Los números de Stirling aplicados a la Estadística

r
ESTADISTICA ESPANOLA
núm. 107, 1985, págs. 1 1 1 a 141
Los números de Stirling aplicados
a la Estadística
por FRANCISCO JAVIER URBELZ IBARROLA
Doctor en Ciencias Económicas
Catedrático de Estadfstica
RESUMEN
Este artículo trata de los números d^e Stirling y su aplicación a la
Estadística. Una potencia factorial de x puede descomponerse en una combinación lineal de potencias ordinarias sin térmíno índependiente. Los
coeficientes de esta combinación son los números de Stirling de 1.• clase.
Igualrnente una potencia ordinaria de x puede descomponerse en una
combinación lineal de potencias factoriales y sus coeficientes son los números de Stirling de 2.• clase.
En las distribuciones de tipo discreto, el cálculo de momentos ordinarios,
suele ser tediosa, pero no así de las factoriales y en este artículo se calculan
los momentos ordinarios en función de los números de Stirling y momentas
factoriales.
Aplico este trabajo para determinar los momentos de las distribuciones
discretas mas usuales.
Palabras clave: Números de Stirling. Momentos factoriales. Momentos
ordinarios.
1.
INTRODUCCION
1. Los números de Stirling se basan en la descomposición de potencias. Si tenemos
una potencia factorial de una variable, esta puede descomponerse en una cornbinación
1 j?
E Si •ii)I^,T I( ^^ E^4E'^1tiOt ^^
lineal de potencias ordinarias de la variable :^c es decir: un polinomio de grado n sin
término independiente. Los coeficientes asaciadas a la potencia n se denominan números de Stirling de l.' clase.
2. De forma semejante una potencia entera -n-- de una variable puede descomponerse en cambinación lineal de potencias factoriales cuyo máximo grado es n. y los
coeficientes asociados se denominan números de Stirling de 2.' clase.
3.
En este artículo establecemos fórmulas de recurrencia para formar tablas de los
números de Stirling de l.' y 2.' clase.
4. Existe cierta relación entre los números de Stirling de 2.' clase y las diferencias
finitas ío que nos permite por diferencias sucesivas obtener estos números de Stirling
como se demuestra con un ejemplo.
5.
Los anteriores canceptos, básicos, los trata con detalle en el Capítulo Primero.
6.
En las distribuciones de tipo discreto si la variable aleatoria pertenece a un
conjunto finito o numerable de números enteros, el cálculo de momentos ordinarios, a
veces, resulta enojoso y en cambio los momentos factoriales adquieren fórmulas sencillas. Si conocemos los números de Stirling de 2.' clase el cálculo de los momentos
ordinarios de orden n viene determinado por una combinación lineal de los momentos
factoriales y teniendo por coeficientes los referidos números de Stirling de 2.' clase.
7. De forma semejante deducimos que el momento factorial de orden n es una
combinación lineal de los momentos ordinarios y los coeficientes son los números de
Stirling de 1.' clase.
8. En las secciones 2.', 3.', 4.' y 5.' del Capítulo Segundo estudiamos las distribuciones de Poisson, Binomial, Hipergeométrica y Binomial negativa obteniendo los momentos factoriales de estas distribuciones y aplicamos las fórmulas generales de los momentos ordinarios para cada una de las distribuciones indicadas.
9.
Antes de finalizar el artículo aplico la esperanza matemática de un polinomio en
función de sus coeficientes y de los números de Stirling de 2.' clase y como caso
particular deduzco la fórmula del momento central en funcíón de los momentos factoriales y de referidos números.
10. Las varianzas de la mayor parte de las distribuciones citadas las obtengo por el
método mencionado y también lo utilizo para el cálculo de los momentos centrales de
tercero y cuarto orden de la distribución de Poisson y no obtengo de las otras distribuciones por no alargar más este artículo.
I l.
Finalizo este trabajo con una pequeña referencia bibliográfica e indico que no
todos ios autores utiíizan las notaciones de los números de Stirling como la representa-
L.()S ^JI;ME:R()S [)E STIRLI!^iC; :^P[,IC`.A[X)S :^ [^.1 [^.S[ •^[)14T1(^A
_ _ __
___
_
__
^^3
da sino que algunos emplean símbolos semejantes a los números cornbinatorios Eulerianos pera hemos preferido, en evitación de confusiones, utilizar esta notación Gue nos recómoda y clara.
CAPITULO PRIMERO
Sección 1. ^
DEFINICIONES
l.
NUMEROS DE STIRLING DE PRIMERA CLASE
l.l.
Dada la variable x definimos potencia factorial r a la expresión:
xf' = x (x-1) (x-2 ) . . . . (x--r+ 1)
rEN
siendo r factores descendentes uno del otro en una unidad y para r> 1. N representa el
conjunto de números enteros.
1.2.
Para r= 1 tenemos
(1.1'.)
x ^1 = x
coincide con x porque el último factor de (1.1.) es el primero.
1.3. La potencia factorial .x^n puede descomponerse en una combinación lineal de
potencias enteras x'^ (r=1, 2,. ... n) multiplicada por unos coeficientes S1^ . A estos coeficientes se les llama números de Stirling de l.a ciase.
1.4. Para n E N en la representación de .^n existen n números de Stirling de 1.a clase y este conjunto puede representarse por el vector:
,
S( n
1. 1
(n
S/. 2
(1.2.)
s(n -
L
1. n
S( n
J
1 14
EE.ST A [^15T IC'A E:SPA ^3C.)L_A
____
_
Si formamos el vector x„ siendo sus componentes las potencias enteras de xr (r=l ,
2....n), la cornbinación lineal de la potencia factorial xf" puede representarse por el producto escalar del traspuesto SR por el vector (1.2) o viceversa:
r
S^ n
/. /
s{ n
1. 2
n
x(n - xñ S(n - ^x, X^ , .. . .7Cn^
_
^ S j"r x'
(1.3.)
rs I
S( n
1.
1.5. Los números S1", son los números de Stirling de l.• clase (ver 1.3). Eí índice n
es el que se as©cia con la patencia factorial de X^ ". Los dos subindices indican: el
primero que pertenece a la primera clase y el segundo -r- es el que está asociado (o
rnejor dicho es el coeficiente) de la potencia X'.
