La elasticidad es la propiedad de un objeto o la materia que causa

La elasticidad (Parte 1)
Cuando la materia sufre deformaciones a causa de fuerzas externas que actúan sobre
ella; la elasticidad se define, como la propiedad que tiene la materia de recuperar su
forma original, una vez cese la causa que produzca su deformación. El grado de
elasticidad de la materia esta en proporción con la recuperación de su forma original. En
virtud de este punto de vista, podríamos decir que, por ejemplo entre un caucho y una
cuerda de piano; el caucho es menos elástico que la cuerda de piano; puesto que, aunque
la cuerda de piano, es más difícil de estirar (deformar), ella puede alcanzar la forma
original después de deformada; en tanto que el caucho no la alcanza. En esta cualidad se
sustenta el uso de las cuerdas de los instrumentos musicales en general, pues ellos deben
aguantar muchas deformaciones para producir los diferentes sonidos, sin que se
modifique sensiblemente la calidad de esos sonidos que les son característicos. En el
fenómeno de la elasticidad están más directamente involucrados; el vacío existente en la
materia, y la naturaleza de las fuerzas con que interaccionan las partículas que
conforman la materia. En las figuras A, B, C y D se muestran varias estructuras
fundamentales (unidades que conforman todo el volumen del material) de varios
materiales (A Cloruro de sodio, B Diamante, C Cuarzo, y D Peroskita), para tener una
idea acerca de: el vacío existente en la materia (Figuras A, B, C, y D), y la forma
aproximada de las fuerzas que conectan los átomos del material (Figura E), para el caso
del cloruro de sodio o sal de cocina. Al referirnos al vacío, estamos hablando de un
espacio en el que no se encuentra partícula alguna, ni en su forma molecular, ni
átomos, ni partículas subatómicas de las conocidas hasta hora, ni trazas de ellas.
Obviamos la existencia de los campos, eléctrico, magnético (por los iones que son
partículas cargadas y en movimiento), y gravitacionales (por la masa), que están
siempre presentes; puesto que cada uno de estos campos tienen asociadas energías;
entonces, por la relación de equivalencia entre masa- energía (E = mc2), bien
podríamos identificar de esa manera, otra forma de materia, que por su magnitud no la
podemos asociar con la materia ordinaria; esto como para justificar la no existencia de
un vacío absoluto. La elasticidad, bien la podemos identificar como esa propiedad
fundamental de la materia que nos permite entender el flujo de energía a través de la
misma.
¿Cómo evaluamos la elasticidad?
Por simplicidad consideramos cuerpos que asumimos sean homogéneos en su
conformación (la misma clase de partículas constituyentes) en todo su volumen, esto
con el fin de restringir nuestra discusión al caso unidimensional, independiente de cual
dirección sea la que tomemos para el análisis.
Ley de Hooke
El comportamiento de los cuerpos o sistemas respecto a sus propiedades elásticas, no es
igual en todo el rango de deformación producido por las fuerzas externas;
experimentalmente se ha encontrado que la relación entre la fuerza y la deformación
para pequeñas deformaciones, es lineal. La magnitud del rango en que los sistemas
presentan comportamiento lineal es muy variado; y podemos decir que, cada sistema
tiene su propio rango; pues esta asociado con sus propiedades intrínsecas. El sistema
que mejor ilustra el comportamiento elástico de los cuerpos lo constituyen los resortes.
Para analizar las propiedades elásticas de estos; la figura 1, muestra tres resortes
suspendidos verticalmente por un extremo; en el primero de la izquierda, su
deformación corresponderá al efecto que produce sobre él su propio peso, por la acción
de la gravedad actuando sobre su centro de masa; y aunque hay resortes en los que su
propio peso es suficiente para producir en ellos deformaciones relativamente grandes
(son resortes especiales), en la mayoría de los casos se usan resortes, en los que esa
deformación es muy pequeña, y podemos considerar que la longitud normal, y la que
adquiere el resorte deformado por su propio peso son prácticamente la misma. A los
otros dos resortes, por el extremo contrario al de suspensión se les ha colocado masas
tales que, la masa del tercer resorte es el doble de la del segundo. De la figura se
observa que la deformación del tercer resorte es el doble de la del segundo resorte; así
que, cualquier masa (cuya magnitud sea menor que 2m) que se suspenda de alguno de
estos resortes producirá una deformación cuyo valor estará entre 0 y 2x, y si graficamos
el peso versus la deformación obtendremos una recta como la indicada en la figura 2.
