Probabilidad y Estadística Bartolomé Esteban Murillo (1617, 1682

Tema: Distribución geométrica
Probabilidad y Estadística
Dados
Bartolomé Esteban Murillo (1617, 1682)
Tema: Distribución geométrica
Probabilidad y Estadística
Los dados se cuentan entre los artilugios más antiguos
utilizados en juegos de apuestas. Heródoto afirma que
fueron inventados por los lidios en el tiempo del rey
Atys, pero Sófocles le rebate, y atribuye la idea a un
griego llamado Palamedes, quien, al parecer, los inventó
durante la guerra de Troya. Los arqueólogos han
descubierto dados cúbicos, idénticos a los actuales, en
tumbas egipcias del año 2000 a.C. Y también se han
encontrado dados en yacimientos chinos que se
remontan al 600 a. C.
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El “crapito”
El famoso juego llamada “craps”, jugado por tunantes,
estudiantes novilleros, desempleados, y ... también en
cualquier casino de juegos. Inventado por el año 1840.
Reglas del juego
Sobre la apuesta. Uno de los jugadores, el lanzador,
apuesta una cantidad de dinero. Los demás la
“atenúan”, es decir, apuestan un total, no mayor,
que ellos deciden. Si el total “atenuado” es menor
que la apuesta inicial del lanzador, éste ha de
reducir su apuesta e igualarla al total.
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El “crapito”
Reglas del juego .
El jugador lanza dos dados. Si en el primer “envite”
consigue un total de 7 o de 11 puntos (“un natural”),
gana directamente; si su tanteo es de 2, 3 o 12 puntos
(“craps”) pierde directamente. En los demás casos (4,
5, 6, 8, 9, 10) la primera puntuación del lanzador es su
“punto”. Continúa lanzando, tratando de lograr el
punto antes que salga un 7. Si lo consigue, gana todo el
dinero; si fracasa, lo pierde todo.
¿Cuál es la probabilidad de ganar?
El “crapito”
P
1- p - 1/6
x
G
G
P
p
x
S
1/6
x cuya suma sea
4, 5, 6, 8, 9, 10
p = P{ x }
x
Primera
jugada
El “crapito”
P
1- p - 1/6
x
G
4/36
8/36
?
G
P
p
x
S
1/6
24/36
x cuya suma sea
4, 5, 6, 8, 9, 10
Primera
jugada
El “crapito”
1- p - 1/6
x
G
P
p
x
S
1/6
Podemos reconocer en esta dinámica a la distribución
geométrica, donde el éxito es continuar lanzando (en S),
y el fracaso o detención es caer en G (ganar) o en P
(perder). Seguir lanzando ocurre con probabilidad
1- p - 1/6 y “detenerse” con probabilidad (p + 1/6)
x
x
El “crapito”
1- p - 1/6
x
G
P
p
x
S
1/6
Por lo tanto, la probabilidad de lanzar “n-1” veces los
dados antes de ganar o perder es
(1- px-
6
36
n-1
) ( px +
6 )
36
ganar en el lanzamiento “n”
perder en el lanzamiento “n”
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Puesto que estamos interesados en la probabilidad de ganar,
podemos considerar dos sucesos. Ganar en la primera parte
del juego (primer lanzamiento), que llamaremos GP; ganar
en la segunda parte del juego (sucesivos lanzamientos, en
busca del “punto”), que llamaremos GS.
La probabilidad de GP está bastante clara, ella es
P(GP) = 8/36
Lo que no está tan claro, es la probabilidad de GS, esto es
P(GS) = ?
Y lo que sí está claro es que la probabilidad de ganar es
P(GP) + P(GS)
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Cálculo de P(GS)
En esta segunda parte del juego, podemos ganar de varias
maneras, según el valor x del punto, esto es x = 4, 5, 6, 8, 9, 10
Definamos el suceso “condicional” {GS / x}, que significa ganar
el la segunda parte mediante la búsqueda del “punto” x
De modo que aplicando la ley de la probabilidad total, tenemos
P(PG) =
P{GS / x} P{x}
x
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Cálculo de P(GS)
La probabilidad P{x}, conforme el valor de x, es
P{4} = 3/36 = P{10}; P{5} = 4/36 = P{9}; P{6} = 5/36 = P{8}
Mientras que la probabilidad de P{GS / x} es modelada
por una geométrica.
En efecto, al jugar en la segunda parte, el jugador
deberá continuar lanzando, hasta “detenerse (ganar o
perder).
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Cálculo de P(GS)
De manera que la probabilidad de lanzar los dados n veces
antes de “detenerse” es
(1- px-
6
36
n-1
) ( px +
6 )
36
Por lo tanto la probabilidad de “detenerse” en algún
momento está dado por
oo
(1- pxn=1
6
36
n-1
) ( px +
6 )
36
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Cálculo de P(GS)
Y, por lo tanto, la probabilidad de “detenerse” ganando el
punto x es
oo
(1- px-
P{GS / x} = p
x
P{GS / x} =
n=1
p
x
p + 1
x
6
6
36
n-1
)
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Cálculo de P(GS)
Entonces
P(GS) =
P{GS / x} P{x}
x
p
x
=
x
p + 1
x 6
1 + 2
= 2 ( 36
45
= 134
495
px
25 )
+ 396
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Y como habíamos dicho que la probabilidad de ganar es
P(GP) + P(GS), entonces
P(GP) + P(GS) = 8/36 + 134/495 = 244/495
= 0.49292929 ...
... ¡un poco menos que el 50 % !