2.
NUMEROS DE STIRLING DE SEGUNI3A CL.ASE
2.1. Dado el número n E N, la potencia entera X" puede descomponerse siempre en
una combi nación lineal de potencias factoriales X rr donde r varía r= 1, 2,. ... n. A los
coeftcientes correspondientes de la descomposición se denorninan números de Stirling de
2. ° clase.
Los representaremos así:
S2n,
r= 1, 2, 3. ... n.
(1.4.)
E1 índice n indica la potencia de x. Los dos subíndices indican: el primero que se trata de un núrnero de Stirling de 2.a clase; y, el segundo, t, que el número está asociado
(es el coeficiente) de la potencia factorial x^'.
2.2. Dado un n E N existen n números de Stirling de 2.a clase. Si representamos a
su conjunto por el vector Sé tenemos:
^ S(^.^1 ^
S( n
2. 2
(1.5.)
(n
2. n
2.3. Llamernos x^„ al vector columna de las n potencias factoriales y la componente
r es .xr' (r=1, 2, 3,....n). E1 traspuesto x^„ es:
LOS NUMEROS DE STtRLtNG APL1C'ADOS A LA ESTADISTI('A
(1.6.)
X^ n= ^X 1, ^^,. ... X' n^
2.4.
I^S
La potencia x" puede descomponerse así:
X^ = X( n
^2n ' n
^
x r S2^
- n
^
r:l
S2r ^r
(1 .%.)
r:l
Los coeficientes S2i (r=1, 2. ... n) son los n números de Stirling de 2.' clase as^ociados a
una potencia entera x" con todas las potencias factoriales que intervienen.
SeCCIOn 2.•
FORMACION DE NUMEROS DE STIRLING
1.
NUMEROS DE STIRLING DE l.a CLASE
1.1. Precisamos encontrar la fórmula de recurrencia que nos perrnita determinar los
números de Stirling.
Nos óasamos en la definición de potencia factorial al multiplicar la (1.1.) de la sección anterior por x-n tenemos x^^*' y recordando (1.3.):
n
x(" (x n) _ ^,wl _ ^ Si: ^ (X n)
r^l
(2.1.)
= n S1nr .X^1 - n
^
r^ 1
^
r= 1
n S jnr ^
La potencia factorial a^^l si la expresamos en función de los números de Stirling de
(n + 1) según ( 1. 3. ) siendo ahora n, n+ 1 es:
_ 1n+1 _
X"
..`
nrl
S( ^1 ^
(2.2.)
^ 1, r
r=1
1.2. Las expresiones (2.1.) y (2.2.) son idénticamente iguales la que irnplica la igual.
dad de los coeficientes de x^'.
La fórmula de recurrencia deducida de (2.1.) y(2.2.) es:
n
(n+l i (n
S1, r^l - n 1, r
SI r
(2.3.)
y se completa con las siguientes que son inmediatos:
S j r^
= S j rn = ^
^< l' < 11
(2.4.)
EST:a[^IST IC".^ F.SF'AtiC)1_.A
^ ^ ^i
1.3.
clase.
La (2.3.) nos permite la construcción de tabtas de tos números de Stirling de l.i
Y también son evidentes las síguientes:
-
SI nl^ !
2.
(2.5.)
Sjnn ^ . . , . = 1
NtJMERDS DE STIRLING DE 2.a ^LASE
2.1. De forma semejante deducimos la fórmula de recurrencia para el cálculo de los
números de Stirling de 2.^ clase.
Si la potencia entera .ac" (1.7.) formada por combinación lineal de los números de Stirling de 2.• clase y las p^otencias factoriales la multiplicamos p ^or x(tenernos:
Xn
n
r
^( n x,(r
L 2r
!
(2.6.)
r^!
X^ 1
(2.7.)
= n
n X^r X
^S^
Zr
r=1
Como
x(^' = x^r (X - ^')
(2.8.)
X' r X' =^C" r+l ♦ r X r
Si sustituimos en {2.7.) la (2.8.) tenemos:
n
C^r^^^ + r .^7
i ^
s2:
(2.9.)
r^ 1
n
^
^ [S2i .^^^ + r S2^ x^^]
r^ 1
El primer miembro es la potencia entera x^' que expresada en números de Stirling de
2.• clase y de la potencía factorial es:
^n+
1
_
rfl
^ s( n+l ^r
2 r
(2. 1 ^Í.)
r^l
2.2. Las (2.9.) y(2.10.) son idénticamente iguales por lo que los coeficientes de las
potencias factoriales r han de ser iguales. Luego la ley de recurrencia para la formación
de los números de Stirling de 2.* clase es:
SZ.^+r
= S^n^l ♦
r S^nr
1 < r< n+l
(2.11.)
LOS tii!MERUS [)f^ S^TIRL.ING APLICADOS A l_A E:STAUISTIC`A
117
S'"
- ?. n+l =0
Z, D-S^"
(2.12. )
= s"2,1 Sr2,^^*'
r
- • ...-Szl,-1.
(2.13.)
SZ ^11 = SZ"n = . . . .
(2.14.)
Y además:
S21 ^
consecuencia de las anteriores.
Sección 3.a
CONSTRUCCIC^N DE TABLAS
1.
TABLAS DE NUMEROS DE STIRLING DE PRIMERA CLASE
1. Las fórmulas de recurrencia (2.3.) y(2.4.) de la Sección 2.• nos permiten la
construcción de Tablas que pueden programarse sencillamente.
La Tabla que construímos son hasta r^10 y justificamos la formación de algunos
números para que el lector pueda continuar con la tabla para r^l 1, etc.
(n
(1
S1
" = S1(k k =. . . .- S1
, = l. (k=1, 2. . . .n).
(3.1.)
Estos números se consignan en la diagonal de la pequeña tabla que formamos.
Por ser SÍ"o = o
(2.12.) tenemos:
SÍ21= S11o - SÍ^^ _ - 1
(2.11.)
(3.2.)
Luego
(3.3.)
S^^l = SÍ?1 - 2 SÍ2z =- 1- 2=- 3 (2.11.)
(3.4.)
S j3 j= S1?o - 2 S^?1 = (-2) .{-1) = 2 (2.11.)
(3.5.)
