19-el metodo abstractivo - RDU

EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA CIENCIA
SELECCIÓN DE TRABAJOS DE LAS XIX JORNADAS
VOLUMEN 15 (2009)
Diego Letzen
Penélope Lodeyro
Editores
ÁREA LOGICO-EPISTEMOLÓGICA DE LA ESCUELA DE FILOSOFÍA
CENTRO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE FILOSOFÍA Y HUMANIDADES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
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El Método Abstractivo: su influencia en el razonamiento matemático de W.
J. M. Ranking
Raú!Dean·
La propuesta de razonamiento geométrico de Raukine
William John Macquom Rankine (1820-1872), ingeniero y profesor de nacionalidad escocesa,
publica en el año 1854 un trabajo sobre la representación geométrica de la acción expansiva del
calor y la teoría de los motores termodinámicos [ 1]. Analiza el comportamiento energético de un
gas durante su evolución cíclica basándose en una interpretación geométrica de las
transformaciones energéticas efectuadas por el gas. El trabajo mecánico realizado por un gas que
evoluciona realizando procesos cíclicos estaba representado geométricamente por el área de una
figura curvilínea cerrada correspondiente a un ciclo termodinámico. En el inicio de su trabajo
expresa:
La primer aphcaclón de un diagrama geométrico para representar la acción expansiva del
calor fue realizada por James Watt, cuando inventa el bien conocido Indicador del MOtor de
Vapor, subsecuentemente alterado y mejorado por otros en varias fonnas. Como los
diagramas descriptos por el indicador de Watt es el tipo de todos los diagramas que
representan la acción expansiva del calor, su naturaleza general es
Fig. l.
exhibida en la Fig. 1'
Sea que la abscisa, medida a lo largo, o paralela al eJe OX, represente el T
volumen sucesivamente asumido por una cierta masa de una sustancia
elástica, por expansiones alternadas y contracciones de calor realizadas
para producir potencia motriz; siendo OVA y OV8 el menor y el mayor
volumen que la sustancia es asumido a realizar, y OV cualquier volumen
intermedio. Por brevedad, estas cantidades serán denotadas por V A , V 8 ,
y V, respectivamente. Entonces V 8 - V A puede representar el espacio
recorrido por el pistón de un motor durante una única carrera.
Sea que las ordenadas, medtdas paralelas al eje OY y en ángulo recto a
OX~ denoten las presiones expansivas sucesivamente ejercidas por la
sustancia en los volúmenes denotados por la abscisa. Durante el
incremento de volumen desde V A hasta V8 , la presión, para que la
potencia motriz pueda ser producida, deberá ser, en conjunto, mayor que durante la
disminuciÓn de volumen desde V8 hasta V A; de tal manera que por ejemplo, las ordenadas
VP 1 y VP2 o los sfmbolos P 1 y P2o puedan representar las presiones correspondientes a un
dado volumen V duriln.te la expansión y contracción de la sustancia respectivamente.
Entonces el área: de la figura curvilinea, o Indicador-diagrama, AP 1BP2A, representará la
potencia motriz, o "Energía Potencial", desarrollada o dada al medio exterior durante una
carrera completa, o ciclo de cambio de volumen de la sustancia elástica. La expresión
algebraica para esta área es
* Umversídad Nacional de Río
Cuarto
Epistemología e Historia de la Ciencia
Volumen 15 (2009)
-133-
r(l~-P,)dV
·
'
El uso práctico de tales <hagramas, al determinar la potencía y el modo de accíón del vapor
en los motores de vapor, donde la curva AP 1BP2A es descnpta por un lápiz unido a un
medidor de presión, sobre una tatjeta cuyo movimiento corresponde con aquel del pistón, es
suficientemente bien conocido (Rankíne, 1854:115-116)
Charles Wheatstone [2], comentarista del trabajo de Rankine, destaca entre otros, el siguiente
párrafo que aquí se transcribe en su forma original
Como los princtplos de la acción expansiva del calor son capaces de ser presentados a la
mente más claramente por la ayuda de diagramas de energla que por medio de palabras y
simbolos solamente, propongo, -en el presente trabajo, aplicar tales diagramas, parcialmente
para la ilustración y demostración de proposiciones previamente probadas por otros medios,
pero principalmente para la solución de nuevas cuestiones, especialmente aquellas
relacionadas a la acctón del calor en todas las clases de motores, tanto trabajen por aire, o
por vapor, o por cualquier otro material; de manera de presentar, en una forma sistemática,
aquellos principios teóricos que son aplicables a todos los métodos de transformar el calor a
potencia motriz por medio de los cambios de volumen de una sustancia elástica.. ([1], 116)
Del contenido de su trabajo se observa una doble elección matemática efectuada por Rankine.