A los sistemas que experimentan comportamientos similares, se dice que obedecen la
Ley de Hooke. Esta ley establece que, la deformación, Δx, (en el caso unidimensional
1D) que experimenta un sistema por la acción de una fuerza externa, FExt., es
proporcional a la magnitud de la fuerza; es decir, Δx α FExt., (siempre y cuando se
conserve la proporcionalidad lineal entre la fuerza y la deformación. Así que de la
figura 2, si llamamos con k la pendiente de la recta, la Ley de Hooke se puede escribir
como
FExt. = - kx
(1)
El signo menos en la ec. 1, significa que, como las fuerzas siempre actúan en parejas
(tercera ley de Newton), la fuerza externa actúa contra la fuerza que ejerce el resorte en
sentido contrario (signo menos), tratando de impedir su deformación (o perturbación).
La figura 4 muestra un bloque de diamante en su forma natural, tal y como se encuentra
en la naturaleza; a pesar de que en ella no se muestra un trozo uniforme del material, su
estructura fundamental es mostrada en la figuras 5a, 5b y 6a, en sus formas:
tridimensional, 3D, bidimensional, 2D, y unidimensional, 1D, respectivamente. En la
figura 6b, es representada la estructura 1D; asumiendo que la fuerza que une dos de sus
iones, se pueda considerar como equivalente a la de un resorte de constante k. Aunque
esta es una primera aproximación, y subjetivamente, por la diferencia en las
dimensiones involucradas (carácter microscópico de los iones, y macroscópico del
resorte) no parece ser razonable; pero en lo que sigue, veremos el sustento de la
aproximación, y su consistencia, tal que para el caso de pequeñas perturbaciones, resulta
ser lo suficientemente buena.
El efecto de la fuerza externa, FExt., sobre el resorte, es hacer que en él, se alcance una
condición de energía potencial, Ep, que es la equivalente al trabajo que hace la fuerza
externa FExt. al deformar el resorte en la distancia x; así que, del concepto de energía
potencial tenemos
r
Ep = −
∫ F .dr
Re f .
Para el caso unidimensional, la fuerza será entonces dada por
(2)
F ( x) = −
dE p
(3)
dx
El signo menos en las últimas ecuaciones, esta asociado con el hecho de que, la fuerza
ejercida por el resorte en respuesta a la fuerza externa, es oponerse al incremento de la
energía del sistema, por el trabajo que sobre él hace la fuerza externa; o en otras
palabras, trabajar contra la fuerza externa, para llevar el sistema al estado de menor
energía.
De la ec. 2, para los casos más comunes de la energía potencial gravitacional y elástica
tenemos lo siguiente
Con el fin de tener una idea, así sea aproximada, de lo que ocurre en los sistemas
cuando son perturbados por fuerzas externas, en términos de sus propiedades elásticas,
trataré de mostrar intuitivamente, el soporte teórico que justifica la inclusión de la
fuerza elástica de un resorte en la discusión de la elasticidad; haciendo énfasis en su
comportamiento en la región lineal.
La forma del diamante mostrada en la figura 4, ha sido tomado como el prototipo de los
materiales naturales más duros (rígidos) de la naturaleza, aunque la figura tenga
apariencia de varias fases del material, tomaremos como modelo aquel cuya estructura
3D corresponda a la de la fig. 5a. Para el caso 1D, la representación 6b, nos permitirá
tener una idea muy aproximada de lo que ocurre en sistemas con análogas estructuras,
cuando estas son perturbadas por fuerzas externas.
Figura 7. Representación típica de las energías potenciales involucradas en un enlace
iónico, característico de los materiales más rígidos, y su comparación con la curva de
energía potencial de un resorte (armónico).
