Modelos de Ordenadores

PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA
SEGUNDO CUATRIMESTRE (PLAN 96)
Hoja 6: Modelos de ordenadores
1. Consideramos una red con tres estaciones. Los clientes llegan a las estaciones 1, 2 y 3 según
procesos de Poisson con tasas 5, 10, 15. Los tiempos de servicio en las tres estaciones son
exponenciales con tasas 10, 50, 100. Un cliente que completa servicio en la estación 1 va a la
2, a la 3 o abandona el sistema con igual probabilidad; it. 2, va a la 3. Una salida de la 3 va
a la 2 o se sale con igual probabilidad.
(a) ¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?
(b) ¿Cuál es el tiempo medio de un cliente en el sistema?
2. Dos centros remotos envı́an mensajes de caracterı́sticas similares vı́a lı́neas de comunicación
para procesamiento y almacenaje. Debido a las distintas velocidades de lı́nea, las tasas de
servicio son µ1 y µ2 . Las entradas son de Poisson con tasas λ1 y λ2 , respectivamente. Los
mensajes se procesan después en la CPU, con tasa µ3 y la salida se manda con igual probabilidad a alguno de los dos dispositivos de almacenamiento, con tasas µ4 y µ5 , respectivamente.
Todos los tiempos de servicio se suponen exponenciales, salvo el del último, que es constante.
Determinar el tiempo medio que tarda en recorrer el sistema un mensaje.
3. Consideramos una centralita de intercambio de mensajes que los recibe a través de una lı́nea
de comunicaciones, con tiempo de transmisión exponencial con tasa µ1 . El mensaje que se
recibe se verifica en la centralita en tiempo exponencial de media 1/µ2 . Si se detecta un error,
se retransmite el mensaje. De experiencia anterior, se ha estimado que una proporción p de
mensajes tiene errores. Si el mensaje carece de errores, se enruta en alguno de tres destinos,
con la misma probabilidad, conectados al intercambiador por lı́neas distintas de manera que
los tiempos de transmisión son exponenciales con tasas µ3 , µ4 , µ5 , respectivamente. Supuesto
que el origen del tráfico es de Poisson con tasa λ, ¿Cuál es el número medio de mensajes que
esperan a ser transmitidos en la centralita?
4. Consideramos la red de la figura, con una CPU y dos nodos de entada/salida.
p2
CPU
p1
p0
λ
E/S 1
E/S 2
Los canales E/S tienen la misma tasa de servicio µ = 1.2 trab/seg. La tasa de servicio de
la CPU es µ0 = 2 trab/seg. La tasa de llegadas es λ = 1/7 trab/seg. Las probabilidades de
ramificación son p0 = .1, P1 = .3, p2 = .6.
(a) Determinar la distribución estacionaria del número de clientes en el sistema, suponiendo
que los tiempos de servicio son exponenciales e independientes.
(b) Determinar la distribución de la longitud de cola en cada nodo.
(c) Determinar el tiempo medio de respuesta del sistema.
5. Consideramos la red de Jackson abierta con tres nodos descrita según la tabla, donde las tasas
de servicio y de llegada vienen en unidades homogéneas de tiempo,
Nodo
1
2
3
Num. serv.
1
2
1
Tasa servicio
10
10
10
Tasa ext. lleg.
1
4
3
1. y la matriz de transición

0
0.6 0.3
0.3 
P =  0.1 0
0.4 0.4 0

donde pij define la probabilidad de pasar al nodo j una vez que se completa servicio en el nodo
i. Los clientes que no pasan a otro nodo j al completar servicio, abandonan la red.
(a) Calcular la distribución estacionaria (conjunta) de la red.
(b) Calcular el número esperado de clientes en el nodo i, i = 1, 2, 3.
(c) Calcular el tiempo medio en el sistema de cada cliente.
2