Medición de la privación y del bienestar entre poblaciones mediante

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 49 a 76
Medición de la privación y del bienestar
entre poblaciones mediante el índice de
Gini(∗
∗)
por
ELENA BÁRCENA MARTÍN
LUIS IMEDIO OLMEDO
GUILLERMINA MARTÍN REYES
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Málaga
RESUMEN
En este artículo se generalizan los resultados de Hey y Lambert
(1980) sobre la privación relativa al caso en que los individuos se
comparen no sólo con quienes forman parte de su grupo, sino también con quienes pertenecen a otras poblaciones. Para ello se obtiene
el valor medio de la privación de una población respecto a otra, lo que
permite establecer, cuando en una población se considera una partición finita, una equivalencia entre la descomposición del índice de Gini y la de la privación de la población total en dos componentes: la
que cuantifica la privación dentro de las subpoblaciones y la que incorpora el valor de la privación entre las subpoblaciones. Esa descomposición induce otra formalmente análoga del bienestar evaluado
mediante la renta equivalente igualmente distribuida asociada al índice de Gini.
(∗)
1668
Proyecto financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología: Proyecto SEC 2001-
50
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Palabras clave: Privación, bienestar, partición, diferencia media de Gini.
Clasificación AMS: 90A30.
1. INTRODUCCIÓN
1.1.
Algunas consideraciones sobre la privación relativa
La privación hace referencia a sentimientos que surgen como consecuencia de
la desigualdad, entendida en sentido amplio, existente dentro de un grupo. Este
concepto aparece inicialmente en la obra de Stoufer y otros (1949), aunque en ella
no se llega a proponer una definición formal ni, mucho menos, indicaciones destinadas a su medición. En Crosby (1979) se describen cuatro versiones diferentes,
subrayando en todas ellas la relatividad del concepto: la privación se deriva de la
comparación entre individuos en distinta situación.
Desde un punto de vista económico, el enfoque que ha tenido mayor incidencia
es el de Runciman (1966) debido a que sus enunciados son más precisos, lo que
hace más abordable su tratamiento analítico. Para este autor, un individuo se siente
privado de Ζ si: (i) no tiene Ζ, (ii) otro u otros individuos poseen Ζ, (iii) quiere Ζ y (iv)
considera factible tener Ζ. Dada la dificultad de cuantificar la privación, variable no
observable cuya medición requeriría el uso de técnicas factoriales o de modelos
econométricos de variables latentes en los que sería necesario especificar qué
indicadores reflejan o son causa de la privación, las distintas formulaciones que se
han propuesto en la literatura (entre las que destacan las de Yitzhaki (1979, 1982),
Hey y Lambert (1980), Chakravarty y Chakraborty (1984), Berrebi y Silber (1985),
Paul (1991), Podder (1996), Chakravarty (1997), Chakravarty y Mukherjee (1998),
Ebert y Moyes (2000), Bárcena (2003)) definen la privación respecto a la variable
renta, a semejanza de lo que sucede en la especificación de las funciones de
bienestar social. Este tipo de aproximación se justifica al ser la renta una variable
observable, índice habitual para valorar la capacidad de poseer o adquirir bienes, y
cuya relación con la privación parece razonable suponer monótona decreciente.
Bajo este supuesto, es evidente la interrelación entre la privación experimentada
por los individuos y la desigualdad existente en la distribución de la renta, de manera que en una distribución igualitaria la privación interindividual y, por lo tanto, la
privación social serían nulas. Por otra parte, la propia terminología sugiere una
relación entre privación y pobreza. Sin embargo, el concepto de privación es más
amplio. Al cuantificar la pobreza en una distribución de renta no se establece una
comparación entre individuos, sino que se compara la renta de cada uno de ellos
con un nivel prefijado (línea de pobreza). Dado que la privación supone la carencia
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
51
de algo que se desea, cabe suponer que todo pobre esté privado, si bien un individuo que sienta privación no es necesariamente pobre. Para Runciman (1966) "una
persona privada relativamente no tiene por qué estarlo objetivamente, ya que la
privación relativa implica una comparación con la situación de otra persona o grupo
de ellas". A lo largo del artículo se hará referencia, de forma más detallada, a la
relación entre privación y bienestar.
1.2.
Enfoque teórico y organización de este trabajo
De los trabajos que se han ocupado de la privación desde un punto de vista
económico el que ha tenido mayor repercusión y en el que se han basado gran
parte de las restantes propuestas, es el de Hey y Lambert (1980). Ello se debe,
posiblemente, a que su definición es muy intuitiva y a que sus resultados permiten
obtener funciones de bienestar social consistentes con el índice de Gini.
En este artículo se extiende el enfoque de Hey y Lambert al caso en que las
comparaciones se realicen entre individuos de dos poblaciones diferentes. Ello
permite obtener, en primer lugar, la privación media de un individuo perteneciente a
una de las poblaciones respecto al conjunto de individuos de la otra y, como consecuencia, el valor medio de la privación entre ambas poblaciones. Los resultados de
Hey y Lambert se obtienen, como caso particular, cuando las respectivas variables
renta presenten la misma distribución en las dos poblaciones.
Esta generalización es útil al considerar en una población una partición finita en
subpoblaciones homogéneas respecto a determinadas características de sus
elementos. En este contexto, los resultados acerca de la privación entre poblaciones, junto a la descomposición del coeficiente de Gini propuesta por Dagum
(1997a, 1997b), dan lugar a una descomposición aditiva de la privación media de la
población en dos componentes: una recoge la aportación de la privación existente
dentro de las subpoblaciones, y la otra cuantifica la contribución de la privación
entre subpoblaciones.
La descomposición anterior permite un enfoque más realista en el análisis de la
privación. Aunque parece razonable suponer que los individuos tienden a comparar
su situación con la de quienes presentan características similares a ellos o forman
parte de su grupo de referencia, lo que da lugar a lo que Runciman denomina
privación egoísta, también cabe admitir la existencia de una especie de “conciencia
de clase” que les llevaría a comparar la situación del grupo o subpoblación a la que
pertenecen con la de otros grupos, lo que responde a lo que Runciman denomina
privación fraterna. En definitiva, la privación de un individuo no sólo depende de su
propia situación (nivel de renta) sino que viene determinada, al menos, por otros
dos factores: el grupo al que pertenezca en función de otras circunstancias ajenas
52
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
a la propia renta y el conjunto de individuos que tome como referencia al establecer
comparaciones. Este conjunto de individuos puede limitarse a los que forman parte
de su propio grupo o considerar, además, a todos aquellos con renta superior a la
suya con independencia del grupo en que se ubiquen, en cuyo caso el individuo
experimenta, en terminología de Runciman, doble privación (egoísta y fraterna).
