hacen la tabla conjunta pero la “x” va de 2.9 a 7.1, como si el valor 7 que se resta
a f(x) fuera un valor de dicha variable y no de “y”, aunque responden bien a la tendencia
de las distancias.
C: Ambas distancias conforme nos acercamos a 7 y 3, tienden a 0.
2
g)¿Hay límite desde el punto de vista métrico, de la función f ( x)  x  2 cuando x
tiende a 3 ¿Por qué?
C: Sí, ya que cuando nos acercamos a 3 por la izquierda o por la derecha tiende
siempre a 7.
OM: El concepto dinámico de límite ¿prevalece en este caso?, a pesar del trabajo de las
distancias o tal vez como esas distancias tienden a 0, lo relacionen de manera más
explícita con la tendencia a 7 y no estén haciendo uso del concepto dinámico, sino
67
Anexos
Mauro Mira López
reforzándolo, puesto que estos alumnos sí han trabajado las distancias.
Tarea 13
Dadas las funciones
 x 2  2, si x  0
2x  4  2
f ( x) 
g ( x)  
x 1 1
 2 x, si x  0
Halla el límite si lo hay de dichas funciones cuando x0, por el mismo procedimiento
anterior, observando a que tienden las distancias. Justifica tus respuestas, y expresa el
resultado matemáticamente.
C: En f(x), como se puede comprobar en la gráfica, el límite cuando x→0 tanto por la
izquierda como por la derecha, es 1. En g(x) como se puede comprobar en la gráfica, el
límite cuando x→0 tanto por la izquierda como por la derecha, no existe.
OM: Finalmente no hacen las tablas con las distancias y se quedan con el concepto
dinámico de límite, luego la observación anterior no sé que valor tendrá. En el archivo
escrito, vienen a continuación unas tablas pero sin comentarios escritos que nos aclaren
algo.
En la tarea no hay una referencia explícita a qué es límite por aproximación métrica.
Suponíamos que podrían deducir las tendencias de las distancias y eso les haría
descubrir un nuevo concepto de límite por vecindad de tablas numéricas más que de
gráficas que confirmara lo que dice Prezenioslo (2004, 113) que la concepción de límite
unida a la aproximación de sus valores es más eficiente que la idea basada en la
aproximación de puntos de la gráfica. En cualquier caso falta uno o varios apartados
haciendo alusión o completándolos a que cuando esas distancias tienden a 0, hay límite
por aproximación métrica.
Se debería haber preguntado 1º si hay límite por aproximación dinámica y confirmarlo
después por aproximación métrica.
68
Anexos
Mauro Mira López
Pareja LI
S1 T11 LI 18 03 11. Transcripción y Observaciones.
Tarea 1:
Fijándote en el ejemplo que has leído
a) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la derecha.
b) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la izquierda.
S1 T22 LI 18 03 11. Transcripción y Observaciones.
Tarea 2:
Dada la función y= x2 -1
a) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha? ¿Por qué?
I.-Apartado a). Hemos escogido el salto de 0.1. Para que x se aproxime a 3 por la
derecha el salto tendría que ser menor a 1 porque un salto mayor e igual a 1 supondría
que no apareciesen valores que se aproximen a 3 por la derecha.
b) Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x=3, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x=3, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
I.-Apartado b). Vamos a hacer una tabla de valores, vamos a cálculo, le damos a vector
y de valor inicial le vamos a dar, por ejemplo… 12 y de valor final 22, salto de 1 en 1 y
le damos a aproximar, y sale una tabla de valores, la vamos a dibujar y tenemos que
usar los zooms para que aparezcan los puntos, ya han aparecido y los vamos a insertar
en la página principal.
L.-Como no hemos leído bien el apartado, nos hemos equivocado y hemos elaborado
una tabla con los valores que hemos querido y los valores tendrían que aproximarse
por la izquierda y por la derecha a 3, así que vamos a borrar la tabla con la gráfica y
vamos a realizar el ejercicio de nuevo.
L.-Vamos a realizar otra tabla, ahora sí que los valores se aproximen a 3 por la
izquierda y la derecha, como valor inicial le vamos a dar 2.1 y como valor final 3.9 y el
salto lo vamos a hacer de 0.1 en 0.1 y le vamos a dar aproximar, nos sale la tabla y a
continuación debemos dibujarla…tenemos que borrar la tabla anterior. Ahora le vamos
a dar a los zooms, el punto lo tenemos dibujado pero queremos que se haga…estos son
los puntos que nos salen y como le hemos dado un salto muy pequeño, pues los puntos
están…salen juntos. Ahora vamos a incrustar la tabla en la gráfica en la pantalla
principal. Nos hemos vuelto a equivocar porque en la tabla que hemos hecho de valores
que se aproximan a 3 por la izquierda y por la derecha la hemos hecho junta y nos dan
valores, algunos que se pasan del 3, y no deben llegar al 3, por lo tanto vamos a
69
Anexos
Mauro Mira López
borrarla y a volver a realizarla… y la gráfica también la borramos.
OM: Les podría haber servido la tabla de 2.1 a 3.9 e interpretar cuando te acercas por la
izquierda y por la derecha. De hecho se les pide una tabla única, sólo que
interpretándola bien.
L.-Vamos a realizar la tabla de valores con los números que se aproximan por la
derecha a 3. Como valor inicial le hemos puesto 3.1.
I.-Hemos puesto para el valor inicial 3.1 y para el valor final 3.9 y el salto 0.1 y le
damos a aproximar.
L.-Yo pienso que hemos hecho mal esta tabla de valores porque como dice que nos
aproximemos a 3 por la derecha, el 3.1 ya forma parte del 3, entonces… y el 3 no llega
a cogerse, entonces yo pienso que el valor tendría que ser hasta 4 para que no llegue a
coger ningún punto del 3.
I.-Cuando nos aproximamos a 3 por la derecha, por supuesto que los valores van a ser
mayores que 3, puesto que 3.1 es mayor a 3 y 3.9 es mayor a 3, pero como es por la
derecha tienen que ser números mayores a 3, pero nunca llegan a alcanzar el 3.
L.-Vale, ahora lo veo bien, porque es verdad que el 3.1 es mayor que 3, lo que yo me
había confundido, porque si lo miras por la izquierda si que solo puedes llegar hasta el
2.9 y varios decimales sin coger el 3, entonces si que es mi planteamiento, pero al ser
por la derecha pues el 3.1 lo puedes coger porque es mayor que 3 y no llega a coger al
3, sería 3 coma decimales pero sin llegar al 3 solo.
I.-Está bien.
OM: L tiene dificultades de la aproximación al ver la tabla de arriba hacia abajo, pero
tras la reflexión de su compañera, parece que lo entiende.
I.-Cuando la “x” se aproxima a 3 por la derecha, hemos deducido que la f(x) tiende
hacia un nº positivo pero no sabemos hasta qué nº, si llegará hasta +infinito o se
plantará en un nº.
L.-Yo pienso que a medida que aumenta la “x” la “y” va a seguir aumentando y puede
llegar hasta +infinito.
OM: La tabla está bien hecha, pero hay que leerla de abajo (x=3.9) hacia arriba (x=3.1)
para ver la aproximación por la derecha. Tal vez si la tabla la hubieran iniciado de 3.9 y
con salto negativo, hubieran entendido mejor la aproximación por la derecha de x a 3.
Está visto que los cambios de registros influyen en su aprendizaje. De ahí que
responden que la "y" aumenta, cuando en realidad disminuye.
I.-Ahora vamos a hacer otra tabla cuando la “x” se aproxima a 3 por la izquierda, le
damos a cálculo, vector y ahora puesto que es por la izquierda el valor inicial que le
vamos a dar es 2.1 y el valor final 2.9 y el salto igual de 0.1 y le damos a aproximar.
Vale.
I.-Cuando la “x” tiende a 3 por la izquierda, la f(x) va aumentando pero no sabemos en
que medida seguirá aumentando, si tenderá hacia un nº concreto o tenderá a +infinito.
L.-Yo pienso que tenderá hacia un nº concreto porque la “x” ya está aquí en 2.9 y ya le
quedan valores pero los valores son infinitos, bueno sí puede tender hasta un nº infinito,
porque los valores que hay entre 2.9 y entre el 3 hay muchos valores y pueden ser
infinitos también. Que puede ser 2.9, 2.91, 2.92, 2.923, puede tener muchos valores,
entonces la “y” también puede tender hasta +infinito o puede tender hacia un nº
70
Anexos
Mauro Mira López
concreto.
OM: La tendencia de “y” a +∞ la interpreta L como que en ese pequeño intervalo de 2.9
a 3, no saben como evolucionará la "y", y no se arriesgan a decirlo, aunque podrían
haber usado los zooms o probar con secuencias más próximas de x a 3, o que no
interpretan bien la funcionalidad de las parejas, es decir de (2.8, 6.84) a (2.9,7.41) el
aumento de “y” no es muy grande, lo que puede indicar que no tienen claro que es la
tendencia.
S2 T34 LI 18 03 11 Transcripción y Observaciones
71
Anexos
Mauro Mira López
OM: En toda la actividad, al hacer la tabla se confunden al mirarla de arriba abajo o al
revés y encuentran 2 tendencias de la “y”, lo que les confunde completamente.
S3 T56 LI 01, 04 04 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 5
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
Una vez dibujada,
a)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
72
Anexos
Mauro Mira López
(6 filas por 2 columnas).
b)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha?
L: Bueno, se puede comprobar que la “y” aumenta… hasta el 30, no puede aumentar
más… bueno sí puede aumentar más porque aquí a la “x” se le pueden añadir más
decimales y la “y” puede seguir aumentando mientras que la “x” disminuye, así, yo
creo que la “y” va a tender a +∞.
OM: Al hacer la tabla, como hay unos valores inicial y final, establece un cómputo
finito que da una respuesta definida, como indicó Cotrill (1981), cuando en realidad es
infinito y solo puede ser comprendido por una concepción de proceso en el dominio y
en el rango. En este caso la alumna L sí lo tiene porque construye los dos procesos,
coordinando la aproximación lateral en el dominio y la tendencia en el rango.
L: Cuando la “x” tiene una disminución de 0.1 la “y” va aumentando. En el #5 hemos
vuelto a dar valores a “y” para ver su tendencia y hemos visto que tiende a +∞ por lo
que hemos calculado.
L: Vamos a dibujarlo, aunque así con la tabla se puede distinguir bien.
L: Aquí se puede ver que cuando la “x” tiende a 1 por la derecha pero sin llegar a
tocarlo, la “y”, aquí más o menos estaría el 1, tiende a +∞
L: Vamos a incrustarlo en la página principal… o bueno, no, no se sabe, porque puede
tender también a un nº, porque se para aquí la función, ya no sigue creciendo, pero no
puede ser, porque aquí pone que solo sigue hasta el valor 3, cuando en los valores que
le hemos dado toma valores hasta el 15 y en la otra toma valores hasta el 30. Entonces
no puede ser que aquí solo tome valores hasta el 3. Lo que se puede concluir es que
aunque aquí se corta, la función sigue creciendo y llega hasta +∞.
73
Anexos
Mauro Mira López
L: Hemos hecho una representación gráfica para ver gráficamente el recorrido de la y,
hemos visto que cuando la x tiene a 1 la “y” tiende a más infinito. También hemos visto
que la “y” crece con mucha rapidez.
OM: Trabaja desde distintos registros, antes el numérico, ahora confirma la tendencia
con el gráfico la aproximación a un punto, sabiéndolos transformar de unos a otros, tal y
como dice Duval.
c)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
d)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda? Completa esta
expresión
L: … Cuando la “x” se acerca a 1 por la izquierda la “y” yo creo que va a tender a ∞. Vamos a hacer una tabla con más valores, para comprobar a qué puede tender. A
simple vista vemos que cuando la “x” tiende a 1 por la izquierda la y tiende a -∞ o bien
a un número concreto, o puede tener una asíntota y que se estabilice. Para verlo mejor
vamos a representarlo gráficamente y también vamos a darle más valores a la “x” para
ver hacia donde tiende la “y”.
OM: Hace lo mismo que antes, trabaja desde distintos registros, numérico, ahora busca
74
Anexos
Mauro Mira López
la tendencia con el gráfico la aproximación a un punto.
e)Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en
x=1
L: … Y nos da cuando se sustituye la “x” por 1 da ±∞.
OM: No entienden bien la pregunta y calcula con el Derive el valor de la función en x
=1, pero no lo compara con las tendencias que hizo bien anteriormente. El que está
aprendiendo cree que hay dos aproximaciones, la de la sucesión de valores de la
variable independiente hacia un valor y la de la sucesión de valores de la variable
dependiente hacia el límite; en este caso no es consciente de la conexión que la función
f establece entre ambas sucesiones.
Tarea 6
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
L: Nos dan una función definida a trozos, que la vamos a escribir…Una vez que ya la
hemos puesto, vamos a dibujarla, pero… ¿le has dado valores?
I: Hemos dibujado 1º la función. Sale una parábola.
L: Pienso yo que como una es elevado a 2 pues sale una parábola.
I: Claro.
Una vez dibujada,
a)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
75
Anexos
Mauro Mira López
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
L: Ahora nos dice tenemos que dar valores que se aproximen a x = 3 por la derecha,
entonces tienen que ser valores del + ∞ hasta el 3 sin cogerlo.
I: Entonces cogemos el trozo de 2x… que te dice que se acerca a 3 por la derecha,
entonces tienen que ser mayores a 3. Te dicen que tienes que hacer una tabla de valores
cuando la x = 3 por la derecha. Entonces, si es por la derecha, eso quiere decir que van
a ser números mayores que 3, por ejemplo, 3.1, 3.009…
L: O igual.
I: Entonces vamos a coger la función…
L: O igual ¿no?
I: No, pero eso es aquí en esta función…pero aquí como te dice que es por la derecha
tiene que ser mayores a 3.
L: Y este es menor, tienes que coger la de abajo.
I: Por eso, como tienen que ser mayores a 3, vamos a coger el trozo de la función a
trozos de f(x) = 2x.
L: Entonces, los valores que le demos a la función, el 3 también puede ser un valor que
le demos.
I: Sí, Mmm… ese trozo de la función, si que se puede coger el 3 porque te dice ≥, pero
como te está diciendo que cojas los valores que se aproximen a 3 por la derecha,
tienden a 3 pero no llegan a alcanzarlo.
L: Vale.
I: Vamos a poner solo el trozo este de la función.
L: Vamos a poner la función de abajo, porque es la que nos dice que ahí la “x” es más
que si… en la función 2x, la “x” es mayor que 3, y como nos dice que tenemos que
acercarnos por la derecha, pues tenemos que coger la que sea mayor.
I: Vamos a hacer una tabla de valores.
L: En la representación que hemos hecho arriba, no nos hemos dado cuenta, y yo he
pensado que si era una función definida a trozos, pues no podía ser una parábola,
bueno sí que puede ser, pero yo lo he visto raro y le he dicho a mi compañera que si
estaba dividida en trozos pues tendría que haber un espacio entre ambas, y ella me ha
dicho que no tenía por qué, no era necesario, hemos mirado la función para salir de
dudas, y al darle a los zooms, hemos visto que la función tiene un corte y que no es
una…¿qué?
76
Anexos
Mauro Mira López
I: Una parábola…
L: … y que no es una parábola completa, sino que en un trozo es una recta.
I: Sí que es una parábola pero la parábola solo es cuando la “x”, los valores de “x”
son < 3, y luego cuando los valores de “x” son ≥ 3 es una función lineal, sale una línea
recta.
L: Por eso yo al ver las dos funciones, y al ver que la 1ª está elevada a 2 eso significa
que es una parábola, pero la 2ª al no estar elevado a 2, pues ya… me he puesto a
pensar y… hemos visto que no era parábola
b)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la derecha?
I: Cuando la x tiende a 3 por la derecha la y tiende a aumentar.
OM: Discuten sobre el dominio y rango de la función, que no se les pregunta (¿) y de
ahí llegan a la conclusión que cuando la “x” aumenta, también lo hace la “y”, siguiendo
la tabla de arriba abajo, con lo que no prestan atención al objetivo, a la tarea y vuelven a
confundirse con el registro tabular.
c)Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
d)¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la izquierda?
L: Yo creo que cuando la “x” se acerca a 3 por la izquierda, la “y” tiende a otro nº, no
sé cual es, porque ahí tiene un corte la función.
I: Cuando la x tiende a 3 por la izquierda la y tiende a aumentar.
OM: Ídem que en el apartado b, pero hay 2 conclusiones diferentes de las 2 alumnas,
aunque la que acierta, no fija ese valor de tendencia.
e)Compara la tendencia de la función en x = 3 con el valor de la función en x = 3
77
Anexos
Mauro Mira López
OM: No coordinan de una manera global las aproximaciones laterales a x = 3 con las
tendencias de f(x). Ni lo relacionan con el valor de f(3), y aunque lo han trabajado en las
tareas anteriores, es una constatación de que están en la fase de participación.
S4T7LI080411. Transcripción y Observaciones
Tarea 7
78
Anexos
Mauro Mira López
79
Anexos
Mauro Mira López
S5 T89 LI 06 05 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 8
Leer…
Para calcular la distancia de un punto a otro tenemos que calcular la diferencia entre
estos puntos. Por ejemplo, la distancia de 3.007 a 3 es 0.007 = 3.007-3. Las distancias
no pueden ser negativas, por tanto, como la distancia de 2.994 a 3 es igual a -0.006
(2.994-3 = -0.006 ), las distancias las expresaremos en valor absoluto,
independientemente que sean positivas o negativas, es decir,

