lección n° 1 análisis estructural y clasificación de los mecanismos

LECCIÓN N°° 1
ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
1.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES
Mecanismo: Se llama mecanismo a un sistema de cuerpos creado artificialmente y destinado a transformar el
movimiento de uno o varios cuerpos en el movimiento exigido de otros cuerpos. Todo mecanismo se compone
de varios cuerpos separados (piezas). En los mecanismos de tipo estacionario algunas piezas son inmóviles y
otras se mueven con relación a aquellas. En los mecanismos de tipo móvil, cómo por ejemplo el motor del
automóvil, se toma condicionalmente como inmóviles aquellas piezas que están unidas solidariamente al
marco del automóvil.
Cada pieza móvil o grupo de piezas, que conforman un sistema rígido de cuerpos se denomina eslabón móvil
del mecanismo. De esta manera, por ejemplo, la biela de un motor de combustión interna es un eslabón móvil,
aunque se componga de varios elementos o piezas: cuerpo de la biela, tapa, casquillos, espárragos, etc.
Todas las piezas inmóviles conforman un solo sistema rígido e inmóvil de cuerpos, llamado eslabón inmóvil o
bastidor. Refiriéndonos al ejemplo anterior: el bloque, los apoyos del cigüeñal, etc., conforman el bastidor del
motor.
De esta manera, en cualquier mecanismo tenemos un eslabón inmóvil y varios eslabones móviles.
La unión de dos cuerpos que se tocan y que permite el mutuo movimiento relativo de ellos se llama par
cinemático o junta cinemática.
Un sistema de eslabones unidos entre sí por medio de pares cinemáticos, se denomina cadena cinemática. Las
cadenas cinemáticas son la base de todos los mecanismos. Se puede llamar mecanismo a aquella cadena
cinemática, en la cual los eslabones realizan movimientos útiles que cumplen con las necesidades del
problema de ingeniería para el que fue creada.
1.2 PARES CINEMÁTICOS Y SU CLASIFICACIÓN
Las posibles uniones de eslabones en pares cinemáticos son numerosas. Por ejemplo, en la fig. 1.1 se muestra
el llamado par giratorio, en el que la unión de los eslabones 1 y 2 se logra mediante dos cilindros que se
encuentran en permanente contacto. Las salientes laterales impiden el movimiento relativo de los dos cilindros
en la dirección del eje x-x, pero no impiden el giro.
En la fig. 1.2 se muestra otra manera de unir los eslabones 1 y 2. Este par cinemático permite la rodadura, el
deslizamiento y el giro relativo de los dos eslabones.
x
1
x
x
2
2
1
x
Fig. 1.1
Fig. 1.2
LECCIÓN No 1 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
De esta manera podemos decir que al movimiento relativo de cada eslabón del par cinemático se le imponen
limitaciones. Estas limitaciones dependen del método de unión de los eslabones. A estas limitaciones las
llamaremos condiciones de enlace en los pares cinemáticos.
Como es sabido, en el caso general cualquier cuerpo que se mueve libremente en el espacio posee seis grados
de libertad. La posición de un cuerpo absolutamente rígido (fig. 1.3) se fija en el espacio con las coordenadas
de tres de sus puntos A, B y C. Es decir, con sus nueve coordenadas (xA, yA, zA), (xB, yB, zB), (xC, yC, zC), entre
sí estas coordenadas están unidas por tres condiciones de distancia constante: AB, BC, CA. De manera que el
número de parámetros independientes que determinan la posición del cuerpo rígido en el espacio es seis. El
movimiento libre de un cuerpo en el espacio puede ser visto como el giro alrededor de los ejes x, y, z y tres
movimientos de traslación a lo largo de estos mismos ejes.
z
B
C
A
O
y
x
Fig. 1.3
Como se dijo antes, la participación de un eslabón en un par cinemático con otro eslabón impone al
movimiento relativo de ellos condiciones de enlace. Es evidente que el número de estos enlaces debe ser
entero y menor que seis, ya que en el caso de que el número de enlaces sea seis, los eslabones pierden su
movilidad relativa y el par cinemático se convierte en una unión rígida de los dos eslabones. Así mismo el
número de enlaces no puede ser menor que uno, ya que en el caso de que el número de enlaces sea igual a
cero, los eslabones no se tocan y desaparece el par cinemático.
Es decir, 1 ≤ S ≤ 5, donde S es el número de condiciones de enlace. Entonces el número de grados de libertad
H de un par cinemático puede expresarse por:
H=6-S
(1.1)
Todos los pares cinemáticos se dividen en clases de acuerdo con el número de condiciones de enlace,
impuestas por ellas, al movimiento relativo de sus eslabones. Ya que el número de condiciones de enlace
puede ser de 1 a 5, entonces correspondientemente tenemos pares cinemáticos de I, II, III, IV y V clases. La
clase de un par puede ser determinada por la relación:
S=6-H
(1.2)
Si se cuentan el número de movimientos simples que posee un eslabón de un par cinemático en su movimiento
relativo y se resta este número de seis encontramos el número de condiciones de enlace y en correspondencia
determinamos la clase del par. Miremos algunos ejemplos.
En la figura 1.4. se muestra el par cinemático que consiste de la esfera 1 que rueda con deslizamiento por la
superficie 2. El movimiento de la esfera puede ser descompuesto en tres rotaciones alrededor de los ejes x, y,
z; y el movimiento por la superficie 2. Este movimiento, a su propio tiempo, puede ser descompuesto en los
1.2
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
movimientos a lo largo de los ejes x y y. El movimiento por el eje z es imposible, ya que esta limitado por la
superficie 2 y al moverse hacia el otro lado se rompería la unión de los eslabones y el par dejaría de existir. El
número de posibles movimientos simples es igual a cinco y el número de condiciones de enlace:
S = 6 - H = 6 - 5 = 1.
Es decir, el par es de primera clase (clase I).
z
z
1
2
x
1
2
y
y
x
Fig. 1.4
Fig. 1.5
En la figura 1.5 se muestra un par que consiste de un cilindro 1 sobre una superficie 2. El movimiento del
cilindro con respecto a la superficie, o al contrario, se resume al giro alrededor de los ejes x y z, y al
deslizamiento a lo largo de x y y. El número de posibles movimientos simples es igual a cuatro. Entonces el
número de condiciones de enlace S es igual:
S = 6 - H = 6 - 4 = 2.
Es decir, el par es de segunda clase (clase II).
En la figura 1.6 se muestra un ejemplo de par de III clase. El eslabón 1 está terminado en forma de esfera, la
cual está comprendida dentro de la cavidad esférica del eslabón 2. El movimiento del eslabón 1 con respecto a
2, o al contrario, se limita al giro alrededor de los ejes x, y y z. En consecuencia, el número de grados de
libertad H del eslabón del par cinemático es igual a tres. El número de condiciones de enlace S es:
S = 6 - H = 6 - 3 = 3.
Este par debe ser clasificado como de III clase. También se denomina par esférico o rótula.
z
2
1
1
y
x
2
x
Fig. 1.6
Fig. 1.7
1.3
LECCIÓN No 1 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
El par de la figura 1.7 es de IV clase. El cilindro 1 está comprendido dentro del cilindro hueco 2. El cilindro 1
puede girar y deslizarse alrededor y a lo largo del eje x. Número de grados de libertad H = 2; número de
condiciones de enlace:
S = 6 – H = 6 – 2 = 4.
Este par también se denomina par o junta cilíndrica.