Cuando se contempla este último supuesto y se descompone la privación individual
en dos componentes, la experimentada respecto al propio grupo y respecto al resto,
del cálculo del valor medio poblacional resulta, como corolario, la descomposición
del índice de Gini. Ello demuestra la implicación recíproca existente entre la privación (cuando ésta se define mediante diferencia de rentas) y la desigualdad evaluada a través del coeficiente de Gini.
La descomposición de la privación induce otra formalmente análoga en relación
a los niveles de bienestar, cuando éste se evalúa mediante la renta equivalente
igualmente distribuida (REID) asociada al índice de Gini.
A partir de los resultados que se obtienen para el caso general de una partición
finita cualquiera de la población, es sencilla su traslación a situaciones particulares
en las que las distribuciones de renta de las subpoblaciones presenten determinadas características. Una de estas situaciones es la que se considera en Yitzhaki
(1982), al identificar cada subpoblación con un intervalo de renta y suponer que
tales intervalos, disjuntos dos a dos, están ordenados según valores crecientes de
la renta. En este supuesto, nuestras expresiones, aunque equivalentes a las de
Yitzhaki, proporcionan una información más desagregada. Un caso aún más concreto es aquel en que un nivel de renta (cualquier cuantil, la renta media, un umbral
de pobreza, etc.) divide a la distribución en dos intervalos, situación que es habitual
en el análisis aplicado al considerar un truncamiento por la derecha de la distribución a fin de estudiar las características del reparto para una proporción prefijada de
las rentas más bajas.
El desarrollo del trabajo sigue el siguiente esquema. En el último epígrafe de
esta sección se establece el marco de análisis, haciendo referencia a algunos
conceptos y resultados previos que faciliten la lectura posterior. En particular, se
resume brevemente el enfoque de Hey y Lambert (1980), punto de partida natural
para abordar el estudio de la privación entre poblaciones que se desarrolla en la
sección segunda. En la sección tercera se estudia la descomposición de la privación y del bienestar cuando en una población se considera una partición finita
arbitraria en subpoblaciones, analizando su relación con la descomposición del
índice de Gini. Los resultados que se obtienen al utilizar particiones en las que las
distribuciones de renta de las subpoblaciones tengan determinadas características,
se presentan en la sección cuarta. Finalmente, en la última sección se sintetizan los
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
53
resultados obtenidos y en un apéndice aparece la demostración de un resultado
esencial en este trabajo que, aunque necesaria, es más laboriosa.
1.3.
Marco analítico. Conceptos y resultados previos
Supondremos que el recorrido de la variable renta, X, en una población A de
unidades económicas (individuos, familias, hogares) es la semirecta real positiva,
R+=]0, →[, siendo F(x) su función de distribución(1). Si E(.) es el operador esperanx
∞
za, µ = E(X) =
∫
xdF(x) es la renta media, L(F(x)) =
1
sdF(s) la curva de Lorenz de
µ
∫
0
0
1
∫
la distribución y G = 2 (p − L(p))dp , p=F(x), su índice de Gini. Como es sabido,
0
G∈[0,1] siendo G=0 en caso de equidistribución y G=1 si la desigualdad es máxima.
Definición 1. (Hey y Lambert (1980)) La privación de un individuo con renta x
respecto a otro con renta z, P(x,z), viene dada por:
z − x , si z > x
P(x, z) = 
, si z ≤ x .
0
[1]
Con ello, la privación media asociada a un nivel de renta x, P(x), agregando la
privación que experimenta un individuo con esa renta respecto a las rentas mayores, es:
∞
∫
∞
∫
P(x) = P(x, z)dF(z) = (z − x)dF(z) =
0
x
[2]
= µ(1 − L(F(x))) − x(1 − F(x)) = (1 − F(x))(µ(x + ) − x) ,
(1) Si xm>0 es la renta mínima y xM la renta máxima, es F(x)=0, x≤xm, y F(x)=1, x≥xM. No
obstante, en el trabajo teórico es cómodo utilizar como dominio de X el conjunto R+. Por otra
parte, la teoría de la integración que se utiliza a lo largo del trabajo es la de Riemann-Stieltjes,
por lo que los resultados son aplicables tanto al caso continuo como discreto. Aquellos
resultados en cuyas demostraciones se utilicen derivadas respecto de la renta o aparezca la
función de densidad, sólo quedarán probados para el caso continuo lo que no significa que
no sean válidos para el discreto, aunque la demostración sea más laboriosa.
54
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
µ(1 − L(F(x)))
la renta media del conjunto de individuos con renta
1 − F(x)
mayor o igual que x. Esto es, P(x) es el producto de la proporción de individuos con
renta mayor que x y de la diferencia entre la renta media de ese grupo y x. En
consecuencia, la privación social media es:
siendo µ(x + ) =
∞
∫
E(P(X)) = P(x)dF(x) = µG ,
[3]
0
el índice absoluto de Gini de la distribución. Conviene observar que al definir la
privación interindividual a partir de la diferencia de rentas, se está utilizando un
concepto absoluto de desigualdad, por lo que el valor de la privación social media
coincide con el de un índice de desigualdad de esa naturaleza.
Por otra parte, es bien conocido que a través del concepto de renta equivalente
igualmente distribuida(2) (REID) se puede establecer bajo ciertas condiciones una
correspondencia entre funciones de bienestar social e índices de desigualdad. En
particular, la REID asociada al índice de Gini se expresa como:
W = µ(1 − G) .