Luego
118
FSTADISTIC'A ESP.A?^iOLA
2
-3
S;^ _
1
)
(3.ó.)
Si^^ = S1^^ - 3 S;{^ _- 3- 3=- ó
(3.7.)
S^^2 = S;j^ - 3 S;^^ _- 2- 3(-3) = 11
(3.8.)
S^l^o = - 3 S^,3o = - 6
(3.9.)
1
)
(3.10.)
^ así continuaríamas por este método recurrente calculando los números de Stirling
de primera clase. La siguiente Tabla justifica el método.
TABLA DE LOS NUMEROS DE STIRLING DE PRIMERA CLASE
^1,1
s1,,7
51,3
51,^
S1,S
51,6
51.7
S1,8
Sl, 4
51,10
S^^1
1
S^^^
-1
l
S^j^
2
-3
1
51^^
--fi
11
-b
1
S j61
24
-50
3S
-10
1
S^61
-120
274
-225
85
-15
1
S1^^
720
-1.764
1.624
-735
175
-21
1
S18^
-5.040
13.068'
-13.132
6.769
-1.960
322
-28
1
S19^
40.320
-109.584
118.124
-67.284
22.449
-4.53ó
546
-3ó
1
S^^a^
-362.880
1.026.576
-1.172.700
63.273 9.440
874
-45
715.140 --2ó9.325
1
LOS NUMEROS DE STIRLING APLIt'ADí^S A LA ESTADISTIC.A
119
Notas.
l.a
La Ley de formación es
S^^ _ S(n
1, r
(^
1, ^-1
SI r
(3.11.}
^^ ^
S^,o-o
( ^ .r
Sl,n-1
2.a
^, r -
(n
n ^, ^
E1 vector por ejemplo de los núrneros
2
-3
1
S jj^ _
3.•
S(n+l __
de acuerdo con (3.6.)
Los elementos de la diagonal son S^"„ (n variable) es la unidad.
4.• Un elemento cualquiera p.e. el de la fila 6 y calumna 3 se obtiene de los
correspondientes de la fila anterior:
- 225 =-50 - S x 35. = S1,^ - S^SZ -- S. S^s^
2.
S.a
Los números son alternativamente positivos y negativos.
6.•
Los de la 1.• columna es por la fórmula
S1^j =- n S^"^
TABLAS DE LOS NUMEROS DE STIRLING DE 2.• CLASE
De la fórmula de recurrencia ( 2.11.) de la Sección anterior tenemos:
S2^;^ = S^",^^ + r S2"r
S1"„=Sz"1- 1
(n
(n
S2. o = Sz. ,^+1= o
1< r< n+ 1
n- 1,2, 3....n
n = 1, 2, 3 . . . . n.
(3.11')
(3.11 ")
(3.11 "')
La (3.11 ") nos indica que los elementos de la diagonal principal y los de la primera
columna son la unidad.
E.srAn^sTic: A EsN:^^+c^^.^+^
120
De la fórmula recurrente y de las condiciones anteriores deducimos los siguientes
vaCorCS:
S^2 -- S'1
= 1 ^
Z. 2 ! ?, 1
=
S^^Z
(^)
(3.12.)
Para formar ei vector S2^ por la (1) r^2, r_2; tenemos:
S2^2 = S^2f+ 2 Sí^^ = 1+ 2. 1= 3
Y como según E 1"} y(1'•,}
S2^1 ^=
S23
=
S1j^ = 1
tenemos el vector:
(
(3.13.)
Para el vector S^'^ tenemos:
S2^1= S^31 + 2 Szj2 = 1 + 2,3 ^ 1+ 6= 7
Sz^^ = S1^2 + 3,S2^3 = 3+ 3= ó
Luego ei vector S^' es
S(4
2
=
1
7
ó
1
recordando la (3.11 ").
asr proseguiríamos para la formación de la Tabla siguiente
(3.14.)
121
L()S R11; ME:R()S [7f S"T IRLINC; AF'L.IC AUt1S A 1_A E:S I.-^[)ISTICA
TABLA DE NUMEROS DE STIRLING DE SEGUNDA CLASE
52.1
sZ,2
52..^
52,4
51.8
5^.7
S?.b
S2.S
52,9
S^ 1
1
S12
1
1
Szj
1
3
1
S2^
1
7
b
1
S2s
1
15
25
10
1
SZ6
1
31
90
65
15
1
S2^
1
63
301
3 50
140
21
1
S^x
1
127
966
170i
lOSO
266
28
1
S^9
1
255
3025
7770
6951
2646
4b2
3^
1
5210^
1
511
9330
34105
42525
22.827
5880
750
45
52,10
1
1Votas.
l.a
La Ley de formación es
n
S( n+1 i S( n
2, r-1 + r S^2, r
2, r
2,'
S^ n_ S^ n-- 1
2, n- Z, 1^
{3.15.}
E1 vector S2' tiene por componentes los números de Stirling de 2^ clase:
1
3.•
Los números son todos positivos y uno de ellos (el de la fila 6 y calumna 4) es
S^, ,,
= 6 5= 2 5 + 4 x 10 = Szs^ + 4. S2S^
(3.16 .)
122
^.STA[^15T1C^A E:SPAÑC)^.A
Sección 4. •
FORMULA DE INTERPOLACION DE NEWT4N
l.
LA INTERPOLACIQN. F(JRM[JLA ELEMENTAL
Rccordemos que si tenemos una función tabulada ^x) y el argumento está en progresión aritmética de razón h(x°, x°+h, xo+2h,. ..., x„ = xp + nh) la fórmuia de interpolación es
^x) =,J^x°) + x---x-° . d^ ,^x°) + (x -- x°)
h^
h
(^
e^ ^x^,) +. . , .
(4.1.)
L^
Si ,Rx) es un polinamio de grado k las diferencias finitas
k+l
,e,
k+Z
^x°} ^ d ,j^.Xo) _ . . . . = O
(4.2.)
Son nulas lo que nos permite determinar exactamente la ^x} por sus valores tabulados
y sus diferencias.
2. Un caso particular de la expresión (4.1.) es cuando 1^1; es decir: el incremento
del argumento es un núrnero entero. Y si tomamos el origen X^- o, tenemos:
^k
,^jx^ f (o) + x e f(a) + x (x--1) 0^ .^(o) +. . . .+ x (x-1) . . . . (x-k+ 1)
^
^
^ (o) +. . .