distancia de 3.007 a 3,

distancia de 2.994 a 3,
3.007  3  0.007
2.994  3  0.006
ó |3 ─ 3.007|= 0.007
ó |3 ─ 2.994| = 0.006
En general, la distancia de un punto x a otro "a", se expresará |x-a| ó |a-x|
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a)Escribe seis valores próximos al punto 4, tres por la derecha y tres por la izquierda, y
calcula las distancias de cada uno de los valores a dicho punto en el Derive.
OM: Lo hacen bien, y está recogido en el archivo oral S5T89LI060511.avi.
2
b)Dada la función f ( x )  x  2 . Haz una tabla conjunta con las distancias entre los
valores próximos a x = 3 por la derecha e izquierda y entre los valores próximos a f(x) =
7 por la derecha e izquierda.
Ayuda: Para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive: [x, |3-x|,
f(x), | f(x)-7|].
80
Anexos
Mauro Mira López
OM: Lo hacen bien, y está recogido en el archivo oral S5T89LI060511.avi, pero no
hacen ningún comentario.
Tarea 9
Leer…
Llamamos a un valor, aproximación óptima, entre varios valores próximos a
otro dado, a aquel en que la distancia de dicho valor al dado es la menor, es
decir, está más cerca.
Por ejemplo, entre los cuatro valores de “x”, 2.8, 2.81, 2.811, 2.82, que
hemos escogido, próximos a 3 por la izquierda, hallamos las respectivas
distancias a 3.
2.8  3  0.2