Por un lado utiliza una matemática analítica, por ejemplo por medio del cálculo integral, y por
otro, propone utilizar una perspectiva matemática diferente con :fines heurísticoS, - una
representación geométnca.
Una cuestión relacionada
La predilección de Rankine por la representación geométrica nos relaciona con una cuestión
intrigante que plantea Richard Olson en conexión con la ciencia británica durante el siglo XVIII
y comienzo del XIX: ¿por qué la geometría sintética continuó dominando el pensamiento
matemático británico durante el periodo mencionado, cuando la matemática analítica estaba
siendo rápidamente desarrollada en el continente? [3].
S1 bien Olson analiza el período 1750-1830, anterior al trabajo citado de Rankine (1854),
esta cuestión tiene validez en el proceder de Rankine. Se tratará de reflexionar acerca de tal
cuestión en el caso particular citado, considerando un elemento esencial de su metodología. el
método abstnictivo.
w_
El método abstractivo en la concepción metodológica de
J_ M. Rankine
W. J. M . Rankine mantenía que había dos métodos para formar una teoría física, Jos cuales
podian ser distinguidos principalmente por la manera en la cual las clases de fenómenos eran
definidas. Según Rankine eran el método ABSTRACTIVO y el método HIPOTÉTICO, a los
cuales caracterizaba de la siguiente manera;
Acorde al método ABSTRACTIVO, una clase de objetos o fenómenos es definida
describténdola, o haciéndola comprensible, y asignándole un nombre o símbolo al conjunto
de propiedades comunes a todos los objetos o fenómenos que componen la clase, como es
percibido por los sentidos, sin introducir nada hipotético.
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Acorde al método IDPOTÉTICO, una clase de objetos o fenómenos es definida, acorde a
una concepción conjetural de su naturaleza, como estando constituida, en una manera no
aparente a los sentidos, por una modificación de alguna otra clase de objetos o fenómenos
cuyas leyes son ya conocidas. Debieran las consecuencias de tal definición hipotética ser
encontradas a estar en acuerdo con los resultados de observaciones y experimentos, servir
como los medios de deducción de leyes de una clase de objetos o fenómenos a partir de
aquellas otras ([4], Sección II p..210).
Rankine ejemplifica la aphcae1ón del método abstractivo haciendo referencia a la ciencia de la
mecánica considerada como una ilustración de este método ([4], Sección III, p.210).
En su actividad de investigación utilizó ambos métodos. El primero en su ciencia energética
y en la ciencia de la mecánica. El segundo lo ejerció, entre otros, con su hipótesis mecánica de
los vórtices moleculares, con la cual discutió la naturaleza de la relación entre calor y
temperatura como una consecuencia deducible desde una hipótesis respecto a la constitución
molecular de la materia y con la ayuda de datos suministrados por los experimentos de Messrs,
Thomson, Joule y M. Regnault.
Básicamente Rankine conc1be al primero como un método basado en la inducción al cual
incorpora la abstracción como un proceso esencial para hacer comprensible una ci.Se de objetos
o fenómenos; y al segundo como un método Hipotético-Deductivo- Empírico, característico de
la ciencia cuyo propósito es describir las cosas como son, en donde, para Rankine las hipótesis
son planteadas por analogía a algo ya conocido.
El Método Abstractivo en el Pensamiento Matemático Escocés de los Siglos XVIU y XIX
La
abstracció~
como método, se encontró incluida en una de tres aproximaciones
epistemológicas discutidas por filósofos escoceses, entre 1750-1830, con relación a la naturaleza
de la matemática [3J
En un primer periodo, la matemática fue considerada fundamentalm~nte de naturaleza
platónica. Las ideas matemáticas estaban separadas de la existencia fisica y la certeza matemática
fue vista como independiente de cualqnier necesidad de verificación empírica; se mantenía que
había una total separación entre los objetos matemáticos y los objetos físicos, la matemática
',estaba divorciada de la experiencia sensorial.
