Enseñanza del Álgebra y la Resolución de Problemas

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
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Enseñanza del Álgebra y la Resolución de Problemas
Prof. Lina Soraya Llanos Vargas
Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de San Germán
Introducción
La matrícula de los cursos de matemática básica a nivel universitario es, por lo general,
numerosa. Los estudiantes traen consigo diversos trasfondos educativos, poseen sus propias
motivaciones, necesidades e intereses. Esta situación requiere el empleo de diversas experiencias
de aprendizaje de parte del profesorado que satisfagan tanto las necesidades educativas, así como
los intereses de los estudiantes matriculados. El curso requiere que los estudiantes utilicen y
desarrollen destrezas de alto nivel de pensamiento como lo son: la capacidad de interpretar,
evaluar, analizar y, sobre todo, de resolver problemas.
A este contexto, se suma que muchos de nuestros estudiantes tienen una precaria
apropiación del conocimiento Algebraico; los estudiantes tienen problemas relativos a la
naturaleza y significado de los símbolos y las letras, el uso inapropiado de fórmulas o
procedimientos, la traducción entre diferentes lenguajes, y se les dificulta resolver problemas
verbales. Lo anteriormente expuesto, impide al estudiante aplicar el Álgebra al interior de la
Matemática misma y en otras áreas del saber. A la luz de la alta incidencia de fracasos en el curso
de Fundamentos de Álgebra y al pobre dominio de las destrezas de pensamiento de los estudiantes
universitarios (Colom, 1995; Torres, 1989 y Vera, 1993), se reconoce la inmensa necesidad de
implantar estrategias de enseñanza y el diseño de nuevos materiales metodológicos que
contribuyan a desarrollar las competencias del estudiante y su aprendizaje sea significativo.
El conocimiento Algebraico es esencial por su aporte a la comunicación y expresión de las
matemáticas, a la construcción de modelos y a la estructuración de formas de razonamiento (Pérez,
1997). El Álgebra no debe ser vista de forma abstracta, árida y descontextualizada que desmotive
a los estudiantes y los lleve a limitarse a memorizar conceptos y procedimientos sin comprender su
verdadero significad: la solución de problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes deben
visualizar que hacer o desarrollar matemáticas incluye el resolver problemas, abstraer, inventar,
probar y encontrar el sentido a las ideas matemáticas. Según Santos (1995), los estudiantes tienen
dificultades para solución de problemas en matemáticas, cuando precisamente los problemas son
los que realmente pueden potenciar el aprendizaje de la matemática y evidenciar su utilidad. Por lo
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tanto, es necesario innovar el currículo mediante la utilización de estrategias de enseñanza en las
cuales los estudiantes les den sentido a las matemáticas en un contexto auténtico basado en
problemas.
Para Guzmán (1989), la resolución de problemas se considera en la actualidad la parte más
esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes
experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. El Consejo
Nacional de Profesores de Matemáticas [NCTM], (2000), en Estados Unidos, hace más de diez
años, declaró que el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro
que el de la resolución de problemas. Según Hofsdadter (1999), las capacidades básicas de la
inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas, siempre y
cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida
previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno
estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones. De acuerdo con Santaló (1985), enseñar
matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe
ser otra cosa que pensar en la solución de problemas. Según Polya (1995), la resolución de
problemas es la espina dorsal de la enseñanza de las matemáticas desde la época del papiro de
Rhind. Expuso Polya que está bien justificado que todos los textos de matemáticas contengan
problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación
matemática.