En la fig. 1.1 se mostró un par de V clase, cada uno de los eslabones de esta junta posee solo un movimiento
simple: giro alrededor del eje x - x. Por esto el número de grados de libertad H de este par es igual a uno y el
número de condiciones de enlace:
S = 6 – H = 6 – 1 = 5.
Este par recibe el nombre de par o junta giratoria.
En la fig. 1.8 se muestra otro par cinemático de V clase, cada uno de los eslabones de este par posee solo un
movimiento simple posible: desplazamiento a lo largo del eje x. Por esto el número de grados de libertad es
H = 1 y el número de condiciones de enlace es igual a:
S = 6 – H = 6 – 1 = 5.
De esta manera este par debe clasificarse como de V clase. Esta junta recibe el nombre de corredera,
prismático o deslizador.
x
B
b
a
A
x
x
Fig. 1.8
Fig. 1.9
Los pares vistos arriba tienen la particularidad de que los posibles movimientos instantáneos de sus eslabones
no dependen unos de otros. Sin embargo en la técnica se encuentran con frecuencia juntas en las cuales los
movimientos relativos de sus eslabones están unidos con alguna relación geométrica complementaria. En el
par helicoidal Fig. 1.9 el cilindro B posee rosca externa b y en correspondencia en el eslabón A está tallada la
rosca interna a. En este caso los movimientos relativos están enlazados por la condición de que para un ángulo
dado ϕ de rotación de uno de los eslabones con respecto al otro alrededor del eje x - x, corresponde un
desplazamiento h a lo largo del mismo eje. En este caso aunque los eslabones poseen movimiento de rotación
y traslación estos movimientos están enlazados por la condición:
h = f (ϕ)
Es decir, se ha impuesto un enlace complementario al movimiento relativo de los eslabones del par. En este
caso el par debe ser clasificado no como de IV clase sino como de V clase.
1.4
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
TABLA 1. Representación esquemática de los pares
Clase
del par
Condiciones
de enlace
Grados de
Libertad
Nombre
I
1
5
Esfera - plano
II
2
4
Esfera - cilindro
III
3
3
Esférica o rótula
III
3
3
Plana
IV
4
2
Cilíndrica
IV
4
2
Rótula con pasador
Prismático
V
5
1
V
5
1
V
5
1
Rotación
Helicoidal
1.5
Dibujo
Representación
Esquemática
LECCIÓN No 1 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
Los pares cinemáticos también se dividen en inferiores y superiores. La junta que se realiza por contacto de
los elementos de sus eslabones por una superficie se llama inferior. La junta que se realiza por contacto de los
elementos por medio de líneas o puntos se denomina superior. Un ejemplo de par inferior se muestra en la
fig. 1.1. En este par los eslabones se contactan por superficies cilíndricas. En el par superior de la fig. 1.2 los
eslabones se contactan en una línea. Para que los elementos de los pares cinemáticos se encuentren
permanentemente en contacto se pueden usar cierres de forma o geométricos o cierres de fuerza.
El cierre geométrico se realiza gracias a la forma de los elementos de los eslabones (fig. 1.1 y 1.6 - 1.9). Al
contrario, para conservar la unión de los eslabones de los pares de las figuras 1.4 y 1.5, es necesario presionar
la esfera y el cilindro contra la superficie aplicando una fuerza. Esta fuerza puede ser la gravedad, un resorte,
etc.
1.3 REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA DE LOS PARES CINEMÁTICOS
Cuando se representa esquemáticamente los mecanismos en los dibujos técnicos resulta muy cómodo usar en
vez de la representación constructiva de los pares cinemáticos y de los eslabones la representación
esquemática. Miremos algunos ejemplos:
Fig. 1.10 Representación esquemática de la
junta giratoria (clase V)
2
1
2
2
Fig. 1.11 Representación esquemática del
mismo par cuando uno de los eslabones es
el bastidor. Este par también se denomina
apoyo giratorio.
A
A
1
1
A
A
2
2
2
Fig. 1.12 Representación esquemática de un
par de deslizamiento de V clase (corredera
o deslizador. Cuando ambos eslabones son
móviles o uno de los dos es el bastidor.
1
1
A
A
2
1
1
Si es necesario estudiar el movimiento de sólo dos puntos de un eslabón entonces se puede representar éste
como se muestra en la fig. 1.13. En este caso el eslabón “entra” en las dos juntas giratorias A y B.
En la fig. 1.14 se muestra la representación de un eslabón que “entra” en tres pares giratorios: A, B y C. En el
dibujo 1.15 se muestra un eslabón que “entra” en tres pares giratorios A, B y C con ejes de rotación paralelos
y sobre un mismo plano.
C
B
B
A
C
B
B
A
A
Fig. 1.13
C
Fig. 1.14
A
Fig. 1.15
En la tabla 1 se muestran las representaciones esquemáticas de los pares cinemáticos más usados en la práctica
de ingeniería.
1.6
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
En algunos casos es necesario dar más información sobre los elementos con los cuales entran en contacto los
eslabones del par. En estos casos en el esquema se representa completamente los elementos de contacto del
par. Ejemplos de la representación de tales pares se muestran en la figura 1.16. En la figura 1.16 a, el rodillo 1
está en contacto con la curva a - a del eslabón 2; en la figura 1.16 b el diente A de una de las ruedas dentadas
toca el diente B de la otra.
1
A
B
2
a
a
Fig. 1.16a
Fig. 1.16 b
1.4 CADENAS CINEMÁTICAS
Se llama cadena cinemática al sistema de eslabones unidos entre sí por pares cinemáticos (ver tabla 1). En la
figura 1.17 se muestra una cadena cinemática que consta de cuatro eslabones, los cuales forman tres pares
cinemáticos. Los eslabones 1 y 2 conforman la junta giratoria A (de clase V), los eslabones 2 y 3 entran en el
par de deslizamiento B (de clase V) y los eslabones 3 y 4 entran el par giratorio C (V clase).
B
B
2
C
3
A
A
C
4
1
Fig. 1.17
Fig. 1.18
Las cadenas cinemáticas pueden ser simples o complejas. Cadena cinemática simple es aquella en la cual
ninguno de sus eslabones entra en más de dos juntas (Fig. 1.18 y Fig.1.20)
B
3
A
1
2
E
4
3
B
5
2
1
D
6
2
D
B
4
1
E
A
3
D
G
4
A
6
F
Fig.1.19
C
C
C
Fig. 1.20
5
E
5
6
F
Fig. 1.21
Cadena cinemática compleja es aquella que posee por lo menos un eslabón que toma parte en más de dos
pares cinemáticos (Fig. 1.19 y Fig. 1.21)
Cadena cinemática cerrada es aquella en la que los eslabones forman uno o varios contornos cerrados
(Fig. 1.20 y Fig. 1.21). En las cadenas cinemáticas abiertas los eslabones no forman contornos cerrados
(Fig. 1.18 y Fig. 1.19).
1.7
LECCIÓN No 1 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
1.5 EL MECANISMO Y SU ESQUEMA CINEMÁTICO
Podemos ahora definir mecanismo como un caso particular de cadena cinemática.
Se entiende por mecanismo toda cadena cinemática en la que, al comunicar un movimiento dado a uno o
varios eslabones independientes, los restantes realizan movimientos completamente determinados.
El eslabón (o eslabones) al cual se le comunica el movimiento se llama eslabón de entrada (“entrada”).
El eslabón (o eslabones) que realiza el movimiento requerido para el cual está diseñado el mecanismo se
denomina eslabón de salida (“salida”).
