75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Introducción El cálculo numérico como lo aplicamos en la teoría, nos permite hacer aproximaciones y usar definiciones tales como el infinito, que nos ayudan a obtener un resultado aproximado o correcto del problema en cuestión. Estas operaciones, pueden ser muy complicadas y hasta imposibles de realizar en la realidad, por ejemplo una sumatoria hasta infinito, etc.. ∞ ∑ f (i ) i =1 Algunas de estas operaciones, llevarían mucho tiempo de realización, y con la ayuda de una computadora, se podría realizar en menor tiempo. Pero aquí surge el inconveniente de poder resolver las cosas mediante una máquina. Para cumplir el objetivo, se deben tener en cuenta las limitaciones que poseen estas máquinas (por Ej. No poder representar al infinito). Objetivo En este trabajo práctico se tratará de encontrar las limitaciones y ventajas del cálculo por computadora. Esto se realizará haciendo pruebas de cálculo con límites, sumatorias y representación de números. Observando la respuesta de la máquina, trataremos de concluir las características del cálculo mediante estos métodos, y los errores que se presentan, como así también determinar la importancia que se debe dar a los distintos resultados. Se definirá también lo que es la unidad de máquina, se determinará con cuantos dígitos trabaja en simple y doble precisión, se tratará de ver si la máquina tiene algún comportamiento extraño al resolver los algoritmos y finalmente se dará una conclusión sobre todos estos aspectos. Arrigo Gastón Página 2 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - A. Unidad de Máquina A.1 Implementar un programa para encontrar el menor número de máquina superior a 1. Trabajar en simple precisión. Indicar: • • la cantidad de dígitos con los que trabaja la máquina (t). la unidad de máquina (u). A.2 Repetir el punto anterior en doble precisión. A.3 ¿Qué errores están presentes? (1-t) u = 0,5 x 10 t = se determinará de la experiencia Según los datos obtenidos de la experiencia, los valores son los siguientes: u t Simple Precisión 0,5 x 10 –7 8 Doble Precisión 0,5 x 10 -15 16 3. El error presente es el de redondeo simétrico, debido a como se resuelve el algoritmo. Este error es inherente a la máquina, depende del algoritmo y del problema. La u (unidad de máquina) es la cota del error relativo que comete la máquina por la representación interna. B) Cálculo de límites B.1 Implementar dos algoritmos en simple precisión para determinar los siguientes límites: 1 x α = lim ln 1+ x→0 x x N β = lim 1+ x→∞ x Donde N = última cifra del número de Padrón de la facultad. Completar las siguientes tablas. Primero analicemos analíticamente el resultado de estos límites, para luego compararlo con el resultado obtenido con el algoritmo. Página 3 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - 1 ln 1+ 1 1 x α = lim ln 1+ = lim x . ln 1+ = lim x→0 x→0 1 x x→0 x x x 1 . − 2 1 x 1 + 1 x lim = lim =0 x→0 x→0 1 1 − 2 1+ x x 1 α = L'Hopital N 1 β = lim 1+ = lim 1+ x→∞ x→∞ x x N x N 2 X. . 2 N N x N 1 = lim 1+ = eN x→∞ x N Si N = 2 β = e2 Página 4 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Cálculo de α y β con Simple Precisión x α β 1.0000000 0.0000000 1 0.0000000 0.1000000 0.2397895 10 6.1917362 0.0100000 0.0461512 100 7.2446461 0.0010000 0.0069088 1000 7.3743124 0.0001000 0.0009210 10000 7.3875785 0.0000100 0.0001151 100000 7.3889084 0.0000010 0.0000138 1000000 7.3890414 1.00e-07 0.0000016 10000000 7.3890548 1.00e-08 0.0000002 1.00e+08 7.3890562 1.00e-09 0.0000000 1.00e+09 7.3890557 1.00e-10 0.0000000 1.00e+10 7.3890572 1.00e-11 0.0000000 1.00e+11 7.3890572 ... ... 