[4]
Esta función de bienestar también se puede obtener a partir del concepto de privación relativa, formulado en el sentido anterior. Para ello, si se especifica una función
de utilidad en la que la asignada a cada individuo sea su nivel de renta menos la
desutilidad que deriva de la privación que experimenta respecto a las rentas mayores:
U(x) = x − P(x),
[5]
(2) Si W es una función de evaluación social, en principio de carácter ordinal, que asigna
a cada distribución de renta x=(x1, x2,...,xn), sobre una población, un número real y cumple
ciertas condiciones de regularidad, la renta equivalente igualmente distribuida (REID), xe, es
aquella que percibida por cada uno de los individuos daría lugar al mismo nivel de bienestar
que la distribución existente. Esto es, se verifica la igualdad W(x1, x2,...,xn)=W(xe, xe,...,xe). De
este modo xe es una cardinalización de W, a partir de la cual se puede definir el índice de
Atkinson (1970)-Kolm (1976)-Sen (1973), IAKS, mediante
I AKS = 1 −
xe
, siendo µ la renta
µ
media. En particular, la REID asociada al índice de Gini, G, se expresa como xe=µ(1-G),
medida de bienestar que utilizaremos a lo largo de este trabajo. Para un tratamiento detallado de estas cuestiones véase Chakravarty (1990).
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
55
es inmediato comprobar que U(.) es una función estrictamente creciente y estrictamente cóncava del nivel de renta. Si el bienestar se define como la utilidad media
asociada a U, a partir de [3], resulta:
W = E(U(X)) = µ − E(P(X)) = µ(1 − G) .
[6]
Esto es, la REID asociada al índice de Gini coincide con la diferencia entre la renta
media de la distribución y la privación social media.
2. PRIVACIÓN ENTRE DOS POBLACIONES
Sean Ai y Aj dos poblaciones de unidades económicas en las que la variable
renta tiene como funciones de distribución Fi(.) y Fj(.), con medias µi y µj, y curvas
de Lorenz Li(Fi(.)) y Lj(Fj(.)), respectivamente. En ambas poblaciones sus unidades
se identifican con sus correspondientes niveles de renta de manera que, en lo
sucesivo, con la notación z∈Ai nos referimos a un individuo o unidad de la población i-ésima que percibe una renta z.
Definición 2. La privación de un individuo con renta x en la población Ai respecto a un individuo con renta y en la población Aj, Pij(x,y), viene dada por:
 y − x, si y > x
Pij (x, y) = 
si y ≤ x.
0,
[7]
Al realizar la comparación de x con todas las rentas de Aj, la privación media de
x∈Ai respecto a la población Aj, será:
∞
∞
∫
∞
∫
Pij (x) = Pij (x, y)dFj (y) = Pij (x, y)dFj (y) =
0
x
∫ ydF (y) − x(1 − F (x)) =
j
j
x
x
= µj −
∫ ydF (y) − x(1 − F (x)) = µ (1 − L (F (x))) − x(1 − F (x)) =
j
j
j
j
j
j
[8]
0
= (1 − Fj (x))(µ j (x + ) − x),
siendo µ j (x + ) =
µ j (1 − L j (Fj (x)))
1 − Fj (x)
la renta media de quienes en Aj perciben rentas
mayores o iguales que x. Por lo tanto, Pij(x) es el producto de la proporción que en
Aj representa el conjunto de unidades con rentas mayores que x y de la diferencia
entre la renta media de ese grupo y el nivel de renta x.
56
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Entre las propiedades de la función Pij(x) que asigna a cada x∈Ai su privación
media respecto a Aj, conviene subrayar:
− Es una función estrictamente decreciente del nivel de renta:
dPij (x)
= Fj (x) − 1 < 0 , para todo x > 0
dx
− Su tasa de decrecimiento es cada vez mayor al ser una función estrictamente
convexa:
dPij2 (x)
dx 2
= fj (x) > 0 , para todo x > 0 ,
siendo fj la función de densidad en Aj.
− Si existen individuos en la población Ai cuya renta sea mayor o igual que la
renta máxima de Aj, x j , su privación es nula: Pij(x)=0, x≥ x j .
La privación media de la población Ai respecto a la población Aj, que denotaremos por Pij, se obtendrá calculando el valor esperado de Pij(x), x∈Ai:
∞
∫
Pij = Ei (Pij (X)) = Pij (x)dFi (x) .
[9]
0
Procediendo de forma simétrica al intercambiar la población a la que pertenece
el individuo que establece la comparación y la población con la que se compara, se
define la privación de y∈Aj respecto a x∈Ai como:
x − y,
Pji (y, x) = 
0,
si x > y
si x ≤ y ,
[10]
de donde resulta que la privación media de y∈Aj respecto a Ai viene dada por:
∞
∫
Pji (y) = Pji (y, x)dFi (x) = (1 − Fi (y))(µ i (y + ) − y),
[11]
y
mientras que la privación media de la población Aj, respecto a la población Ai es:
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
57
∞
∫
Pji = Ej (Pji (Y)) = Pji (y)dFj (y) .
[12]
o
Las expresiones [9] y [12] no proporcionan una idea intuitiva del valor de la privación media de una población respecto a otra. Sin embargo, dado que si la variable renta presentase en ambas la misma distribución el resultado coincidiría con el
que se obtiene para una población (expresión [3]), parece razonable esperar que
ese valor dependa de las rentas medias de ambas poblaciones y del grado de
desigualdad existente entre ellas.
Si se considera la diferencia media de Gini (Dagum (1980)), ∆ij, entre las distribuciones de Ai y Aj:
∞∞
∆ ij = E( X − Y ) =
∫ ∫ y − x dF (x)dF (y) ,
j
i
[13]
0 0
obtenida promediando todas las diferencias, en valor absoluto, entre pares de
rentas (x,y)∈Ai×Aj, , a partir de la cual se calcula el índice de Gini entre ambas
poblaciones, Gij, como:
Gij =
∆ ij
µi + µ j
,
[14]
se obtienen expresiones más sugerentes de las privaciones medias entre las
poblaciones consideradas que generalizan el caso en que las comparaciones se
realizan entre individuos de la misma población. La siguiente proposición recoge
ese resultado.
Proposición 1. Si ∆ ij = E( Y − X ) es la diferencia media de Gini entre las distribuciones de renta existentes en las poblaciones Ai y Aj, se verifica:
Pij + Pji = ∆ ij,
Pij − Pji = µ j − µ i ,
[15]
1
1
Pji = E j (Pji (Y)) = (µ i − µ j ) + ∆ ij .
2
2
[16]
y, en consecuencia:
1
1
Pij = Ei (Pij (X)) = (µ j − µ i ) + ∆ ij ,
2
2
58
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Demostración. Véase Apéndice.