distancia de 2.8 a 3,

distancia de 2.81 a 3, |2.81-3| = 0.19

distancia de 2.811 a 3, |2.811-3| = 0.189

distancia de 2.82 a 3, |2.82-3| = 0.18
Como vemos, el valor de los cuatro, que más se acerca a 3, es 2.82, porque su
distancia a 3 es 0.18, y por lo tanto está más cerca, y decimos entonces que la
aproximación óptima a 3 es 2.82 entre los 4 valores dados.
Una vez que has leído lo que está enmarcado, indica cuál es la aproximación óptima
a)por la izquierda de los tres valores próximos al punto 4, por la izquierda, dados en el
apartado a) de la actividad 8.
b)por la derecha de los tres valores próximos al punto 4, por la derecha, dados en el
apartado a) de la actividad 8.
c)por ambos lados, derecha e izquierda, de los seis valores próximos al punto 4, del
apartado a) de la actividad 8.
a) de los tres valores próximos a 4- 3.999 es la óptima.
81
Anexos
Mauro Mira López
b) de los 3 valores próximos a 4+ 4.0001 es la óptima
c) de los 6 valores 3.999 es la óptima.
OM: Está correcto.
S6 T1011 LI 09 al 27 05 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 10.1 Dada la función
a)Dibuja la función
b)Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3, fijándote en los valores de x
y f(x).
L: Cuando la x es 3 la y es 7.
OM: Solo se fijan en los valores de “x” 3 e “y” 7, no cerca de 3.
c) Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
L: Pero un momento, pienso yo, si lo haces con eso, que no lo haces dándole valores,
también te dará valores del 3.
I: ¿Qué estás diciendo?
L: Que te da valores que incluyen el 3, y el 3 no, dicen que son laterales por un lado y
por el otro.
I: Estos son por la derecha, 3.1 se aproxima a 3 aunque sea mayor que 3, es por la
derecha, entonces… es verdad que tienen que ser mayores que 3 pero se acerca a 3.
L: Pero ahí estás haciendo dolo los de un lado, y después necesitas la tabla para el otro
lado.
I: Es que si los ponemos los dos juntos por la derecha y por la izquierda, tendríamos
que incluiríamos el 3, y el 3 no lo coge.
L: Pues eso es lo que estaba diciendo yo, creía que estabas haciendo la tabla con los 2
valores.
I: Lo he hecho por la derecha.
82
Anexos
Mauro Mira López
I: Es que mira, vamos a probar a hacerlo por ambos lados, cuando se aproxima por la
izquierda y por la derecha, pero vas a ver que en el 3 te sale valor, y no te pide el 3,
quiere valores que se aproximen al 3, venga vamos a hacerlo.
L: Primero por la izquierda y después por la derecha ¿no?
I: La verdad que al darle los 2 juntos, darle valores en la tabla para que se aproxime a
3 por la derecha y por la izquierda, ya también nos sale el valor del 3, pero no quiere el
valor del 3 sino los números que se aproximan., lo que podemos hacer es hacerlo
primero por la derecha y luego por la izquierda.
L: Pues eso es lo que te estaba diciendo yo, creía que lo estabas haciendo por los 2 y
por eso te lo he dicho.
L: Esta tabla que hemos hecho es de valores por la derecha, que se acercan a 3, y
ahora vamos a darle valores por la izquierda. Ya hemos hecho las 2 tablas de valores.
OM: El debate es interesante, porque sus registros mentales (Registros de la relación
Actividad-Efecto) dicen que las aproximaciones a un punto, no deben alcanzarlo, lo cual
es bueno para estudiar la tendencia de f(x), y creen que es mejor hacer las tablas
laterales sin llegar al punto 3, lo que podría ser indicador de que no se deben hacer las
tablas conjuntas por la derecha e izquierda al punto, hasta que se haya diferenciado
entre tendencia o límite lateral, y valor de la función en el punto, porque les podría
inducir a error en el concepto de límite en un punto, como ocurre a continuación. En
definitiva como dice Roh (2008) citado en el artículo de Pons et al. Página 326 de la
revista Enseñanza de las Ciencias sobre coordinación de los procesos de aproximación
en la comprensión del límite de una función, “Cómo inducir imágenes dinámicas que
sean compatibles con la definición de límite” (p. 231).
d) Completa la frase “El límite L de la función en x = 3, es 7 porque
______________________________________________________________________
________”
83
Anexos
Mauro Mira López
I: Antes cuando la x = 3, f(x) = 7, cuando sustituíamos la “x” por 3, la f(x) nos daba 7,
entonces aquí pone
L e I: El límite L de la función en x=3, es 7 porque al substituir la x por 3 la función
nos da 7, por eso el límite es 7
Leer…
En esta sesión y en las siguientes vamos a trabajar el límite de una función desde dos aproximaciones
óptimas, en el eje y así como en el eje x, es decir,
El valor L es el límite de f(x) en "a" si, para todo valor K muy próximo a L, existe otro valor h muy
próximo a "a", tal que los "x" que mejoran ese valor h, es decir que están más próximos a “a”, hacen
que sus imágenes f(x) también mejoren el valor K cercano a L, y estén más cerca de L.
Fíjate en el dibujo para tener una idea intuitiva de lo que has leído
Por ejemplo, como el límite de la función f(x) = x2 - 2 en x = 3 es 7, debemos encontrar un valor que
llamaremos “h” próximo a 3 tal que los "x" que mejoren este valor en cuanto a proximidad, hacen que
sus imágenes f(x) mejoren el valor k próximo al límite 7 para que podamos decir que existe límite.
Fijamos un valor que llamamos K próximo al límite 7, por la izquierda o derecha. Por ejemplo:
Por la izquierda, podría ser k- = 6.51, un valor próximo al límite L, y está a una distancia de 0.49, ya
que
|6.51- 7|= 0.49
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 2.917234
84
Anexos
Mauro Mira López
También podría ser por la derecha, el valor k+ = 7.52, que está a la distancia,|7.52-7|= 0.52
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 3.085837
Nos quedamos con el de la izquierda, k- = 6.51.
Tarea 10.2
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a)Busca algunos valores (cuatro, por ejemplo) con el cursor en el Derive, próximos a 7
y les llamas f(x1), f(x2), f(x3), f(x4). ¿A qué distancia están de 7 los valores f(x1), f(x2),
f(x3), f(x4)?
I: Podemos coger 4 valores aproximados por la derecha o por la izquierda…por la
derecha
L: 7.37
I: Hay que hacerlo exacto ¿no? Yo creo que sí, porque luego te pide a que distancia
está, entonces hay que cogerlo con todos los decimales, no pero tanto no, no puedes,
85
Anexos
Mauro Mira López
tiene que ser 7 con algo… mira vamos a empezar con ese que es más pequeño… venga,
vete a la página principal
I: f(x1)= 7.061329
⎮7.061329 - 7⎮ = 0.061329
Al calcular la distancia entre 7 y f(x1) nos sale una distancia de 0.061329
f(x2)= 7.371095
Al calcular la distancia entre 7 y f(x2) nos sale una distancia de 0.371095
f(x3)=7.686068
Al calcular la distancia entre 7 y f(x3) nos sale una distancia de 0.686068
OM: Están manejando bien el cursor para fijar las aproximaciones a 7.
L: ¿Le damos todas por la izquierda?
I: No, estas son por la derecha, vamos a coger una por la izquierda, porque si no se nos
pasa, ya no podemos.
OM: ¿Por qué piensa I, que no puede poner un valor de 8 con algo? Es una
aproximación a 7, aunque un poco más alejada.
86
Anexos
Mauro Mira López
L: f(x4)=6.457414. Al calcular la distancia entre 7 y f(x4) nos sale una distancia de
0.542586
b) Calcula las valores x1, x2, x3, x4 con el Derive. ¿A qué distancia están de 3 los valores
x1, x2, x3, x4?
c) Partiendo de la aproximación de 6.51 a 7, ¿puedes encontrar alguna aproximación
“h” a 3, de forma que f(h) mejore la aproximación anterior?
d) ¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar? ¿Por qué?
OM: No hay sonido en el archivo de la tarea 10.2, y el escrito es el archivo
S6T10.2LI200511.dfw, por lo que las observaciones están hechas ahí.
87
Anexos
Mauro Mira López
88
Anexos
Mauro Mira López
Ahora fijamos otra aproximación a 7 diferente de 6.51, como por ejemplo k- =
6.967184, que viene de
x= 2.994526, y que está dibujada abajo…
89
Anexos
Mauro Mira López
e) Partiendo de la aproximación de 6.967184 a 7, ¿podrías encontrar una aproximación
“h” a 3, de manera que los valores f(h) estén más cerca de 7 que la aproximación
anterior?
L: Vamos a poner el cursor en el mismo punto que nos dice el ejercicio. El valor más
aproximado que encontramos, no encontramos el valor que nos dice aquí. Si lo amplías
más, a lo mejor te salen más valores, ¿lo ves? Ahora sale 2.994…
I: Cuando hemos puesto el cursor y le hemos dado al zoom, hemos visto que si que hay
valores mayores del que estaba la “x” aproximándose a 3, entonces nos sale una
distancia menor de f(x) hacia 7.
L: Nos piden que encontráramos una aproximación a 3 por la izquierda (No lo
especifica el apartado). La aproximación más pequeña posible, o sea que de la
aproximación a 3 hubiera la menor distancia posible y esa aproximación tenía que
hacer también que los valores que se aproximaban a 7 fueran, tuvieran la menor
distancia posible, y hemos visto que sí, que disminuyendo la aproximación del valor que
se acerca a 3 por la izquierda, la aproximación que se acerca a 7 por la izquierda,
también disminuye.
OM: Es un buen razonamiento de L, aunque algo, verbalmente, engorroso, sin embargo
90
Anexos
Mauro Mira López
su compañera, I, lo ha resumido mejor y con menos palabras.
L: También una manera de verse, que si la distancia del valor que se acerca a 3 por la
izquierda disminuye, la distancia del valor que se acerca a 7 por la izquierda también
tiende a disminuir.
OM: Mejor razonamiento de L, sus registros mentales (Registros de la relación
Actividad-Efecto) le han hecho mejorar, coordinando la aproximación de “x” a 3 con la
misma de f(x) a 7.
L: Si disminuye la distancia del valor que te da…
I: ¿Qué distancia?
L: Si aquí lo aproximas más a 3…
I: Si la “x” la aproximas más a 3…
L: La aproximación de la “y” también se aproxima más a 7…
I: Sí, eso sí.
L: Eso, lo que pasa es que no he dicho distancia.
f) ¿A qué distancia has encontrado la aproximación “h” a 3 que mejora las
aproximaciones de sus imágenes al límite L = 7?
L e I: Hemos cogido las siguientes distancias: h=2.99898, f(h)=6.99318. La distancia
de h a 3 es de 0.00102. La distancia de f(h) a 7, nos sale una aproximación de 0.00682
al aproximar f(h) a 7
g) Fija ahora, una nueva aproximación, “K+” a 7 por la derecha, y encuentra una
aproximación “h” a 3, también por la derecha, de manera que las aproximaciones que
mejoren la distancia de “h” a 3, mejoren también la distancia de “K+” a 7.
I: Nos vamos a la función y vamos a utilizar el cursor para aproximarnos a 7 por la
derecha, por lo que tienen que ser valores mayores a 7 (minuto 10:34, pero están
usando incorrectamente el cursor) y vamos a intentar buscar la aproximación a 7 por la
derecha de manera que también se aproxime lo mayor, lo más posible a 3. ¿Puedes
seguir bajando a 7? (minuto 10:59, ahora están usando correctamente el cursor). Dale
91
Anexos
Mauro Mira López
al zoom, a ver si nos deja aproximarnos más. ¿Lo ves?
Es que si le damos más al zoom pues permite aproximarnos más al 7, a 7 por la derecha
y a 3 por la derecha también.
La aproximación que hemos dado de h por la derecha es 3.000214 y la aproximación
que hemos dado de f(h) por la derecha es 7.001286, de manera que la “h” tiende a 3
por la derecha y está muy próximo al 3 y la f(h) también está más próximo a 7 que otros
valores.
L: Yo pienso que era de lógica, ya que si disminuye una distancia, la otra también
tiende a disminuir.
I: Sí, que cuanto más cerca esté la “h” del 3, lo estará la f(h) del 7.
h) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has fijado la aproximación “k” al límite
7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se llama un ________ de 7.
i) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has encontrado la aproximación “h” a 3
que mejora las aproximaciones al límite 7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se
llama un ________ de ____.
L: aproximación por la izquierda: [2.99898, 6.993182]; aproximación por la derecha:
[3.000214, 7.001286].
OM: No expresan bien los intervalos, mezclando los del eje “x” con los del “y”.
L: Ese intervalo es un entorno de 7, de un nº que se acerca por la izquierda y por la
92
Anexos
Mauro Mira López
derecha.
I: Son valores que están muy próximos de 7 pero por la derecha y por la izquierda, muy
próximos a 7 tanto por la derecha como por la izquierda.
I: Ese intervalo se llama un entorno a 3 por la izquierda y por la derecha.
j)¿Hay límite en x=3 desde el punto de vista de aproximación óptima? ¿Por qué?
Exprésalo matemáticamente:
I: Sí que hay límite porque tanto por la derecha como por la izquierda tiende a 3,
limx→3f(x)=7
OM: Vuelven al concepto de límite por aproximación dinámica, no comentan nada de la
aproximación óptima que han trabajado. Lo que indica que lo han hecho en una fase de
participación, no han sacado ninguna regularidad de las aproximaciones óptimas, ni han
hecho referencia al texto leído. Lo expresan casi bien matemáticamente, porque hay una
forma más correcta en el programa pinchando la función y el icono lim.
Tarea 11
Dadas las funciones
 x 2  2, si x  3
f ( x)  
 2 x, si x  3
g ( x) 
x2  x  6
x3
Calcula si es posible el límite en x=3, empleando una aproximación óptima. Expresa el
resultado matemáticamente.
OM: No hay grabaciones orales, y una que hay no se ve ni se oye, por lo que solo queda
el archivo escrito S6T11LI270511.dfw, donde están hechas las observaciones. Pero
explican el límite por aproximación dinámica, no por aproximación óptima. Las tareas
10 (1 y 2) se han hecho en una fase de participación únicamente, por eso no se ha
resuelto bien la tarea 11.
93
Anexos
Mauro Mira López
S7 T 12 13 LI 27 05 al 13 06 11. Transcripciones y Observaciones
Tarea 12
Dada la función
a)
Dibuja la función
b)
Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3
I: Cuando nos acercamos a 3 por la derecha y por la izquierda la f(x) se acerca a 7, por
lo tanto existe límite.
L: Existe límite, pero eso es el último apartado.
OM: Ya se ve que el concepto dinámico de límite domina cualquier otra opción, aunque
el título de la sesión es diferente, tal y como observan Tall y Vinner (1.981). La
actividad de mirar la función con el cursor y los zooms no les hace reflexionar en algo
diferente. Cabría la reflexión didáctica de haberles presentado en los dos conceptos de
límite diferentes a la dinámica, una lectura donde se les explicara que hay otra manera
de calcular límite de una función. Cabe la posibilidad de hallar el límite sin dibujar la
función por aproximación óptima y métrica. También se me ocurre una función que
puede aparentar que tiene límites laterales por sus tendencias, pero que no es así, y que
se observaría mejor con los conceptos de límites por aproximación óptima y dinámica,
como es la misma de antes, f(x) = x2-2 salvo para los “x” pertenecientes al intervalo
(2.8, 3.2).
c)
Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
L: Nos dice valores laterales, o sea que le podemos dar valores por la izquierda o por
la derecha, o por los dos lados o por donde queramos.
94
Anexos
Mauro Mira López
L: Le hemos dado valores por la izquierda.
I: No, han sido por la derecha. Estos son por la derecha.
L: ¡Ah! sí.
I: Tenemos que mirar la tabla al revés o poner el salto negativo, pero la miramos de
abajo hacia arriba y vemos que cuando se aproxima a 3 por la derecha, la f(x) se va
acercando a… 7. (Duda un poco)
L: No.
I: Verdad, que supera al 7.
L: Pero si se va acercando por la derecha está bien.
I: ¡Ah! Sí, sí, sí. Tiende a 7. Por lo que llegamos a la conclusión que hemos llegado
antes, por ambos lados tiende a 7.
L: No, la “x” tiende a 3 y la f(x)…
I: Cuando la “x” tiende a 3 por la derecha o por la izquierda la f(x) tiende a 7.
L: No, ¡ah! Bueno sí… podríamos hacer otra tabla de valores por la izquierda para que
se vea mejor.
I: Vale.
L: …los números del -∞ hasta el 3, sin llegar a tocar el 3, y vamos a coger las
aproximaciones más cercanas.
I: ¿Lo ves? Aquí si que tenemos que ver la tabla al derecho, porque nos aproximamos
por la izquierda y vemos que cada vez nos vamos acercando más a 7.
L: Cuando la “x” tiende a 3, la “y” tiende a 7… tanto si nos acercamos por la derecha
como por la izquierda.
OM: El diálogo es interesante porque pone de manifiesto que manejan bien los registros
de tablas numéricas para aproximaciones, coordinando el dominio y el rango y el
95
Anexos
Mauro Mira López
concepto de límite por aproximación dinámica. Tal vez este sea el único que se pueda
trabajar en este nivel de 1º de Bachillerato, tal y como aconsejan Blázquez y Ortega. El
cómputo de valores finitos y pasar a las tendencias en el infinito está casi alcanzado,
aunque duda la alumna I cuando ve que el último valor de la tabla, 7.61 supera al 7 que
es el límite que piensa que es, cuando “x” se aproxima a 3 por la derecha, pero luego en
el debate con su compañera, por efecto de la reflexión, cambia su registro mental y lo
ajusta al paso infinito de la tendencia, parece que tienen una concepción de proceso
como prevé Cornu (1.981).
d) Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a x = 3, por la derecha y
por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 3? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias cuánto más me acerco a 3? Exprésalo
matemáticamente.
Ayuda: Para hacer la tabla, debes introducir como vector en el Derive [x, |3-x|].
I: X→3+, Y→7
X→3- , Y→7
OM: No hacen las tablas con las distancias, creen que deben expresar las tendencias por
aproximación dinámica, que hacen bien, pero no pasan de ahí y prevalece sobre el límite
métrico. Es de suponer que todas las actividades posteriores no sirvan para nada,
solamente se realizarán en una fase de participación.
e)
Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a f(x) = 7, por la
derecha y por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 7?
¿Hacia qué número tienden esas distancias? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla debes introducir como vector en el Derive [f(x), |f(x)7|].
96
Anexos
Mauro Mira López
I: Como es por la derecha tenemos que mirar la tabla al revés. Esta vez nos vamos
aproximando al 48.
L: Hasta el 40.
I: 50 está aquí, 50 ya los coge.
L: Pero es que no te estás acercando con la “y”…
I: A 7 por la derecha.
L: …te estás acercando con la “x”, te tienes que acercar con la “y”, cuando f(x) = 7.
L: Yo no entiendo nada.
I: Yo tampoco entiendo mucho. Vamos a parar y le preguntamos al profesor.
OM: Esta actividad, junto con la anterior, puede que les confunda, y tal vez no fuera
necesaria, porque en la siguiente, conjuntamente se observan mejor las distancias en el
dominio y en el rango. El error de las alumnas está al poner los valores inicial y final a
7.1 y 7.9, pues deberían buscar valores de “x” próximos a 3 por la derecha.
I: Nos daban una pista, diciendo que utilizásemos los corchetes… [f(x), |f(x)-7|]. Hemos
solucionado, que teníamos algo mal… y nos equivocábamos porque en la variable,
nosotras dábamos de valor inicial como queríamos aproximarnos a la f(x) que era el 7,
le dábamos de valor inicial, por ejemplo 7.1 y de valor final 7.9, pero claro eso es para
la variable “x”, entonces si nos acercamos a 7 por la derecha para la f(x), la “x” nos
aproximaríamos a 3 por la derecha. Entonces le hemos dado valores a la variable de
“x” y con la pista que nos daba ya, pues nos sale la tabla.
Ahora vamos a hacerla por la izquierda.
L: Ahora tendremos que dar valores como el 2.1 de valor inicial, que se le tienen que
dar valores a la “x”, y el 2.9, y así como cuando la “x” tiende a 3, la “y” tiende a 7,
pues nos saldrán los valores.
97
Anexos
Mauro Mira López
L: Bueno, ya le hemos dado valores por la izquierda y por la derecha. Vamos a
expresarlo con una frase
I: Cuando la f(x) se acerca a 7+ se tiene que mirar la tabla de abajo hacia arriba y nos
salen valores 13.21, 12.44, así, que son aproximaciones a 7, y ahora cuando se
aproxima la f(x) a 7 por la izquierda le hemos tenido que dar unos valores para la
variable “x” para que nos salga que la f(x) se aproxima a 7 por la izquierda y le hemos
tenido que dar valores a la variable de “x” como desde 2.1 a 2.9…cuando la x se
aproxima a 3 por la izquierda la f(x) se acerca a 7
OM: Han rectificado los apartados, corrigiendo el error que señalaba en la anterior
observación, lo que no sabemos es si por conversaciones con el profesor o por ellas
mismas. En cualquier caso el ajuste de registro mental es importante, pero siguen sin
observar la columna de las distancias ni hacen uso de la misma para responder a qué
tienden esas distancias y cómo son conforme me acerco a 3 y a 7.
f)
Haz una tabla conjunta con las distancias entre los valores próximos a x = 3 y entre
los valores próximos a f(x) = 7. Observa conjuntamente hacia qué número tienden
esas distancias.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive
[x, |3-x|, f(x), | f(x)-7|].
I: Vamos a hacer la tabla y nos pide que la hagamos conjunta entre las distancias entre
los valores próximos a x = 3 y entre los valores próximos a f(x) = 7, pero cuando vamos
a hacer la tabla como la única variable que podemos hacer es la de la “x”, pues vamos
a poner los valores próximos a los de la “x”, a 3, por la derecha y por la izquierda.
98
Anexos
Mauro Mira López
L: Nos puede salir así porque en la función hay dos “x” y dos “y”
I: Vemos los de la “x”, esto es por la derecha, que se va aproximando a 3, 3.9, 3.8, y
esto es la f(x) que se va acercando a 7 de 13.21 a 7.61
L: Por la izquierda le podemos dar del 2.1 al 2.9 para que salga el mismo nº de valores
que este.
I: Ahora la tabla se mira de arriba hacia abajo, y aquí tenemos la “x” que va de 2.1 a
2.9, que se va aproximando a 3 por la izquierda, y aquí tenemos la f(x) que va de 2.41 a
6.41, que se va aproximando a 7 por la izquierda.
OM: Siguen sin observar las columnas de las distancias ni hacen uso de la misma para
99
Anexos
Mauro Mira López
responder a qué tienden esas distancias conforme me acerco a 3 y a 7.
2
g) ¿Hay límite desde el punto de vista métrico, de la función f ( x)  x  2 cuando x
tiende a 3 ¿Por qué?
L e I: Sí que hay límite porque cuando la x se acerca a 3 por la derecha y por la
izquierda la f(x) tiende a 7.
OM: El concepto dinámico de límite prevalece.
Tarea 13
Dadas las funciones
f ( x) 
 x 2  2, si x  0
g ( x)  
 2 x, si x  0
2x  4  2
x 1 1
Halla el límite si lo hay de dichas funciones cuando x0, por el mismo procedimiento
anterior, observando a que tienden las distancias. Justifica tus respuestas, y expresa el
resultado matemáticamente.
OM: Estas tareas las hacen con el concepto dinámico de límite, y están recogidos en los
archivos
escritos
S7T13.1LI300511.dfw,
S7T13.2LI130611.dfw
y
oral
S7T13.1LI300511.avi, pero no hay nada relevante del concepto métrico que se había
trabajado, incluso con la función “g” hacen una tabla de distancias, pero sin entrar a
comentarla.
I: …Vamos a hacer una tabla de valores cuando la “x” se acerca a 0 tanto por la
derecha como por la izquierda.
L: Para ver hacia donde tiende “y”, si tiende a lo mismo poder determinar que hay
límite o no hay.
I: Ya hemos hecho la tabla, como es por la derecha hemos de mirar de abajo hacia
arriba, vemos que la “x” se acerca a 0 por la derecha y vemos también que la f(x)
parece que se va aproximando cada vez más a 1. Vamos a hacer una tabla de valores
cuando “x” se acerca a 0 por la izquierda para ver si la f(x) se acerca a lo mismo.
L: Una cosa, cuando la “x” la tienes que mirar de abajo para arriba, la “y” no la
tienes que mirar…
I: Sí, de abajo para arriba también.
100
Anexos
Mauro Mira López
L: No, de arriba para abajo ¿no?
I: No, es de abajo hacia arriba. Te vas aproximando, ¿no ves? A 0 por la derecha.
Tienes que mirarla al revés.
L: Creo que no… pero…
I: ¿Lo ves? Este es cuando la “x” se aproxima a 0 por la izquierda y la f(x) tienes que
verlo del derecho y ves que se va aproximando a 1 igual que… este que se va
aproximando a 1. Además vamos a coger la función con el cursor y vamos a verla.
L: A simple vista parece que si que hay límite pero vamos a comprobarlo.
I: Lo ves, nos estamos aproximando, la “x” a 0 por la derecha y cada vez se va
acercando a 1, tiende a 1. ¿Lo ves? Y ahora vamos a coger valores por la izquierda y
por la izquierda se va aproximando a 0 igualmente va aproximándose la f(x) a 1. Por el
momento si que hay límite, además yo creo que si va a haber límite… ¿a que sí?