El eslabón para el cual la suma de los trabajos elementales de las fuerzas externas es positiva, se denomina
conductor. Correspondientemente, el eslabón para el cual la suma de los trabajos elementales de las fuerzas
externas es negativa o igual a cero, se denomina conducido.
En la mayoría de los casos el eslabón de entrada es al mismo tiempo el conductor, pero desde luego pueden
ocurrir casos de inversión donde esto no se cumple.
Para el estudio de la estructura y la cinemática del mecanismo no es obligatorio escoger en calidad de eslabón
de entrada el eslabón al cual se le comunica la fuerza externa que lo acciona.
Para poder estudiar el movimiento del mecanismo es necesario, además de conocer su estructura (cantidad de
eslabones, cantidad y clase de los pares cinemáticos); conocer las medidas de algunos de los eslabones que
influyen en el movimiento y su mutua disposición. Con este fin y haciendo uso de las convenciones antes
vistas (Tabla 1) se dibuja el esquema cinemático.
El esquema cinemático se construye respetando las proporciones y las formas de las cuales depende el
movimiento de los eslabones, es decir, con el cambio de las cuales, cambian la posición, la velocidad y las
aceleraciones de los puntos del mecanismo. Todo lo que no sea característico para el movimiento debe ser
evitado para simplificar al máximo el esquema.
En el caso de que los eslabones posean movimientos espaciales el esquema cinemático se dibuja con ayuda de
proyecciones perspectivas (isométricas o dimétricas) o, si es el caso, con vistas planas ortogonales.
Ejemplo: Dibujar el esquema cinemático del mecanismo mostrado en la Fig. 1.20a. Reconocer y clasificar cada uno de los
pares que lo forman.
A
C
3
2
B
1
5
D
4
5
E
Fig. 1.20a
El mecanismo posee 5 eslabones (k = 5) 1...5, de los cuales 4 son móviles (n = 4) y el número 5 es el bastidor. Posee 5
pares así: A, B, D y E son juntas giratorias de V clase (pV = 4); el par C es una junta plana de III clase (pIII = 1). El
esquema cinemático es presentado en la figura 1.20b
1.8
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
A
5
B
1
C
D
3
2
4
5
E
Fig. 1.20b
Las fig. 1.21 y 1.22 presentan dos ejemplos adicionales de representación esquemática, en ambos casos se
tienen actuadotes hidráulicos.
Fig 1.21
G
5
F
4
E
I
H
7
1
D
3
J
8
K,K'
10
M
6
9
C
A
2
L
B
N
11
Fig 1.22
1.6 EJERCICIOS
Dibujar el esquema cinemático de los mecanismos mostrados. Reconocer y clasificar cada uno de los pares
que los forman.
1.9
LECCIÓN N°° 2
ESTRUCTURA DE LOS MECANISMOS
2.1 FÓRMULA ESTRUCTURAL DE LAS CADENAS CINEMÁTICAS
Si al movimiento de un eslabón en el espacio no se le impone ninguna restricción o condición de enlace,
entonces éste, como es sabido, posee seis grados de libertad. De manera similar, si el número total de
eslabones de la cadena cinemática es k, el número total de grados de libertad que tienen estos k eslabones
antes de su unión en pares cinemáticos es 6k. Cada par impone restricciones al movimiento relativo de los
eslabones que la conforman de acuerdo con su clase. Si asumimos que:
pI es el número de pares de I clase que posee la cadena cinemática,
pII es el número de pares de II clase,
pIII es el número de pares de III clase,
pIV es el número de pares de IV clase y
pV es el número de pares de V clase;
Debemos restar de los 6k grados de libertad que tenían los eslabones antes de formar los pares, los grados de
libertad que se pierden a cuenta de cada par. Por lo tanto, el número de grados de libertad H de la cadena
cinemática es igual:
H = 6k - 5pV - 4pIV - 3pIII - 2pII - pI
(2.1)
En las construcciones mecánicas comúnmente se usan cadenas cinemáticas en las cuales uno de los eslabones
es inmóvil (bastidor). Por lo tanto podemos estudiar el movimiento absoluto de los eslabones como el
movimiento de éstos relativo al bastidor.
Si uno de los eslabones es inmóvil, el número total de grados de libertad de la cadena se disminuye en seis, es
decir el número de grados de libertad W con relación al eslabón inmóvil será
W = H - 6.
(2.2)
W = 6 (k -1) - 5pV - 4pIV - 3pIII - 2pII - pI.
(2.3)
Sustituyendo (2.1) en (2.2)
Si nombramos n = (k -1) como el número de eslabones móviles tenemos
W = 6n - 5pV - 4pIV - 3pIII - 2pII - pI.
(2.4)
Ejemplo 1. Determinar los grados de libertad de la cadena cinemática cerrada mostrada
C
!
*
)
+
"
B
,
3
4
D
2
1
A
1
2.1
LECCIÓN No 2. ESTRUCTURA DE LOS MECANISMOS
Como puede verse del esquema cinemático los eslabones 1 (bastidor) y 2 se unen en la junta A (V clase); los eslabones 2
y 3 en la junta B (V clase) ; los eslabones 3 y 4 en la junta C (IV clase) y los eslabones 4 y 1 (bastidor) se unen en la junta
D (III clase). Es decir:
número de eslabones móviles n = 3
Cantidad de juntas de V clase pV =2
Cantidad de juntas de IV clase pIV =1
Cantidad de juntas de III clase pIII =1
W = 6n -5pV - 4pIV - 3pIII - 2pII - pI = 6⋅3 - 5⋅2 - 4⋅3 - 3⋅1 = 1,
La cadena cinemática mostrada posee un grado de libertad.
Ejemplo 2. Determinar los grados de libertad de la cadena cinemática abierta mostrada.
1
1
A
A
O
O
2
2
B
B
3
3
C
C
4
4
Como puede verse en el esquema los eslabones 1 (bastidor) y 2 se unen en la junta A (II clase); los eslabones 2 y 3 en la
junta B (IV clase) y los eslabones 3 y 4 en la junta C (V clase). Es decir:
número de eslabones móviles n = 3
Cantidad de juntas de V clase pV = 1
Cantidad de juntas de IV clase pIV = 1
Cantidad de juntas de III clase pIII = 1
W = 6n - 5pV
- 4pIV - 3pIII - 2pII - pI = 6⋅3 - 5⋅1 - 4⋅1 - 3⋅1 = 6,
La cadena cinemática mostrada posee seis grados de libertad.
Como se puede deducir de la fórmula (2.4) el número de grados de libertad con relación al eslabón escogido
como inmóvil (bastidor) caracteriza el grado de movilidad del mecanismo. Entonces si el mecanismo posee un
grado de libertad podemos comunicarle a uno de los eslabones una ley de movimiento completamente
determinada con respecto al bastidor (una coordenada generalizada del mecanismo), por ejemplo un
movimiento de desplazamiento, giratorio o helicoidal con velocidad determinada. En este caso todos los
demás eslabones del mecanismo recibirán movimientos completamente determinados que son función del
movimiento comunicado. Si el mecanismo posee dos grados de libertad, es necesario comunicar a uno de los
eslabones dos movimientos independientes (dos coordenadas generalizadas) con respecto al bastidor o a dos
eslabones de a un (1) movimiento independiente con respecto al bastidor y así sucesivamente. Por ejemplo el
2.2
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
mecanismo del ejemplo 1, como se demostró posee un grado de libertad. Por consiguiente si le imprimimos a
uno de sus eslabones una ley de movimiento, el resto de sus eslabones se mueven de manera determinada.
