Ejemplos de aplicaciones Inercia Y Centroides

Problema 5.154
a
24 kN
A
wA
1.8 m
30 kN
0.3 m
La viga AB soporta dos
cargas concentradas y
descansa sobre el suelo el
B
cual ejerce una carga
wB linealmente distribuida hacia
arriba como se muestra.
Determine a) la distancia a
para la cual wA = 20 kN/m,
b) el valor correspondiente
wB.
Problema 5.154
Resolución de los problemas por
0.3 m
a
sí mismo
La viga AB soporta dos
A
B cargas concentradas y
wA
wB descansa sobre el suelo el
cual ejerce una carga
linealmente distribuida hacia
1.8 m
arriba como se muestra.
Determine a) la distancia a
para la cual wA = 20 kN/m, b)
el valor correspondiente wB
1. Reemplace la carga distribuida por una sola fuerza
equivalente. La magnitud de la fuerza es igual al área bajo la
curva de la carga distribuida y su línea de acción pasa por el
centroide del área.
24 kN
30 kN
2. Cuando sea posible, las cargas complejas distribuidas
deben de dividirse en áreas de formas comunes.
Problema 5.154 Solución
24 kN
a
30 kN
C
A
20 kN/m
Reemplace la carga
distribuida por un par
B de fuerzas equivalentes.
wB
0.6 m
0.6 m
RI
Se tiene
0.3 m
RII
1
RI = 2 (1.8 m)(20 kN/m) = 18 kN
1
RII = 2 (1.8 m)(wB kN/m) = 0.9 wB kN
Problema 5.154 Solución
24 kN
a
30 kN
0.3 m
C
A
B
wB
0.6 m
0.6 m
RI = 18 kN
RII = 0.9 wB kN
a) +
MC = 0: (1.2 - a)m x 24 kN - 0.6 m x 18 kN
- 0.3m x 30 kN = 0
o a = 0.375 m
b) +
Fy = 0: -24 kN + 18 kN + (0.9 wB) kN - 30 kN= 0
o wB = 40 kN/m
Problema 5.147
y
20 mm
30 mm
Localice el centroide del área
plana que se muestra.
36 mm
24 mm
x
y
20 mm
Problema 5.147
30 mm
Resolución de los problemas por sí mismo
Localice el centroide del área plana que
se muestra.
36 mm
Al resolver estos tipos de problemas, se
deben de hacer resaltar varios puntos.
24 mm
x
1. Decida cómo construir el área dada a partir de formas
comunes.
2. Se le recomienda con firmeza que construya una tabla que
contenga las áreas o líneas y las coordenadas respectivas de
los centroides.
3. Cuando sea posible, use la simetría para ayudarse a localizar
el centroide.
Problema 5.147 Solución
y
20 + 10
Decida cómo construir el área dada a
partir de formas comunes.
C1
C2
24 + 12
30
10
Dimensiones en mm
x
Problema 5.147 Solución
y
20 + 10
Construya una tabla que contenga las
áreas y las coordenadas respectivas
de los centroides.
C1
C2
24 + 12
30
10
x
Dimensiones en mm
A, mm2
1 20 x 60 =1200
2 (1/2) x 30 x 36 =540
1740
x, mm
10
30
y, mm
30
36
xA, mm3
12 000
16 200
28 200
yA, mm3
36 000
19 440
55 440
Problema 5.147 Solución
y
20 + 10
Entonces X A =
xA
X (1740) = 28 200
o X = 16.21 mm
C1
C2
y
24 + 12
30
10
x
Dimensiones en mm
A, mm2
1 20 x 60 =1200
2 (1/2) x 30 x 36 =540
1740
x, mm
10
30
Y A = yA
Y (1740) = 55 440
o Y = 31.9 mm
y, mm
30
36
xA, mm3
12 000
16 200
28 200
yA, mm3
36 000
19 440
55 440
Problema 5.158
A
d
1.8 ft
30o
B
La compuerta cuadrada AB está
sostenida en la posición que se
muestra por bisagras a lo largo de
su borde superior A y por un
pasador empotrado en B. Para una
profundidad del agua d = 3.5 ft,
determine la fuerza ejercida sobre la
compuerta por el pasador.
Problema 5.158
Resolución de los problemas por sí mismo
A
d
1.8 ft
30o
B
La compuerta cuadrada AB está
sostenida en la posición que se
muestra por bisagras a lo largo de
su borde superior A y por un
pasador empotrado en B. Para una
profundidad del agua d = 3.5 ft,
determine la fuerza ejercida sobre
la compuerta por el pasador.
Suponiendo que el cuerpo sumergido tiene un ancho b, la carga
por unidad de longitud es w = b gh, en donde h es la distancia
por debajo de la superficie del fluido.
1. Primero, determine la distribución de presión que actúa
perpendicular a la superficie del cuerpo sumergido. La
distribución de presión será triangular o trapezoidal.
Problema 5.158
Resolución de los problemas por sí mismo
A
d
1.8 ft
30o
B
La compuerta cuadrada AB está
sostenida en la posición que se
muestra por bisagras a lo largo de
su borde superior A y por un
pasador empotrado en B. Para una
profundidad del agua d = 3.5 ft,
determine la fuerza ejercida sobre
la compuerta por el pasador.
2. Reemplace la distribución de presión con una fuerza
resultante y construya el diagrama de cuerpo libre.
3. Escriba las ecuaciones de equilibrio estático para el problema
y resuélvalas.
Problema 5.158 Solución
1.7 ft
PA
A
(1.8 ft) cos 30o
B
PB
Determine la distribución de presión
que actúa perpendicular a la
superficie del cuerpo sumergido.