La figura 7 muestra las formas de la energía potencial que entran en juego en el proceso
de formación del enlace iónico; lo he tomado como prototipo en razón a que en los
materiales más rígidos (duros) de la naturaleza, en la unión entre sus átomos predomina
este tipo de enlace. Se han tomado estos materiales como modelo de discusión, ya que
en la interpretación de las propiedades elásticas de la materia, en los cuerpos duros, es
más difícil intuir esas propiedades, que en los cuerpos blandos, o en los gases. Por la
importancia que tiene el potencial armónico en el estudio de las vibraciones y las ondas;
vistos estos, en principio, como fenómenos macroscópicos, es oportuno tratar de
relacionarlo, a través de la elasticidad, con el comportamiento de la materia a nivel
microscópico. En la figura 7, las energías potenciales (o potenciales) representados con
líneas punteadas, corresponden a la atracción que media entre dos átomos, con cargas
contrarias hasta la distancia ro, (llamada radio de equilibrio), y la repulsión que aparece
cuando la distancia entre los átomos es menor que ro. La superposición de las dos curvas
de potencial produce como resultado la curva de la energía potencial molecular Epm.
Ahora, justamente en r = ro (posición de equilibrio), se ha superpuesto a la curva de la
energía potencial molecular, la curva de la energía potencial del resorte, descrita antes,
la cual tiene la dependencia cuadrática con la distancia r.
Como se dijo antes, la relación F = - kx es válida para pequeñas deformaciones
producidas por la fuerza (región lineal de la curva F vs x, Fig. 2). Cuando tratamos de
interpretar las propiedades elásticas de los cuerpos, simulamos la fuerza que une los
átomos, asumiendo que es equivalente a la de un resorte de constante k, Fig. 6b,
estamos teniendo en cuenta, la coincidencia existente, muy cerca de ro, Fig. 7, donde la
curva del potencial armónico coincide con el molecular. Estas ideas intuitivas sobre la
elasticidad, en estos casos extremos, nos permiten entender en una primera
aproximación, el comportamiento dinámico de la materia en el proceso de transferencia
de energía; que es lo que constituye la parte fundamental en este curso.
Con el fin de no caer en absurdos, es importante aclarar, que esa aparente simplicidad
de la estructura 1D del diamante, y análogamente en todos los materiales, cuyas
estructuras cristalinas (ordenadas); es debida al ordenamiento que en las tres direcciones
geométricas, en todo su volumen, caracterizan a tales materiales. Es también importante
advertir que el análisis involucrando los iones y las fuerzas en 2D o 3D, implica
introducir complicaciones matemáticas, que se salen de los objetivos del curso.
Complicaciones aún mayores aparecerán si los materiales en cuestión, fueran
desordenados (no cristalinos), o amorfos (sin estructura o forma), pero para su discusión
es fundamental la información que se obtenga en el análisis de los sistemas ordenados.
No obstante la aclaración y advertencia del párrafo anterior; el análisis de sistemas
simples, como el mostrado en la figura 6b, o aún, una forma más elemental de ese
sistema, como el de un resorte y una masa (sistema masa-resorte), proporciona una
información demasiado importante; pues nos permite ahondar en la comprensión de
tales sistemas, y entender las consecuencias asociadas con su dinámica, parte de la cual
esta directamente relacionada con la propagación de la energía a través de las ondas.
Cuestiones:
1. Considere la siguiente situación: se tiene un material muy duro (comparable al
diamante), otro menos duro, otro catalogado como blando, y además agua y gas;
asumiendo en todos los casos, que las fuerzas que conectan los iones se comportan
como resortes (como en el caso del diamante); en un mismo gráfico, como el de la
figura 2, grafique la fuerza contra la deformación para los casos anotados.
2. Según lo dicho hasta aquí, ¿podrá existir alguna deformación en los resortes de la
Fig. 6b, si el diamante estuviera a 0oK?
El sistema masa-resorte
La figura 8 muestra dos formas muy comunes de representar un sistema muy importante
para los objetivos de este curso, es el llamado sistema masa-resorte.
Estudiante: ¿Por qué es tan importante este sistema?