1.00e+12 7.3887291 9.81e-45 0.0000000 1.00e+13 7.3936524 1.40e-45 0.0000000 1.00e+14 7.3772540 1.00e+15 7.3772535 1.00e+16 9.2114391 1.00e+17 1.0000000 1.00e+18 1.0000000 x ... ... 1.00e+38 1.0000000 B.2 Indicar el rango de valores de x para el cual se alcanza la convergencia (a partir de cuál y hasta cuál x el valor obtenido coincide con el límite). -9 -45 Para el caso de α el límite alcanza la convergencia a partir de x = 1.00 x10 hasta x = 1.40 x10 . Que es valor máximo distinto de cero que reconoce la máquina en simple precisión. 10 11 Para el caso de β el límite alcanza la convergencia desde x = 1 x 10 hasta x = 1 x 10 . 16 17 Luego en x = 1 x 10 se produce un salto y en 1 x 10 nuevamente otro salto, y luego se mantiene constante hasta el final, siendo β =1.00 Estos saltos se producen ya que la máquina al realizar la división, pierde dígitos debido a la diferencia de exponentes entre el numerador y denominador. Esto hace que la división sea cero porque se considera a N = 0 frente a x y el cálculo se reduce a “1” elevado a la “x”. Página 5 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Cálculo de α y β con Doble Precisión x α 1.000000000000000 0.000000000000000 1.0 0.000000000000000 0.100000000000000 0.239789527279837 10.0 6.191736422399997 0.010000000000000 0.046151205168413 100.0 7.244646118252348 0.001000000000000 0.006908754779315 1000.0 7.374312390354616 0.000100000000000 0.000921044036698 10000.0 7.387578632453057 0.000010000000000 0.000115129354649 100000.0 7.388908321189566 0.000001000000000 0.000013815511558 1000000.0 7.389041321277888 0.000000100000000 0.000001611809575 10000000.0 7.389054613341233 0.000000010000000 0.000000184206807 100000000.0 7.389056025405986 0.000000001000000 0.000000020723266 1000000000.0 7.389055666198995 0.000000000100000 0.000000002302585 10000000000.0 7.389057320199425 0.000000000010000 0.000000000253284 100000000000.0 7.389057321529456 0.000000000001000 0.000000000027631 1000000000000.0 7.388729188885773 0.000000000000100 0.000000000002993 10000000000000.0 7.393652710940212 0.000000000000010 0.000000000000322 100000000000000.0 7.377253717268134 0.000000000000001 0.000000000000035 1000000000000000.0 7.377253717268267 1.00e-16 0.000000000000004 1.00e+16 9.211438704993530 1.00e-17 0.000000000000000 1.00e+17 1.000000000000000 ..... ... 1.00e+18 1.000000000000000 1.00e-308 0.000000000000000 1.00e-309 Inf 1.00e+307 1.000000000000000 1.00e-311 Inf 1.00e+308 1.000000000000000 .... x ... β ... ... 9.88e-324 Inf -16 -308 B.2. Para el caso de α el límite alcanza la convergencia a partir de x = 1.00 x10 hasta x = 1.40 x10 . -309 -324 En x =1.00 x 10 se produce un salto donde el valor de a se hace igual a Inf, hasta x = 9.88 x 10 . El Inf que muestra la máquina, es la representación aritmética del infinito estandarizada por la IEEE. El resultado toma este valor debido a que –308 es el mínimo exponente que la máquina puede representar en doble precisión. Al alcanzar un exponente menor, el comportamiento es indeterminado. En rigor de verdad, en el caso de β, el límite nunca alcanza la convergencia ya que no hay un valor que se mantenga constante. Pero una estimación considerable podría ser la siguiente: Página 6 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - El límite alcanza la convergencia 10 11 x = 1 x 10 hasta x = 1 x 10 . 