Punto libre: Tiro con resistencia

TIRO CON RESISTENCIA
Índice
1. Planteamiento del problema
1
2. Replanteamiento óptimo y resolución del problema
2
3. Análisis cualitativo del comportamiento de la hodógrafa
3.1. Puntos singulares de la hodógrafa . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Comportamiento de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Comportamiento de η (≡ v) . . . . . . . . . . . . .
3.3. Isoclinas del diagrama de la hodógrafa . . . . . . . . . . .
dη
3.3.1. Isoclinas de pendiente nula ( dϕ
= η ′ = 0) . . . . . .
3.4. Separatrices del diagrama de la hodógrafa . . . . . . . . .
3.5. Tendencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
3
3
3
3
4
4
4
4
4. Movimiento vertical con resistencia
4.1. Movimiento vertical descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Movimiento vertical ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
1.
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Planteamiento del problema
Sea una partícula de masa m que se mueve libremente por el espacio E3 sometida a dos
fuerzas:
Un campo gravitatorio paralelo y uniforme modelizado por P̄ = −mg~k
Una resistencia modelizada por D̄(v) = −mgφ(v) v̄v , donde φ(v) satisface tres condiciones:
a) 0 ≤ φ(0) < 1, b) ∀v ∈ R : φ′ (v) > 0 y c) ∃λ ∈ R : φ(λ) = 1
Inicialmente se tienen las siguientes condiciones iniciales:
t = t0 : r̄ = 0̄, v̄ = v0 (cos ϕ0 cos θ0 ~ı + cos ϕ0 sin θ0 ~ + sin θ0 ~k)
Proyectando la ecuación de cantidad de movimiento en la base cartesiana, obtenemos:
X
ẋ
mγ̄ ·~ı =
F̄ ·~ı → mẍ = −mgφ(v)
(1)
v
X
ẏ
mγ̄ · ~ =
F̄ · ~ → mÿ = −mgφ(v)
(2)
v
X
ż
mγ̄ · ~k =
F̄ · ~k → mz̈ = −mgφ(v) − mg
(3)
v
Dividiendo las dos primeras se tiene:
R
R
dẋ
dẏ
=
→ ẏ = C1 ẋ = tan(θ0 )ẋ → y = tan(θ0 )x + C2 ⇒
ẋ
ẏ
⇒ Trayectoria contenida en un plano vertical que pasa por Oz
2.
Replanteamiento óptimo y resolución del problema
Elegimos un sistema de referencia con origen en la posición inicial y tal que la velocidad inicial esté contenida en el
plano y = 0.
Inicialmente se tienen las siguientes condiciones iniciales:
t = t0 : x0 = 0, z0 = 0, ẋ0 = v0 cos ϕ0 , ż0 = v0 sin ϕ0
Usamos las ecuaciones intrínsecas del movimiento:
X
dv
mγ̄ · ~t =
F̄ · ~t → m
= −mg[φ(v) + sin ϕ]
dt
X
v2
mγ̄ · ~n =
F̄ · ~n → m = −mg cos ϕ
ρ
y la relación de la geometría diferencial:
ds
ρ=
dϕ
Operando resulta:
dv
= −g[φ(v) + sin ϕ]
dt
dϕ
v
= −g cos ϕ
dt
Dividiéndolas queda:
v[φ(v) + sin ϕ]
dv
=
dϕ
cos ϕ
z
C
~t
ϕ
~n
D̄
v0
O
ϕ0
P̄
x
(4)
(5)
(6)
que es la ecuación diferencial de la hodógrafa en polares, a integrarse con ϕ = ϕ0 : v = v0 .
Una vez conocida la hodógrafa v = v(ϕ), la trayectoria se calcularía mediante:
Z
R
1 2
1 ϕ 2
(5)
dx = v(ϕ) cos(ϕ)dt = − v (ϕ)dϕ
→ x(ϕ) = −
v (η)dη
(7)
g
g ϕ0
Z
R
1 2
1 ϕ 2
(5)
dz = v(ϕ) sin(ϕ)dt = − v (ϕ) tan(ϕ)dϕ → z(ϕ) = −
v (η) tan(η)dη
(8)
g
g ϕ0
3.
Análisis cualitativo del comportamiento de la hodógrafa
Adimensionalizamos de las ecuaciones (4, 5) mediante el cambio de variables: η = λv , τ = λg t.
Así, nos queda:
dη
= −[φ(η) + sin ϕ]
dτ
dϕ
cos ϕ
=−
dτ
η
(9)
(10)
La ecuación (6) que rige el comportamiento de la hodógrafa, escrita en variables adimensionales es:
dη
η[φ(η) + sin ϕ]
=
(11)
dϕ
cos ϕ
Para este análisis cualitativo vamos a representar las coordenadas polares de la hodógrafa
adimensionalizadas, ϕ y η = λv , en abscisas y ordenadas de un plano cartesiano, respectivamente.
