Álgebra I (Teor´ıa de Grupos), 2007

Álgebra I (Teorı́a de Grupos), 2007-2008
Hoja 3
Órdenes, homomorfismos e isomorfismos: propiedades básicas
(1) Demostrar que si G es un grupo finito de orden par, el número de elementos de G distintos del
neutro y que coinciden con su inverso, es impar.
(2) Demostrar que el grupo cuaternio de 8 elementos es isomorfo al grupo
G = {±1, ±i, ±j, ±k}
con relaciones ij = k, ki = j, jk = i, ji = −k, ik = −j, kj = −i, i2 = j 2 = k 2 = −1.
(3) a) Demostrar que el grupo de las transformaciones ϕi , 1 ≤ i ≤ 6, del plano complejo extendido
(de un ejercicio de la primera hoja de problemas) es isomorfo a S3 , el grupo de biyecciones de los tres
primero números naturales con la composición.
b) Demostrar que D3 también es isomorfo a S3 , exhibiendo un isomorfismo concreto.
(4) Se define φ : D3 → {±1} mediante : φ(T ) = 1 si T es una rotación y φ(T ) = −1 si T es una
simetrı́a. Demostrar que φ es un homomorfismo de grupos.
(5) En el grupo Sn de las permutaciones de {1, 2, . . . , n}, es habitual escribir (1) para denotar a la
permutacı́ón identidad y (jk) para denotar a la permutación que intercambia los números naturales
j, k ∈ {1, 2, . . . , n} y fija todos los demás (también conocida como trasposición). También es usual
escribir στ en lugar de la composición σ ◦ τ . Por ejemplo, (12)(34) es la permutación que intercambia
los números 3 y 4 y también intercambia 1 con 2.
(a) Comprobar que V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ≤ S4 .
b) Definir un isomorfismo entre el grupo del apartado anterior y el grupo de Klein.
(6) Demostrar que un grupo G es abeliano si y sólo si la aplicación f : G → G dada por f (x) = x−1
es un automorfismo.
Grupos cı́clicos, generadores, función de Euler
(7) Dar un ejemplo de dos grupos no isomorfos, abelianos y no cı́clicos tales que todos sus subgrupos
propios sean cı́clicos.
(8) Encontrar el número de elementos de cada uno de los grupos cı́clicos indicados:
i) El subgrupo aditivo de Z30 generado por el elemento 25.
ii) El subgrupo aditivo de Z42 generado por 30.
iii) El subgrupo multiplicativo de C∗ generado por i.
√ .
iv) El subgrupo multiplicativo de C∗ generado por 1+i
2
∗
v) El subgrupo multiplicativo de C generado por 1 + i.
(9) Encontrar el número de generadores de los grupos cı́clicos de órdenes 6, 9, 14 y 90.
(10) Sean p y q primos y r un entero ≥ 1. Encontrar el número de generadores de los grupos cı́clicos
Zpq y Zpr .
(11) Calcúlese ϕ(80), donde ϕ denota la función de Euler. ¿Cuántos elementos invertibles respecto a
la multiplicación tiene el conjunto Z80 ?
1
(12) Demostrar que en un grupo cı́clico finito G de orden n, la ecuación xm = e tiene exactamente m
soluciones para cada m que divida a n. Discutir qué ocurre si 1 < m < n y m no divide a n.
(13) Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cı́clicos finitos con |H| = r y |K| = s.
Demuéstrese que G contiene un subgrupo cı́clico cuyo orden es el mı́nimo común múltiplo de r y s.
(14) Hemos visto en clase que si dos subgrupos de un grupo cı́clico finito tienen el mismo orden,
entonces son iguales. Dar un ejemplo de un grupo finito, conmutativo pero no cı́clico, para el que esto
no ocurra.
(15) Determinar el grupo Aut(C3 ) de todos los automorfismos del grupo cı́clico de orden 3 y escribir
su tabla de composición.
(16) Sea Cn = hxi, el grupo cı́clico de orden n generado por un elemento x. Generalizando el resultado
del ejercicio anterior, demostrar que:
a) para todo m ∈ Z, la función fm : Cn → Cn dada por fm (xk ) = xkm , es un homomorfismo de
Cn ;
b) todo homomorfismo de Cn en si mismo coincide con alguna de las funciones fm , m ∈ Z;
c) fm = fk si y sólo si m ≡ k (n);
d) fm es un automorfismo de Cn si y sólo si (m, n) = 1;
e) Aut (Cn ) ∼
= Un , el grupo de las unidades (elementos invertibles respecto a la multiplicación) en
Zn . Por tanto, |Aut (Cn )| = ϕ(n).
Retı́culo de los subgrupos
(17) Para cada uno de los siguientes grupos aditivos encontrar todos sus subgrupos y elaborar el retı́culo
correspondiente:
i) Z12 ; ii) Z36 ; iii) Z8 .
(18) Hallar el retı́culo de los subgrupos de los siguientes grupos:
a) el grupo de Klein V4 = ha, bi, donde a2 = b2 = e y ab = ba;
b) el grupo diédrico D3 = hA, Bi donde A3 = B 2 = I, ABA = B;
c) el grupo S3 de las permutaciones de {1, 2, 3}, utilizando el resultado obtenido en el apartado b);
d) el grupo diédrico D4 de las simetrı́as (transformaciones isométricas) de un cuadrado.
(19) (a) Demostrar que cada subgrupo del grupo aditivo Z tiene la forma nZ para algún número
natural n.
(b) Demostrar que un grupo infinito es cı́clico si y sólo si es isomorfo a cada uno de sus subgrupos
no triviales.
2