Paquete de R: isocir - Inferencia ISOtónica con datos CIRculares

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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Paquete de R: isocir
Inferencia ISOtónica con datos CIRculares resolviendo problemas
de la Biologı́a Molecular.
Sandra Barragán Andrés(1), Cristina Rueda(1), Miguel
A. Fernández (1) and Shyamal D. Peddada (2)
(1): Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Universidad de Valladolid
(2): National Institute of Environmental Health Sciences
(USA)
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
1 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Contenidos
1
Motivación del Problema
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
2
Metodologı́a con Ejemplo
Planteamiento general del problema
Restricciones de ORDEN
Problema de ESTIMACIÓN
Problema de CONTRASTE
3
Paquete de R: isocir
Paquete de R: isocir
Funciones del paquete isocir
4
Conclusiones
Otras aplicaciones
Conclusión
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
2 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Análisis de Datos Circulares bajo Restricciones
La motivación del problema
El análisis de expresiones de genes a lo largo del ciclo
celular
Inferencia Con Restricciones
ORDEN: Información Adiccional.
Métodos Circulares
DATOS: Puntos en el Cı́rculo.
Sandra Barragan ([email protected])
Análisis de Datos Circulares
bajo Restricciones
Paquete de
Paquete de R: isocir
: isocir
3 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
Sandra Barragan ([email protected])
Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
Sandra Barragan ([email protected])
Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
Sandra Barragan ([email protected])
Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
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Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Resultados:
Paquete de R: isocir
4 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Biologı́a Molecular: La expresión de un gen
Ingredientes:
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Resultados:
Paquete de R: isocir
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Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
Sandra Barragan ([email protected])
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
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Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
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Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
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Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
Sandra Barragan ([email protected])
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Estimación
Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Estimación
Para un conjunto dado de genes,
comprobar si el orden relativo de
máximas expresiones se mantiene
entre diferentes especies.
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Estimación
Para un conjunto dado de genes,
comprobar si el orden relativo de
máximas expresiones se mantiene
entre diferentes especies.
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Paquete de R: isocir
5 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Biologı́a Molecular y Ciclo Celular
Ciclo Celular
Un gen es llamado gen del ciclo
celular si se expresa cı́clicamente
a lo largo del ciclo celular.
El momento en el que que se
expresa con mayor intensidad es
llamado la máxima expresión.
PROBLEMAS BIOLÓGICOS
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
Determinar la fase del ciclo celular
en la que ocurre la máxima
expresión de un gen.
Estimación
Para un conjunto dado de genes,
comprobar si el orden relativo de
máximas expresiones se mantiene
entre diferentes especies.
Contraste
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Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Planteamiento general del problema
Ejemplo: Planteamiento
Dos especies de levaduras:
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Planteamiento general del problema
Ejemplo: Planteamiento
Dos especies de levaduras:
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Paquete de R: isocir
6 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Planteamiento general del problema
Ejemplo: Planteamiento
Dos especies de levaduras:
ORDEN
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DATOS
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
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Conclusiones
Planteamiento general del problema
Metodologı́a: Notación
Parámetros circulares1 :
φ1 , . . . , φ q
(φi : punto que representa en el
cı́rculo unidad el momento del
ciclo celular en el que ocurre la
máxima expressión del gen i).
1
MARDIA, K., and JUPP, P. (2000), Directional Statistics, Chichester: Wiley.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Planteamiento general del problema
Metodologı́a: Notación
Parámetros circulares1 :
φ1 , . . . , φ q
(φi : punto que representa en el
cı́rculo unidad el momento del
ciclo celular en el que ocurre la
máxima expressión del gen i).
Sean θ1 , . . . , θq las direcciones medias muestrales y
r1 , . . . , rq las longitudes medias resultantes.
θi
1
VM(φi , κi )
φi : dirección media
κi : parámetro de concentración.
MARDIA, K., and JUPP, P. (2000), Directional Statistics, Chichester: Wiley.
Sandra Barragan ([email protected])
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Metodologı́a: Restricciones de Orden en el Espacio Circular
Orden Simple
COS = {φ ∈ [0, 2π]q |0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ φq ≤ 2π}
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
8 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Metodologı́a: Restricciones de Orden en el Espacio Circular
Orden Simple
COS = {φ ∈ [0, 2π]q |0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ φq ≤ 2π}
Problema con el orden simple en el espacio circular:
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
8 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Metodologı́a: Restricciones de Orden en el Espacio Circular
Orden Simple
COS = {φ ∈ [0, 2π]q |0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ φq ≤ 2π}
Problema con el orden simple en el espacio circular:
Sin conexión entre φ1 y φq
—B —B —B —B —B
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
8 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Metodologı́a: Restricciones de Orden en el Espacio Circular
Orden Simple
COS = {φ ∈ [0, 2π]q |0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ φq ≤ 2π}
Problema con el orden simple en el espacio circular:
Sin conexión entre φ1 y φq
—B —B —B —B —B
Sandra Barragan ([email protected])
—B Solución: Orden Isotrópico.
Paquete de R: isocir
8 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Metodologı́a: Restricciones de Orden en el Espacio Circular
Orden Simple
COS = {φ ∈ [0, 2π]q |0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ φq ≤ 2π}
Problema con el orden simple en el espacio circular:
Sin conexión entre φ1 y φq
—B —B —B —B —B
—B Solución: Orden Isotrópico.
Orden Isotrópico
[
COI = {φ ∈ [0, 2π]q |φ1 ≤ φ2 ≤ . . . ≤ φq ≤ φ1 } =
I
CSO
1≤I ≤q
donde
I
CSO
= {0 ≤ φI ≤ φI +1 ≤ . . . ≤ φq ≤ φ1 ≤ . . . ≤ φI −1 ≤ 2π}
- No depende del punto inicial del cı́rculo
- Es de rotación invariante
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Paquete de R: isocir
8 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Ejemplo: Aplicación a la Biologı́a Molecular
Orden Isotrópico Parcial (levadura budding)


