[ ][ nxnz = n n nx π π = 4 sin ][ ][ ][ nxnz = − = 6 4 cos2][ π π n nx

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones - E³T
“Perfecta combinación entre energía e intelecto”
TRATAMIENTO DE SEÑALES
Actividades de Clase: Mayo 16-18 de 2006
TEMA:
Sección 7.5
FECHA:
Mayo 23 de 2006
DIEZMADO E INTERPOLACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS
SABER
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
HACER
Definir la operación de interpolación con 1.
ceros.
Especificar las características de la operación
de interpolación con ceros
Identificar la relación entre el espectro de la 2.
señal y el espectro de la señal luego de la
interpolación con ceros.
Definir la operación de diezmado.
3.
Presentar las características de la operación
el diezmado.
Reconocer el modelo de la operación de
diezmado.
Establecer la relación entre el espectro de la
señal y el espectro de la señal diezmada
exponiendo el modelo de la operación de
diezmado.
Establecer la relación entre el espectro de una
señal y el espectro de esta señal luego de la
interpolación con ceros.
Precisar
cómo
las
operaciones
de
interpolación, diezmado y filtrado pueden
resultar
equivalentes a un cambio en la
frecuencia de muestreo.
Calcular el espectro 1.
de una señal luego de
ser interpolada. con
ceros.
Calcular el espectro
de una señal luego de 2.
ser diezmada.
Diseñar
sistemas
para el cambio de
la frecuencia de
muestreo utilizando
las operaciones de
interpolación,
3.
diezmado y filtrado.
SER
Cuestionar los
resultados del
trabajo
individual
y
grupal.
Identificar
y
formular
soluciones
a
posibles
problemas
relacionados
con la temática.
Identificar
y
formular
soluciones
a
posibles
problemas
relacionados
con
los
conflictos que
presenten en el
trabajo
en
grupo.
1. Considere la propiedad de Escalamiento en el tiempo de la Transformada de Fourier de señales discretas.
Aproveche esta propiedad para graficar el espectro de las siguientes señales.
π n 
sin 

4 

. ¿Cómo es la gráfica de z[n]?
a) z[n] = x( 3) [n] , si x[n] =
πn
π n π 
−  . ¿Cómo es la gráfica de z[n]?
6
 4
b) z[n] = x( 2 ) [n] , x[n] = 2 cos
c) y[n] = z[3n] , si z[n] es como en el literal a. ¿Cómo es la gráfica de y[n]?
d) y[n] = z[2n] , si z[n] es como en el literal b. ¿Cómo es la gráfica de y[n]?
Realice conclusiones con respecto a cómo cambia el espectro de una señal cuando se insertan ceros y
cuando se le eliminan muestras de valor cero.
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Tratamiento de señales- Actividades de clase: Mayo 16-18 de 2006
Hoja: 2 De: 2.
2. Considere el siguiente sistema de modulación
x[n]
y[n]
p[n]
(
Donde: p[n] = 0,5 1 + (− 1)
n
)
a) Grafique p[n] y determine los coeficientes de su serie de Fourier. ¿y[n] tendrá muestras de valor cero?
π n
sin 

3 

b) Si x[n] =
aproveche la propiedad de desplazamiento en frecuencia para calcular y graficar el
πn
espectro de y[n]. Tenga en cuenta que la serie de Fourier permite representar la señal p[n] como una suma
de señales exponenciales complejas. ¿Qué sucede si el ancho de banda de la señal x[n] es mayor que π/2 rad?
c) Para la señal x[n] dada en el literal anterior, grafique el espectro de la señal q[n] = y[2n] . ¿Se pude
afirmar que q[n] = x[2n] ? ¿Cómo cambia el espectro de q[n] si el ancho de banda de la señal x[n] es mayor
que π/2 rad?
Realice conclusiones con respecto al efecto que se tiene en el dominio de la frecuencia, cuando se eliminan
datos de la señal en el dominio del tiempo. ¿Es posible recuperar la secuencia de datos original luego de
eliminar datos?
  ω 
; | ω |≤ 30π rad / s
3 − 
.
3. Considere una señal continua cuyo espectro está dado por X ( jω ) =   10π 
0;
| ω |> 30π

