Ejercicio de Riesgo Moral - Microeconomía Avanzada

Pontificia Universidad Católica del Perú
Programa de Maestría en Economía
Curso: Microeconomía Avanzada
Profesora: Claudia Barriga Ch.
Asistente: Sandro A. Huamaní.
EJERCICIO RESUELTO DE RIESGO MORAL
Aplicación al mercado laboral
En esta aplicación se analiza la relación existente entre un empleador (principal) y un empleado
(agente) en un contexto laboral. El empleador no observa el nivel de esfuerzo emitido por el
empleador por lo que buscará diseñar un contrato que induzca al empleado a emitir un mayor a
esfuerzo a lo que emitiría de ser incentivado. Supondremos que se tiene dos resultados (ventas
de la empresa) posibles y dos esfuerzos:
x = 60 x = 40
e = 6 2/3
1/ 3
e = 4 1/ 3
2/3
Donde x son las ventas posibles de la empresa y e los esfuerzos que podrían ser emitidos por el
agente. Asimismo, la función de la utilidad del Empleador, que asumiremos que es neutral al
riesgo, viene dado por:
β ( x, w) = x − w
La función de utilidad del Empleado, que supondremos que es averso al riesgo, viene dado por:
U ( w, e) = w0.5 − e
Donde w es el salario. Para este caso, asumiremos una la utilidad de reserva del agente como
de 10.
En un contexto de simetría de información donde el esfuerzo es observable, el principal resuelve
el siguiente problema de optimización con el afán de encontrar un contrato óptimo (e,w) que
induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e = 6):
2
1
Máx : (60 − w60 ) + (40 − w40 )
3
3
2
1
sa : (( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) ≥ 10
3
3
Donde w60 y w40 son los salarios que ofrece empleador cuando las ventas son como 60 y 40
respectivamente.
Aplicando el Lagrange y derivando las condiciones de primer orden tenemos:
L=
1
1
2
2

(60 − w60 ) + (40 − w40 ) + λ  (( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) − 10
3
3
3
3

∂L
2
2
− 0.5 
= − + λ  0.5w60
 = 0...(1)
∂w60
3
3
∂L
1
1
− 0.5 
= − + λ  0.5w40
 = 0...(2)
∂w40
3
3
∂L 2
1
= (( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) − 10 = 0...(3)
3
∂λ 3
De las ecuaciones (1) y (2) se desprende que:
w60 = w40 = w
Reemplazando en la ecuación (3), tenemos:
2
1
(( w) 0.5 − 6) + (( w) 0.5 − 6) − 10 = 0
3
3
w = 16 2 = 256
Los resultados nos dice que el empleador pagará lo mismo a su empleado ante cualquier nivel
de venta que se consiga (cobertura total), esto debido a que el agente es averso al riesgo y el
principal neutral. Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegué el mayor
esfuerzo le deberá ofrecer el siguiente contrato:
{w60 = 256, w40 = 256, e = 6}
Por otro lado, cuando tenemos asimetría de información, es decir que el esfuerzo es no
observable por el empleador, el principal resuelve el siguiente problema de optimización con el
afán de encontrar un contrato óptimo (x,w) que induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e =
6):
2
1
Máx : (60 − w60 ) + (40 − w40 )
3
3
Sujeto a la restricción de participación:
2
1
s.a : (( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) ≥ 10
3
3
Y sujeto a la restricción de compatibilidad de incentivos:
2
1
1
2
(( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) ≥ (( w60 ) 0.5 − 4) + (( w40 ) 0.5 − 4)
3
3
3
3
Si asumimos que empleador posee poder de mercado, entonces tendrá la capacidad de bajar los
salarios ofrecidos a un nivel en donde las restricciones se cumplen como igualdad, pero para ser
más consistente con los métodos matemáticos, podemos comprobar que ambas restricciones
limitan mediante las condiciones de optimización de Kuhn - Tucker.
Bajo una optimización mediante Kuhn – Tucker, simplificadamente, inicialmente se tiene una
función diferenciable g : A ⊆ ℜ n → ℜ m donde se busca los puntos de ℜ n que verifican el
sistema de “m” inecuaciones g ( x) ≤ b ∈ ℜ m y hacen que la función diferenciable de
f : A ⊆ ℜ n → ℜ presente un máximo o un mínimo.
s.a g ( x) ≤ b
Opt f ( x)
Donde las condiciones de Kuhn – Tucker que ayudan a nuestro propósito vienen definidos por lo
siguiente:
m
(i) ∇ f ( x) − ∑ λi ∇g i ( x) = 0
i =1
(ii) λi ≠ 0 ∀ i = 1,2,..., m
, entonces:
(iii) λi ( g i ( x) − bi ) = 0 ∀ i = 1,2,..., m
Basado en lo anterior y en búsqueda que demostrar que las restricciones del problema limitan, el
problema del principal lo redefinimos del siguiente modo:
2
1
Máx : (60 − w60 ) + (40 − w40 )
3
3
2
1
s.a : − (( w60 ) 0.5 − 6) − (( w40 ) 0.5 − 6) + 10 ≤ 0
3
3
−
2
1
1
2
(( w60 ) 0.5 − 6) − (( w40 ) 0.5 − 6) + (( w60 ) 0.5 − 4) + (( w40 ) 0.5 − 4) ≤ 0
3
3
3
3
Simplificando aún más el problema del principal tenemos lo siguiente:
2
1
Máx : (60 − w60 ) + (40 − w40 )
3
3
2
1
s.a : − ( w60 ) 0.5 − ( w40 ) 0.5 + 16 ≤ 0
3
3
1
1
− ( w60 ) 0.5 + ( w40 ) 0.5 + 2 ≤ 0
3
3
Aplicando el Lagrange.
L=
2
1
1
1
 2

 1

(60 − w60 ) + (40 − w40 ) + λ1 − ( w60 ) 0.5 − ( w40 ) 0.5 + 16 + λ 2 − ( w60 ) 0.5 + ( w40 ) 0.5 + 2
3
3
3
3
 3

 3

∂L
2
2
1
− 0.5 
− 0.5 
= − − λ1  0.5w60
− λ 2  0.5w60

 = 0...(1)
∂w60
3
3

3
∂L
1
1
1
− 0.5 
− 0.5 
= − − λ1  0.5w40
+ λ 2  0.5w40

 = 0...(2)
∂w40
3
3

3
−0.5
−0.5
Simplificando la ecuación (1) y (2) y además decimos que A= 0.5w60
y B= 0.5w40
donde A y
B son evidentemente positivos.
2 + λ1 2 A + λ 2 A = 0...(1′)
1 + λ1 B − λ 2 B = 0...(2 ′)
De (2’) tenemos:
λ2 =
1 + λ1 B
...(2 ′′)
B
Reemplazando (2’’) en (1’) obtenemos:
1 + λ1 B 
2 + λ1 2 A + 
A = 0
 B 
2 + λ1 2 A +
A
+ λ1 A = 0
B
2 + λ1 2 A +
A
+ λ1 A = 0
B
λ1 =
1  A

− − 2...(1′′)

3A  B

De la expresión anterior se deduce que λ1 ≠ 0 , por lo tanto, la restricción de participación limita.
Por otro lado, de la ecuación (2’’) podemos deducir que si λ1 ≠ 0 ⇒ λ 2 ≠ 0 , por lo tanto,
también la restricción de compatibilidad de incentivos limita. En resumen, ambas restricciones
del problema del principal limitan y se expresan así:
2
1
(( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) = 0
3
3
2
1
1
2
(( w60 ) 0.5 − 6) + (( w40 ) 0.5 − 6) = (( w60 ) 0.5 − 4) + (( w40 ) 0.5 − 4)
3
3
3
3
De las dos ecuaciones anteriores se desprende que:
w60 = 180.5 = 324
w40 = 120.5 = 144
Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegué el mayor esfuerzo le deberá
ofrecer el siguiente contrato:
w60 = 324, x = 60


w40 = 144, x = 40 
Si las ventas de la empresa son como 60, entonces el salario del empleado debería ser como
324 y si as ventas de la empresa son como 40, entonces el salario del empleado debería ser
como 40.