La cadena cinemática del ejemplo 2 posee 6 grados de libertad, por consiguiente para que todos los
movimientos de todos los eslabones sean completamente determinados es necesario definir seis coordenadas
generalizadas. Por ejemplo, las leyes de giro del eslabón 2 alrededor de los tres ejes que se intersecan en el
punto O; Las leyes de giro y deslizamiento del eslabón 3 alrededor y a lo largo del eje a - a, y la ley de giro
del eslabón 4 alrededor del eje b - b.
En la práctica para definir cada coordenada generalizada se requiere de algún tipo de accionador o actuador,
ya sea un operario humano o un “esclavo” en forma de motor, solenoide, cilindro u otro dispositivo de
conversión de energía.
Por lo general en las máquinas e instrumentos de medida se usan mecanismos con un grado de libertad. En
algunas máquinas se encuentran frecuentemente mecanismos con dos y más grados de libertad (diferenciales,
manipuladores, etc)
2.2 FÓRMULA ESTRUCTURAL DE LOS MECANISMOS PLANOS
En el caso general para determinar los grados de libertad de un mecanismo puede usarse la fórmula (2.4)
W = 6n - 5pV - 4pIV - 3pIII - 2pII - pI
Esta fórmula puede ser usada sólo en el caso de que al movimiento de los eslabones del mecanismo no se le
haya aplicado alguna determinada condición global. Estas restricciones generales para todo el mecanismo
pueden ser muy diversas. Por ejemplo: exigir que para un mecanismo compuesto sólo de pares giratorios de V
clase, todos los ejes de rotación de las juntas sean paralelos, o se intersequen en un punto, etc. Resulta que
tales condiciones cambian de manera sustancial el carácter del movimiento del mecanismo.
Miremos por ejemplo el mecanismo de la Fig. 2.1 el cual consta sólo de pares giratorios de V clase cuyos ejes
son paralelos.
z
2
B
3
A
1
C
S
4
D
4
x
y
Fig. 2.1
Debido a la condición global impuesta los eslabones no pueden girar alrededor de los ejes y y z ni desplazarse
a lo largo del eje x; es decir, de los seis movimientos posibles tres no pueden ser realizados. El movimiento de
los eslabones se realiza completamente en un plano paralelo a S.
2.3
LECCIÓN No 2. ESTRUCTURA DE LOS MECANISMOS
Si sobre el movimiento de todos los eslabones del mecanismo se impusieron tres restricciones, entonces
debemos tener esto en cuenta para el cálculo de los grados de libertad. Si en el caso general el número de
grados de libertad de los eslabones móviles sería igual a 6n (n = número de eslabones móviles), para el
mecanismo en cuestión será (6 - 3)⋅n = 3n. En correspondencia en vez de 5pV condiciones de enlace
impuestas por los pares de clase V, en este mecanismo este tipo de juntas imponen (5 - 3) pV = 2 pV
condiciones de enlace, ya que tres restricciones ya fueron impuestas por la condición de paralelismo de los
ejes de los pares. La fórmula estructural del mecanismo tiene la siguiente forma:
W = (6 - 3) n - (5 - 3)pV - (4 -3)pIV - (3 - 3)pIII,
W = 3n - 2pV - pIV.
(2.5)
Esta es la formula estructural para los mecanismos planos. En los mecanismos planos no pueden existir pares
de clase I, II ó III, ya que éstas poseen movimientos relativos posibles de carácter espacial.
2.3 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LOS MECANISMOS PLANOS
Además de los grados de libertad de los eslabones y de las condiciones de enlace que influyen activamente en
el carácter del movimiento del mecanismo, es posible encontrar grados de libertad y restricciones que no
ejercen ninguna influencia en el carácter del movimiento del mecanismo en general. Se pueden retirar de los
mecanismos los eslabones y pares a los que pertenecen esos grados de libertad y condiciones de enlace sin
cambiar el carácter general del movimiento del mecanismo. Estos grados de libertad se llaman grados de
libertad redundantes y las condiciones de enlace, condiciones de enlace redundantes o pasivas.
A manera de ejemplo examinaremos el mecanismo de la Fig. 2.2. Las medidas de los eslabones cumplen con
las siguientes condiciones
LAB = LCD,
LAD = LEF = LBC,
LAE = LDF
y
LBE = LFC.
L
L
H
3
B
F
5
D
A
1
G
7
G
I
6
C
2
E
7
3
1
4
2
4
K
K
D
A
1
1
Fig. 2.2
I
1
C
B
1
Fig. 2.3
De esta manera la figura ABCD siempre es un paralelogramo y por consiguiente la distancia entre los puntos F
y E siempre se conserva constante e igual a la distancia entre los puntos A y D ó B y C. Entonces, sin temor a
cambiar el carácter del movimiento del mecanismo se puede retirar el eslabón EF (ó BC), ya que este eslabón,
el cual entra en los pares cinemáticos E y F, le impone al mecanismo una condición de enlace redundante.
Examinemos ahora el rodillo 6 el cual forma con el eslabón 4 la junta de rotación de V clase H al contactar el
perfil recto HC. Podemos darnos cuenta de que podemos girar el rodillo 6 alrededor de eje que pasa por el
punto G sin influir en nada el carácter del movimiento del mecanismo en general. El rodillo que gira
libremente da al mecanismo un grado de libertad redundante. Por esto sin cambiar para nada el movimiento
global del mecanismo podemos retirar el rodillo y unir directamente los eslabones 4 y 7 en una nueva junta de
IV clase, (Fig. 2.3).
El nuevo par estará formado en el eslabón 4 por la recta KL paralela a DC y situada a una distancia igual al
radio del rodillo 6; y en el eslabón 7 por el punto G. Este mecanismo equivalente reproducirá la misma ley de
2.4
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
movimiento del eslabón 7 que realizaba el mecanismo inicial, pero a diferencia del primero está “liberado” de
grados de libertad y enlaces redundantes.
Dependiendo del número W a la izquierda de la fórmula 2.5 es posible encontrar mecanismos planos con uno,
dos, tres, etc. grados de libertad. Miremos, como ejemplo los mecanismos de las figuras 2.4, 2.5 y 2.6.
C
4
C
8
C
D
3
3
5
4
B
B
D
5
2
1
A
1
A
D
Fig. 2.4 Mecanismo con un grado de
2
E
7
6
H
E
B
2
G
3 F
A
1
4
K
Fig. 2.5 Mecanismo con dos grados de Fig. 2.6 Mecanismo con tres grados de
libertad
libertad
libertad
Cuando una cadena cinemática posee un número de grados de libertad igual a cero, ninguno de sus eslabones
se puede mover y se convierte en una estructura Fig. 2.7. Cuando una cadena cinemática (estructura) posee un
número de grados de libertad menor que cero, estará entonces precargada Fig. 2.8. En los cursos de estática a
tales construcciones se les denomina estáticamente indeterminadas o hiperestáticas. Una estructura
estáticamente determinada o isostática tiene un número de grados de libertad igual a cero.
