El problema del máximo cubrimiento ordenado Jörg Kalcsics1 , Mercedes Landete2 , Alfredo Marı́n3 , Stefan Nickel1 2 Universidad 1 Saarland University, Miguel Hernández de Elche, 3 Universidad de Murcia. Madrid, 2007 El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones cubiertas. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Los problemas ordenados multiplican cada variable en la función objetivo por una constante de ponderación. max X ⊂S |X |=p n X λi ŵσ(i) (X ) i=1 λ = (1, 1, . . . , 1). λ = (0, 0, . . . , 0, 1). λ = (µ, µ, . . . , µ, 1) (0 < µ < 1). λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1). λ = (2, 0, . . . , 0, 1). J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado y` = aij = El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales 1 si se abre una planta en la ubicación ` 0 en otro caso 1 si el i-ésimo de todos los pesos es el j-esimo de los abiertos 0 en otro caso Por ejemplo, si n = 7, w1 ≤ w2 ≤ . . . ≤ w7 , y ubicaciones 1, 3,4 y 7. Entonces, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (aij ) = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel se cubren las 0 0 0 0 0 0 1 Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Entonces, se cumple aij = 0 cuando j < i, es decir, cero por debajo de la diagonal. Por otro lado, si r es el radio de cubrimiento, definimos Si como el conjunto de ubicaciones que cubren i: Si = {` ∈ S : di` ≤ r } J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel i = 1, . . . , n Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado (P) max s.a n X j=1 n X λj j X El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales wi aij i=1 aij ≤ j=i y` ≤ X `∈Si n X y` ∀i = 1, . . . , n aij ∀i ∈ C , ` ∈ S con di` ≤ r j=i j X i=k aij ≤ j+1 X ∀k, j = 1, . . . , n − 1 ai,j+1 i=k+1 n X ain ≤ 1 i=1 m X y` = p `=1 aij , y` ∈ {0, 1} ∀i, j = 1, . . . , n, ` = 1, . . . , m J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales P P Maximizamos la suma de los pesos ordenados, nj=1 λj ji=1 wi aij verificando que: n X j=i aij ≤ X y` para todo i `∈Si Si todas las plantas que cubren a i están cerradas, entonces la ubicación i no se sirve. y` ≤ n X aij para todo i ∈ C , ` ∈ S con di` ≤ r j=i Si la ubicación i no se cubre, entonces todas las plantas que le cubren están cerradas. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales El problema del máximo cubrimiento ordenado j X i=k aij ≤ j+1 X ai,j+1 para todo j ≤ n − 1, k ≤ j i=k+1 La suma parcial de una columna es mayor que la misma suma parcial de la columna anterior. j X ain ≤ 1 i=1 La suma de la última columna es menor o igual que 1 y, por tanto, la suma de cualquier columna. m X y` = p `=1 El número de plantas abiertas es p. J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Podemos simplificar observando que:(i) La suma de las últimas columnas vale 1 ya que al menos se cubren p ubicaciones; (ii) La asignación del i-ésimo peso wi , i ≤ p − 1, no puede ir a una ubicación de entre la p − i últimas ya que, en este caso, faltarı́an ubicaciones con peso menor. j X aij = 1 ∀j = n − p + 1, . . . , n (1) i=1 aij = 0 ∀i = 1, . . . , p − 1, j = n − p + i + 1, . . . , n J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado (2) El problema del máximo cubrimiento ordenado i−1 X n X i 0 =1 j=k+1 ai 0 j ≤ (i − 1)(1 − k X aij ) El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales ∀i = 2, . . . , n, k ≥ i j=i J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado (3) El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales El problema del máximo cubrimiento ordenado 0 n n X X k=i+1 j=k 1 2 n X akj + (j − i)aij ≤ n−i 3 4 5 6 7 ∀i = 1, . . . , n−1 j=i J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado (4) El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales El problema del máximo cubrimiento ordenado 7 n n X X k=i+1 j=k akj ≥ n X 6 5 (n − j)aij 4 3 2 1 0 ∀i = 1, . . . , n − 1 j=i J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado (5) El problema del máximo cubrimiento ordenado aij + n X ai−1,k ≤ 1 El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales ∀i ≥ 2, j ≥ i k=i−1 k6=j−1 J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado (6) El problema del máximo cubrimiento ordenado J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Generamos cinco problemas con 50 clientes aleatoriamente como sigue: 1 Las coordenadas de los clientes se distribuyen de modo uniforme en el cuadrado Q = ((0, 0), (10, 10)). 2 Los pesos de los clientes siguen una distribución normal en el intervalo [10, 80]. Los ejemplos 1, 3 y 5 usan p = 3 y el resto p = 4. Además, todos cumplen r = 1. Consideramos dos tipos de lambda’s. El primero consiste en valores decrecientes no negativos, es decir, λi ≥ λi+1 ≥ 0. Para el segundo generamos valores de una uniforme en (0, 1). J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Decreciente λ (P) (P) & (1) y (2) Aleatorio λ Ej. Valor Obj. 1 637.3 2 844.4 3 276.2 4 298.8 5 164.0 1 368.1 2 476.5 3 244.1 4 320.0 5 128.2 LP-Rel. Gap LP-Rel. Gap 637.3 0.0 637.3 0.0 892.9 5.7 892.9 5.7 324.4 17.5 308.7 11.8 384.4 28.6 338.4 13.2 246.9 50.5 224.9 37.1 376.6 2.3 376.6 2.3 486.1 2.0 486.1 2.0 251.6 3.0 249.9 2.4 325.8 1.8 325.8 1.8 138.6 8.1 132.9 3.7 J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales El problema del máximo cubrimiento ordenado Decreciente λ (P) y (4) (P), (1) y (4) (P), (1), (2) y (4) (P) y (5) (P), (1) y (5) (P), (1), (2) y (5) (P) y (6) (P), (1) y (6) (P), (1), (2) y (6) 3 Aleatorio λ 1 2 4 Nodos Tiempo Nodos Tiempo Nodos Tiempo 1 0.6 1 0.6 1 1.2 35 6.5 13 4.1 17 4.6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Nodos Tiempo Nodos Tiempo Nodos Tiempo 1 1.5 1 2.2 1 1.7 25 11.1 13 16.1 41 17.9 33 18.0 15 11.9 15 13.3 Decreciente 29 18.3 17 16.0 25 12.9 λ 41 22.3 31 21.2 43 24.3 7 4.8 25 9.0 11 5.3 27 17.1 15 11.4 17 12.7 3 4.1 7 6.6 9 6.4 Aleatorio 27 14.5 15 9.9 17 10.2 λ 21 10.3 23 10.6 21 10.3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Nodos Tiempo Nodos Tiempo Nodos Tiempo 1 1.9 1 3.0 1 2.3 19 11.1 13 17.8 21 11.9 17 13.5 19 16.3 23 11.8 31 16.9 13 17.2 25 9.8 75 25.9 45 29.7 41 13.9 11 5.4 25 11.3 15 5.9 19 11.2 27 16.2 21 11.3 7 4.1 11 6.9 7 4.8 17 9.0 15 22.4 15 9.7 17 8.7 11 12.0 15 7.7 17 27 5.1 7.6 11 17 5.4 5.6 17 21 6.1 5.3 Decreciente λ J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel 5 1 2 61 13.4 33 8.1 61 8.1 13 3.4 11 3.1 15 3.3 23 4.5 15 3.8 19 4.9 3 4 5 17 19 3.9 5.1 9 17 2.7 5.8 9 15 2.1 8.1 Aleatorio λ Máximo Cubrimiento Ordenado 19 6.5 19 5.3 7 4.5 El problema del máximo cubrimiento ordenado El problema El modelo Simplificaciones Resultados computacionales Gracias por la atención J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel Máximo Cubrimiento Ordenado