La expresión [16] pone de manifiesto que la privación media entre dos poblaciones depende, por una parte, de la diferencia entre sus rentas medias y, por otra, del
grado de desigualdad existente entre ambas poblaciones evaluado a través de su
diferencia media de Gini. El valor de Pij coincide con el obtenido por Dagum (1980,
1987, 2001) en un contexto diferente, al proponer distintas distancias entre distribu-
1
1
(µ j − µ i ) + ∆ ij coincide
2
2
con lo que Dagum denomina “afluencia económica bruta de renta” de la población
Aj respecto a la población Ai.
ciones de renta. En concreto, bajo la condición µj>µi, Pij =
En particular, si la renta presenta la misma distribución en las poblaciones Ai y
∆
Aj, siendo ambas idénticas a ese respecto, es Pij=Pji=P= = µG, donde ∆ y G son,
2
respectivamente, la diferencia media de Gini y el índice de Gini común a ambas.
3. DESCOMPOSICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR EN Y ENTRE
SUBPOBLACIONES
Sea A una población constituida por n unidades económicas, en la que se contempla una partición en k<n subpoblaciones, Al, A2,..., Ak, homogéneas respecto de
una o varias características de sus elementos (por ejemplo, en el caso de hogares
podrían ser el nivel de estudios del sustentador principal, número de miembros de
k
la familia, etc.), de tamaños respectivos ni, 1≤i≤k,
∑n = n . Supongamos que la
i
i=1
distribución de la renta en A está representada por una función de distribución F
con media µ e índice de Gini G, y en cada Ai, mediante una distribución Fi con
media µi e índice de Gini Gi, 1≤i≤k.
Si la privación se formula mediante la diferencia de rentas, los resultados obtenidos por Hey y Lambert permiten afirmar que la privación media asociada a la
población total, P, y a cada una de las subpoblaciones, Pi 1≤i≤k, coincide con los
índices absolutos de Gini de sus respectivas distribuciones de renta:
P = E(P(X)) = µG,
Pi = Ei (Pi (Xi )) = µ iGi , 1 ≤ i ≤ k ,
[3]
mientras que las privaciones medias entre las subpoblaciones se expresarán,
según se demostró en la sección anterior, mediante las igualdades que aparecen
en [16].
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
59
Al plantearse la posible relación existente entre los valores anteriores, sus expresiones sugieren que esa relación dependerá de la existencia de una igualdad
que permita descomponer la desigualdad total de la distribución de la renta en la
población en dos componentes: una que recoja la aportación de la desigualdad
existente dentro de las subpoblaciones, y otra que cuantifique la contribución al
total de la desigualdad entre las subpoblaciones. El tipo de descomposición al que
se alude fue establecido por Dagum(3) (1997a, 1997b).
Si sj y qj representan, respectivamente, las participaciones de la subpoblación jésima en el tamaño poblacional y en la masa total de renta:
sj =
nj
,
n
qj =
njµ j
,
nµ
j = 1, 2,..., k.
k
∑
sj =
j=1
k
∑q = 1,
j
[17]
j=1
se verifica:
k
µ=
∑
s jµ j , F(x) =
j=1
k
∑ s F (x) .
[18]
j j
j=1
Dagum demuestra que el índice de Gini de la población total se puede expresar
como una media ponderada:
G=
n
∑s q G ,
i j
[19]
ij
i, j=1
siendo Gii = Gi el índice de Gini de la subpoblación i-ésima y Gij =Gji, el índice de
Gini entre las distribuciones de las subpoblaciones i-ésima y j-ésima, utilizando
 k
 
 k
 k
como ponderaciones los productos siqj 
siqj =  si  qj  = 1 . La igualdad

 


 i=1  i=1  
 i,j=1
anterior puede escribirse también como:
∑
G = Gd + Ges ,
Gd =
∑s q G ,
i i i
i
∑ ∑
Ges =
∑s q G ,
i j
ij
[20]
i≠ j
(3) Existen otras descomposiciones del índice de Gini (Mukherjee y Shorrocks (1982),
Lambert y Aronson (1993)) que no difieren de forma esencial de ésta. La que utilizamos
formula la componente que proporciona la desigualdad entre las subpoblaciones de un
modo más adecuado a la finalidad de nuestro estudio.
60
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
siendo Gd y Ges las componentes que cuantifican la desigualdad dentro y entre las
subpoblaciones, respectivamente.
Conviene observar que en la descomposición anterior la desigualdad entre las
subpoblaciones no se calcula teniendo en cuenta solamente el valor de la renta
media de cada subpoblación(4), lo que implicaría el estar cuantificando la desigualdad existente entre dichas medias y no la desigualdad entre las distribuciones, sino
que establecen comparaciones entre todos los pares de rentas de ambas distribuciones, como consecuencia de [13] y [14].
3.1.
Descomposición de la privación
A fin de establecer una descomposición de la privación media de la población
total, que coincide con el índice absoluto de Gini de su distribución de renta, µG, si
se multiplican los dos miembros de la igualdad [20] por la renta media global, se
obtiene:
µG = µGd + µGes =
k
∑
si2µ iGi +
i=1
k
∑s s µ G .
i j j
ij
[21]
i,j=1
i≠ j
En el segundo sumatorio de la igualdad anterior es Gij = Gji, de manera que si se
agrupan sus correspondientes sumandos se tiene que:
sis jµ jGij + s jsiµ iGji = sis j (µ i + µ j )Gij ,
con lo cual:
µGes =
k
∑ s s µ G = ∑ s s (µ + µ )G ,
i j j ij
i,j=1
i≠ j
i j
i
j
ij
i,j
i< j
y teniendo en cuenta, a partir de [14] y [15], que:
Pij + Pji = ∆ ij = (µi + µ j )Gij ,
(4) Este es el caso de los índices de entropía generalizada. En ellos, la componente de la
desigualdad total que se atribuye a la desigualdad entre las subpoblaciones coincide con el
valor del correspondiente índice al aplicarlo al vector cuyas coordenadas son la media de
cada una de las subpoblaciones.