L: Vamos a guardarlo y a poner que si hay límite, y la última función, que quedan 2
min.
101
Anexos
Mauro Mira López
Pareja MB
S1 T12 MB 14 03 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 1:
Fijándote en el ejemplo que has leído
a)Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la derecha.
M: Vamos a la actividad 1 en la que nos dan unas “frecuencias”, en la que… unas
secuencias se aproximan a 1 por la izquierda o por la derecha. En el apartado de la
actividad 1 nos pide que hagamos una secuencia por la derecha.
M: O sea… que tienda a 1 desde el 2. Vamos a escribir la “frecuencia” en la que se
aproxime a 1 por la derecha: 1.86, 1.75, 1,5, 1.3 y 1.001. Ya tenemos el apartado a) y
ahora vamos al b).
Fijándote en el ejemplo que has leído
b) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la figura anterior que
también indique una aproximación a x=1 por la izquierda.
M: Y ahora nos pide una diferente que se aproxime por la izquierda.
M: En esta secuencia que se aproxime por la izquierda al 1 va a ser 0.2, 0.4, 0.6 y 0.9.
M: Pasamos a la actividad 2. En esta actividad nos dan una función en la que y= x2 -1.
Tarea 2:
Dada la función y= x2 -1
a) Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x=3
por la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
M: Vamos a crear una tabla de valores en el que el valor inicial es -13 y el final es 3 y
salto 1, aproximamos. Aquí nos sale la tabla, la vamos a dibujar, y ya tenemos los
valores dibujados, incrustamos los puntos y vamos al b).
OM: No ponen correctamente la expresión en el Derive y:= en vez de f(x):=
b) ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 3 por la izquierda?
M: El valor de la “y” tiende a +∞, ya que en los números negativos de “y” la función
… representada tiende a decrecer, pero al llegar a -1 vuelve a crecer, y por ello, a partir
de -1, de y=-1 la función vuelve a crecer, y la “y” tiende a +∞.
102
Anexos
Mauro Mira López
OM: La tendencia de “y” a +∞ aquí obedece a que estudian la función en conjunto, en
un intervalo grande como el que han escogido, no de aproximación de “x” a 3, y por la
gráfica, sin usar los zooms o probar con secuencias más próximas de “x” a 3. Y creen
que la “x” pasa de 3, por lo que la “y” va aumentando.
c) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la izquierda? ¿Por qué?
M: Y el salto ha sido de 1 en 1 ya que al ser números enteros, eh, sería más fácil ya de
por sí, ya que trabajar con números… que puedan ser… decimales, etc… serían...
resulta más fácil.
OM: Las aproximaciones de “x” a 3, no las hacen muy finas. A pesar que en la
actividad 1 vieron e hicieron secuencias con números decimales. ¡La aproximación al 3
por la izquierda, la hacen desde el -13! Deberíamos haber trabajado más el concepto de
entorno, para no alejarnos tanto del punto.
d) Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x=3
por la derecha y dibuja en azul los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
M: O sea la función y = x2-1, seleccionamos, cálculo, tabla… aproximamos, que ya
tenemos los… bueno, borra, bórralo, eso también, todo, todo, todo, ahí, vamos a
empezar de nuevo que nos hemos equivocado, cálculo, tabla. Vamos a retocar la
fórmula y = x2-1 y ahora vamos a empezar, borramos la antigua, cálculo, tabla,
tenemos los…aproximamos y aquí nos salen los valores, dibujamos… y dibujamos, nos
piden que dibujemos en azul los puntos, ya están dibujados en azul, no hace falta que
toquemos nada, y ahora vamos a poner unos puntos más grandes. Puntos tamaño
grande y un color azul que se vea, creo que así va bien, incrustamos.
M: Ahora vamos al apartado e
e) ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 3 por la derecha?
M: Igual que el b, pero a la inversa. Tiende a -∞. Y eso se puede comprobar en la
gráfica ya que los puntos crecen pero si dice que se aproxima por la izquierda y se mira
al contrario los puntos decrecerían.
M: Al aproximarse la “x” en números cada vez más pequeños como puede ser 5, 4, 3,
la “y” sería cada vez un número más pequeño, que en realidad tiende a -∞, pero en
103
Anexos
Mauro Mira López
realidad termina en -1. Si x tiende a 3, y tiende a -∞.
OM: La tendencia de “y” a -∞ es nuevamente que estudian la función en conjunto, en
un intervalo grande como el que han escogido, no de aproximación de “x” a 3, y por la
gráfica, sin usar los zooms o probar con secuencias más próximas de “x” a 3. Y creen
que la “x” pasa de 3, por lo que la “y” va disminuyendo.
f) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha? ¿Por qué?
M: Igual, de 1 en 1, porque por sentido común, de 1 en 1 es más fácil realizar
operaciones.
OM: De nuevo las aproximaciones de “x” a 3, no las hacen muy finas, sino de enteros.
A pesar que en la actividad 1 vieron e hicieron secuencias con números decimales.
g) Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x=3, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x=3, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
M: Vamos a dibujar otra tabla… en el apartado g) y ahora lo que tenemos que hacer es
unir las 2 tablas y para ello ponemos la fórmula, la que f(x)= x2-1, cálculo, tabla, valor
inicial -13 y valor final 13, salto de 1 en 1 como hemos hecho anteriormente,
aproximamos y aquí tenemos todas las tablas y dibujamos y aquí tenemos todos los
puntos y ahora nos dice al aproximamos a x=3, ¿a qué valores se aproxima f(x)?
M: Aquí vemos que al aproximarnos al f de 3, por la izquierda está creciendo y por la
derecha vuelve a crecer ya que el punto tiene un mínimo relativo en y=-1 y x =0
OM: El alumno en cuestión es repetidor, con buenas dotes para las matemáticas y
abandonó el centro el curso pasado, y recuerda algunos conceptos de función como
mínimo, pero que no vienen al caso. No coordina las aproximaciones a “x” y a “y”.
104
Anexos
Mauro Mira López
S2 T34 MB 18 03 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 3:
Dada la función
a) Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x =
2 por la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
M: Bueno esto es una función ya más…
M: Se entiende que la función ya tenemos el punto, que es el punto 2, 3.
M: Nos piden unos puntos y para esos puntos como la “x” es diferente a 2, o menor,
menor a 2, tenemos que usar una función diferente que es esta función.
M: Aquí tenemos para buscar los puntos y vamos a buscar los puntos del 0 al 2, valor
final, 2, salto de 0.2 y aproximamos…
b) ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la izquierda?
M: Y aquí aparece que la “x” tiende a +∞.
OM: La tendencia de “y” a +∞ aquí obedece a que estudian la función en conjunto, en
un intervalo grande que sobrepasa de “x” a 2, y por la gráfica, sin usar los zooms o
probar con secuencias más próximas de “x” a 2, creen que la “y” va aumentando. Me
parece que siguen sus concepciones espontáneas. No prestan atención al objetivo, a la
tarea.
c) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la izquierda? ¿Por qué?
M: El valor de salto que hemos puesto es de 0.2 ya que es un decimal que puede
resultar fácil en el nº 2 y aparte nos puede dar bastante, y ahora hay que hacer lo
contrario.
M: Cuando “x” tiende a 2 por la izquierda, y tiende a +∞.
d) Haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se acerca a x =
2 por la derecha y dibuja en azul los puntos (x, f(x)) en los ejes cartesianos.
M: Ahora ponemos valor inicial 2 y valor final 4, mantenemos el salto de 0.2 y
aproximamos… nos sale una ¿ y ya que en la función nos decía que el 2 valía 3…
105
Anexos
Mauro Mira López
e) ¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la derecha?
M: La “y”, cuando la “x” tiende, cuando la x se aproxima a 2 por la derecha tiende a ∞, ya que… al ser de manera descendente, por ejemplo -1, bueno sería en este caso, 4;
3.8; 3.6; 3.4, sería cada vez más pequeño y se va haciendo el nº más pequeño también
en la y… a -∞. Al aproximarse por la derecha tiende a -∞.
f) ¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha? ¿Por qué?
M: El valor del salto que hemos puesto ha sido el mismo, aunque podríamos haber
cogido algo mayor, pero bueno…
g) Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y por la
izquierda de x = 2, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x = 2, ¿a qué valores se
aproxima f(x)?
M: Pero aquí va a haber un problema, ya que la x va a pasar por el punto 2 y entonces
sale un “¿” y un salto de 0.2 y aquí tenemos el “¿” que se entiende que en otra función
nos da el ejercicio que si x =2 la y, f(x)=3 y si dibujamos va a pasar esto…
M: Si nos aproximamos cuando x=2, suponemos que por la izquierda de manera
ascendente, la y se va haciendo cada vez mayor, o sea que tiende a +∞.
h) Compara la tendencia de la función en x = 2 con el valor de la función en x = 2.
(Sugerencia: Usa el zoom para ampliar la zona)
M: ¿Entiendes esto? nos dice que comparemos el valor de la ´tendencia de la función
con el valor de la función. O sea, ah, ya sí, por ejemplo…
M: Ya tenemos la zona ampliada y vemos… ya tenemos los valores de x e y en una
gráfica con los valores en el mismo…
B: Que hay un punto por donde no pasa.
M: La tendencia es que y aumenta de una manera a mayor ritmo que x, y al comparar
con la función…
M: Dice que comparemos el valor con la tendencia, el valor va aumentando…
B: Al ir aumentando los valores en x e y, vemos que ambos aumentan en la misma
manera
106
Anexos
Mauro Mira López
Tarea 4
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
Una vez dibujada,
a) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
OM: Las aproximaciones de “x” a 1, no las hacen muy finas. A pesar que en la
actividad 1 vieron e hicieron secuencias con números decimales. ¡La aproximación al 1
por la derecha, la hacen desde el 10! Deberíamos haber trabajado más el concepto de
entorno, para no alejarnos tanto del punto.
B: Ahí tenemos dibujada la función
OM: Sólo han dibujado los puntos.
B: Por la derecha, cuando x se aproxima a 1, y vale a 1. Y tiende a +∞, a -∞. Va
decreciendo.
OM: Aunque dicen que la “y” vale 1, otra vez están confundiendo con el valor en x=1.
La tendencia de “y” a -∞ es nuevamente que estudian la función en conjunto, en un
intervalo grande como el que han escogido, no de aproximación de “x” a 1, y por la
gráfica, sin usar los zooms o probar con secuencias más próximas de “x” a 1. Y creen
que la “x” pasa de 1, por lo que la “y” va disminuyendo.
b) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha? Completa esta
expresión
Si x→1+, entonces y→
B: Si x tiende a 1, por la derecha, y tiende a -∞,
c) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda (observa lo
107
Anexos
Mauro Mira López
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
B: Una raíz cuadrada no puede tener el signo negativo, entonces solo se puede hacer
de 0 a 1 pero el 0.
d) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda? Completa esta
expresión
Si x→1-, entonces y→
M: Esta función pasa por el punto (0,0) y va aumentando de manera en la que x
M: Cuando x=1
B: y=1
M: Ya que la
es 1
B: Si x tiende a 1, entonces y tiende, por la izquierda, a +∞…diría que es al revés.
M: Cuando se acerca por la izquierda.
B: Es que la izquierda es esta, M
M: Ya, por eso.
e) Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en x = 1
M: Y vemos que siempre, el valor de x va a ser representado en el valor y con su
Por ejemplo cuando ponemos 5, cuando estamos en el punto 5, su
.
será 2.22…
cuando estamos en el punto 9, la raíz tendrá un valor de 3 y entonces la tendencia sería
que la x aumenta en mayor medida que la y.
B: La conclusión final que hemos tomado es que la x aumenta en mayor proporción que
aumenta y.
108
Anexos
Mauro Mira López
S3 T56 MB 21, 28 03 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 5
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
OM: Se confunde con la expresión algebraica de la función y dibuja la gráfica. Luego
se da cuenta del error y la cambia, expresándola bien, pero no la dibuja, lo que le habría
dado un registro gráfico diferente.
Una vez dibujada,
a) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
OM: Se equivoca con la tabla. Luego se da cuenta del error y la cambia, expresándola
bien, y se queda con el registro tabular y de puntos, no el de la gráfica.
b) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha?
B: Cuando x se acerca a uno por la derecha y → +∞
OM: Expresa bien el formalismo matemático en la tendencia de la “y”, pero no en la
aproximación a “x”. La tendencia la observa usando el cursor, otro registro diferente al
tabular y gráfico, pero que combina ambos.
c) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de texto la secuencia de las
aproximaciones que haces y los valores que van saliendo para la “y”. Recoge la
información de las secuencias en una tabla horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical
(6 filas por 2 columnas).
d) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda? Completa esta
expresión
B: … Y utilizando el cursor podemos ver que cuando la x se acerca a 1 por la izquierda
y→-∞
OM: Expresa bien el formalismo matemático en la tendencia de la “y”, pero no en la
aproximación a “x”. La tendencia la observa usando el cursor, otro registro diferente al
tabular y gráfico, pero que combina ambos.
e) Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en x = 1
B: La tendencia en la 1ª parte cuando se acerca por la derecha tiende a aumentar y el
“x” cuando se acerca a 1 por la izquierda tiende a disminuir la “y”
OM: Expresa bien las tendencias laterales de la “y”, pero no acierta ni dice nada de la
función en x =1.
109
Anexos
Mauro Mira López
Tarea 6
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
M: Nos dan 2 funciones diferentes para calcular… bueno nos dan una función… con
diferentes valores para calcular si x < 3 o si x ≥ 3.
OM: Se confunde con la función algebraica, 1º habla de 2 funciones y después rectifica
y cita 1 sola función, que es a trozos. El proceso comienza cuando el estudiante debe
resolver una determinada tarea, dibujar la función. La demanda de resolución genera un
objetivo para el estudiante (Objetivo del estudiante) que determina una serie de acciones
mentales que dependen de su conocimiento previo (No recuerda bien que es una función
a trozos) y, por tanto, de los conceptos de los que ya dispone.
Así, para poder alcanzar su objetivo, el estudiante realiza alguna actividad o secuencia
de actividades (Actividad dirigida por el objetivo) proporcionando la posibilidad de
prestar atención a los efectos de la actividad realizada (Efecto de la actividad) en
relación con lo que pretende conseguir.
En este proceso de observación de los efectos de la actividad, el estudiante crea
registros mentales (Registros de la relación Actividad-Efecto).
Estas variaciones son intencionadas. Al llevar a cabo una nueva actividad (o un ajuste
de la actividad inicial), ésta produce un nuevo efecto, como cuando se da cuenta que la
gráfica dice que parece que se corta y la amplia con los zooms pasando de ver una
función cuadrática a una a trozos.
Así, los registros mentales en los que se relaciona cada actividad con el efecto que
produce son clasificados y comparados.
Una vez dibujada,
a) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la derecha (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
OM: Tienen problemas con la construcción de la tabla, que no les sale. No se acuerdan
como se hace, aunque B la hizo en la tarea anterior, una semana antes, y ella sola,
aunque su compañero conoce otra forma de hacer la tabla. Las aproximaciones de “x” a
3, no las hacen muy finas. A pesar que en la actividad 1 vieron e hicieron secuencias con
números decimales. ¡La aproximación al 3 por la derecha, la hacen desde el 13!
Deberíamos haber trabajado más el concepto de entorno, para no alejarnos tanto del
punto.
a) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la derecha?
M: Cuando x →3+ y → -∞
OM: La tendencia de “y” a -∞ aquí obedece a que estudian la función en conjunto, en
un intervalo grande que sobrepasa de “x” a 3, y por la gráfica, sin usar los zooms o
probar con secuencias más próximas de “x” a 3, creen que la “y” va disminuyendo. Me
parece que siguen sus concepciones espontáneas. No prestan atención al objetivo, a la
110
Anexos
Mauro Mira López
tarea. El formalismo matemático lo usan bien, se podría decir que con respecto a este
concepto matemático están en la fase anticipadora.
a) Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 3 por la izquierda (observa lo
que pasa haciendo uso del cursor). Construye una tabla con la secuencia de las
aproximaciones que haces a x = 3 y los valores que van saliendo para la “y”.
OM: Vuelven a realizar variaciones intencionadas. Al llevar a cabo una nueva actividad
(o un ajuste de la actividad inicial), ésta produce un nuevo efecto, como cuando se da
cuenta M que en la tabla al aproximarse a x = 3 por la izquierda ha puesto x=3 que no
corresponde con el primer trozo de la función y rectifica.
a) ¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 3 por la izquierda?
M: Cuando x →3- y → +∞
OM: Ídem que en el apartado b.
a) Compara la tendencia de la función en x = 3 con el valor de la función en x
=3
B y M: La tendencia de esta función es que disminuye para después aumentar y el valor
es que a medida que aumenta “x”, “y” aumenta en una mayor proporción en ambas
funciones
OM: No coordinan de una manera global las aproximaciones laterales a x = 3 con las
tendencias de f(x). Ni lo relacionan con el valor de f(3), y aunque lo han trabajado en las
tareas anteriores, es una constatación de que están en la fase de participación.
S4 T7 MB 01 y 04 04 11.Transcripción y Observaciones.
Tarea 7:
Dadas las siguientes funciones:
Escríbelas, dibújalas y haz una tabla en el ordenador, cuando x tiende a 4, para cada una
de ellas. Fijándote en la tabla, o en el cursor responde a las siguientes preguntas:
OM: Las escriben y dibujan bien.
B: M está empezando a agobiarse… hacemos una tabla 1º o lo miramos en la gráfica,
en la gráfica se sabe ¿no?... bueno las hemos borrado.
M: ¿Dónde miramos, en todas las gráficas o…?
OM: Este es un ejemplo de acción mental en que saben que pueden usar diferentes
111
Anexos
Mauro Mira López
registros para inferir sobre el concepto de una tendencia, sin embargo no lo hacen, pues
alegan que han borrado las gráficas, pero si manejaran bien el programa, podrían verlo
en las que tienen incrustadas en la página algebraica.
B: Claro. Bueno vamos a hacer una tabla 1º.
B: Cogemos esta (la 2ª, porque con la 1ª no se aclaran)… ¿cómo lo hacemos, por
ejemplo de -4 a 10. M está hoy sumiso ¿Eso está bien?
M: No.
B: Entonces, qué…
OM: No recuerdan cómo hacer la tabla, dudan, a pesar de haber practicado en sesiones
anteriores, y aunque la hacen finalmente, parece indicar que siguen en la fase de
participación en lo relativo al manejo del programa aplicado a los registros tabulares
numéricos. Tal vez falten tareas de aprendizaje del Derive, estrechamente relacionados
con los conceptos matemáticos, pues implica que para hacer tablas necesitan pares
ordenados [x, f(x)]. También hacen las aproximaciones a x = 4 desde el -4 por la
izquierda y desde el 10 por la derecha, ¡demasiado lejos!
a) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la izquierda? Exprésalo
matemáticamente.
B: Cuando se aproxima a 4 por la izquierda tiende a 2, ¿no ves que todas son 2?
M: Pero luego cuando llega a 4.
B: Pero es que se acerca a 4, no es más de 4. Yo creo que es eso.
OM: Es interesante el debate que hacen los 2 alumnos (minuto 12:20 de la
grabación del archivo S4T7MB010411.avi) y que les hace discutir sobre la
aproximación por la izquierda a x= 4, y que les lleva a concluir el apartado a) como
sigue.
B y M: Apartado a)
x→4- y→2 en la primera función (Aciertan)
x→4- y→ 0 en la segunda función (Fallan)
x→4- y → -1 tercera función (Aciertan)
x→4- y → -∞ (Fallan)
OM: El simbolismo matemático lo usan bien. En f2, al mirar la tabla, no se detienen
cerca del 4 ó en el 4, y como “y” va disminuyendo, pues concluyen que tiende a 0. Y
en f4, se quedan un poco perplejos por los valores de la “y”, pero está visto, que no
112
Anexos
Mauro Mira López
se les ocurre, acercarse más al 4 con otras tablas y ver los efectos que se producen.
El paso en la tabla de valores finitos a inducir una tendencia infinita, les cuesta
nuevamente. Observan el valor de x=4 y al ver sin(∞) concluyen que tiende a -∞,
como se aprecia en la tabla de abajo.
No prestan atención a los efectos de la actividad realizada y no realizan ajustes para
aproximarse al logro del objetivo, tal vez por desgana o cansancio que B reprocha,
casi al principio de la tarea, a M (M está empezando a agobiarse… M está hoy
sumiso) y parece que algo se deja influir. Creo que en los experimentos de
enseñanza, hay que estudiar y cuidar bien las situaciones didácticas, la motivación,
que intenten aprender por sí mismo, investigando y experimentando, no que les den
las cosas hechas.
a) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la derecha?
Exprésalo matemáticamente.
B y M: Apartado b)
x→4+ y→ +∞ f1(x) (Fallan)
x→4+ y→ -∞ f2(x) (Fallan)
x→4+ y → 1 f3(x) (Aciertan)
x→4+ y→∞ f4(x) (Fallan)
b) Compara las tendencias laterales de cada función
B: Comparar… con cuál.
M: Las 4.
B: La tendencia lateral, supuestamente tiene que ser lo que va para los lados.
OM: No entienden la pregunta, lo que hacen es observar las funciones globalmente,
no en la aproximación a x = 4. Tal vez esté mal planteada, y haya que especificar
cuando x tiende a 4, o sea redundante y no necesaria la pregunta. En cualquier caso
la hacen mal.
c) Lee el texto adjunto y di si existe el límite de cada una de las funciones cuando x
tiende a 4. Justifica tu respuesta
Las tendencias por la izquierda y la derecha de la función las llamamos límites
laterales de una función en un punto x = "a".
113
Anexos
Mauro Mira López
_
Si existe el límite lateral por la izquierda cuando x → a y es un nº finito "k" lo
expresaremos como
Si existe el límite lateral por la derecha cuando x → a+ y es un nº finito “m” lo
expresaremos como:
Si existen los límites laterales y son números finitos y coinciden, m=k, entonces
se dice que existe límite de la función cuando x se acerca al punto "a".
Si existen los límites laterales y son números finitos y no coinciden, m ≠ k,
entonces se dice que la función no tiene límite en x = a.
B: En f1(X)= lim(4-)=2 Lim (4+)=+∞. No existen los límites laterales, no coinciden
los números.
En f2(x)= lim (4-)=0 lim (4+)=-∞. Ahora f3. Ahí tampoco existe límite lateral.
En F3(X)= lim(4-)=-1 lim (4+)=1. Tampoco coincide el nº.
En f4(x)= lim(4-)= -∞ lim (4+)=+∞. Pues entonces ninguna de las funciones tiene
límites laterales.
OM: No expresan simbólicamente bien límite, y el texto o no lo han leído o
entendido bien. No saben qué es límite lateral y qué es límite.
d) Halla el valor de cada una de las funciones para x=4 ¿Coincide con el límite de
la función cuando x tiende a 4?
B y M:
f1= 4
f2= -0.125 es posible que coincida
f3= indeterminación
f4=sin(∞), indeterminación coincide
OM: No expresan simbólicamente bien el valor de una función en un punto, pero lo
calculan bien, y la coincidencia no está bien explicada, creo que no tiene valor de
análisis.
e) En función de lo observado en el apartado e), ¿cuál/cuales de las frases
siguientes es/son ciertas? Justifica tu elección
1. El valor de la función en un punto es el límite en ese punto.
2. El valor de la función en un punto no siempre es el límite en ese punto.
3. El valor de la función en un punto a veces es el límite en ese punto.
4. El valor de la función en un punto nunca es el límite en ese punto.
B: Son verdaderas las opciones 2 y 3
114
Anexos
Mauro Mira López
OM: Aunque aciertan, no lo justifican bien.
S5 T89 MB 08 y 11 04 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 8
Leer…
Para calcular la distancia de un punto a otro tenemos que calcular la diferencia entre
estos puntos. Por ejemplo, la distancia de 3.007 a 3 es 0.007 = 3.007-3. Las distancias
no pueden ser negativas, por tanto, como la distancia de 2.994 a 3 es igual a -0.006
(2.994-3 = -0.006 ), las distancias las expresaremos en valor absoluto,
independientemente que sean positivas o negativas, es decir,