 

 φ21   φ31 

φ11
φ22
φ32
COIP = φ ∈ [0, 2π]16 :
≤
≤
≤
φ12


 

φ23
φ33




 φ71  φ11
φ41
φ61
φ72
≤
≤
≤ φ51 ≤
≤
φ12 
φ42
φ62


φ73
2
PENG X et al.(2005). Identication of Cell Cycle-Regulated Genes in Fission Yeast. The American Society for
Cell Biology, 16, 1026-1042
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Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Restricciones de ORDEN
Ejemplo: Aplicación a la Biologı́a Molecular
Orden Isotrópico Parcial (levadura budding)


 

 φ21   φ31 

φ11
φ22
φ32
COIP = φ ∈ [0, 2π]16 :
≤
≤
≤
φ12


 

φ23
φ33




 φ71  φ11
φ41
φ61
φ72
≤
≤
≤ φ51 ≤
≤
φ12 
φ42
φ62


φ73
Datos (levadura fission)
Experimentos en el ciclo celular de levaduras fission2 donde se
mide la expresión máxima de los genes.
Matriz de datos: cirgenes (10 experimentos con 16 genes).
2
PENG X et al.(2005). Identication of Cell Cycle-Regulated Genes in Fission Yeast. The American Society for
Cell Biology, 16, 1026-1042
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
9 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de ESTIMACIÓN
Metodologı́a: Estimador Circular de Regresión Isotónica
El CIRE (del inglés: Circular Isotonic Regression Estimator) es el
Estimador Máximo Verosimil Restringido de la dirección media (φ) bajo
la suposición de un conjunto de orden dado (φ ∈ C ).
CIRE
θe = arg mı́n SCE (α, θ)
α∈C
donde SCE es la Suma de Errores Circulares definida por
q
X
SCE (φ, θ) =
ri (1 − cos(θi − φi ))
i=1
3
RUEDA, C., FERNANDEZ, M. and PEDDADA, S. (2009), Estimation of parameters subject to order
restrictions on a circle with application to estimation of phase angles of cell-cycle genes, Journal of the American
Statistical Association, Vol104,n485; pp 338-347.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
10 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de ESTIMACIÓN
Metodologı́a: Estimador Circular de Regresión Isotónica
El CIRE (del inglés: Circular Isotonic Regression Estimator) es el
Estimador Máximo Verosimil Restringido de la dirección media (φ) bajo
la suposición de un conjunto de orden dado (φ ∈ C ).
CIRE
θe = arg mı́n SCE (α, θ)
α∈C
donde SCE es la Suma de Errores Circulares definida por
q
X
SCE (φ, θ) =
ri (1 − cos(θi − φi ))
i=1
Rueda et al. (2009)3 desarrolló un algoritmo que está implementado en la
función CIREi del paquete isocir.
3
RUEDA, C., FERNANDEZ, M. and PEDDADA, S. (2009), Estimation of parameters subject to order
restrictions on a circle with application to estimation of phase angles of cell-cycle genes, Journal of the American
Statistical Association, Vol104,n485; pp 338-347.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
10 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de ESTIMACIÓN
Ejemplo: Aplicación a la Biologı́a Molecular
ESTIMACIÓN
experiment1 <- t(cirgenes[1,])
levelsOIP <- c(rep(1,2),rep(2,3),rep(3,3),rep(4,2),
rep(5,1),rep(6,2),rep(7,3))
[1] 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 7
CIREi(experiment1, levels = levelsOIP)
$cirmeans
$SCE [1] 1.059346
$CIRE
 


 θ̃21 = 6,261   θ̃31 = 0,0542 
θ̃11 = 6,255
≤
≤
≤
θ̃ = 6,255
θ̃ = 0,0542
 22
  32

θ̃12 = 6,255
θ̃23 = 0,0542
θ̃33 = 1,045


 θ̃71 = 5,596 
θ̃41 = 1,045
θ̃61 = 1,288
≤
≤ θ̃51 = 1,085 ≤
≤
θ̃ = 4,774
 72

θ̃42 = 1,085
θ̃62 = 4,774
θ̃73 = 5,209
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
11 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de CONTRASTE
Metodologı́a: Contraste de Hipótesis
Fernández et al. (2011)4 presenta un test condicional para
desarrollar algunos test restringidos con hipótesis de orden.
H0 : φi , i = 1, . . . , q, sigue un orden isotrópico.
H1 : H0 no se cumple.
4
FERNANDEZ, M., RUEDA, C. and PEDDADA, S. (2011), A core set of signature cell cycle genes with
relative order of time to peak expression conserved across species, Accepted for publication in Nucleic Acids
Research.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
12 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de CONTRASTE
Metodologı́a: Contraste de Hipótesis
Fernández et al. (2011)4 presenta un test condicional para
desarrollar algunos test restringidos con hipótesis de orden.
H0 : φi , i = 1, . . . , q, sigue un orden isotrópico.
H1 : H0 no se cumple.
Estadı́stico Test:
kappa conocido
e
T = 2κSCE (θ, θ)
kappa desconocido
T =
e
2b
κSCE (θ,θ)
q
e
CT: H0 se rechaza siempre que T ≥ c(m) (m: no conj. de nivel de θ).
2
∗
pr (χq−m ≥ t )[1 − prφ0 (C )]
(κ conocido)
p − valor =
pr (Fq−m,q−1 ≥ t ∗ )[1 − prφ0 (C )] (κ desconocido)
prφ0 (C ): probabilidad de C en H0 bajo la igualdad de los parámetros.
Implementado en la función CTi del paquete isocir.
4
FERNANDEZ, M., RUEDA, C. and PEDDADA, S. (2011), A core set of signature cell cycle genes with
relative order of time to peak expression conserved across species, Accepted for publication in Nucleic Acids
Research.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
12 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de CONTRASTE
Ejemplo: Aplicación a la Biologı́a Molecular
CONTRASTE
orden: COIP
orden: ?
H0 : φ ∈ COIP .
H1 : H0 no se cumple.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
13 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Problema de CONTRASTE
Ejemplo: Aplicación a la Biologı́a Molecular
CONTRASTE
orden: COIP
orden: ?
H0 : φ ∈ COIP .
H1 : H0 no se cumple.
CTi(experiment1, levels = levelsOIP, kappa = 3.958 )
$pvalue
[1] 0.2998076
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
13 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Paquete de R: isocir
Paquete de R: isocir
Paquete de
5
: isocir
Análisis de Datos Circulares bajo Restricciones
Inferencia isotónica con datos circulares.
package isocir
- Dependencias: circular y combinat. Estos paquetes deberán
estar instalados en nuestro ordenador antes de cargar isocir.
5
R Development Core Team (2011). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R
Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
14 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Paquete de R: isocir
Paquete de R: isocir en el CRAN (Versión: 1.0)
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
15 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Funciones del paquete isocir
Paquete de R: isocir (Versión: 1.0)
Funciones
cirmean
cirSCE
mrl
cirkappa
CIREi
CTi
Datos
datareplic
cirdata
cirgenes
Resumen de los componentes de isocir
Argumentos
(data)
(point1, point2, mrl)
(data)
(data)
(data, levels, isotropic, graphic, stack)
(data, levels, kappa)
Descripción
Datos circulares aleatorios con réplicas
Datos circulares aleatorios
Datos de genes de experimentos en el ciclo celular.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
16 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Otras aplicaciones
Otros campos de aplicación de isocir
Ornitologı́a
Endocrinologı́a
Ciencias de la Tierra
Meteorologı́a
Fı́sicas
Psicologı́a
Medicina, Criminologı́a, Análisis de imágenes y mucho
más.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
17 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Conclusión
Conclusión
Datos Circulares
+
Información Adiccional
(Restricciones de Orden)
=
isocir
Estimación Contraste
CIREi
CTi
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Paquete de R: isocir
18 / 20
Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Paquete de R: isocir
Conclusiones
Referencias Básicas
MARDIA, K., and JUPP, P. (2000), Directional Statistics,
Chichester: Wiley.
ROBERTSON, T.,WRIGHT, F.T. and DYKSTRA, R.L. (1988),
Order Restricted Statistical Inference, Wiley, New York.
RUEDA, C., FERNANDEZ, M. and SHYAMAL, P. (2009),
Estimation of parameters subject to order restrictions on a circle with
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BARRAGAN, SANDRA (2011) isocir: Isotonic Inference for Circular
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http://CRAN.R-project.org/package=isocir.
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
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Motivación del Problema
Metodologı́a con Ejemplo
Sandra Barragan ([email protected])
Paquete de R: isocir
Paquete de R: isocir
Conclusiones
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