Uniones en semiconductores

Física del estado sólido
Uniones en semiconductores
El diodo de unión p-n
Este dispositivo se forma cuando un semiconductor tipo n se une con un semiconductor tipo p y se produce
una sola unidad básica pn (figura 1). Su papel importante es pasar corriente en una dirección pero no en la
otra.
p
n
Ec
Ec
EF
EF
Ev
+
p
Ev
–
n
–
+
Figura 1. Diodo.
Cuando esta unión se forma en equilibrio térmico se tiene que el flujo de huecos y de electrones es idénticamente cero. Para esta situación se utilizan las ecuaciones (j) del tema de fenómenos de transporte en
difusión y corriente de difusión:
J n = J n,der + J n,dif = enn nf + eDn 4 n = 0,
J p = J p,der + J p,dif = en p pf - eD p 4 p = 0.
Para efectos de cálculo se toman componentes a lo largo del eje x. Reemplazando en la ecuación inferior la
ecuación (k) en la relación de Einstein del tema de fenómenos de transporte, se tiene la ecuación (a):
en p pf - eD p
dp
dp
en pf k Tn
0. dx = p - B p dx =
(a)
De la ecuación (c) en la relación de Einstein del tema de fenómenos de transporte, Ec(x) = Ec(0) + eεx; por
lo tanto, se puede obtener la ecuación (b):
dE (x)
f = 1 c . e dx
(b)
dE (x)
Puesto que el gradiente de Ec, Ev y EFi es lo mismo, entonces la ecuación (b) es también f = 1 Fi , y
e
dx
junto con ecuación (o) p = ni e(E - E )/k T del tema concentración de portadores extrínsecos, al reemplazar en
la ecuación (a) se obtiene la ecuación (c):
Fi
en p pf - kB Tn p
F
B
dp
n p b dEFi dEFi dEF l n p dEF 0. dx = p dx - dx + dx = p dx =
(c)
De esta ecuación se concluye que EF, el nivel de Fermi, permanece constante cuando hay movimiento de
la región n a la región p, como se muestra en la figura 2. Resultado idéntico se obtiene usando expresiones
para la densidad electrónica. Como conclusión, el nivel de Fermi permanece constante a través del semiconductor (línea punteada en la figura 2).
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Física del estado sólido
Evac
Evac
Región de
agotamiento
Ecp
EFip
Ecn
EF
EF
Evp
EFin
p
xp0
Evn
n
0
xn0
Figura 2. Esquema del perfil de banda y de unión.
Cuando se forma el diodo, las bandas de energía Ec, Ev y EFi se doblan, como en la figura 2. Para este caso
se muestran tres regiones, a saber:
a. La región de tipo p en el extremo izquierdo, donde el material permanece neutro y las bandas son
planas. La densidad de los aceptores balancea exactamente la densidad de los huecos. Como notación para esta región, Ec = Ecp, EFi = EFip y Ev = Evp.
b. La región de tipo n en el extremo derecho, donde el material permanece neutro y la densidad de los
portadores donadores inmóviles balancea exactamente la densidad de los electrones libres. Como
notación para esta región, Ec = Ecn, EFi = EFin y Ev = Evn.
c. La región de agotamiento, donde las bandas están curvadas. Los electrones donadores móviles del
lado n se difunden al lado p llenando los huecos allí existentes, dejando tras de sí iones positivos.
Debido a que los dos lados de la región de agotamiento llevan cada uno una carga neta, existe un campo
eléctrico interno como en la figura 3. Este campo produce una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga
móviles restantes que los saca de esta región. Como nota, esta región se llama de agotamiento porque allí
no existen portadores de carga móviles.
ε
p
n
Ec
EF
Ev
Región de
agotamiento
Deriva
Difusión
E
EFc
Difusión
Deriva
Ev
Figura 3. Campo eléctrico en la región de agotamiento.