distancia de 3.007 a 3,

distancia de 2.994 a 3,
3.007  3  0.007
2.994  3  0.006
ó |3 ─ 3.007|= 0.007
ó |3 ─ 2.994| = 0.006
En general, la distancia de un punto x a otro "a", se expresará |x-a| ó |a-x|
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a)Escribe seis valores próximos al punto 4, tres por la derecha y tres por la izquierda, y
calcula las distancias de cada uno de los valores a dicho punto en el Derive.
OM: Lo hacen bien, y está recogido en el archivo oral S5T8MB080411.avi.
2
b)Dada la función f ( x )  x  2 . Haz una tabla conjunta con las distancias entre los
valores próximos a x = 3 por la derecha e izquierda y entre los valores próximos a f(x) =
7 por la derecha e izquierda.
Ayuda: Para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive: [x, |3-x|,
f(x), | f(x)-7|].
B: …Ya tenemos la tabla de valores cuando “x” se apro… es igual a 3 por la derecha y
por la izquierda y ahora tenemos que hacer cuando f(x)=7.
M: Sí, lo mismo.
B: Pero no, M, aquí era “x”, y ahora es f(x), aquí cuando x = 3 y ahora tenemos que
hacer cuando f(x) = 7, o sea que ahora es la “y”, la variable es la “y”… por la derecha
y por la izquierda… lo tienes que escribir, valor inicial 6, valor final, 8 y salto de 0.25…
¿es eso?
115
Anexos
Mauro Mira López
OM: Vuelven a hacer 2 tablas, cuando solo se le pide una sola conjunta, hasta con
indicaciones para hacerla, y al salirles algo raro, intentan ajustes al objetivo Quizás en la
pregunta, al hablar de f(x)=7, más que darle el valor, tendríamos que haber preguntado
cual es el límite cuando x→3 y proponerles después la tabla conjunta. También parece
que no han coordinado las aproximaciones de “x” a 3 con las de “f(x)” a 7, a través de la
función. Esto vuelve a indicar que están en la fase de participación en la coordinación
en las aproximaciones a un punto y su límite, o un valor, en el dominio y el rango.
Finalmente hacen una sola tabla con más puntos, parece que han hecho un nuevo ajuste
de la tarea, pero no hacen ninguna relación al dominio y rango de “x” e “y”, y nada de
límite.
B: Vamos a poner f(x), a ver, pero es que aquí yo creo que se pone la “y”, variable, eso
es muy raro ¿no?
B: Ya le hemos dado los valores, la 1ª columna que se aproxima, la 1ª columna están los
valores de “x”, la 2ª lo que vale cuando “x” se aproxima a 3, la 3ª columna los valores
de f(x) y la 4ª, la distancia que hay entre f(x) menos 7, y le hemos dado valores más
próximos para notar alguna diferencia, y hemos visto que las primeras 2 columnas…
M: Dan valores exactos con 0.1, como aquí 2.1 y 0.9, se nota que su suma es 3.
B: 2.2 + 0.8 su suma es 3.
116
Anexos
Mauro Mira López
M: Y aquí pasa lo mismo pero con 7.
B: Y en la columna 3 y 4 con el 7.
M: Por lo cual se ve que es la diferencia… entre ellas. Una es el punto y otra es la
diferencia que hay.
B: ¿Y esto?
OM: B observa que no se cumple lo que han dicho de sumar 3 en las 2 primeras
columnas más abajo, como señala en la tabla azul de arriba.
M: ¿Qué?
M: Que es valor absoluto. Y esto es ya por la derecha, es la diferencia, si no
estuviésemos en valor absoluto, sería -1, -0.2, -0.3, -0.4…
B: ¡Ah, claro!
M: Entonces daría 3 y aquí 7.
117
Anexos
Mauro Mira López
Tarea 9
Leer…
Llamamos a un valor, aproximación óptima, entre varios valores próximos a
otro dado, a aquel en que la distancia de dicho valor al dado es la menor, es
decir, está más cerca.
Por ejemplo, entre los cuatro valores de “x”, 2.8, 2.81, 2.811, 2.82, que
hemos escogido, próximos a 3 por la izquierda, hallamos las respectivas
distancias a 3.
2.8  3  0.2