^
(4.3.)
La anterior expresión la podemos escribir con notación de potencias factoriales:
x = o + ^ .Í (o) ^^ + a2 .Í (o) ^Z + ^3 .i (o) ^ +
.xf . . . .+ ^k ^ (°) x^k + .. . .
.!^ ) .1' ( )
^
^
^
^
(4.3')
Hemos dicha que si ,^x) es un polinomio de grado k las diferencias (4.2.} se anulan a
partir de k+l.
2.
RELA,CION C(JN LOS NUMEROS DE STIRLING DE 2.a CLASE.
Si en (4.3') hacemos ^x) _ .^r" tenemas:
xr2 + ^^ .ac^j +. . . .+ ---x" _ ^ x^' + -2^^
^ =o^^ . .xr"
(4.4.)
LOS ^JUMEROS [)E STIRLI!^(.^ APLIC'A[X^S A LA E^STAUISTI(^,a
L.as diferencias de orden superior a la n son nulas. Los coeficientes de las diferencias dr i^^I (r=1, 2, 3. . ..n) son los números de Stirling de 2.' clase porque la expresión (4. , es idéntica a la (z.6.) de la Sección 2.^.
(4.5.)
Lue
S^ " - ^^
g o 2.,-
L.L
Hemos de aclarar que la fórmula de la (4.5.} el nurnerador nos indica que las diferencias finitas de orden r hay que aplicarias a la potencia ^` en el punto .^o. Esta diferencia dividida por el factorial nos da el número de Stirling correspondiente.
3. Ejemplo .xs CALCULO DE NUMEROS DE STIRLING DE 2.• CLASE POR
APLICACION DE LAS RELACIONES (4.4.) y(4.5.)
Haremos una tabla de diferencias de la función potencial x^
e^ xs
ej xs
a^ xs
as xs
1
30
150
240
120
1
31
180
390
360
120
2
32
211
570
750
480
120
3
243
781
1,320
1.230
600
120
4
1.024
2.101
2.550
1.830
720
S
3.125
4.651
4.380
2.550
6
7.776
9.031
b.930
7
16.807
15.961
8
32.768
x
xs
0
0
1
a xs
^ r=
1
2
6
24
120
Szs
1
15
2S
10
1
124
ESTADISTIC'r1 E^:SF'.A^i()L_A
__
Notas:
1. ° Hemos determinado esta tabta de diferencias de las potencias .^ para calcular
los número de Stirling Szs, (r=1, 2,. ... S).
2.• Las diferencias quintas por ser iguales nos indican que las diferencias superiores
son nulas.
,
3.^ En la primera^ fila están las diferencias en el punto 0. Y en la penúltima fila
htmos puesto los fact©riales r(r=1, 2,. ... 5) que aparecen en el denominador de la
(4.5 .)
4.• Los números de Stirling de 2.a clase se obtienen por el cociente de las diferencias
entre de la l.a fila y los correspondientes factoriales que aparecen en la penúltima fila,
así :
^^
d^ [oJs 1 SO
S1 ^ _ ------ _
=25
ó
^3
Puede comprobarse este resultado con el obtenido en la Tabla.
SeCClon S.a
DIFERENCIAS FINITAS DE UN POLI^TJMIO
1.
DIFERENCIAS FINITAS DE LA POTENCIA FACTORIAL
1.1.
De la ex presión
xr' = x (x-1). . . . (x-r+ 1)
( 5 .1. }
su primera diferencia es
0 x^' _ (x+l ) x (x-1). . . .(x-r+2) -x (x-1). . . .(x-r+l ) _
= r x (x-1). . . . (x-r) = r .^^` 1
(5.2.)
La fórmula ( 5.2.) tiene analogía con la derivada de una función potencial.
1.2. De forma semejante aplicando otra vez el operador d a la (5.2. ) tenemos para la
diferencia 2.•:
0^ .^r = r (r-1) ^^^
(5.3.)
l.O5 ti{'!^1t-ROS (7E: STIRL..!!^(; APt..i( :^[)OS :A 1.:^ F.^i ^11)I^! !('A
Y, en general, aplicando k veces k^ r tenemos:
dk _z^' = r (r-1) (r-2}. . . .(r-k+l ) .x^'-k
(5.4.)
^' ^' = 1,^,
(5.4')
si ^r, la (4) es
y las diferencias de orden superior son nulas.
La diferencia de orden k de a x^' es
Okax<'=a^k.x^'k
2.
r> k
( S .4")
DIFERENCIAS DE UN POLINOMIO
2.1.
Un polinomio de grado n
P„ (X)=ao+a1 x+a^.x^'+. .. .+a„ X"
(S.$.}
.
puede expresarse en la forma factorial:
P„ (x) = b^ + b f x11 + bz .^^ +. . . .+ bk x(k +. . . .+ b„ .^"
(5.6.)
donde los coeficientes bk están relacionados con los coeficientes al y los números de
Stirling de 2.a clase por cuanto no hay más que recordar la (4.4.) de la Sección 4.x
porque las (5.5.) y(5.6.) son equivalentes si ambas expresan el mismo palinomio.
CAPITULO SEGUNDO
APLICACIONES ESTADISTICAS
Sección l.a
1.
MOMENTOS ORDINARIOS EN FUNCION DE LOS MOMENTOS
FACTORIALES
l. Según sabemos dada una función de distribución F(x) unidimensional definida en
R el momento ordinario de orden n es la esperanza matemática de x":
a„=Ex"=
R
x"dF(x)
(1.1,)
1?ó
E;STAC)ISTIt°A ESPA^IOt..A
y que suponemos f^nito. Esta integral es de Lebergue.
2.
Igualmente, el momento factorial de orden r, es:
a^, = E x (x-1). . . .(x-r+l )
(1.2,)
3. L.os momentos ordinaños ( 1.1.) los podemos poner en función de los momentos
factoriales.
Si en ( l.1.) sustituimos x" por la fórmula ( l.7.) de la Sección 1.• del Capítulo anteñor,
la (l.l.) la podemos expresar en función de los momentos factoñales (1.2.) y de los números de Stirling de 2.• clase:
an- E f,, ^7nr X r-^ ^ SZ^r EX' r= ,^ SZnr. arr
^1
^^^
(1.3.)