L
H
B
2
1
E
6
F
5
1
7
4
C
3
1
D
G
K
1
1
A
B
2
Fig. 2.8
Fig. 2.7
2.4 REEMPLAZO DE PARES SUPERIORES POR INFERIORES EN LOS MECANISMOS
PLANOS
Para el estudio estructural y cinemático de los mecanismos planos en muchos casos resulta muy cómodo
reemplazar los pares cinemáticos superiores por pares cinemáticos inferiores. Este reemplazo debe cumplir la
condición, de que el mecanismo que resulte después del reemplazo posea el mismo número de grados de
libertad del anterior y que se conserven, en la posición dada, los movimientos relativos de todos sus eslabones.
Sea dado el mecanismo con un par superior (Fig. 2.9). Los elementos que forman este par son dos curvas
arbitrarias a y b. Para la construcción del mecanismo equivalente trazamos una normal NN en el punto de
contacto de las curvas C y marcamos en ella los centros de curvatura O2 y O3 de las curvas a y b. Entonces el
mecanismo puede ser reemplazado por un mecanismo equivalente del tipo de cuatro barras. Donde el par de
IV clase se sustituye por el eslabón 4, que “entra” en los puntos O2 y O3 en pares de V clase. El número de
grados de libertad del mecanismo de equivalente será el mismo (uno).
2.5
LECCIÓN No 2. ESTRUCTURA DE LOS MECANISMOS
a
N
B
2
O2
N
3
1
C
a
C
A
4
1
2
B
4
1
3
b
O3
b
O2
A
1
N
Fig 2.9
N
Fig 2.10
Si uno de los eslabones en contacto es una curva cualquiera pero el segundo es una recta b (Fig. 2.10),
entonces el centro de curvatura del segundo perfil estará situado en el infinito. El eslabón efectivo 4 en este
caso “entra” a formar un par giratorio de V clase en el centro de curvatura O2. El segundo par giratorio en el
cual debería “entrar” el eslabón 3, tiene el centro de giro situado en el infinito y se convierte en un deslizador
también de V clase.
También es factible el caso cuando uno de los elementos en contacto es una curva a y el otro es un punto (C),
Fig. (2.11). En este caso el centro de curvatura O3 de elemento C coincide con el mismo punto C, por esto el
eslabón efectivo 4 debe “entrar” en dos pares giratorios de V clase: en un par giratorio con el eje que pasa por
el centro de curvatura O2 del elemento curvo a y en un par giratorio con el eje que pasa por C.
B
1
1
1
B
3
N
3
C
C
4
C (O )
3
c
2
A 2
B
3
2
4
2'
A
A
1
O2
1
N
Fig. 2.11
Fig. 2.12
Fig. 2.13
En el caso de que uno de los elementos sea una recta AC y el otro un punto C (Fig. 2.12), el reemplazo se
resume a instalar el eslabón efectivo, el cual entra en un par de deslizamiento y en un par giratorio. El eje de
la junta giratoria y eje de desplazamiento del deslizador deben pasar a través del punto de contacto C. el
mecanismo de reemplazo (equivalente) se muestra en la figura 2.13.
Si todos los pares superiores de un mecanismo plano son sustituidos por pares inferiores la fórmula estructural
para el mecanismo equivalente toma la siguiente forma.
W = 3n - 2pV.
(2.6)
2.5 AMPLIACIÓN DE PARES
En ocasiones, la configuración real de mecanismo no permite una identificación rápida del tipo de mecanismo.
Es posible que las dimensiones del par cinemático dificulte esta labor. En la fig. 2.14.a se presenta dos
eslabones enlazados por el par B; en la fig. 2.14.b se amplia el tamaño de dicho par, teniendo el mismo
2.6
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA DE MAQUINARÍA
comportamiento cinemático; en la fig. 2.14.c el tamaño del par es mayor que el eslabón 2. El comportamiento
cinemático de las tres configuraciones es igual, por lo que la representación esquemática de la configuración
de la figura 2.14.c, es identificar los eslabones 1 y 2, unidos mediante un par de rotación B ubicado en el
centro del disco 1.
2
2
2
B
B
B
1
1
1
A
A
A
a)
b)
c)
Fig. 2.14. Ampliación del par cinemático
2.6 EJERCICIOS
Determinar el grado de movilidad (número de grados de libertad) de los siguientes mecanismos.
C
3
B
4
B
2
3
2
4
D
A
1)
1
1
D
C
A
1
1
2)
F
G
6
5
E
D
B
3
2
1
C
A
4
3
C
1
B
4
2
A
3)
D
1
4)
2.7
1
LECCIÓN N°° 3
CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
3.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA FORMACIÓN DE MECANISMOS
El principio fundamental de formación de los mecanismos fue propuesto por L.V. Assur en 1914. Este
científico propuso y desarrollo el método de formación de mecanismos como una sucesiva superposición de
cadenas cinemáticas, las cuales poseen determinadas propiedades estructurales.
A este método se le puede hacer fácilmente un seguimiento analizando un mecanismo concreto, por ejemplo el
mecanismo mostrado en la figura 3.1 Este mecanismo posee cinco eslabones móviles, los cuales forman siete
pares cinemáticos de V clase. Su número de grados de libertad es igual a:
W = 3n - 2pV
- pIV = 3.5 - 2.7 = 1,
(3.1)
C
4
B
3
E
5
2
A
1
D
6
F G
Fig. 3.1
El proceso de formación de este mecanismo se puede concebir como la unión sucesiva al eslabón primario 2 y
al bastidor, de la cadena cinemática formada por los eslabones 3 y 4. En este caso se tendría el mecanismo de
cuatro barras ABCD, el cual posee un grado de libertad. A continuación, al eslabón 4 del mecanismo ABCD
unimos la cadena cinemática formada por el eslabón 5 y el deslizador 6. De esta manera obtenemos el
mecanismo de seis barras el cual posee un grado de libertad.
No es difícil establecer determinada ley de formación del mecanismo. Como puede verse cualquier mecanismo
posee un eslabón inmóvil (bastidor) (eslabón 1 en la Fig. 3.1). Luego el mecanismo debe poseer un número de
eslabones primarios igual al número de grados de libertad (eslabón 2 en la Fig. 3.1, ya que W = 1).
Ya que después de agregar los eslabones 3, 4, 5 y 6 el número de grados de libertad del mecanismo terminó
siendo W = 1, entonces la cadena cinemática, conformada por los eslabones 3, 4, 5 y 6, agregada al eslabón
primario y por ende al bastidor, posee un número de grados de libertad igual a cero con respecto a los
eslabones a los cuales ella se ha unido.
Denominaremos grupo estructural o grupo de Assur a aquella cadena cinemática con un número de grados de
libertad igual a cero con respecto a los eslabones con los cuales sus elementos libres “entran” en pares
cinemáticos y que no se puede dividir en cadenas cinemáticas más sencillas con número de grados de libertad
igual a cero.
Si nos referimos de nuevo al mecanismo de la fig. 3.1, podemos ver que el conjunto de eslabones 3, 4, 5 y 6;
aunque tenga un grado de movilidad nulo, no es un grupo estructural, ya que se puede dividir en dos cadenas
cinemáticas, cada una de las cuales posee un número de grados de libertad igual a cero. La cadena cinemática
BCD consta de los eslabones 3 y 4, los cuales entran en los tres pares giratorios B, C y D, por lo tanto, su
grado de libertad Wgr será igual:
.
.
.
.
Wgr = 3 n - 2 pV = 3 2 - 2 3 = 0.
LECCIÓN No 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
La cadena cinemática EG consta de los dos eslabones 5 y 6, los cuales entran en dos pares giratorios E y F y
en un par de desplazamiento (deslizador 6 y bastidor). El grado de libertad de esta cadena es:
.
.
.
.