a) Esta señal se muestrea con una frecuencia de muestreo de 120 Hz. Dibuje el espectro de la secuencia de
datos obtenida luego del muestreo.
b) Dibuje el espectro de la secuencia de datos que se obtendría si la señal continua se muestrea a razón de
60 Hz. ¿Qué relación existe con el espectro de la muestras obtenidas a razón de 120 Hz?
c) Determine si a partir de las muestras obtenidas en el literal a es posible obtener la muestras del literal b,
eliminando datos
d) ¿Es posible a partir del las muestras obtenidas en el literal b recuperar las muestras del literal a, insertando
ceros y luego filtrando con un FIPB?
Realice conclusiones con respecto a cómo es posible cambiar la frecuencia de muestreo eliminando datos,
insertando ceros y filtrando, sin necesidad de cambiar la frecuencia de muestreo del convertidor analógicodigital.
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Tratamiento de señales- Actividades de clase: Mayo 16-18 de 2006
Hoja: 3 De: 3.
TEMA:
Todos los temas
FECHA:
Mayo 24 de 2006
1. Una señal x[n] es procesada por un sistema lineal e invariante en el tiempo con función de transferencia
H(z) y después se diezma por un factor de 2 para producir la señal y[n], como se muestra en la siguiente
figura. En esta figura también se muestra el diagrama de polos y ceros de H(z).
x[n]
w[n]
H(z)
↓2
jIm{z}
y[n]=w[2n]
Polo de orden M en z=0.
M ≥2 y M es un entero.
1
- 0,5
ROC: |z|>0
0,5
Re{z}
1,5
K=1
a) Determine y dibuje la respuesta al impulso h[n] del sistema con función de transferencia H(z).
b) Determine la ecuación que relaciona a x[n] con y[n].
c) En la siguiente figura se muestra un sistema en el que la señal x[n] se comprime en primer lugar por
un factor de 2 y luego se procesa con el sistema LIT con función de transferencia G(z) para obtener
la señal r[n].
x[n]
↓2
G(z)
r[n]
Determine si G(z) se puede escoger de forma que y[n]=r[n] para cualquier entrada x[n]. Justifique su
respuesta. Si la respuesta depende del valor de M, explique claramente las restricciones para este valor.
Sugerencia: Tenga en cuenta que se pueden realizar análisis tanto en el dominio del tiempo como en el
dominio de la frecuencia.
2. En la Figura se muestra el sistema global para filtrar una señal continua utilizando un filtro discreto. Este
procesamiento permite implementar un filtro continuo con frecuencia de corte variable utilizando filtros con
frecuencias de corte fijas y una frecuencia de muestreo variable.
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Hoja: 4 De: 4.
xS(t)
x(t)
Conversor a
secuencia de
datos
x[n]
y[n]
jω
H(e )
Conversor a
secuencia de
impulsos
yr(t)
yS(t)
Hr(jω)
s(t)
s (t ) =
Donde:
∞
∑ δ (t − nT )
n= −∞
.
En la siguiente figura se muestra la respuesta en frecuencia del filtro de reconstrucción Hr(jω) y del filtro
discreto H(ejω).
H(ejω)
Hr(jω)
5(10-5)
−2π(104)
1
2π(104)
ω [rad/s]
−π
π/4
−π/4
π
ω [rad]
a) Si el espectro de la señal de entrada, x(t), es como se muestra en la siguiente figura y (1/T) = 20 kHz.
Grafique XS(jω) y X(ejω).
1
−2π(104)
X(jω)
2π(104)
ω [rad/s]
b) Determine la respuesta en frecuencia de toda la interconexión con la entrada x(t) del literal a y salida
yr(t).
c) ¿Para qué valores de T, la interconexión se comporta como un filtro ideal pasabajas si la señal x(t) es
pasabajas de banda limitada con frecuencia de corte de 10 kHz?
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Hoja: 5 De: 5.
TEMA:
Todos los temas
FECHA:
Mayo 25 de 2006
1. Considere la siguiente interconexión de sistemas:
z
-1
z
-1
-2cos(ω0)
x[n]
z
-1
z
y[n]
-1
-2cos(2ω0)
a) Determine la ecuación que relaciona la salida con la entrada y la respuesta al impulso de la
interconexión dada.
b) Si ω0=π/2 [rad], grafique la respuesta en frecuencia de la interconexión.
c) Cuando ω0=π/2 [rad], determine la respuesta de la interconexión para la señal de entrada:
 2π

π

x[n] = 3 cos
n + 30º  − 5sen n + 45º 
 3

2

n
n
1
1
2. Considere un sistema discreto cuya entrada x[n] =   u[n] y cuya salida es y[n] =   . Determine
4
2
cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
a)
b)
c)
El sistema deber ser LIT.
El sistema podría ser LIT.
El sistema no puede ser LIT.
Si la respuesta es que el sistema es o podría ser LIT, dé una posible respuesta al impulso. Si la respuesta es
que el sistema no puede ser LIT, explique claramente por qué no.
3. Una señal en tiempo continuo está contenida en la banda de frecuencia |ω| < 5π [rad/s]. Esta señal está
contaminada con una gran señal senoidal de frecuencia 120π [rad/s]. La señal contaminada se muestrea con
una tasa de muestreo de ωs =13π [rad/s].
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Hoja: 6 De: 6.
a) Después de muestrear, ¿a qué frecuencia aparece la señal senoidal de interferencia?
b) Considere ahora que antes de muestrear la señal contaminada se pasa a través de un sistema que
consiste en el circuito RC que se muestra en la siguiente figura. Encuentre el valor de la constante de
tiempo RC requerida para que la senoidal contaminante se atenúe por un factor de 1000 antes del
muestreo?
R
x(t)
C
y(t)
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