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
61
resulta:
µGes =
∑ s s (P
i j
+P ji ).
ij
i,j
i< j
Por lo tanto, la privación media en la población total, P=µG, admite la descomposición:
P = Pd + Pes ,
[22]
siendo:
Pd = µGd =
k
∑s P ,
2
i i
[23]
i=1
la componente que recoge la contribución a la privación media total de la privación
existente dentro de las subpoblaciones, mientras que
Pes = µGes =
∑ s s P =∑ s s (P
i j ij
i,j
i≠ j
i j
ij
i,j
i< j
+ Pji ) =
∑s s ∆ ,
i j ij
[24]
i,j
i< j
cuantifica la contribución a P de la privación entre subpoblaciones. Nótese que la
aportación a la privación media poblacional que deriva de la privación en las subpoblaciones se obtiene como una suma ponderada de las privaciones en cada una
de ellas, en la que las ponderaciones coinciden con los cuadrados de las participaciones de los tamaños de cada subpoblación en la total. En la componente que
proporciona la privación entre subpoblaciones, las ponderaciones son los productos
cruzados de esas participaciones. Por lo tanto, Pd y Pes no son, por separado,
k
medias ponderadas dado que
∑s
2
i
≠ 1,
i=1
∑s s
i
j
≠ 1 , pero sí lo es la descomposi-
i≠ j
ción total de la privación media poblacional.
3.2.
Descomposición del bienestar
La descomposición obtenida para la privación media de la población induce otra
descomposición de ese tipo referente al bienestar. En efecto, como consecuencia
de [4], el bienestar medio de cada subpoblación, medido a través de la REID asociada al índice de Gini, es:
62
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Wi = µ i (1 − Gi ) = µ i − Pi ,
1≤ i ≤ k .
[25]
Si la renta media de la población se descompone aditivamente como:
k
k
k
µ=
k
∑ s q µ =∑ s s µ =∑ s µ + ∑ s s µ ,
i,j=1
2
i i
i j j
i j
i=1
i,j=1
i j j
[26]
i, j=1
i≠ j
a partir de [4], [25] y de las igualdades del epígrafe anterior, se obtiene:
W = Wd + Wes ,
Wd =
k
∑s W ,
2
i
[27]
i
[28]
− Pij )
[29]
i=1
Wes =
k
∑ s s (µ
i j
j
i,j=1
i≠ j
El primer sumando, W d, es la aportación al bienestar medio global del bienestar
existente dentro de las subpoblaciones y se expresa como una suma ponderada de
los niveles de bienestar en cada subpoblación. El segundo sumando, W es, se
interpretaría, por analogía con las descomposiciones anteriores, como la contribución a W del bienestar entre subpoblaciones. Esto último requiere, no obstante,
alguna puntualización, dado que en la literatura no es habitual esta terminología(5).
Definición 3. Si se considera el par de subpoblaciones (Ai, Aj), i≠j, se define el
bienestar de la subpoblación Ai respecto a la subpoblación Aj, W ij, como:
Wij = µ i − Pij ,
[30]
la diferencia entre la renta media de Ai y la privación media de Ai respecto a Aj.
Análogamente:
Wji = µ j − Pji .
(5) Se utiliza en Yitzhaki (1982), aunque en un contexto menos general que en el que
aquí nos situamos.
[31]
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
63
La definición anterior admite una justificación razonable en términos de utilidad
media. En efecto, si x∈Ai y el individuo se limita a comparar su situación con la de
quienes forman parte de la subpoblación Aj, j≠i, su utilidad, empleando el mismo
criterio que en [5], vendría dada por:
Uij (x) = x − Pij (x) .
[32]
Es inmediato, por las propiedades de Pij(x), que Uij(.) es una función creciente y
cóncava, y que la utilidad media o bienestar de los individuos de Ai tomando como
referencia a los de Aj, j≠i, es:
Wij = Ei (Uij (x)) = µ i − Pij ,
lo que indica que la definición 3 no responde sólo a una conveniencia formal.
Con ello, si se considera el par de subpoblaciones (Ai, Aj), i≠j, y sus respectivas
aportaciones a la suma W es:
sis j (µ j − Pij ) + sis j (µ i − Pji ) = sis j ((µ i − Pij ) + (µ j − Pji )),
haciendo uso de la Proposición 1 y de [14], se verifica:
Wij + Wji = (µ i + µ j )(1 − Gij ) .
De este modo, la contribución al bienestar social medio del bienestar entre subpoblaciones, se expresa como:
Wes =
∑ s s (W
i j
ij
+ Wji ).
i,j
i< j
Una forma alternativa de expresar las aportaciones del bienestar en y entre
subpoblaciones al bienestar medio de la población es:
Wd =
k
2
i i
i=1
Wes =
k
k
∑s µ − ∑s P = ∑s µ − P ,
k
∑
i,j=1
i≠ j
s i s jµ i −
2
i i
i=1
k
∑
i,j=1
i≠ j
2
i i
[33]
d
i=1
si s jPij =
k
∑ s s µ −P
i j i
i, j=1
i≠ j
es ,
[34]
64
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
mediante la que se pone de manifiesto una clara analogía formal con las expresiones [6], [25], [30] y [31], en el sentido de que en cada contexto (población total, en
subpoblaciones, entre subpoblaciones,...) el bienestar se expresa como la diferencia entre la renta media (la de la población o la de la subpoblación) o una componente de la renta media poblaciona(6) y la privación media correspondiente.
3.3.
Descomposición del índice de Gini a partir de la descomposición
de la privación individual
Como ya se ha señalado, la privación de un individuo depende de su renta, del
grupo a que pertenezca y del ámbito que tome como referencia al establecer
comparaciones. Para un individuo de la subpoblación Ai y con renta x, sea Pi(x) su
privación respecto a quienes forman parte de su subpoblación (privación egoísta);
Pij(x), j≠i, su privación respecto a la subpoblación Aj (privación fraterna) y Pi(x) su
privación en la población total (doble privación). La relación entre ellas es la siguiente:
Proposición 2. Si x∈Ai, se verifica:
Pi (x) = siPi (x) +
∑ s P (x)
[35]
j ij
j≠i
Demostración. A partir de [2], [8] y [18], resulta:
∞
∫
Pi (x) = (y − x)dF(y) =
k
+
j
j
s j (y − x)dFj (y) = siPi (x) +
x
i
x
∞
∑ ∫
j≠i
∞
∑ s ∫ (y − x)dF (y) = s ∫ (y − x)dF (y) +
j=1
x
∞
k
i
x
k
∑ s P (x) .
j ij
j≠i
k
(6)
Nótese que según la descomposición [26] de la renta media,
∑s µ
2
i i es una suma
i=1
k
ponderada de las rentas medias de las subpoblaciones, mientras que
∑s s µ
i j i es otra
i,j=1
i≠ j
suma de ese tipo en las que las ponderaciones son los productos de las participaciones de
todos los pares posibles de subpoblaciones distintas en el tamaño de la población total.