PA = 1.7 g
PB = (1.7 + 1.8 cos 30o) g
Problema 5.158 Solución
Ay
A
1.7 g
Ax
(1.8 ft) cos 30o
LAB/3
P1
LAB/3
LAB/3
P2
FB
B
(1.7 + 1.8 cos 30o) g
Reemplace la distribución
de presíón con una fuerza
resultante y construya el
diagrama de cuerpo libre.
La fuerza del agua
sobre la compuerta es
1
1
P = 2 Ap = 2 A( gh)
1
P1 = 2 (1.8 ft)2(62.4 lb/ft3)(1.7 ft) = 171.85 lb
1
P2 = 2 (1.8 ft)2(62.4 lb/ft3)(1.7 + 1.8 cos 30o)ft = 329.43 lb
Problema 5.158 Solución
Ay
A
Ax
1.7 g
(1.8 ft) cos 30o
LAB/3
P1
LAB/3
LAB/3
FB
P2
B
(1.7 + 1.8 cos
30o)
P1 = 171.85 lb
1
3
Escriba las ecuaciones de
equilibrio estático para el
problema y resuélvalas.
g
MA = 0:
+
( 13
2
3
LAB)P1 + ( LAB)P2
- LABFB = 0
P2 = 329.43 lb
(171.85 lb) +
2
3
(329.43 lb) - FB = 0
FB = 276.90 lb
FB = 277 lb
30o
Problema 9.187
y
Resolución de lo problemas por sí mismo
a
a
a
x
C
a
Determine los momentos de
inercia del área sombreada
que se muestra, con respecto
a los ejes x y y, cuando a =
20 mm.
1. Calcule los momentos de inercia de un área compuesta con
respecto a un eje dado.
1a. Divida el área en secciones. Las secciones deben de tener
una forma para la cual puedan determinarse con facilidad el
centroide y los momentos de inercia (por ejemplo, de la figura
9.12 del libro).
Problema 9.187
y
Resolución de los problemas por sí mismo
a
a
a
x
C
a
Determine los momentos de
inercia del área sombreada
que se muestra, con respecto
a los ejes x y y, cuando a =
20 mm.
1b. Calcule el momento de inercia de cada sección. El momento
de inercia de una sección con respecto al eje dado se determina
aplicando el teorema del eje paralelo:
I = I + A d2
En donde I es el momento de inercia de la sección alrededor de su
propio eje centroidal, I es el momento de inercia de la sección
alrededor del eje dado, d es la distancia entre los dos ejes y A es
el área de la sección.
Problema 9.187
y
Resolución de los problemas por sí mismo
a
a
a
x
C
a
Determine los momentos de
inercia del área sombreada
que se muestra, con respecto
a los ejes x y y, cuando a =
20 mm.
1c. Calcule el momento de inercia de toda el área. El momento
de inercia de toda el área se determina sumando los
momentos de inercia de todas las secciones.
Problema 9.187 Solución
y
a
a
a
Divida el área en secciones.
x
C
a
4a
3
y
C’
2
B
B
x
1
C
4a
3
x’
x’’
C’’
3
y
a
C’
x
C
a
2
B
B
a
a
y
4a
3
C
4a
3
C’’
x’
x
1
Problema 9.187
Solución
Calcule el
momento de
inercia de cada
sección.
x’’
3
Momento de inercia con respecto al eje x
1
(IBB)2 = 8 a4
Para la sección 2:
(IBB)2 = ( Ix’)2 + A d2
1
( Ix’)2 = (IBB)2 _ A d2 = 8 a4 _
1
(Ix)2 = ( Ix’)2 + A d2 = 8 a4 _
5
4
(Ix)2 = 8 a4 + 3 a4
8
4a
1
a2 ( 3 )2 = 8 a4 _ 9 a4
8 4
4a 2
1
2
9 a + 2 a (a+ 3 )
1
2
y
4a
3
a
a
x
a
C’
2
B
B
a
C
y
x
1
C
4a
3
x’
Problema 9.187
Solución
x’’
C’’
3
Para la sección 1: (Ix)1 =
1
4 4
(2a) (2a)3 =
a
12
3
4 4 Calcule el mo5
4
Para la sección 3: (Ix)3 = (Ix)2 =
a + 3a
8
mento de inercia de toda el área.
Momento de inercia de toda el área:
4 4 5
4 4 5
4 4
4
4
Ix = (Ix)1 + (Ix)2 + (Ix)3 =
a + 8 a +3 a + 8 a + 3 a
3
(Para a = 20 mm)
5
Ix = 4 a4 +
a4 = 1.268 x 106 mm4 I = 1.268 x 106 mm4
4
x
y
a
B
x
C
2
C’
B
a
a
y
4a
3
a
4a
3
x’
C
x
1
C’
x’’
Problema 9.187
Solución
3
Momento de inercia con respecto al eje y
1
4 4
(2a) (2a)3 =
a
12
3
1
1 a4
(I
)
=
(I
)
=
Para la sec. 2: y 2
Para la sec. 3: y 3 8
8
Para la sección 1: (Iy)1 =
a4
Momento de inercia de toda el área:
Iy = (Iy)1 + (Iy)2 + (Iy)3 =
4 4 1
a +8
3
1
a4 + 8
Iy = 339 x 103 mm4
(Para a = 20 mm)
a4 =
4 4 1
a + 4
3
a4
Ejemplo: En un balancín de 4 m de largo se columpian dos
niños de 20 y 30 kg en sus extremos ¿En dónde se tendría
que colocar un adulto de 70 kg para lograr el equilibrio?
120 kp
2m
20 kp
d
2m
30 kp
70 kp
M=0
20 kp · 2 m + 70 kp · d – 30 kp · 2m = 0
30 kp · 2m – 20 kp · 2 m
d = ——————————— = 0,286 m
70 kp