El enfoque de George Polya en la resolución de problemas
El célebre matemático George Polya nacido en Hungría, analiza los procesos de quienes
resuelven bien los problemas matemáticos, con el fin de mejorar la resolución de problemas en la
clase de matemáticas. Para Polya (1957), el núcleo fundamental de la actividad matemática es sin
duda la resolución de problemas, la investigación actual en Educación Matemática consagra una
buena parte de sus esfuerzos en desentrañar en qué consiste la actividad eficaz de resolución de
problemas y cuáles son los mecanismos adecuados para conseguir que los estudiantes logren
convertirse en expertos resolviendo problemas. Según el autor, en la Resolución de Problemas,
hay muchos aspectos transmisibles del buen quehacer del gran experto. Esta transmisión tiene
lugar adentrándose en el taller del experto, adivinando sus esquemas de percepción, de
pensamiento, reflexionando explícitamente sobre las formas peculiares de proceder del maestro.
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En especial, se le da crédito a la propuesta de Polya por la atención moderna que le otorga a la idea
griega de la heurística para resolver problemas.
Para Polya (1957) los algoritmos son procesos bien definidos, que determinan o son
determinantes y garantizan una solución; por el contrario, en la heurística la solución no está
garantizada (es posible o probable). Esto, naturalmente genera muchos problemas en los
estudiantes, quienes prefieren los algoritmos. En su famoso libro Cómo Plantear y Resolver
Problemas, que se ha traducido a 15 idiomas, Pólya proporciona la existencia de varios tipos de
heurística:
Una primera heurística sería cuando, tratando de resolver un problema, surge en algún
momento la pregunta sobre aquello que se está buscando- (lo desconocido). Polya (1995) llegó a
esta idea cuando estaba trabajando con uno de sus estudiantes. Para ayudar al alumno, Polya le
presenta la metáfora del puente. El problema consiste en encontrar la ruta que lleva, de donde uno
se encuentra, hasta donde uno quiere llegar, es decir, a lo desconocido. Un segundo ejemplo de
heurística, es el de dibujar una figura del problema que uno está tratando de resolver. En la clase
de matemáticas, no les gusta hacer dibujos para representar el problema que están tratando de
resolver, aunque habitualmente es una herramienta muy útil. La dificultad que encuentran los
alumnos radica en que no se les ocurre lo que hay que pintar. Una de las heurísticas más poderosas,
que puede utilizar una persona en matemáticas, es pensar en un problema más sencillo que tenga
las mismas características y brinda las pautas para poder solucionar el problema más complejo.
Para Polya (1995), un verdadero problema es cuando estando en una situación inicial bien
conocida, es necesario llegar a otra situación algunas veces conocida o someramente conocida y
no se conoce el camino. Un verdadero problema debe suscitar interés entre las personas que
quieran resolverlo, las cuales a su vez deben tener algún conocimiento sobre el tema que los ocupa.
Según Polya, existen cuatro tipos de problemas: problemas por resolver, por demostrar, de rutina
y prácticos, y abiertos y cerrados.
En los problemas por resolver, su propósito es “descubrir cierto objeto, la incógnita del
problema”. Los elementos estructurales de este tipo de problemas son la incógnita (lo buscado),
los datos (lo dado) y la condición (la vía de solución). En los problemas por demostrar, el propósito
es “mostrar de un modo concluyente, la exactitud o falsedad de una afirmación claramente
enunciada”. Los elementos estructurales son aquí la premisa y la conclusión. Un problema de
rutina es todo aquel problema que se puede resolver ya sea sustituyendo simplemente nuevos datos
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en el lugar de los de un problema ya resuelto, ya sea siguiendo paso a paso, sin ninguna
originalidad, la traza de algún viejo ejemplo.
En el trabajo de Polya (1995), se trata el grado de dificultad de los problemas, pero no se
atiende sistemáticamente a la relación entre los elementos estructurales de los mismos, cuestión
ésta que hace que, la decisión del grado de dificultad de uno a otro problema, sea relativa y
ambigua. Los problemas abiertos son aquellos que admiten varias respuestas o los problemas que
aún no han sido resueltos, y los problemas cerrados son los problemas de única solución.