16 17 Luego en x = 1 x 10 se produce un salto y en 1 x 10 nuevamente otro salto, y luego se mantiene constante hasta el final, siendo β =1.00. B.3 ¿Qué errores están presentes? En estos cálculos el único tipo de error presente es el de redondeo, ya que la máquina redonda simétricamente al realizar los cálculos correspondientes. Página 7 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - C. Cálculo de Series Cálculo de T Simple y Doble Precisión n T (simple) n T (doble) 1 0.00000000 1 0.000000000000000 2 0.10000000 2 0.100000000000000 3 0.09500000 3 0.095000000000000 4 0.09533333 4 0.095333333333333 5 0.09530833 5 0.095308333333333 6 0.09531033 6 0.095310333333333 7 0.09531017 7 0.095310166666667 8 0.09531018 8 0.095310180952381 9 0.09531018 9 0.095310179702381 10 0.09531018 10 0.095310179813492 11 0.09531018 11 0.095310179803492 12 0.09531018 12 0.095310179804401 13 0.09531018 13 0.095310179804318 14 0.095310179804325 15 0.095310179804325 16 0.095310179804325 17 0.095310179804325 18 0.095310179804325 En el cálculo de T, la serie converge en n = 8 con simple precisión, y n = 14 con doble precisión. Los errores presentes, son los de truncamiento, debido a que la sumatoria no se realiza hasta n igual a infinito, sino n = N < infinito. Y también está presente el error de redondeo inherente a la máquina y dependiente del algoritmo con que ser resolvió el cálculo. Página 8 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Cálculo de S Simple y Doble Precisión n S (simple) 1 1.0000000 2 n S (doble) n S (doble) 1 1.000000000000000 94500000 1.644934057745121 1.2500000 2 1.463611111111111 94600000 1.644934057767325 3 1.3611112 5 1.491388888888889 94700000 1.644934057789530 4 1.4236112 10 1.549767731166541 94800000 1.644934057811734 5 1.4636111 70 1.630749907490019 94880000 1.644934057829498 6 1.4913889 170 1.639068981021743 94883072 1.644934057830180 7 1.5117971 600 1.643268788298844 94883076 1.644934057830181 8 1.5274221 1000 1.643934566681561 94883081 1.644934057830182 9 1.5397677 2000 1.644434191827396 94883085 1.644934057830183 10 1.5497677 4000 1.644684098095632 94883090 1.644934057830184 11 1.5580322 10000 1.644834071848065 94883094 1.644934057830185 12 1.5649766 20000 1.644884068098209 94883099 1.644934057830186 13 1.5708938 40000 1.644909067160726 94883103 1.644934057830187 15 1.5804403 80000 1.644921566926372 94883104 1.644934057830187 22 1.6004970 120000 1.644925733549637 94883105 1.644934057830187 29 1.6110392 150000 1.644927400203800 ... ... 203 1.6400204 180000 1.644928511308114 94890000 1.644934057830187 900 1.6438237 1000000 1.644933066848771 95000000 1.644934057830187 1300 1.6441646 5087030 1.644933870269845 96000000 1.644934057830187 1500 1.6442677 6833270 1.644933920505978 100000000 1.644934057830187 1900 1.6444082 10000000 1.644933966847318 200000000 1.644934057830187 2500 1.6445351 20000000 1.644934016846540 300000000 1.644934057830187 4000 1.6447139 30000000 1.644934033487429 500000000 1.644934057830187 4094 1.6447251 40000000 1.644934041815659 4095 1.6447252 50000000 1.644934046798629 4096 1.6447253 60000000 1.644934050084582 4097 1.6447253 70000000 1.644934052305028 4105 1.6447253 80000000 1.644934054525474 4131 1.6447253 90000000 1.644934057190009 Al igual que en el cálculo de T los errores presentes son de truncamiento y de redondeo simétrico. Página 9 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Conclusiones Para poder utilizar una máquina en