Wgr = 3 n - 2 pV = 3 2 - 2 3 = 0.
En conclusión, el mecanismo de la fig. 3.1 se forma por la unión al eslabón primario 2 (y por ende al bastidor
1) de dos grupos: el primer grupo se compone de los eslabones 3 y 4, y el segundo grupo por los eslabones 5 y
6.
Cuando se unen en serie grupos hay que tener en cuenta ciertas reglas. Cuando se forma un mecanismo con un
(1) grado de libertad el primer grupo se une con sus elementos libres al eslabón primario y al bastidor. Los
grupos siguientes se pueden unir a cualesquiera eslabones del mecanismo resultante, pero sólo de manera que
los eslabones del grupo posean movilidad unos con respecto a otros. Analicemos esto por medio de un
ejemplo. Supongamos que tenemos el mecanismo de cuatro barras ABCD que se muestra en la Fig. 3.2, el cual
está formado por el eslabón primario 2, el bastidor 1 y un grupo, formado por los eslabones 3 y 4.
C
F
G'
3
5
B
6'
E
2
G
6
1
A
4
D
Fig. 3.2
El siguiente grupo, formado por los eslabones 5 y 6 puede ser unido a dos eslabones distintos del mecanismo,
por ejemplo a los eslabones 3 y 4; pero no a un mismo eslabón. Ya que, por ejemplo, si unimos los eslabones
5 y 6 al eslabón 3, entonces el contorno FEG′, compuesto por los eslabones 3, 5 y 6 formará una estructura.
Se puede ver con facilidad, que para que los eslabones de los grupos tengan movilidad después de su
adherencia, es necesario que el contorno cerrado formado por los eslabones del grupo y los eslabones a los
cuales éste se unió sea un contorno móvil. Así, en la figura 3.2 el contorno GCFE poseerá movilidad. Como
puede observarse, para que un contorno de este tipo tenga movilidad, es necesario que los eslabones del
contorno entren en por lo menos cuatro pares cinemáticos (pares F, E, G y C de la Fig. 3.2).
3.2 CLASIFICACIÓN ESTRUCTURAL DE LOS MECANISMOS PLANOS
El tipo de mecanismos más usado en la industria es el de los mecanismos planos cuyos eslabones conforman
pares cinemáticos de IV y V clases. Por esto nos detendremos a analizar los principios de clasificación
estructural de éstos.
Como ya se dijo el principio de formación de los mecanismos consiste en la unión consecutiva de grupos a un
eslabón primario unido al bastidor. El grado de libertad de los grupos Wgr es:
Wgr = 0.
(3.2)
Para los mecanismos planos con pares de IV y V clase esta condición tiene la siguiente forma:
.
.
3 n - 2 pV - pIV = 0,
(3.3)
Al eslabón primario junto con el bastidor, los cuales “entran” en un par giratorio de V clase, los
denominaremos convencionalmente mecanismo de primera clase (Fig. 3.3).
3.2
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
2
2
A
B
2
C
1
1
Fig. 3.3
La formación de cualquier mecanismo plano puede ser figurada como la unión en serie de grupos que
satisfacen la condición (3.3). Por ejemplo el primer grupo se une a un mecanismo de primera clase (eslabón
primario y bastidor), el siguiente grupo se une o a los eslabones del primer grupo o parcialmente a los
eslabones del primer grupo y al eslabón primario o al bastidor, etc.
En la Fig. 3.4 se muestra el esquema de un mecanismo formado por la adherencia a un mecanismo de primera
clase (eslabón primario 2 y bastidor 1) de los siguientes grupos: primera cadena cinemática conformada por
los eslabones 3, 4, 5 y 6, segunda cadena cinemática conformada por los eslabones 7 y 8; y finalmente la
tercera cadena cinemática conformada por los eslabones 9 y 10.
Es fácil comprobar que todas estas cadenas cinemáticas satisfacen la condición (3.2), es decir no se pueden
dividir en grupos más sencillos con Wgr = 0 y por consiguiente son grupos.
4
3
8
2
9
3
5
6
9
7
1
1
10
7
1
1
5
6
8
2
1
10
4
1
Fig. 3.4
Los mecanismos pueden ser formados también mediante la adherencia de los grupos a varios mecanismos de I
clase al mismo tiempo. En este caso el grado de libertad de los mecanismos formados será igual al número de
mecanismos de primera clase presentes en el mecanismo.
Por ejemplo en la Fig. 3.5 se muestra un mecanismo formado por la unión del grupo conformado por los
eslabones 3 y 4 a un mecanismo de I clase; en la Fig. 3.6 se muestra un mecanismo formado por la unión de un
grupo igual a dos mecanismos de I clase.
C
B
2
Eslabón
primario
2
1
5
A
D
Fig 3.5
Eslabón
primario
E
1
1
4
D
B
4
A
C
3
3
1
Fig 3.6
Como se mostró anteriormente, todos los pares superiores de IV y V clases pertenecientes a mecanismos
planos pueden ser sustituidos por cadenas cinemáticas formadas sólo por pares de V clase. Los eslabones que
resultan de estas sustituciones realizan, en las posiciones dadas, movimientos instantáneos del mismo carácter
3.3
LECCIÓN No 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
que los eslabones de los mecanismos originales. De esta manera, cuando hablamos sobre la clasificación de
los mecanismos, podemos limitarnos a los mecanismos en los cuales todos los pares superiores han sido
sustituidos por las correspondientes cadenas conformadas sólo con pares de V clase.
De la relación (3.3) se deduce que la condición que deben satisfacer los grupos conformados sólo por pares de
V clase puede ser escrita así: 3 n - 2 pV = 0, de donde:
pV =
3
n,
2
(3.4)
como el número de pares y eslabones pueden ser únicamente números enteros, entonces la condición (3.4)
puede ser satisfecha sólo por las siguientes combinaciones de números de eslabones y de pares cinemáticos
Tabla 2. Grupos de Azur
No.
n
pV
1
2
3
2
4
6
3
6
9
4
8
12
5
•
•
•
•
•
Escogiendo las distintas combinaciones de estos números podemos conformar grupos de distinto tipo. A todos
los grupos que resulten de esta manera es posible clasificarlos (dividir en clases). Este representa grandes
ventajas, ya que los métodos de análisis cinemático y de fuerzas son particulares para cada clase.
La combinación más sencilla de eslabones y pares es n = 2 y pV = 3. Este grupo, en su forma más elemental,
tiene la forma que se muestra en la Fig. 3.7. En el dibujo se muestra el grupo BCD, el cual se compone de dos
eslabones y tres pares giratorios. Este grupo puede ser adherido por los elementos B y D a otros dos eslabones
cualesquiera k y m del mecanismo base. Ya que una de las condiciones de adherencia de los grupos es que los
elementos B y D de los pares del grupo no se adhieran al mismo eslabón, por consiguiente este grupo puede
ser adherido a un mecanismo de I clase (Fig. 3.5), con el elemento B al eslabón primario 2 y con el elemento
D al bastidor 1. El mecanismo resultante (W = 1) se puede ver en la Fig. 3.5. Este grupo también se puede
adherir a dos mecanismos de I clase (Fig. 3.6) en este caso W = 2.
El grupo que tiene dos eslabones y tres pares de V clase se llama grupo de segunda clase, diada o grupo con
dos miembros de arrastre.
C
D
B
k
m
Fig. 3.7
El grupo que se muestra en la Fig. 3.7 posee dos eslabones y tres juntas giratorias. A esta combinación de
eslabones y pares se le denomina grupo de II clase del primer tipo ó grupo de II clase de tipo RRR.