Según Polya, para resolver un problema se necesitan los siguientes cuatro pasos:
a) Comprender el problema
Comprender el problema consiste en saber qué es lo que se pregunta y cuál es la información
que se da y las condiciones que caracterizan el problema. No tiene sentido responder a una
pregunta que no se comprende, se debe familiarizarse con el problema, hacer el esfuerzo por
entender el significado de las palabras que puedan ser importantes en el enunciado. Ayuda a
comprender un problema, responder las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son
los datos? ¿Cuál es la condición o condiciones? Un problema se ha comprendido completamente
cuando puede repetirse el enunciado en forma ligeramente distinta pero equivalente, cuando
pueden separarse claramente los datos, la incógnita y la condición. Mientras un problema no se
comprenda, no vale la pena avanzar en dirección alguna.
b) Concebir un plan
Concebir un plan hace que entre en juego la necesidad de recurrir a la experiencia, a la forma
en que se han solucionado problemas anteriores, a los conocimientos adquiridos, a comparar una
situación con hechos conocidos o ayudarse al solucionar problemas más simples, a aplicar las
condiciones dadas una tras otra hasta completar las solicitadas en el problema. Aparece la
heurística, las preguntas orientadoras serían: ¿Se conocen problemas semejantes? ¿Cómo se
relacionan con los actuales? ¿Conoce algún teorema útil para aplicarlo? ¡Busque problemas que
involucren menos variables! ¿Empleó todos los datos y condiciones? Generalmente un plan se
consolida cuando llega una idea brillante. Se le debe sacar el máximo provecho a los intentos
fallidos por resolver el problema, éstos alguna enseñanza deben dejar. Un plan en realidad consiste
en determinar una relación entre los datos y la incógnita. La consideración de problemas auxiliares
es definitiva en este proceso. Los dibujos son importantes en la concepción del plan.
c) Ejecución del plan
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Consiste en desarrollar la idea brillante del plan del problema. La ejecución del plan solo
debe empezar cuando se tenga certeza de estar en el correcto punto de partida y de poder suplir
todos los detalles menores que puedan presentarse. No es conveniente dejar de considerar detalles
por pequeños que sean. De esta manera la solución que se obtenga estará libre de cualquier duda
o sospecha.
d) Examinar la solución
Todo problema puede comprobarse de una o varias formas. Debe mirarse la incógnita obtenida
desde varios puntos de vista; mirar los casos extremos del resultado y observar que concuerda con
problemas o resultados anteriores. Finalmente, se debe intentar revisar de nuevo la solución a fin
de agotar la posibilidad de otra solución más sencilla.
Respecto a las preguntas
En su trabajo, Polya presta especial atención a las preguntas en el momento de abordar un
problema. Según el autor, el profesor debe realizar preguntas con el fin de orientar la resolución
de algún problema. Estas preguntas deben tener características especiales con el fin de no
desorientar y desmotivar al estudiante. Las preguntas que se formulen en la resolución de
problemas deben tener las siguientes características:
 De sentido común, naturales, sencillas y obvias.
 Para volver interesante el problema las preguntas deben orientar al alumno hacia un
aspecto interesante del problema, a un punto de vista que el alumno ni imagina o llevándolo
a actividades cercanas a él o hacia un juego.
 Aplicables a la vida diaria, deben mostrar ejemplos afines en los cuales se solucionen
problemas de la vida diaria.
 Acordes al nivel de dificultad, en este sentido, el maestro debe ser cuidadoso al formular
preguntas técnicas, de tal forma que el alumno comprenda lo que se quiere decir o que lo
lleve a conocimientos adquiridos.
 No deben ser directas, deben llevar a una solución no inmediata, no deben entregar todas
las herramientas al alumno, más bien, deben presentar sugerencias para que el interesado
mismo descubra la solución.
Las analogías directas y personales
El método de resolución de problemas debe llevar al alumno a desarrollar afición a los
problemas e interés personal a solucionar cualquier tipo de problemas matemáticos que encuentre
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en libros, revistas, artículos etc., y a que él mismo invente situaciones problemáticas. Para Polya
(1995), la relación de analogías en la resolución de problemas puede ser muy provechosa. Es decir,
comparar una situación problemática con otra parecida y tener la seguridad que la solución es
semejante.
