Cap´ıtulo 1 Gas de electrones libres: Modelo de

Capı́tulo 1
Gas de electrones libres: Modelo de
Sommerfeld
1.1.
Introducción
El modelo de Drude de la conductividad eléctrica fué propuesto en 1900 por Paul Drude
para explicar las propiedades de transporte de los electrones en materiales (metales). El modelo, que es una aplicación de la teorı́a cinética supone que el comportamiento microscópico
de los electrones en un sólido puede tratarse clásicamente (similarmente a una máquina de
pinball), con un mar de electrones en constante movimiento golpeando constantemente los
iones positivos más pesados. Este modelo dió algunos resultados que concordaron bastante
con los experimentos, por lo que Hendrik A. Lorentz usó todo el aparato de la teorı́a cinética para investigar el problema más cuidadosamente. Sus resultados no mejoraron el modelo
de Drude, sin embargo, usó la distribución de Boltzmann y la ecuación de Boltzmann para
obtener sus resultados.
Debido a que modelo Drude-Lorentz no decı́a nada sobre la distribución de energı́a en los
metales y tampoco tomaba en cuenta el principio de exclusión de Pauli, Arnold Sommerfeld1
(1868-1951) para eliminar estas deficiencias, desarrolló un modelo para los electrones en los
metales que consideró la estadı́sitica de Fermi-Dirac [1].
1.2.
Modelo de Sommerfeld
Consideremos el problema de electrones libres en una caja, si las partı́culas no interactúan,
hay que calcular la gran función de partición de acuerdo a la expresión,
ln Z = N (ln ζ − ln N + 1)
(1.1)
donde ζ es la función de partición de un sólo electrón.
1
Seis estudiantes de Sommerfeld: Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Peter Debye, Hans Bethe, Linus
Pauling and Isidor I. Rabi, ganaron un premio nobel en fı́sica. Sommerfeld fué nominado 81 veces pero nunca
ganó
1
2
CAPÍTULO 1. GAS DE ELECTRONES LIBRES: MODELO DE SOMMERFELD
Podemos suponer además que el gas de electrones está contenido en una caja de lados
Lx, Ly , Lz y que el potencial dentro de la caja es constante. La ecuación de Schrödinger es,
−
~2 2
∇ Ψ(r) = EΨ(r)
2m
(1.2)
y su solución es,
1
Ψk (r) = V − 2 eik·r
(1.3)
donde los eigenvalores de la energı́a,
Ek =
~2 k 2
.
2m
(1.4)
Para evitar dificultades en las fronteras, podemos suponer condiciones perı́odicas de tal
forma que en x = 0 y x = L, la función de onda valga lo mismo, Ψ(x + L) = Ψ(x). Esto nos
lleva a que hay un número entero de longitudes de onda en el interior de la caja, es decir, los
valores permitidos de ki con i = x, y, z satisfacen,
ki =
2πni
Li
(1.5)
donde ni = 0, ±1, ±2, · · · . Por lo tanto la energı́a es,
~2 2
Ek =
2π
2m
1.2.1.
n2y
n2x
n2z
+
+
L2x L2y L2z
(1.6)
Derivación de la densidad de estados
La densidad de estados da el número de electrones permitidos por volumen a una energı́a
dada. Estos estados permitidos se pueden graficar como una rejilla de puntos en el espacio
k, una visualización en tres dimensiones de las direcciones de los vectores de onda de los
electrones. Los estados permitidos están separados por π/Lx,y,z en las tres direcciones del
espacio k. El volumen del espacio k que toma cada estado permitido es π 3 /Lx Ly Lz . Su
recı́proco es la densidad de estados en el espacio k, el número de estados por volumen, V /π 3 .
El número de estados disponibles para una magnitud dada del vector de onda |k| se
encuentra construyendo un cascarón esférico de radio k y grosor dk. El volúmen de este
cascarón esférico en el espacio k es 4πk 2 dk. Por lo tanto, el número de estados k dentro del
cascarón esférico, ρ(k) dk es (aproximadamente) el volumen del espacio k multiplicado por
la densidad espacial de estados,
ρ(k) dk = 4πk
2
V
π3
dk
Por lo tanto, el número de estados en un intervalo de energı́a,
ρ(E) dE = ρ(k) dk
(1.7)
1.2. MODELO DE SOMMERFELD
ρ(E) = ρ(k)
dk
dE
⇒
3
ρ(E) dE = ρ(k)
tomando en cuenta la ecuación 1.4, obtenemos k =
dk
V
dE = 2 2 mk dE
dE
2π ~
√
2mE/~2 , por lo que,
√
V
2mE
ρ(E) dE = 2 2 m
dE
2π ~
~2
Es decir,
ρ(E) dE =
V m3/2 √
2E dE = cteE 1/2
2π 2 ~3
(1.8)
Si efectuamos el mismo procedimiento en una y dos dimensiones obtenemos ρ(E)dE =
cteE −1/2 y ρ(E)dE = cte respectivamente.
La función de partición de un sólo electrón es,
ζ=
~2
X
2
2
2
e−β 2m (kx +ky +kz ) =
z X
Y
~2
2
e−β 2m ki .
(1.9)
i=x ki
kx ,ky ,kz
Podemos convertir la sumatoria sobre ki en una integral si la longitud de la caja es mucho
más grande que las longitudes de onda de los electrones, entonces,
X
ki
2
~
−β 2m
ki2
e
Li
≈
2π
Z
Li
=
2π~
∞
2
~
−β 2m
ki2
e
−∞
2πm
β
Li
dki =
2π
2πm
β~2
1/2
1/2
(1.10)
Considerando que el espacio es tridimensional, obtenemos para la función de partición de
una sóla partı́cula,
ζ
i=x,y,z
V
= 3
h
2πm
β
3/2
(1.11)
donde hemos sustituido ~ = h/2π. Sustituyendo en la ecuación
Finalmente la gran función de partición, ecuación 1.1,
ln Z = N
V
3
3
ln + ln β +
N
2
2
2πm
h2
+1 .
(1.12)
4
CAPÍTULO 1. GAS DE ELECTRONES LIBRES: MODELO DE SOMMERFELD
Referencias
[1] A. Sommerfeld
Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik
Zeits. fur Physik 47, 1 (1928)
[2] Donald A. McQuarrie
Statistical Mechanics
Ed. University Science Books
5