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Ejercicio q de Tobin
IN4203 Macroeconomı́a
Profesor: Benjamı́n Villena R.
Auxiliar: Miguel Biron L.
23 de Abril de 2010
Modelo de la q de Tobin en tiempo discreto
Una firma desea maximizar el valor presente de sus flujos de utilidad futura. Para eso, debe decidir
para todo t = 0 . . . ∞ cuánto capital utilizar, y cuánto invertir. Suponemos una función de producción f (k) que sólo utiliza capital, y que cumple las condiciones f 0 > 0 (creciente en el insumo),
f 00 < 0 (retornos marginales decrecientes). Por otro lado, la firma se ve sujeta a costos de inversión;
en particular observa una función de costos c(I), la cual cumple c0 > 0 y c00 > 0. Además se usará que c0 (0) = 0. Por último, la tasa de depreciación del capital periodo a periodo es δ, y la tasa
de descuento relevante es r (constante).
1. ¿Cómo se interpretan las condiciones sobre la función c(·)?
2. Plantee el problema de maximización que observa la empresa. ¿Cuántas restricciones existen?
3. Escriba el Lagrangeano del problema.
4. Muestre que las condiciones de primer orden son:
qt = 1 + c0 (It )
(1 + r)qt = f 0 (kt+1 ) + qt+1 (1 − δ)
5. Si la segunda CPO se desarrolla, y además se asume que
qT (1 − δ)T
=0
T →∞ (1 + r)T +1
lı́m
se obtiene que
∞
X
f 0 (kt+j )
qt =
(1 + r)t+j
j=1
¿Qué significa esta ecuación?
6. Basándose en la primera CPO, muestre que la inversión es positiva si qt > 1 y negativa cuando
qt < 1.
7. Interprete el resultado de la pregunta anterior de la misma manera que se hizo en clases.
8. Encuentre los valores de estado estacionario para q ∗ , k ∗ e I ∗ .
1
Solución
1)
c0 > 0 → más inversión (o desinversión) es costoso.
c00 > 0 → más inversión (o desinversión) aumenta el costo marginal de invertir.
c0 (0) = 0 → los costos son mı́nimos cuando I = 0.
∞
2) La firma elige las secuencias de capital {kt+1 }∞
t=0 e inversión {It }t=0 que maximizan el valor
presente de su utilidad, sujeto a la ley de movimiento del capital:
máx
∞
{kt+1 }∞
t=0 ,{It }t=0
Π=
∞
X
f (kt ) − It − c(It )
(1 + r)t
t=0
s.t
kt+1 = kt (1 − δ) + It ∀t
Dado que la ley de movimiento del capital se debe cumplir ∀t, se tienen un número infinito de
restricciones. Asimismo, existe un número infinito de variables de decisión, pues la firma elije el
nivel de capital y la inversión en todos los periodos siguientes.
3) El Lagrangeano siempre es igual a la función objetivo, más la suma del producto de las funciones
de restricción, por su multiplicador asociado. En este caso, esto se traduce a:
L=
∞
X
f (kt ) − It − c(It )
t=0
(1 + r)t
+
∞
X
qet (kt (1 − δ) + It − kt+1 )
t=0
Los multiplicadores asociados a las restricciones son qet . Podemos re-escribir el Lagrangeano de la
siguiente manera:
L=
∞
X
f (kt ) − It − c(It ) + qt (kt (1 − δ) + It − kt+1 )
(1 + r)t
t=0
si definimos qt ≡ qet (1 + r)t .
4) Para encontrar la primera CPO, derivamos L con respecto a It .
∂L
−1 − c0 (It ) + qt
=0=
∂It
(1 + r)t
Reescribiendo la ecuación, llegamos a lo buscado:
qt = 1 + c0 (It )
Para la segunda CPO, derivamos L con respecto a kt+1 . Notar que kt+1 aparece en la sumatoria
dos veces: para el periodo t y el t + 1.
∂L
−qt
f 0 (kt+1 ) + qt+1 (1 − δ)
=0=
+
t
∂kt+1
(1 + r)
(1 + r)t+1
2
Reordenando lo anterior llegamos a la ecuación pedida:
(1 + r)qt = f 0 (kt+1 ) + qt+1 (1 − δ)
La primera CPO muestra la relación que existe entre la qt y la inversión It del periodo correspondiente. La segunda CPO rige la evolución temporal de la qt .
5) Esta ecuación se interpreta como que qt es equivalente al valor descontado asociado a las utilidades
futuras que entregará la unidad marginal extra de capital. Usualmente, la condición extra
qT (1 − δ)T
=0
T →∞ (1 + r)T +1
lı́m
se interpreta como que se está asumiendo que no se considerarán casos de burbujas en el valor
bursatil de la firma, en que el valor de la firma qt crece indefinidamente. En otras palabras, qt no
puede crecer a una tasa mayor que la tasa a la que la firma descuenta los flujos futuros.
6)
qt < 1: Si qt < 1, esto significa que c0 (It ) < 0. Por otro lado, dado que c0 (0) = 0 y además c0 (·)
es creciente (porque c00 (·) > 0), se concluye que It < 0.
qt > 1: deducción simétrica al caso anterior.
7) Una interpretación de la q de Tobin, es que q corresponde al ratio del valor de una unidad de
capital dentro de la empresa (q) sobre su costo de reemplazamiento (que asumimos igual a 1), es
decir el valor de una unidad de capital fuera de la empresa. Por lo tanto, el valor de q nos define los
incentivos para invertir de la empresa: si q > 1, la empresa invierte puesto que el valor del capital
es mayor dentro de la empresa y si q < 1, la empresa vende su capital.
8) Estado estacionario (SS o ((Steady State))) implica que las variables en el sistema cumplen x∗ =
xt = xt+1 ∀t. Imponiendo esto en las CPO y en la restricción, encontraremos los valores SS para
k∗ , I ∗ y q∗ .
En la CPO 2:
− f 0 (kt+1 ) − r = (qt+1 − qt ) − δqt+1 − rqt
− f 0 (k ∗ ) − r = 0 − δq ∗ − rq ∗
Con esto obtenemos:
q∗ =
f 0 (k ∗ )
r+δ
De la CPO 1:
q ∗ − 1 = c0 (I ∗ )
0 ∗
f (k )
0 −1
∗
I =c
−1
r+δ
Por último, de la ley de movimiento del capital:
3
k ∗ = (1 − δ)k ∗ + I ∗
δk ∗ = I ∗
Para encontrar tales valores, se debe resolver el sistema de tres ecuaciones. En particular, ya que
encontramos expresiones para q ∗ y I ∗ en función de k ∗ , podemos encontrar primero k ∗ juntando la
segunda y la tercera de las ecuaciones anteriores:
k ∗ = δ −1 I ∗
0 ∗
∗
−1 0 −1 f (k )
k =δ c
−1
r+δ
Para encontrar k ∗ , se debe resolver la última ecuación para k ∗ . Posteriormente, se podrán obtener
los valores de q ∗ y I ∗ .
4