el desarrollo del cálculo numérico, es importante conocer el funcionamiento de esta y sus limitaciones. Ya sea su precisión, el error cometido por la misma, su unidad de máquina, representación de los números, etc. Es importante además entender su comportamiento, ya que como vimos en el cálculo de los límites, el comportamiento de la máquina no es el esperado cuando se alcanzan ciertos valores. Definir la precisión de trabajo a utilizar es importante para obtener el resultado buscado, porque como se puede ver en el cálculo de la serie S, la obtención de la convergencia en doble precisión, es un proceso que lleva mas tiempo que en simple precisión. La elección dependerá del resultado que queramos obtener, y se debe tener en cuenta que a mayor precisión se tiene mayor tiempo de ejecución del algoritmo, como en el caso nombrado. Por lo tanto un factor a tener en cuenta es el resultado a obtener y el tiempo que estamos dispuesto a entregar a cambio del primero. Una observación que cabe destacar, es el hecho de que los resultados obtenidos al calcular las series S y T, no registran ningún salto o variación del resultado luego de que estas series convergen. En contraposición, esto no sucede en el cálculo de los límites donde sí se registran comportamientos no esperados luego de ciertos valores de n. Esto posiblemente se deba a que en el cálculo de los límites, estos están próximos a ser indeterminaciones (infinito elevado a la cero), o a tomar valores que solo son posibles de expresar en teoría, pero que a la máquina le es imposible de representar (infinito). En cambio en el cálculo de las series, simplemente se realizan sumas sucesivas de términos, que en cada paso son más próximos al cero. Nota: Si bien la máquina contiene una secuencia de dígitos, estandarizada por la IEEE, para representa al infinito (mostrada en pantalla como “Inf”), esta representación no puede ser utilizada para el cálculo, ya que solo sirve como indicador al igual que la secuencia NaN (Not a Number). Estas secuencias sirven para indicar que el valor tomado por la máquina provino de realizar una cuenta con un resultado imposible de expresar en un formato numérico.(Ej.: A/0). Página 10 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Anexo I Apellido:ARRIGO - Padron:77432 -Curso:4 - Fecha: 4/9/2001 /*****************************************************************/ /*Punto A1 con Simple Precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { char c; float u; int t; int nt=0; float s=1; float x=2; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (x > 1) { printf("\n nt = %d, x = %2.7f",nt,x); c=getchar(); nt += 1; s /= 10; x = s + 1; } u= 0.5 * pow(10,1-nt); t = nt; printf("\n U = %2.8f",u); printf("\n T = %d",nt); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Punto A1 con Doble Precision*/ Página 11 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { char c; double u; int t; int nt=0; double s=1; double x=2; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (x > 1) { printf("\n nt = %d, x = %2.15f",nt,x); c=getchar(); nt += 1; s /= 10; x = s + 1; } u= 0.5 * pow(10,1-nt); t = nt; printf("\n u = %2.16f",u); printf("\n t = %d",nt); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Alfa con simple precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { char c; double u; int t; int nt=0; float s=1; float x=1; float alfa=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (x > 0) { if (x >= pow(10,-7)) printf("\n x = %2.7f, alfa = %2.7f",x,alfa); else printf("\n x = %2.2e, alfa = %2.7f",x,alfa); c=getchar(); s /= 10; x = s; alfa = log( pow((1+1/x),x) ); nt +=1; } printf("nt = %d",nt); c=getchar(); return 0; } Página 12 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores /*****************************************************************/ /*Alfa con doble precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { char c; double u; int t; int nt=0; double s=1; double x=1; double alfa=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (x > 0) { if (x >= pow(10,-15)) printf("\n x = %2.15f, alfa = %2.15f",x,alfa); else printf("\n x = %2.2e, alfa = %2.15f",x,alfa); c=getchar(); s /= 10; x = s; alfa = log( pow((1+(1/x)),x) ); nt +=1; } printf("nt = %d",nt); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Beta con simple precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2 int main() { char c; float u; int t; int nt=0; float s=1; float x=1; float beta=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while ( x < (pow(10,100)) ) { if (x < pow(10,8)) printf("\n x = %8.0f, beta = %2.7f",x,beta); else printf("\n x = %2.2e, beta = %2.7f",x,beta); c=getchar(); s *= 10; x = s; beta = pow((1+N/x),x); nt +=1; Página 13 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores } printf("nt = %d",nt); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Beta con Doble Precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2 int main() { char c; double u; int t; int nt=0; double s=1; double x=1; double beta=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (x < exp(710)) { if (x < pow(10,16)) printf("\n x = %15.1f, beta = %2.15f",x,beta); else printf("\n x = %2.2e, beta = %2.15f",x,beta); c=getchar(); s *= 10; x = s; beta = pow((1+N/x),x); nt +=1; } printf("\nnt = %d",nt); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Serie T con Simple Precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2.0 int main(void) { char c; unsigned int n = 1; float x=1; float T=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (n < pow(10,10)) { fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, T = %8.8f",n,T); c = getchar(); x = N / 20.0; T += (pow(-1,n-1)) * (pow(x,n)/n); n += 1; Página 14 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores } printf("\n n = %d",n); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Serie T con Doble Precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2.0 int main(void) { char c; unsigned int n = 1; double x=1; double T=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (n < pow(10,10)) { fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, T = %1.15f",n,T); c = getchar(); x = N / 20.0; T += (pow(-1,n-1)) * (pow(x,n)/n); n += 1; } printf("\n n = %d",n); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Serie S con Simple Precision*/ #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2.0 int main(void) { char c; lomg n = 1; float S=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (n < pow(10,10)) { fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, S = %2.7f",n-1,S); if (n > 4050) c = getchar(); S += 1 / pow(n,2); n += 1; } printf("\n n = %d",n); c=getchar(); return 0; } /*****************************************************************/ /*Serie S con Doble Precision*/ Página 15 75.04 Algoritmos 75.12 Análisis y Programación NumericoIII Trabajo PrácticoTrabajo Nº 1 - Práctico Cálculo Numérico Nº 2 - Árboles y Errores AVL - #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 