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
65
Esto es, la privación total de x∈Ai tiene dos componentes: una es el producto de la
proporción de individuos pertenecientes a su subpoblación por la privación que
experimenta hacia ellos, y la otra es una suma ponderada de las privaciones respecto a los individuos de las demás subpoblaciones, siendo las ponderaciones sus
respectivas participaciones en el tamaño de la población.
Por otra parte, dado que la partición de la población es arbitraria y, en general,
existirá solapamiento entre las diferentes distribuciones de renta, un mismo nivel de
renta puede presentarse en varias o en todas ellas. Como consecuencia de la
proposición anterior, si x∈A, su privación asociada, con independencia de las
subpoblaciones en que pueda presentarse, será:
P(x) =
k
k
∑ s P (x) = ∑ s P (x) + ∑ s s P (x) .
2 i
i
i i
[36]
i j ij
i=1
i=1
i≠ j
Al calcular el valor medio de la expresión anterior, resulta:
E(P(X)) =
k
k
∑ s E (P (X)) = ∑ s E (P (X)) + ∑ s s E (P (X)) ,
i i
i
2
i i
i
i j i
i=1
i=1
ij
i≠ j
lo que equivale, utilizando [3] y [16], a:
µG =
k
1
∑ s µ G + 2 ∑ s s ((µ
2
i i i
i=1
i j
j
− µ i ) + ∆ ij ) .
[37]
i≠ j
Si en el segundo sumatorio del segundo miembro se agrupan dos a dos los sumandos en que aparecen los mismos índices, cada una de esas sumas es 2sis j ∆ ij ,
de modo que al dividir los dos miembros de [37] entre µ, teniendo en cuenta [14] y
sµ
que qi = i i , 1≤i≤k, se obtiene la descomposición del índice de Gini propuesta por
µ
Dagum (1997a, 1997b):
G=
k
∑s q G + ∑s q G
i i i
i=1
i j
ij
.
[20]
i≠ j
En definitiva, aunque privación y desigualdad no son conceptos equivalentes (la
primera es consecuencia de la segunda), cuando la privación entre los individuos
se formula mediante la diferencia entre sus rentas, la descomposición de la privación, al considerar una partición de la población, implica y a su vez es consecuencia
66
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
de la descomposición del índice de Gini. Ello no es sorprendente ya que este índice
se puede definir a partir de la diferencia media de Gini, en cuyo cálculo se promedian las diferencias, en valor absoluto, entre todos los pares de rentas de la distribución.
4. CASOS PARTICULARES
Se pueden obtener igualdades más sencillas para las descomposiciones de la
privación y del bienestar al considerar particiones de la población en las que las
distribuciones de renta de las subpoblaciones presenten determinadas características. Aunque la casuística podría ser amplia, nos limitaremos a los casos de mayor
interés.
4.1. Si las distribuciones de renta de las subpoblaciones no se solapan, lo que
equivale a realizar una partición de la población según los niveles de renta de las
unidades que la componen, se obtienen expresiones más sencillas que sólo dependen de la renta media de la distribución y de los valores de la función de distribución y de la curva de Lorenz en los puntos que delimitan los intervalos de la
partición. Este es el supuesto que se analiza en Yitzhaki (1982), cuyos resultados
se pueden obtener como caso particular de los presentados en los epígrafes 3.1 y
3.2.
Sea R+ el rango de la variable renta y consideremos k subpoblaciones determinadas por los niveles de renta xi, 1≤i≤k, que satisfacen 0<x1<x2<...<xk, de manera
que la subpoblación i-ésima se identifica con el intervalo Ai=]xi-1, xi], 2≤i≤k-1, A1=]0,
x1], Ak=]xk,→[. En cada uno de ellos su distribución de renta es un truncamiento de
la existente en la población y todas sus características relevantes se pueden expresar en función de parámetros relativos a la población total.
Así, si F es la función de distribución de la renta en la población y L(F(x)) su curva de Lorenz, la participación de cada intervalo en el tamaño de la población y en el
volumen de renta total se pueden expresar como:
si = F(x i ) − F(x i−1) , qi = L(F(x i)) − L(F(x i−1)) , 2 ≤ i ≤ k − 1 ,
s1 = F(x1) , sk = 1 − F(x k ) , q1 = L(F(x1)) , qk = 1 − L(F(x k )) ,
[38]
mientras que las respectivas rentas medias son:
µi = µ
qi
, 1≤ i ≤ k ,
si
[39]
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
67
siendo µ la renta media de la población.
Al no existir solapamiento entre las distribuciones de renta de los intervalos, si
(xi,xj)∈Ai×Aj con i<j es xi<xj y µi<µj de manera que las diferencias medias de Gini
entre ellas coincidirán con la diferencia entre sus rentas medias: ∆ij=µj-µi=∆ji. Por lo
tanto, la privación media entre subpoblaciones vendrá dada, según [16], por:
µ j − µ i , i < j
Pij = 
i> j,
0,
[40]
mientras que la privación media en cada subpoblación es:
Pi = µ iGi = µ
qi
Gi , 1 ≤ i ≤ k.
si
[41]
siendo Gi el índice de Gini de la distribución del intervalo i-ésimo(7).
Por otra parte, el bienestar medio en la población y en cada subpoblación es
W = µ(1 − G), Wi = µ i (1 − Gi ), 1 ≤ i ≤ k . Entre cada par de subpoblaciones, teniendo
en cuenta [29] y [40], es:
2µ i − µ j , i < j
Wij = µ i − Pij = 
i > j,
µ i ,
[42]
i< j
µ j ,
Wji = µ j − Pji = 
2µ j − µ i , i > j,
de manera que:
2µ i ,
Wij + Wji = 
2µ j ,
i< j
i > j.
[43]
A partir de las igualdades anteriores, la descomposición de los valores medios
poblacionales de la privación y del bienestar se concretan en expresiones en las
(7)
Mediante un cálculo sencillo se obtiene
Gi = 1 −
 F( xi )

2 
L(p)dp − L(F(x i−1))si .