Ensayo y error
Los métodos heurísticos de Polya (1995) consisten en realizar ensayos y errores, utilizar
métodos gráficos o estrategias para solucionar problemas teóricos, utilizar particularización para
comprobar con un ejemplo, etc. La sagacidad es ser capaz de encontrar caminos no pensados e
interesados, tener seguridad en el uso de la intuición y no decaer en su empeño. La habilidad para
ligar definiciones dadas por diccionarios, encontrar definiciones en éstos y ser capaz de ligarlas a
su definición matemática y la utilización adecuada de éstas. La habilidad para suprimir términos
técnicos con el fin de hacer más comprensible el problema. La habilidad para aplicar teoremas
conocidos, saber que lo aprendido anteriormente, de algún modo puede ayudar a solucionar un
determinado problema, la experiencia le ayuda a visualizar posibles herramientas. La definición
múltiple, es decir, que algunos teoremas que tienen diferentes posibilidades de aplicación para su
uso, estén al alcance y puedan ser interpretados.
La creatividad y el descubrimiento
La resolución de problemas debe llevar a que el alumno sea un ser creativo, que invente nuevos
problemas y posibles soluciones que no hayan sido exploradas. Para Polya (1995), resolver
problemas es una cuestión de habilidad práctica, como por ejemplo: nadar. La habilidad práctica
se adquiere mediante la imitación y la acción, al tratar de nadar se imita los movimientos de pies
y manos que hacen las personas que logran así mantenerse a flote, y finalmente se aprende a nadar
practicando la natación. El profesor que desee desarrollar en sus alumnos la actitud para resolver
problemas, debe motivar y despertar el interés facilitando el mayor número posible de ocasiones
de imitación y práctica. Si el maestro quiere desarrollar en sus alumnos el proceso mental que
corresponde a las preguntas y sugerencias anteriores, deben emplearse tantas veces como vengan
al caso de un modo natural. Cuando el maestro resuelve un problema ante la clase debe dramatizar
un poco sus ideas y emplear las preguntas claves. El alumno descubre, sin duda, la manera de
utilizar las preguntas y sugerencias adquiriendo conocimientos más importantes que los de un
simple hecho matemático.
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De acuerdo con Polya, es tonto contestar a una pregunta que no se comprende, es deplorable
trabajar con un fin que no se desea, sin embargo, tales errores se cometen con frecuencia. Se deben
escoger problemas adecuados, ni muy fáciles, ni muy difíciles, y debe dedicarse un cierto tiempo
a exponerse de un modo natural e interesante. El enunciado verbal debe comprenderse, el alumno
debe separar las principales partes del problema: incógnita, datos y condición. Para Polya (1957),
la heurística es el estudio de las reglas y métodos de descubrimientos y de numeración. La
heurística moderna trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas. A
continuación se analizan los siguientes problemas sobre ecuaciones lineales, utilizando las cuatro
reglas de oro de Polya (1995):
Problema 1. La cabeza de un pez mide 10 cm, la cola es tan larga como la cabeza más la
mitad de su tronco, el tronco es tan largo como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuánto mide el
pez?
Los conceptos básicos para que el estudiante resuelva este problema es el de Ecuaciones de
Primer Grado. Para hacer interesante el problema, puede pensarse que el cuerpo del pez consta de
tres partes, en su orden: cabeza, tronco y cola, que la suma de las medidas de cada parte del cuerpo
será la medida total del pez, y de menor a mayor de acuerdo con el tamaño de las partes, se tiene
la cabeza, la cola y el tronco. El pez en mención es uno de la dimensión de un salmón puesto que
su cabeza tiene un promedio aproximado de 10 cm.
a) Comprensión del problema
Los datos del problema son la medida de la cabeza 10cm, el tronco y la cola del pez. La
incógnita es un número que represente la medida del pez. Las condiciones del problema son las
siguientes: La cola es tan larga como la cabeza más medio tronco. El tronco es tan largo como la
cabeza y la cola juntas. Conocidas las relaciones anteriores entre las partes del cuerpo, se pregunta
por la medida total del pez.