2.0 int main() { char c; unsigned int n = 1; double S=0; printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"); while (n < pow(10,10)) { fprintf(stdout,"\n n = %8.0d, S = %2.15f",n-1,S); c = getchar(); S += 1 / pow(n,2); n += 1; } printf("\n n = %d",n); c=getchar(); return 0; } Página 16 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - A nt = 0, x = 2.0000000 nt = 1, x = 1.1000000 nt = 2, x = 1.0100000 nt = 3, x = 1.0010000 nt = 4, x = 1.0001000 nt = 5, x = 1.0000100 nt = 6, x = 1.0000010 nt = 7, x = 1.0000001 U = 0.00000005 T=8 nt = 0, x = 2.000000000000000 nt = 1, x = 1.100000000000000 nt = 2, x = 1.010000000000000 nt = 3, x = 1.001000000000000 nt = 4, x = 1.000100000000000 nt = 5, x = 1.000010000000000 nt = 6, x = 1.000001000000000 nt = 7, x = 1.000000100000000 nt = 8, x = 1.000000010000000 nt = 9, x = 1.000000001000000 nt = 10, x = 1.000000000100000 nt = 11, x = 1.000000000010000 nt = 12, x = 1.000000000001000 nt = 13, x = 1.000000000000100 nt = 14, x = 1.000000000000010 nt = 15, x = 1.000000000000001 u = 0.0000000000000005 t = 16 x = 1.000000000000000, alfa = 0.000000000000000 x = 0.100000000000000, alfa = 0.239789527279837 x = 0.010000000000000, alfa = 0.046151205168413 x = 0.001000000000000, alfa = 0.006908754779315 x = 0.000100000000000, alfa = 0.000921044036698 x = 0.000010000000000, alfa = 0.000115129354649 x = 0.000001000000000, alfa = 0.000013815511558 x = 0.000000100000000, alfa = 0.000001611809575 x = 0.000000010000000, alfa = 0.000000184206807 x = 0.000000001000000, alfa = 0.000000020723266 x = 0.000000000100000, alfa = 0.000000002302585 x = 0.000000000010000, alfa = 0.000000000253284 x = 0.000000000001000, alfa = 0.000000000027631 x = 0.000000000000100, alfa = 0.000000000002993 x = 0.000000000000010, alfa = 0.000000000000322 x = 0.000000000000001, alfa = 0.000000000000035 x = 1.00 e-16, alfa = 0.000000000000004 x = 1.00e-17, alfa = 0.000000000000000 ..... ..... x = 1.00e-308, alfa = 0.000000000000000 x = 1.00e-309, alfa = Inf x = 1.00e-311, alfa = Inf ..... ..... x = 9.88e-323, alfa = Inf x = 9.88e-324, alfa = Inf nt = 324 Anexo II Corrida de máquina de los algoritmos del punto A. Arrigo Horacio Gastón. x = 1.0000000, alfa = 0.0000000 x = 0.1000000, alfa = 0.2397895 x = 0.0100000, alfa = 0.0461512 x = 0.0010000, alfa = 0.0069088 x = 0.0001000, alfa = 0.0009210 x = 0.0000100, alfa = 0.0001151 x = 0.0000010, alfa = 0.0000138 x = 1.00e-07, alfa = 0.0000016 x = 1.00e-08, alfa = 0.0000002 x = 1.00e-09, alfa = 0.0000000 x = 1.00e-10, alfa = 0.0000000 x = 1.00e-11, alfa = 0.0000000 x = 1.00e-12, alfa = 0.0000000 . . . x = 9.81e-45, alfa = 0.0000000 x = 1.40e-45, alfa = 0.0000000 nt = 46 Corrida por máquina de los algoritmos del punto B. Corridas por maquina del punto B. Página 16 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Arrigo Horacio Gastón Padrón:77432 x= 1.0, beta = 0.000000000000000 x= 10.0, beta = 6.191736422399997 x= 100.0, beta = 7.244646118252348 x= 1000.0, beta = 7.374312390354616 x= 10000.0, beta = 7.387578632453057 x= 100000.0, beta = 7.388908321189566 x= 1000000.0, beta = 7.389041321277888 x= 10000000.0, beta = 7.389054613341233 x = 100000000.0, beta = 7.389056025405986 x = 1000000000.0, beta = 7.389055666198995 x = 10000000000.0, beta = 7.389057320199425 x = 100000000000.0, beta = 7.389057321529456 x = 1000000000000.0, beta = 7.388729188885773 x = 10000000000000.0, beta = 7.393652710940212 x = 100000000000000.0, beta = 7.377253717268134 