EJERCICIO 30 Desde un punto A se divisan otros dos puntos B y C

4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 30
Desde un punto A se divisan otros dos puntos B y C bajo un ángulo de 52º 29´. Se sabe que B y C distan 450 m
y que A y B distan 500 m. Averigua la distancia entre A y C.
SOLUCIÓN:
Sea “x” la distancia entre A y C.
Por el Teorema del coseno tenemos:
450 2 = x 2 + 500 2 − 2 ⋅ x ⋅ 500 ⋅ cos(52º 29´)
202500 = x 2 + 250000 − 609 x
609 ± (−609) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 47500 609 ± 425,30  x ≅ 517,15 m
x − 609 x + 47500 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x ≅ 91,85 m
Es decir, existen 2 triángulos que verifican las condiciones del enunciado del problema: el triángulo de vértices
A, B y C y el triángulo de vértices A, B´ y C´.
2
Aplicando el Teorema de los senos podemos determinar el valor de los ángulos desconocidos del triángulo:
450
500
500 ⋅ sen(52º 29´)
=
⇒ senCˆ =
⇒ senCˆ = 0,8813 ⇒
ˆ
sen(52º 29´) senC
450
Cˆ = 61º 48´
⇒ Cˆ = arcsen(0,8813) = 
Cˆ ´= 180º −Cˆ = 118º 12´
Cˆ = 61º 48´
 Bˆ = 180º − Aˆ − Cˆ = 65º 43´
⇒


Cˆ ´= 118º 12´  Bˆ´= 180º − Aˆ − Cˆ´= 9º 19´
1
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 31
Se sabe que, desde un punto del suelo, situado a una cierta distancia de una estatua, se ve el extremo de ésta con
un ángulo de elevación de 35º. ¿Cuál será el ángulo de elevación desde una distancia triple?
SOLUCIÓN:
e
tg 35º =  e = tg 35º⋅ x 