Por ser la esperanza de una combinación lineal de vañables aleatorias la suma de la
combinación lineal de las esperanzas de mencionadas variables.
2.
MOMENTOS FACTORIALES EN FUNCI(SN DE LOS MOMENTOS
ORDINA RiOS
1. Ahora, calcularemos la relación de los momentos factoriales de orden n en
función de los momentos ordinarios.
De la fórmula (1.3.) de la Sección 1.^ del Capítulo anteñor tenemos:
n
Exf"=a(„=E ^ S1"r.^c'=
r^l
^ S jnr E .Xr =^
n
a(n-
(^
^ Sl,r ar
^1
1 <r<n
(1.4.)
donde ar es el momento ordinaño de orden r según la (1.1.). Y a(,^ hemos representado
por el rnomento factorial (1.2.).
La (1.4.) nos indica que el momento factorial de orden n de la variable aleatoña x es
una combinación lineal de los momentos ordinaños ar siendo los coeficientes los números de Stirling de 1• clase.
2.
No olvidemos que
.^' - x = >
a^l--a^=m=a
(1.5.)
LOS Nl1MEROS DE STIRLING APLIC'A[X)S A LA ESTADISTI<.`A
127
Las expresiones { 1.3.) y(1.4.) nos permiten enunciar los siguientes tearemas:
TEOREMA I
E1 momento factorial de orden n de una variable aleatoria unidimensional es igual a
la suma de los productos de las números de Stirling de 1.• clase por sus momentos
ordinarias asociados ar (r-1, 2.... n).
TEOREMA II
El momento ordinario de orden n de una variable aleatoria unidimensional es igual a
la suma de los productos de los núrneros de Stirling de 2.^ clase por sus momentos
factoriales asociados a^,.
Sección 2.•
1.
DISTRIBUCION DE POISSON
1. l. Es conocidísima esta distribución de tipo discreto dande ^o, 1, 2, 3. ... y depende del parámetro ^, > o. La expresión
^x
P(x) =
é^
^
(2.1.)
x= o, 2, 3....
indica la probabilidad que apareZCan x casos favorables y en esta distribución la media
y varianza coinciden con el parámetro ^,.
1.2.
El momento factorial de orden r es:
x
°°
a^, = E xr - ^
-- íl,'
x(x-1). . . . (x-r+ 1)
,^
x
^ e -
^^
^
^z-.
^,
^ X,
^ ---- e z - íl.^ ^ -^- e ^ = í^,'
x^ r
x^
x'=v
X^
(2.2.}
por haber hecho el cambio x' = x-r y siendo los límites de x' los de (1) y la sumataria
de todas las probabilidades la unidad y además los términos de la sumatoria x< r se
anulan.
1.3. La sencillez de los momentos factoriales (2.2.} nos permite obtener los momentos ordinarios an aplicando la (1.3.} de la Sección 1.•:
n
an =
^,
r^l
Szn^ í^,^
(2.3 . )
128
E^r.-^r^i^z^c,^ ^s^^>tic^r ^^
En la ( l,3.) hemos sustituído a,^ por la (^.2.) y asi obtenemos el siguiente
TEOREMA III:
El momento ordinario de orden n de la distribución de Poisson es el producto escalar
del vector fila forrnado por los elernentos de las patencias ^.' (r=1, ^,. ... n) y el vector
formado por los números de Stirling de ^.^ clase:
^ S^nn ^r
a„=^^.,^.3,^^..
^r
(2.3')
L ^, n J
S( n
I
1.4. Haremos algunos ejercicios numéricos aplicando la Tabla de los números de
Sti rl ing de 2. ^ clase.
Para n = 1 a^ _ ^,
Paran=2
az = ^^., ^.^] 1
1
= ^, + ^,^
(2.4.}
Pa ra n ^ 3
aj = (^., ^,2, ^,3)
1
3
1
= ^. + 3 ^,^ + ^,3
(2.5.)
Para n=4
rz^ = (^, ^z, ^3, ^')
_ ^, + 7 ^,^ + 6 ^.^ + ^.^
(2 . f . )
,
y as^ sucesivamente.
Si tenemos una Tabla de números de Stirling de segunda clase el cálculo de los
mornentos de esta distribución es tan senciila que no necesita ningún comentario.
l_OS Nl'MF:RUS f)E^: STIRLING APLIC`A[X)S .A LA E^ST:-^DIS"TI(_^A
__ _
_
_
_
.
-_
129
Sección 3.'
1.
DISTRIBUCION BINCJMIAL
1.1. Concepto. En esta distribución se repite un experimento n veces con probabilidad p de que el suceso sea favorable y su contraria q que no se verifique.
La función de cuantía que salgan x sucesos favorables al repetir el experimento n veces es:
I,,(X) _ (^) p.r Qn-x
1.2.
^o, 1, 2 , . . . . n
(3.1.}
11^omentos factoriales
E1 momento factorial a^, de esta distribución es:
a (r= E X^r =
^,
..^r (n ^Ix Qn-x ^
^o
_
^ n^r (n-r pr px-r Qn--.r
x-r^
^
^
a^, = n^` p'
1< r< n
(3.2.)
La anterior desarrollada puede escribirse:
a^, = n(n-1). . . .(n-r+l ) p'
(3.2')
Dando valores a r=1, 2, 3, tendremos ios siguientes momentos:
a^f=np=a
a^2 = n (n- I ) p^
a^3 = n( n--1) ( n--2 ) p 3
1.3.
(3.3')
(3.3")
(3 3•••)
Momentos ordinarios
Si en la (1. 3.) de la Sección 1.' sustituímos el valor a^r por el obtenido en la expresión
(3.2.) la expresión del momento ordinario de orden k es:
k
ak=
/c
r
^ S^,p
n( r
r^l
(3.4.)
13U
E_STA[31ST1^'A ESPA1iOLA
y nvs permite enunciar el siguiente
TEOREMA IV
El momento ordinario de orden k respecto al origen de la distribución binomial viene
expnsado por una combinación lineal de los números n p, n^^ p^,. ...,n^k pk, y los números de Stirling de 2.a clase.
1.^4.