x = 1000000000000000.0, beta = 7.377253717268267 x = 1.00e+16, beta = 9.211438704993530 x = 1.00e+17, beta = 1.000000000000000 x = 1.00e+18, beta = 1.000000000000000 .... .... x = 1.00e+306, beta = 1.000000000000000 x = 1.00e+307, beta = 1.000000000000000 x = 1.00e+308, beta = 1.000000000000000 nt = 309 x= 1, beta = 0.0000000 x= 10, beta = 6.1917362 x= 100, beta = 7.2446461 x = 1000, beta = 7.3743124 x = 10000, beta = 7.3875785 x = 100000, beta = 7.3889084 x = 1000000, beta = 7.3890414 x = 10000000, beta = 7.3890548 x = 1.00e+08, beta = 7.3890562 x = 1.00e+09, beta = 7.3890557 x = 1.00e+10, beta = 7.3890572 x = 1.00e+11, beta = 7.3890572 x = 1.00e+12, beta = 7.3887291 x = 1.00e+13, beta = 7.3936524 x = 1.00e+14, beta = 7.3772540 x = 1.00e+15, beta = 7.3772535 x = 1.00e+16, beta = 9.2114391 x = 1.00e+17, beta = 1.0000000 x = 1.00e+18, beta = 1.0000000 ... ... x = 1.00e+37, beta = 1.0000000 x = 1.00e+38, beta = 1.0000000 nt = 39 Página 17 75.12 Análisis Numerico I Trabajo Práctico Nº 1 - Cálculo Numérico y Errores - Corridas por máquina del Punto C. n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= n= 1, S = 1.0000000 2, S = 1.2500000 3, S = 1.3611112 4, S = 1.4236112 5, S = 1.4636111 6, S = 1.4913889 7, S = 1.5117971 8, S = 1.5274221 9, S = 1.5397677 10, S = 1.5497677 11, S = 1.5580322 12, S = 1.5649766 13, S = 1.5708938 15, S = 1.5804403 18, S = 1.5908931 22, S = 1.6004970 26, S = 1.6072028 29, S = 1.6110392 40, S = 1.6202443 68, S = 1.6303359 69, S = 1.6305460 127, S = 1.6370910 144, S = 1.6380136 203, S = 1.6400204 325, S = 1.6418619 900, S = 1.6438237 1300, S = 1.6441646 1500, S = 1.6442677 1700, S = 1.6443449 1900, S = 1.6444082 2500, S = 1.6445351 4000, S = 1.6447139 4094, S = 1.6447251 4095, S = 1.6447252 4096, S = 1.6447253 4097, S = 1.6447253 4105, S = 1.6447253 Arrigo Horacio Gastón. Padron:77432 n=1 n=2 n=5 n = 10 n = 70 n = 170 n = 600 n = 1000 n = 2000 n = 4000 n = 10000 n = 20000 n = 40000 n = 80000 n = 120000 n = 150000 n = 180000 n = 1000000 n = 5087030 n = 6833270 n = 10000000 n = 20000000 n = 30000000 n = 40000000 n = 50000000 n = 60000000 n = 70000000 n = 80000000 n = 90000000 n = 94500000 n = 94600000 n = 94700000 n = 94800000 n = 94880000 n = 94883072 n = 94883076 n = 94883081 n = 94883085 n = 94883090 n = 94883094 n = 94883099 n = 94883103 n = 94883104 n = 94883105 ... ... n = 94890000 n = 95000000 n = 96000000 n = 100000000 n = 200000000 n = 300000000 n = 500000000 ,S = 1.000000000000000 ,S = 1.463611111111111 ,S = 1.491388888888889 ,S = 1.549767731166541 ,S = 1.630749907490019 ,S = 1.639068981021743 ,S = 1.643268788298844 ,S = 1.643934566681561 ,S = 1.644434191827396 ,S = 1.644684098095632 ,S = 1.644834071848065 ,S = 1.644884068098209 ,S = 1.644909067160726 ,S = 1.644921566926372 ,S = 1.644925733549637 ,S = 1.644927400203800 ,S = 1.644928511308114 ,S = 1.644933066848771 ,S = 1.644933870269845 ,S = 1.644933920505978 ,S = 1.644933966847318 ,S = 1.644934016846540 ,S = 1.644934033487429 ,S = 1.644934041815659 ,S = 1.644934046798629 ,S = 1.644934050084582 ,S = 1.644934052305028 ,S = 1.644934054525474 ,S = 1.644934057190009 ,S = 1.644934057745121 ,S = 1.644934057767325 ,S = 1.644934057789530 ,S = 1.644934057811734 ,S = 1.644934057829498 ,S = 1.644934057830180 ,S = 1.644934057830181 ,S = 1.644934057830182 ,S = 1.644934057830183 ,S = 1.644934057830184 ,S = 1.644934057830185 ,S = 1.644934057830186 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 ,S = 1.644934057830187 Página 18