Práctica 6: Aplicaciones de la TF

Práctica 6: Aplicaciones de la TF
Grupo
Puesto
Apellidos, nombre
Fecha
Apellidos, nombre
El objetivo de esta práctica es mostrar al alumno diversas aplicaciones básicas de la Transformada de
Fourier en la definición de sistemas LTI y en la obtención de las respuestas de estos sistemas a señales de
audio.
Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’
separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de
la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero
‘practica_6_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en
el grupo que corresponda
6.1 Generación de ecos
6.1.1
Ejercicio 1: generación de ecos en una señal ejemplo
El eco en una señal de audio es un fenómeno cuyo resultado es la llegada a nuestro oído de una misma
señal original superpuesta a versiones desplazadas de ella misma, debido al efecto del entorno sobre la
señal. Es posible simular este entorno como un sistema LTI cuya respuesta al impulso unidad es una
función delta más una o varias funciones delta desplazadas (según se quiera uno o varios ecos):
h(t ) = δ (t ) + δ (t − t 01 ) + δ (t − t 02 )
Para añadir eco a una señal, podemos convolucionarla con esta respuesta al impulso o bien, aplicando
la propiedad de multiplicación de la TF, multiplicar su TF con la de la señal que queremos modificar.
Este último es el procedimiento que propone este ejercicio.
Suponiendo que t 01 = 0.81 y t 02 = 1.62 , obtenga analíticamente la expresión de H ( jω ) :
H ( jω )
Sea la señal de partida:
x(t ) = e −2t ⋅ cos(4πt )
y sea y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) la señal que buscamos, resultante de añadir ecos a x(t ) . Obtenga la TF de x(t )
siguiendo el método expuesto en la Práctica 5, y utilizando los mismos valores para T y Δt que allí se
indicaban ( T = 10 y Δt = 0.01 ) . Defina a continuación la función H ( jω ) , utilizando directamente su
expresión analítica, en el mismo intervalo de ω que X ( jω ) . Multiplique ambas transformadas para
obtener Y ( jω ) = X ( jω ) ⋅ H ( jω ) . Obtenga finalmente la transformada inversa de Y ( jω ) , es decir, la señal
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) deseada. Recuerde utilizar real() para asegurarse de que y(t) es un real.
Represente en una misma ventana de tres filas y dos columnas (utilice subplot) las funciones
involucradas, cada señal (en función de t) y su correspondiente transformada (en función de ω ,
únicamente el módulo) en una fila distinta (para representar los tres impulsos de h(t ) utilice la
transformada inversa de H(jω) ).
A la vista de los gráficos obtenidos, comente el efecto de la operación efectuada tanto en el dominio
del tiempo como en el transformado:
6.1.2
Ejercicio 2: generación de ecos en una señal de audio
El objetivo de este ejercicio es observar subjetivamente el efecto presentado en el ejercicio anterior,
para lo cual se repetirá la operación pero sobre una señal de audio. Para obtener muestras de una señal de
audio adecuada, incluya en su fichero .m los siguientes comandos:
load splat;
% Carga en memoria las variables Fs=8192 e y
y=y(1:6144);y=y';
inct=1/Fs;
T=0.75;
N=T/inct;
El resultado será directamente un vector de nombre y, que contiene N=6144 muestras de una señal de
audio, y (t ) , de duración total T=0,75s, tomadas cada Δt = 1 Fs . Si su equipo dispone de altavoces,
reproduzca el contenido de la señal utilizando el comando soundsc(y,Fs).
Amplíe la duración de la señal y (t ) , añadiendo ceros al final, de modo que su duración total pase a ser
justo el doble, es decir T=1,5s.
Teniendo en cuenta que ahora la señal de entrada es y (t ) , repita el ejercicio anterior con valores
t 01 = 0.2 y t 02 = 0.4 , y llamando x(t ) a la señal de salida. Si su equipo dispone de altavoces, reproduzca
el contenido de la señal utilizando el comando
operación efectuada:
soundsc(x,Fs),
y observe y comente el efecto de la
6.2 Filtrado selectivo
6.2.1
Ejercicio 3: filtrado selectivo de una señal de audio
El objetivo de este ejercicio es observar subjetivamente el efecto de eliminar bandas seleccionadas de
frecuencia en una señal vocal. Para obtener muestras de una señal de vocal adecuada, descargue de la
página web de la asignatura la señal de audio sound_3.wav a su directorio de trabajo, e incluya en su
fichero .m los siguientes comandos para cargarla:
[x,Fs,bits]=wavread('sound_3.wav');
inct=1/Fs;
N=size(x,1);
T=N*inct;
x=x’;
Obtenga la TF de la señal y represente en un gráfico de dos filas las señales x(t ) e X ( jω ) (sólo su
módulo), pero esta última en función de la frecuencia en vez de en función de la pulsación (sencillamente
defina el vector w , como de costumbre, y luego defina f=w./(2*pi)) para la representación.
