temas: razones de cambio respecto al tiempo, máximos y mínimos

COLEGIO DEL SAGRADO CORAZÓN
Km 2 Vía Puerto Colombia
Actividad de mejoramiento tercer periodo
Profesor Gabriel Torres
Grado 11°
TEMAS: RAZONES DE CAMBIO RESPECTO AL TIEMPO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
NOTA: ENTREGAR EL DÍA 15 DE OCTUBRE DEL 2013, SUSTENTACIÓN SEGÚN
INDICACIONES DEL PROFESOR EN CLASES.
1. Raíza observa el llenado del tanque de la figura con un
caudal constante de entrada
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 2𝑓𝑡 3 /𝑚𝑖𝑛 y afirma
que en el intervalo de h, [0,5 ] la velocidad de
𝑑ℎ
𝑑𝑡
; del
nivel del agua es constante; Cristian plantea que no es
constante en ningún h, a pesar de que 𝑣̇ si lo sea y
Ángel, cree que no es constante para el intervalo de
[0,5 ], pero si lo es para el intervalo de [5,10 ]
Encuentre:
𝒅𝒉
𝒅𝒕
Para h=2m
Para h= 3m
Para h=7m
Para h= 9 m
Y verifique quien tiene la razón
2. Katrin corre el doble de rápido que María, es decir,
2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
h
=
¿Con qué rapidez se separan si Katrin corre a 1m/seg,
después de 10 seg?
3. Una escalera de 10 metros de longitud sobre un piso horizontal está
recostada sobre una pared vertical. Su pie resbala a velocidad constante
de 2 metros por segundo alejándose de la pared.
a. ¿A qué velocidad baja la parte superior de la escalera cuando el pie
dista 4 metros de la pared?
b. ¿A qué velocidad varia en ese mismo instante el ángulo de la escalera
con la horizontal?
c. ¿En qué momento los 2 extremos de la misma velocidad?
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Grado 11°
4. Sara Barba mide 6 pies de altura y camina a 5 pies por segundo
alejándose de una luz que está a 15 pies de altura sobre el suelo. Cuando
Sara está a 10 pies de la base de la luz:
a. ¿A qué velocidad se mueve el extremo de su sombra?
b. ¿A qué razón está cambiando la longitud de su sombra?
5. Carolina Páez navega a la velocidad de 10 mill/h desde su punto de
partida hacia el norte durante 1 hora, después cruza hacia el Este-Sur en
un ángulo de 30°:
a. ¿A qué velocidad se aleja de su punto de partida después de 3 horas?
b. ¿En qué momento esta lo más cerca de su punto de partida?
6. Un hombre se aleja de una prisión a la velocidad de 6pies/s respecto a la
base de una torre. Un guardián situado en la parte superior de la torre de
60 pies apunta al hombre con el fusil:
a. ¿A qué velocidad varía el ángulo entre la línea de tiro y la horizontal
cuando el hombre dista 80 pies de la base de la torre?
b. ¿A qué velocidad se aleja el hombre del guardián?
7. Una vía de ferrocarril cruza una carretera con ángulo de 150°en un punto
O. en el momento t=0 min una locomotora y un automóvil pasan
simultáneamente por la intersección. Si la locomotora se mueve bajo la
función de posición x(t)=3t y automóvil bajo la función de posición
y(t)=t2 + 4t ¿Cuál es la variación de la distancia entre ellos en el tiempo
t=5min?
8. Los lados iguales de un triángulo isósceles con base fija b=100 pulgadas
están decreciendo a una razón de 3 pulgadas por minuto ¿Qué tan rápido
se decrece el área cuando los lados congruentes miden lo mismo que la
base?
9. Un barco A está a 15 millas al Este de O y navega hacia el Oeste a una
velocidad de 20 mill/h. Un barco B está a 60 millas al Sur de O y navega
hacia el Norte a razón de 15 mill/h.
a. ¿Se acercan o se separan después de 1 hora y a qué velocidad?
b. ¿Se aproximan o se separan después de 3 horas y a qué velocidad?
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10. Realice la gráfica de las siguientes funciones. Para ello elabore una tabla
donde determine los intervalos de crecimiento, los intervalos de
concavidad, los puntos donde hay extremos relativos y los puntos de
inflexión. También encuentre las respectivas asíntotas e intersecciones
con los ejes.
a. 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 + 1
b. 𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥
c. 𝑓 (𝑥) =
d. 𝑓 (𝑥) =
e. 𝑓 (𝑥) =
f. 𝑓 (𝑥) =
𝑥2
𝑥 2 −4
2𝑥
𝑥 2 −1
3(𝑥 2 9)
𝑥 2 −4
𝑥
𝑥 2 −1
11. Determine los puntos de inflexión en la gráfica de la función, si existe
alguno y determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es
hacia abajo. Dibuje la gráfica.
𝑥 2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 < 2
a. 𝑓 (𝑥) =
7 − 𝑥 2 , 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥
12. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 , determine a y b de modo que la grafica de f tenga
un punto de inflexión en el punto (1,2)
13. Determine para qué valores de k la función f(x)=k-kx 1, tienen un máximo
relativo en x=2
14. Halle el trapecio de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo
de radio 20cm teniendo la base inferior en la base del semicírculo.
15. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen
puede inscribirse en un cono circular recto de radio R y altura H.
16. Hallar las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que
puede inscribirse en una esfera de radio R.
17. Dada una esfera de radio R, hallar las dimensiones del cilindro circular
recto de mayor superficie lateral 2π rh, que puede inscribirse en la
esfera.
18. Un cilindro se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor del eje
x, tal que su base está en el eje x y todo el rectángulo está contenido en la
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región comprendida entre la curva
𝑥
𝑥 2 +1
y el eje x. halle el cilindro de
volumen lo mayor posible.
19. Una isla está ubicada en el punto A a 4 km mar adentro del punto más
cercano B de una playa recta. Una mujer, en una isla, desea ir al punto C,
a 6 km de B playa abajo. La mujer puede dirigirse hacia el punto P, entre
B y C, en un bote de remos a 5 Km/h y después caminar en forma recta
de P a C a 8 Km/h. encuentre la ruta de A a C que ella puede recorrer en
el menor tiempo.
20. Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un río y se desea
delimitar de modo que no se utilice cerca a lo largo de la orilla. Si el
material para la cerca de los lados cuesta 12 dólares por pie colocado y
18 dólares por pie colocado para el lado paralelo al rio, determine las
dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda limitarse con
5.400 dólares de cerca.
21. Calcule el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en la elipse.
𝑥2 𝑦2
+
=1
22 3 2
22. Alejandra y Ángela desean construir un tanque metálico para
almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, abierto por su
parte superior y de volumen 1000metros cúbicos. Calcular las
dimensiones del radio y de la altura para emplear en su construcción la
menor cantidad de material, es decir de superficie posible.
23. Juan quiere construir una caja en forma de paralelepípedo rectangular,
de base cuadrada y un volumen de 144 m3. El material de las 2 tapas
cuesta a razón de $20 el metro cuadrado y el de los costados a razón de
$30 el metro cuadrado. Determinar las dimensiones que dan un costo
mínimo de construcción.