La hodógrafa quedará representada en dicho plano por una curva de la región definida por:
0≤η
(≡ 0 ≤ v)
π
π
− ≤ϕ≤
2
2
3.1.
Puntos singulares de la hodógrafa
Hay un único punto singular del plano de fases, que anula simultáneamente los segundos
miembros de (9, 10): ϕ = − π2 , η = 1 (≡ v = λ). Se puede comprobar que es un foco estable,
sin más que hacer una análisis de estabilidad lineal del mismo. Haciendo un desarrollo lineal
alrededor del punto singular resulta:
π 2
− φ′ (1)(η − 1) + O((η − 1)2 ) + 1
d
η
−1
+ O((ϕ + 2 ) )
=
=
ϕ
−(ϕ + π2 ) + O((ϕ + π2 )3 )
dτ
−φ′ (1) 0
η−1
≈
0
−1
ϕ + π2
Los autovalores de la matriz diagonal serán: l1 = −φ′ (1) < 0 y l2 = −1 < 0. Es un nodo estable
(todas las trayectorias acaban en él).
3.2.
Monotonía
3.2.1.
Comportamiento de ϕ
cos ϕ
dϕ
=−
dτ
η
ϕ es siempre decreciente a menos que inicialmente sea ± π2 . Además decrecerá hasta que se
vuelva anular la derivada, en ϕ → − π2 + . Vamos a plantear si tarda un tiempo finito o no en
hacerlo. Considerando que la evolución de todas las trayectorias acaban en el nodo estable se
tiene:
Z ϕ
β=1
1
v(ξ)dξ
lı́m t(ϕ) − t0 = − lı́mπ
∼
∼
1
φ(x) = v(x)
[1 + O(x + π2 )2 ]
ϕ→− π2
g ϕ→− 2 ϕ0 cos ξ
Z −π
2
dξ
∼
DIVERGENTE
ξ + π2
ϕ0
Por tanto, se pueden distinguir tres formas de evolución:
Si ϕ0 = − π2 ⇒ ϕ(t) = − π2 (frontera del movimiento vertical descendente)
Si − π2 < ϕ0 <
π
2
⇒ − π2 < ϕ(t) ≤ ϕ0 <


π
Si ϕ0 = ⇒ ϕ(t) =

2
3.2.2.
π
2
(puntos interiores excepto el final)
si v̇ < 0 (Movimiento vertical ascendente);
→ − π2 , si v = 0 (Punto de retroceso: discont. de salto);
− π2 ,
si v̇ > 0 (Movimiento vertical descendente).
π
2
π
,
2
Comportamiento de η (≡ v)
dη
= −[φ(η) + sin ϕ]
dτ
η̇ > 0 (v̇ > 0) creciente,
si φ(v) + sin ϕ < 0 Zona [I]
η̇ < 0 (v̇ < 0) decreciente, si φ(v) + sin ϕ > 0 Zona [II]
η̇ = 0 (v̇ = 0) estacionario, si φ(v) + sin ϕ = 0 Frontera [I]/[II]
3.3.
Isoclinas del diagrama de la hodógrafa
3.3.1.
dη
= η ′ = 0)
Isoclinas de pendiente nula ( dϕ
η = 0 (v = 0);
3.4.
φ(η) + sin ϕ = 0 (Frontera [I]/[II])
Separatrices del diagrama de la hodógrafa
Hay una curva separatriz en el interior de la zona [II] que separa los casos en los que la
velocidad es estrictamente decreciente ([ II ]( a )) de aquellos en los que no lo es ([ II ]( b )). Se
representa en la figura y es una curva que entra en el nodo estable (ϕ = − π2 , η = 1) con
pendiente nula desde la zona [II]. Como este punto es singular, para capturar esta curva hay
que usar la técnica de tanteo/error y probar a imponer condiciones en un punto próximo al
singular y ver como se comporta cuando se tiende al mismo.
Figura 1: COORDENADAS POLARES DE LA HODÓGRAFA EN EL PLANO CARTESIANO
3.5.
Tendencias
1. La velocidad está acotada superiormente:
v creciente y acotada superiormente por λ, si (ϕ0 , η0 ) ∈ [I] ∪ frontera [I]/[II]
v acotada superiormente por max(v0 , λ),
si (ϕ0 , η0 ) ∈ [II]
Luego v 2 (ϕ) ≤ máx(λ2 , v02 ).
2. La trayectoria tiene una asíntota vertical:
Z
R
v2
1 ϕ
dx = v cos ϕdt
dx = − dϕ → x(ϕ) = −
v(ξ)2 dξ
dϕ
g
=
−
cos
ϕ
g
g
ϕ0
dt
v
Z ϕ
1
1
π
lı́mπ x(ϕ) = −
lı́mπ
v(ξ)2dξ ≤ máx(λ2 , v02 )(ϕ0 + )
ϕ→− 2
g ϕ→− 2 ϕ0
g
2
4.