b) Concepción de un Plan
La idea brillante es pensar que la medida del pez es la suma de las medidas de las partes del
cuerpo del pez, P=X+Y+Z. Para reducir el problema a otro más sencillo, podría ser uno con la
misma incógnita y las mismas relaciones entre las partes del cuerpo, en este caso se conocerían
las medidas de la cabeza y el tronco, respectivamente 10cm y 60cm. Medio tronco es 30cm, luego
la cola mediría 40cm (la medida de la cabeza más medio tronco). Sumando las partes 10cm + 60cm
+ 40 cm = 110cm, que es un pez bastante grande.
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Regresando al problema original, se tomará una notación adecuada, sea X la cabeza, Y el
tronco y Z la cola del pez. Las relaciones entre las partes del pez son:
X=10cm
Z=10cm + (Y/2) la cabeza más medio tronco
Y=10cm + Z
la cabeza y la cola juntas
De esta manera, la condición es suficiente y necesaria para resolver el problema.
c) Ejecución del Plan:
X=10cm
Z=10cm + (Y/2) ecuación (1)
Y=10cm +Z
ecuación (2)
Se presenta una incógnita en términos de la otra de la siguiente manera: Remplazando (1) en (2)
para obtener (3)
Z=10cm + Y/2 (1)
Y=10cm + Z luego Y=10cm + 10cm + (Y/2)
Y=20cm + (Y/2)
(3)
Despejando de (3) Y, se tiene que:
Y=40cm.
Remplazando este valor en la ecuación (1) Z=10cm+ (Y/2), Z=10cm+ (40/2)
Z=30cm
El pez mide P= X+Y+Z
P=10+40+30=80
d) Visión Retrospectiva:
La solución del problema es consistente con las condiciones del problema.
Z=10+Y/2
(Cola = Cabeza + medio tronco)
30=10+40/2
Y=10+Z
40=10+30
Problema 2. Tengo un criadero de pollos y conejos. En el criadero hay un total de 76 ojos y
124 patas, ¿Cuántos pollos y conejos tengo en el criadero?
a) Comprensión del Problema
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Los datos del problema son: 76 ojos y 124 patas que representan el número de ojos y de patas
respectivamente. La incógnita son dos números que expresan la cantidad de pollos y la cantidad
de conejos. El problema tiene dos condiciones: una expresa que entre pollos y conejos se tienen
76 ojos en un criadero y la otra es que hay 124 patas entre todos los animales del criadero.
Para hacer este problema interesante, hay que tener en cuenta que cada pollo en condiciones
normales tiene 2 ojos y 2 patas, pero cada conejo también en condiciones normales tiene 2 ojos y
4 patas para moverse.
b) Concepción de un Plan
La idea brillante es que cada animal posee 2 ojos, cada pollo posee dos patas y cada conejo
posee 4 patas. Supóngase que en mi criadero tenga 10 pollos y 20 conejos. Por parte de los pollos
se obtienen 20 ojos y 20 patas, mientras que de parte de los conejos se obtienen 40 ojos y 80 patas.
Si se suma el total de ojos y de patas, existen 60 ojos y 100 patas. Pueden suponerse más cantidades
de pollos y más cantidades de conejos para coincidir con el problema en mención.
Sean m la cantidad de pollos, y n la cantidad de conejos. Cada pollo tiene 2 ojos, la cantidad
total de ojos de pollo es 2m. Cada pollo tiene 2 patas, la cantidad total de patas de pollo es 2m.
Cada conejo tiene 2 ojos, la cantidad total de ojos de conejo es 2n. Cada conejo tiene 4 patas, el
número total de patas de conejo es 4n. Se obtienen entonces las relaciones:
2m+2n=76 y
2m+4n=124
c) Ejecución del Plan
2m+2n=76 (1) el número total de ojos entre pollos y conejos es 76
2m+4n=124 (2) el número total de patas entre pollos y conejos es 124
Se resta la ecuación (1) de (2) y se obtiene n=24.