El resto de tipos o formas constructivas del grupo de II clase pueden ser obtenidos sustituyendo los pares
giratorios por pares de deslizamiento.
El segundo tipo ó tipo RRP es aquel en el cual ha sido sustituido una de las juntas giratorias de los extremos
por una junta de deslizamiento o corredera, (Fig. 3.8).
El tercer tipo ó tipo RPR se muestra en la Fig. 3.9. Aquí se ha sustituido el par giratorio del medio por la
corredera.
3.4
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
El cuarto tipo ó tipo PRP se ve en la Fig. 3.10. Se han sustituido los dos pares giratorios de los extremos por
correderas.
El quinto tipo ó tipo PPR se representa en la Fig. 3.11. Aquí se han sustituido por correderas una junta
giratoria extrema y la junta central.
C
C
x
y
C
D
B
x
C
y
x
x
m
D
B
B
m
m
k
k
Fig. 3.8
D
x
D
x
k
k y
Fig. 3.9
B
x
Fig. 3.10
m
Fig. 3.11
Parecería que siguiendo de está manera, podríamos sustituir los tres pares giratorios por correderas, pero es
fácil darse cuenta que en este caso al unir este grupo al bastidor el grupo posee un grado de libertad, es decir
se convierte en un mecanismo plano compuesto sólo de correderas como se puede ver en la figura.
2
3
1
y
Mecanismo compuesto sólo de pares de deslizamiento (correderas) W = 1.1
La mayoría de los mecanismos usados en la técnica contemporánea están conformados de grupos de II clase.
Estudiemos ahora la segunda combinación posible del número de eslabones y pares que satisfacen la igualdad
(3.4): la siguiente, según el número de eslabones debe contener cuatro eslabones y seis pares de V clase. Para
esta combinación es posible formar tres tipos de cadenas cinemáticas. La primera se muestra en la Fig. 3.12,
se compone del eslabón EGF del cual “salen” tres miembros de arrastre: EB, GC y FD. Esta es una cadena
cinemática compleja abierta, la cual se denomina grupo de III clase. La unión de este grupo al mecanismo
base se logra por medio de los tres miembros de arrastre EB, GC y FD, los cuales “entran” a formar pares
giratorios con los eslabones k, m, l pertenecientes, en el caso más general, al mecanismo base.
k
m
C
G
B
G
B
F
E
F
E
l
D
k
A
D
Eslabón
primario
C
m
Fig. 3.12
m
Fig. 3.13
1
Los eslabones de los mecanismos planos compuestos sólo de pares de deslizamiento no poseen posibilidad de giro
alrededor del eje perpendicular al plano de su movimiento, es decir poseen sólo dos grados de libertad ya que se han
impuesto 4 restricciones globales al movimiento de los eslabones. La fórmula estructural de estos mecanismos es:
W = 2n -
3.5
pV
LECCIÓN No 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
La característica que distingue a este grupo es el eslabón EFG, el cual “entra” en tres pares cinemáticos y que
forma cierto triángulo rígido, el cual está compuesto por los tres eslabones EG, GF y FE.
La segunda posible cadena cinemática compuesta de cuatro eslabones y seis pares inferiores de muestra en la
Fig. 3.14. Esta cadena cinemática cerrada se une a los eslabones k y m del mecanismo base no por medio de
miembros de arrastre, sino con los elementos libres G y B que pertenecen a los “triángulos rígidos” EGF y
CDB. Se diferencia del grupo anteriormente estudiado en que además de poseer dos “triángulos rígidos” BDC
y EGF, posee un contorno cerrado y móvil de cuatro lados CEFD.
Los grupos que poseen contornos cerrados de cuatro lados se denominan grupos de IV clase.
m
E
G
G
1
4
F
C
5
E
3
B
C
D
6
F
2
Eslabón
primario
D
A
k
B
1
Fig. 3.14
Fig. 3.15
El tercer tipo de cadena cinemática posible compuesta de cuatro eslabones y seis pares cinemáticos se muestra
en al Fig. 3.16. Esta cadena cinemática se fracciona en dos grupos sencillos de II clase: BCD y EFG y no nos
aporta un grupo nuevo.
F
E
C
G
D
B
k
m
l
Fig. 3.16
Si en la formación de un mecanismo toman parte grupos de distinta clase, entonces la clase del mecanismo
estará determinada por el grupo que posee la clase más alta. Por ejemplo, si el mecanismo está conformado de
la siguiente manera: mecanismo primario → grupo de III clase → grupo de IV clase, el mecanismo debe ser
clasificado como mecanismo de IV clase.
Para la determinación de la clase de un mecanismo es indispensable señalar cuál de los eslabones es el eslabón
primario, ya que dependiendo de la elección de los eslabones primarios puede variar la clase del mecanismo.
Por ejemplo, si en el mecanismo de la Fig. 3.17, escogemos como eslabón primario no el eslabón AB, sino el
DF, todo el mecanismo será mecanismo de II clase formado por dos grupos de II clase (grupo FGC y grupo
EBA).
3.6
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
F
E
G
B
k
A
C
m
Eslabón
primario
G
B
D
Eslabón
primario
F
E
D
k
A
m
C
m
Mecanismo de III clase
m
Mecanismo de II clase
Fig. 3.17
Si un mecanismo está compuesto no sólo de pares inferiores, sino también de superiores, entonces es
necesario reemplazar éstos últimos por pares inferiores usando los métodos de reemplazo antes descritos.
Nosotros siempre podemos reemplazar, para una posición dada, los pares superiores por cadenas cinemáticas
compuestas sólo de pares inferiores. Después de esto la clase del mecanismo puede ser determinada.
Para dividir un mecanismo en grupos se recomienda seguir el siguiente orden. Supongamos que se tiene un
mecanismo compuesto de bastidor, mecanismo(s) primario(s) y varios grupos de varias clases. Se debe
empezar con el intento de separar del mecanismo los grupos de II clase. Cuando se hace ésto es necesario,
cada vez que se separa un grupo, verificar que la cadena cinemática resultante posee el mismo número de
grados de libertad que el mecanismo inicial, y que no queden elementos de pares cinemáticos que no “entren”
en algún par cinemático. Si el intento de separar grupos de II clase no tiene éxito, es necesario pasar a probar
con grupos de III clase; y así sucesivamente.
Después de la separación de todos los grupos debemos quedarnos sólo con el bastidor y con el eslabón
primario (o eslabones primarios).
Ejemplo 3.1. En la Fig. 3.18 se muestra el mecanismo de un motor. Se pide determinar la clase del
mecanismo y el orden de formación del mismo.
La manivela 2 forma un par giratorio de V clase con el bastidor 1 (Apoyo giratorio). Más adelante la biela 3
forma un par giratorio de V clase con la manivela 2 y un par giratorio de V clase con el pistón 4. El pistón 4
forma un par de deslizamiento de V clase con el cilindro, el cual está rígidamente unido con el bastidor 1
(apoyo deslizante). La biela 3 y el eslabón 5 forman un par giratorio de V clase. El cual a su tiempo, “entra”
en un par giratorio con el eslabón 6 (balancín). El balancín 6 de otro lado, forma un par de V clase con la biela
7 del compresor. La biela 7 “entra” en un par giratorio de V clase con el pistón 8 del compresor, el cual al
mismo tiempo forma un par de deslizamiento de V clase con el cilindro unido rígidamente con el bastidor 1.