Una segunda posición, discutida pero no adoptada por los filósofos escoceses, relacionaba
la matemática directamente con la experiencia fisica y demandaba una verificación empírica de
cualqnier proposición matemática, La aproximación empírista de la matemática mantenía que las
ciencias matemáticas eran ciencias experimentales y observacionales, basadas sobre el mismo
tipo de inducción desde los hechos particulares comola mecánica ola química.
Una tercera posición, adoptada por la mayor parte de los fllósofos escoceses, argumentaba
que las ideas matemáticas estaban amarradas a las experiencias a tal grado que las sugerencias
origínales para los conceptos matemáticos podrían venir solamente de los datos sensoriales, pero
también sostenían que se encontraban separadas del contexto sensorial por un proceso de
abstracción el cual de algún modo transformaba la naturaleza de las entidades bajo
consideración. Esta era una posición que se situaba en un punto medio entre las dos anteriores y
estaba de acuerdo con la perspectiva de la filosofía del sentido común. De acuerdo a Olson, la
naturaleza del principio abstractivo y sus implicaciones para el razonamiento matemático se
-135-
encuentran en un ensayo anónimo sobre matemáticas en Hume Papers en la Royal Society de
Edimburgo, que en su comienzo dice: "Razonar abstractivamente es razonar desde ciertas
propiedades, afectaciones o relaciones de objetos, sin considerar las restantes de los mismos
objetos; tanto que las que omitimos sean, o no, separables de aquellas que consideramos... " [3]
pág.33.
Adoptando esta tercera posición para el análisis del presente caso histórico, las siguientes
preguntas constituyen una guia de investigación: la idea matemática contenida en la
representación geométrica de Rankine; ¿tuvo su origen en la experiencia "sensorial"?, ¿fue
separada del contexto sensorial por un proceso de abstracción? Y por último, este caso histórico
¿permite dar una respuesta a la cuestión de por qué la geometría sintética predominó en esa
época sobre la matemática analítica?
El origen de la representación geométrica de la acción expansiva del calor y nna base
empírica metodológica
De acuerdo al propio Rankine, su trabajo estuvo precedido por la fundamental tarea empírica de
James Watt (1736-1819). Debido a una destreza manual evidente, fue entrenado para ser
constructor de instrumentos, y como tal fue llamado para reparar un modelo de la máquina de
Newcomen. Mientras trabajó en la misma, juzgó que se podía mejorar, con el resultado que a lo
largo de su vida concibió la mayoría de las características básicas de la moderna máquina de
vapor. Antes que construyera su primer modelo de máquina, Watt efectuó amplias
investigaciones acerca de las propiedades del vapor, sobre las cnales, prácticamente, no se
conocía nada en aquella época. (Faires:386)[5][6][7].
Entre los Í!!str\!!!!~ntos q\!e diseñó se encuentra el1ndicador de Watt, [8] cuyos regtstros
torna como base
muestra en la Fig. 2.
(Instrumento perteneciente al
de Máquinas Térmicas- Facultad de Ingemería- UNRC)
Este indicador registra simultáneamente los valores de la presión de un vapor o de un gas en cada
instante, y del volumen del mismo desplazado por el pistón, indicando como resultado una
medida del trabajo externo realizado en el interior de los cilindros de las máquinas a vapor o
motores de combustión interna. Básicamente este instrumento consta de los siguientes elementos
-136-
y su funcionamiento puede ser explicado de la siguiente manera. Un pequeño cilindro provisto de
un pistón P se pone en comunicación con el cilindro de la máqwna en A y a través de la llave de
paso L se permite el ingreso de vapor o gas. Un resorte calibrado R contrarresta el efecto de la
presión, de modo que el conjunto forma un manómetro cuyas indicaciones son registradas por
una punta trazadora T, sobre una hoja de papel. Esta hoja está adherida a un cilindro C que puede
girar sobre un eje vertical con un movimiento alternativo accionado indirectamente por el pistón
de la máquina. De esta manera los desplazamientos verticales que marca el trazador son
proporcionales a las presiones, y los desplazamientos horizontales son proporcionales a Jos
volúmenes desplazados por el pistón de la máquina.