Casos purticulctres
Ohtendrernos los casos particulares haciendo k=1, 2, 3, etc. aplicando los números de
Stirling de 2.• clase tabulados en la Sección 3• del Capítulo Primero num. 2.
así para
a^ _^
^^
a
^^
2= ^
S^.'. n^' p = n p
(3.5. )
Sr 1 n^• p• = nr! p+ n^1 p^ _
2, .
(3.6.)
^^
=np+n(n--1)p^=np+nZP2-np^=npq+n2 p2
aj = S3j1 n^j p+ S^^2 nr^ p2 + S^^ j n^3 p3 ^
=np+3 n(n-1)p^+n(n--1)(n--2)p3
(3.7.)
Y así sucesivamente.
La fórmula (3.?.) puede ponerse de otra forma.
Sección 4. a
l.
DISTRIBUCION HIPERGECJMETRICA
l.l.
Concepto.
Esta distribución, igual que las precedentes, es de carácter discreto y la probabilidad
varia de un experimento a otro. Si esquemáticamente consideramos una urna con N bolas de las cuales a son blancas y el resto b son negras, la probabilidad de que al extraer
n bolas (n < N) sin devolución sean x blancas (o < x^ a) n- x ^ b negras es:
...p (^) _
^Í ^^xÍ
^^Í
x ^. a.
n--x ^ b
( 4.1.)
L(^S NI^MEKOS DE STlRLINC; APLICADC^S A l_A ESTADISTIC'.^
1.2.
13Í
Momentos factoriales.
E1 momento factorial de orden r es:
n
_J
(x^
^n-x^
Q'^r - E ^r = ^ .^C' r
^
-
(n^
nrr
a^r
l^r^ ^^x^
(4.2)
...
N(r
N(r
,M-r
( n- r ^
,x^r
n^^
por ser
^ G.)
( N-r^
n -r
^,^X^
(4.3
^r
Ya que a + b - r= N-- r y que se demuestra sencillamente por números cornbinatorios.
1.3
^Iomentos ordinarios de vrden K.
I.a (4.2) ia podemos sustituir en la expresión general de los momentos ordinarios en
función de los momentos factoriales y de los números de Stirling de 2.• clase deducida
en (1, 3) de la Sección 1.s. Así sustituyendo los mornentos ar, en mencionada expresión
tenemos la fórmula general de los momentos ordinarios de arden K de esta distribución
hipergeométrica:
ak -
k
((K
^ S2 .r ,
rx^l
a^r
n^r
(4.4)
N(r
Y nos permite enunciar el . siguiente
TEOREMA V.
E1 momento ordinario de orden K de la distribución hipergeométrica es una combinación lineal de los números de Stirling de 2.^ clase multiplicados por
Nf ^
1.4
n^^
a^2
a^,
u^K
n^k
que son los momentos factoriales (4.2).
N
Casos particulares.
Examinemos los primeras momentos desarrollando (4.4.) para K=1, 2, 3, etc., y
sustituyendo los númeas de Stirling por los valores de la Tabla de números de Stirling
de 2. • clase.
F:s-r^r^ts1 tc^.^
rsP,^tio^.:^+
_
13?
Así para ^=-1
a f -^Srr^ ,
a
^
(4.4')
n
N^^
=n. ^ -np
N
siendop=a/N.
Para k=2
c•
r2
t2
r2
a^ = S^., ^ c^r1 a n_
,
+ S 2.2
N
N^
{2
=np+n(n_1)a(a-1)_
N(N-1)
=np+np(
1
^ )(n-1.)=
N
N-1
npN-np+{N n2p2-n^p)-nP2 N--np
N -- 1
^
n^ p2 - n^ p
n p N(1-p) + N
_
N npq + N n^ p` n2 p
{4.4")
N-1
N-1
La varianza es:
a'z=a2--^=Nnpq+
N n^pZ-n^p _
z
_ (np ) _
N-1
N npq + N n2 p2 -
n2 p- N(np)2 + n^ pz
N-1
N npq -- n2 p(1 p) N npq - n^pq
N--1
N-1
N-n
c^ = npq ----
N-1
y así pueden deterrninarse los momentos de órdenes superiores.
(4.5)
l.()S til;^1E:R()S [)E: STIRtJti(; ANi.,1C'r^[X)S A l.A E-:STA[_)1STr(':4
133
Por ejemplo:
Para K=3 tenemos:
nc^
(2
c^
t^
ac3
n^^
• a3 = S^ ; ^ a ^ n ,}. S^^a , .^ -- .^. S`' 3
=
^,^{ 3
N
N
a (a --1) (a-2 )
^-.^..^= + 3 n ( n-1) a (a 1) + n (n--1) ( n--2 )
N
N. (N_ 1)
N (N-1) (N-2)
(4.6)
SECCION 5.•
!.
]✓)ISTRIBUCION BINOMIA[. NEGATIVA.
1.1
Concepto
Esta distribución se la conoce tambien con el nombre de distribución de Pascal.
El problema es determinar la probabilidad de obtener x sucesos desfavorables y n suf jos- terminándose el experimento cuanda se verifica el enésimo sucesos favorables
ceso favorable donde p+ q= 1.
Esta probabilidad viene expresada por la función de cuantía:
p(X) _ (n + x-1 ^ q.z ph
x
.x-o, 1,2 . . .
(5.1)
o sea han existido n+x experimentos. E1 último debe ser necesariamente favorable y
todos con probabilidad constante p. (p+q=1).
1.2
Momentos factoriales.
El momento factorial de orden r es:
1) 9'X P" _
a^r - E .xlr _ ^ .^,-r^ (n+x=_
X
^
=^x ^^x..^. q'rp"_^ ^^
^n_1
^ n+ r+x = 1
-- ^
x^=°
LX,r, ^1
^.
qxp"
^ r^
( n +r+x'-1
,+r "
qr
^^
, ^r
q''` p
qx p = (n+r-1) ^
pr
x^=n ^X' 11+ -1
^34
E:S fAE)ISTIt^A E:SPAtit^}LA
La sumatoña es la unidad ( 1). Luego el momento factorial de orden r es:
(5..2)
r
cx^ r = ( n♦. r-1)rr 9
pr
1.3
llfiomentos ordinurios de orden ^C.