Por lo tanto, el mecanismo consta de ocho pares giratorios de V clase, dos pares de deslizamiento V clase y
siete eslabones móviles.
De manera que tenemos n = 7 y pV = 10. El número de grados de libertad es:
.
.
W = 3n - 2 pV - pIV = 3 7 - 2 10 = 1,
es decir, el mecanismo posee un grado de libertad y, en correspondencia, un eslabón primario.
3.7
LECCIÓN No 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
1
1
8
1
C
I
C 4
I
8
4
1
J
J
D
D
7
7
1
5
E
H
1
H
E
G
5
G
6
6
F
F
3
3
A
A
2
1
B
2
B
1
Fig. 3.18
Fig. 3.19
Para determinar la clase del mecanismo trazamos el esquema cinemático del mecanismo, Fig. 3.19.
Si tomamos como eslabón primario el eslabón 2 (manivela AB del motor), el mecanismo debe ser clasificado
como mecanismo de segunda clase, ya que está formado por tres grupos de II clase: 1) Grupo formado por los
eslabones 3 y 4 (pares giratorios 2,3 y 3,4 y un par de deslizamiento 4,1), este es un grupo de II clase de
segundo tipo. 2) Grupo formado por los eslabones 5 y 6 (pares giratorios 3,5; 5,6 y 6,1), este es un grupo de II
clase del primer tipo. 3) Grupo formado por los eslabones 7 y 8 (pares giratorios 6,7; 7,8 y un par de
deslizamiento 8,1), este es un grupo de II clase de segundo tipo.
Ahora, si tomamos como eslabón primario el número 8 (pistón del compresor), el mecanismo debe ser
catalogado como de III clase, ya que en este caso los eslabones restantes y los pares en los cuales participan,
forman dos grupos: 1) Grupo formado por los eslabones 2, 3, 4 y 5 (cinco pares giratorios 2,1; 2,3; 3,4; 3,5;
5,6 y un par de deslizamiento 4,1), este es un grupo de III clase con 3 miembros de arrastre. 2) Grupo formado
por los eslabones 6 y 7 (tres pares giratorios 6 – 1, 6 – 7, y 7 – 8).
Por último, si tomamos como eslabón primario el 4 (pistón del motor), el mecanismo pertenecerá a los de II
clase, ya que como en el primer caso encontraremos tres grupos de II clase.
Ejemplo 3.2. En la Fig. 3.20 a se muestra el esquema cinemático del mecanismo de leva de un motor. La leva
2, cuando gira alrededor del eje A ejerce acción sobre el rodillo 3, perteneciente al balancín 4. El balancín 4
por medio del rodillo 5 acciona la válvula 6, la cual se mueve a lo largo de la directriz F.
3.8
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
1
D
4
3
5
C
E
a
2
a
B
6
A
1
1
F
Fig. 3.20 a
Este mecanismo está compuesto de cinco eslabones móviles, cuatro pares giratorios de V clase, un par
deslizante de V clase y dos pares de IV clase. Como puede notarse los eslabones de este mecanismo poseen
movimientos completamente determinados, pero aplicando la fórmula estructural para los mecanismos planos
(Fórmula Chebyshev-Kutzbach), obtenemos:
.
.
W = 3n - 2pV - pIV = 3 5 - 2 5 - 2 = 3,
Es decir, el mecanismo posee grados de libertad redundantes. Éstos corresponden a la posibilidad de giro de
los rodillos 2 y 5 alrededor de los ejes C y E. De otro lado, después de “eliminar” esta posibilidad de giro, por
ejemplo uniendo rígidamente los rodillos 3 y 5 con el balancín notamos que el carácter general del
movimiento del mecanismo no ha cambiado. Es por esto que estos dos eslabones (rodillos 3 y 5) pueden ser
eliminados como eslabones, las medidas de los cuales no ejercen ninguna influencia en la cinemática del
mecanismo.
El esquema cinemático del mecanismo luego de “eliminar” los rodillos se muestra en la Fig. 3.19 b. Para hacer
que la leva 2 “entre” en el par cinemático de IV clase 2,4 con el balancín 4 (punto C), la curva de la leva 1 se
sustituye por el lugar geométrico de las posiciones relativas del centro del rodillo 3. Para hacer que el balancín
4 “entre” en el par cinemático de IV clase 4,6 con la válvula 6 (punto E), el plano a - a de la válvula 6 se
levanta una distancia igual al radio del rodillo 5 (es decir, ocupa la posición a´ - a´ ).
1
D
N
C
4
5
a'
2
3
6
B
A
1
1
F
N
Fig. 3.20.b
3.9
E
a'
LECCIÓN No 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS PLANOS
Luego de eliminar los rodillos el número de eslabones móviles es de tres (n = 3), el número de pares de V
clase igual a tres (pV = 3), y el número de pares de cuarta clase igual a dos (pIV = 2). Ya no existen los grados
de libertad redundantes y la fórmula estructural par el mecanismo toma la siguiente forma
.
.
W = 3n - 2pV - pIV = 3 3 - 2 3 - 2 = 1,
Para determinar la clase del mecanismo se hace necesario reemplazar los pares superiores de IV clase por
cadenas cinemáticas que posean sólo pares inferiores de V clase. Para sustituir el par 2,4 de IV clase (Fig.
3.19 b), en el punto C de contacto de los eslabones 2 y 4 trazamos la normal N - N al perfil de la leva 2 y
unimos el punto B (centro del curvatura del perfil en el punto C), con el punto A. El segmento BC representa
el eslabón efectivo 3, el cual “entra” en dos pares giratorios de V clase 4,3 y 2,3.
Para sustituir el par de IV clase 4,6 “instalamos” un eslabón convencional 5 (deslizador), el cual “entra” en el
par giratorio de V clase 4,5 y en el par de deslizamiento 5,6; también de V clase. Después realizar los
reemplazos de los pares superiores podemos trazar el esquema cinemático del mecanismo equivalente
(efectivo) (Fig. 3.20 c).
1
D
4
5
C
a
E
a
3
B
6
2
A
1
1
F
Fig. 3.20 c
Para conocer el grado de movilidad del mecanismo equivalente tenemos n = 5, pV = 7
.
.
W = 3n - 2 pV = 3 5 - 2 7 = 1,
De manera que el mecanismo posee un grado de libertad y debe poseer un eslabón primario.
Si tomamos como primario el eslabón 2, la cadena cinemática formada por los eslabones móviles 3, 4, 5 y 6 se
parte en dos grupos de II clase: 1) El grupo de los eslabones 3 y 4 (pares giratorios 2,3; 3,4 y 4,1). 2) Grupo
de los eslabones 5 y 6 (un par giratorio 4,5 y dos pares de deslizamiento 5,6 y 6,1). El primero de estos grupos
es del primer tipo y el segundo es del quinto tipo.
Si se toma como primario el eslabón 6, la cadena cinemática formada por los eslabones 5, 4, 3 y 2 se parte en
dos grupos de II clase. El grupo formado por los eslabones 3 y 2 es del primer tipo y el grupo de los eslabones
4 y 5 es del segundo tipo.
Para cuando se toma el eslabón 4 como primario, de nuevo encontramos dos grupos de II clase: el primero del
primer tipo (eslabones 2 y 3) y el segundo del quinto tipo (eslabones 5 y 6).
Es decir, para este mecanismo, cualquiera que sea el eslabón primario, el mecanismo debe clasificarse como
de II clase.
3.10