Sean tres filtros, uno paso bajo, otro paso banda y otro paso alto, definidos por la expresiones:
⎧4,
H 1 ( jω ) = ⎨
⎩0,
⎧4,
⎪
H 2 ( jω ) = ⎨4,
⎪0,
⎩
⎧4,
H 3 ( jω ) = ⎨
⎩0,
f ≤ f1
resto
, donde f 1 = 2000 Hz
− f 2 ≤ f ≤ − f1
f1 ≤ f ≤ f 2
, donde f 1 = 2000 Hz y f 2 = 3000 Hz
resto
f ≥ f2
resto
, donde f 2 = 3000 Hz
Operando en el dominio de la TF, obtenga las tres señales y1 (t ) = x(t ) ∗ h1 (t ) , y 2 (t ) = x(t ) ∗ h2 (t ) e
y 3 (t ) = x(t ) ∗ h3 (t ) . Represente en un nuevo gráfico de tres filas y dos columnas las señales H i ( jω ) e
Yi ( jω ) (cada pareja en una fila) y reproduzca con el comando
soundsc(y,Fs))cada
una de las tres
señales y i (t ) obtenidas.
Comente, desde el punto de vista frecuencial, las características auditivas de las señales que ha
escuchado:
6.3 Encriptación
El objetivo de este ejercicio es observar qué ocurre si invertimos la TF de una señal de audio de ancho
de banda limitado, x(t ) . Esta técnica, denominada inversión de espectro, es muy utilizada para encriptar
señales de audio analógico. Básicamente, la operación consiste en reflejar su TF, X ( jω ) , con respecto al
eje ω = 0 . Para ello, el método propuesto (que de hecho se utiliza en la práctica) es multiplicar la señal de
audio por una señal sinusoidal c(t ) de pulsación igual a la máxima, ω max , que presente la señal:
FT
c(t ) = 2 cos(ω max ⋅ t ) ⎯⎯→
⎯ C ( jω ) = 2πδ (ω + ω max ) + 2πδ (ω − ω max )
FT
x(t ) ⋅ c(t ) ⎯⎯→
⎯
1
X ( jω ) ∗ C ( jω ) = X ( j (ω + ω max )) + X ( j (ω − ω max ))
2π
La siguiente figura muestra gráficamente el efecto de esta operación en el dominio frecuencial:
Si sobre la señal resultante aplicamos un filtro paso bajo de pulsación de corte ω max , obtendremos la TF,
X e ( jω ) , de la señal encriptada, x e (t ) .
Con el método propuesto en la Práctica 5 para calcular la TF de una señal de tiempo continuo, obtenemos
la TF únicamente en el intervalo
⎡ π π ⎞
ω k ∈ ⎢− , ⎟ = [− ω max , ω max ) ,
⎣ Δt Δt ⎠
por lo que no es necesario
efectuar el filtrado paso bajo indicado.
6.3.1
Ejercicio 4: encriptación de una señal de audio
Incluya el mismo código indicado en el ejercicio anterior para cargar la señal de audio x(t )
correspondiente al fichero sound_3.wav.
Efectúe las operaciones indicadas hasta obtener la señal encriptada x e (t ) . Represente en un gráfico de
dos filas las TF de la señal original y de la señal resultante, X ( jω ) y X e ( jω ) . Reproduzca la señal
encriptada e indique qué es lo que escucha y si es capaz de entenderlo:
6.3.2
Ejercicio 5: desencriptación de una señal de audio
Descargue de la página web de la asignatura la señal de audio sound_5.wav a su directorio de trabajo,
e incluya en su fichero .m los siguientes comandos cargarla:
[xe,Fs,bits]=wavread('sound_5.wav');
inct=1/Fs;
N=size(xe,1);
T=N*inct;
xe=xe’;
Se trata de una señal, x e (t ) , encriptada por el procedimiento de inversión de espectro descrito al principio
de esta sección. Observe que para desencriptarla y obtener la señal original x(t ) basta con aplicarle
exactamente la misma operación de encriptado (que vuelve a invertir el espectro y, por lo tanto, lo
devuelve a su aspecto original). Escuche la señal encriptada, efectúe la operación de desencriptación,
represente en un gráfico de dos filas las TF de la señal encriptada y de la señal resultante, X e ( jω ) y
X ( jω ) , y transcriba el contenido de la señal original: