Soluciones y ampliación 15

Hoja 15: Ecuaciones diferenciales I: Concepto y resolución de ecuaciones
diferenciales de primer orden: Soluciones
1. Comprobar si las funciones que se dan son solución de la ecuación diferencial correspondiente:
(a)
(b)
(c)
(d)
Funciones
y1 (x) = x4
y2 (x) = x4 − 5x3
−4x
y1 (x) = 5e
y2 (x) = ex
−2x
y1 (x) = e
+ 3x
y2 (x) = e2x
y1 (x) = 2x
y2 (x) = 3 cos x − 2 sin x
Ecuación
3
y 0 − 3y
x =x
00
0
y + 5y − y = 0
y 00 + 2y 0 = 6
y 000 + y 0 = 0
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1
2
3
a
y 0 + e3x = e2x
y 0 + y sin x = sin x
2xex−y + y 0 = 0
b
cos x − y 2 + (sin y − 2xy)y 0 = 0
y 0 = x+y
x
x + y + (x log x)y 0 = 0
Indicaciones: En la ecuación 2.c se puede realizar el cambio en la variable dependiente u =
tiene como factor integrante una potencia de x.
y
x.
La ecuación 3.c
3. Resolver el siguiente problema de condiciones iniciales:
½
y 0 − y = 2xex
y(1) = 3e
4. Resolver el siguiente problema de contorno
½
y 00 = 6x − π2 sin πx
y(0) = 3, y(1) = 6
5. Comprobar si las funciones que se dan son solución de la ecuación diferencial correspondiente:
Funciones
Rx
2
2
y(x) = e2x (3+ e−2t dt)
1
2
y(x) =
Rx
0
x
sin(t2 )dt
0
3
y1 (x) = x
y2 (x) =
Ecuación
y 0 − 4xy = 1
y = xy 0 + y 2 sin(x2 )
√
x2 − 3x
1
2
2 (x
+ y 2 ) = xyy 0
6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1
2
a
y 0 + ex y 2 = 0
y 0 + 2xy = 1
b
2
5x + 4y + (4x − 8yey )y 0 = 0
y 0 = ex y 2 + (1 − 2e2x )y + e3x
c
y 00 = cosx
x2 + y 2 + x = −xyy 0
Indicaciones: En la ecuación 2.c la función x es un factor integrante de la ecuación. La ecuación 2.b tiene como
factor integrante una potencia de x.
7. El isótopo radioactivo del Torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en este
instante de tiempo. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 miligramos en una semana, ¿cuánto Torio
tendremos al cabo de dos semanas? ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la cantidad de Torio se reduzca
a la tercera parte?
8. Halla la ecuación de una curva y = f (x) del plano que pase por el punto (0, 4), y de modo que la pendiente en
cualquier punto x sea igual al triple del resultado de aumentar en una unidad la altura f (x).
Soluciones
Ejercicio 1
(a)
(b)
(c)
(d)
Ambas cumplen la ecuación.
Ninguna cumple la ecuación.
y1 sí pero y2 no.
y1 no pero y2 sí.
1
Ejercicio 2
1
2
3
a
2x
3x
y = e2 − e3 + K
y = Kecos x + 1
y = log |K − 2(x − 1)ex |
b
sin x − cos y − xy 2 = K
y = x(K + log x)
y = K−x
log x
Ejercicio 3
y = ex (2 + x2 )
Ejercicio 4
y = x3 + sin πx + 3x + 5
Ejercicio 5
(a) Sí.
(b) Sí.
(c) Ambas cumplen la ecuación.
Ejercicio 6
Ejercicio 7
1
a
y = 0, y =
2
y = e−x (K +
2
1
ex −K
R x2
e dx)
b
2
5x2 + 8xy − 8ey = K
y=
ex (e2x −2−K)
e2x −K
c
y = K1 + K2 x − cos x
y=±
√
3 −3x4 +K
−4x√
6x
Si denominamos y(t) a la cantidad (medida en miligramos) de Torio existente en cada instante de tiempo t (medido
en semanas), entonces se verifica la ecuación diferencial
y 0 (t) = Ky(t)
para alguna constante α, ecuación cuyas solución general es de la forma
y(t) = Cekt
De los datos proporcionados se deduce que 100 = y(0) = C y que 82.04 = y(1) = 100ek , luego que k = log 0.8204 =
−0.197963. Entonces
y(t) = 100e−0.197963t
Así pues al cabo de 2 semanas tendremos una cantidad de y(2) = 67.3056 miligramos. Para que la cantidad de Torio se
log 13
−0.197963t1
reduzca a la tercera parte debe pasar un tiempo t1 tal que 100
, de donde t1 = −0.197963
= 5.54958
3 = y(t1 ) = 100e
semanas.
Ejercicio 8
La pendiente en x es f 0 (x), luego esta cantidad debe coincidir con 3[f (x) + 1]. La ecuación a resolver es
f 0 (x) = 3[f (x) + 1]
en variables separadas. Luego (además de la solución constante f (x) = −1) se tiene que la ecuación anterior equivale a
la siguiente
f 0 (x)
=3
f (x) + 1
de donde
y por tanto
log |f (x) + 1| = 3x + K
(K ∈ R)
|f (x) + 1| = e3x+K
(K ∈ R)
f (x) = e3x+K − 1
(K ∈ R)
f (x) = Ce3x − 1
(C ∈ R)
Expresando estas soluciones junto con la constante obtenemos la solución general de la ecuación inicial así
o lo que es lo mismo (tomando C = e3K )
De todas estas soluciones buscamos la que pasa por el punto (0, 4). Por tanto verifica que 4 = f (0) = C − 1 y así se debe
cumplir que C = 5. De este modo la función buscada es f (x) = 5e3x − 1, y la curva
y = 5e3x − 1
2