Si en la fórmula general de los momentos ordinaños en relación con Ios momentos
factoriaies deducida en Ia Seccicin 1.^ (1.3) de este Capítulo sustituimos ar, por los
valores deducidos en (5.2) tenemos los momentos ordinarios en función de los factoriales de esta distribución y para evitar confusiones con el parámetro n de la distribución
de Pascal representarnos el momento ordinario de orden k:
(Xk :°
k
^
S^^T
(5.3)
( n+r- ^^(r f Q^ r
tp
^^ 1
Esta fórmula nos perrnite enunciar teoremas semejantes a los de otras distribuciones.
1.4
Casos partieulares.
Para ^ 1 tenemos la media
4
crr=np
(5.4)
Para^ k^2
{5.4")
a^= n4+(n+l)n^^^^
P
P
La varianza es:
d^ - rz^ = a; = n
(I^
q
n q
^2 n 9 n 4
+
-1 +
j _ ---^
l
x
p
p
p
p^
P
Esta comprobacián es simple. Como p
n+r
. p
es la sumatoña expresada en notación de Euler.
-( n+r}
n+r
= 1.=p .(1--q}^
( n+r)-
-p
(^ . 4,,,)
n+r
.}X-1 ) 4^`
^, ( n.+.r X
.r-^
4u e
LOS NUMEROS T)F STIRLlN(; APLICA[7^S A LA F:STADISTiCA
13S
SECCION 6.•
ESPERANZA MATEMATICA DE UN POLINQMI(J
1.
EXPRESION DE UN P^4LINOMIO EN TERMINOS FACTORIALES.
Dado un polinomio aleatorio de X si la variable estocástica sigue una distribucián de
cuantía de los tipos estudiados anteriormente o de otros de naturaleza análoga, en
muchas ocasiones interesa conocer su esperanza matemática.
El polinomio aleatorio de grado m puede escribirse:
P„,(X)=ao+R^X+azx'^+ ...+am.^`
(6.1)
y también:
P,„ (x) = ao + ól xf' + b2 x^2 + . . . ók x^k + . . . + óm xr^`
(6.1')
donde en este caso las potencias aleatorias son potencias factoriales.
Los coeficientes de (6.1') están relacionados con los de la (b. l) y los números de
Stirling de 2.• clase (I).
La (6.1.) puede escribirse así:
m
Pm (x) = ao + ^
^1
(6.1")
ak x
Y si sustituímos
k
^^k
.X - ^ S(2. r X^r
en la (1 ") tenemos:
m
Pm (x) = ao + ^
K=1
ak
k
-f
^ S^k .7^G'
r=
2.r
r^l
(I) Fórmula semejante sería relacionar los coeficientes ati en funcián de los b^;. En este caso
intervienen los números de Stirling de 1.• clase.
E.ST A[:)IS^f'IC r^ E_SF':^^iC)1...:^
=a„+ Q, S';^
r?
_^^ +v,
^ rJ: ^
^^ ^ -^ . . , + LI ^ S^ ^ ^
(.^
i- a^ S 2. 2
^m^^m
. . +Um Sm
^k+!
+ ak+/ S ^.k
f4
+ a^ S ^2
(m
+ Qm S é. k
-F. . .
+..
/rn
(m
arn ^ 2.1
+ am S ^^2
La identidad de las expresianes $b. l) y{b.1') implica que los coeficientes bk son funciones
de la ah (y viceversa):
m
(h
^k^^ ahsl.k
(b.4)
m
(m
bm =^, am S 2.m = am
>^^
(b.4')
b© - aQ
(6.4")
por ser Sr^ m= 1
Z.
ESPERANZA^ MATEMATICA DE UN POLINOMIO.
Si la variable aleatoria pertenece a distribuciones como las estudiadas (u otras semejantes)
puede utilizarse la esperanza de la (b. l) que es idéntica a la esperanza de la (6.1) o la
expresada por los nuevos coeficientes bk (fármulas anteriores) relacionadas con los antiguos
coeficientes ati y los números de Stirling de 2.• clase. (6.3).
Aplicando el operador esperanza a la (b,1') tenemos:
E Pm (x) = bo + b! a^2 +.
. + brn lx^m.
(b.5)
donde arr son los momentos factoriales de orden r de la var^able aleatoria x y que dependen
del tipo de distribución, y bk son los coeficientes del polinomio factorial (b.3).
L()!^ ^11=^1f:R()^i Ca[: STIRL,INC ^ APL1('A[)OS A L,^ f Sl AF^iS7IC'.A
3.
137
MOMENTOS CENTRALES.
Un caso particular de un polinomio aleatorio de ocden m es el de los rnomentos centrales. En este caso
P (x) _ (x-a)m = .^" - { m ) a x,^-' + ( z ) a,^ x,n-.z - ( 3 ) a3 .x"^-.^ + . . . (E.6}
E1 momento factorial de primer orden coincide con su esperanza rnatemática(a(1=a=Ex).
Si comparamos la (6.6) con la (6.1) el coeficiente del polinomio puede expresarse
ah _ /_ 1 }m-h (
) am-h
(6.7)
^
Luego
ah-(-1}mam
am = 1
(6.7')
La esperanza de la (6.6) nos permite calcular los nnomentos centrados
,^m=Qo+a/ al +a1 a1+... +ak ak+...+a^, am
(6.8)
Por ser la ( 6.6) un caso particular de la (6.1), donde los coeficientes a,, son son los
(6.7) y(6.7'}. Aplicando a las (6.2) y(6.3} tenemos la fórmula de los momentos centrales en función de los momentos factoriales:
^m-(- 1)m(
^^+{- 1)^l (m)^' Sr1.l
+ (-. 1),n-^ (
a + (- 1)`^2 ( z ) ^^ S(^.2
a(^+..
+ (- 1 >^^ ( j ) ^"-^ S(^.^
^ ) ^2 S(1. r
+ (- 1)^^ ( ^ ) ^j S(z.1
+. . .
+
-tm) S(zz
(m)
sr2.1
+ (- 1)^h ( h ) ^h S(2.2
,+ (- ^ )m- (k+l) ( Im 1 ) ^n- (h+l) S(2.
+
a'(h+...