Movimiento vertical con resistencia
Por definición, se llama movimiento vertical con resistencia al movimiento rectilíneo de una
partícula sometida exclusivamente al peso (modelizado como un campo de fuerzas paralelo y
uniforme) y a la resistencia aerodinámica. Se comprueba que es un ejemplo típico del caso
de integración del movimiento rectilíneo donde la fuerza es solo función de la velocidad, pero
vamos a abordar su estudio analítico tras el análisis cualitativo del tiro con resistencia, porque
ya hemos visto que es un caso particular del mismo con ϕ0 = ± π2 .
4.1.
Movimiento vertical descendente
Tomamos un eje cartesiano z de referencia con origen en el punto de lanzamiento (z0 = 0)
y cuya dirección y sentido es la de la velocidad inicial descendente (~k = |v̄v̄00 | ). Supongamos que
la partícula se mueve por dicho eje. La cinemática de este movimiento quedará definida por:
r̄ = z~k, v̄ = v~k, γ̄ = v̇~k | v ≥ 0 (para que sea descendente)
Es un caso libre (sin ligaduras) y las fuerzas directamente aplicadas en una posición genérica
serán:
P̄ = mg~k
D̄ = −mgφ(v)
v̄
= −mgφ(v)~k
|v̄|
Como en este movimiento las fuerzas que actúan (peso y resistencia aerodinámica) están contenidas en la dirección del eje, no hay forma de sacar la partícula del mismo, por lo que el
movimiento será obligatoriamente rectilíneo.
La proyección de la ecuación de cantidad de movimiento (libre) sobre el eje considerado es:
X
dv
dv
mγ̄ G · ~k =
F̄E · ~k = P̄ · ~k + D̄ · ~k → m = mg − mgφ(v) →
= g(1 − φ(v))
dt
dt
La velocidad será decreciente si v > λ, creciente si v < λ y estacionaria si v = λ. Al final,
tenderá obligatoriamente hacia λ.
Es un caso típico de movimiento rectilíneo con fuerza solo función de la velocidad, cuya
solución en forma de cuadraturas ya se hizo definitivamente si v0 6= λ (φ(v0 ) 6= 1):
Z
R
1 dv
1 v
dη
dt =
→ t − t0 =
g 1 − φ(v)
g v0 1 − φ(η)
Z
R
1 vdv
1 v ηdη
→ z − z0 =
dx = vdt =
g 1 − φ(v)
g v0 1 − φ(η)
Ya se ha visto que la integral del tiempo no converge cuando la velocidad tiende a su valor
límite.
Si v0 = λ (φ(v0 ) = 1), v(t) ≡ λ (movimiento rectilíneo uniforme)
4.2.
Movimiento vertical ascendente
Tomamos un eje cartesiano z de referencia con origen en el punto de lanzamiento (z0 = 0)
y cuya dirección y sentido es la de la velocidad inicial ascendente (~k = |v̄v̄00 | ). Supongamos que
la partícula se mueve por dicho eje. La cinemática de este movimiento quedará definida por:
r̄ = z~k, v̄ = v~k, γ̄ = v̇~k | v ≥ 0 (para que sea ascendente)
Es un caso libre (sin ligaduras) y las fuerzas directamente aplicadas en una posición genérica
serán:
P̄ = −mg~k
D̄ = −mgφ(v)
v̄
= −mgφ(v)~k
|v̄|
Como en este movimiento las fuerzas que actúan (peso y resistencia aerodinámica) están contenidas en la dirección del eje, no hay forma de sacar la partícula del mismo, por lo que el
movimiento será obligatoriamente rectilíneo.
La proyección de la ecuación de cantidad de movimiento (libre) sobre el eje considerado es:
X
dv
dv
mγ̄ G · ~k =
F̄E · ~k = P̄ · ~k + D̄ · ~k → m = −mg − mgφ(v) →
= −g(1 + φ(v))
dt
dt
La velocidad es decreciente (hasta anularse).
Es un caso típico de movimiento rectilíneo con fuerza solo función de la velocidad, cuya
solución en forma de cuadraturas ya se hizo definitivamente:
Z
R
1 dv
1 v
dη
dt = −
→ t − t0 = −
g 1 + φ(v)
g v0 1 + φ(η)
Z
R
1 v ηdη
1 vdv
→ z − z0 = −
dx = vdt = −
g 1 + φ(v)
g v0 1 + φ(η)
El tiempo de ascenso y la altura que alcanza la partícula hasta su parada, comparados con
los del caso sin resistencia (φ(v) ≡ 0), serán:
Z
Z
1 0
dη
1 0
v0
T =−
≤−
= T0
dη =
g v0 1 + φ(η)
g v0
g
Z
Z
1 v ηdη
1 0
v2
H =−
≤−
ηdη = 0 = H0
g v0 1 + φ(η)
g v0
2g