De la ecuación (a) se calcula el potencial de contacto Vbi, de donde se tiene la ecuación diferencial
dp
ep dV = kB T . La ecuación integral entre x = –xp0, donde la densidad de huecos es p0p y el potencial es
dx
dx
Vp, y en x = xn0, donde la densidad de huecos es p0n y el potencial es Vn, como en la figura 4; la integral es,
por lo tanto, la ecuación (e):
dp
dV
- ep dx = kB T dx ,
dp
,
p
p
p
(Vn - Vp) = Vbi = kB T ln on .
e
pop
V
k T
- # dV = Be
V
n
p
#
pon
(e)
op
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Física del estado sólido
Vp
Vn
Vbi
Perfil de potencial
Ecp
Ecn
EF
EF
Evp
Perfil de banda
Evn
Región de
agotamiento
Figura 4. Diagrama de la banda de energía.
Si se hubiesen utilizado electrones en lugar de huecos, la ecuación (e) estaría dada por la ecuación (f):
Vbi = kB T ln non . e
nop
(f)
Como en la región lejos de la juntura la neutralidad de la carga se mantiene, entonces la densidad de carga
total en esa región espacial está dada por ND – NA + p – n = 0. Puesto que NA en p y ND en n son mucho más
grandes que ni, entonces p0p , NA y n0n , ND; y de la ley de acción de masas, donde n0n p0n = ND p0n = ni2, la
ecuación (e) o la ecuación (f) se convierten en la ecuación (g):
D
Vbi = kB T ln NA N
. e
ni2
(g)
La aparición de una diferencia de potencial cuando dos materiales están en contacto hace pensar que éste es
un voltaje fuente, pero no es así porque acá no existe una fuente de energía. No hay la posibilidad mediante
un voltímetro de medir la diferencia de potencial en esa región.
La región de agotamiento se puede dividir en dos regiones: la primera, comprendida entre x = ‒xp0 y x = 0,
donde la densidad de carga es –eNA; y la segunda, comprendida entre x = 0 y x = xn0, donde la densidad de
carga es eND (figura 5). En esa región la carga total negativa y la carga total positiva tienen la misma magnitud, de modo que la igualdad está dada por la ecuación (h):
eAx p0 NA = eAxn0 ND . (h)
ρ
xp0 NA= xn0 ND
–xp0
xn0
x
W
Región de
agotamiento
Figura 5. Densidad de carga.
Resolviendo la ecuación de Poisson se obtienen las expresiones de campo en la aproximación de agotamiento; las ecuaciones son las dadas por (i):
d2 V (x)
=0
dx2
- 3 < x < - x p0, (i1)
d2 V (x) eNA
= f
a
dx2
- x p0 < x < 0, (i2)
d2 V (x) eND
= f
a
dx2
0 < x < xn0, (i3)
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Física del estado sólido
d2 V (x)
=0
dx2
xn0 < x < 3, (i4)
con εa la permitividad eléctrica de la región de agotamiento.
La ecuación (i1) tiene una solución simple dada por la ecuación (i1a):
dV (x)
= - f = C1
dx2
- 3 < x < - x p0, (i1a)
donde C1 es una constante que es cero porque no existe campo eléctrico en esa región. Por lo tanto, el potencial está dado por (i1b):
V (x) = VP
- 3 < x < x p0, (i1b)
que corresponde al potencial de la región neutra p.
La solución de la región de agotamiento p dada por (i2) es la ecuación (i2a):
f =-
dV (x)
eNA x C
dx = - fa + 2
- x p0 < x < 0. (i2a)
En x = - x p0, f = 0, entonces C2 = eNA x p0, por lo que el campo eléctrico en esa región está dado por la
fa
ecuación (i2b):
f = - eNA x fa
eNA x p0
eNA (x x )
+ p0
fa = - fa
- x p0 < x < 0. (i2b)
eNA x p0
, como se muestra en la figura 6. El potencial
fa
dV (x)
en esa región se encuentra integrando la ecuación (i2b), y del hecho de que f = , se obtiene la
dx
ecuación (i2c):
En x = 0 el campo eléctrico alcanza un valor pico de -
2
eN x x
V (x) = eNA x + A p0 + C3
fa
2fa
- x p0 < x < 0. (i2c)
eN x 2
Como el potencial en x = - x p0 es V (- x p0) = Vp, entonces C3 = A p0 + Vp, por lo cual (i2c) se convierte
2fa
en la ecuación (i2d):
2
2
eN x x eN x
V (x) = eNA x + A p0 - A p0 + Vp
fa
2fa
2fa
- x p0 < x < 0. (i2d).