+ a(m
♦h
S(m
2.h
{6.9)
f:tiTAl)IS11("A F^SPA!'v()[..:1
La (ó.9) relaciona los momentos centrales en funeión de los momentos factoriales y
de los núrneros de Stirling de 2.^ clase. Su forma es compleja pero tiene la ventaja de la
facilidad de programación para su computación.
Examinando el coeficiente de la ar,, los números de Stirling comienzan en S^Z.h y terminan en el S^2 ^. F,ste nos permite de una Tabla tomar los valores de la columna h hasta el momenta rn(m > h). Para m^5 y^3 tenemos (véase Tabla):
S^j1.3-- 1
S^'z..^ - b
^s
S^.j=25
Para el momento eentral de segundo orden precisamos los números de Stirling de 2.a
clase que pueden consultarse en la Tabla y la fórmula es:
(b.9a)
^u2=a^-(;)cx• 1
(1)a'I
Para el momenta central de tercer orden es:
^.^---a^+(1)a^• 1
-(^) a• 1
a-(1) a' 1
(^)
a^2 + a^^
(6.9b)
• 3
+(^^ a' 1
Para el momenta central de cuarto orden la fórmula es:
a^^ - ( ^ } cr 1
a^3 + a^^
(^) •^
(6.9c)
Los númeras de Stirling de 2.• clase están tabuladas hasta la fila o momenta central
correspondiente.
t.c^s ^vt^tilE:Ft()^ [)E ^1I^tLitit; ^^NLit ^^^x^^ .^ i..^ ^ ^;r.^rai^r^t ..^
4.
13y
CALCULO DF VARIAN7_AS.
4.1.
I3istrihución df^ Pcaissvn.
La fórmula de los momentos factoriales de esta distñbución la vimos en la Sección 2.•
(2.2) es:
(ó.10)
Sustituyendo estos valores en la (ó.9a) tenemos:
^.+^,^_^
^2=^=.?'-( 1) ^.
+( ;)
por ser todos los números de Stirling de 2.a clase que intervienen en este caso la unidad.
4.2
Distribucidn binomiat
Por la (3.2) de la Sección 3, esta distñbución tiene los momentos faetoriales muy
senci t los. La fórm ula es
(ó.1 1)
a^,- -n^^ pr
E1 momento central de segundo orden (varianza) es sustituir en (ó.9a) los valores
(ó.l l) de los momentos factoñales de la anteñor y los números de Stirling de 2.^ clase
indicados:
µz=d^=(np)^+(- 1)(i) np
np+n(n-1)p^ -npq
(ó.12)
(2)
4.3
Distribucidn Hiper^eométrica
En esta distñbución hipergeométrica el momento factorial l^ calculamos en la
Sección 4.•, fórmula (4.2):
a^r
nr•
CX^r =
donde p =
N^r
h
y q = -- .
N
N
a
(ó.13)
La vañanza viene expresada aplicando la ( 8) para m=2 y sustituyendo a^r por sus
valores según la fórmula precedente.
Haciendo p= a^ a= N p, sustituyendo ( ó.13) en la ( ó. l0) tenemos:
N
fSTA[iISTI(`A E:SP,A^iOi.^^
µ^=a`=(n p)^+(- 1)(1) np
{^)
-np+p(^n(n- 1)
N- 1
(ó.14)
^--n^p^(N- 1)+ nP{N-- 1)+P{NP- 1)n(n- 1)
^ N -- 1
_- n2p^
N+n^p^P npN-np+n?p^N-n^P-np` N_+n^
N-1
^^
N-n
^_n
Pq
(ó.14')
N-1
Estas var-ianzas las obtuvimos cuando estudiamos los momentos de estas distribuciones.
4.4.
Distrib ucidn de Pasca! (bt nom ial negati va)
En la Sección 4.a estudiamos esta distribución y obtuvimos la f©rmula de los momentos factoriales:
A.'^r=(n+ 1"=-- ]^^r(^1
\p ^r
(ó.15)
Sustituyendo estos valores en la (ó.9a) sabiendo que a^l = a tenemos:
p^^a^={nqÍ^+(-1)(i)^ ^^^+n4 +(n+l)n(q^1
P
p
p
P
nq
_ -nq- ^ ^±-4^_
P
P
pZ
S.
(ó.ló)
MOMENTOS CENTRALES DE TERCERO Y CUARTO ORDENES.
Finalizaremos este artículo aplicando las fórmulas de los momentos centrales de
tercer orden (6.9b) y de cuart.o orden 86.9c) para la distribución de Poisson por la
sencillez de los monnentos factoriales de orden r(ó.14) y por no alargar más este
trabajo:
,u 3 ^ - ^„^ + ( ^ } I^, í^, - ( 2 ) ^. ^.2 + I^,^
- (^).^ ^,
+
1 ^
_ .l
( ^) 3 .^^
^f ^ ^^
l4i
[()ti til: M[^R05 DL S^TIRLINC; APLIC'AD()S A LA ESTADISTICA
Igualmente sustituyendo ^, ,, =^,' en la fórmula de momentos centrales de cuarto
orden es:
i
^4=^^-'4 /^,3 í^.+ó í^,2 1 ^2
- 12 ^.
- 4 ^,
^.3
+ ^^
+6
+7
(6,18)
= 3 ^.^ + ^.
BIBLI(JGRAFIA
ABRAOWITZ, M.:
U.S.A., 19ó4.
Handbook of Matematica! Functions,
Edición
Imprenta
Oficial
Gobierno
$ARTON, E. E.: Biometrika 47, de 1960, pp. 439-445
DAVtD, F. N. AND MERRINTON, M.: Biometrika, 50, 19ó3, pp. 1b9-176
KNUTH I}. E.: E! arte de programar ordenadores. ^ilgoritrnos fundamentales, Vol. I, pp. 50-?3,
Editorial Reverte, S.A., 1980
SUMMARY
STIRLING NUMBERS APPLIEO TO STATISTICS
This article refers to Stirling numbers applied to Statistics in order to
reckem previously recurrence formulae which are suitable calculate the
aforside Stirling numers, so that the ordinary moments can be set as a
function of factorial moments.
I have applied this work to several discrect distribution which are the
most frequent in Statist^cs.
Key words: Stirling numbers. Factorial moments. Ordinary mornents.
AMS 1984. Subject classification: 62 E 1 U