Este valor se reemplaza en la ecuación (1), y se obtiene m=14.
En el criadero existen 14 pollos y 24 conejos.
d) Visión Retrospectiva:
Si existen en el criadero 14 pollos y 24 conejos pueden deducirse que por parte de los pollos
existen 28 ojos y 28 patas, y por parte de los conejos existen 48 ojos y 96 patas. Si se suma el total
de los ojos se obtienen 76 ojos y un total de 124 patas. Se debe tener en cuenta que todo animal en
condiciones normales tiene solo dos ojos, dos o cuatro patas a excepción de los peces y algunos
insectos.
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Cuando m=14 y n=24 se cumplen las igualdades:
2m+2n=76 y
2m+4n=124.
Problema 3. Un ladrillo está en equilibrio en una balanza con ¾ de ladrillo y una pesa de ¾
libra. ¿Cuánto pesa el ladrillo?
a) Comprensión del Problema
Los datos del problema son: el ladrillo, ¾ de ladrillo, una pesa de ¾ de libra. La incógnita es
un número que expresa el peso del ladrillo. La condición es que un ladrillo está en equilibrio con
¾ de él mismo, más una pesa de ¾ de libra. Un ladrillo normalmente pesa más que una libra,
tómese la notación adecuada.
Sea X el peso del ladrillo, Y una libra.
b) Concepción de un Plan
La idea brillante es que un ladrillo pesa ¾ de ladrillo más ¼ de ladrillo.
Es decir, X= 3/4X +1/4X.
La condición del problema es:
X=3/4X +3/4Y
c) Ejecución del plan
Las dos ecuaciones anteriores son equivalentes a la única ecuación:
1/4X=3/4Y
O sea, X=3Y
Esto significa que cada ladrillo pesa 3 libras.
d) Visión Retrospectiva
Si x=3y se cumple la igualdad en:
x=3/4x+3/4y
De donde finalmente se obtiene que: 3y = 3y
Referencias
Colón, H. M. (1995). Relación entre el nivel de desarrollo cognoscitivo de los
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estudiantes de nuevo ingreso a la universidad y la demanda cognoscitiva del curso
introductorio de biología. Disertación doctoral no publicada. Universidad Interamericana
de Puerto Rico. Hato Rey, Puerto Rico.
Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM). Standards 2000 Project.
Recuperado de http://standards.nctm.org/document/chapter2/htm
Guzmán, M. (1989). Enseñanza de las ciencias y las matemáticas. Recuperado de
http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm
Hofstadter, D. (1999). Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. New York: Basic
Books.
Pérez, M. (1997). Álgebra desde una perspectiva geométrica. Recuperado de
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=166701
Polya, G. (1957). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid, España: Ed. Tecnos.
Polya, G. (1995). Cómo Plantear y Resolver Problemas (2da ed.). México: Editorial
Trillas.
Santaló, L. (1997). Didáctica de las Matemáticas, aportes y reflexiones. Recuperado de
http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/imagenes_escuela.pdf
Santos, M. (1995). ¿Qué significa Aprender en Matemáticas? (2da ed.). México:
Trillas.
Torres, C. (1989). Proyecto de Cayey: Una investigación sobre la calidad del
pensamiento de los estudiantes de primer año del colegio universitario de Cayey. Cayey,
Puerto Rico: Universidad de Puerto Rico.
Vera, L. (2006). Assessment: Medición y evaluación del aprendizaje. Hato Rey, Puerto
Rico: Publicaciones Puertorriqueñas, Inc.
Prof. Lina Soraya Llanos Vargas, [email protected]. M.A. Matemática Aplicada, M.S. Física
Especialización en Educación Matemática con énfasis en los sistemas dinámicos. Universidad Interamericana de
Puerto Rico-Recinto de San Germán.
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