x
e  Sustituimos e = tg 35º⋅ x en la 2ª ecuación
⇒
e  tgα =
tgα =
3 x 
3 x 
tgα =
tg 35º⋅ x
tg 35º
 tg 35º  13º 8′ 16′′
⇒ tgα =
⇒ α = arctg 
⇒ α = 13º 8′ 16′′
=
3x
3
 3  193º 8′ 16′′ (no vale pues es > de 180º )
El ángulo de elevación desde una distancia triple es de α = 13º 8′ 16′′
2
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 32
Una rampa de 40 m de longitud y 10º de inclinación conduce al pie de una estatua. Calcula la altura de ésta
sabiendo que, en el inicio de la rampa, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 15º.
SOLUCIÓN:
Por el Teorema de los senos:
40
e
40 ⋅ sen 5º
=
⇒e=
⇒ e ≅ 3,61 m
sen75º sen 5º
sen 75º
La estatua mide e ≅ 3,61 m
EJERCICIO 33
Un ángulo de un rombo mide 75º y su diagonal mayor 10 cm, calcula su perímetro.
SOLUCIÓN:
Los ángulos de un rombo son iguales dos a dos y suman 360º, por tanto, si dos de ellos mide 75º cada uno, los
otros dos miden (360º −150º ) : 2 = 105º
Por el Teorema de los senos:
10
L
10 ⋅ sen 37,5º
=
⇒L=
⇒ L ≅ 6,3 cm
sen 105º sen 37,5º
sen 105º
Perímetro = 4 ⋅ L = 4 ⋅ 6,3 = 25,2 cm ⇒ Perímetro = 25,2 cm
El perímetro mide P ≅ 25,2 m
3
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 34
En un círculo de 10 cm. de radio, dibujamos una cuerda que une los extremos de un arco que abarca un ángulo
de 80º. Calcula la longitud de la cuerda.
SOLUCIÓN:
Por el Teorema del coseno:
c 2 = 10 2 + 10 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ cos 80º ⇒ c 2 ≅ 165,27 ⇒ c ≅ 165,27 ⇒ c ≅ 12,86 cm
OTRA FORMA
Por el Teorema de los senos:
c
10
10 ⋅ sen 80º
=
⇒c=
⇒ c ≅ 12,86 cm
sen 80º sen 50º
sen 50º
La cuerda mide c ≅ 12,86 m
4
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 35
Un barco B está situado a 45 Km. al sur-este de un barco A. Un barco C está a 57 Km al sur de A.
¿Qué distancia separa los barcos B y C?
¿Qué rumbo debería tomar el barco C para arribar al punto donde está anclado B?
SOLUCIÓN:
Como el barco B está situado al sur-este del barco A y el barco C al sur del barco A se verifica que el ángulo
que forman los segmentos AB y AC es de 45º
a)
Sea “x” la distancia que separa los barcos B y C
Por el Teorema del coseno tenemos:
x 2 = 45 2 + 57 2 − 2 ⋅ 45 ⋅ 57 ⋅ cos 45º ⇒ x = 1646,54 ⇒ x ≅ 40,58 km
b)
Por el Teorema de los senos:
α = 51º 37′ 42′′
45
40,58
45 ⋅ sen 45º
=
⇒ senCˆ =
= 0,784 ⇒ Cˆ = arcsen(0,784) =  1
40,58
senCˆ sen 45º
α 2 = 180º −α1 = 128º 22′ 18′′
5
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 36
Calcula el área de un triángulo isósceles de lado desigual 20 cm., inscrito en un círculo de 30 cm de radio.
SOLUCIÓN:
Comenzaremos determinando el valor del ángulo A.
Con los datos de que disponemos no es posible ya que para resolver un triángulo hay que conocer tres de
sus elementos.
Sin embargo, conviene recordar que todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo
arco son iguales, por lo que podemos dibujar otro triángulo inscrito que tenga el mismo ángulo A y tal que,
uno de sus lados sea un diámetro.
Dado que el ángulo inscrito que abarca un diámetro vale 90º se puede aplicar la definición de seno de un
ángulo y se obtiene:
sen  =
20
1
 1  Â = 19,47 º
⇒ sen  = ⇒  = arcsen  =  1
60
3
 3  Â 2 = 160,53º
6
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
CASO I → Â = 19,47 º
 = 19,47 º ⇒
tg 9,74º =
Área =
Â
= 9,74º
2
10
10
⇒h=
⇒ h ≅ 58,26 cm
h
tg 9,74º
base ⋅ altura
20 ⋅ 58,26
⇒ Área =
⇒ Área ≅ 582,6 cm 2
2
2
CASO II → Â = 160,53º
 = 160,53º ⇒
tg 80,27º =
Área =
Â
= 80,27º
2
10
10
⇒h=
⇒ h ≅ 1,71 cm
h
tg 80,27 º
20 ⋅ 1,71
base ⋅ altura
⇒ Área =
⇒ Área ≅ 17,1 cm 2
2
2
7
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 37
Un golfista golpea la pelota de modo que su lanzamiento alcanza una longitud de 129 m. Si la distancia del
golfista al hoyo es de 150 m y la pelota queda a una distancia de 40 m del hoyo, calcula el ángulo que forma la
línea de unión del golfista con el hoyo y la dirección del lanzamiento.
SOLUCIÓN:
Por el Teorema del coseno tenemos:
40 2 = 129 2 + 150 2 − 2 ⋅ 150 ⋅ 129 ⋅ cos α ⇒ 1600 = 39141 − 38700 ⋅ cos α ⇒ 38700 ⋅ cos α = 37541 ⇒
37541
 37541 
cos α =
⇒ α = arccos
 ⇒ α = 14º 3′ 28′′
38700
 38700 
EJERCICIO 38
Calcula el ángulo que forman las dos tangentes comunes a dos circunferencias tangentes exteriores de radios 10
y 18 cm.
10 
α 
sen  =