siqi 
F(xi−1)

∫
68
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
que sólo intervienen la renta media poblacional y las participaciones de las subpoblaciones en el tamaño de la población y en el volumen total de renta:
P = Pd + Pes ,
Pes =
∑ s s P =∑ s s (µ
i j ij
i j
i,j
i< j
W = Wd + Wes ,
Wes =
j
− µ i ) =µ
i,j
i< j
∑ s s (W
i j
ij
∑(s q − q s )
i j
∑s s µ
+ Wji ) =2
i,j
i< j
i j
i,j
i< j
[44]
= 2µ
i j i
i,j
i< j
∑q s .
i j
i,j
i< j
Las componentes que recogen la contribución a los respectivos valores medios de
la privación y del bienestar en la población que deriva de la existente dentro de las
subpoblaciones no han sido detalladas en las igualdades anteriores al coincidir,
formalmente, con sus expresiones en el caso general.
A partir de las igualdades [38] y [39], una forma equivalente de escribir las componentes, para la privación y el bienestar, entre subpoblaciones es:
Pes = µ
k
∑
(si (1 − L(F(x i ))) − qi (1 − F(x i ))) = µ
i=1
k
∑(q F(x ) − s L(F(x )))
i
i
i
i
,
i=1
[45]
Wes = 2µ
k
∑ s L(F(x
i
i−1)) ,
I=1
expresiones que coinciden con las obtenidas por Yitzhaki (1982).
4.2. Un caso que tiene interés práctico es aquel en que la distribución de renta se
divide en dos intervalos delimitados mediante un nivel de renta w, w>0. Por
ejemplo, gran parte de los índices de pobreza, como los propuestos por Sen (1979),
Takayama (1979), Foster, Greer y Thorbecke (1984), Kakwani (1984), Carbonaro
(1990) y Dagum y Zenga (1990), se basan en la concentración de la distribución
cuando se restringe a ingresos inferiores a uno dado. En ese caso, w es el umbral
de pobreza.
Supongamos que dada una distribución de renta, w es un nivel de renta (cualquier cuantil, la renta media, un umbral de pobreza, etc.) que divide al recorrido de
la variable en dos intervalos (k=2), A1=]0,w] y A2=]w,→], que identificamos con
sendas subpoblaciones.
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
69
Trasladando a ese contexto la notación y los resultados del epígrafe anterior, se
tiene:
s1 = F(w),
s2 = 1 − F(w),
q1 = L(F(w)),
µ1 =
µL(F(w))
F(w)
q2 = 1 − L(F(w)),
,
µ2 =
µ(1 − L(F(w)))
.
(1 − F(w))
La privación media de cada subpoblación y entre ambas es:
P1 = µ1G1,
P12 = µ 2 − µ1 =
P2 = µ 2G2 ,
µ
(F(w) − L(F(w))), P21 = 0 ,
s1s2
por lo que la contribución de la privación entre las subpoblaciones a la privación
media total, (P=µG), teniendo en cuenta su ponderación, viene dada por:
Pes = s1s2P12 = µ(F(w) − L(F(w))) = µ(s1 − q1),
[46]
Pes = µ[(1 − L(F(w))) − (1 − F(w))] = µ(q2 − s2 ) ,
[47]
o bien:
de manera que la privación entre ambas subpoblaciones es el producto de la renta
media global y de la proporción de la renta total que sería necesario transferir,
desde las rentas situadas por encima de w a las situadas por debajo de ella, para
conseguir un reparto igualitario.
El bienestar medio en cada subpoblación y entre las mismas es:
W1 = µ1(1 − G1),
W2 = µ 2 (1 − G2 ),
W12 = µ1 − P12 = 2µ1 − µ 2 ,
W21 = µ 2 ,
de modo que en la descomposición del bienestar medio de la población, W=µ(1-G),
la componente entre subpoblaciones es :
70
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Wes = s1s 2 (W12 + W21) = 2s1s2µ1 = 2µq1s2 = 2µL(F(w))(1 − F(w)).
[48]
Es evidente que los valores de las magnitudes anteriores dependen del nivel de
renta, w, que define la partición de la población y que hasta ahora hemos considerado fijo. La proposición siguiente se ocupa del comportamiento de esas magnitudes como funciones de w.
Proposición 3.
a) La contribución de la privación entre las subpoblaciones al valor medio de la
privación de la población total alcanza su valor máximo cuando el nivel de renta
que define la partición coincide con la renta media de la distribución (w=µ). El valor
de ese máximo es la mitad de la desviación absoluta media de la distribución de
renta de la población.
b) La contribución del bienestar entre las subpoblaciones al valor medio del bienestar de la población alcanza su máximo cuando el nivel de renta que determina la
partición, w0, cumple la condición w 0 (1 − F(w 0 )) = µL(F(w 0 )) , y con ello es w0≥Me,
siendo Me la mediana de la distribución.
Demostración(8). La derivada primera de Pes, como función de w, es
P´es(w)=f(w)(µ-w), nula cuando w=µ, mientras que la derivada segunda es negativa.
En ese punto Pes(µ)=µ(F(µ)-L(F(µ)))=µCS, siendo CS= F(µ)-L(F(µ)) el coeficiente de
Schutz de la distribución(9), que representa la proporción de renta que habría de
ser transferida desde las rentas situadas por encima de la media a las situadas por
debajo de ella para obtener un reparto igualitario. El valor del máximo
Pes (µ) =
ción.
1
DAM , siendo DAM=2µCS, la desviación absoluta media de la distribu2
En relación al bienestar, W´es(w)=2f(w)[w(1-F(w))-µL(F(w))], de manera que el
valor extremo se alcanza en el punto w0 que satisface la condición Wes (w 0 ) = 0 , o
su equivalente:
w0
µ(w 0− )
=
F(w 0 )
,
1 − F(w 0 )
(8) Supondremos, para facilitar el tratamiento analítico, que la variable renta es continua, siendo f(x)=F´(x) su función de densidad. En tal caso, la derivada de la curva de Lorenz
respecto a p=F(x) es
d(L(F(x))) x
= .
d(F(x))
µ
(9) Es un índice relativo de desigualdad que coincide con la máxima distancia vertical
entre la curva de Lorenz y la línea de equidistribución.