Profesor: Al describir los sistemas físicos que nos rodean, los más familiares, lo
podemos hacer, recurriendo al uso de sus propiedades macroscópicas fundamentales;
como por ejemplo la masa, el peso, la densidad, temperatura, color, olor, sabor, textura,
etc, a las que llegamos mediante nuestra observación directa, y/o haciendo medidas muy
simples; es decir, no nos es difícil describir algo que estamos viendo, e interactuando
directamente con él. Pero ocurre que tales sistemas están conformados de partículas tan
pequeñas que no las podemos ver a simple vista, y algunas, ni con los más potentes
microscopios u otros instrumentos que ha producido la tecnología, y aquellas
propiedades están de alguna manera relacionadas con el comportamiento colectivo de
tales partículas. Así que, necesitamos entender el funcionamiento colectivo, para
poderlo asociar con tales propiedades, y para el efecto, el sistema masa-resorte ha
ocupado un papel protagónico. El que este sistema sirva de alguna manera de vinculo
para relacionar las propiedades microscópicas con las macroscópicas de los sistemas
físicos, no cree que es suficiente motivo para que nos interesemos en estudiar
cuidadosamente.
Estudiante. Realmente si es muy importante lograr esa conexión; por eso ya comienzo
a interesarme en el sistema masa-resorte. ¿Pero de qué manera se logra ese puente?
Profesor. Eso será lo haremos en lo que sigue.
Profesor. Para el efecto ¿Qué diferencia cree usted que existe en los dos sistemas de la
figura 8?
Estudiante. De acuerdo a lo que aprendí en el curso de mecánica, si yo hago el
diagrama de fuerzas en los dos sistemas obtendría lo siguiente: en la figura 9a, la
reacción al peso de la masa m, o sea mg, la ejerce el resorte con una fuerza elástica, kx,
de igual magnitud que mg pero en sentido contrario; en cambio en la figura 9b, la
reacción al peso mg, no la ejerce el resorte, sino la superficie sobre la que descansa la
masa m.
Profesor. Muy bien, parece que aprovecho bien el curso de mecánica.
Profesor. En términos energéticos, ¿cómo es la energía en ambos sistemas?
Estudiante. Como la suma de las fuerzas es cero en ambos sistemas, los dos sistemas
están en equilibrio, eso quiere decir que no de a hecho trabajo sobre los sistemas, y en
consecuencia en ambos la energía es cero.
Profesor. Ese es un juicio, no solo muy ligero; sino análogo al que frecuente hacen los
estudiantes. Hay que recordar que la energía mecánica de un sistema se compone de
energía cinética y energía potencial; la primera dependiente del cuadrado de la
velocidad, y la segunda de la posición en un sistema de referencia previamente definido.
Si bien, como usted dice, los dos sistemas están en equilibrio, porque la fuerza neta
sobre cada sistema es nula, y los dos están en reposo; en relación con la energía cinética
es cierto que sea nula, pero para la energía potencial, hay que tener mucho cuidado,
pues ésta depende de la posición, y en ese sentido los dos sistemas son bien diferentes.
Estudiante. Realmente juzgué las cosas de manera muy simple; eso a nosotros, nos
ocurre con frecuencia, pecamos de apresurados, no deteniéndonos a analizar las
situaciones con detalle. Reexaminado la cuestión, veo que mientras en la figura 9a, el
resorte es deformado por la acción del peso mg, en la 9b el resorte no experimentó
ninguna deformación, pues la reacción al peso, la realiza la superficie sobre la que
descansa la masa m; por lo tanto la energía potencial si es diferente en estos sistemas.
Profesor. A pesar de su reconsideración, dada la importancia de este sistema, es
necesario analizar más de cerca el asunto. Para el sistema de la figura 9a, en razón a la
dependencia que tiene la energía potencial de la posición, la elección de la referencia
nos da varias opciones. Así por ejemplo, podríamos tomar como referencia, el resorte
sin deformar; es decir con su longitud normal l, como la que tiene el resorte en fig.9b; o
podemos tomar como referencia el resorte deformado por su propio peso, o deformado
por un peso cualquiera mg, Figura 10. Por eso es importante tener mucho cuidado en
cualquier análisis, para no caer en ligerezas que nos lleven a cometer errores.