distancia de 2.8 a 3,

distancia de 2.81 a 3, |2.81-3| = 0.19

distancia de 2.811 a 3, |2.811-3| = 0.189

distancia de 2.82 a 3, |2.82-3| = 0.18
Como vemos, el valor de los cuatro, que más se acerca a 3, es 2.82, porque su
distancia a 3 es 0.18, y por lo tanto está más cerca, y decimos entonces que la
aproximación óptima a 3 es 2.82 entre los 4 valores dados.
Una vez que has leído lo que está enmarcado, indica cuál es la aproximación óptima
a)
por la izquierda de los tres valores próximos al punto 4, por la izquierda,
dados en el apartado a) de la actividad 8.
b)
por la derecha de los tres valores próximos al punto 4, por la derecha,
dados en el apartado a) de la actividad 8.
c)
por ambos lados, derecha e izquierda, de los seis valores próximos al punto
4, del apartado a) de la actividad 8.
a) de los tres valores próximos a 4- 3.999 es la óptima.
b) de los 3 valores próximos a 4+ 4.0001 es la óptima
c) de los 6 valores 3.999 es la óptima.
OM: No es correcto el apartado c).
118
Anexos
Mauro Mira López
S6 T10.1 JC 23 05 11. Transcripción y Observaciones
Tarea 10.1
Dada la función
a)Dibuja la función
b)Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3, fijándote en los valores de x
y f(x).
B: ...Ahí vemos que cuando “x” vale 3, “f(x)” vale 7.
OM: Con el cursor observa la gráfica, fijándose en los valores de “x” e “y”, y se para en
el punto (3,7) pero no cita ninguno de los anteriores a 3, ni por supuesto posteriores.
c)Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
d)Completa la frase “El límite L de la función en x = 3, es 7 porque
______________________________________________________________________
________”
B: El límite L de la función en X=3, es 7 porque… A ver…cogemos otra vez la función,
y la volvemos a dibujar, y ahora con el cursor, vemos por ejemplo que cuando se va
acercando a 3 por la izquierda, “y” se va acercando a 7, y cuando se va acercando a 3
por la derecha, “y” también se va acercando a 7. Entonces ahora podemos decir que el
límite L de la función en X=3, es 7 porque cuando “x” se acerca a 3, tanto por la
derecha como por la izquierda, la “y” tiende a 7.
OM: Ahora ha usado bien el cursor, fijándose en varios valores próximos a 3 por ambos
119
Anexos
Mauro Mira López
lados, realizando ajustes con nuevo efecto, como se puede apreciar en el archivo oral
S6T10MB090511.dfw (minuto 5:57) y ha concluido el límite muy bien por
aproximación dinámica.
Leer…
En esta sesión y en las siguientes vamos a trabajar el límite de una función desde dos aproximaciones
óptimas, en el eje y así como en el eje x, es decir,
El valor L es el límite de f(x) en "a" si, para todo valor K muy próximo a L, existe otro valor h muy
próximo a "a", tal que los "x" que mejoran ese valor h, es decir que están más próximos a “a”, hacen
que sus imágenes f(x) también mejoren el valor K cercano a L, y estén más cerca de L.
Fíjate en el dibujo para tener una idea intuitiva de lo que has leído
Por ejemplo, como el límite de la función f(x) = x2 - 2 en x = 3 es 7, debemos encontrar un valor que
llamaremos “h” próximo a 3 tal que los "x" que mejoren este valor en cuanto a proximidad, hacen que
sus imágenes f(x) mejoren el valor k próximo al límite 7 para que podamos decir que existe límite.
Fijamos un valor que llamamos K próximo al límite 7, por la izquierda o derecha. Por ejemplo:
Por la izquierda, podría ser k- = 6.51, un valor próximo al límite L, y está a una distancia de 0.49, ya
que
|6.51- 7|= 0.49
120
Anexos
Mauro Mira López
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 2.917234
También podría ser por la derecha, el valor k+ = 7.52, que está a la distancia,|7.52-7|= 0.52
Como se ve remarcado en azul, el “x” que produce esa aproximación es 3.085837
Nos quedamos con el de la izquierda, k- = 6.51.
Tarea 10.2
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a)Busca algunos valores (cuatro, por ejemplo) con el cursor en el Derive, próximos a 7
y les llamas f(x1), f(x2), f(x3), f(x4). ¿A qué distancia están de 7 los valores f(x1), f(x2),
f(x3), f(x4)?
b)Calcula las valores x1, x2, x3, x4 con el Derive. ¿A qué distancia están de 3 los valores
x1, x2, x3, x4?
c)Partiendo de la aproximación de 6.51 a 7, ¿puedes encontrar alguna aproximación “h”
a 3, de forma que f(h) mejore la aproximación anterior?
d)¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar? ¿Por qué?
121
Anexos
Mauro Mira López
OM: No hay registro oral de la tarea 10.2, y el escrito del archivo
S6T10MB090511.dfw, parece copiado de otra pareja, JC, o viceversa, y en ella están
hechas las observaciones.
Ahora fijamos otra aproximación a 7 diferente de 6.51, como por ejemplo k- =
6.967184, que viene de
x= 2.994526, y que está dibujada abajo…
e)Partiendo de la aproximación de 6.967184 a 7, ¿podrías encontrar una aproximación
“h” a 3, de manera que los valores f(h) estén más cerca de 7 que la aproximación
anterior?
f)¿A qué distancia has encontrado la aproximación “h” a 3 que mejora las
aproximaciones de sus imágenes al límite L = 7?
g)Fija ahora, una nueva aproximación, “K+” a 7 por la derecha, y encuentra una
aproximación “h” a 3, también por la derecha, de manera que las aproximaciones que
mejoren la distancia de “h” a 3, mejoren también la distancia de “K+” a 7.
B: Tenemos que buscar una aproximación de “y” igual a 7 por la derecha, y una
122
Anexos
Mauro Mira López
aproximación de “x” a 3 también por la derecha, de manera que las aproximaciones
que mejoren la distancia de “h” a 3, mejoren también la distancia de “k” a 7, o sea de
“y” a 7, y habíamos cogido…menos ¿…bueno si tenemos aquí apuntado la que
habíamos cogido, 3.00127, y “y” vale 7.007621…
M: Nos vamos alejando un poco, vemos como se va alejando cada vez la parte más
pequeña… esto se hace infinitamente…
B: ¿Qué haces?
M: Puedo encontrar números más pequeños que esos, todos los que quiera,
infinitamente pequeños… ¿lo ves? ¿lo ves? ¿lo ves?
OM: Está usando el cursor con diversos zooms, para ver aproximaciones óptimas a “x”
y a “y”, aunque se expresa mal, pero da la sensación que maneja bien las
aproximaciones a 3 y a 7, recogido en el archivo oral S6T10MB230511.dfw (minuto
1:52).
h) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has fijado la aproximación “k” al límite
7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se llama un ________ de 7.
B: Ese intervalo se llama entorno de 7.
i) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has encontrado la aproximación “h” a 3
que mejora las aproximaciones al límite 7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se
llama un ________ de ____.
B: Ese intervalo se llama entorno de 3.
j) ¿Hay límite en x=3 desde el punto de vista de aproximación óptima? ¿Por qué?
Exprésalo matemáticamente:
123
Anexos
Mauro Mira López
B: limx→3 f(x) = 7
OM: No comentan nada de por qué ese valor de límite, pero no han dicho nada por
aproximación dinámica.
Tarea 11
Dadas las funciones
 x 2  2, si x  3
f ( x)  
 2 x, si x  3
g ( x) 
x2  x  6
x3
Calcula si es posible el límite en x=3, empleando una aproximación óptima. Expresa el
resultado matemáticamente.
OM: No hay grabaciones ni orales ni escritas. Se deben haber perdido.
S7 T 12 13 MB 30 05 y 13 06 11. Transcripciones y Observaciones
Tarea 12
Dada la función
a) Dibuja la función
b) Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3
M: Cuando “x” tiende a 3 “y” tiende a 7…
c) Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
M: ahora vamos a dar unos valores cuando se aproxima a x = 3 por la izquierda y por
la derecha. Vamos a dar cuatro valores por cada lado. Esos valore van a ser…tabla de
valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes.
x=2.923895, f(x)=6.549159
x=2.995748, f(x)=6.974508
x=3.001276, f(x)=7.0077655
x=3.01233, f(x)=7.074132
OM: Se acercan a x = 3 en la gráfica, con los zooms y el cursor, no hacen una tabla.
d) Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a x = 3, por la derecha y
por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 3? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias cuánto más me acerco a 3? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Para hacer la tabla, debes introducir como vector en el Derive [x, |3-x|].
M: … ¿cómo son esas distancias conforme me acerco a 3?...Pues tienden a 7… y
crecen… la imagen crece de un 0.06 más que el otro, conforme me acerco a 3, su
imagen tiende a 7 tanto por la izquierda como por la derecha… y se puede apreciar que
mientras que la “x” aumenta un 0.01, su imagen aumenta más del 0.06
124
Anexos
Mauro Mira López
OM: Al principio no hacen las tablas con las distancias, tal vez confunde la distancia
con el salto de las variables, pero posteriormente sí la hacen bien, y hasta responden
bien a la tendencia de dicha distancia, aunque no hay archivo oral de ello, solo consta en
el escrito S7T12MB030511.dfw. Se oye al fondo que M pregunta al profesor donde
pone la tabla y este le responde que en el archivo escrito, tal vez hubo una aclaración
con el mismo.
e) Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a f(x) = 7, por la derecha
y por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 7? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla debes introducir como vector en el Derive [f(x),
|f(x)-7|].
M: Ya hemos hecho la tabla en la que los valores de la izquierda es f(x) y el valor de la
derecha es f(x)-7 … conforme me acerco a 7 los valores por la derecha son mayores y
por la izquierda son mayores, cada vez mayores. (No está observando la aproximación
con respecto a 7, sino que mira la tabla de arriba abajo)… esos números en f(x)-7
tienden a cero, en valor absoluto, claro, luego… tendrían que subir pero al ser valor
absoluto se mantienen los valores positivos y en f(x) tienden a 7.
125
Anexos
Mauro Mira López
f) Haz una tabla conjunta con las distancias entre los valores próximos a x = 3 y entre
los valores próximos a f(x) = 7. Observa conjuntamente hacia qué número tienden esas
distancias.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive
[x, |3-x|, f(x), | f(x)-7|].
M: La 1ª columna es “x”, la 2ª columna es |x-3|, la 3ª columna es f(x) y la 4ª columna
es | f(x)-7|
OM: Hacen bien la tabla conjunta pero no sacan ninguna conclusión de las tendencias
de las distancias.
g) ¿Hay límite desde el punto de vista métrico, de la función f ( x)  x 2  2 cuando x
tiende a 3 ¿Por qué?
M: El límite podría ser 7 ya que se aprecia como… casi que por lógica va a ser 7…
aquí se puede ver… (Hace referencia a la gráfica) al ir acercándose a 3 por la derecha,
se aprecia que 7, que f(x) tiende a 7, con lo cual el límite podría ser 7.
126
Anexos
Mauro Mira López
OM: El concepto dinámico de límite prevalece.
Tarea 13
Dadas las funciones
 x 2  2, si x  0
2x  4  2
g ( x)  
f ( x) 
x 1 1
 2 x, si x  0
Halla el límite si lo hay de dichas funciones cuando x0, por el mismo procedimiento
anterior, observando a que tienden las distancias. Justifica tus respuestas, y expresa el
resultado matemáticamente.
M: Aquí tenemos las 2 funciones, f(x) pintada de rojo.
Nos acercamos un poco más a 0 y vemos como cuando “x” tiende a 0 por la izquierda,
“y” o f(x) tiende a 1 pero no llega, bueno sí, sería a 1, cuando “x” tiende a 0 por la
izquierda, “y” tiende a 1… y cuando “x” tiende a 0 por la derecha, f(x) tiende a 1.
127
Anexos
Mauro Mira López
Y en g(x) cuando “x” tiende a 0 por la izquierda, parece que no, sí, su límite es -2, y
cuando “x” tiende a 0 por la derecha, f(x) tiende a 0.
OM: En otro archivo oral, S7T13MB130511, hay una discusión que me ha parecido
conveniente señalar sobre la situación didáctica, volviendo a prevalecer el concepto
dinámico sobre el métrico de límite, del que no hacen la más mínima alusión.
M: Me estoy acercando y no me dejan. Mira un nº super infinito.
B: ¿Eso que es? Eso no hay quien lo entienda.
M: Elevado a -12.
B: Da igual, ponlo bien por favor.
OM: Es una pena que se enfaden y no se escuchen, cuando se investiga y se observa
algo diferente, como ocurre en el minuto 01:11 del archivo oral S7T13MB130511 que
se está aproximando cada vez más 0 y no se prestan a analizarlo o preguntar que son
esos números que salen. Las clases deberían ser así, de investigación, debate, análisis y
conclusiones, entre alumnos y entre ellos y el profesor.
128
Anexos
Mauro Mira López
B: Cuando “x” tiende a 0, “y” tiende a 2.
M: A -2.
B: Entonces ¿eso que es -0?
M: -0.01
B: Pues entonces esto no tiene límite.
M: ¿Cómo que no? Tiene 2 límites.
B: Pues no, porque para que sea límite…
M: Por la izquierda y por la derecha.
B: Para que sea límite, tienen que coincidir los dos.
M: ¡Ah! Bueno.
M: Por la izquierda tiende a -2 y por la derecha tiende a 0.
B: Y a qué tienden las distancias.
M: Ya lo hemos dicho.
B: No, eso es a qué tiende “y”.
M: ¿Hacemos la tabla con las distancias?
B: Yo no sé lo que hay que hacer.
OM: Finalmente no hacen las tablas con las distancias y se quedan con el concepto
dinámico de límite, expresando bien las tendencias, no así el límite.
129
Anexos
Mauro Mira López
SEGUNDA FASE: ANÁLISIS INTERPRETATIVO REALIZADO DE CADA
ALUMNO
Análisis del Cuestionario 1 de Joan Pons pasado a los alumnos del 2º Experimento el
17-06-11
La respuesta/s correcta/s está subrayada en cada problema o contestada en negrita.
Debajo de cada cuestión hay una tabla con los resultados de cada alumno, que responde
a su letra inicial.
Finalmente hay comentarios del profesor (OM)
Problema 1
Indica a través de qué secuencias numéricas te puedes aproximar a 1/3. Si lo consideras
necesario, puedes elegir más de una secuencia. Justifica tu elección:
f) 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5…
g) 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, 299999…
h) 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333…
i) 3.1, 3.01, 3.001, 30001…
j) 0.4, 0.34, 0.334, 0.3334, …
Alumno Respuesta Comentarios (OM)
c)
Elige una sola bien argumentada, indicadora del concepto
I
aproximación.
c)
Elige una sola bien argumentada, indicadora del concepto
L
aproximación.
c)
Elige una sola bien argumentada, indicadora del concepto
J
aproximación.
c) y e)
Elige las 2. Ha construido bien el concepto de aproximación.
M
c)
Elige una sola bien argumentada, indicadora del concepto
B
aproximación.
c) y e)
Elige las 2. Ha construido bien el concepto de aproximación.
C
OM: El concepto de aproximación está bien construido, todos resuelven bien la tarea.
Problema 2: A partir de la tabla, responde:
X
2.9
2.99
2.999
2.9999
…
...
3.0001
3.001
f(x)
14.21
14.9201
14.992001
14.99920001
…
...
15.00080001
15.0080001
130
de
de
de
de
Anexos
3.01
3.1
Mauro Mira López
15.0801
15.81
e. ¿A qué número a se acerca x? 3
f. ¿A qué número L se acerca f(x)? 15
g. Describe
el comportamiento de la función f(x) en relación al
comportamiento de la variable x.
h. Completa la expresión:
lim f(x) = ...15
x  …3
Las respuestas a los apartados es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno
I
L
J
M
B
C
a
B
B
B
B
B
B
b
B
B
B
B
c
d
B
B
B
B
OM: El concepto de límite por aproximación dinámica está bien construido en este caso
de que existe límite, casi todos resuelven bien la tarea, utilizando un registro de tabla
numérica. Hay que añadir que casi nadie hace una mínima descripción del
comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la variable x. Esa
relación de variables no la reflejan, solo un alumno hace referencia a ella, los otros o no
contestan o no es correcta.
Problema 3: A partir de la tabla, responde:
x
3.9
3.99
3.999
3.9999
3.99999
...
...
4.00001
4.0001
4.001
4.01
4
f(x)
15.485
15.530
15.5254
15.5015
15.50001
...
...
14.00003
14.0003
14.003
14.03
14
131
Anexos
Mauro Mira López
a) ¿A qué número a se acerca x? 4
b) ¿A qué número L se acerca f(x)? Ninguno
c) Describe el comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de
la variable x.
d) Completa la expresión:
lim f(x) = ...No existe
x  …4
Las respuestas a los apartados Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno
I
L
J
M
B
C
a
B
B
B
B
B
B
b
c
B
B
B
B
d
B
B
B
OM: El concepto de límite por aproximación dinámica no está bien construido en este
caso de que no existe límite, casi todos se confunden en la tarea, utilizando un registro
de tabla numérica. Hay que añadir que casi nadie hace una mínima descripción del
comportamiento de la función f(x) en relación al comportamiento de la variable x. Esa
relación de variables no la reflejan, solo un alumno hace referencia a ella, los otros o no
contestan o no es correcta.
Problema 4
Las respuestas a los apartados Bien (B) o mal si queda en blanco.
132
Anexos
Mauro Mira López
Alumno
I
La
J
M
B
C
a
B
B
b
B
B
B
B
B
B
B
B
OM: El concepto de límite por aproximación dinámica está bien construido en este caso
de que existe límite, casi todos resuelven bien la tarea, utilizando un registro de tabla
numérica con cálculo que hicieron ellos.
Problema 5
Alba, una estudiante de primero de bachillerato, ha ido substituyendo valores en una
función y ha obtenido las dos primeras columnas de la tabla. Después ha construido dos
columnas más de diferencias.
x
0,3
0,4
0,45
0,49
0,499
0,4999
0,49999
0,499999
...
f(x)
0,994118
1,225000
1,356452
1,470265
1,497003
1,499700
1,499970
1,499997
...
0,5 - x
0,2000000
0,1000000
0,0500000
0,0100000
0,0010000
0,0001000
0,0000100
0,0000010
...
1,5 - f(x)
0,50588235
0,27500000
0,14354839
0,02973510
0,00299734
0,00029997
0,00003000
0,00000300
...
0,7
0,6
0,55
0,51
0,501
0,5001
0,50001
0,500001
...
2,223077
1,828571
1,656897
1,530268
1,503003
1,500300
1,500030
1,500003
...
-0,2000000
-0,1000000
-0,0500000
-0,0100000
-0,0010000
-0,0001000
-0,0000100
-0,0000010
...
-0,72307692
-0,32857143
-0,15689655
-0,03026846
-0,00300267
-0,00030003
-0,00003000
-0,00000300
...
¿Cómo de próximos han de estar los valores de x de 0.5 para que la diferencia 1,5 – f(x)
sea menor que 0,001? Explica el por qué
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
133
Anexos
Mauro Mira López
Alumno Respuesta
B
I
La
J
M
B
B
C
OM: El concepto por aproximación óptima o métrico de límite donde deben analizar las
distancias no está bien construido, solo dos resuelven bien la tarea.
Problema 6
Dadas las gráficas adjuntas, rellena el cuadro de la parte inferior
Función A
1
Función B
2
Función C
0
Función D
1
-1
2
0
3
1
2
La función no 3
existe en (2,3]
1. f(3)
2.
3.
lim f ( x )
x 3
lim f ( x )
x 3
134
Anexos
Mauro Mira López
No hay
4.
2
No hay
3
lim f ( x )
x 3
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno Respuesta
B
I
J
M
B
B
C
OM: El concepto por aproximación dinámica de límite en un registro gráfico funcionó
mal también. Solo 2 alumnos lo resolvieron bien. En esta tarea, 3 alumnas no lo
hicieron por falta a clase.
Problema 7
Una compañera de clase no pudo asistir el día que la profesora introdujo el concepto de
límite, ¿cómo le explicarías que el límite de una función cuando x tiende a x0 es L?
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno Respuesta
B
I
J
M
B
B
C
OM: El concepto de límite en un registro verbal funcionó mal también. Solo 2 alumnos
lo resolvieron bien y por aproximación dinámica. En esta tarea, 3 alumnas no lo
hicieron por falta a clase.
Problema 8
1. Si es posible, representa gráficamente
siguientes condiciones:
a) f(1) = 3
b)
c)
d)
lim f ( x )   2
x  
lim f ( x )   
x  
lim f ( x )   
x 2
135
una sola función que cumple todas las
Anexos
Mauro Mira López
lim f ( x )  0
x 0
2.Si no es posible, explica porque no ha sido posible.
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno Respuesta
I
J
M
B
C
OM: Pasar del concepto de límite en un registro formal matemático a uno gráfico
tampoco funcionó.
Problema 9
Hemos sacado de la nevera un vaso de agua y lo hemos dejado encima de la mesa de la
cocina. Este gráfico muestra la temperatura del agua en grados centígrados a medida
que pasa el tiempo.
f) ¿Qué temperatura alcanza el agua a los 20 minutos?
¿Y a los 40 minutos?
g) ¿Hay cambios en la temperatura del agua?
¿Cómo cambia en el intervalo
40-60 minutos?
h) ¿Qué temperatura alcanzará el agua a los 79,9 minutos, a los 79,99 minutos,
a los 79,999 minutos…? ¿Qué temperatura alcanzará a los 80,1 minutos,
80,01 minutos, 80,001 minutos…?
i) La temperatura en el exterior de la nevera es de 22º C. ¿Alcanzará el agua la
temperatura del exterior de la nevera?
j) Describe con tus palabras el cambio que ha sufrido la temperatura del agua.
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno
J
M
B
C
a
b
c
d
e
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
136
B
B
Anexos
Mauro Mira López
OM: La aplicación práctica del concepto de límite por aproximación dinámica pero con
x tendiendo a infinito en un registro verbal y gráfico lo resolvieron 2 alumnos. Uno de
ellos, C, hace una pequeña tabla numérica, lo que demuestra que su construcción de
límite está casi en una fase de anticipación, con referencias al concepto de límite por
aproximación óptima y métrico.
Problema 10
Cada una de las funciones que se muestran a continuación describen la relación entre el
precio p en euros por kilogramo de dos productos diferentes, A y B y la cantidad c en
kilogramos que los consumidores comprarían a ese precio.
Producto A
Producto B
p 2  16
c( p ) 
p4
e) ¿Qué cantidad de producto comprarían los consumidores con 3 € en cada caso?
f) Si los consumidores han comprado 30 kg del producto A ¿cuál ha sido el precio
por kilogramo?
g) Si los consumidores han comprado 7 kg del producto B, ¿cuál ha sido el precio
por kilogramo?
h) En los productos A y B, ¿a qué valor se aproxima la cantidad de kilogramos que
los consumidores podrían comprar a medida que el precio por kilogramo se
acerca 4 €?
La respuesta es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno
J
M
B
C
a
b
B
B
B
B
B
B
c
d
B
B
B
OM: La aplicación práctica del concepto de límite por aproximación dinámica en un
registro verbal, numérico de calcular la expresión algebraica y gráfico lo resolvió uno de
ellos, C, lo que parece reforzar la idea que su construcción de límite está en una fase de
anticipación, con referencias al concepto de límite por aproximación óptima y métrico.
137
Anexos
Mauro Mira López
Cuestionario 2
El examen que se les pasó lo hicieron con los apuntes de trabajo que tenían de las tareas
realizadas durante el 2º Experimento, y con ayuda del programa Derive que habían
usado durante el mismo. El análisis de los resultados es el siguiente:
Examen de límite del Derive. 20-6-11. 1º Bachillerato.
Nombre y Apellidos:___________________________________________________
1. Dada la función
f ( x) 
1
x 1
Halla el límite si lo hay de dicha función cuando x1, por
d) Aproximación dinámica.
e) Aproximación óptima.
f) Aproximación métrica.
Las respuestas a los apartados es Bien (B) o mal si queda en blanco.
Alumno
I
L
J
M
B
C
a b c
B B
B
B
B
B
B B
Comentarios
El apartado c lo tiene casi bien
Se confunde de función
Se confunde de función
Se confunde de función
OM: El concepto de límite por aproximación dinámica está bien construido en este caso
de que existe límite, casi todos resuelven bien la tarea, no así los otros dos conceptos,
aunque I casi lo hace bien todo. Las respuestas escritas están en los papeles de cada
examen. También se dio la circunstancia que casi todos confundieron la función al
expresarla algebraicamente en el Derive por f ( x) 
1
x
1.
Examen de límite del Derive. 20-6-11. 1º Bachillerato.
Nombre
Apellidos:________________________________________________________
2. Dada la función
( x  1) 2  0.05, si x  1
g ( x)  
2 x, si x 1