Instalado sobre una máquina en marcha, la punta trazará un diagrama formado por una
curva cerrada que corresponderá a una revolución completa del árbol motor o a dos revoluciones
si se trata de un motor de cuatro tiempos .
Fig. 3. Registro gráfico del Indicador de Watt de varios ciclos termodinámicos a diferentes
presiones máximas
Al registrar simultáneamente la presión y el volumen del gas que evoluciona en el interior del
ci!mdro de la máquina, el marcador ha trazado la curva figurativa de las sucesivas
transformacioiles tanto cuando su volumen aumenta como cuando disminuye, como se muestra
en la figura 3; por lo tanto el área comprendida dentro del diagrama será proporcional al trabajo
desarrollado en una revolución. Para evaluarlo, hay que conocer las escalas en que estáu
registrados ambos valores como se inchca, por ejemplo, en la figura 4. Retinida la hoJa de papel
con el diagrama trazado, se mide su área S por cualquiera de los procedimientos conocidos.
0 1 q..,· ... -J b•r
5/o r--1-
t¡s
,.,~fe,;, ~.,,(lé.
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L '·
Fig. 4 Registro gráfico del indicador de Watt en soporte papel y escalas graduadas
Los datos obtenidos a través de la lectnra del registro gráfico del Indicador de Watt, cuyo
funcionamiento puede ser exphcado con el recurso a teorías que no se cuestionan con referencia
a la construcción de dicho instrumento, forman parte de una base empírica metodológica [9].
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En tal sentido los datos que dispuso Rankine en su época eran resultado de una observación
en "sentido amplio", puesto que en ese período histórico las teorías que legitimaban el
funcionamiento del instrumento de medición estaban bien establecidas. A partir de esta base
empírica metodológica, los resultados de James Watt fueron interpretados y generalizados por
Rankine a través del método abstractivo. El particular diseño del indicador y los similares
registros obtenidos en diferentes motores, le llevó a concluir que el diagrama de energía trazado
por este indicador presentaba una naturaleza general exhibida por una figura geométrica tipo, la
cual representaba la acción expansiva del calor para todos los casos, independientemente de la
sustancia que evolucionaba. Se interpreta que obtuvo esta conclusión por un proceso de
inducción - abstracción y que tuvo su correspondencia con un formalismo operacioual
(operación de integración) de la matemática analítica.
La separación del contexto "sensorial"
Y el proceso de abstracción le permite a Rankine desarrollar once proposiciones, con sus
corolarios, como representaciones geométricas de la teoría de las transformaciones mutuas de
calor y potencia motriz por medio de los cambios de volumen de una sustancia elástica
homogénea que no cambia su condición. Rankine expresa que:
todas estas proposiciOnes están VIrtualmente comprendidas en dos que son la
representación geométrica de la aplicación, al caso particular del calor y su potencia
expansiva, de dos axiomas con respecto a la Energía en lo abstracto, a saber: 1) La suma de
energía en el Universo es inalterable, ID El efecto~ en la transformación de la energía, de la:
cantidad total de la energía existente presente en una sustancia, es la suma de los efectos de
tocJ.as s~ p~es~ L¡¡ aplicación de estos axiom~_ al ~~l9J' _yª lp, p_ot~~ia_ ~xpansiya_ involucra
la siguiente definición del calor expansivo: -El calor expansivo es una especie de Energía
existente, la presencia de la cual en una sustancia afecta, y en general incrementa, su
tendencia a expandk Y esta definición, arribada por inducción desde la experiencia, es el
fundameoto de la teoría de la acción expansiva del calor. (Rankine, 1854: §31.p.l46)
Con la aplicación del método abstractivo Rankine independizó el razonamiento matemático de su
origen empírico.
