Introducción

OPTIMIZACIÓN
María Jesús de la Fuente Aparicio
Alberto Herrreros López
Optimización
• Problemas de optimización:
– Como tomar la mejor opción entre varias posibles
– Problemas de naturaleza muy diversa
• Diseño (p.e. dimensionamiento de un equipo con costo mínimo)
• Operación (p.e. punto de operación mas rentable)
• Logística (p.e. ruta mas corta de distribución de un producto)
• Planificación (p.e. mejor lugar para construir una planta)
• Control (p.e. acción de control que genera menos varianza en la variable controlada)
• Etc.
Optimización
• Se presentan en campos muy diversos
– Procesos
– Economía
– Biología
– Electrónica,….
• Pero todos tienen rasgos comunes:
– Un objetivo u criterio a optimizar
– Unas variables de decisión
– Un conjunto de ligaduras y restricciones sobre las variables de decisión
Optimización
• ¿Cómo tomar decisiones óptimas?
¿Por experiencia?
¿Experimentando todas las opciones?
Analizando el problema y formulándolo como un problema matemático Optimización
• Metodología de trabajo.
1 Analizar el problema
2 Formularlo en términos matemáticos
min J ( x , y)
x
h ( x , y) = 0
g ( x , y) ≤ 0
4 Interpretar y aplicar la solución
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
Optimización
• Análisis / formulación (Modelado)
1 Analizar el 2 Formularlo en problema
términos matemáticos
min J ( x , y)
x
h ( x , y) = 0
g ( x , y) ≤ 0
1. Conocer el proceso, listar todas las variables de interés
2. Determinar el criterio de optimización y especificar el criterio de optimización en términos de las variables del problema
3. Especificar las relaciones entre las variables impuestas por balances de masa y energía, leyes físicas, etc.
4. Determinar el rango admisible de las variables
5. Identificar los grados de libertad respecto a los cuales optimizar
Optimización
• Resolución y aplicación (Optimización)
6. Formular el problema en términos de uno de los tipos de optimización conocidos
min J ( x , y)
x
h ( x , y) = 0
7. Estudiar la formulación y simplificarla / adecuarla
g ( x , y) ≤ 0
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
4 Interpretar y aplicar la solución
8. Aplicar un algoritmo adecuado usando un software de optimización
9. Analizar la solución, estudiar la sensibilidad de la solución a cambios en las hipótesis y los parámetros del problema EJEMPLOS
Diseño
Encontrar las dimensiones de un tanque cilíndrico abierto de modo que tenga un volumen de 6 m3 y área mínima
Variables:
h1
V volumen
A area
Grados de libertad: número de variables – numero de ecuaciones independientes: 2‐
1=1
h
Función a minimizar:
A = πdh+¼πd^2
d diámetro
h altura
d
Relaciones entre variables:
V = ¼ πd^2h = 6
Límites:
d ≥ 0 , h ≥ 0 Datos : V
Formulación:
1 2
min πdh + πd
d ,h
4
sujeto a :
πd 2 h = 4 V
d ≥ 0, h ≥ 0
Ejemplo de Planificación (I)
Gasolina intermedia
1
Venta directa
Ventas por contrato
NORMAL
Ventas en el mercado
2
Venta directa
3
Venta directa
4
Ventas por contrato
SUPER
Venta directa
5
Venta directa
Ventas en el mercado
Ejemplo de Planificación (II)
• Función de coste: beneficio neto en el tiempo planificado.
• Variables independientes:
– Para cada gasolina intermedia i:
• xi = cantidad usada para producir fuel normal
• yi = cantidad usada para producir fuel super
• zi = cantidad usada para vender en el mercado
– Para cada producto j:
• uj = cantidad vendida por contrato
• vj = cantidad vendida en el mercado
• Modelo: balances de materia para asegurar cantidad y calidad de los productos finales:
– Balance de cada gasolina intermedia: xi + yi + zi ≤ αi Ejemplo de Planificación (III)
– Balance de materia para cada producto
∑ x i = u1 + v1
i
∑ yi = u2 + v 2
i
– Restricciones para la calidad del producto
∑ β i x i ≥ γ 1(u1 + v1 ) ∑i β i y i ≥ γ 2 (u 2 + v 2 )
i
– Restricciones para la cantidad de producto
uj ≥δ j
Función de coste: beneficio neto .
∑ c (j1)u j + ∑ c (j2)v j + ∑ c i(3) zi − ∑ c i( 4) (x i + y i + zi ) − ∑ c i(5) ( x i + y i )
Ejemplo de Planificación (IV)
Gasolinas Intermedias
Disponiblidad
αi
Calidad
βi
Precio
Ci(3)
Coste
Ci(4)
Mezcla
Ci(5)
1
2 x 105
70
30
24
1
2
4 x 105
80
35
27
1
3
4 x 105
85
36
28.5
1
4
5 x 105
90
42
34.5
1
5
5 x 105
99
60
40
1.5
Producto
Contrato
δi
Calidad
γi
Precio Contr.
Cj(1)
1
5 x 105
85
40
46
2
4 x 105
95
55
60
Precio Merc.
Cj(2)
Ejemplo de Planificación (V)
max
f = 40u1 + 55u 2 + 46v1 + 60v2 + 6 z1 + 8 z 2 + 7.5 z3 + 7.5 z 4 + 20 z5 −
25( x1 + y1 ) − 28( x2 + y2 ) − 29.5( x3 + y3 ) − 35.5( x4 + y4 ) − 41.5( x5 + y5 )
s.a.
x1 + y1 + z1 ≤ 2.105
x2 + y2 + z 2 ≤ 4.105
x3 + y3 + z3 ≤ 4.105
x4 + y4 + z 4 ≤ 5.105
x15 + y5 + z5 ≤ 5.105
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = u1 + v1
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = u 2 + v2
70 x1 + 80 x2 + 85 x3 + 90 x4 + 99 x5 ≥ 85(u1 + v1 )
70 y1 + 80 y2 + 85 y3 + 90 y4 + 99 y5 ≥ 95(u 2 + v2 )
u1 ≥ 5.105
u 2 ≥ 4.105
x1 ,..., x5 , y1 ,..., y5 , z1 ,..., z5 , u1 , u 2 , v1 , v2 ≥ 0
CONSIDERACIONES
FINALES
Optimización
• Estructura de un problema de optimización genérico:
min
s.a.
f (x )
hk ( x ) = 0 k = 1,K, K
g j (x ) ≥ 0
xiL ≤ xi ≤ xiU
j = 1,K, J
i = 1,K, N
Optimización
• Tipos de problemas de optimización:
Si K=J=0 Optimización sin restricciones
Si K=J=0; i=1 Optimización escalar
K=J=0; i>1
K≠ 0 y J ≠ 0 Optimización vectorial
Problema de programación no lineal (NLP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f, g y h son lineales (f (x) =ax+b; g(x)=cx+d; h(x)=ex+f)
Problema de programación lineal (LP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f es cuadrática y g y h son lineales Problema de programación cuadrática (QP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y x son enteras y reales programación mixta‐entera Problema de Optimización
• Formas de resolver los problemas de optimización:
– Métodos de resolución teóricos
– Métodos de resolución estocásticos:
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Método de Monte Carlo
Algoritmos genéticos
Tabu Search
Simulated Annealing
Etc.