Halla el límite si lo hay de dicha función cuando x1, por
a) Aproximación dinámica.
b) Aproximación óptima.
c) Aproximación métrica.
Las respuestas a los apartados es Bien (B) o mal si queda en blanco.
138
y
Anexos
Mauro Mira López
Alumno a b c
B B B
I
B
L
B
J
B
M
B
B
B B
C
OM: El concepto de límite por aproximación dinámica está bien construido en este caso
de que no existe límite, todos resuelven bien la tarea, no así en los otros dos conceptos,
aunque I vuelve a hacerlo bien todo. Las respuestas escritas están en los papeles de cada
examen.
139
Anexos
Mauro Mira López
Análisis Etapa II
140
Anexos
Mauro Mira López
Resumen de Acciones de Parejas
Para llegar a los perfiles que propusimos en la primera fase de la etapa I se
realizó un resumen de las acciones que tienen lugar cuando el estudiante está
resolviendo una tarea, entendidas como acciones físicas observables. Es la actividad que
hace alusión a los procesos mentales que la generan mientras el individuo está
realizando la tarea. Las realizan las tres parejas en las 13 tareas que conforman el
experimento, lo que nos ayudó a caracterizar los casos que nos salieron del estudio y
que desembocaron en los dos perfiles que obtuvimos en el experimento. En la tabla 3.1
mostramos el resumen de las acciones de las tres parejas en todas las tareas.
Tabla 3.1. Resumen de Acciones de las 3 parejas
Tareas
Pareja LI
Pareja JC
1
Hacen aproximaciones
alternadas al punto
Tienen dificultades de la
aproximación al ver la tabla
de arriba hacia abajo, pero la
interacción les ayuda.
La tabla está bien hecha, pero
hay que leerla de abajo
(x=3.9) hacia arriba (x=3.1)
para ver la aproximación por
la derecha.
No tienen claro que es la
tendencia.
Los saltos de aproximación se
van ajustando.
Confunden tendencia con
valor de la función en el
punto
Producen dos tendencias por
los 2 extremos de la tabla.
Hacen aproximaciones
alternadas al punto
Confunden con las
aproximaciones con
tendencia.
La tendencia de “y” ha
modificado, y es un “efecto”
relevante en el proceso de
desarrollo del concepto de
tendencia. Ahora si coordinan
las “x” con las “y”.
Hacen aproximaciones
consecutivas al punto
Hacen aproximaciones
groseras. A pesar que en la
tarea 1 hicieron secuencias
con números decimales.
No tienen claro que es la
tendencia.
Los saltos de aproximación
se van ajustando.
Confunden tendencia con
valor de la función en el
punto
Confunden tendencia con
valor de la función en el
punto
Hacen la tabla, utilizando
bastantes valores, y les sale
muy bien.
El paso de c. finito a infinito
se observa.
Los saltos de aproximación
se van ajustando.
Confunden tendencia con
valor de la función en el
punto
No hacen bien las
tendencias.
Utilizan 2 registros, tabular y
gráfico correctamente, saben
convertirlos uno en otro.
No utilizan simbolismo
matemático.
Comparan tendencia y valor
de f(a) sin llegar a
conclusiones.
Aplican bien diferentes
registros, la tabla y la gráfica
para inferir sobre el concepto
No coordinan las
aproximaciones laterales
con las tendencias de f(x).
Ni lo relacionan con el valor
de f(a), están en la fase de
participación.
2
3
4
5
6
7
El paso de c. finito a infinito
se observa.
Trabajan ya desde distintos
registros, antes el numérico,
ahora confirma la tendencia
con el gráfico. Convierte de
unos a otros.
Vuelven a confundirse con el
registro tabular.
No coordinan bien las
aproximaciones laterales con
las tendencias de f(x),
Lo han trabajado bien en las
tareas anteriores, están en la
fase de participación.
Manejo erróneo de nuevo del
registro tabular.
El simbolismo matemático lo
141
Pareja MB
Ya observan la tendencia
usando el cursor, otro
registro diferente al tabular
y gráfico, pero que combina
ambos.
No manejan bien el
programa aplicado a los
registros tabulares
Anexos
Mauro Mira López
usan bien.
8
Manejan bien las distancias.
9
Manejan bien la aproximación
óptima.
Dicen que las aproximaciones
a un punto, no deben
alcanzarlo, para estudiar la
tendencia de f(x), y creen que
es mejor hacer las tablas
laterales sin llegar al punto.
Vuelven al concepto de límite
por aproximación dinámica,
no comentan nada de la
aproximación óptima que han
trabajado.
Lo expresan bien
matemáticamente
Explican el límite por
aproximación dinámica, no
por aproximación óptima
10
11
12
13
Manejan bien los registros de
tablas numéricas para
aproximaciones, coordinando
el dominio y el rango y llegan
al concepto de límite por
aproximación dinámica.
El cómputo de valores finitos
y pasar a las tendencias en el
infinito está casi alcanzado,
parece que tienen una
concepción de proceso.
Hacen las tablas con las
distancias, creen que deben
expresar las tendencias por
aproximación dinámica, que
hacen bien, pero no pasan de
ahí y prevalece
No observan la columna de
las distancias ni hacen uso de
la misma para responder a
qué tienden esas distancias.
Esta tarea la hacen con el
concepto dinámico de límite,
pero no hay nada relevante
del concepto métrico que se
había trabajado, incluso con
una función hacen una tabla
de distancias, pero sin entrar a
comentarla
de una tendencia.
El simbolismo matemático lo
usan bien.
Piensan que el límite puede
ser más de un valor.
El concepto de límite por
aproximación dinámica lo
trabajaron en algunos casos
bien.
Lo distinguen del valor de la
función en un punto.
Manejan bien las distancias.
numéricos.
Hacen las aproximaciones a
valores ¡demasiado lejos!
No expresan
simbólicamente bien límite.
Manejan bien la
aproximación óptima.
No aplican el concepto de
límite por aproximación
dinámica que ya trabajaron.
Vuelven a confundir límite en
un punto con el valor de f en
dicho punto. Siguen en la
fase de participación.
Utilizan registro numérico, y
van con facilidad de f(x) a x,
y viceversa, como
retroalimentación.
No manejan bien la
aproximación óptima.
Usan bien los registros
realizando ajustes.
Obtienen el límite por
aproximación dinámica.
Usan el cursor con diversos
zooms, para ver
aproximaciones óptimas a
“x” y a “y”.
Usan 2 registros numérico y
gráfico.
Pero explican el límite por
aproximación dinámica, no
por aproximación óptima.
Trabajan bien las distancias
que tienden a 0.
El concepto dinámico de
límite parece que prevalece
Se perdieron las
grabaciones.
No hacen las tablas con las
distancias y se quedan con el
concepto dinámico de límite.
No hacen las tablas con las
distancias y se quedan con
el concepto dinámico de
límite.
142
Manejan bien las distancias.
Trabajan bien las distancias
que tienden a 0. No sacan
ninguna conclusión de las
tendencias de las distancias.
El concepto dinámico de
límite prevalece.
Anexos
Mauro Mira López
Resumen de Características de 3 posibles casos
Del análisis del cuestionario 2 sobre las respuestas de todos los alumnos en las
funciones donde existe límite o no, viendo si el concepto de límite por aproximación
dinámica, óptima y métrica está bien construido o no y qué nos aportaban a los
mecanismos de construcción y tras el estudio inter-casos de esta etapa nos llevó a
establecer tres posibles casos con sus características, de formas de conocer para seguir
una trayectoria de aprendizaje del concepto de límite de una función real y que
describimos en la siguiente Tabla 3.2 un resumen de los tres casos.
Tabla 3.2. Resumen de los tres casos
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Los cambios de registros
retrasan o mejoran su
aprendizaje.
El paso de c. finito a infinito
se va perfilando y se alcanza.
Inducen una imagen más
dinámica en las tablas sin el
punto de aproximación.
No han sacado ninguna
regularidad de las
aproximaciones óptimas.
Concepto de límite por
aproximación dinámica.
Hacen tabla de distancias sin
llegar a conclusiones.
Aproximación infinita a un
punto.
Concepto dinámico si hay
límite.
Utilizan mejor los registros.
Tendencia como proceso.
El paso de c. finito a infinito
se va perfilando y se alcanza.
Trabajan bien las distancias
que tienden a 0.
El concepto dinámico de
límite parece que prevalece
Usaron aproximaciones
groseras para ir afinando.
El paso de c. finito a infinito
se va perfilando y alcanza.
No prestan atención al
objetivo de la tarea.
Los cambios de registros
retrasan o mejoran su
aprendizaje.
Trabajan bien las distancias
que tienden a 0. No sacan
ninguna conclusión de las
tendencias de las distancias.
El concepto dinámico de
límite prevalece.
Aproximación infinita a un
punto.
Concepto dinámico si hay
límite.
Fase 2ª
Fase 3ª
Características
Fase 1ª
Etapa I
Concepto de límite por
aproximación dinámica si hay
límite
Aproximación infinita a un
punto.
Concepto dinámico si hay o
no límite.
Concepto métrico si hay
límite.
Concepto dinámico cuando
existe o no por gráfica.
Concepto dinámico en
registro verbal
Aplicación de límite por
dinámica
Aplicación de límite
algebraica y gráfica
Concepto de límite por
aproximación dinámica si
hay o no límite.
Coordinan las tendencias a
cero de los intervalos en el
dominio (|x-a|→0) y en el
rango ((|f(x)-L|→0),
Concepto de límite por
aproximación dinámica si
hay límite
Los casos 1 y 3 nos salieron muy similares y tal vez podrían agruparse en uno
solo, pero como existían algunos matices que los diferenciaban sobre todo en la fase 1ª,
preferimos mantenerlos así en un principio, además en el caso 3 también observamos
143
Anexos
Mauro Mira López
que los estudiantes no prestaban mucha atención a los objetivos cuando encaraban la
resolución de una tarea. El caso 2 tiene especificidades en las formas de conocer, así
como en los mecanismos de construcción.
Inversiones en el aprendizaje
Repasando pues las tareas de las diferentes parejas vimos como iban ocurriendo
algunos efectos en la consolidación de las categorías cognitivas que nos fueron saliendo,
produciéndose algunas contradicciones que en las primeras tareas, por ejemplo
coordinaban las aproximaciones y en tareas posteriores no, como si fuera una inversión
en sus conocimientos, que fuimos señalado con flechas, y que luego en tareas siguientes
sí que alcanzaban, lo que diferenciaba las fases de participación de la de anticipación
que es cuando ya están consolidadas.
Con todo ello, en la Tabla 3.3 se muestra una serie de los ejemplos recopilados
de las tres parejas con todas las tareas, donde concretamos con “Sí” y “No” cuando
estamos seguros o no de que llegan adecuadamente a las categorías cognitivas que se
detallan. Si hay casillas en blanco es porque en esas tareas no se trabajó esa categoría
cognitiva, y las flechas indican esas “inversiones” de aprendizaje, lo que constata una
clara fase de participación y no de anticipación. El signo de interrogación que aparece
en la casilla de la tarea 12 en la pareja JC hace referencia a una duda que tenemos de si
construyen o no el límite por aproximación métrica cuando las distancias tienden
coordinadamente a cero en el dominio y el rango.
Se compara en un estudio de las tres parejas, en relación a las tareas y las fases
de la trayectoria hipotética de aprendizaje para la coordinación de aproximaciones como
son el proceso hasta el concepto dinámico y métrico de límite como objeto, pasando por
una concepción infinita de aproximación y el uso y conversión de los diferentes modos
de representación trabajados.
144
Anexos
Mauro Mira López
Tabla. Estudio de tareas de las tres parejas
Pareja
MB
Pareja
LI
Pareja
JC
Tareas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10.1
10.2
11
12
13
Tareas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10.1
10.2
11
12
13
Tareas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10.1
10.2
11
12
13
Coordinación
aproximaciones
No
No
No
Sí
No
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
coordinación
aproximaciones
Sí
No
No
Sí
No
No
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Coordinación
aproximaciones
Sí
No
No
No
Sí
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Concepción
proceso ∞
Sí
No
No
No
Sí
Sí
No
No
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
concepción
proceso ∞
Sí
Sí
No
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Concepción
proceso ∞
Sí
Sí
No
No
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Diferentes
modos de
representación
No
No
No
Sí
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Diferentes
modos de
representación
Sí
No
No
Sí
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Diferentes
modos de
representación
Sí
No
No
No
Sí
Sí
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
145
Concepto
Dinámico
Límite
Concepto
Óptimo
Límite
Concepto
Métrico
Límite
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Concepto
Dinámico
Límite
No
No
No
No
Concepto
Óptimo
Límite
Concepto
Métrico
Límite
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Concepto
Dinámico
Límite
No
No
No
No
Concepto
Óptimo
Límite
Concepto
Métrico
Límite
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
No
No
¿Sí?
No
Anexos
Mauro Mira López
ANEXO 1: TAREAS DEL EXPERIMENTO. PROPUESTAS DE MEJORA
146
Anexos
Mauro Mira López
En esta sección presentamos las propuestas de mejora realizada a las
siguientes tareas:
Sesión 1: Tarea 1
Sesión 2: Tarea 3 y Tarea 4
Sesión 4: Tarea 7
Sesión 5: Tarea 8
Sesión 6: Tarea 10.2
Sesión 7: Tarea 12 y 13
Sesión 1
Tarea 1
Si observas la figura, "x" puede tomar distintos valores cercanos a x=1.
En este caso, 0, 1.9, 0,5, 1,4, 0.8, 1.1, 0.95, 1.01, 0.999, …
Si consideramos los valores 0, 0.5, 0.8, 0.95, 0.999, … entonces decimos que
nos aproximamos por la izquierda y lo representaremos por x→1-.
147
Anexos
Mauro Mira López
Si consideramos los valores 1.9, 1.4, 1.1, 1.01, … entonces decimos que nos
aproximamos por la derecha y lo representaremos por x→1+.
Llamaremos "entorno" del punto x=1, a los valores cercanos a x=1.
Cuando x toma valores próximos a 1 de esta manera lo podemos representar
como x→1
Fijándote en el ejemplo que has leído
a) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la
figura anterior que también indique una aproximación a x=1 por la
derecha.
b) Escribe una secuencia de números diferente a la que aparece en la
figura anterior que también indique una aproximación a x=1 por la
izquierda.
Propuesta de mejora:
Hay que proponer en estas tareas iniciales de aproximación el concepto de entorno
de un punto. Faltaría alguna actividad que recogiera el hecho de que hay infinitos
puntos que se aproximan a un valor determinado, y que se puede afinar dicha
aproximación, acercándose más. Incluso representaciones de dichas aproximaciones.
Por ejemplo:
1. En un dibujo, hecho por los alumnos, representa las aproximaciones por ambos
lados
2. ¿Cuál es el nº real más próximo a x=1 por la derecha? ¿Y por la izquierda?
3. ¿Cuántos números hay próximos a x=1 por la derecha? ¿Y por la izquierda?
148
Anexos
Mauro Mira López
Sesión 2
Tarea 3
Dada la función
a)
haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se
acerca a x = 2 por la izquierda y dibuja en rojo los puntos (x, f(x)) en los
ejes cartesianos.
b)
¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la
izquierda?
c)
¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la izquierda?
¿Por qué?
d)
haz una tabla en el ordenador con los valores de x y f(x) cuando la x se
acerca a x = 2 por la derecha y dibuja en azul los puntos (x, f(x)) en los
ejes cartesianos.
e)
¿Hacia qué valor tiende la "y", cuando la "x" se aproxima a 2 por la
derecha?
f)
¿Qué valor de salto hemos puesto en la aproximación por la derecha?
¿Por qué?
g)
Construye una tabla única que recoja los valores (x, f(x)) por la derecha y
por la izquierda de x = 2, y dibújalos. Cuando nos aproximamos a x = 2,
¿a qué valores se aproxima f(x)?
h)
Compara la tendencia de la función en x = 2 con el valor de la función en
x = 2. (Sugerencia: Usa el zoom para ampliar la zona)
Propuesta de mejora:
1. Aproximación en el dominio por ambos lados
a. Registro Numérico en una tabla (xi,0), de aproximación a x=a
b. Registro Gráfico en el eje OX (xi,0)
2. Aproximación en el rango por ambos lados
a. Registro Numérico en tabla (0,f(xi)), para ver una aproximación de f(xi)
b. Registro Gráfico en el eje OY (0,f(xi))
3. Coordinación a través de la función
a. Registro Numérico en una tabla (xi,f(xi))
149
Anexos
Mauro Mira López
b. Registro Gráfico en una función con los puntos (xi,f(xi))
Tarea 4
Haciendo uso del programa DERIVE dibuja la función
Una vez dibujada,
a) indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la derecha
(observa lo que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de
texto la secuencia de las aproximaciones que haces y los valores que van
saliendo para la “y”. Recoge la información de las secuencias en una tabla
horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical (6 filas por 2 columnas).
b)
¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la derecha?
Completa esta expresión
Si x→1+, entonces y→
c)
Indica una secuencia de valores que se aproximen a x = 1 por la izquierda
(observa lo que pasa haciendo uso del cursor). Escribe en una ventana de
texto la secuencia de las aproximaciones que haces y los valores que van
saliendo para la “y”. Recoge la información de las secuencias en una tabla
horizontal (2 filas por 6 columnas) o vertical (6 filas por 2 columnas).
d)
¿A qué número tiende la y, cuando la x se acerca a 1 por la izquierda?
Completa esta expresión
Si x→1-, entonces y→
e)
Compara la tendencia de la función en x = 1 con el valor de la función en
x=1
Propuesta de mejora:
El simbolismo y formalismo matemático de la aproximación y tendencia se tiene
que propiciar, con actividades específicas.
150
Anexos
Mauro Mira López
Sesión 4. Conceptualización dinámica de límite de una función
Tarea 7:
Dadas las siguientes funciones:
Escríbelas, dibújalas y haz una tabla en el ordenador, cuando x tiende a 4, para cada una
de ellas. Fijándote en la tabla, o en el cursor responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la izquierda?
Exprésalo matemáticamente.
b) ¿Hacia qué valor tiende cada función cuando x tiende a 4 por la derecha?
Exprésalo matemáticamente.
c) Compara las tendencias laterales de cada función
d) Lee el texto adjunto y di si existe el límite de cada una de las funciones cuando x
tiende a 4. Justifica tu respuesta
Las tendencias por la izquierda y la derecha de la función las llamamos límites
laterales de una función en un punto x = "a".
_
Si existe el límite lateral por la izquierda cuando x→a y es un nº finito "k" lo
expresaremos como
Si existe el límite lateral por la derecha cuando x→a+ y es un nº finito “m” lo
expresaremos como:
Si existen los límites laterales y son números finitos y coinciden, m=k, entonces
se dice que existe límite de la función cuando x se acerca al punto "a".
Si existen los límites laterales y son números finitos y no coinciden, m≠k,
entonces se dice que la función no tiene límite en x = a.
e) Halla el valor de cada una de las funciones para x=4 ¿Coincide con el límite de
la función cuando x tiende a 4?
f) En función de lo observado en el apartado e), ¿cuál/cuales de las frases
siguientes es/son ciertas? Justifica tu elección
1. El valor de la función en un punto es el límite en ese punto.
2. El valor de la función en un punto no siempre es el límite en ese punto.
3. El valor de la función en un punto a veces es el límite en ese punto.
151
Anexos
Mauro Mira López
4. El valor de la función en un punto nunca es el límite en ese punto.
Propuesta de mejora:
En el apartado “c” deberíamos haber puesto nuevamente cuando x tiende a 4, o tal
vez es redundante la pregunta.
En el apartado “d” del texto para leer, tal vez tendríamos que haber puesto un
ejemplo numérico y gráfico concreto, más que con letras. También habría que indicar
que las tendencias deben ser únicas, así como el límite, que no se especificó en el
párrafo.
Sesión 5: Distancias y aproximación óptima
Tarea 8
Leer…
Para calcular la distancia de un punto a otro tenemos que calcular la diferencia entre
estos puntos. Por ejemplo, la distancia de 3.007 a 3 es 0.007 = 3.007-3. Las distancias
no pueden ser negativas, por tanto, como la distancia de 2.994 a 3 es igual a -0.006
(2.994-3 = -0.006 ), las distancias las expresaremos en valor absoluto,
independientemente que sean positivas o negativas, es decir,
 distancia de 3.007 a 3, 3.007  3  0.007 ó |3 ─ 3.007|= 0.007
 distancia de 2.994 a 3, 2.994  3  0.006 ó |3 ─ 2.994| = 0.006
En general, la distancia de un punto x a otro "a", se expresará |x-a| ó |a-x|
Una vez que has leído lo que está enmarcado
c) Escribe seis valores próximos al punto 4, tres por la derecha y tres por la izquierda,
y calcula las distancias de cada uno de los valores a dicho punto en el Derive.
d) Dada la función f ( x )  x 2  2 . Haz una tabla conjunta con las distancias entre los
valores próximos a x = 3 por la derecha e izquierda y entre los valores próximos a
f(x) = 7 por la derecha e izquierda.
Ayuda: Para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive : [x,
|3-x|, f(x), | f(x)-7|].
Propuesta de mejora:
Quizás en la pregunta b), al hablar de f(x)=7, más que darle el valor, tendríamos
que haber preguntado cual es el límite cuando x→3 y proponerles después la tabla
conjunta.
152
Anexos
Mauro Mira López
Sesión 6: Límite por aproximación óptima
Tarea 10.2
Una vez que has leído lo que está enmarcado
a) Busca algunos valores (cuatro, por ejemplo) con el cursor en el Derive, próximos a
7 y les llamas f(x1), f(x2), f(x3), f(x4). ¿A qué distancia están de 7 los valores f(x1),
f(x2), f(x3), f(x4)?
b) Calcula las valores x1, x2, x3, x4 con el Derive. ¿A qué distancia están de 3 los
valores x1, x2, x3, x4?
c) Partiendo de la aproximación de 6.51 a 7, ¿puedes encontrar alguna aproximación
“h” a 3, de forma que f(h) mejore la aproximación anterior?
d) ¿Cuántas aproximaciones podrías encontrar? ¿Por qué?
Ahora fijamos otra aproximación a 7 diferente de 6.51, como por ejemplo k- =
6.967184, que viene de
x= 2.994526, y que está dibujada abajo…
e) Partiendo de la aproximación de 6.967184 a 7, ¿podrías encontrar una aproximación
“h” a 3, de manera que los valores f(h) estén más cerca de 7 que la aproximación
anterior?
f) ¿A qué distancia has encontrado la aproximación “h” a 3 que mejora las
aproximaciones de sus imágenes al límite L = 7?
g) Fija ahora, una nueva aproximación, “K+” a 7 por la derecha, y encuentra una
aproximación “h” a 3, también por la derecha, de manera que las aproximaciones
que mejoren la distancia de “h” a 3, mejoren también la distancia de “K+” a 7.
h) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has fijado la aproximación “k” al
límite 7? Escríbelos como intervalo. Ese intervalo se llama un ________ de 7.
153
Anexos
Mauro Mira López
i) ¿Entre qué valores por la izquierda y derecha has encontrado la aproximación “h” a
3 que mejora las aproximaciones al límite 7? Escríbelos como intervalo. Ese
intervalo se llama un ________ de ____.
j) ¿Hay límite en x=3 desde el punto de vista de aproximación óptima? ¿Por qué?
Exprésalo matemáticamente:
Propuesta de mejora:
Las tareas 10.1 y 10.2 deberían haberse explicado en grupo para que
experimentaran los fenómenos de retroalimentación y en la explicación de grupo, habría
que poner los gráficos previos al final.
El texto de introducción y el gráfico se deberían haber puesto al final del ejemplo
práctico.
Es una tarea para trabajar más que con tablas, con el cursor y los zooms que nos
van dando información gráfica y numérica de las aproximaciones óptimas.
Sesión 7: Límite por aproximación métrica
Tarea 12
Dada la función
h) Dibuja la función
i) Observa la función con el zoom y el cursor cerca de x=3
j) Haz una tabla de valores laterales próximos a 3 y de sus imágenes f(x)
k) Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a x = 3, por la derecha y
por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 3? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias cuánto más me acerco a 3? Exprésalo
matemáticamente.
Ayuda: Para hacer la tabla, debes introducir como vector en el Derive [x, |3-x|].
l) Haz una tabla con las distancias entre los valores próximos a f(x) = 7, por la derecha
y por la izquierda. ¿Cómo son esas distancias conforme me acerco a 7? ¿Hacia qué
número tienden esas distancias? Exprésalo matemáticamente.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla debes introducir como vector en el Derive [f(x),
|f(x)-7|].
m) Haz una tabla conjunta con las distancias entre los valores próximos a x = 3 y entre
los valores próximos a f(x) = 7. Observa conjuntamente hacia qué número tienden
esas distancias.
Ayuda: Ahora para hacer la tabla conjunta debes introducir como vector en el Derive
[x, |3-x|, f(x), | f(x)-7|].
n) ¿Hay límite desde el punto de vista métrico, de la función f ( x )  x 2  2 cuando x
tiende a 3 ¿Por qué?
154
Anexos
Mauro Mira López
Propuesta de mejora:
Sobran los apartados d) y e), porque con el f) basta, y no confunde al alumno.
No hay una referencia explícita a qué es límite por aproximación métrica.
Suponíamos que podrían deducir las tendencias de las distancias y eso les haría
descubrir un nuevo concepto de límite por vecindad de tablas numéricas más que de
gráficas. En cualquier caso falta uno o varios apartados haciendo alusión o
completándolos a que cuando esas distancias tienden a cero, hay límite por
aproximación métrica.
Se les podría haber trabajado la misma función pero sin dominio en el intervalo
[2.8,3.2], donde no hay límite.
Tarea 13
Dadas las funciones
f ( x) 
2x  4  2
x 1 1
 x 2  2, si x  0
g ( x)  
 2 x, si x  0
Halla el límite si lo hay de dichas funciones cuando x0, por el mismo procedimiento
anterior, observando a que tienden las distancias. Justifica tus respuestas, y expresa el
resultado matemáticamente.
Propuesta de mejora:
Se debería haber preguntado primero si hay límite por aproximación dinámica y
confirmarlo después por aproximación métrica
155
Anexos
Mauro Mira López
ANEXO 4. MATERIALES UTILIZADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL
EXPERIMENTO DE ENSEÑANZA
156
Anexos