Razones para la preferencia matemática de la representación geométrica
Rankine consideraba que los principios :de la acción expansiva del calor eran capaces "de ser
presentados a la mente más claramente por la ayuda de diagramas de energía que por medio de
palabras y símbolos solamente" (Rankine, 1854:116) ¿Por qué un "diagrama de energía",
utilizado como medio para la obtención e interpretación de conocimientos, tendría esta
superioridad frente a lo analítico? De acuerdo al análisis del caso histórico los siguientes aspectos
son relevantes para dar una respuesta a esta cuestión. Un primer aspecto a resaltar es que el
diagrama funcionó como un nexo entre el mundo físico y el mundo matemático, constituyéndose
en una herramienta valiosa para el sujeto que interpretaba e investigaba el mundo físico; un
segundo ítem es que con el diagrama se afirmaba la existencia de algo más allá del mismo, en
este caso de un proceso de transformación de la energía; un tercer ítem relevante es que con el
diagrama se tenía la posibilidad de chequear si una afirmación referente a una determinada
transformación de energía era correcta, puesto que la cuantificación del área encerrada por una
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curva que representaba el proceso de transformación permitía realizar este chequeo. Un cuarto
aspecto a destacar es que en ese periodo histórico existía una relación relevante entre este tipo de
diagramas y el intérprete, puesto que contemporáneamente se poseían leyes de correspondencia
tales que le proveían al diagrama el significado fisico correspondiente. Particularmente el
principio fundamental establecido en 1850 por Joule (1818-1889) sobre la equivalencia de Cal\lr
y trabajo proveía este significado fisico. Estos cuatro ítems que se destacan en el caso histórico
constituyen razones para afirmar como adecuada la postura que Rankine mantenfa acerca de la
mayor capacidad de interpretación que brindaban estas representaciones geométricas, en
comparación a palabras y símbolos solamente, puesto que estos diagramas constituían algo más
que un símbolo,
A manera de conclusión- Una posible respuesta a la cuestión
En el caso de estudio, el proceder de Rankine se correspondió con el método abstractivo. La
representación geométrica del diagrama de energía estuvo aferrada originalmente a la
experiencia. Luego de un proceso inductivo basado en datos aportados por las experiencias de
Watt, propone que los diagramas obtertidos con un indicador de Watt exhibían una naturaleza
general representada por una figura curvilinea cerrada. Con esta figura se podía describir y hacer
comprensible un fenómeno fisico, el de las transformaciones energéticas efectuadas por el vapor
o gas, que ocurría en una clase de objetos, los motores termodinámicos. Posteriormente la
representación geométrica del diagrama de energía fue separada del contexto sensorial por medio
del método de abstracción. Luego de un proceso inductivo, por abstracción arriba a la definición
del calor expansivo que fundamenta la teoría de la acción expansiva del calor. En las
experiencias de James Watt estuvo la idea matemática de integración asociada con el diagrama
trazado por su indicador. Y esta idea, urtida irticialmente a la experiencia, pudo ser separada del
contexto sensorial,, Rankine tertia el pleno convencimiento de que la perspectiva geométrica
contribuía a que los principios de la acción expansiva pudieran ser presentados a la mente en una
forma más clara. El proceder de Rankine estuvo acorde con la tercera posición epistemológica de
la matemática.
Este caso histórico perrrtite afirmar que la geometrfa sintética estuvo en el pensainiento
matemático por un convencimiento de que estas representaciones contribuyen a un fin heurístico,
tal como lo martifiesta Rankine, y por una razón instrumental, operacional y, técrtica. La
geometrfa estaba presente en los registros del instrumento de medición diseñado por Watt, y
perrrtitía que los datos de salida de este instrumento fuesen rápidamente interpretados y
evaluados, en forma efectiva y sin ambigüedades a través de esta representación geométrica.
Actualmente el pensaruiento geométrico sigue vigente, y no solamente en el ámbito de la
ingertiería, por lo cual la propuesta de Rankine, acerca del empleo de representaciones
geométricas, merece ser analizado más detalladamente. Y un punto adecuado de analizar es qué
tipo de nexo entre el mundo fisico y el intérprete, constituye este tipo de diagramas.
Agradecimientos
Se agradece la colaboración de los mgertieros Cotella, ü N. y Antonelli S., del Laboratorio de
Máquinas Térrrticas e Hidráulicas de la Fac. de Ingertiería de la UNRC, por el material gráfico e
instrumental puesto a disposición para el presente trabajo.
·139-
Notas
La Figura 1 corresponde al 'trabajo original de WJ . M RankiD:e en ref. fl]
Maihak: Engine Indikator Type 30. Germany. Este instrumento permite obtener diagramas en motores de vapor y
cualquier motor de combustión interna, compresores, sopladores, bombas y otros motores alternativos.
1
2
Bibliografia
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