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
siendo µ(w 0− ) =
µL(F(w 0 ))
F(w 0 )
71
la media de las rentas menores que w0, de modo que
F(w 0 )
≥ 1 , por lo que F(w 0 ) ≥ 1 / 2 y, en consecuencia, w0≥Me.
1 − F(w 0 )
5. CONCLUSIONES
En Hey y Lambert (1980) se define la privación entre individuos pertenecientes a
una misma población, o grupo de referencia, mediante la diferencia entre sus
rentas. En este artículo se generaliza esa formulación al caso en que los individuos
establezcan comparaciones no sólo con quienes forman parte de su grupo, sino
también con quienes pertenecen a otras poblaciones. Bajo ese supuesto se demuestra que el valor medio de la privación entre dos poblaciones diferentes es una
combinación lineal de la diferencia entre sus respectivas rentas medias y de la
desigualdad existente entre sus distribuciones de renta, evaluada mediante la
diferencia media de Gini entre ambas.
Cuando el resultado anterior se aplica al caso en que en una población se considera una partición finita en subpoblaciones, se establece una equivalencia entre
la descomposición del índice de Gini y la de la privación media de la población total
en dos componentes: la que cuantifica la privación dentro de las subpoblaciones y
la que incorpora el valor de la privación entre las subpoblaciones. Cada una de
estas componentes se expresa como una suma ponderada en la que las ponderaciones dependen de la participación de cada grupo en el tamaño de la población y
en el volumen total de renta. Esta equivalencia es consecuencia de la analogía
existente entre el modo de realizar las comparaciones entre individuos, en la formulación utilizada para la privación, y la definición de la diferencia media de Gini de
una distribución o entre distribuciones.
Al identificar el bienestar con el valor esperado de una función de utilidad, creciente y cóncava, en la que la utilidad de cada individuo es igual a la diferencia
entre su renta y la privación que experimenta respecto a quienes tienen rentas
mayores, la descomposición de la privación media, al considerar una partición, da
lugar a otra formalmente análoga del bienestar, lo que requiere definir previamente
qué se entiende por bienestar entre poblaciones. Se ha justificado que una forma
natural de definir el bienestar entre dos poblaciones es hacerlo mediante la diferencia entre la renta media de la población desde la que se establece la comparación y
la privación media de esa población respecto a la que se compara.
Finalmente, se consideran algunos casos particulares en los que las distribuciones de renta de las subpoblaciones presentan determinadas características. Cuan-
72
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
do el recorrido de la variable renta se divide en un número finito de intervalos los
resultados se simplifican, en el sentido de que las componentes de la privación y
del bienestar se pueden expresar a partir de un número reducido de características:
la renta media de la población y los valores de la función de distribución y de la
curva de Lorenz en los puntos que delimitan los intervalos. En particular, si un nivel
de renta divide el recorrido de la variable en dos intervalos, es posible determinar o
acotar su valor a fin de maximizar la privación o el bienestar entre ambos. Cuando
el nivel de renta que los separa es la renta media, la privación entre los dos grupos
es máxima y su valor es la mitad de la desviación absoluta media de la distribución.
Para que el bienestar entre los dos intervalos sea máximo, la renta que los separa
ha de ser necesariamente mayor que la mediana de la distribución.
Aunque resulte evidente, conviene subrayar que los resultados obtenidos a partir de una definición específica de la privación dependen de la elección acerca de
cómo realizar la comparación entre individuos con diferentes niveles de renta e
incorporan, por lo tanto, juicios de valor. En este trabajo, la definición inicial introduce un concepto absoluto de desigualdad.
APÉNDICE
Demostración de la Proposición 1. Probaremos, en primer lugar que la privación media Pij admite la siguiente expresión:
Pij = Ei (xFj ) + Ej (xFi ) −µ i .
[A1]
En efecto, a partir de [8] y [9], y teniendo en cuenta el recinto de integración para la
integral doble que aparece en el desarrollo, resulta:
∞ x
Pij = µ j −
∫∫
∞
∫
ydFj (y)dFi (x) − µ i + xFj (x)dFi (x) =
0 0
∞
∫
0
∞
∫
∞
∫
= µ j − µi + Ei (xFj ) − ydFj (y) dFi (x) =µ j − µ i + Ei (xFj ) − y(1 − Fi (y))dFj (y) =
0
y
0
= µ j − µ i + Ei (xFj ) − (µ j − Ej (yFi )) = Ei (xFj ) + Ej (xFi ) − µ i .
Por otra parte, la diferencia media de Gini, definida mediante [13], puede expresarse como:
73
MEDICIÓN DE LA PRIVACIÓN Y DEL BIENESTAR ENTRE POBLACIONES MEDIANTE EL ÍNDICE DE GINI
∞∞
∆ ij = E( X − Y ) =
∫∫ y − x dF (x)dF (y) =
i
j
0 0
∞y
=
∫∫
∞∞
(y − x)dFi (x)dFj (y) +
0 0
∫∫
0 x
i
j
[A2]
0 y
∞∞
=
∫∫ (x − y)dF (x)dF (y) =
∞∞
(y − x)dFj (y)dFi (x) +
∫∫ (x − y)dF (x)dF (y) = P
i
j
ij
+ Pji .
0 y
Por último, como consecuencia de [A1], se verifica:
Pij − Pji = µ j − µ i .
[A3]
Las igualdades [A2] y [A3] son las enunciadas en la proposición (expresión [15]) y
de ellas se obtiene [16].
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ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
THE DEPRIVATION AND WELFARE MEASUREMENT THROUGH
THE GINI COEFFICIENT
SUMMARY
In this paper, the Hey and Lambert (1980) approach of deprivation
is extended to the case in which the comparisons are carried out
among different population’s individuals. In this situation the mean
deprivation for one population respect to another is obtained. When
the partition of the population into homogeneous subpopulations respect to a characteristic of the units that belongs to the subgroup is
considered, we can establish the equivalence between the Gini coefficient decomposition and the one of the deprivation of the population
into two components: between and within deprivation. This decomposition allows us to make an analogous one for the welfare when it is
evaluated as the equally distributed equivalent income attached to the
Gini coefficient.
Key words: deprivation, welfare, partition, Gini’s mean difference.
AMS Classification: 90A30.