Mauro Mira López
Sobre actividades para las sesiones de Límite
Abellanos, L., (1999). Matemáticas 1. Editorial Mac Graw-Hill, 140–174.
Abellanos, L., (1999). Matemáticas 2. Editorial Mac Graw-Hill, 250–289.
Bescós, E. y Pena, Z., (2008). Matemáticas 1 Bachillerato. Editorial Mac Graw-Hill,
250–289.
Colera, J., (2002). Matemáticas 1 Bachillerato. Editorial Anaya, 244–329.
De Guzmán, M. (1996). El rincón de la pizarra. Editorial Pirámide, 82-90.
Larson, R. y Hostetler, R. (1998). Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mac GrawHill, 69-91.
Martínez, J.M. y Cuadra, R., (1998). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2.
Editorial Mac Graw-Hill, 116–128.
Vizmanos, J.R. y Anzola, M., (2003). Matemáticas I. Editorial SM, 233–248.
Vizmanos, J.R. y Anzola, M., (2003). Algoritmo. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias
Sociales 2. Editorial SM, 97–105.

Sobre software para las sesiones de Límite
Camstudio, programa informático para captar pantallas de ordenador de aplicación
libre, “camstudio.org”
Derive 6.0, programa informático, con licencia para aplicar.
Descartes.
http:// descartes.cnice.mec.es/índice_up.php. Unidades didácticas de
bachillerato. Límite.
Kutzler, B. y Vlasta, K (2003). Introducción a Derive 6. Matemáticas para todos en su
PC. Dallas. Texas Instruments.
157
Anexos
Mauro Mira López
Llorens Fuster, J.L. (1993). Introducción al uso de Derive. Aplicaciones al Álgebra y al
Cálculo. Valencia. Universidad Politécnica.
Máxima, programa que se puede descargar en
entorno http://wxmaxima.sourceforge.net/
158
http://maxima.sourceforge.net/ y el
Reunido el Tribunal que suscribe en el día de la fecha acordó otorgar, por
Tesis Doctoral de Don/Doña.
Alicante
de
a la
la calificación de
de
El Secretario,
El Presidente,
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
EDUA
La presente Tesis de D.
con el nº
ha sido registrada
del registro de entrada correspondiente.
Alicante,
de
de
El Encargado del Registro