ε
–xp0
w
xn0
x
Area = Vbi
−εm
Figura 6. Campo eléctrico en la región de agotamiento.
Para los cálculos del lado n de la región de agotamiento y de la región neutra se siguen los mismos pasos
que se hicieron para la región p; por consiguiente, de la ecuación (i3) se obtienen las ecuaciones (i3a) e
(i3b):
f = eND x - eND xn0 = eND (x - xn0)
fa
fa
fa
0 < x < xn0 . En x = 0, el campo eléctrico alcanza un valor pico de -
(i3a)
eNA x p0
, como se muestra también en la figura 6.
fa
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Física del estado sólido
2
2
V (x) = - eND x + eND xn0 x - eND x n0 + Vn
fa
2fa
2fa
0 < x < xn0 . (i3b)
xn0 < x < 3. (i4a)
De la ecuación (i4) se obtiene la ecuación (i4a):
f = 0 y V (x) = Vn
De la ecuación (i2d) se halla la diferencia de potencial entre la posición x = 0 y x = - x p0, dada por la
ecuación (j1):
V (0) - V (- x p0) = Vp -
eNA x 2p0 eNA x 2p0 eNA x 2p0 eNA x 2p0
eN x 2
Vp = A p0 +
+
fa
2fa
2fa
2fa
2fa
(j1)
De la ecuación (i3b) se halla la diferencia de potencial entre la posición x = xn0 y x = 0, , dada por la ecuación (j2):
2
2
2
2
2
V (xn0) - V (0) = - eND x n0 + eND x n0 - eND x n0 + Vn + eND x n0 - Vn = eND x n0 . fa
2fa
2fa
2fa
2fa
(j2)
De la suma de las ecuaciones (j2) y (j1) se obtiene el potencial de contacto Vbi dado por la ecuación (k):
6V (xn0) - V (0)@ + 6V (0) - V (- x p0)@ = V (xn0) - V (- x p0) = 2Af p0 + eN2Dfx n0 ,
a
a
eN x 2
Vbi =
2
eNA x 2p0 eND x n20
,
efa + 2fa
(k)
ecuación que está en términos de los portadores mayoritarios y ancho de cada región de la zona de agotamiento.
En x = 0 el campo eléctrico es máximo y está dado en valor absoluto por la ecuación (l):
fm =
eNA x p0 eND xn0
, fa = fa
(l)
por lo que el potencial dado por la ecuación (k) es la ecuación (m):
eN x
Vbi = 1 b A p0 x p0 + eND xn0 xn0l = 1 fm (x p0 + xn0) = 1 fm W, fa
2 fa
2
2
(m)
con W = xn0 + xp0 el ancho total de la región de agotamiento. Por lo tanto, el área de la figura 6 corresponde
a Vbi.
Utilizando la ecuación (h) y reemplazándola en la ecuación (k) se obtienen los anchos de las regiones p
y n de agotamiento dados por las ecuaciones (n):
1/2
ND
x p0 = & 2fa Vbi :
,
0
D
e
NA (NA + ND)
1/2
NA
xn0 = & 2fa Vbi :
.
0
D
e
ND (ND + NA)
(n)
El ancho total de la región de agotamiento está dado por la ecuación (o):
W (Vbi) = xn0 + x p0 = : 2fa Vbi b NA + ND lD . e
N A ND
1/2
(o)
El agotamiento en los lados p y n puede ser bastante diferente. Si NA >> ND, el ancho xp0 es diferente al ancho
y mucho menor que el ancho xn0. De esta forma habrá un campo muy fuerte sobre una región muy estrecha
en el lado fuertemente adulterado de la unión. En una unión abrupta de tal tipo (p + n o n + p) la región de
agotamiento existe principalmente en el lado ligeramente adulterado.
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