10
18
200
 2  10 + x 
=
⇒ 380 + 10 x = 180 + 18 x ⇒ 200 = 8 x ⇒ x =
⇒ x = 25
⇒
8
18  10 + x 38 + x
α 
sen  =
 2  38 + x 
10 
α 
sen  =
10
α

α 
 α  10
α  2
2
⇒ sen  =
⇒ sen  = ⇒ = arcsen  ⇒
 2  10 + x  ⇒ sen  =
2
 2  10 + 25
 2  35
2 7
7

x = 25

⇒
α
2
= 16º 36′ 6′′ ⇒ α = 33º 12′ 12′′
8
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 39
Dos observadores, situados en la costa y separados 1000 m, observan una plataforma petrolífera y quieren
determinar a qué distancia de tierra se encuentra. Los observadores dirigen visuales desde sus posiciones a la
plataforma y miden el ángulo que forman estas visuales con la línea imaginaria que los une. Estos ángulos son
63º y 83º. Calcula la distancia que separa la plataforma de la costa.
SOLUCIÓN:
Determinamos en primer lugar la distancia “x” del observador B a la plataforma, utilizando para ello el
Teorema de los senos:
1000
x
1000 ⋅ sen 83º
⇒ x ≅ 1774,96 m
=
⇒x=
sen 34º sen 83º
sen 34º
Ahora tenemos datos suficientes para determinar la distancia “d” de la plataforma a la costa:
sen 63º =
d
⇒ d = 1774,96 ⋅ sen 63º ⇒ d ≅ 1581,50 m
1774,96
9
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
OTRA FORMA
d


 tg 83º = x
 d = tg 83º x

⇒

⇒
 ⇒ tg 83º x = tg 63º (1000 − x) ⇒
d
d
d = tg 63º (1000 − x)


tg 63º =
tg 63º =
1000 − x 
1000 − x 
tg 83º =
d
x
⇒ 8,144 x = 1962,611 − 1,963 x ⇒ 10,107 x = 1962,61 ⇒ x ≅
1962,611
⇒ x ≅ 194,183 m
10,107
d = tg 83º x 
 ⇒ d ≅ 1581,494 m
x ≅ 194,183 m 
10
4ºESO / TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 40 (TRES DIMENSIONES)
Desde un determinado punto del suelo una persona observa el extremo superior de un edificio bajo un ángulo
de elevación de 70º. Desplazándose 100 m en dirección sur el ángulo de elevación es ahora de 50º. ¿Qué altura
tiene el edificio?
h


x=


tg 70º

2
2

h
h2
h2

  h   h 
 + 
 = 10000 ⇒ 2
+ 2
= 10000 ⇒
⇒ y =
 ⇒ 
tg 50º
tg 70º tg 50º

  tg 70º   tg 50º 
100 2 = x 2 + y 2 
x 2 + y 2 = 10000




h
x
h
tg 50º =
y
tg 70º =
(tg 2 50º )h 2 + (tg 2 70º )h 2 10000(tg 2 70º )(tg 2 50º )
⇒
=
⇒ (tg 2 50º )h 2 + (tg 2 70º )h 2 = 10000(tg 2 70º )(tg 2 50º ) ⇒
2
2
2
2
(tg 70º )(tg 50º )
(tg 70º )(tg 50º )
⇒ (tg 2 50º )h 2 + (tg 2 70º )h 2 = 10000(tg 2 70º )(tg 2 50º ) ⇒ (tg 2 50º +tg 2 70º )h 2 = 10000(tg 2 70º )(tg 2 50º ) ⇒
⇒ h2 =
10000(tg 2 70º )(tg 2 50º )
10000(tg 2 70º )(tg 2 50º )
⇒
h
=
⇒ h ≅ 109,33 m
tg 2 50º +tg 2 70º
tg 2 50º +tg 2 70º
11